Převod čísel do různých číselných soustav. Rychle převeďte číslo z desítkové číselné soustavy na binární
Účel služby. Služba je navržena tak, aby převáděla čísla z jednoho číselného systému do druhého online. Chcete-li to provést, vyberte základ systému, ze kterého chcete číslo převést. Můžete zadat jak celá čísla, tak čísla s čárkami.Můžete zadat jak celá čísla, například 34, tak zlomková čísla, například 637.333. U zlomkových čísel je uvedena přesnost překladu za desetinnou čárkou.
S touto kalkulačkou se také používají následující:
Způsoby reprezentace čísel
Binární (binární) čísla - každá číslice znamená hodnotu jednoho bitu (0 nebo 1), nejvýznamnější bit se píše vždy vlevo, za číslem se umísťuje písmeno „b“. Pro snadnější vnímání lze sešity oddělit mezerami. Například 1010 0101b.Hexadecimální (hexadecimální) čísla - každá tetráda je reprezentována jedním symbolem 0...9, A, B, ..., F. Toto znázornění lze označit různými způsoby, pouze za poslední hexadecimální je použit symbol „h“. číslice. Například A5h. V programových textech může být stejné číslo označeno buď jako 0xA5 nebo 0A5h, v závislosti na syntaxi programovacího jazyka. Nalevo od nejvýznamnější hexadecimální číslice reprezentované písmenem se přidá úvodní nula (0), aby bylo možné rozlišit čísla a symbolické názvy.
Desetinný (desetinná) čísla - každý bajt (slovo, dvojslovo) je reprezentován běžným číslem a znak desetinného zobrazení (písmeno „d“) se obvykle vynechává. Bajt v předchozích příkladech má desítkovou hodnotu 165. Na rozdíl od binárního a hexadecimálního zápisu je u desítkové soustavy obtížné mentálně určit hodnotu každého bitu, což je někdy nutné.
Osmičková (osmičková) čísla - každá trojice bitů (dělení začíná od nejméně významného) se zapisuje jako číslo 0–7 s „o“ na konci. Stejné číslo by bylo zapsáno jako 245o. Osmičková soustava je nepohodlná, protože bajt nelze rovnoměrně rozdělit.
Algoritmus pro převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé
Převod celých desetinných čísel na jakoukoli jinou číselnou soustavu se provádí dělením čísla základem nové číselné soustavy, dokud zbytek nezůstane číslem menším, než je základ nové číselné soustavy. Nové číslo se zapíše jako zbytek po dělení, počínaje posledním.Převod běžného desetinného zlomku na jiný PSS se provádí násobením pouze zlomkové části čísla základem nové číselné soustavy, dokud všechny nuly nezůstanou ve zlomkové části nebo dokud není dosaženo zadané přesnosti překladu. V důsledku každé operace násobení se vytvoří jedna číslice nového čísla, počínaje nejvyšším.
Nesprávný překlad zlomků se provádí podle pravidel 1 a 2. Celá a zlomková část se píší dohromady, oddělené čárkou.
Příklad č. 1. 
Převod z 2 na 8 na 16 číselný systém.
Tyto systémy jsou násobky dvou, proto se překlad provádí pomocí korespondenční tabulky (viz níže).
Pro převod čísla z dvojkové číselné soustavy do osmičkové (šestnáctkové) číselné soustavy je nutné rozdělit dvojkové číslo z desetinné čárky doprava a doleva do skupin po třech (u šestnáctkové soustavy čtyř) a doplnit tak vnější skupiny v případě potřeby s nulami. Každá skupina je nahrazena odpovídající osmičkovou nebo hexadecimální číslicí.
Příklad č. 2. 1010111010,1011 = 1,010,111,010,101,1 = 1272,51 8
zde 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101 = 5; 001=1
Při převodu do šestnáctkové soustavy musíte číslo rozdělit na části po čtyřech číslicích podle stejných pravidel.
Příklad č. 3. 1010111010,1011 = 10,1011,1010,1011 = 2B12,13 HEX
zde 0010=2; 1011=B; 1010 = 12; 1011=13
Převod čísel z 2, 8 a 16 do desítkové soustavy se provádí rozdělením čísla na jednotlivá a vynásobením základem soustavy (ze kterého se číslo překládá) umocněnou na mocninu odpovídající jeho pořadovému číslu v převáděné číslo. V tomto případě jsou čísla číslována nalevo od desetinné čárky (první číslo je číslováno 0) s rostoucím a napravo s klesajícím (tj. se záporným znaménkem). Získané výsledky se sečtou.
Příklad č. 4.
Příklad převodu z dvojkové do desítkové číselné soustavy.
1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2-3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Příklad převodu z osmičkové na desítkovou číselnou soustavu. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Příklad převodu z šestnáctkové do desítkové číselné soustavy. 108,5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10
Ještě jednou zopakujeme algoritmus pro převod čísel z jedné číselné soustavy do jiné PSS
- Ze soustavy desítkových čísel:
- vydělte číslo základem překládaného číselného systému;
- najít zbytek při dělení celé části čísla;
- zapište všechny zbytky z dělení v opačném pořadí;
- Z dvojkové číselné soustavy
- Pro převod do desítkové číselné soustavy je nutné najít součet součinů základu 2 odpovídajícím stupněm číslice;
- Chcete-li převést číslo na osmičkovou, musíte číslo rozdělit na trojice.
Například 1000110 = 1 000 110 = 106 8 - Chcete-li převést číslo z binárního na hexadecimální, musíte číslo rozdělit do skupin po 4 číslicích.
Například 1000110 = 100 0110 = 46 16
Srovnávací tabulka číselného systému:
| Binární SS | Hexadecimální SS |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
Tabulka pro převod do osmičkové číselné soustavy
Cíle lekce:
- zopakovat probranou látku na téma číselná soustava;
- naučit se převádět číslo z desítkové soustavy do jakékoli jiné poziční číselné soustavy a naopak;
- osvojit si principy převodu čísel z jedné soustavy do druhé;
- rozvíjet logické myšlení.
Během vyučování
Na začátku lekce krátké zopakování a kontrola domácího úkolu.
V jaké formě jsou číselné informace prezentovány v paměti počítače?
K čemu slouží číselné soustavy?
Jaké typy číselných soustav znáte? Uveďte své vlastní příklady.
Jak se liší polohové systémy od nepolohových?
Cílem naší lekce je naučit se převádět číslo z desítkové soustavy do jakékoli jiné poziční číselné soustavy a naopak. Nejprve se ale podíváme, jak můžete
představují libovolné nezáporné celé číslo:
V pozičních systémech je hodnota zápisu celého čísla určena následujícím pravidlem: nechť a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 je zápis čísla A a i jsou číslice, pak
kde p je celé číslo větší než 1, které se nazývá základ číselné soustavy
Aby pro dané p mohlo být zapsáno libovolné nezáporné celé číslo podle vzorce (1) a navíc jedinečným způsobem musí být číselné hodnoty různých číslic různá celá čísla patřící segmentu od 0 až p-1.
1) Desetinná soustava
čísla: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
číslo 5735 = 5 10 3 +7 10 2 +3 10 1 +8 10 0
2) Ternární systém
čísla: 0,1,2
číslo 201 3 = 2·3 2 +0·3 1 +1·3 0
Poznámka: dolní index v čísle označuje základ číselné soustavy, ve které je číslo zapsáno. Pro desítkovou číselnou soustavu se index nemusí zapisovat.
Znázornění záporných a zlomkových čísel:
Ve všech polohových soustavách se znaménko „–“ používá k zápisu záporných čísel, stejně jako v desítkové soustavě. Čárkou se odděluje celá část čísla od zlomkové části. Hodnota záznamu a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 , a -1 a -2 …a m-2 a m-1 a m čísla A je určena vzorcem, který je zobecněním formule 1):
75,6 = 7·10 1 +5·10 0 +6·10 –1
–2,314 5 = –(2 5 0 +3 5 –1 +1 5 –2 +4 5 –3)
Převod čísel z libovolné číselné soustavy na desítkovou:
Je třeba si uvědomit, že při překladu čísla z jedné číselné soustavy do druhé se kvantitativní hodnota čísla nemění, ale mění se pouze forma zápisu čísla, stejně jako při překladu názvu čísla např. z ruštinu do angličtiny.
Převod čísel z libovolné číselné soustavy na desítkovou se provádí přímým výpočtem pomocí vzorce (1) pro celá čísla a vzorce (2) pro zlomky.
Převod čísel z desítkové číselné soustavy do libovolné číselné soustavy.
Převod čísla z desítkové soustavy do soustavy se základem p znamená nalezení koeficientů ve vzorci (2). Někdy je to snadné udělat jednoduchým výběrem. Řekněme například, že potřebujete převést číslo 23,5 do osmičkové soustavy. Je snadné vidět, že 23,5 = 16+7+0,5 = 2·8+7+4/8 = 2·8 1 +7·8 0 +4·8 –1 =27,48. Je jasné, že odpověď není vždy tak jednoznačná. Obecně se používá metoda převodu celé a zlomkové části čísla odděleně.
Pro převod celých čísel se používá následující algoritmus (získaný na základě vzorce (1)):
1. Najděte podíl a zbytek při dělení čísla p. Zbytek bude další číslice ai (j=0,1,2...) čísla v nové číselné soustavě.
2. Pokud je podíl roven nule, pak je překlad čísla dokončen, jinak na podíl aplikujeme bod 1.
Poznámka 1. Číslice ai v číselném zápisu jsou číslovány zprava doleva.
Poznámka 2. Pokud p>10, pak je nutné zavést zápis pro čísla s číselnými hodnotami většími nebo rovnými 10.
Převeďte číslo 165 na septální číselnou soustavu.
165:7 = 23 (zbytek 4) => a 0 = 4
23:7 = 3 (zbytek 2) => a 1 = 2
3:7 = 0 (zbytek 3) => a 2 = 3
Výsledek si zapišme: a 2 a 1 a 0 , tzn. 3247.
Po kontrole pomocí vzorce (1) se ujistíme, že překlad je správný:
3247=3·7 2 +2·7 1 +4·7 0 =3·49+2·7+4 = 147+14+4 = 165.
Pro převod zlomkových částí čísel se používá algoritmus získaný na základě vzorce (2):
1. Vynásobte zlomkovou část čísla číslem p.
2. Celočíselnou částí výsledku bude další číslice am (m = –1, –2, –3 ...) zápisu čísla do nové číselné soustavy. Pokud je zlomková část výsledku nula, pak je překlad čísla dokončen, jinak na něj aplikujeme krok 1.
Poznámka 1. Číslice a m v číselném zápisu jsou uspořádány zleva doprava ve vzestupném pořadí absolutní hodnoty m.
Poznámka 2. Obvykle je počet zlomkových číslic v novém zadání čísla předem omezen. To vám umožní provést přibližný překlad s danou přesností. V případě nekonečných zlomků takové omezení zajišťuje konečnost algoritmu.
Převeďte číslo 0,625 na binární číselnou soustavu.
0,625 2 = 1,25 (celé číslo část 1) => a -1 =1
0,25 2 = 0,5 (celé číslo část 0) => a- 2 = 0
0,5 2 = 1,00 (celočíselná část 1) => a- 3 = 1
Takže 0,62510 = 0,1012
Po kontrole pomocí vzorce (2) se ujistíme, že překlad je správný:
0,1012=1·2-1 +0·2-2 +1·2-3 =1/2+1/8 = 0,5+0,125 = 0,625.
Převeďte číslo 0,165 do kvartérního číselného systému a omezte jej na čtyři kvartérní číslice.
0,165 4 = 0,66 (celé číslo část 0) => a -1 =0
0,66 4 = 2,64 (celé číslo část 2) => a -2 = 2
0,64 4 = 2,56 (celé číslo 2) => a -3 = 2
0,56 4 = 2,24 (celé číslo část 2) => a -4 = 2
Takže 0,16510" 0,02224
Udělejme zpětný překlad, abychom se ujistili, že absolutní chyba nepřekročí 4–4:
0,02224 = 0,4 -1 +2,4 -2 +2,4 -3 +2,4 -4 = 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/ 128 = 21/128 = 0,1640625
|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625
Převod čísel z jednoho libovolného systému do jiného
V tomto případě musíte nejprve převést číslo do desítkové soustavy a poté z desítkové soustavy na požadovanou.
Pro převod čísel pro systémy s více bázemi se používá speciální metoda.
Nechť p a q jsou základy dvou číselných soustav. Tyto soustavy budeme nazývat číselné soustavy s více bázemi, pokud p = qn nebo q = pn, kde n je přirozené číslo. Takže například číselné soustavy se základy 2 a 8 jsou vícenásobné základní číselné soustavy.
Nechť p = qn a vy potřebujete převést číslo z číselné soustavy se základem q do číselné soustavy se základem p. Rozdělme celou a zlomkovou část čísla do skupin n postupně zapsaných číslic vlevo a vpravo od desetinné čárky. Pokud počet číslic v celočíselné části čísla není násobkem n, musíte doleva přidat odpovídající počet nul. Pokud počet číslic ve zlomkové části čísla není násobkem n, pak se vpravo přidávají nuly. Každá taková skupina číslic čísla ve staré číselné soustavě bude odpovídat jedné číslici čísla v nové číselné soustavě.
Převeďme 1100001,111 2 do kvartérní číselné soustavy.
Sečtením nul a výběrem dvojic čísel dostaneme 01100001,11102.
Nyní přeložme každou dvojici číslic samostatně pomocí části Překlad čísel z jednoho libovolného systému do druhého.
Takže 1100001,1112 = 01100001,11102 = 1201,324.
Předpokládejme nyní, že potřebujeme přejít ze soustavy s větší bází q do soustavy s menší bází p, tzn. q = pn. V tomto případě jedna číslice čísla ve staré číselné soustavě odpovídá n číslicím čísla v nové číselné soustavě.
Příklad: Zkontrolujeme předchozí překlad čísla.
1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112
V hexadecimální soustavě jsou číslice s číselnými hodnotami 10,11,12, 13,14,15. K jejich označení použijte prvních šest písmen latinské abecedy A, B, C, D, E, F.
Zde je tabulka čísel od 0 do 16 zapsaná v číselných soustavách se základy 10, 2, 8 a 16.
| Číslo v desítkové soustavě | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| V osmičkovém | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 20 |
| V binárním | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 |
| V šestnáctkové soustavě | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 |
Chcete-li psát hexadecimální číslice, můžete také použít malá písmena latinky a-f.
Příklad: Převeďme číslo 110101001010101010100.11 2 do hexadecimální číselné soustavy.
Využijme násobnost základů číselných soustav (16=2 4). Seskupíme čísla po čtyřech a přidáme požadovaný počet nul zleva a zprava
000110101001010101010100,1100 2
a při kontrole tabulky dostaneme: 1A9554,C 16
Závěr:
Ve kterém číselném systému je nejlepší psát čísla, je otázkou pohodlí a tradice. Z technického hlediska je výhodné používat v počítači dvojkovou soustavu, protože používá pouze dvě číslice 0 a 1 k záznamu čísla, které může být reprezentováno dvěma snadno odlišitelnými stavy „žádný signál“ a „existuje signál."
Naopak pro člověka je nepohodlné zabývat se binárními zápisy čísel kvůli tomu, že jsou delší než desetinné a je v nich mnoho opakujících se číslic. Proto v případě potřeby pracujte se strojovými reprezentacemi čísel, používejte osmičkové nebo hexadecimální číselné soustavy. Základy těchto soustav jsou celočíselné mocniny dvou, a proto se čísla z těchto soustav snadno převádějí na binární a naopak.
Zapište si domácí úkol:
a) Zapište si datum narození všech členů vaší rodiny v různých číselných soustavách.
b) Převeďte čísla z binárních na osmičkové a šestnáctkové a poté zkontrolujte výsledky provedením obrácených převodů:
a) 1001111110111.011 2;
Když zakládáte sítě různých velikostí a každý den se zabýváte výpočty, nemusíte vytvářet tento druh podvodného listu, vše se děje bezpodmínečně. Když se ale v sítích hrabete velmi zřídka, ne vždy si pamatujete, jaká je maska v desítkovém tvaru pro předponu 21 nebo jaká je síťová adresa pro stejnou předponu. V tomto ohledu jsem se rozhodl napsat několik malých článků - cheatů o převodu čísel na různé číselné systémy, síťové adresy, masky atd. V tomto díle budeme hovořit o převodu čísel do různých číselných soustav.
1. Číselné soustavy
Když děláte cokoli, co souvisí s počítačovými sítěmi a IT, s tímto pojmem se stejně setkáte. A jako chytrý IT-čkář tomu musíte alespoň trochu rozumět, i když v praxi to využijete velmi zřídka.
Podívejme se na překlad každé číslice z IP adresy 98.251.16.138
v následujících číselných soustavách:
- Binární
- Osmičková
- Desetinný
- Hexadecimální
1.1 Desetinné
Protože se čísla píší v desítkové soustavě, přeskočíme převod z desítkové soustavy na desítkovou :)
1.1.1 Desetinné → Binární
Jak víme, binární číselný systém se používá téměř ve všech moderních počítačích a mnoha dalších výpočetních zařízeních. Systém je velmi jednoduchý – máme pouze 0 a 1.
Pro převod čísla s desetinou do binárního tvaru je potřeba použít dělení modulo 2 (tj. celočíselné dělení 2), v důsledku čehož nám vždy zůstane zbytek buď 1 nebo 0. V tomto případě je výsledek psáno zprava doleva. Příklad dá vše na své místo:
Obrázek 1.1 – Převod čísel z desítkové do dvojkové soustavy
Obrázek 1.2 – Převod čísel z desítkové do dvojkové soustavy
Popíšu dělení čísla 98. Dělíme 98 2, ve výsledku máme 49 a zbytek je 0. Dále pokračujeme v dělení a dělíme 49 2, ve výsledku máme 24 se zbytkem 1. A stejným způsobem se dostaneme k 1 nebo 0 v dělitelné. Výsledek pak zapíšeme zprava doleva.
1.1.2 Desetinná → Osmičková
Osmičková soustava je celočíselná číselná soustava se základem 8. Tj. všechna čísla v něm jsou zastoupena v rozsahu 0 – 7 a pro převod z desítkové soustavy je potřeba použít dělení modulo 8.
Obrázek 1.3 – Převod čísel z desítkové do osmičkové soustavy
Dělení je podobné jako u 2-bodového systému.
1.1.3 Desetinné → Hexadecimální
Hexadecimální soustava téměř úplně nahradila soustavu osmičkovou. Má základ 16, ale používá desetinné číslice od 0 do 9 + latinská písmena od A (číslo 10) do F (číslo 15). Setkáváte se s ním pokaždé, když kontrolujete nastavení síťového adaptéru – jedná se o MAC adresu. To samé při použití IPv6.
Obrázek 1.4 – Převod čísel z desítkové do šestnáctkové soustavy
1.2 Binární
V předchozím příkladu jsme všechna desetinná čísla převedli do jiných číselných soustav, z nichž jedna je binární. Nyní převedeme každé číslo z binárního tvaru.
1.2.1 Binární → Desítková
Chcete-li převést čísla z binárních na desítkové, musíte znát dvě nuance. První je, že každá nula a jedna mají faktor 2 na n-tou mocninu, ve které n roste zprava doleva přesně o jednu. Druhým je, že po vynásobení je potřeba všechna čísla sečíst a dostaneme číslo v desítkovém tvaru. V důsledku toho budeme mít vzorec, jako je tento:
D = (a n × p n-1) + (a n-1 × p n-2) + (a n-2 × p n-3) +…, (1.2.1)
Kde,
D je desetinné číslo, které hledáme;
n– počet znaků v binárním čísle;
a – číslo v binárním tvaru na n-té pozici (tj. první znak, druhý atd.);
p – koeficient rovný 2,8 nebo 16 k mocnině n(v závislosti na číselné soustavě)
Vezměme například číslo 110102. Podíváme se na vzorec a napíšeme:
- Číslo se skládá z 5 znaků ( n=5)
- p = 2 (protože převádíme z binárního na desítkové)
a 5 = 1, a 4 = 1, a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0
V důsledku toho máme:
D = (1 × 2 5-1) + (1 × 2 5-2) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10
Pro ty, kteří jsou zvyklí psát zprava doleva, bude formulář vypadat takto:
D = (0 × 2 5-5) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-2) + (1 × 2 5-1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10
Ale jak víme, přeskupení podmínek nemění součet. Nyní převedeme naše čísla do desítkové formy.
Obrázek 1.5 – Převod čísel z dvojkové do desítkové soustavy
1.2.2 Binární → Osmičková
Při překladu potřebujeme rozdělit binární číslo do skupin po třech znacích zprava doleva. Pokud se poslední skupina neskládá ze tří znaků, pak chybějící bity jednoduše nahradíme nulami. Např:
10101001 = 0 10 101 001
1011100 = 00 1 011 100
Každá skupina bitů je jedno z osmičkových čísel. Chcete-li zjistit, který z nich, musíte použít vzorec 1.2.1 napsaný výše pro každou skupinu bitů. V důsledku toho dostáváme.
Obrázek 1.6 – Převod čísel z dvojkové do osmičkové soustavy
1.2.3 Binární → Hexadecimální
Zde musíme binární číslo rozdělit do skupin po čtyřech znacích zprava doleva a následně k chybějícím bitům skupiny přidat nuly, jak je popsáno výše. Pokud se poslední skupina skládá z nul, pak by měly být ignorovány.
110101011 = 000 1 1010 1011
1011100 = 0 101 1100
001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000
Každá skupina bitů je jedno z hexadecimálních čísel. Pro každou skupinu bitů použijeme vzorec 1.2.1.
Obrázek 1.7 – Převod čísel z binárních na hexadecimální
1.3 Osmičková
V tomto systému můžeme mít potíže pouze při převodu do šestnáctkové soustavy, protože zbytek překladu probíhá hladce.
1.3.1 Osmičková → Binární
Každé číslo v osmičkové soustavě je skupina tří bitů v binární soustavě, jak je popsáno výše. K překladu potřebujeme použít cheat sheet:
Obrázek 1.8 – Ostruha pro převod čísel z osmičkové soustavy
Pomocí tohoto tabletu převedeme naše čísla do dvojkové soustavy.
Obrázek 1.9 – Převod čísel z osmičkové na binární
Závěr trochu popíšu. Naše první číslo je 142, což znamená, že každá bude mít tři skupiny po třech bitech. Použijeme ostruhu a uvidíme, že číslo 1 je 001, číslo 4 je 100 a číslo 2 je 010. Výsledkem je číslo 001100010.
1.3.2 Osmičková → Desítková
Zde použijeme vzorec 1.2.1 pouze s koeficientem 8 (tj. p=8). V důsledku toho máme
Obrázek 1.10 – Převod čísel z osmičkové do desítkové soustavy
- Číslo se skládá ze 3 znaků ( n=3)
- p = 8 (protože převádíme z osmičkové na desítkové)
a 3 = 1, a 2 = 4, a 1 = 2
V důsledku toho máme:
D = (1 × 8 3-1) + (4 × 8 3-2) + (2 × 8 3-3) = 64 + 32 + 2 = 98 10
1.3.3 Osmičková → Hexadecimální
Jak bylo napsáno dříve, k překladu musíme nejprve převést čísla do dvojkové soustavy, poté z dvojkové do šestnáctkové soustavy a rozdělit je do skupin po 4 bitech. Můžete použít následující ostruhu.
Obrázek 1.11 – Spur pro převod čísel z hexadecimální soustavy
Tato tabulka vám pomůže převést z binárního na hexadecimální. Nyní převedeme naše čísla.
Obrázek 1.12 – Převod čísel z osmičkové do šestnáctkové soustavy
1.4 Hexadecimální
Tento systém má stejný problém při převodu na osmičkovou. Ale o tom později.
1.4.1 Hexadecimální → Binární
Každé číslo v hexadecimální soustavě je skupina čtyř bitů v binárním tvaru, jak je popsáno výše. K překladu můžeme použít cheat sheet umístěný výše. Jako výsledek:
Obrázek 1.13 – Převod čísel z hexadecimálních na binární
Vezměme si první číslo - 62. Pomocí tabulky (obr. 1.11) vidíme, že 6 je 0110, 2 je 0010, ve výsledku máme číslo 01100010.
1.4.2 Hexadecimální → Desetinné
Zde použijeme vzorec 1.2.1 pouze s koeficientem 16 (tj. p=16). V důsledku toho máme
Obrázek 1.14 – Převod čísel z hexadecimálních na desítkové
Vezměme první číslo. Na základě vzorce 1.2.1:
- Číslo se skládá ze 2 znaků ( n=2)
- p = 16 (protože převádíme z šestnáctkové soustavy na desítkovou)
a 2 = 6, a 1 = 2
V důsledku toho máme.
D = (6 × 16 2-1) + (2 × 16 2-2) = 96 + 2 = 98 10
1.4.3 Hexadecimální → Osmičková
Pro převod do osmičkové soustavy je nutné nejprve převést na binární, poté rozdělit do skupin po 3 bitech a použít tabulku (obr. 1.8). Jako výsledek:
Obrázek 1.15 – Převod čísel z hexadecimálních na osmičkové
Budeme se bavit o IP adresách, maskách a sítích.
1. Ordinální počítání v různých číselných soustavách.
V moderním životě používáme poziční číselné soustavy, tedy soustavy, ve kterých číslo označené číslicí závisí na poloze číslice v zápisu čísla. Proto v budoucnu budeme hovořit pouze o nich a vynecháme termín „poziční“.
Abychom se naučili převádět čísla z jedné soustavy do druhé, pochopíme, jak probíhá sekvenční zaznamenávání čísel na příkladu desítkové soustavy.
Protože máme desítkovou číselnou soustavu, máme k sestavení čísel 10 symbolů (číslic). Začneme počítat: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Čísla jsou u konce. Zvětšíme bitovou hloubku čísla a vynulujeme číslici nižšího řádu: 10. Poté znovu zvýšíme číslici nižšího řádu, dokud nezmizí všechny číslice: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Zvětšíme číslici vyššího řádu o 1 a vynulujeme číslici nižšího řádu: 20. Když použijeme všechny číslice pro obě číslice (dostaneme číslo 99), opět zvýšíme kapacitu číslic čísla a vynulujeme existující číslice: 100. A tak dále.
Zkusme totéž udělat ve 2., 3. a 5. systému (zavedeme zápis pro 2. systém, pro 3. atd.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Pokud má číselný systém základ větší než 10, budeme muset zadávat další znaky, je obvyklé zadávat písmena latinské abecedy. Například pro 12místný systém potřebujeme kromě deseti číslic dvě písmena ( a ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Převod z desítkové soustavy čísel na jakoukoli jinou.
Chcete-li převést kladné celé desítkové číslo na číselnou soustavu s jiným základem, musíte toto číslo vydělit základem. Výsledný podíl znovu rozdělte základem a dále, dokud nebude podíl menší než základ. V důsledku toho zapište na jeden řádek poslední podíl a všechny zbytky, počínaje posledním.
Příklad 1 Desetinné číslo 46 převedeme do dvojkové číselné soustavy.
Příklad 2 Desetinné číslo 672 převedeme do osmičkové soustavy.
Příklad 3 Desetinné číslo 934 převedeme do hexadecimální číselné soustavy.
3. Převod z libovolné číselné soustavy na desítkovou.
Abychom se naučili převádět čísla z jakéhokoli jiného systému na desítkové, pojďme analyzovat obvyklý zápis desítkových čísel.
Například desetinné číslo 325 je 5 jednotek, 2 desítky a 3 stovky, tzn.
Úplně stejná situace je i v jiných číselných soustavách, jen nebudeme násobit 10, 100 atd., ale mocniny základu číselné soustavy. Vezměme si například číslo 1201 v ternární číselné soustavě. Očíslujme číslice zprava doleva počínaje nulou a představme si naše číslo jako součet součinů číslice a trojky až k mocnině číslice čísla:
Jedná se o desetinný zápis našeho čísla, tzn.
Příklad 4. Převeďme osmičkové číslo 511 do desítkové číselné soustavy.
Příklad 5. Převeďme šestnáctkové číslo 1151 do desítkové číselné soustavy.
4. Převod z dvojkové soustavy do soustavy se základní „mocninou dvou“ (4, 8, 16 atd.).
Pro převod binárního čísla na číslo s mocninou dvou základů je nutné rozdělit binární posloupnost do skupin podle počtu číslic rovnající se mocnině zprava doleva a každou skupinu nahradit odpovídající číslicí nového čísla. číselný systém.
Převeďme například binární číslo 1100001111010110 do osmičkové soustavy. Za tímto účelem ji rozdělíme do skupin po 3 znacích počínaje zprava (od ), a poté použijeme korespondenční tabulku a nahradíme každou skupinu novým číslem:
Naučili jsme se, jak vytvořit korespondenční tabulku v kroku 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Tito.
Příklad 6. Převedeme binární číslo 1100001111010110 na šestnáctkové.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Převod ze systému se základní „mocninou dvou“ (4, 8, 16 atd.) na binární.
Tento překlad je podobný předchozímu, proveden v opačném směru: každou číslici nahradíme skupinou číslic ve dvojkové soustavě z korespondenční tabulky.
Příklad 7. Převeďme hexadecimální číslo C3A6 na binární číselnou soustavu.
Chcete-li to provést, nahraďte každou číslici čísla skupinou 4 číslic (od ) z korespondenční tabulky a v případě potřeby doplňte skupinu nulami na začátku:
Metody převodu čísel z jedné číselné soustavy do druhé.
Převod čísel z jedné poziční číselné soustavy do druhé: převod celých čísel.
Chcete-li převést celé číslo z jedné číselné soustavy se základem d1 na jinou se základem d2, musíte toto číslo a výsledné podíly postupně dělit základem d2 nového systému, dokud nezískáte podíl menší než základ d2. Poslední kvocient je nejvýznamnější číslice čísla v nové číselné soustavě se základem d2 a číslice za ním jsou zbytky z dělení, zapsané v obráceném pořadí jejich přijetí. Provádějte aritmetické operace v číselné soustavě, ve které je zapsáno překládané číslo.
Příklad 1. Převeďte číslo 11(10) do binární číselné soustavy.
Odpověď: 11(10)=1011(2).
Příklad 2. Převeďte číslo 122(10) do osmičkové číselné soustavy.
Odpověď: 122(10)=172(8).
Příklad 3. Převeďte číslo 500(10) na hexadecimální číselnou soustavu.
Odpověď: 500(10)=1F4(16).
Převod čísel z jedné poziční číselné soustavy do druhé: převod správných zlomků.
Pro převod vlastního zlomku z číselné soustavy se základem d1 na soustavu se základem d2 je nutné postupně vynásobit původní zlomek a zlomkové části výsledných produktů základem nové číselné soustavy d2. Správný zlomek čísla v nové číselné soustavě se základem d2 je tvořen ve formě celých částí výsledných produktů, počínaje první.
Pokud výsledkem převodu je zlomek ve formě nekonečné nebo divergentní řady, lze proces dokončit, když je dosaženo požadované přesnosti.
Při překladu smíšených čísel je nutné odděleně přeložit celočíselnou a zlomkovou část do nové soustavy podle pravidel pro překlad celých čísel a vlastních zlomků a následně oba výsledky spojit do jednoho smíšeného čísla v nové číselné soustavě.
Příklad 1. Převeďte číslo 0,625(10) do binární číselné soustavy.
Odpověď: 0,625(10)=0,101(2).
Příklad 2. Převeďte číslo 0,6(10) na osmičkovou číselnou soustavu.
Odpověď: 0,6(10)=0,463(8).
Příklad 2. Převeďte číslo 0,7(10) na hexadecimální číselnou soustavu.
Odpověď: 0,7(10)=0,B333(16).
Převeďte binární, osmičková a hexadecimální čísla na desítkovou číselnou soustavu.
Chcete-li převést číslo z P-ární soustavy na desítkové, musíte použít následující rozšiřující vzorec:
аnan-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .
Příklad 1. Převeďte číslo 101.11(2) do desítkové číselné soustavy.
Odpověď: 101,11(2)= 5,75(10) .
Příklad 2. Převeďte číslo 57.24(8) do desítkové číselné soustavy.
Odpověď: 57,24(8) = 47,3125(10) .
Příklad 3. Převeďte číslo 7A,84(16) do desítkové číselné soustavy.
Odpověď: 7A.84(16)= 122.515625(10) .
Převod osmičkových a šestnáctkových čísel do dvojkové číselné soustavy a naopak.
Chcete-li převést číslo z osmičkové číselné soustavy na binární, musí být každá číslice tohoto čísla zapsána jako trojciferné binární číslo (triáda).
Příklad: zapište číslo 16,24(8) do dvojkové číselné soustavy.
Odpověď: 16,24(8)= 1110,0101(2) .
Chcete-li převést binární číslo zpět do osmičkové číselné soustavy, musíte původní číslo rozdělit na trojice nalevo a napravo od desetinné čárky a reprezentovat každou skupinu číslicí v osmičkové soustavě. Extrémní neúplné triády jsou doplněny nulami.
Příklad: zapište číslo 1110.0101(2) do osmičkové číselné soustavy.
Odpověď: 1110,0101(2)= 16,24(8) .
Chcete-li převést číslo z hexadecimální číselné soustavy do dvojkové soustavy, musíte každou číslici tohoto čísla zapsat jako čtyřmístné binární číslo (tetradu).
Příklad: zapište číslo 7A,7E(16) do dvojkové číselné soustavy. 
Odpověď: 7A,7E(16)= 1111010,0111111(2) .
Poznámka: úvodní nuly vlevo pro celá čísla a vpravo pro zlomky se nepíší.
Chcete-li převést binární číslo zpět do hexadecimální číselné soustavy, musíte původní číslo rozdělit na tetrády nalevo a napravo od desetinné čárky a reprezentovat každou skupinu číslicí v hexadecimální číselné soustavě. Extrémní neúplné triády jsou doplněny nulami.
Příklad: zapište číslo 1111010.0111111(2) v šestnáctkové soustavě.
