Závorka společného činitele, pravidlo, příklady. Závorka společného činitele: pravidlo, příklady

Pokračujeme v chápání základů algebry. Dnes budeme pracovat s tím, že budeme zvažovat akci, jako je např uvedení společného faktoru ze závorek.

Obsah lekce

Základní princip

Distributivní zákon násobení umožňuje násobit číslo částkou (nebo částku číslem). Chcete-li například najít hodnotu výrazu 3 × (4 + 5), můžete vynásobit číslo 3 každým výrazem v závorce a přidat výsledky:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Číslo 3 a výraz v závorce lze zaměnit (vyplývá to z komutativního zákona násobení). Potom se každý výraz v závorce vynásobí číslem 3

(4 + 5) × 3 = 4 × 3 + 5 × 3 = 12 + 15

Zatím nebudeme počítat konstrukci 3 × 4 + 3 × 5 a sečteme výsledky získané 12 a 15. Ponechme výraz ve tvaru 3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5. Níže jej budeme potřebovat přesně v této podobě, abychom pochopili podstatu vyjmutí společného faktoru ze závorek.

Distributivní zákon násobení se někdy nazývá umístění faktoru do závorek. Ve výrazu 3 × (4 + 5) byl faktor 3 vynechán v závorkách. Vynásobením každým výrazem v závorce jsme jej v podstatě přenesli do závorky. Pro přehlednost to můžete napsat takto, i když není zvykem to psát takto:

3 (4 + 5) = (3 × 4 + 3 × 5)

Protože ve výrazu 3 × (4 + 5)číslo 3 se násobí každým výrazem v závorce, toto číslo je společný faktor pro výrazy 4 a 5

Jak již bylo zmíněno dříve, vynásobením tohoto společného faktoru každým členem v závorce jej vložíme do závorky. Ale je možný i opačný proces – společný faktor lze vyjmout ze závorek. V tomto případě ve výrazu 3×4 + 3×5 obecný násobitel je jasně viditelný - jedná se o násobitel 3. Je potřeba to vyjmout z rovnice. Chcete-li to provést, nejprve zapište samotný faktor 3

a vedle něj v závorce se píše výraz 3×4 + 3×5 ale bez společného faktoru 3, protože je vyjmut ze závorek

3 (4 + 5)

Vyjmutím společného činitele ze závorek získáme výraz 3 (4 + 5) . Tento výraz je shodný s předchozím výrazem 3×4 + 3×5

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Pokud spočítáme obě strany výsledné rovnosti, získáme identitu:

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

27 = 27

Jak se společný faktor dostane mimo závorky?

Umístění společného činitele mimo závorky je v podstatě obrácená operace umístění společného činitele do závorek.

Pokud při zavádění společného faktoru v závorkách vynásobíme tento faktor každým členem v závorce, pak při přesunu tohoto faktoru zpět mimo závorku musíme vydělit každý člen v závorce tímto faktorem.

Ve výrazu 3×4 + 3×5, o kterém byla řeč výše, se tak stalo. Každý termín byl rozdělen společným faktorem 3. Součin 3 × 4 a 3 × 5 jsou členy, protože když je spočítáme, dostaneme součet 12 + 15

Nyní můžeme podrobně vidět, jak je obecný faktor vyjmut ze závorek:

Je vidět, že společný faktor 3 je nejprve vyjmut ze závorek, poté je v závorkách každý člen vydělen tímto společným faktorem.

Dělení každého členu společným faktorem lze provést nejen dělením čitatele jmenovatelem, jak je uvedeno výše, ale také snížením těchto zlomků. V obou případech dostanete stejný výsledek:

Podívali jsme se na nejjednodušší příklad vyjmutí společného faktoru ze závorek, abychom pochopili základní princip.

Ne vše je ale tak jednoduché, jak se na první pohled zdá. Po vynásobení čísla každým výrazem v závorce se výsledky sečtou a společný faktor se ztratí ze zobrazení.

Vraťme se k našemu příkladu 3 (4 + 5). Použijme distributivní zákon násobení, to znamená, že vynásobíme číslo 3 každým členem v závorce a sečteme výsledky:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Po výpočtu konstrukce 3 × 4 + 3 × 5 dostaneme nový výraz 12 + 15. Vidíme, že společný faktor 3 zmizel z dohledu. Nyní ve výsledném výrazu 12 + 15 zkusme vyjmout společný faktor zpět ze závorek, ale abychom tento společný faktor odstranili, musíme jej nejprve najít.

Obvykle se při řešení úloh setkáváme právě s takovými výrazy, ve kterých je třeba nejprve najít společný činitel, než jej lze vyjmout.

Aby bylo možné vyjmout společný faktor ze závorek ve výrazu 12 + 15, musíte najít největší společný faktor (GCD) členů 12 a 15. Nalezený GCD bude společným faktorem.

Pojďme tedy najít GCD pro čísla 12 a 15. Připomeňme si, že k nalezení GCD je třeba rozložit původní čísla na prvočinitele, poté vypsat první rozklad a odstranit z něj faktory, které nejsou zahrnuty v rozkladu druhého čísla. Zbývající faktory je třeba vynásobit, aby se získal požadovaný gcd. Pokud máte v tomto bodě potíže, určitě opakujte.

GCD pro 12 a 15 je číslo 3. Toto číslo je společným faktorem pro výrazy 12 a 15. Musí být vyjmuto ze závorek. K tomu nejprve zapíšeme samotný faktor 3 a vedle něj do závorky napíšeme nový výraz, ve kterém je každý člen výrazu 12 + 15 vydělen společným faktorem 3

No, další výpočet není těžký. Výraz v závorkách lze snadno vypočítat - dvanáct děleno třemi je čtyři, A patnáct děleno třemi je pět:

Když tedy vyjmeme společný faktor ze závorek ve výrazu 12 + 15, dostaneme výraz 3(4 + 5). Podrobné řešení je následující:

Krátké řešení přeskočí zápis ukazující, jak je každý výraz rozdělen společným faktorem:

Příklad 2 15 + 20

Pojďme najít gcd pro termíny 15 a 20

GCD pro 15 a 20 je číslo 5. Toto číslo je společným faktorem pro výrazy 15 a 20. Vyjmeme ho ze závorek:

Dostali jsme výraz 5 (3 + 4). Výsledný výraz lze zkontrolovat. Chcete-li to provést, stačí vynásobit pět každým výrazem v závorkách. Pokud jsme vše udělali správně, měli bychom dostat výraz 15 + 20

Příklad 3 Vyjměte společný součinitel ze závorek ve výrazu 18+24+36

Pojďme najít gcd pro výrazy 18, 24 a 36. Chcete-li najít , musíte tato čísla zohlednit v prvočinitelích a pak najít součin společných faktorů:

GCD pro 18, 24 a 36 je číslo 6. Toto číslo je společným faktorem pro výrazy 18, 24 a 36. Vyjmeme to z hranatých závorek:

Zkontrolujeme výsledný výraz. Chcete-li to provést, vynásobte číslo 6 každým výrazem v závorce. Pokud jsme vše udělali správně, měli bychom dostat výraz 18+24+36

Příklad 4. Vyjměte společný součinitel ze závorek ve výrazu 13 + 5

Termíny 13 a 5 jsou prvočísla. Rozkládají se pouze na jednoho a sebe:

To znamená, že termíny 13 a 5 nemají žádné společné faktory kromě jednoho. V souladu s tím nemá smysl tuto jednotku vyjímat ze závorek, protože nic nedává. Pojďme si ukázat toto:

Příklad 5. Vyjměte společný faktor ze závorek ve výrazu 195+156+260

Najdeme gcd pro výrazy 195, 156 a 260

GCD pro 195, 156 a 260 je číslo 13. Toto číslo je společným faktorem pro výrazy 195, 156 a 260. Vyjmeme ho ze závorek:

Zkontrolujeme výsledný výraz. Chcete-li to provést, vynásobte 13 každým výrazem v závorkách. Pokud jsme vše udělali správně, měli bychom dostat výraz 195+156+260

Výraz, ve kterém potřebujete vyjmout společný faktor ze závorek, může být nejen součet čísel, ale také rozdíl. Vyjmeme například společný činitel ze závorek ve výrazu 16 − 12 − 4. Největší společný činitel pro čísla 16, 12 a 4 je číslo 4. Vyjmeme toto číslo ze závorek:

Zkontrolujeme výsledný výraz. Chcete-li to provést, vynásobte čtyři každým číslem v závorce. Pokud jsme vše udělali správně, měli bychom dostat výraz 16 − 12 − 4

Příklad 6. Vyjměte společný součinitel ze závorek ve výrazu 72+96−120

Najdeme GCD pro čísla 72, 96 a 120

GCD pro 72, 96 a 120 je číslo 24. Toto číslo je společným faktorem pro výrazy 195, 156 a 260. Vyjmeme ho ze závorek:

Zkontrolujeme výsledný výraz. Chcete-li to provést, vynásobte 24 každým číslem v závorce. Pokud jsme vše udělali správně, měli bychom dostat výraz 72+96−120

Celkový faktor vyjmutý ze závorek může být také záporný. Například vyjmeme společný činitel ze závorek ve výrazu −6−3. Existují dva způsoby, jak v tomto výrazu vyjmout společný faktor ze závorek. Podívejme se na každou z nich.

Metoda 1.

Nahradíme odčítání sčítáním:

−6 + (−3)

Nyní najdeme společný faktor. Společným činitelem tohoto výrazu bude největší společný dělitel členů −6 a −3.

Modul prvního členu je 6. A modul druhého členu je 3. GCD(6 a 3) se rovná 3. Toto číslo je společným faktorem pro členy 6 a 3. Vyjmeme ho ze závorek:

Takto získaný výraz nebyl příliš přesný. Mnoho závorek a záporných čísel výraz nezjednodušuje. Proto můžete použít druhý způsob, jehož podstatou je vynechat ze závorek ne 3, ale −3.

Metoda 2.

Stejně jako minule nahrazujeme odčítání sčítáním.

−6 + (−3)

Tentokrát vyjmeme ze závorek ne 3, ale −3

Získaný výraz tentokrát vypadá mnohem jednodušeji. Napišme řešení stručněji, aby bylo ještě jednodušší:

Povolení vyjmutí záporného faktoru ze závorek je způsobeno skutečností, že rozšíření čísel −6 a (−3) lze zapsat dvěma způsoby: nejprve udělejte násobitel záporný a násobitel kladný:

−2 × 3 = −6

−1 × 3 = −3

ve druhém případě může být multiplikand kladný a multiplikátor záporný:

2 × (−3) = −6

1 × (−3) = −3

To znamená, že můžeme volně vyřadit faktor, který chceme.

Příklad 8. Vyjměte společný součinitel ze závorek ve výrazu −20−16−2

Nahraďte odčítání sčítáním

−20−16−2 = −20 + (−16) + (−2)

Největší společný faktor pro členy −20, −16 a −2 je číslo 2. Toto číslo je společným činitelem pro tyto členy. Podívejme se, jak to vypadá:

−10 × 2 = −20

−8 × 2 = −16

−1 × 2 = −2

Dané expanze ale mohou být nahrazeny shodně stejnými expanzemi. Rozdíl bude v tom, že společný faktor nebude 2, ale −2

10 × (-2) = -20

8 × (−2) = −16

1 × (−2) = −2

Proto pro usnadnění můžeme ze závorek vyřadit ne 2, ale −2

Pojďme si výše uvedené řešení stručně zapsat:

A pokud vyjmeme 2 ze závorek, dostaneme ne zcela přesný výraz:

Příklad 9. Vyjměte společný součinitel ze závorek ve výrazu −30−36−42

Nahradíme odčítání sčítáním:

−30 + (−36) + (−42)

Největší společný dělitel členů −30, −36 a −42 je číslo 6. Toto číslo je společným činitelem těchto členů. Ale ze závorek vyjmeme ne 6, ale −6, protože čísla −30, −36 a −42 lze znázornit takto:

5 × (-6) = -30

6 × (−6) = −36

7 × (−6) = −42

Vyjmutí mínusu ze závorek

Při řešení problémů může být někdy užitečné vyjmout znaménko mínus ze závorek. To vám umožní zjednodušit výraz a dát jej do pořádku.

Zvažte následující příklad. Vyjměte mínus ze závorek ve výrazu −15+(−5)+(−3)

Pro přehlednost uzavřeme tento výraz do hranatých závorek, protože mluvíme o odstranění mínus z těchto závorek

(−15 + (−5) + (−3))

Chcete-li tedy vyjmout ze závorek mínus, musíte před závorky napsat mínus a napsat všechny výrazy do závorek, ale s opačnými znaménky

Vyjmuli jsme mínus ze závorek ve výrazu −15+(−5)+(−3) a dostali jsme −(15+5+3). Oba výrazy se rovnají stejné hodnotě −23

−15 + (−5) + (−3) = −23

−(15 + 5 + 3) = −(23) = −23

Proto můžeme dát rovnítko mezi výrazy −15+(−5)+(−3) a −(15+5+3), protože mají stejný význam:

−15 + (−5) + (−3) = −(15 + 5 + 3)

Ve skutečnosti, když je mínus vyjmuto ze závorek, distributivní zákon násobení opět funguje:

a(b+c) = ab + ac

Pokud prohodíme levou a pravou stranu této identity, ukáže se, že faktor A v závorkách

ab + ac = a(b+c)

Totéž se stane, když vyjmeme společný faktor v jiných výrazech a když vyjmeme mínus ze závorek.

Je zřejmé, že při vyjímání mínus ze závorek se nevyjímá mínus, ale mínus jedna. Již jsme si řekli, že je zvykem koeficient 1 nezapisovat.

Proto se před závorkami tvoří mínus a znaménka členů, které byly v závorkách, mění své znaménko na opačné, protože každý člen je dělen mínus jedničkou.

Vraťme se k předchozímu příkladu a podívejme se podrobně na to, jak bylo vlastně vyjmuto mínus ze závorek

Příklad 2 Umístěte mínus ze závorek do výrazu −3 + 5 + 11

Dáme mínus a vedle něj do závorky napíšeme výraz −3 + 5 + 11 s opačným znaménkem pro každý člen:

−3 + 5 + 11 = −(3 − 5 − 11)

Stejně jako v předchozím příkladu zde není ze závorek vyjmuto mínus, ale mínus jedna. Podrobné řešení je následující:

Nejprve jsme dostali výraz −1(3 + (−5) + (−11)), ale otevřeli jsme v něm vnitřní závorky a dostali výraz −(3 − 5 − 11) . Rozšiřování závorek je tématem příští lekce, takže pokud je pro vás tento příklad obtížný, můžete jej prozatím přeskočit.

Vyjmutí společného faktoru ze závorek v doslovném vyjádření

Vyjmutí společného faktoru ze závorek v doslovném vyjádření je mnohem zajímavější.

Nejprve se podívejme na jednoduchý příklad. Nechť je výraz 3a + 2a. Vyjmeme společný faktor ze závorek.

V tomto případě je celkový multiplikátor viditelný pouhým okem - to je multiplikátor A. Vyjmeme to ze závorek. K tomu si zapíšeme samotný násobitel A a vedle v závorce napíšeme výraz 3a + 2a, ale bez násobiče A protože je vyjmuto ze závorek:

Stejně jako v případě číselného vyjádření je zde každý člen vydělen vyjmutým společným činitelem. Vypadá to takto:

Proměnné v obou zlomcích A byly sníženy o A. Místo toho mají čitatel a jmenovatel jednotky. Jednotky byly získány díky tomu, že místo proměnné A může být libovolné číslo. Tato proměnná se nacházela jak v čitateli, tak ve jmenovateli. A pokud mají čitatel a jmenovatel stejná čísla, pak pro ně bude největším společným dělitelem toto číslo samotné.

Například pokud místo proměnné A nahradit číslo 4 , pak bude mít konstrukce následující podobu: . Potom lze čtyřky v obou zlomcích zmenšit o 4:

Dopadne to stejně jako předtím, kdy místo čtyřek byla proměnná A .

Neměli byste se proto znepokojovat snížením proměnných. Proměnná je plnohodnotný multiplikátor, i když je vyjádřen písmenem. Takový násobitel může být vyjmut ze závorek, zmenšen a další akce, které jsou pro běžná čísla přípustné.

Doslovný výraz obsahuje nejen čísla, ale také písmena (proměnné). Proto je společným faktorem, který je vyjmut ze závorek, často faktor písmen, který se skládá z čísla a písmena (koeficient a proměnná). Například následující výrazy jsou doslovné faktory:

3a, 6b, 7ab, a, b, c

Před vyjmutím takového součinitele ze závorek se musíte rozhodnout, které číslo bude v numerické části společného činitele a která proměnná bude v písmenné části společného činitele. Jinými slovy, musíte zjistit, jaký koeficient bude mít společný faktor a jaká proměnná do něj bude zahrnuta.

Zvažte výraz 10 a + 15A. Zkusme vyjmout společný faktor ze závorek. Nejprve se rozhodneme, z čeho bude společný faktor sestávat, to znamená, že zjistíme jeho koeficient a jaká proměnná do něj bude zahrnuta.

Koeficient společného násobitele musí být největším společným dělitelem koeficientů doslovného výrazu 10 a + 15A. 10 a 15 a jejich největším společným dělitelem je číslo 5. To znamená, že číslo 5 bude koeficient společného faktoru vyjmutý ze závorek.

Nyní se rozhodneme, která proměnná bude zahrnuta do společného faktoru. Chcete-li to provést, musíte se podívat na výraz 10 a + 15A a najděte faktor písmen, který je zahrnut ve všech termínech. V tomto případě je to faktor A. Tento faktor je zahrnut v každém termínu výrazu 10 a + 15A. Takže proměnná A budou zahrnuty do doslovné části společného faktoru vyjmuté ze závorek:

Teď už zbývá jen vypočítat společný faktor 5a mimo závorky. Za tímto účelem rozdělíme každý výraz výrazu 10a + 15a na 5a. Pro názornost budeme koeficienty a čísla oddělovat znaménkem násobení (×)

Zkontrolujeme výsledný výraz. Abychom to udělali, pojďme se množit 5a pro každý termín v závorce. Pokud jsme vše udělali správně, dostaneme výraz 10a + 15a

Faktor písmen nelze vždy vyjmout ze závorek. Někdy se společný faktor skládá pouze z čísla, protože ve výrazu není nic vhodného pro písmennou část.

Vezměme například společný faktor ze závorek ve výrazu 2a-2b. Zde bude společným faktorem pouze číslo 2 a mezi písmenovými faktory nejsou ve výrazu žádné společné faktory. V tomto případě se tedy vyjme pouze násobitel 2

Příklad 2 Extrahujte společný faktor z výrazu 3x + 9 let + 12

Koeficienty tohoto výrazu jsou čísla 3, 9 A 12, jejich gcd se rovná 3 3 . A mezi písmenovými faktory (proměnnými) není společný faktor. Proto je konečným společným faktorem 3

Příklad 3 Společný faktor umístěte mimo hranaté závorky ve výrazu 8x + 6 let + 4z + 10 + 2

Koeficienty tohoto výrazu jsou čísla 8, 6, 4, 10 A 2, jejich gcd se rovná 2 . To znamená, že koeficient společného faktoru vyjmutý ze závorek bude číslo 2 . A mezi písmenovými faktory není žádný společný faktor. Proto je konečným společným faktorem 2

Příklad 4. Odstraňte společný faktor 6ab + 18ab + 3abc

Koeficienty tohoto výrazu jsou čísla 6, 18 a 3, jejich gcd se rovná 3 . To znamená, že koeficient společného faktoru vyjmutý ze závorek bude číslo 3 . Doslovná část společného faktoru bude zahrnovat proměnné A A b, protože ve výrazu 6ab + 18ab + 3abc tyto dvě proměnné jsou zahrnuty v každém termínu. Proto je konečným společným faktorem 3ab

Při detailním řešení se výraz stává těžkopádným až nesrozumitelným. V tomto příkladu je to více než patrné. Je to dáno tím, že rušíme faktory v čitateli a jmenovateli. Nejlepší je si to udělat v hlavě a výsledky dělení si rovnou zapsat. Potom se výraz stane krátkým a úhledným:

Stejně jako v případě číselného výrazu může být v doslovném výrazu společný faktor záporný.

Vyjmeme například obecné z hranatých závorek ve výrazu −3a − 2a.

Pro usnadnění nahrazujeme odčítání sčítáním

−3a − 2a = −3a + (−2a )

Společným faktorem v tomto výrazu je faktor A. Ale nejen můžeme brát v úvahu A, ale také −a. Vyjmeme to z hranatých závorek:

Ukázalo se, že je to úhledný výraz −a (3+2). Nemělo by se zapomínat, že násobitel −a vlastně vypadal −1a a po redukci v obou zlomcích proměnných A, mínus jedna zůstává ve jmenovatelích. Proto nakonec dostaneme kladné odpovědi v závorce

Příklad 6. Společný faktor umístěte mimo hranaté závorky ve výrazu −6x − 6let

Nahraďte odčítání sčítáním

−6x−6y = −6x+(−6y)

Vyjmeme to ze závorek −6

Stručně zapišme řešení:

−6x − 6y = −6(x + y)

Příklad 7. Společný faktor umístěte mimo hranaté závorky ve výrazu −2a − 4b − 6c

Nahraďte odčítání sčítáním

−2a-4b-6c = −2a + (−4b) + (−6c)

Vyjmeme to ze závorek −2

Líbila se vám lekce?
Připojte se k naší nové skupině VKontakte a začněte dostávat upozornění na nové lekce

§ 10. Faktorizace polynomů metodou uvedení společného faktoru ze závorek

V 6. ročníku jsme složená čísla rozkladali na prvočinitele, to znamená, že jsme přirozená čísla prezentovali jako součin. Například 12 = 2 2 ∙ 3; 105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 dr.

Některé polynomy mohou být také reprezentovány jako součin. To znamená, že tyto polynomy lze faktorizovat. Například 5a: - 5y - 5 (x - y); a 3 a 3a 2 = a 2 (a + 3) a podobně.

Podívejme se na jeden ze způsobů faktorizace polynomů – vyjmutí společného faktoru ze závorek. Jedním z příkladů takového rozšíření, které známe, je distributivní vlastnost násobení a(b + c) = ab + ac, pokud je zapsána v opačném pořadí: ab + ac - a(b + c). To znamená, že polynom ab + ac byl rozložen na dva faktory a a b + c.

Při faktorizaci polynomů s celočíselnými koeficienty se faktor, který je vyjmut ze závorek, volí tak, že členy polynomu, který zůstává v závorkách, nemají společný písmenový faktor a moduly jejich koeficientů nemají společné dělitele.

Podívejme se na pár příkladů.

Příklad 1. Rozložte výraz:

3) 15a 3 b - 10a 2 b 2.

R a s i z a n i .

1) Společným činitelem je číslo 4, takže

8 m + 4 = 4 . 2m+ 4 ∙ 1 = 4 (2 m + 1).

2) Společným faktorem je tedy proměnná a

při + 7ap = a(t + 7p).

3) V tomto případě je společným číselným činitelem největší společný dělitel čísel 10 a 15 - číslo 5 a společným číselným činitelem je jednočlenný a 2b. Tak,

15a 3 b - 10a 2 b 2 = 5a 2 b ∙ 3a - 5a 2 b ∙ b = 5a 2 b(3a - 2b).

Příklad 2. Zohledněte:

1) 2m(b - s) + 3p(b - s);

2) x(y - t) + c(t - c).

R az v ’ i z a n n i.

1) V tomto případě je společným faktorem binom b = c.

Proto 2 m( b - S) + 3р( b - C) = (b - с) (2m + 3р).

2) Termíny mají faktory in - t - in, což jsou opačné výrazy. Proto ve druhém členu vyjmeme faktor -1 ze závorek, dostaneme: c(t - в) = -с(у - t).

Proto x(y - t) + c(t - b) = x(y - t) - c(y - t) = (y - t) (x - c).

Pro kontrolu správnosti faktorizace byste měli výsledné faktory vynásobit. Výsledek se musí rovnat danému polynomu.

Faktorování polynomů často zjednodušuje proces řešení rovnice.

Příklad 3. Najděte kořeny rovnice 5x 2 - 7x = 0.

R az v ’ i z a n n i. Rozložme levou stranu rovnice na faktorizaci vyjmutím společného faktoru ze závorek: x(5x - 7) = 0. Vzhledem k tomu, že součin je roven nule právě tehdy, když je alespoň jeden z faktorů roven nule, bude mít: x = 0 nebo 5x - 7 = 0, odkud x = 0 nebo x = 1,4.

Odpověď: 0; 1.4.

Jaká transformace se nazývá faktorizace polynomu? Na příkladu polynomu ab + ac vysvětlete, jak se provádí rozklad na činitele umístěním společného činitele mimo závorky.

1. (Ústně) Najděte společný činitel ve výrazu:

1. (Ústní) Faktor do:

1. Vyjměte společný faktor ze závorek:

1. (Ústně) správně provedl rozklady:

1) 7a + 7 = 7a;

2) 5 m - 5 = 5 (m - 5);

3) 2a-2 = 2(a-1);

4) 7xy - 14x = 7x - (y - 2);

5) 5 mn + bn = 5 m (n + 3);

6) 7ab + 8cb = 15b(a + c)?

1. Množství napište jako produkt:

1. Zvažte to:

1. Zvažte to:

4) 7a + 21ау;

5) 9x 2 - 27x;

6) 3a - 9a2;

8) 12ax - 4a 2;

9) -18xy + 24v 2;

10) a2b - ab2;

11) rm - p 2 m;

12) -x 2 y 2 - xy.

1. Vyjměte společný faktor ze závorek:

4) 15xy + 5x;

6) 15 m - 30 m2;

7) 9xy + 6x 2;

9) -p2q - pq2.

1. Zvažte to:

5) 3b2-9b3;

7) 4y2 + 12y4;

8) 5m5 + 15m2;

9) -16a 4 - 20a.

1. Zvažte to:

4) 18p3 - 12p2;

5) 14b3 + 7b4;

6) -25m 3 - 20m.

1. Zapište součet 6x 2 v + 15x jako součin a zjistěte jeho hodnotu, pokud x = -0,5, y = 5.
2. Zapište výraz 12a 2 b - 8a jako součin a najděte jeho hodnotu, jestliže a = 2, 6 = .
3. Vyjměte společný faktor ze závorek:

1) a4 + a3 - a2;

2) m9 - m2 + m7;

3) b6+b5-b9;

4) - v 7 - ve 12 - ve 3.

1. Prezentujte jej jako produkt:

1) p7 + p3 - p4;

2) a 10 - a 5 + a 8;

3) b7-b5-b2;

4) -m 8 - m 2 - m 4.

1. Spočítejte si pohodlným způsobem:

1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73;

2) 119 ∙ 37 - 19 ∙ 37.

1. Řešte rovnici:

1) x 2 - 2 x = 0;

2) x 2 + 4 x = 0.

1. Najděte kořeny rovnice:

1) x 2 + 3 x = 0;

2) x 2-7x = 0.

1) 4a3 + 2a2-8a;

2) 9b3-3b2-27b6;

3) 16 m 2 - 24 m 6 - 22 m 3;

4) -5b 3 - 20b 2 - 25b 5.

1. Vyjměte společný faktor ze závorek:

1) 5 s 8 - 5 s 7 + 10 s 4;

2) 9 m 4 + 27 m 3 - 81 m;

3) 8r 7 - 4r 5 + 10r 3;

4) 21b - 28b 4 - 14b 3.

1. Vyjměte společný faktor ze závorek:

1) 7m4 - 21m2n2 + 14m3;

2) 12a 2b - 18ab 2 + 30ab 3;

3) 8x 2 y 2 - 4x 3 v 5 + 12x 4 v 3;

4) 5p 4 q 2 - 10p 2 q 4 + 15pq 3.

1. Faktor polynomu:

1) 12a - 6a 2 x 2 - 9a 3;

2) 12b 2 palce - 18b 3 - 30b 4 palce;

3) 16bx 2 - 8b 2 x 3 + 24b 3 x;

4) 60 m 4 n 3 - 45 m 2 n 4 + 30 m 3 n 5.

1. Spočítejte si pohodlným způsobem:

1) 843 ∙ 743 - 743 2 ;

2) 1103 2 - 1103 ∙ 100 - 1103 ∙ 3.

1. Najděte význam výrazu:

1) 4,23 a - a 2, pokud a = 5,23;

2) x 2 y + x 3, jestliže x = 2,51, b = -2,51;

3) am 5 - m 6, jestliže = -1, a = -5;

4) -xy - x 2, jestliže x = 2,7, b = 7,3.

1. Najděte význam výrazu:

1) 9,11 a + a 2, pokud a = -10,11;

2) 5x 2 + 5a 2 x, pokud a = ; x = .

1. Faktor polynomu:

1) 2p(x-y) + q(x-y);

2) a(x + y) - (x + y);

3) (a-7)-b(a-7);

4) 5(a + 1) + (a + 1) 2;

5) (x + 2) 2 - x (x + 2);

6) -5 m (m - 2) + 4 (m - 2)2.

1. Vyjádřete výraz jako produkt:

1) a(x - y) + b(y - x);

2) g(b-5)-n(5-b);

3) 7x - (2b - 3) + 5y (3 - 2b);

4) (x - y) 2 - a(y - x);

5) 5 (x - 3) 2 - (3 - x);

6) (a + 1) (2b - 3) - (a + 3) (3 - 2b).

1. Zvažte to:

1) 3x(b-2) + y(b-2);

2) (m2-3)-x(m2-3);

3) a(b-9) + c(9-b);

4) 7(a + 2) + (a + 2) 2;

5) (s - m) 2 - 5 (m - s);

6) -(x + 2y) - 5(x + 2y) 2.

1. Najděte kořeny rovnice:

1) 4x 2 - x = 0;

2) 7x 2 + 28x = 0;

3) x2 + x = 0;

4) x 2 - x = 0.

1. Řešte rovnici:

1) 12x2 + x = 0;

2) 0,2 x 2 - 2 x = 0;

3) x 2 - x = 0;

4) 1 - x 2 + - x = 0.

1. Řešte rovnici:

1) x(3x + 2) - 5(3x + 2) = 0;

2) 2x(x - 2) - 5 (2 - x) = 0.

1. Řešte rovnici:

1) x(4x + 5) - 7(4x + 5) = 0;

2) 7(x - 3) - 2x (3 - x) = 0.

1) 17 3 + 17 2 je násobek 18;

2) 9 14 - 81 6 je násobek 80.

1. Dokažte, že význam výrazu je:

1) 39 9 - 39 8 je děleno 38;

2) 49 5 - 7 8 je děleno 48.

1. Vyjměte společný faktor ze závorek:

1) (5 m - 10) 2;

2) (18a + 27b)2.

1. Najděte kořeny rovnice:

1) x(x - 3) = 7x - 21;

2) 2x(x - 5) = 20 - 4x.

1. Řešte rovnici:

1) x(x - 2) = 4x - 8;

2) 3x(x - 4) = 28 - 7x.

1. Dokažte, že číslo:

1) 10 4 + 5 3 je dělitelné 9;

2) 4 15 - 4 14 + 4 13 je děleno 13;

3) 27 3 - 3 7 + 9 3 je děleno 25;

4) 21 3 + 14 a - 7 3 je děleno 34.

Cvičení k opakování

1. Zjednodušte výraz a najděte jeho význam:

1) -3x 2 + 7x 3 – 4x 2 + 3x 2, pokud x = 0,1;

2) 8m + 5n - 7m + 15n, pokud m = 7, n = -1.

1. Napište místo hvězdiček následující monomiální koeficienty, aby se rovnost změnila na identitu:

1) 2 m 2 - 4 mn + n 2 + (* m 2 - * m - * n 2) = 3 m 2 - 9 mn - 5n 2;

2) 7x 2 - 10y 2 - xy - (*x 2 - *xy + * 2) = -x 2 + 3y 2 + xy.

1. Délka obdélníku je trojnásobkem jeho šířky. Pokud se délka obdélníku zmenší o 5 cm, jeho plocha se zmenší o 40 cm2. Najděte délku a šířku obdélníku.

Zajímavé úkoly pro líné žáky

Je známo, že a< b < с. Могут ли одновременно выполняться неравенства |а| >|s| a |b|< |с|?

Chichaeva Darina 8. třída

Žák 8. ročníku v práci popsal pravidlo pro dělení mnohočlenu tak, že společný činitel vyřadil ze závorek s podrobným postupem řešení mnoha příkladů na toto téma. Pro každý analyzovaný příklad jsou nabídnuty 2 příklady pro nezávislá řešení, na které jsou odpovědi. Práce pomůže ke studiu tohoto tématu těm studentům, kteří jej z nějakého důvodu nezvládli při absolvování programové látky pro 7. ročník a (nebo) při opakování kurzu algebry v 8. ročníku po letních prázdninách.

Stažení:

Náhled:

Obecní rozpočtová vzdělávací instituce

střední škola č. 32

"Přidružená škola UNESCO "Eureka Development"

Volžskij, Volgogradská oblast

Práce dokončena:

Žák 8B třídy

Chichaeva Darina

Volžského

2014

Vyjmutí společného faktoru ze závorek

• - Jedním ze způsobů, jak faktorizovat polynom, jeuvedení společného činitele ze závorek;
• - Při vyjímání obecného násobitele ze závorek se použijedistribuční vlastnictví;
• - Pokud všechny členy polynomu obsahují společný faktor pak tento faktor lze vyjmout ze závorek.

Při řešení rovnic, při výpočtech a řadě dalších problémů může být užitečné nahradit polynom součinem několika polynomů (které mohou zahrnovat monočleny). Reprezentace polynomu jako součinu dvou nebo více polynomů se nazývá faktorizace polynomu.

Zvažte polynom 6a 2 b+15b 2 . Každý z jeho členů může být nahrazen součinem dvou faktorů, z nichž jeden se rovná 3b: →6a 2 b = 3b*2a2, + 15b 2 = 3b*5b → z toho dostaneme: 6a2b+15b2=3b*2a2+3b*5b.

Výsledný výraz založený na distribuční vlastnosti násobení lze reprezentovat jako součin dvou faktorů. Jedním z nich je společný násobitel 3b , a druhý je součet 2a 2 a 5b→ 3b*2a 2 +3b*5b=3b(2a 2 +5b) →Tak jsme rozšířili polynom: 6a 2 b+15b 2 do faktorů, představujících jej jako produkt monomiálu 3b a polynom 2a 2 +5b. Tato metoda faktorizace polynomu se nazývá vyjmutí společného faktoru ze závorek.

Příklady:

Zvažte to:

A) kx-px.

Násobitel x x vyjmeme to ze závorek.

kx:x=k; px:x=p.

Dostaneme: kx-px=x*(k-p).

b) 4a-4b.

Násobitel 4 existuje v 1. i 2. termínu. Proto 4 vyjmeme to ze závorek.

4a:4=a; 4b:4=b.

Dostaneme: 4a-4b=4*(a-b).

c) -9m-27n.

9m a -27n jsou dělitelné -9 . Proto vyjmeme číselný faktor ze závorek-9.

9m: (-9)=m; -27n: (-9)=3n.

Máme: -9m-27n=-9*(m+3n).

d) 5 let 2 -15 let.

5 a 15 jsou dělitelná 5; y 2 a y jsou děleno y.

Proto společný faktor vyjmeme ze závorek 5у.

5y2: 5y=y; -15y: 5y=-3.

Takže: 5y 2 -15y=5y*(y-3).

Komentář: Ze dvou stupňů se stejným základem vyjmeme stupeň s menším exponentem.

e) 16у 3 + 12у 2.

16 a 12 jsou dělitelné 4; y 3 a y 2 jsou dělené y 2.

Takže společný faktor 4 roky 2.

16y3:4y2=4y; 12y2:4y2=3.

V důsledku toho dostaneme: 16y 3 +12y 2 = 4y 2 *(4y+3).

f) Faktor polynomu 8b(7y+a)+n(7y+a).

V tomto výrazu vidíme, že je přítomen stejný faktor(7 let + a) , které lze vyjmout ze závorek. Takže dostáváme:8b(7y+a)+n(7y+a)=(8b+n)*(7y+a).

g) a(b-c)+d(c-b).

Výrazy b-c a c-b jsou opačné. Proto, aby byly stejné, dříve d změňte znaménko „+“ na „-“:

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c).

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c)=(b-c)*(a-d).

Příklady nezávislých řešení:

1. mx+my;
2. ah+ay;
3. 5x+5y ;
4. 12x+48y;
5. 7ax+7bx;
6. 14x+21r;
7. –ma-a;
8. 8mn-4m2;
9. -12y 4 -16y;
10. 15y3-30y2;
11. 5c(y-2c)+y2(y-2c);
12. 8m(a-3)+n(a-3);
13. x(y-5)-y(5-y);
14. 3a(2x-7)+5b(7-2x);

Odpovědi.

1) m(x+y); 2) a(x+y); 3) 5(x+y); 4) 12(x+4y); 5) 7х(a+b); 6) 7(2x+3y); 7) -a(m+1); 8) 4m(2n-m);

9) -4y(3y3+4); 10) 15u2 (u-2); 11) (y-2c) (5c+y2); 12) (a-3) (8m+n); 13) (y-5) (x+y); 14) (2x-7)(3a-5b).

V tomto článku se zaměříme na vyjmutí společného faktoru ze závorek. Nejprve si ujasněme, z čeho se tato transformace výrazu skládá. Dále si představíme pravidlo pro umístění společného činitele mimo závorky a podrobně zvážíme příklady jeho použití.

Navigace na stránce.

Například členy ve výrazu 6 x + 4 y mají společný faktor 2, který není výslovně zapsán. Lze to vidět pouze po reprezentaci čísla 6 jako součinu 2,3 ​​a 4 jako součinu 2,2. Tak, 6 x+4 y=2 3 x+2 2 y=2 (3 x+2 y). Jiný příklad: ve výrazu x 3 +x 2 +3 x mají členy společný faktor x, který se jasně zviditelní po nahrazení x 3 x x 2 (v tomto případě jsme použili) a x 2 x x. Po vyjmutí ze závorek dostaneme x·(x 2 +x+3) .

Řekněme samostatně o vyřazení mínus ze závorek. Ve skutečnosti, dát mínus ze závorek znamená dát mínus jedna ze závorek. Vyberme například mínus ve výrazu −5−12·x+4·x·y. Původní výraz lze přepsat jako (−1) 5+(−1) 12 x−(−1) 4 x y, odkud je dobře patrný společný součinitel −1, který vyjmeme ze závorek. V důsledku toho dospějeme k výrazu (−1)·(5+12·x−4·x·y), ve kterém je koeficient −1 nahrazen jednoduše mínusem před závorkami, ve výsledku máme −( 5+12·x−4·x· y) . Odtud je jasně vidět, že když se ze závorek vyjme mínus, v závorkách zůstane původní součet, ve kterém byla znaménka všech jeho členů změněna na opak.

Na závěr tohoto článku poznamenáváme, že závorkování společného faktoru se používá velmi široce. Lze jej například použít k efektivnějšímu výpočtu hodnot číselných výrazů. Vyjmutí společného faktoru z hranatých závorek vám také umožňuje reprezentovat výrazy ve formě součinu, konkrétně jedna z metod faktorizace polynomu je založena na vylučování.

Bibliografie.

• Matematika. 6. třída: vzdělávací. pro všeobecné vzdělání instituce / [N. Ya. Vilenkin a další]. - 22. vyd., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.

V průběhu různých matematických operací při práci s rovnicemi a rovnostmi je často možné výrazně zjednodušit všechny operace umístěním určitého společného činitele mimo samotný výraz. To umožňuje nejen zmenšit velké skupiny polynomu, ale také zjednodušit samotný proces řešení.

Přidání multiplikátoru vám také umožní zbavit se zbytečných kroků a optimalizovat proces výpočtu. V tomto videonávodu podrobně prostudujeme možnosti postupu odstranění. Uvažujme například výraz v následujícím tvaru:

Musíme to transformovat tak, aby bylo vzhledem ke známým hodnotám všech proměnných snadné vypočítat hodnotu celého polynomu. Dejme a=1, c=2, x=5. Všimněme si, že oba členy polynomu mají společnou část - faktor-proměnnou x. Lze jej snadno vyjmout ze závorek podle distributivního zákona násobení:

ax + cx = x(a + c)

Abychom našli správnou stranu této rovnosti, je nutné vydělit každý monočlen původního polynomu schváleným společným faktorem (v tomto případě x), zapsat kvocient jako algebraický součet do závorek a samotný faktor umístit před z nich. Podle zadaných hodnot proměnných získáme:

ax + cx = x(a + c) = 5(1 + 2) = 15

Video tutoriál zdůrazňuje, že umístěním násobitele mimo hranaté závorky v uvedeném příkladu se počet kroků výpočtu snížil ze tří na dva. U složitějších cviků může být efekt zjednodušení ještě výraznější. A mnoho rovnic je velmi obtížné vyřešit bez použití multiplikační metody.

Obecně se vyjmutí společného faktoru ze závorek v polynomech nazývá proces rozkladu polynomu na jednotlivé faktory. Ke zpracování dat se používá následující algoritmus:

1. Pracovní skupina výrazu (polynom) je zvýrazněna;
2. Hledá se vhodný faktor, kterým by mohl být každý monomiál rozdělen;
3. Jednočleny se dělí vybraným faktorem a výsledky se zapisují místo monočlenů jako algebraický součet;
4. Výsledný polynom se umístí do závorek a před ně se umístí společný faktor.

Problémy často nastávají při výběru násobilky. Za prvé, musí odpovídat maximálnímu počtu monomií, ideálně dělit všechny monomily. Za druhé, ve složitých problémech je nutné vybrat faktor takový, aby umožnil řešení celého cvičení dále provádět a usnadnit celý postup. Zpravidla, pokud neexistuje žádná přísná podmínka zvenčí (například v rovnicích), pak se faktor volí podle zásad: vhodný pro všechny monomiály a největší co do stupně a koeficientu proměnné. Jinými slovy, multiplikátor musí zahrnovat všechny proměnné, největší možnou mocninu a největší násobek číselného koeficientu. Podívejme se na příklad:

2x 2 roky - 8x 2 roky + 4x 2 +4x 3 roky 2

Je zcela zřejmé, že v tomto výrazu pro všechny monomiály bude nejpřijatelnějším násobitelem proměnná x, braná na druhou mocninu (maximálně přípustná) a s číselným koeficientem rovným 2, tzn. 2x 2:

2x 2 roky - 8x 2 roky + 4x 2 + 4x 3 roky 2 = 2x 2 (y - 4 roky + 2xy 2) = 2x 2 (2xy 2 - 3 roky)

Provedeme akce v závorkách a dostaneme konečnou odpověď, která je součinem polynomu a monomiálního faktoru.

Podívejme se na další příklad. Je nutné transformovat výraz takto:

2x(4-y) + x(y-4)

Na první pohled je zde obtížné ze závorek něco vyndat, kromě proměnné x, jejíž odstraněním vzniknou dvojité závorky a polynom jen zkomplikuje, takže tento krok je nevhodný. Při dodržení standardní logiky a základních pravidel matematického sčítání však můžeme s jistotou napsat, že:

(y-4) = -(4-y)

Pokud se dovnitř vnese mínus pravého výrazu, všechna vnitřní znaménka se změní na opak a vytvoří výraz zcela shodný s levou stranou. Proto by bylo správné napsat:

2x(4-y) + x(y-4) = 2x(4-y) - x(4-y)

Nyní oba členy polynomu obsahují společný faktor (4-y), který lze snadno vyjmout ze závorek pokračováním dalších výpočtů:

2x(4-y) - x(4-y) = (4-y)(2x - x) = (4-y)x = 4x - yx

Poslední dvě fáze výpočtů se netýkají obecného postupu přiřazování násobitele a jsou individuálním řešením tohoto příkladu. Samotný proces odčítání nám dává součin dvou elementárních binomů.