Integrace částečně iracionálních funkcí. Metody integrace iracionálních funkcí (kořeny)

Uvažujme integrály s odmocninou lineární zlomkové funkce:
(1) ,
kde R je racionální funkce jeho argumentů. Tedy funkci složenou ze svých argumentů a libovolných konstant využívajících konečný počet operací sčítání (odčítání), násobení a dělení (umocňování na celé číslo).

Příklady uvažovaných integrálů se zlomkovou lineární iracionalitou

Uveďme příklady integrálů s kořeny tvaru (1) .

Příklad 1

Ačkoli zde znak integrálu zahrnuje kořeny různých stupňů, výraz integrandu lze transformovat následovně:
;
;
.

Integrand je tedy tvořen integrační proměnnou x a kořenem lineární funkce pomocí konečného počtu operací odčítání, dělení a násobení. Jedná se tedy o racionální funkci x a a patří k uvažovanému typu (1) s konstantními hodnotami n = 6 , α = β = δ = 1 , γ = 0 :
.

Příklad 2

Zde provedeme konverzi:
.
To ukazuje, že integrand je racionální funkcí x a . Patří tedy k příslušnému typu.

Obecný příklad zlomkové lineární iracionality

V obecnějším případě může integrand obsahovat libovolný konečný počet kořenů stejné lineární zlomkové funkce:
(2) ,
kde R je racionální funkce jeho argumentů,
- racionální čísla,
m 1, n 1, ..., m s, n s- celá čísla.
Nechť je n společným jmenovatelem čísel r 1, ..., r s. Pak mohou být reprezentovány jako:
,
kde k 1, k 2, ..., k s- celá čísla. Poté se zapojili všichni (2) kořeny jsou síly:
,
,
. . . . .
.

Tedy celý integrand (2) skládá se z x a odmocniny pomocí konečného počtu operací sčítání, násobení a dělení. Proto je to racionální funkce x a :
.

Metoda integrace kořenů

Integrální s frakční lineární iracionalitou
(1)
redukuje na integrál racionální funkce substitucí
(3) .

Důkaz

Vyjmutí kořene stupně n z obou stran (3) :
.

Pojďme se transformovat (3) :
;
;
.

Hledání derivátu:

;
;
.
Rozdíl:
.

Vystřídejte v (1) :
.

To ukazuje, že integrandová funkce je složena z konstant a integrační proměnné t pomocí konečného počtu operací sčítání (odčítání), násobení (zvyšování na celé číslo) a dělení. Proto je integrand racionální funkcí integrační proměnné. Výpočet integrálu byl tedy zredukován na integraci racionální funkce. Q.E.D.

Příklad integrace lineární iracionality

Najděte integrál:

Řešení

Protože integrál obsahuje kořeny stejné (zlomkové) lineární funkce x + 1 a integrand je tvořen pomocí operací odčítání a dělení, pak tento integrál patří do uvažovaného typu.

Transformujme integrand tak, aby zahrnoval kořeny stejného stupně:
;
;
.

Provádění substituce
x+ 1 = t6.
Vezměme si diferenciál:
d (x + 1) = dx = ( t 6 )′ dt = 6 t 5 dt.
Pojďme nahradit:
x = t 6 - 1 ;
;
;
.
Vybereme celou část zlomku s tím, že
t 6 - 1 = (t - 1)(t 5 + t 4 + t 3 + t 2 + t + 1).
Pak

.

Odpovědět

,
kde .

Příklad integrace frakčně-lineární iracionality

Najděte integrál

Řešení

Vyberme kořen lineární zlomkové funkce:
.
Pak
.
Provádění substituce
.
Vezměte diferenciál
.
Hledání derivace
.
Pak
.
Dále si toho všimneme
.
Nahraďte do integrandu


.

Odpovědět

Reference:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Sbírka úloh z vyšší matematiky, „Lan“, 2003.

Dříve, vzhledem k dané funkci, vedeni různými vzorci a pravidly, jsme našli její derivaci. Derivát má četná použití: je to rychlost pohybu (nebo obecněji rychlost jakéhokoli procesu); úhlový koeficient tečny ke grafu funkce; pomocí derivace můžete zkoumat funkci na monotónnost a extrémy; pomáhá řešit problémy s optimalizací.

Ale spolu s problémem zjištění rychlosti podle známého zákona o pohybu existuje také problém obrácený - problém obnovení zákona o pohybu podle známé rychlosti. Podívejme se na jeden z těchto problémů.

Příklad 1. Hmotný bod se pohybuje přímočaře, jeho rychlost v čase t je dána vzorcem v=gt. Najděte zákon pohybu.
Řešení. Nechť s = s(t) je požadovaný pohybový zákon. Je známo, že s"(t) = v(t). To znamená, že k vyřešení úlohy je třeba vybrat funkci s = s(t), jejíž derivace je rovna gt. Není těžké uhodnout že \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Odpověď: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Ihned poznamenejme, že příklad je vyřešen správně, ale neúplně. Dostali jsme \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Ve skutečnosti má problém nekonečně mnoho řešení: jakákoli funkce ve tvaru \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), kde C je libovolná konstanta, může sloužit jako zákon pohyb, protože \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Abychom problém upřesnili, museli jsme opravit výchozí situaci: označit souřadnici pohybujícího se bodu v určitém časovém okamžiku, například v t = 0. Pokud řekněme s(0) = s 0, pak z rovnost s(t) = (gt 2)/2 + C dostaneme: s(0) = 0 + C, tj. C = s 0. Nyní je pohybový zákon jednoznačně definován: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

V matematice se vzájemně inverzním operacím dávají různé názvy, vymýšlí se speciální zápisy, např.: druhá mocnina (x 2) a odmocnina (\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) a arkussinus (arcsin x) atd. Proces hledání derivace dané funkce se nazývá diferenciace, a inverzní operace, tedy proces hledání funkce z dané derivace, je integrace.

Samotný termín „derivát“ lze odůvodnit „všedním způsobem“: funkce y = f(x) „zrodí“ novou funkci y" = f"(x). Funkce y = f(x) funguje jako „rodič“, ale matematici ji přirozeně nenazývají „rodič“ nebo „producent“ ve vztahu k funkci y" = f"(; x), primární obrázek nebo primitivní.

Definice. Funkce y = F(x) se nazývá primitivní pro funkci y = f(x) na intervalu X, pokud pro \(x \in X\) platí rovnost F"(x) = f(x)

V praxi se interval X obvykle neuvádí, ale je implikován (jako přirozená doména definice funkce).

Uveďme příklady.
1) Funkce y = x 2 je primitivní pro funkci y = 2x, protože pro libovolné x platí rovnost (x 2)" = 2x
2) Funkce y = x 3 je primitivní pro funkci y = 3x 2, protože pro libovolné x platí rovnost (x 3)" = 3x 2
3) Funkce y = sin(x) je primitivní pro funkci y = cos(x), protože pro libovolné x platí rovnost (sin(x))" = cos(x)

Při hledání primitivních, ale i derivátů se používají nejen vzorce, ale i některá pravidla. Přímo souvisejí s odpovídajícími pravidly pro výpočet derivátů.

Víme, že derivace součtu se rovná součtu jeho derivací. Toto pravidlo generuje odpovídající pravidlo pro hledání primitivních derivátů.

Pravidlo 1. Primitivní prvek součtu se rovná součtu primitivních prvků.

Víme, že konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka derivace. Toto pravidlo generuje odpovídající pravidlo pro hledání primitivních derivátů.

Pravidlo 2. Je-li F(x) primitivní pro f(x), pak kF(x) je primitivní pro kf(x).

Věta 1. Jestliže y = F(x) je primitivní funkce pro funkci y = f(x), pak primitivní funkce pro funkci y = f(kx + m) je funkce \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Věta 2. Jestliže y = F(x) je primitivní funkce pro funkci y = f(x) na intervalu X, pak funkce y = f(x) má nekonečně mnoho primitivních funkcí a všechny mají tvar y = F(x) + C.

Integrační metody

Variabilní náhradní metoda (substituční metoda)

Metoda integrace substitucí zahrnuje zavedení nové integrační proměnné (tj. substituce). V tomto případě je daný integrál redukován na nový integrál, který je tabulkový nebo na něj redukovatelný. Neexistují žádné obecné metody pro výběr substitucí. Schopnost správně určit substituci se získává praxí.
Nechť je třeba vypočítat integrál \(\textstyle \int F(x)dx \). Udělejme substituci \(x= \varphi(t) \), kde \(\varphi(t) \) je funkce, která má spojitou derivaci.
Potom \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) a na základě vlastnosti invariance integračního vzorce pro neurčitý integrál získáme integrační vzorec substitucí:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integrace výrazů ve tvaru \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Je-li m liché, m > 0, pak je vhodnější provést substituci sin x = t.
Pokud je n liché, n > 0, pak je výhodnější provést substituci cos x = t.
Jsou-li n a m sudé, pak je vhodnější provést substituci tg x = t.

Integrace po částech

Integrace po částech - použití následujícího vzorce pro integraci:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
nebo:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tabulka neurčitých integrálů (antiderivátů) některých funkcí

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Neexistuje žádný univerzální způsob řešení iracionálních rovnic, protože jejich třída se liší v množství. Článek upozorní na charakteristické typy rovnic se substitucí pomocí integrační metody.

Pro použití metody přímé integrace je nutné počítat neurčité integrály typu ∫ k x + b p d x , kde p je racionální zlomek, kab jsou reálné koeficienty.

Příklad 1

Najděte a vypočítejte primitivní funkce funkce y = 1 3 x - 1 3 .

Řešení

Podle integračního pravidla je nutné použít vzorec ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C a tabulka primitivních funkcí ukazuje, že pro tuto funkci existuje hotové řešení. . Chápeme to

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + C

Odpovědět:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

Jsou případy, kdy je možné použít metodu subsumování diferenciálního znaménka. To je řešeno principem hledání neurčitých integrálů tvaru ∫ f " (x) · (f (x)) p d x , kdy hodnotu p považujeme za racionální zlomek.

Příklad 2

Najděte neurčitý integrál ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .

Řešení

Všimněte si, že d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. Pak je nutné podsunout diferenciální znaménko pomocí tabulek primitivních derivátů. Dostaneme, že

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Odpovědět:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

Řešení neurčitých integrálů zahrnuje vzorec ve tvaru ∫ d x x 2 + p x + q, kde p a q jsou reálné koeficienty. Poté musíte vybrat celý čtverec zpod kořene. Chápeme to

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Použitím vzorce umístěného v tabulce neurčitých integrálů získáme:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

Potom se vypočítá integrál:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

Příklad 3

Najděte neurčitý integrál ve tvaru ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .

Řešení

Chcete-li vypočítat, musíte vyjmout číslo 2 a umístit jej před radikál:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Vyberte úplný čtverec v radikálním výrazu. Chápeme to

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Pak získáme neurčitý integrál ve tvaru 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 12 + C

Odpovědět: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Integrace iracionálních funkcí se provádí podobným způsobem. Platí pro funkce ve tvaru y = 1 - x 2 + p x + q.

Příklad 4

Najděte neurčitý integrál ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .

Řešení

Nejprve musíte odvodit druhou mocninu jmenovatele výrazu pod odmocninou.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

Tabulkový integrál má tvar ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C, pak dostaneme, že ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 + C

Odpovědět:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a rc sin x - 2 3 + C .

Proces hledání primitivních iracionálních funkcí tvaru y = M x + N x 2 + p x + q, kde existující M, N, p, q jsou reálné koeficienty a jsou podobné integraci jednoduchých zlomků třetího typu . Tato transformace má několik fází:

sčítání diferenciálu pod odmocninou, izolování úplného čtverce výrazu pod odmocninou pomocí tabulkových vzorců.

Příklad 5

Najděte primitivní funkce funkce y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.

Řešení

Z podmínky máme, že d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x a x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, pak (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x.

Vypočítejme integrál: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

Odpovědět:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

Hledání neurčitých integrálů funkce ∫ x m (a + b x n) p d x se provádí substituční metodou.

K vyřešení je nutné zavést nové proměnné:

1. Když p je celé číslo, pak se uvažuje x = z N a N je společný jmenovatel pro m, n.
2. Když m + 1 n je celé číslo, pak a + b x n = z N a N je jmenovatel p.
3. Když m + 1 n + p je celé číslo, pak je vyžadována proměnná a x - n + b = z N a N je jmenovatel čísla p.

Příklad 6

Najděte určitý integrál ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Řešení

Dostaneme, že ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Z toho vyplývá, že m = - 1, n = 1, p = - 1 2, pak m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 je celé číslo. Můžete zavést novou proměnnou ve tvaru - 9 + 2 x = z 2. Je nutné vyjádřit x pomocí z. Jako výstup to dostaneme

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

Do daného integrálu je potřeba provést substituci. To máme

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

Odpovědět:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c k t g 2 x - 9 3 + C .

Pro zjednodušení řešení iracionálních rovnic se používají základní integrační metody.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Tato část se bude zabývat metodou integrace racionálních funkcí. 7.1. Stručné informace o racionálních funkcích Nejjednodušší racionální funkcí je polynom desátého stupně, tzn. funkce tvaru kde jsou reálné konstanty a a0 Ф 0. Polynom Qn(x), jehož koeficient a0 = 1 se nazývá redukovaný. Reálné číslo b se nazývá kořenem polynomu Qn(z), jestliže Q„(b) = 0. Je známo, že každý polynom Qn(x) s reálnými koeficienty je jednoznačně rozložen na reálné faktory tvaru kde p, q jsou reálné koeficienty a kvadratické faktory nemají reálné kořeny, a proto je nelze rozložit na reálné lineární faktory. Kombinací stejných faktorů (pokud existují) a za předpokladu, že polynom Qn(x) je pro zjednodušení redukován, můžeme zapsat jeho rozklad ve tvaru kde jsou přirozená čísla. Protože stupeň polynomu Qn(x) je roven n, pak je součet všech exponentů a, /3,..., A přičtený k dvojnásobnému součtu všech exponentů ω,..., q roven až n: Kořen a polynomu se nazývá jednoduchý nebo jednoduchý, pokud a = 1, a násobek, pokud a > 1; číslo a se nazývá násobnost kořene a. Totéž platí pro ostatní kořeny polynomu. Racionální funkce f(x) nebo racionální zlomek je poměr dvou polynomů a předpokládá se, že polynomy Pm(x) a Qn(x) nemají společné faktory. Racionální zlomek se nazývá vlastní, pokud je stupeň polynomu v čitateli menší než stupeň polynomu ve jmenovateli, tzn. Jestliže m n, pak se racionální zlomek nazývá nevlastní zlomek a v tomto případě, po dělení čitatele jmenovatelem podle pravidla pro dělení polynomů, může být reprezentován ve tvaru, kde jsou nějaké polynomy, a ^^ je vlastní racionální zlomek. Příklad 1. Racionální zlomek je nevlastní zlomek. Dělení „rohem“ máme Proto. Tady. a je to pořádný zlomek. Definice. Nejjednodušší (neboli elementární) zlomky jsou racionální zlomky následujících čtyř typů: kde jsou reálná čísla, k je přirozené číslo větší nebo rovné 2 a čtvercová trojčlenka x2 + px + q nemá reálné kořeny, takže -2 _2 je jeho diskriminant V algebře je dokázána následující věta. Věta 3. Vlastní racionální zlomek s reálnými koeficienty, jehož jmenovatel má tvar Qn(x), se jedinečným způsobem rozloží na součet jednoduchých zlomků podle pravidla Integrace racionálních funkcí Stručné informace o racionálních funkcích Integrace jednoduchých zlomků Obecný případ Integrace iracionálních funkcí První Eulerova substituce Druhá Eulerova substituce Třetí Eulerova substituce V tomto rozšíření jsou některé reálné konstanty, z nichž některé se mohou rovnat nule. Abychom našli tyto konstanty, přivedeme pravou stranu rovnosti (I) ke společnému jmenovateli a pak koeficienty se stejnými mocninami x v čitatelích levé a pravé strany rovnají. To dává soustavu lineárních rovnic, ze kterých se nalézají požadované konstanty. . Tato metoda hledání neznámých konstant se nazývá metoda neurčitých koeficientů. Někdy je vhodnější použít jiný způsob hledání neznámých konstant, který spočívá v tom, že po zrovnoprávnění čitatelů se získá identita vzhledem k x, ve které jsou argumentu x dány nějaké hodnoty, například hodnoty ​kořenů, což vede k rovnicím pro hledání konstant. Zvláště vhodné je, když má jmenovatel Q„(x) pouze skutečné jednoduché kořeny. Příklad 2. Rozložte racionální zlomek na jednodušší zlomky. Rozložíme jmenovatele na násobky: Protože kořeny jmenovatele jsou skutečné a různé, pak na základě vzorce (1) bude mít rozklad zlomku na nejjednodušší tvar: Snížení správné cti „té rovnosti na společného jmenovatele a ztotožněním čitatelů na jeho levé a pravé straně získáme identitu nebo Neznámé koeficienty A. 2?, C zjistíme dvěma způsoby. První způsob Vyrovnání koeficientů pro stejné mocniny x, t.v. s (volný člen) a levou a pravou stranou identity získáme lineární soustavu rovnic pro hledání neznámých koeficientů A, B, C: Tato soustava má jednoznačné řešení C Druhá metoda. Protože kořeny jmenovatele jsou přetrženy v i 0, dostaneme 2 = 2A, odkud A * 1; g i 1, dostaneme -1 * -B, z čehož 5 * 1; x i 2, dostaneme 2 = 2C. odkud C» 1, a požadovaný rozvoj má tvar 3. Rehlozhnt ne nejjednodušší zlomky racionální zlomek 4 Polynom, který je v opačném směru, rozložíme na činitele: . Jmenovatel má dva různé reálné kořeny: x\ = 0 násobek násobnosti 3. Proto rozklad tohoto zlomku není nejjednodušší: Zmenšením pravé strany na společného jmenovatele najdeme aneb První metoda. Srovnání koeficientů pro stejné mocniny x na levé a pravé straně poslední identity. získáme lineární soustavu rovnic Tato soustava má jedinečné řešení a požadovaným rozšířením bude druhá metoda. Ve výsledné identitě, když x = 0, dostaneme 1 a A2, neboli A2 = 1; pole* gay x = -1, dostaneme -3 i B), nebo Bj i -3. Při dosazení nalezených hodnot koeficientů A\ a B) a identita bude mít tvar nebo Uvedení x = 0 a poté x = -I. zjistíme, že = 0, B2 = 0 a. to znamená B = 0. Opět dostáváme příklad 4. Rozšiřte racionální zlomek 4 na jednodušší zlomky. Jmenovatel zlomku nemá reálné kořeny, protože funkce x2 + 1 nezaniká pro žádné reálné hodnoty x. Rozklad na jednoduché zlomky by tedy měl mít tvar Odtud dostáváme resp. Když vyrovnáme koeficienty synaxových mocnin x na levé a pravé straně poslední rovnosti, budeme mít, kde najdeme, a proto je třeba poznamenat, že v některých případech lze rozklady na jednoduché zlomky získat rychleji a snadněji působením nějakým jiným způsobem, bez použití metody neurčitých koeficientů Chcete-li například získat rozklad zlomku v příkladu 3, můžete sčítat a odečítat v čitateli 3x2 a dělit, jak je uvedeno níže. 7.2. Integrace jednoduchých zlomků, Jak již bylo zmíněno výše, každý nevlastní racionální zlomek může být reprezentován jako součet nějakého polynomu a vlastního racionálního zlomku (§7), a toto zobrazení je jedinečné. Integrace polynomu není obtížná, proto zvažte otázku integrace správného racionálního zlomku. Protože každý správný racionální zlomek může být reprezentován jako součet jednoduchých zlomků, jeho integrace je redukována na integraci jednoduchých zlomků. Podívejme se nyní na otázku jejich integrace. III. Abychom našli integrál nejjednoduššího zlomku třetího typu, izolujeme úplný čtverec binomu od čtvercového trinomu: Protože druhý člen je roven a2, kde a potom provedeme substituci. Potom, vezmeme-li v úvahu lineární vlastnosti integrálu, zjistíme: Příklad 5. Najděte integrál 4 Funkce integrandu je nejjednodušší zlomek třetího typu, protože čtvercový trinom x1 + Ax + 6 nemá žádné reálné kořeny (jeho diskriminant je záporné: , a čitatel obsahuje polynom prvního stupně Proto postupujeme následovně: 1) vybereme ve jmenovateli dokonalý čtverec 2) provedeme substituci (zde 3) * jedním integrálem Chcete-li najít integrál daného. nejjednodušší zlomek čtvrtého typu, dáme, jak je uvedeno výše, . Pak dostaneme Integrál na pravé straně označený A a transformujeme jej následovně: Integrál na pravé straně je integrován po částech, za předpokladu odkud nebo Integrace racionálních funkcí Stručné informace o racionálních funkcích Integrace jednoduchých zlomků Obecný případ Integrace iracionálních funkce První Eulerova substituce Druhá Eulerova substituce Třetí substituce Euler Získali jsme tzv. rekurentní vzorec, který nám umožňuje najít integrál Jk pro libovolné k = 2, 3,. ... Integrál J\ je skutečně tabulkový: Když do vzorce pro opakování vložíme Vědět a dáme A = 3, můžeme snadno najít Jj a tak dále. V konečném výsledku, dosadíme-li všude místo t a a jejich vyjádření pomocí x a koeficientů p a q, získáme pro počáteční integrál jeho vyjádření pomocí x a daných čísel M, LG, p, q. Příklad 8. Nový integrál „Funkce integrandu je nejjednodušší zlomek čtvrtého typu, jelikož diskriminant čtvercového trinomu je záporný, tzn. To znamená, že jmenovatel nemá žádné skutečné kořeny a čitatel je polynom 1. stupně. 1) Ve jmenovateli vybereme úplný čtverec 2) Provedeme substituci: Integrál bude mít tvar: Dosadíme-li vzorec pro opakování * = 2, a3 = 1. budeme mít, a proto se požadovaný integrál rovná Vrátíme-li se k proměnné x, nakonec dostaneme 7,3. Obecný případ Z výsledků odstavců. 1 a 2 této části bezprostředně následuje důležitá věta. Teorém! 4. Neurčitý integrál každé racionální funkce vždy existuje (na intervalech, ve kterých je jmenovatel zlomku Q„(x) φ 0) a je vyjádřen konečným počtem elementárních funkcí, totiž jde o algebraický součet, členy z nichž lze násobit pouze racionální zlomky, přirozené logaritmy a arkustangens. Abychom tedy našli neurčitý integrál zlomkově-racionální funkce, měli bychom postupovat následovně: 1) je-li racionální zlomek nevlastní, pak dělením čitatele jmenovatelem se izoluje celá část, tj. je reprezentován jako součet polynomu a vlastního racionálního zlomku; 2) pak se jmenovatel výsledného vlastního zlomku rozloží na součin lineárních a kvadratických faktorů; 3) tento vlastní zlomek se rozloží na součet jednoduchých zlomků; 4) pomocí linearity integrálu a vzorců z kroku 2 jsou integrály každého členu nalezeny samostatně. Příklad 7. Najděte integrál M Protože jmenovatelem je polynom třetího řádu, integrandová funkce je nevlastní zlomek. Zvýrazňujeme v něm celou část: Proto budeme mít. Jmenovatel vlastního zlomku má pí odlišné reálné kořeny: a proto jeho rozklad na jednoduché zlomky má tvar Proto najdeme. Dáme-li argument x hodnoty rovné kořenům jmenovatele, zjistíme z této identity, že: Požadovaný integrál se tedy bude rovnat příkladu 8. Najděte integrál 4 Integrand je vlastní zlomek, jehož jmenovatel má dva různé reálné kořeny: x - O násobnost 1 a x = 1 násobnosti 3, Proto rozšíření integrandu na jednoduché zlomky má tvar Přivedení pravé strany této rovnosti ke společnému jmenovateli a zmenšení obou stran rovnosti tímto jmenovatelem získáme popř. Srovnáme koeficienty pro stejné mocniny x na levé a pravé straně této identity: Odtud najdeme. Dosazením nalezených hodnot koeficientů do rozvoje získáme: Příklad 9. Najděte integrál 4 Jmenovatel zlomku nemá reálné kořeny. Proto expanze integrandu do jednoduchých zlomků má tvar Proto neboli Rovnice koeficientů pro stejné mocniny x na levé a pravé straně této identity, budeme mít odkud najdeme a tedy Poznámka. V uvedeném příkladu lze integrandovou funkci znázornit jako součet jednoduchých zlomků jednodušším způsobem, totiž v čitateli zlomku vybereme dvojku, která je ve jmenovateli, a poté provedeme dělení po členech. : §8. Integrace iracionálních funkcí Funkce tvaru, kde Pm a £?„ jsou polynomy stupně stupně v proměnných uub2,... se nazývá racionální funkce ubu2j... Například polynom druhého stupně ve dvou proměnných u\ a u2 má tvar kde - nějaké reálné konstanty, a Příklad 1, Funkce je racionální funkcí proměnných r a y, protože představuje poměr polynomu třetího stupně a polynomu pátého stupně, ale není funkcí tisu. V případě, že proměnné jsou zase funkcemi proměnné x: pak se funkce ] nazývá racionální funkcí funkcí z Příkladu. Funkce je racionální funkcí r a rvdikvlv Pryaivr 3. Funkce tvaru není racionální funkcí x a radikálu y/r1 + 1, ale je to racionální funkce funkcí, jak ukazují příklady, integrály iracionální funkce nejsou vždy vyjádřeny pomocí elementárních funkcí. Například integrály často používané v aplikacích nejsou vyjádřeny v termínech elementárních funkcí; tyto integrály se nazývají eliptické integrály prvního a druhého druhu. Uvažujme ty případy, kdy lze integraci iracionálních funkcí redukovat pomocí některých substitucí na integraci racionálních funkcí. 1. Nechť je třeba najít integrál, kde R(x, y) je racionální funkcí jeho argumentů x a y; m £ 2 - přirozené číslo; a, 6, c, d jsou reálné konstanty, které splňují podmínku ad - bc ^ O (pro ad - be = 0 jsou koeficienty a a b úměrné koeficientům c a d, a proto vztah nezávisí na x to znamená, že v tomto případě bude funkce integrandu racionální funkcí proměnné x, o jejíž integraci jsme hovořili dříve). Udělejme změnu proměnné v tomto integrálu, čímž proměnnou x vyjádříme pomocí nové proměnné. Máme x = - racionální funkci t. Dále najdeme nebo, po zjednodušení, Proto kde A1 (t) je racionální funkcí *, protože racionální fundadia racionální funkce, stejně jako součin racionálních funkcí, jsou racionální funkce. Víme, jak integrovat racionální funkce. Nechť Potom je požadovaný integrál roven At. IvYti integrál 4 Funkce integrand* je racionální funkcí. Nastavíme tedy t = Then Integrace racionálních funkcí Stručné informace o racionálních funkcích Integrace jednoduchých zlomků Obecný případ Integrace iracionálních funkcí Eulerova první substituce Eulerova druhá substituce Eulerova třetí substituce Tak získáme Primar 5. Najděte integrál Společný jmenovatel zlomku exponenty x se rovná 12, takže integrand funkce může být reprezentován ve tvaru 1 _ 1_, což ukazuje, že jde o racionální funkci: Vezmeme-li toto v úvahu, dejme tomu. Následně 2. Uvažujme intefy tvaru, kde subintefální funkce je taková, že nahrazením radikálu \/ax2 + bx + c v ní za y získáme funkci R(x) y) - racionální vzhledem k oběma argumentům x a y. Tento integrál je pomocí Eulerových substitucí redukován na integrál racionální funkce jiné proměnné. 8.1. První Eulerova substituce Nechť koeficient a > 0. Nastavíme nebo Najdeme x jako racionální funkci u, což znamená Naznačená substituce tedy vyjadřuje racionálně pomocí *. Proto budeme mít poznámku. První Eulerova substituce může být také ve tvaru Příklad 6. Najdeme integrál Proto budeme mít dx Eulerovu substituci, ukažte, že Y 8.2. Druhá Eulerova substituce Nechť trinom ax2 + bx + c mají různé reálné kořeny R] a x2 (koeficient může mít libovolné znaménko). V tomto případě předpokládáme Od té doby dostáváme Protože x,dxn y/ax2 + be + c jsou vyjádřeny racionálně pomocí t, pak je původní integrál redukován na integrál racionální funkce, tj. kde Problém. Pomocí první Eulerovy substituce ukažte, že jde o racionální funkci t. Příklad 7. Najděte integrální funkci dx M ] - x1 má různé reálné kořeny. Proto použijeme druhou Eulerovu substituci. máme 8.3. Třetí Eulerův substascom Nechť koeficient c > 0. Změnu proměnné provedeme vložením. Všimněte si, že k redukci integrálu na integrál racionální funkce stačí první a druhá Eulerova substituce. Ve skutečnosti, pokud je diskriminant b2 -4ac > 0, pak kořeny kvadratického trinomu ax + bx + c jsou reálné a v tomto případě je použitelná druhá Eulerova substituce. Pokud se tedy znaménko trinomu ax2 + bx + c shoduje se znaménkem koeficientu a, a protože trinom musí být kladný, pak a > 0. V tomto případě platí první Eulerova substituce. K nalezení integrálů výše uvedeného typu není vždy vhodné používat Eulerovy substituce, protože pro ně je možné najít jiné metody integrace, které vedou k cíli rychleji. Podívejme se na některé z těchto integrálů. 1. Chcete-li najít integrály tvaru, izolujte dokonalý čtverec od druhé mocniny tého trojčlenu: kde Poté proveďte substituci a dostaňte se, kde koeficienty a a P mají různá znaménka nebo jsou oba kladné. Pro a také pro a > 0 bude integrál redukován na logaritmus, a pokud ano, na arkussinus. Na. Pak najděte imtegral 4 Sokak. Za předpokladu, že dostaneme Prmmar 9. Najít. Za předpokladu x - budeme mít 2. Integrál tvaru se redukuje na integrál y z kroku 1 následovně. Vzhledem k tomu, že derivace ()" = 2, zvýrazníme ji v čitateli: 4 Identifikujeme derivaci radikálového výrazu v čitateli. Protože (x, pak budeme mít, vezmeme-li v úvahu výsledek příkladu 9, 3. Integrály tvaru, kde P„(x) je polynom n -tého stupně, lze najít metodou neurčitých koeficientů, která se skládá z následujícího Předpokládejme, že rovnost je Příklad 10. Mocný integrál kde Qn-i (s) je polynom stupně (n - 1) s neurčitými koeficienty: Abychom našli neznámé koeficienty |. jmenovatel levé strany, tj. y/ax2 + bx + c, redukující obě strany (2), čímž získáme identitu, na které obě strany obsahují polynomy stupně n Rovnice koeficientů pro stejné stupně x v levou a pravou stranu (3), získáme n + 1 rovnic, ze kterých najdeme požadované koeficienty j4*(fc = 0,1,2,..., n ), dosadíme-li jejich hodnoty na pravou stranu z (1) a nalezením integrálu + c získáme odpověď pro tento integrál. Příklad 11. Najděte integrál Položme Odlišením obou barev rovnosti dostaneme Přivedení pravé strany ke společnému jmenovateli a zmenšení obou stran o něj, dostaneme identitu resp. Rovnicí koeficientů při stejných mocninách x dospějeme k soustavě rovnic, ze které zjistíme = Pak najdeme integrál na pravé straně rovnosti (4): V důsledku toho se požadovaný integrál bude rovnat

Definice 1

Množina všech primitivních funkcí dané funkce $y=f(x)$, definovaných na určitém segmentu, se nazývá neurčitý integrál dané funkce $y=f(x)$. Neurčitý integrál se značí symbolem $\int f(x)dx $.

Komentář

Definici 2 lze napsat takto:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

Ne každou iracionální funkci lze vyjádřit jako integrál prostřednictvím elementárních funkcí. Většinu těchto integrálů lze však pomocí substitucí redukovat na integrály racionálních funkcí, které lze vyjádřit pomocí elementárních funkcí.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

já

Při hledání integrálu ve tvaru $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ je nutné provést následující substituci:

Touto substitucí je každá zlomková mocnina proměnné $x$ vyjádřena prostřednictvím celočíselné mocniny proměnné $t$. Výsledkem je transformace integrandové funkce na racionální funkci proměnné $t$.

Příklad 1

Proveďte integraci:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

Řešení:

$k=4$ je společným jmenovatelem zlomků $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.

\ \[\begin(pole)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\konec(pole)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

Při hledání integrálu ve tvaru $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ je nutné provést následující substituci:

kde $k$ je společný jmenovatel zlomků $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.

V důsledku této substituce se integrandová funkce transformuje na racionální funkci proměnné $t$.

Příklad 2

Proveďte integraci:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

Řešení:

Udělejme následující substituci:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]

Po provedení opačné substituce dostaneme konečný výsledek:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]

III

Při hledání integrálu ve tvaru $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $ se provede tzv. Eulerova substituce (jedna ze tří možných substitucí je použitý).

Eulerovo první střídání

Pro případ $a>

Vezmeme-li znaménko „+“ před $\sqrt(a) $, dostaneme

Příklad 3

Proveďte integraci:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

Řešení:

Udělejme následující substituci (případ $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

Po provedení opačné substituce dostaneme konečný výsledek:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

Eulerovo druhé střídání

Pro případ $c>0$ je nutné provést následující substituci:

Vezmeme-li znak „+“ před $\sqrt(c) $, dostaneme

Příklad 4

Proveďte integraci:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

Řešení:

Udělejme následující substituci:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ Po provedení obráceného substitucí, dostaneme konečný výsledek:

\[\begin(pole)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( pole)\]

Eulerovo třetí střídání