Jak zjistit hustotu rozdělení spojů. Viz stránky, kde je zmíněn pojem hustota spár. Společná funkce hustoty pravděpodobnosti dvou náhodných veličin
Matice je obdélníková tabulka čísel, která se skládá z m čáry stejné délky popř n stejně dlouhé sloupy.
aij- maticový prvek, který je in i -tý řádek a j sloupec.
Pro stručnost lze matici označit jedničkou velké písmeno, Například, A nebo V.
Obecně matice velikosti m× n napište to takhle
Příklady: 
Pokud má matice stejný počet řádků jako počet sloupců, pak se matice zavolá náměstí a počet jeho řádků nebo sloupců se nazývá v pořádku matrice. Ve výše uvedených příkladech je druhá matice čtvercová - její pořadí je 3 a čtvrtá matice je její pořadí 1.
Zavolá se matice, ve které se počet řádků nerovná počtu sloupců obdélníkový. V příkladech se jedná o první matici a třetí.
Hlavní úhlopříčkačtvercové matice nazýváme diagonála jdoucí z levého horního do pravého dolního rohu.
Říká se čtvercová matice, ve které jsou všechny prvky pod hlavní úhlopříčkou rovny nule trojúhelníkový matice.
.
Zavolá se čtvercová matice, ve které jsou všechny prvky, snad kromě těch na hlavní diagonále, rovny nule úhlopříčka matice. Například, nebo.
Nazývá se diagonální matice, ve které jsou všechny diagonální prvky rovny jedné singl matice a označuje se písmenem E. Například matice identity 3. řádu má tvar .
zpět k obsahu
(36)85.Co jsou lineární operace s maticemi? Příklady.
Ve všech případech, kdy jsou zaváděny nové matematické objekty, je nutné dohodnout pravidla pro práci s nimi a také určit, které objekty jsou považovány za rovnocenné.
Na povaze objektů nezáleží. Mohou to být reálná nebo komplexní čísla, vektory, matice, řetězce nebo něco jiného.
K číslu standardní akce zahrnují lineární operace, a to: násobení číslem a sčítání; v tomto konkrétním případě - násobení matice číslem a sčítání matic.
Při násobení matice číslem je každý prvek matice vynásoben tímto číslem a sčítání matice zahrnuje párové sčítání prvků umístěných na ekvivalentních pozicích.
Terminologický výraz "lineární kombinace"<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.
Matice A = || A já j|| A B = || A já j|| jsou považovány za stejné, pokud mají stejné rozměry a jejich odpovídající prvky matice jsou po párech stejné:
Přidání matice Operace sčítání je definována pouze pro matice stejné velikosti. Výsledek sčítání matice A = || A já j|| A B = || b já j|| je matice C = || C já j|| , jehož prvky jsou rovny součtu odpovídajících prvků matice.
Na takových maticích se provádějí různé operace: násobí se navzájem, nacházejí determinanty atd. Matice- speciální případ pole: pokud pole může mít libovolný počet rozměrů, pak pouze dvourozměrné pole se nazývá matice.
V programování se matice také nazývá dvourozměrné pole. Jakékoli pole v programu má název, jako by to byla jedna proměnná. Pro objasnění, která z buněk pole je myšlena, když je v programu zmíněna, je spolu s proměnnou použito i číslo buňky v ní. Jak dvourozměrná matice, tak n-rozměrné pole v programu může obsahovat nejen číselné, ale i symbolické, řetězcové, booleovské a další informace, ale vždy stejné v rámci celého pole.
Matice se označují velkými písmeny A:MxN, kde A je název matice, M je počet řádků v matici a N je počet sloupců. Prvky jsou reprezentovány odpovídajícími malými písmeny s indexy udávajícími jejich počet v řádku a sloupci a (m, n).
Nejběžnější matice jsou obdélníkového tvaru, i když v dávné minulosti matematici zvažovali i trojúhelníkové. Pokud je počet řádků a sloupců matice stejný, nazývá se čtverec. V tomto případě M=N již má název maticového řádu. Matice s pouze jedním řádkem se nazývá řádek. Matice s pouze jedním sloupcem se nazývá sloupcová matice. Diagonální matice je čtvercová matice, ve které jsou pouze prvky umístěné podél úhlopříčky nenulové. Pokud jsou všechny prvky rovny jedné, matice se nazývá identita, pokud jsou všechny prvky rovny nule, nazývá se nula.
Pokud v matici zaměníte řádky a sloupce, stane se transponovaná. Pokud jsou všechny prvky nahrazeny komplexními konjugáty, stává se komplexním konjugátem. Kromě toho existují další typy matic, určené podmínkami, které jsou kladeny na prvky matice. Většina těchto podmínek ale platí pouze pro čtvercové.
Video k tématu
Body v prostoru, produkt Rv dává další vektor, který určuje polohu bodu po otočení. Li proti je řádkový vektor, lze stejnou transformaci získat pomocí vR T, kde R T - transponováno do R matice.
Encyklopedický YouTube
1 / 5
C# - Konzole - Olympiáda - Čtvercová spirála
Matice: definice a základní pojmy
Kde získat sílu a inspiraci Dobíjení 4 čtvercové matice
Součet a rozdíl matic, násobení matice číslem
Transponovaná matice / Transponovaná matice
titulky
Hlavní úhlopříčka
Elementy A ii (i = 1, ..., n) tvoří hlavní diagonálu čtvercové matice. Tyto prvky leží na pomyslné přímce vedoucí z levého horního rohu do pravého dolního rohu matice. Například hlavní úhlopříčka matice 4x4 na obrázku obsahuje prvky A 11 = 9, A 22 = 11, A 33 = 4, A 44 = 10.
Nazývá se úhlopříčka čtvercové matice procházející levým dolním a pravým horním rohem boční.
Speciální typy
| název | Příklad s n = 3 |
|---|---|
| Diagonální matice | [ a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\0&a_(22)&0\\0&0&a_(33)\end(bmatrix))) |
| Dolní trojúhelníková matice | [ a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\a_(21)&a_(22)&0\\a_(31)&a_( 32)&a_(33)\end(bmatice))) |
| Horní trojúhelníková matice | [ a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&a_(12)&a_(13)\\0&a_(22)&a_(23)\\ 0&0&a_(33)\end(bmatrix))) |
Diagonální a trojúhelníkové matice
Pokud jsou všechny prvky mimo hlavní diagonálu nulové, A nazývané diagonální. Pokud jsou všechny prvky nad (pod) hlavní diagonálou nulové, A nazývá se spodní (horní) trojúhelníková matice.
Matice identity
Q(X) = X T Sekerapřijímá pouze kladné hodnoty (respektive záporné hodnoty nebo obojí). Pokud kvadratická forma nabývá pouze nezáporných (respektive pouze nekladných) hodnot, symetrická matice se nazývá pozitivně semidefinitní (respektive negativní semidefinitní). Matice bude neurčitá, pokud není ani kladná, ani záporná semidefinitní.
Symetrická matice je kladně definitní tehdy a jen tehdy, když jsou všechna její vlastní čísla kladná. Tabulka vpravo ukazuje dva možné případy pro matice 2x2.
Pokud použijeme dva různé vektory, získáme bilineární formu spojenou s A:
B A (X, y) = X T Ano.Ortogonální matice
Ortogonální matice je čtvercová matice s reálnými prvky, jejichž sloupce a řádky jsou ortogonální jednotkové vektory (tj. ortonormální). Ortogonální matici můžete také definovat jako matici, jejíž inverzní hodnota je rovna její transpozici:
A T = A − 1 , (\displaystyle A^(\mathrm (T) )=A^(-1),)Odkud to pochází
A T A = A A T = E (\displaystyle A^(T)A=AA^(T)=E),Ortogonální matice A vždy reverzibilní ( A −1 = A T), unitární ( A −1 = A*) a normální ( A*A = A.A.*). Determinant jakékoli ortonormální matice je buď +1 nebo -1. Jako lineární zobrazení je jakákoli ortonormální matice s determinantem +1 jednoduchou rotací, zatímco jakákoli ortonormální matice s determinantem -1 je buď jednoduchým odrazem, nebo složením odrazu a rotace.
Operace
Dráha
Determinant det( A) nebo | A| čtvercová matice A je číslo, které určuje některé vlastnosti matice. Matice je invertibilní právě tehdy, když je její determinant nenulový.
Nechť existuje čtvercová matice n-tého řádu
Je volána matice A -1 inverzní matice ve vztahu k matici A, pokud A*A -1 = E, kde E je matice identity n-tého řádu.
Matice identity- taková čtvercová matice, ve které jsou všechny prvky podél hlavní úhlopříčky, přecházející z levého horního rohu do pravého dolního rohu, jedničky a zbytek jsou nuly, například:
inverzní matice může existovat pouze pro čtvercové matice těch. pro ty matice, ve kterých se počet řádků a sloupců shoduje.
Věta pro podmínku existence inverzní matice
Aby matice měla inverzní matici, je nutné a postačující, aby byla nesingulární.
Zavolá se matice A = (A1, A2,...A n). nedegenerované, pokud jsou sloupcové vektory lineárně nezávislé. Počet lineárně nezávislých sloupcových vektorů matice se nazývá hodnost matice. Můžeme tedy říci, že pro existenci inverzní matice je nutné a postačující, aby hodnost matice byla rovna jejímu rozměru, tzn. r = n.
Algoritmus pro nalezení inverzní matice
- Do tabulky pro řešení soustav rovnic Gaussovou metodou zapište matici A a přiřaďte jí vpravo (na místo pravých stran rovnic) matici E.
- Pomocí Jordanových transformací redukujte matici A na matici sestávající z jednotkových sloupců; v tomto případě je nutné současně transformovat matici E.
- V případě potřeby přeuspořádejte řádky (rovnice) poslední tabulky tak, abyste pod maticí A původní tabulky dostali matici identity E.
- Zapište inverzní matici A -1, která se nachází v poslední tabulce pod maticí E původní tabulky.
Pro matici A najděte inverzní matici A -1
Řešení: Napíšeme matici A a vpravo přiřadíme matici identity E Pomocí Jordanových transformací redukujeme matici A na matici identity E. Výpočty jsou uvedeny v tabulce 31.1.
Zkontrolujme si správnost výpočtů vynásobením původní matice A a inverzní matice A -1.
Jako výsledek násobení matic byla získána matice identity. Proto byly výpočty provedeny správně.
Odpovědět: 
Řešení maticových rovnic
Maticové rovnice mohou vypadat takto:
AX = B, HA = B, AXB = C,
kde A, B, C jsou specifikované matice, X je požadovaná matice.
Maticové rovnice se řeší vynásobením rovnice inverzními maticemi.
Chcete-li například najít matici z rovnice, musíte tuto rovnici vynásobit vlevo.
Proto, abyste našli řešení rovnice, musíte najít inverzní matici a vynásobit ji maticí na pravé straně rovnice.
Ostatní rovnice jsou řešeny obdobně.
Řešte rovnici AX = B jestliže 
Řešení: Protože inverzní matice je rovna (viz příklad 1)
Maticová metoda v ekonomické analýze
Spolu s jinými se také používají maticové metody. Tyto metody jsou založeny na lineární a vektorově-maticové algebře. Tyto metody se používají pro účely analýzy složitých a vícerozměrných ekonomických jevů. Nejčastěji se tyto metody používají, když je potřeba provést srovnávací hodnocení fungování organizací a jejich strukturálního členění.
V procesu aplikace metod maticové analýzy lze rozlišit několik fází.
V první fázi vytváří se systém ekonomických ukazatelů a na jeho základě se sestavuje matice výchozích údajů, což je tabulka, ve které jsou v jednotlivých řádcích uvedena systémová čísla (i = 1,2,...,n), a ve svislých sloupcích - čísla ukazatelů (j = 1,2,....,m).
Ve druhé fázi Pro každý vertikální sloupec je identifikována největší z dostupných hodnot indikátoru, která je brána jako jedna.
Poté se všechny částky uvedené v tomto sloupci vydělí největší hodnotou a vytvoří se matice standardizovaných koeficientů.
Ve třetí fázi všechny složky matice jsou odmocněny. Pokud mají různou významnost, pak je každému maticovému indikátoru přiřazen určitý váhový koeficient k. Hodnota posledně jmenovaného je stanovena znaleckým posudkem.
Na té poslední, čtvrtá etapa nalezené hodnoty hodnocení Rj jsou seskupeny v pořadí jejich zvýšení nebo snížení.
Naznačené maticové metody by měly být použity např. při srovnávací analýze různých investičních projektů, ale i při hodnocení dalších ekonomických ukazatelů činnosti organizací.
