Řešení typických problémů. d) objeví se sudé číslo. Najděte pravděpodobnost výroby nestandardního dílu

Známý:náhodná veličina – 2YPoužití nejjednodušších distribučních zákonů = 0,1;

Známý:exponenciální s parametremlnormální s parametry– exponenciální s parametrem .

stejnoměrné v intervalum Z se rovná: Z .

= 14; a = 10; b = 15.

Známý:Problém 11 – Z = 7XPravděpodobnost zásahu náhodné veličiny=4; s = 3;

Známý:náhodná veličina – X (3; 7);

Známý:exponenciální s parametrem – 2YPoužití nejjednodušších distribučních zákonů = 0,1;

Známý:Z = 4Xl7Y– distribuováno podle zákona:.

stejnoměrné v intervalum Z = 9X se rovná: Z = 9X .

= 14; a = 10; b = 15.

Známý:Problém 11 – 4Y

Známý:náhodná veličina – X (8; 12) ;

Známý:exponenciální s parametremlW– W = 3X + 2Y .

stejnoměrné v intervalum Z se rovná: Z .

= 14; a = 10; b = 15.

Známý:Problém 11 – 2YPoužití nejjednodušších distribučních zákonů = 0,05;

Známý:náhodná veličina – 6Z

Známý:exponenciální s parametremlw– počet bodů vržených na kostce; .

stejnoměrné v intervalum Z se rovná: Z .

= 14; a = 10; b = 15.

Známý:exponenciální s parametrem – Z = 6X

Známý:náhodná veličina – 11Y

distribuováno podle zákona:Z=5X x 13Y 2 ] =16 .

standardní normální;jednotný na intervalu (4; 8);· Problém 11· exponenciální s parametrem– pro náhodnou veličinu .

stejnoměrné v intervalum Z se rovná: Z .

= 14; a = 10; b = 15.

Známý:Problém 11 – Xm;

Známý:náhodná veličina – = 4; M[ X

Známý:exponenciální s parametremlnormální s parametry– náhodná proměnná je: .

stejnoměrné v intervalum Z se rovná: Z .

= 14; a = 10; b = 15.

Známý:Problém 11W=4 :

Známý:náhodná veličina – 10Ys = 5;

Známý:exponenciální s parametremlw– počet emblémů při vhození 10 mincí .

stejnoměrné v intervalum Z se rovná: Z .

= 14; a = 10; b = 15.

Známý:Problém 11 – 2YPoužití nejjednodušších distribučních zákonů = 0,1;

Známý:náhodná veličina – součet bodů na dvou kostkách;

Známý:Z = 4X– 17Y– 7; 7);

Známý:exponenciální s parametremdistribuovány podle zákona: normální s parametry a=5;– 8Y– počet číslic „6“ při hodu třemi kostkami; .

stejnoměrné v intervalum Z se rovná: Z .

jednotný na intervalu (

Podrobit: rovná se

Z = 3X

3Y

4W

Problém 12

Opakující se experimenty.

Binomické rozdělení a jeho limitní případy

Pravděpodobnost výhry na automatu je 0,05.

Jaká je pravděpodobnost, že po 50 pokusech bude výhra?

přijato alespoň 2x?

Ve streamu je 100 studentů. Každý z nich může složit zkoušku z teorie pravděpodobnosti s pravděpodobností 0,7. Jaká je pravděpodobnost, že u zkoušky uspěje alespoň 70 % studentů?

Ze všech výrobků scházejících z montážní linky je 5 % vadných.

Ke kontrole je náhodně vybráno 7 produktů. Jaká je pravděpodobnost

že mezi nimi bude alespoň jeden vadný?

Pravděpodobnost poruchy při aktivaci relé je 0,05. co je

pravděpodobnost, že z 50 relé nebudou fungovat alespoň tři?

Během záruční doby selže v průměru 3 %.

produkty vyráběné společností. Najděte pravděpodobnost, že

z 50 prodaných položek nebudou vráceny více než dvě.

Jaká je pravděpodobnost, že za 50 hodů mincí bude erb

objeví se ne více než 15krát?

Jaká je pravděpodobnost, že se v 5 hodech kostkou objeví číslo „6“ alespoň 3x?

Dílna zaměstnává 80 lidí. Každý z nich nemusí dosáhnout

práce s pravděpodobností 0,05. Jaká je pravděpodobnost, že číslo

Nebudou chybět v práci více než tři?

Problém 13

Problém 3: Tok událostí. Náhodné tečkové pole

Metr krychlový vody obsahuje v průměru 100 částic těžkých kovů. Odebere se vzorek o objemu 2 litry. Najděte pravděpodobnost, že v něm bude detekována alespoň jedna částice.

Sklad vybavení obdrží průměrně 5 požadavků denně.

Další přihláška dorazila v 10 00 . 00 Jaká je pravděpodobnost, že další dorazí v intervalu od 15 00 ?

do 17

Porucha dopravníku se vyskytuje v průměru jednou za 2 hodiny.

Jaká je pravděpodobnost, že během 8hodinové pracovní směny se dopravník zastaví maximálně 2x? 00 Meziměstská telefonní ústředna přijme v průměru 5 hovorů za hodinu. Najděte pravděpodobnost, že s 12 00 až 15

nebudou přijata více než 4 hovory.

Elektrická síť je přetížena v průměru 3x denně.

Jaká je pravděpodobnost, že během 8hodinové pracovní směny nedojde k jedinému přetížení?

Ve městě dochází v průměru k 5 dopravním nehodám za hodinu. 00 Jaká je pravděpodobnost, že od 10 00 až 14

nebude více než 8 nehod?

Na čerpací stanici přijede v průměru 5 aut za hodinu. 00 Jaká je pravděpodobnost, že od 10 00 Jaká je pravděpodobnost, že od 12

Přijede na čerpací stanici alespoň šest aut?

V průměru má role papíru defekt každých 5 metrů.

Jaká je pravděpodobnost, že plech o délce 8 metrů bude bez vad?

Kancelářský telefon zvoní v průměru každých 10 minut. co je 00 pravděpodobnost, že od 15 00 až 16

nebudou více než 4 hovory?

Při výrobě magnetických pásek dochází k defektům v

v průměru každých 500 metrů. Jaká je pravděpodobnost, že zakoupená kazeta s délkou filmu 200 metrů nebude mít žádné vady?Úkol 1.

Písmena p, p, s, o, t jsou napsána na 5 kartách rozstříhané abecedy. Zamíchané kartičky se vyjímají náhodně po jednom a seřadí se do jedné řady. Jaká je pravděpodobnost, že přečtete slovo „sport“?Řešení. Požadovaná pravděpodobnost události(můžete číst slovo „sport“) bude určeno vzorcem. Zde je celkovým počtem možných výsledků počet permutací 5 prvků. Příznivé výsledky odpovídají jednomu slovu „sport“, tzn. Tedy, .

Úkol 2. Z 9 karet očíslovaných různými čísly jsou náhodně vybrány 3. Najděte pravděpodobnost, že sekvenční záznam jejich čísel vykazuje nárůst.

Písmena p, p, s, o, t jsou napsána na 5 kartách rozstříhané abecedy. Zamíchané kartičky se vyjímají náhodně po jednom a seřadí se do jedné řady. Jaká je pravděpodobnost, že přečtete slovo „sport“? Trojciferná čísla - uspořádané trojice prvků o 9 číslicích - jsou uspořádání od 9 do 3, tzn. . Počet příznivých výsledků. Požadovaná pravděpodobnost je tedy .

Úkol 3. Mezi 17 studenty ve skupině 9 chlapců se losuje 7 losů a každý student si může vybrat pouze jeden los. Jaká je pravděpodobnost, že mezi držitelkami vstupenky budou 4 dívky?

Písmena p, p, s, o, t jsou napsána na 5 kartách rozstříhané abecedy. Zamíchané kartičky se vyjímají náhodně po jednom a seřadí se do jedné řady. Jaká je pravděpodobnost, že přečtete slovo „sport“? Označme událost Požadovaná pravděpodobnost události– mezi 7 držiteli vstupenek budou 4 dívky. Počet stejně možných způsobů výběru 7 lidí ze 17 se rovná .

Počet příznivých výsledků, tj. počet vzorků 7, ve kterých jsou 4 dívky kombinovány se 3 chlapci, je určen pravidlem součinu. Pak požadovaná pravděpodobnost .

Úkol 4.Úsek prodejny obdržel 10 jízdních kol, z toho 4 vadná. Vybráno náhodně 3. Najděte pravděpodobnost, že mezi vybranými budou: a) všechny bez závad; b) všechny stejné kvality.

Písmena p, p, s, o, t jsou napsána na 5 kartách rozstříhané abecedy. Zamíchané kartičky se vyjímají náhodně po jednom a seřadí se do jedné řady. Jaká je pravděpodobnost, že přečtete slovo „sport“? a) Událost Požadovaná pravděpodobnost události– všechny 3 náhodně odebrány z 10 jízdních kol bez závad. Počet možných výsledků. Ze 6 dostupných metod lze vybrat tři jízdní kola bez závad. Požadovaná pravděpodobnost .

b) Událost V– všechna 3 kola jsou stejně kvalitní, tzn. nebo 3 použitelné, nebo 3 s vadami. Tři dobré ze 6 lze vybrat různými způsoby a 3 s vadami lze vybrat ze 4 dostupných způsobů. Celkový počet způsobů výběru 3 jízdních kol stejné kvality pomocí pravidla součtu je . Proto, .

Úkol 5. Tenká jehla (hrot) je hozena na segment . Jaká je pravděpodobnost, že zasáhne segment?

Písmena p, p, s, o, t jsou napsána na 5 kartách rozstříhané abecedy. Zamíchané kartičky se vyjímají náhodně po jednom a seřadí se do jedné řady. Jaká je pravděpodobnost, že přečtete slovo „sport“? Podle stavu může jehla spadnout v libovolném bodě zadaného segmentu. V tomto případě není možné vypsat všechny body segmentu. Použijme geometrickou definici a jako míru zvolíme délku segmentu. Pro nás zajímavou událost je zvýhodněna situace, kdy ručička spadne v libovolném bodě segmentu. Pak .

Úkoly hlásit učiteli

A 1.1. Písmena k, a, p, e, t, a jsou napsána na 6 kartičkách. Poté, co jsou důkladně promíchány, vezměte náhodně 1 kartu a položte je postupně vedle sebe. Jaká je pravděpodobnost, že padne slovo „raketa“?

A 1.2. Slovo „statistika“ je vyloženo z rozdělené abecedy. Poté se všechna písmena tohoto slova smíchají a znovu rozloží v náhodném pořadí. Jaká je pravděpodobnost, že se znovu objeví slovo „statistika“?

A 1.3. Slovo "trojúhelník" je vyrobeno z rozdělené abecedy. Dítě, které neumí číst, rozházelo tato písmena a pak si vybralo 4 z nich a posbíralo je v náhodném pořadí. Najděte pravděpodobnost, že bude mít slova: a) „kormidlo“; b) "úhel".

A 1.4. Telefonní číslo se skládá ze 7 číslic. Jaká je pravděpodobnost, že v něm: a) jsou všechna čísla různá; b) všechna čísla jsou lichá; c) jsou všechna čísla odlišná a sudá?

A 1.5. 30 znaků abecedy je přenášeno v náhodném pořadí po komunikační lince. Najděte pravděpodobnost, že se na pásce objeví sekvence písmen tvořících slovo „mode“.

A 1.6. Při vytáčení telefonního čísla účastník zapomněl poslední dvě číslice a pamatoval si pouze to, že se liší, vytočil tato čísla náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že bude vytočeno správné číslo?

A 1.7. Do výtahu sedmipatrové budovy v prvním patře nastoupili tři lidé. Každý z nich má stejnou pravděpodobnost výstupu v kterémkoli z podlaží, počínaje 2. Najděte pravděpodobnost následujících událostí: a) všichni cestující vystoupí ve 4. patře; b) všichni cestující vystoupí ve stejnou dobu (ve stejném patře); c) všichni cestující vystoupí v různých podlažích.

A 1.8. Krabička obsahuje 4 stejně očíslované kostky. Náhodně jednu po druhé vyjměte z krabice všechny kostky. Najděte pravděpodobnost, že se čísla nakreslených kostek objeví ve vzestupném pořadí.

A 1.9. Pětimístné číslo je vybráno náhodně. Jaká je pravděpodobnost následujících událostí: a) číslo se čte stejně zleva doprava i zprava doleva (například 12321); b) číslo je násobkem 5; c) číslo se skládá z lichých číslic.

A 1.10. Na pondělí jsou v ústavu naplánovány 3 přednášky z různých předmětů z 10 studovaných v tomto kurzu. Jaká je pravděpodobnost, že student, který se nestihl seznámit s rozvrhem, uhodne, zda je stejně možný jakýkoli rozvrh 3 předmětů?

A 1.11. Z kompletní sady domino (28 kusů) je náhodně vybráno 7 dlaždic. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi bude: a) alespoň jedna kostka s 5 body; b) alespoň jedna kostka s 5 nebo 6 body?

A 1.12. Z prvních 10 písmen ruské abecedy je náhodně sestavena nová abeceda skládající se z 5 písmen. Určete pravděpodobnost následujících událostí: a) nová abeceda obsahuje písmeno „a“; b) nová abeceda obsahuje pouze souhlásková písmena.

A 1.13. Mezi kandidáty do studentské rady fakulty jsou 3 studenti prvního ročníku, 5 studentů druhého ročníku a 7 studentů třetího ročníku. Z tohoto složení je náhodně vybráno 5 lidí na konferenci. Najděte pravděpodobnost následujících událostí: a) budou vybráni pouze studenti třetího ročníku; b) konference se zúčastní všichni studenti prvního ročníku; c) nebude vybrán ani jeden druhák.

A 1.14. Z balíčku 52 karet se náhodně losují 4 karty. Najděte pravděpodobnost následujících událostí: a) jsou vybrány všechny karty klubové barvy; b) je vybrán alespoň jeden král.

A 1.15. Dvě lodě se musí přiblížit ke stejnému molu. Časy příjezdu obou lodí jsou nezávislé a stejně možné během daného dne. Určete pravděpodobnost, že jeden z parníků bude muset čekat na uvolnění kotviště, pokud doba pobytu první lodi je 1 hodina a druhá 3 hodiny.

A 1.16. 12 možností testu je napsáno na samostatných kartách, které jsou náhodně rozděleny mezi 10 studentů sedících ve stejné řadě. Najděte pravděpodobnost následujících událostí: a) možnosti s číslem 4 a 5 zůstanou nevyužity; b) možnost 5 a 10 připadne studentům, kteří sedí vedle nich; c) budou distribuována po sobě jdoucí čísla opcí.

A 1.17. Mezi 10 studenty náhodně stojícími v knihovně na učebnice jsou 2 kamarádi. Jaká je pravděpodobnost, že ve frontě mezi přáteli budou 4 lidé?

A 1.18. Z celkového počtu kostek domina byla náhodně vybrána 1 dlaždice. Ukázalo se, že se nejedná o dvojníka. Jaká je pravděpodobnost, že 2. vylosovaná kostka domina může být umístěna na první?

A 1.19. U vchodu do domu je zámek s kódem. Dveře se automaticky odemknou, pokud po sobě vytočíte 2 číslice z 10 dostupných. Někdo vstoupil do vchodu a neznal kód a začal zkoušet různé kombinace a na každý pokus strávil 10 sekund. Jaká je pravděpodobnost, že vstupující osoba bude moci otevřít dveře: a) za 10 minut; b) za 15 minut; c) za 1 hodinu?

A 1,20. Z telefonního seznamu je náhodně vybráno 7místné telefonní číslo. Najděte pravděpodobnost, že: a) poslední čtyři číslice telefonního čísla jsou stejné; b) všechny čtyři poslední číslice jsou různé.

A 1.21. Krabice obsahuje 15 dílů, z toho 9 lakovaných. Assembler náhodně vybere 3 díly. Najděte pravděpodobnost, že jsou extrahované části barevné.

A 1.22. Skupina 8 chlapců a 8 dívek je náhodně rozdělena na 2 stejné části. Najděte pravděpodobnost, že je v každé části stejný počet chlapců a dívek.

A 1,23. Jsou hozeny dvě kostky. Najděte pravděpodobnost, že součet vylosovaných bodů bude roven 8 a rozdíl bude 4.

A 1,24.Čísla 1, 2, 3, 4, 5 jsou napsána na 5 kartách, z nichž dvě jsou taženy za sebou. Najděte pravděpodobnost, že číslo na 2. kartě bude větší než číslo na 1. kartě.

A 1,25. Zkouškový program obsahuje 20 různých otázek, z nichž student zná pouze 10. K úspěšnému složení zkoušky stačí odpovědět na 2 ze 3 navržených otázek. Jaká je pravděpodobnost úspěšného složení zkoušky?

A 1,26. Student zná 20 z 25 otázek v programu. Test je považován za úspěšný, pokud student odpoví alespoň na 3 ze 4 otázek na tiketu. Při pohledu na 1. otázku lístku student zjistil, že to ví. Jaká je pravděpodobnost, že žák: a) uspěje v testu; b) neprojde testem?

A 1,27. V loterii je 100 tiketů. Z toho je 25 vítězných. Určete pravděpodobnost, že vyhrají 2 zakoupené tikety.

A 1,28. Registr kalkulačky obsahuje 8 číslic. Za předpokladu, že výskyt libovolného čísla v registru je náhodný, určete pravděpodobnost následujících událostí: a) všechny číslice obsahují nuly; b) všechny číslice obsahují stejná čísla; c) registr obsahuje pouze 2 stejné číslice; d) registr obsahuje pouze 2 páry stejných číslic; e) registr obsahuje 3 stejné číslice.

A 1,29. Ze 7 jablek, 3 pomerančů a 5 citronů je náhodně vybráno 5 ovoce do sáčku. Najděte pravděpodobnosti následujících událostí: a) v sáčku je pouze 1 pomeranč; b) balení neobsahuje pomeranče; c) balení neobsahuje citrony; d) balení neobsahuje jablka.

A 1.30. 6 předplatitelských publikací je vylosováno mezi 12 účastníky, z nichž každý nemůže obdržet více než 1 předplatné. Najděte pravděpodobnost, že předplatné obdrží následující lidé ze seznamu: a) prvních 6 lidí; b) první 3 osoby; c) 1. osoba; d) 1. a 3. osoba.

A 1,31. Náhodně jsou vrženy 3 kostky. Vypočítejte pravděpodobnosti následujících událostí: a) 3 kostky budou mít různé tváře; b) alespoň jedna z kostek hodí šestku.

A 1,32. Krabička obsahuje 12 červených, 8 zelených a 10 modrých tužek. 2 tužky jsou náhodně odebrány bez vrácení. Najděte pravděpodobnost, že nebudou vyjmuty: a) modrá tužka; b) zelená tužka; c) červenou tužkou.

A 1,33.Žák zná 14 otázek z 20. Na lístku jsou 3 otázky. Najděte pravděpodobnost, že student odpoví alespoň na jednu z nich.

A 1,34.Čtverec je vepsán do kruhu. Najděte pravděpodobnost, že bod náhodně hozený do kruhu skončí uvnitř čtverce.

A 1,35.Černé a bílé věže jsou umístěny náhodně na šachovnici. Jaká je pravděpodobnost, že se nemohou trefit?

A 1,36. Při vytáčení telefonního čísla účastník zapomněl poslední dvě číslice a vytočil je náhodně, přičemž si pamatoval pouze to, že tato čísla jsou lichá a různá. Najděte pravděpodobnost, že je číslo vytočeno správně.

A 1,37. Písmena jsou na kartách napsána samostatně: Požadovaná pravděpodobnost události– o 3;
E– dne 1.; A– dne 1.; NA– dne 1.; M– o 2; T- na 2 kartách.
Dítě vezme karty v náhodném pořadí a položí je jednu vedle druhé. Najděte pravděpodobnost, že výsledkem bude slovo " MATEMATIKA».

A 1,38. Do formace je náhodně přiřazeno 10 rekrutů různých výšek. Jaká je pravděpodobnost, že budou seřazeny podle výšky?

A 1,39. Mezi hodinkami přijatými k opravě vyžaduje 40 % celkové čištění mechanismu. Jaká je pravděpodobnost, že z 5 náhodně odebraných hodinek potřebují všechny vyčistit?

A 1,40. Z 20 spořitelen se 10 nachází mimo město. Ke kontrole bylo náhodně vybráno 5 spořitelen. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň 2 z nich budou ve městě?

V 1.1. Mechanismus obsahuje tři stejné části. Činnost mechanismu je narušena, pokud jsou při jeho montáži dodány všechny tři díly o velikosti větší, než je uvedeno na výkresu. Assembler má pět ze zbývajících 12 větších dílů. Najděte pravděpodobnost: a) normální; b) abnormální činnost prvního mechanismu sestaveného z těchto dílů, pokud montážník odebírá díly náhodně.

V 1.2. Mechanismus obsahuje tři stejné části. Činnost mechanismu je narušena, pokud jsou při jeho montáži dodány všechny tři díly, velké nebo všechny tři díly menší než je rozměr uvedený na výkresu. Sestavovači zbylo 15 dílů, z nichž 10 je rozměrově větších a zbytek je menší, než je požadováno. Najděte pravděpodobnost abnormální činnosti prvního mechanismu sestaveného z těchto dílů, pokud montér vezme díly náhodně.

V 1.3. Při příjmu šarže produktů je zkontrolována polovina produktů. Podmínkou přijetí je přítomnost vad ve vzorku nejvýše 2 %. Vypočítejte pravděpodobnost, že bude přijata šarže 100 produktů obsahujících 5 % vad.

V 1.4. slovo " INTEGRÁLNÍ“ se skládá z písmen rozdělené abecedy. Náhodně se vylosují 4 karty a umístí se do řady jedna po druhé v pořadí vzhledu. Jaká je pravděpodobnost, že to povede ke slovu „ HRA»?

V 1.5.Požadovaná pravděpodobnost události», « G», « A», « L», « M», « O», « R», « T", slovo " ALGORITMUS»?

V 1.6. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném uspořádání kostek s písmeny " O», « O», « O», « L», « M», « T», « NA", slovo " KLADIVO»?

V 1.7. Z pěti druhů pohlednic jsou náhodně vybrány 3 pohlednice. Jaká je pravděpodobnost, že se všechny tři karty budou lišit?

V 1.8.Čísla jsou napsána na 5 stejných kuličkách 1 , 2 , 3 , 4 , 5 - jeden pro každého. Kuličky se vloží do urny a smíchají se. Jaká je pravděpodobnost, že náhodným losováním 3 kuliček za sebou (aniž bychom se vrátili) získáme všechny 3 koule lichého čísla?

V 1.9. Ve skupině je 12 žáků, z toho 10 chlapců a 2 dívky. Pro úklid je vybráno 5 lidí. Jaká je pravděpodobnost, že se obě dívky zúčastní úklidové akce?

Kombinatorika studuje způsoby, jak počítat počet prvků v konečných množinách. Kombinatorické vzorce se používají k přímému výpočtu pravděpodobností.
Nazývají se množiny prvků sestávající ze stejných různých prvků a lišících se od sebe pouze svým pořadím permutace tyto prvky. Počet možných permutací z n prvky jsou označeny a toto číslo se rovná n! (čti "en-factorial"):
\(P_n=n\) (1.3.1)
Kde
. (1.3.2)

Poznámka 1. Pro prázdnou sadu platí konvence: prázdnou sadu lze objednat pouze jedním způsobem; z definice věřit.

Umístění se nazývají sady složené z n různé prvky podle m prvky, které se liší buď složením prvků, nebo svým pořadím. Počet všech možných umístění je určen vzorcem
. (1.3.3)

Kombinace z n různé prvky podle m se nazývají množiny obsahující m prvky z řad n dané a které se liší alespoň v jednom prvku. Počet kombinací n prvky podle m stát pro: nebo . Toto číslo je vyjádřeno vzorcem

. (1.3.4)

Poznámka 2. Podle definice předpokládejme .

Pro počet kombinací platí rovnosti:
, , (1.3.5)
. (1.3.6)

Poslední rovnost je někdy formulována jako následující věta o konečné množiny:
Počet všech podmnožin množiny, která se z nich skládá n prvky, rovná se .
Všimněte si, že počty permutací, umístění a kombinací souvisí podle rovnosti

Poznámka 3. Předpokládalo se především to vše n prvky jsou různé. Pokud se některé prvky opakují, pak se v tomto případě sady s opakováním počítají pomocí jiných vzorců.

Například pokud mezi n prvky jsou prvky jednoho typu, prvky jiného typu atd., pak počet permutací s opakováním je určen vzorcem
(1.3.7)
kde .

Počet umístění podle m prvky s opakováním od n prvky jsou stejné
, to je
s opakováním (1.3.8)
Počet kombinací s opakováním od n prvky podle m prvků se rovná počtu kombinací bez opakování od n + m- 1 prvek každý m prvky, tzn
od opakování (1.3.9)

Při řešení úloh kombinatoriky se používají následující pravidla.

Pravidlo součtu. Pokud lze některý objekt A vybrat ze množiny objektů m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, pak lze A nebo B vybrat m + n způsoby.

Pravidlo produktu. Pokud lze objekt A vybrat z různých objektů m metod a po každé takové volbě lze vybrat objekt B n způsoby, pak lze dvojici objektů (A, B) v zadaném pořadí vybrat způsoby.

Klasické schéma pro výpočet pravděpodobností je vhodné pro řešení řady ryze praktických problémů. Uvažujme například určitý soubor prvků objemu N. Mohou to být produkty, z nichž každý je vhodný nebo vadný, nebo semena, z nichž každé může být životaschopné nebo ne. Situace tohoto druhu popisuje urnové schéma: v urně je N kuliček, z nichž M jsou modré a (N - M) červené.

Z urny obsahující N kuliček a obsahující M modrých kuliček se losuje n kuliček. Musíte určit pravděpodobnost, že ve vzorku velikosti n bude detekováno m modrých kuliček. Označme A událost „ve vzorku velikosti n je m modrých kuliček“.
(1.3.10)

Příklad 1 Kolika různými způsoby lze vybrat tři osoby na tři různé pozice z deseti kandidátů?

Řešení. Použijme vzorec (1.3.3). Pro n = 10, m = 3 dostaneme
.

Příklad 2 Kolika různými způsoby se na lavičku vejde 5 lidí?

Řešení. Podle vzorce (1.3.1) s n=5 najdeme
P5 = 5! = 1,2,3,4,5 = 120.

Příklad 3 Kolika způsoby lze vybrat tři osoby na tři stejné pozice z deseti kandidátů?

Řešení. Podle vzorce (1.3.4) najdeme

Příklad 4. Kolik různých šestimístných čísel lze zapsat pomocí číslic 1; 1; 1; 2; 2; 2?

Řešení. Zde je potřeba zjistit počet permutací s opakováním, který je určen vzorcem (1.3.7). S k = 2, n 1 = 3, n 2 = 3, n = 6, pomocí tohoto vzorce dostaneme

Příklad 5. Kolik různých permutací písmen lze vytvořit ve slovech: hrad, rotor, sekera, zvonek?

Písmena p, p, s, o, t jsou napsána na 5 kartách rozstříhané abecedy. Zamíchané kartičky se vyjímají náhodně po jednom a seřadí se do jedné řady. Jaká je pravděpodobnost, že přečtete slovo „sport“? Ve slově hrad jsou všechna písmena různá, celkem je jich pět. Podle vzorce (1.3.1) dostaneme P 5 = 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Jedním slovem rotor, skládající se z pěti písmen, písmen p A Ó se opakují dvakrát. Pro výpočet různých permutací použijeme vzorec (1.3.7). Pro n = 5, n 1 = 2, n 2 = 2 pomocí tohoto vzorce zjistíme

Písmeno ve slově sekera Ó se opakuje dvakrát, takže

V sedmipísmenném slově zvonek, písmeno Na se objeví dvakrát, písmeno Ó- třikrát, dopis l- dvakrát. Podle vzorce (13.7) s n = 7, n 1 = 2, n 2 = 3, n з = 2 získáme

Příklad 6. Písmena I, K, M, N, S jsou napsána na pěti stejných kartách Karty jsou zamíchány a náhodně umístěny do řady. Jaká je pravděpodobnost, že se objeví slovo MINSK?

Řešení. Z pěti různých prvků můžete vytvořit permutace P5:
. To znamená, že bude celkem 120 možných výsledků, ale pouze jeden příznivý pro danou událost. Proto,

Příklad 7. Z písmen slova rotor, složený pomocí rozdělené abecedy, 3 písmena jsou náhodně vybrána postupně a umístěna v řadě. Jaká je pravděpodobnost, že slovo padne torus?

Řešení. Abychom od sebe odlišili identická písmena, opatříme je čísly: p 1 , p 2 , 0 1 , 0 2. Celkový počet elementárních výsledků se rovná: . Slovo rotor bude fungovat v případech ( pak 1 r 1, pak 1 r 2, pak 2 r 1, pak 2 r 2). Požadovaná pravděpodobnost je rovna

Při výpočtu počtu příznivých případů jsme použili pravidlo produktu: písmeno m můžete vybrat jeden způsob, písmeno Ó- dva, dopis r- dvěma způsoby.

Příklad 8. Písmena slova jsou napsána na šesti kartách stejného tvaru a velikosti. talent- jedno písmeno na každé kartě. Karty jsou důkladně promíchány. jsou náhodně vyjmuty a umístěny na stůl jeden po druhém. Jaká je pravděpodobnost, že znovu dostanete slovo? talent?

Písmena p, p, s, o, t jsou napsána na 5 kartách rozstříhané abecedy. Zamíchané kartičky se vyjímají náhodně po jednom a seřadí se do jedné řady. Jaká je pravděpodobnost, že přečtete slovo „sport“? Očíslujme kartičky písmeny:

Slovo talent (513246) se nezmění, pokud písmena A přeuspořádat, ale podle uspořádání karet získáte jinou kombinaci: talent (523146). Pokud v každé z těchto dvou kombinací uděláme totéž s písmenem t, získáme další 2 různé kombinace karet se slovem talent. To znamená, že vzhled slova talent 4 základní výsledky jsou příznivé. Celkový počet možných elementárních výsledků se rovná počtu permutací 6 prvků: n = 6! = 720. Tedy požadovaná pravděpodobnost

.

Poznámka: Tuto pravděpodobnost lze také zjistit pomocí vzorce (1.3.7), který pro n = 6, n 1 = 1, n 2 = 1, n 3 = 2, n 4 = 2 platí:

. Tedy P = 1/180.

Příklad 9. Písmena jsou napsána na pěti stejných kartách: na dvou kartách l, na dalších třech A. Tyto karty jsou umístěny náhodně
řádek. Jaká je pravděpodobnost, že z toho vznikne slovo lilie?

Písmena p, p, s, o, t jsou napsána na 5 kartách rozstříhané abecedy. Zamíchané kartičky se vyjímají náhodně po jednom a seřadí se do jedné řady. Jaká je pravděpodobnost, že přečtete slovo „sport“? Pojďme najít počet permutací těchto pěti písmen s opakováním.
Pomocí vzorce (1.3.7) pro n = 5, n 1 = 2, n 2 = 3 získáme

Toto je celkový počet stejně možných výsledků experimentu A - „vzhled slova lilie“ je zvýhodněn jedním; Podle vzorce (1.2.1) získáme

Příklad 10. V dávce 10 dílů je 7 standardních. Najděte pravděpodobnost
skutečnost, že ze 6 náhodně vybraných částí jsou 4 standardní.

Písmena p, p, s, o, t jsou napsána na 5 kartách rozstříhané abecedy. Zamíchané kartičky se vyjímají náhodně po jednom a seřadí se do jedné řady. Jaká je pravděpodobnost, že přečtete slovo „sport“? Celkový počet možných Ix elementárních výsledků testu se rovná počtu způsobů, kterými lze extrahovat 6 částí z 10, tj. počtu kombinací 10 prvků, každý po 6 prvcích ().

Určujeme počet výsledků příznivých pro událost A – „ze 6 odehraných částí jsou 4 standardní“. Čtyři standardní díly ze sedmi standardních lze odebírat různými způsoby, zbývajících 6 - 4 = 2 díly musí být nestandardní; Existují způsoby, jak odebrat 2 nestandardní díly z 10 - 7 = 3 nestandardní díly. Počet příznivých výsledků je tedy roven .

Požadovaná pravděpodobnost se rovná poměru počtu výsledků příznivých pro událost k počtu všech základních výsledků:

Poznámka Poslední vzorec je speciální případ vzorce (1.3.10): N= 10, M= 7, n = 6, m = 4.

Příklad 11. Mezi 25 studenty ve skupině 10 dívek se losuje 5 lístků. Najděte pravděpodobnost, že mezi držiteli vstupenky budou 2 dívky.

Písmena p, p, s, o, t jsou napsána na 5 kartách rozstříhané abecedy. Zamíchané kartičky se vyjímají náhodně po jednom a seřadí se do jedné řady. Jaká je pravděpodobnost, že přečtete slovo „sport“? Počet všech stejně možných případů rozdělení 5 tiketů mezi 25 studentů se rovná počtu kombinací 25 prvků z 5, tzn. Počet skupin tří chlapců z 15, kteří mohou získat vstupenky, je . Každá taková trojka může být kombinována s libovolným párem deseti dívek a počet takových párů je roven . Počet skupin po 5 studentech vytvořených ze skupiny 25 studentů, z nichž každá bude obsahovat tři chlapce a dvě dívky. , se rovná produktu. Tento součin se rovná počtu výhodných případů rozdělení pěti vstupenek mezi studenty skupiny tak, že tři vstupenky přijdou chlapci a dvě vstupenky dívkám. Podle vzorce (1.2.1) zjistíme požadovanou pravděpodobnost

Poznámka Poslední vzorec je speciální případ vzorce (1.3.10): N = 25, M = 15, n = 5, m = 3.

Příklad 12. Krabička obsahuje 15 červených, 9 modrých a 6 zelených kuliček. Náhodně se losuje 6 míčků. Jaká je pravděpodobnost, že padne 1 zelená, 2 modré a 3 červené koule (událost A)?

Řešení. V krabici je pouze 30 míčků. Pro tento experiment bude počet všech stejně možných elementárních výsledků . Spočítejme počet elementárních výsledků příznivých pro událost A. Tři červené koule z 15 mohou být vybrány způsoby, dvě modré koule z 9 mohou být vybrány způsoby, jedna zelená z 6 může být vybrána způsoby
Počet příznivých výsledků se rovná produktu

Požadovaná pravděpodobnost je určena vzorcem (1.3.10):

Příklad 14. Kostkou se hází 10krát. Jaká je pravděpodobnost, že se strany 1, 2, 3, 4, 5, 6 objeví 2, 3, 1, 1, 1, 2krát (událost A)?

Řešení. Počet výsledků příznivých pro událost A vypočítáme pomocí vzorce (1.3.7):
Počet všech elementárních výsledků v tomto experimentu je tedy n = 6 10

Úkoly
1. Písmena B, E, R, S, T jsou napsána na 5 stejných kartičkách Tyto karty jsou náhodně umístěny v řadě. Jaká je pravděpodobnost, že se objeví slovo BREST?
2. V krabici jsou 4 modré a 5 červených míčků. Z krabice jsou náhodně vylosovány 2 míčky. Najděte pravděpodobnost, že tyto koule mají různé barvy.
3. V týmu jsou 4 ženy a 3 muži. Mezi brigádníky se slosují 4 vstupenky do divadla. Jaká je pravděpodobnost, že mezi držiteli vstupenky budou 2 ženy a 2 muži?
4. V krabici je 10 kuliček, z toho 2 bílé, 3 červené a 5 modrých 3 koule jsou losovány náhodně. Najděte pravděpodobnost, že všechny 3 koule mají různé barvy.
5. Písmena l, m, o, o, t jsou napsána na pěti stejných kartičkách Jaká je pravděpodobnost, že odebíráním kartiček po jednom dostaneme slovo kladivo v pořadí, v jakém se objevily?
6. Z šarže obsahující 10 výrobků, z nichž 3 jsou vadné, jsou náhodně vybrány 3 výrobky. Najděte pravděpodobnost, že jeden výrobek ve výsledném vzorku je vadný.
7. Z deseti tiketů jsou dva výherní. Jaká je pravděpodobnost, že z pěti náhodně vybraných tiketů vyhraje jeden?

Odpovědi
1. 1/120. 2. 5/9. 3. 18/35. 4 . 0,25. 5 . 1/60. 6 . 21/40. 7 . 5/9.

Otázky
1. Co se nazývá permutace?
2. Jaký tvar se používá k výpočtu počtu permutací n různých prvků?
3. Jak se nazývají umístění?
4. Jaký vzorec se používá k výpočtu počtu umístění n různých prvků m prvků?
5. Jak se nazývají kombinace?
6. Jaký vzorec používáte pro výpočet počtu kombinací n prvků z m prvků?
7. Jaká rovnost souvisí s počty permutací, umístění a kombinací?
8. Jaký vzorec se používá k výpočtu počtu permutací n prvků, pokud se některé prvky opakují?
9. Jaký vzorec určuje počet umístění m prvků s opakováním n prvků?
10. Jaký vzorec určuje počet kombinací s opakováním n prvků z m prvků?