Domov › Služby › WEBSOR Electrical Information Territory. Definování stavové proměnné

WEBSOR Electrical Information Territory. Definování stavové proměnné

V. N. Nepopalov

Metoda stavové proměnné

Konzultace

Čeljabinsk 2003

UDC 621.3.011 (075.8)

Nepopalov V. N. Metoda stavových proměnných: Učebnice. – Nižněvartovsk, nakladatelství. 2003.– 26 s.

Je uvažována metoda stavových veličin pro výpočet přechodových dějů v lineárních elektrických obvodech. Učebnice má pomoci studentům samostatně pracovat na předmětu „Dodatečné kapitoly elektrotechniky“.

1. Normální tvar stavových rovnic 4

2. Získání normálního tvaru stavových rovnic 5

3. Příklady získání normálního tvaru stavových rovnic 6

4. Řešení stavových rovnic klasickou metodou 9

5. Využití prvků teorie matic k řešení stavových rovnic 15

6. Aplikace na výpočet přechodných procesů 22

7. Testové otázky 24

Metoda stavové proměnné

Stavové proměnné budou definovány jako proměnné definované v čase t 0 soubor funkcí (napětí, tokové vazby, proudy nebo náboje), jejichž hodnoty spolu s hodnotami určenými prot t 0 vstupních vlivů, stačí k jednoznačnému určení výstupních funkcí pro jakýkoli časový okamžikt t 0 .

Jako stavové veličiny elektrického obvodu můžete zvolit určitou sadu napětí, nábojů, proudů nebo vazeb toku, definovanou striktně na okamžik v čase, tedy v okamžiku bezprostředně po přepnutí. Tato okolnost omezuje možnost volby stavových proměnných na napětí nebo náboje na kondenzátorech a proudy nebo tokové vazby v indukčnostech, protože hodnoty těchto veličin se v době přepínání nemění. t  0:

,,,.

Počet veličin, které určují počet stavových proměnných, se rovná počtu nezávislých fyzikálních počátečních podmínek.

1. Normální tvar stavových rovnic

Stavové proměnné najednou t jsou určeny maticový sloupec
, rozměr

Pomocí stavových proměnných je pomocí sady diferenciálních rovnic určen matematický model lineárního elektrického obvodu s časově nezávislými parametry:

a algebraické rovnice:

Kde X(t) – matice-sloupec stavových proměnných s dimenzí
;

maticový sloupec odvozených stavových proměnných;

F(t) – maticový sloupec zadaných vstupních proměnných nebo vstupních akcí;

Y(t)– maticový sloupec výstupních proměnných;

A,V,S,D– matice známých veličin a, A– čtvercová matice řádu n. Rozměry matic B, C, D určeno podmínkami konkrétního úkolu.

Diferenciální rovnice tvaru

budeme nazývat normální tvar stavových rovnic a algebraické rovnice tvaru

rovnice výstupních funkcí.

2. Získání normálního tvaru stavových rovnic

Získat normální tvar stavových rovnic

1. Nakreslete orientovaný graf schématu elektrického obvodu. Vytvořte pro tento graf normální strom. V běžném stromě je nutné zahrnout všechny pobočky s nádobami a zdroji e. d.s. Pokud to nestačí k získání stromu, přidejte větve s odpory, pokud to nestačí k získání stromu, přidejte větve s indukčnostmi. Spoje (akordy) grafu musí být větvemi s indukčnostmi, zdroji proudu a odporovými větvemi, které nejsou zahrnuty ve stromu grafu.

2. Pro každou větev stromu určete úsek, který obsahuje pouze jednu větev stromu a určitou sadu grafových spojení (akordů). Počet nezávislých sekcí se rovná počtu větví stromu: b t  q – 1, kde - q počet uzlů. Zapište Kirchhoffovy rovnice pro proudy každé hlavní sekce a vyjádřete proudy větví stromu přes proudy větví tětivy. Hlavní rovnice jsou ty, které zahrnují proudy kondenzátorů (pokud existují).

3. Pro každý spoj určete obrys, který obsahuje pouze jeden spoj a určitou sadu větví stromu. Počet nezávislých okruhů se rovná počtu připojení: b l  b – q+ 1, kde b– počet větví grafu. Pro každý obvod zapište rovnice podle druhého Kirchhoffova zákona a vyjádřete napětí na indukčnostech (pokud existují) pomocí napětí na ostatních prvcích. Pokud jsou spojení větvemi se zdroji proudu, pak se při sestavování stavových rovnic pro tyto obvody nepíší rovnice podle druhého Kirchhoffova zákona. Hlavní rovnice jsou ty, které zahrnují napětí napříč indukčnostmi.

4. Pomocí zbývajících rovnic vylučte napětí a proudy odporových větví z hlavních rovnic. Vyjádřete proudy v kondenzátorech a napětí v indukčnostech prostřednictvím napětí v kondenzátorech a proudů v indukčnostech.

5. Dosaďte rovnice prvků do základních rovnic:

;
.

6. Převeďte výslednou soustavu do normálního tvaru stavových rovnic.

7. Napište algebraické rovnice výstupních funkcí.

A b c

Zásobník energie - kapacita

Výpočet přechodových dějů v obvodech s jedničkou

Elektromagnetické procesy během přechodového procesu v takových obvodech jsou způsobeny přívodem elektrické energie do kapacity S a disipaci této energie ve formě tepla na aktivních odporech obvodu. Při sestavování diferenciální rovnice byste měli jako neznámou funkci zvolit napětí u C na nádobě. Je třeba poznamenat, že při výpočtu ustálených podmínek, tj. při stanovení počátečních podmínek a vynucené složky, je kapacitní odpor ve stejnosměrných obvodech roven nekonečnu.

Příklad 6.2. Zapnutí obvodu řady R, C na konstantní napětí.

Řetěz (obr. 6.3, A), sestávající ze sériově zapojených odporů R= 1000 Ohm a kapacita S= 200 µF, v určitém okamžiku připojen ke konstantnímu napětí U= 60 V. Je nutné určit proud a napětí kondenzátoru během přechodového procesu a vykreslit grafy u C(t),i(t).

R i R i, A ty, B

U C U C t = 0,02.s

0t 2t 3t t, S

Řešení.1. Stanovíme počáteční podmínky. Výchozí stav u C(-0) = 0, jelikož obvod byl před sepnutím rozpojen (předpokládáme na poměrně dlouhou dobu).

2. Elektrický obvod znázorníme po sepnutí (obr. 6.3, b), naznačíme směry proudu a napětí a sestavíme pro to rovnici podle druhého Kirchhoffova zákona

nebo .

3. Převedeme rovnici bodu 2 na diferenciální. Chcete-li to provést, nahraďte místo proudu i slavná rovnice , dostaneme:

4. Hledáme řešení rovnice (požadované napětí na kondenzátoru) ve tvaru:

5. Pojďme definovat. Protože ve stejnosměrném obvodu v ustáleném stavu je odpor kapacity roven nekonečnu (současně), celé napětí bude přivedeno na kapacitu. Proto

u C pr =U= 60 V.

6. Sestavíme homogenní diferenciální rovnici

jehož řešením je funkce

7. Sestavíme charakteristickou rovnici R.C. l + 1= 0, jehož kořen je

Časová konstanta

8. Zapišme si řešení.

9. Podle druhého zákona komutace a počátečních podmínek

10. Stanovme integrační konstantu A substitucí t=0 v položce 8 rovnice

Kapacitní napětí během přechodového procesu

11. Proud v obvodu lze určit rovnicí

nebo podle bodu 2 rovnice

Grafy u C(t) A i(t) jsou uvedeny na Obr. 6.3, PROTI.

Okamžité hodnoty proudů a napětí, které určují energetický stav elektrického obvodu, se v této metodě nazývají proměnné a samotná metoda se nazývá metoda stavových proměnných.

Tato metoda je založena na sestavení soustavy diferenciálních rovnic a jejich numerickém řešení zpravidla pomocí počítače.

Zde by se proměnné, které nemají diskontinuity, měly brát jako neznámé, tzn. v průběhu času by v těchto množstvích nemělo docházet k žádným náhlým změnám. Tyto proměnné proto musí být aktuální i a propojení toku v indukčnosti, napětí a náboje na kapacitě. Jinak se při numerickém řešení derivací v bodech, kde je nespojitost, objeví nekonečně velká hodnota, což je nepřijatelné.

Pro výpočet diferenciálních rovnic existují různé numerické metody. Jedná se o metody Euler, Runge-Kutta a další, které se od sebe liší přesností výpočtu, objemem a časem výpočtů. Navíc, čím větší přesnost výpočtů, tím více času zabere řešení.

1. Určete počáteční podmínky.

2. Vytvořte soustavu diferenciálních rovnic.

3. Vyjádřete všechny proměnné v rovnicích odstavce 2 prostřednictvím proudů nebo vazeb toku v indukčnostech a napětích nebo nábojích na kondenzátorech.

4. Redukujte všechny rovnice v kroku 3 na Cauchyho normální tvar.

Fakulta automatizace a elektromechaniky

Katedra teoretické a obecné elektrotechniky

PŘECHODOVÉ PROCESY V LINEÁRNÍCH ELEKTRICKÝCH OBVODECH

(Metoda stavové proměnné)

Pokyny pro dokončení kurzu

Sestavil A.A

Ed. prof. Altunin B.Yu.

N. Novgorod, 2010

Metoda stavové proměnné.

Metoda stavových veličin je založena na základní možnosti náhrady diferenciální rovnice nřádu elektrického obvodu n diferenciální rovnice prvního řádu. Indukční proudy a napětí na kondenzátorech jsou brány jako stavové veličiny, které jednoznačně určují energetickou rezervu obvodu v každém okamžiku. Systém stavových rovnic lze znázornit jako maticovou rovnici:

Kde: – sloupcová matice (vektor) n stavových proměnných;

– sloupcová matice (vektor) n prvních derivací stavových proměnných;

- čtvercová matice velikosti, jejíž prvky jsou určeny koeficienty diferenciální rovnice obvodu;

V(t)– sloupcová matice (vektorová) m nezávislé vlivy;

B– matice velikosti, jejíž prvky závisí na parametrech obvodu a jeho struktuře;

– sloupcová matice, jejíž prvky závisí na nezávislých vlivech, struktuře a parametrech obvodu.

Sestavení soustavy diferenciálních rovnic pro obvod je založeno na použití diferenciálních rovnic pro stavové veličiny, podle kterých

Výpočet obvodů pomocí metody proměnného stavu lze rozdělit do dvou fází:

1) V první fázi se tvoří soustava diferenciálních rovnic obvodu;

2) Ve druhé fázi řešit sestavenou soustavu diferenciálních rovnic;

Řešení soustavy diferenciálních rovnic sestavené metodou stavové proměnné lze provést dvěma způsoby: analytickým a numerickým.

S analytickou metodouřešení stavových rovnic se zapisuje jako součet matic vynucené a volné složky:

Kde: – odpovídá reakci obvodu na vnější vlivy při nulových počátečních podmínkách;

– matice (vektor) počátečních hodnot stavových proměnných získaných pomocí ;

– maticová exponenciální funkce.

– odpovídá reakci řetězce, podmíněné nenulovými počátečními podmínkami; při absenci vnějších vlivů V=0;

Pokud po přepnutí v okruhu nejsou žádné zdroje energie, tzn. , pak řešení maticové rovnice má tvar:

Pokud po komutaci existují zdroje nezávislých vlivů, pak matice a integrace maticové rovnice vede k řešení ve tvaru:

který se skládá ze součtu dvou členů - reakce řetězce za nenulových počátečních podmínek a reakce řetězce za nulových počátečních podmínek a přítomnosti zdrojů vnějších vlivů

Při numerickém řešení stavových rovnic se používají různé numerické integrační programy na počítači: Runge-Kutta metoda, Eulerova metoda, lichoběžníková metoda atd. Například softwarový balík MathCAD obsahuje programy pro numerické řešení diferenciálních rovnic upravených Eulerovou metodou a Runge-Kuttovou metodou. Protože chyba řešení Eulerovou metodou dosahuje několika procent, je výhodnější Runge-Kutta metoda, která při řešení rovnic čtvrtého řádu dává chybu , kde je krok přírůstku proměnné. Tato metoda poskytuje kontrolu přesnosti výpočtů v každém integračním kroku a softwarovou úpravu kroku.

V systému MatchCAD má program pro integraci rovnic metodou Runge-Kutta název rkfixed. Je přístupný prostřednictvím operace přiřazení k proměnné (dále z) název programu:

Kde: x– vektor stavových proměnných, jehož velikost je určena vektorem počátečních hodnot a odpovídá počtu stavových rovnic;

0 a – začátek a konec integračního časového intervalu;

N– počet bodů na integračním intervalu;

D– funkce, která popisuje pravou stranu rovnic řešených s ohledem na první derivace.

Pro lineární obvody funkce D má formu lineární maticové transformace , Kde A– čtvercová matice koeficientů, které jsou určeny strukturou obvodu a parametry prvků; F– vektor nezávisle proměnných, jehož prvky jsou určeny vstupními vlivy. Všechny maticové prvky A A F musí být definován před přístupem k programu rkfixed.

Matice z má velikost , kde první sloupec (nula) odpovídá hodnotám diskrétního času. Zbývající sloupce této matice odpovídají hodnotám stavových proměnných: , kde index i se liší od 1 do N.

Pro kontrolu správnosti zadání zdrojových dat se můžete (ale ne nutně) obrátit na program pro určení vlastních hodnot matice A: eigenvals (A). Tento program zobrazuje informace o vlastních hodnotách, které se shodují s kořeny charakteristické rovnice obvodu. Nezbytnou, ale ne postačující podmínkou pro správnost zadávání dat je množina záporných vlastních čísel (nebo komplexně konjugovaných čísel se zápornou reálnou částí).

Podívejme se nyní na některé způsoby sestavování diferenciálních rovnic obvody využívající metodu stavové proměnné. Pro tyto účely se nejčastěji používají dvě hlavní metody:

1) používání Kirchhoffových zákonů;

2) použití překryvné metody.

Podívejme se na použití těchto metod na několika příkladech.

Příklad 1. Je potřeba sestavit stavové rovnice a vyřešit je pro jednoobvodový obvod druhého řádu při vypnutém zdroji napětí E Schéma zapojení je na obrázku 1(a) a parametry jeho prvků mají následující hodnoty : E = 40 V; r=40 Ohm; L=1 Gn; C=500uF.

Řešení. Podívejme se na ekvivalentní obvod pro libovolný časový okamžik t, který je znázorněn na obrázku 1(b). V tomto diagramu kapacita S nahrazen zdrojem konstantního napětí a indukčnosti L– aktuální zdroj. Výsledný ekvivalentní obvod obsahuje pouze odpor r, zdroj proudu a zdroj napětí.

Obrázek 1. Počáteční ( A) a vypočítané ( b) schémata zapojení například 1.

Pro výsledný obvod můžete vytvořit rovnice pomocí Kirchhoffových zákonů:

Odkud to najdeme:

Z těchto rovnic získáme hodnotu prvních derivací stavových proměnných:

Pomocí čehož napíšeme maticovou rovnici řetězce:

Při použití programu rkfixed tato rovnice je napsána takto:

Tato maticová rovnice musí být také doplněna maticí počátečních stavů obvodu, která zahrnuje napětí na kondenzátoru a proud v indukčnosti v okamžiku sepnutí (tj. t=0_):

používá k zahájení procesu integrace diferenciálních rovnic obvodu.

Před použitím integračního programu rkfixed pomocí operace přiřazení definujeme hodnoty následujících veličin:

1) maticové koeficienty A:

2) hodnoty vektoru počátečních stavů proměnných

3) počet integračních bodů;

4) formalizovaná maticová reprezentace stavových rovnic za předpokladu, že F=0;

5) konečná hodnota časového intervalu.

Požadovaný integrační časový interval lze odhadnout z vlastních hodnot matice A přístupem k programu eigenvals (A). V uvažovaném příkladu existují dvě komplexně sdružená čísla, jejichž reálné části jsou stejné a stejné. Tato část komplexního čísla určuje koeficient útlumu a přímo souvisí s dobou trvání přechodného procesu podle vzorce. Pro názornost byl v uvažovaném příkladu integrační interval zvolen dvakrát tak velký .

Formulář pro záznam zdrojových dat pro program rkfixed a výsledky výpočtu jsou znázorněny na obrázku 2. Protože stavové proměnné a jsou měřeny v různých jednotkách a mohou se od sebe výrazně lišit, je při sestavování grafů nutné uvést měřítko. Například pro graf proměnné se použije faktor měřítka 100, aby se získala skutečná hodnota proudu, hodnoty naměřené podél osy by měly být vyděleny 100.

Ze získaných grafů vyplývá, že přechodový děj v obvodu má oscilační charakter a obě funkce postupně klesají k nule s přibývajícím časem t.

Obrázek 2. Výsledky výpočtu pro příklad 1.

Příklad 2. Vytvořte rovnice pro stavové proměnné a vypočítejte je při uzavření klíče K v obvodu druhého řádu znázorněném na obrázku 3(a). Parametry prvků obvodu mají následující hodnoty: A; r1=r2=50 Ohm; L = 5 mH; C=0,1 uF.

Řešení. Přechodový proces v uvažovaném obvodu vzniká jako výsledek redistribuce energie mezi indukčností L a kapacitu C po připojení odporu r 1. Pomocí prvního Kirchhoffova zákona určíme proud v kapacitance S:

a) b)

Obrázek 3. Počáteční ( A) a vypočítané ( b) schémata například 2.

Podobně pomocí druhého Kirchhoffova zákona zjistíme napětí na indukčnosti:

Spojme tyto rovnice do systému pro stavové proměnné:

Výsledný systém rovnic zapíšeme v maticovém tvaru:

Po dosazení číselných hodnot parametrů prvků získáme stavové rovnice ve tvaru:

Pro určení vektoru počátečních hodnot najdeme napětí v kondenzátoru a proud v indukčnosti před uzavřením klíče K:

Vektor počátečních hodnot stavových proměnných má tedy tvar:

Ekvivalentní obvod pro výpočet hodnot stavových proměnných je znázorněn na obrázku 3(b). V tomto diagramu je kapacita nahrazena zdrojem napětí a indukčnost je nahrazena zdrojem proudu. Hodnoty těchto veličin se mění v každém kroku integrace.

Stavové rovnice budeme řešit pomocí programu rkfixed, součásti systému MathCAD. Za tímto účelem přiřadíme stavovým proměnným následující hodnoty: a zapíšeme stavové rovnice ve tvaru:

kde hodnoty koeficientů lze převzít z výše vypočítaných stavových rovnic a zahrnout je do konstantního programu nebo určit pomocí operací přiřazení v programu samotném.

Formulář pro zadání počátečních údajů pro výpočet dle programu rkfixed je znázorněno na obrázku 4. Význam N=5000 je specifikován libovolně, protože ovlivňuje pouze dobu provedení výpočtu a přesnost. Přesnost výpočtu lze nepřímo posoudit porovnáním výsledků integrace pro dvě hodnoty N=N1 A N 1/2. Pokud se výsledky výpočtu v těchto bodech shodují, pak přesnost výpočtů a počet integračních bodů na intervalu tk je v přijatelných mezích.

Prostřednictvím operace přiřazení také definujeme vektor počátečních hodnot X a vektor nezávislých zdrojů F. Časový interval tk mohou být specifikovány libovolně nebo přibližně vybrány analýzou maticových čísel A.

Pro aperiodický proces, který existuje v uvažovaném obvodu, bychom měli zvolit nejmenší absolutní vlastní hodnotu pmin a použijte vzorec tk =3/pmin. Ze dvou vlastních hodnot p 1= -1,888E5 1/s; p2=-2,118E4 1/c má menší hodnotu p2, Proto tk=3/2,118E4=1,42E-4 s.

Výběr intervalu tk lze také provést analýzou časových konstant obvodů prvního řádu, které lze sestrojit na základě původního obvodu postupnou eliminací reaktivních prvků. V tomto případě byste měli z nalezených časových konstant vybrat tu, která má maximální hodnotu, a pomocí ní vypočítat

Grafy časové závislosti jsou znázorněny na obrázku 4. Pro proměnnou je použit faktor měřítka 100 Z těchto grafů je vidět, že napětí na kondenzátoru se mění od na úroveň a proud v indukčnosti je od do.

Obrázek 4. Výsledky výpočtu pro příklad 2.

Příklad 3. Vytvořte rovnice pro stavové proměnné a vypočítejte přechodový proces v obvodu třetího řádu znázorněném na obrázku 5(a) při sepnutém spínači K Parametry prvků obvodu mají následující hodnoty: E = 120 V; r1=r3=r4=1 Ohm; r2=r5=2 Ohm; L1 = 1 mH; L2=2 mH; C=10 uF.

a) b)

Obrázek 5. Počáteční ( A) a vypočítané ( b) schémata například 3.

Řešení. Přechodový proces v obvodu je způsoben redistribucí energie reaktivními prvky obvodu po přepnutí spínače NA. Obrázek 5(b) ukazuje ekvivalentní obvod, ve kterém jsou reaktivní prvky nahrazeny zdroji napětí a proudu. Pozitivní směry těchto zdrojů jsou v souladu s původním schématem. Při výpočtu náhradního obvodu je třeba určit napětí na zdrojích proudu a proud v kondenzátoru, protože určují derivace stavových veličin. Při výpočtu těchto veličin použijeme princip superpozice, podle kterého lze reakci lineárního řetězce určit jako součet reakcí z jednotlivých zdrojů. Chcete-li to provést, zvažte čtyři konkrétní obvody zobrazené na obrázku 6, v každém z nich pracuje pouze jeden ze zdrojů zahrnutých v obvodu znázorněném na obrázku 5(b).

Výpočet přechodových dějů v lineárních elektrických obvodech metodou stavových veličin

Jedná se o nejuniverzálnější metodu pro výpočet lineárních i nelineárních obvodů. Metoda se používá pro výpočet obvodů vyššího řádu, když je použití jiných metod výpočtu nepraktické nebo prakticky nemožné. Metoda stavových proměnných je založena na řešení stavových rovnic (prvního řádu) zapsaných v Cauchyho tvaru. Pro řešení soustavy rovnic prvního řádu byly vyvinuty numerické metody, které umožňují automatizovat výpočet přechodných procesů pomocí počítače. Metoda stavových veličin je tedy jedním z výpočtů přechodných procesů, zaměřených především na využití počítačů.

Pro lineární obvod s konstantními soustředěnými parametry lze jako řešení diferenciální rovnice sestavené pro tento proud, napětí, náboj nalézt proud každé větve, napětí mezi vývody, náboj na deskách, kondenzátor atd. atd., s vyloučením jiných proudů a napětí ze systému Kirchhoffových rovnic:

Zavedením proměnných

rovnice (1.1) redukuje na ekvivalentní systém diferenciálních rovnic prvního řádu:

(1.2)

Zde proměnné, které se nazývají stavové proměnné, jsou proměnná X a její deriváty. Předpokládá se, že obvod má pouze nezávislé zdroje a neobsahuje indukční sekce a kapacitní obvody. Jinak je psaní rovnic mnohem obtížnější

1. Tvorba rovnic stavových proměnných

Energetický stav obvodu, a tedy přechodový proces v jakémkoli obvodu, je určen energií magnetického pole uloženou v indukčnostech a energií elektrického pole uloženou v kondenzátorech. Zásoby energie v jalových prvcích určují proudy v indukčnostech a napětí v kondenzátorech, tzn. určují energetický stav obvodu a jsou proto brány jako nezávislé stavové proměnné.

Jakýkoli systém rovnic, který určuje stav obvodu, se nazývá stavové rovnice. Proudy v indukčních prvcích a napětí na kapacitních prvcích
představují nezávislé počáteční podmínky
řetězců a musí být známy nebo vypočteny. Jejich prostřednictvím se vyjadřují potřebné veličiny během procesu přechodu.

Provozní zdroje energie se obvykle nazývají vstupní veličiny
, a požadované veličiny (proudy a napětí) - výstupní veličiny
.

Pro řetěz s n nezávislé proudy a zdůrazňuje
musí být také specifikováno n nezávislé počáteční podmínky. Pro operace s velkým počtem proměnných se používají metody maticového počtu.

Zkrácené diferenciální stavové rovnice popisující obvod podle Kirchhoffových zákonů jsou zapsány v maticové formě:

, (1.3)

kde X je sloupcový vektor (velikost n x 1) libovolných stavových proměnných; V je sloupcový vektor (velikost m x 1) vnějších vlivů (EMF a zdrojové proudy); A - čtvercová matice řádu n (hlavní); B je spojovací matice mezi vstupy obvodu a stavovými proměnnými (velikost n x m). Prvky těchto matic jsou určeny topologií a parametry obvodu
,m je počet vstupů, n je počet stavových proměnných.

Pro výstupní veličiny (pokud nejsou určeny proudy v indukčnostech a napětí na kapacitních prvcích) je nutné přidat další rovnici v maticovém tvaru:

(1.4)

kde Y je vektor - sloupec požadovaných proudů a napětí na výstupu (velikost 1 x 1), 1 - počet výstupů; C je matice spojení mezi stavovými proměnnými a výstupy obvodu (n x 1); D - matice přímého zapojení vstupů a výstupů obvodu (velikost 1 x m). Prvky matic závisí na topologii a hodnotách parametrů obvodu
.

Systém maticových rovnic

;
(1.5)

lze prezentovat ve formě blokového diagramu (obr. 1.3).

1.1. Sestavení stavových rovnic pro obvod

překryvná metoda

Nechť je uvedeno schéma zapojení po přepnutí

Budeme předpokládat, že stavové proměnné jsou zadány. Po přepnutí vyměníme uvažovaný obvod (obr. 2) za ekvivalentní (obr. 3), který má daný proud reprezentovaný zdrojem proudu ,nastavit napětí
zdroj napětí
.

Metodou superpozice (volí se kladné směry) zapisujeme napětí
a proudy
(nejprve vezmeme v úvahu působení zdroje pak
a další zdroje působící v obvodu).

Z akce :

;
;

z akce
:

;
;

z akce e:

;
,

a celkový proud
a napětí.

(1.6)

Vzhledem k tomu
A
dostaneme

to znamená, že v maticovém tvaru napíšeme rovnici (1.7)

(1.8)

1.2. Sestavení stavových rovnic pro obvod pomocí

Kirchhoffovy zákony

Rovnice (1.7) lze také získat z Kirchhoffových rovnic vyloučením proudů a napětí odporových prvků. Podle Kirchhoffových zákonů zapíšeme rovnice pro obvod (viz obr. 2) ve tvaru

(1.9)

Vyřešme první rovnici soustavy vzhledem k , za třetí, vzhledem k tomu
, relativně . Pak

(1.10)

Proměnné
A jsou stavové proměnné pro příslušný obvod. Na pravé straně systému (1.10) je proměnná , není nezávislou stavovou proměnnou. Abychom to odstranili, přepíšeme druhou rovnici soustavy (1.9) do tvaru

(1.11)

a dejte to sem
.

Aktuální hodnota získaná z (1.11)

(1.12)

Dosadíme to do systému (1.10).

Získáme soustavu rovnic ve stavových proměnných
pro zkoumaný okruh

(1.13)

kde X, X, V, A, B odpovídají soustavě rovnic (1.7).

Nechť v uvažovaném příkladu je nutné určit proudy A . Proto A budou výstupní veličiny obvodu a musí být reprezentovány ve tvaru
,
.Proud již byl definován v požadovaném tvaru (1.12) a aktuální
.Poté druhá soustava rovnic ve stavových veličinách
bude mít formu

(1.14)

V maticovém tvaru bude soustava rovnic (1.14) zapsána ve tvaru

(1.15)

Ve speciálním případě, pokud jsou výstupní proměnné stavové proměnné
pak má matice C tvar diagonální matice a prvky matice D jsou rovny nule.

Stavové rovnice jsou řešeny na počítačích pomocí numerických metod.

Stavové rovnice elektrického obvodu jsou libovolné soustavy diferenciálních rovnic, které popisují stav (mód) daného obvodu. Například Kirchhoffův systém rovnic je stavová rovnice obvodu, pro který je sestaven.

V užším smyslu jsou v matematice stavové rovnice soustavou diferenciálních rovnic 1. řádu řešených s ohledem na derivace (Cauchyho forma). Systém stavových rovnic ve zobecněné podobě má tvar:

Stejný systém rovnic v maticovém tvaru:

nebo ve formě zobecněné matice:

Systém stavových rovnic Cauchyho formy je řešen metodou numerické integrace (Eulerovská metoda nebo metoda Runge-Kutta) na počítači pomocí standardního programu, který by měl být ve standardním programovém balíčku. Pokud takový program v balíčku není, lze jej snadno zkompilovat pomocí následujícího algoritmu (Eulerova metoda) pro k-tý krok:

Hodnoty derivací v k-tém kroku:

Hodnoty proměnných v k-tém kroku:

Pro určení hodnot proměnných a jejich derivací v 1. kroku integrace se použijí jejich hodnoty v okamžiku t = 0, tzn. jejich počáteční podmínky x1(0), x2(0)...xn(0).

Stavové rovnice Cauchyho formy pro daný obvod lze získat ze soustavy Kirchhoffových rovnic jejich transformací. Za tímto účelem: a) ze systému Kirchhoffových rovnic se pomocí substituční metody vyloučí „extra“ proměnné, které mají závislé počáteční podmínky, a ponechávají se proměnné iL(t) a uC(t), které se náhle nemění. a mají nezávislé počáteční podmínky iL(0) a uC(0); b) zbývající rovnice jsou řešeny s ohledem na derivace a redukovány do Cauchyho tvaru.

V případě složitých obvodů lze stavové rovnice Cauchyho forem sestavit topologickými metodami pomocí spojovacích matic [A] a [B].

Posloupnost výpočtu přechodného procesu pomocí metody stavové proměnné vypadá takto:

1. Obvod je vypočítán v ustáleném stavu před přepnutím a jsou určeny nezávislé počáteční podmínky iL(0) a uC(0).

2. Pro obvod po přepnutí je sestaven systém diferenciálních rovnic podle Kirchhoffových zákonů.

3. Eliminací „nadbytečných“ proměnných se systém Kirchhoffových rovnic transformuje na systém Cauchyho rovnic a jsou sestaveny matice koeficientů.

4. Zvolí se odhadovaný čas (trvání procesu přechodu) a počet integračních kroků N.

5. Problém se řeší na počítači pomocí standardního programu. Výstupní funkci získáme ve formě grafického diagramu x=f(t) nebo ve formě tabulky souřadnic funkcí pro dané body v čase.

Příklad. Pro schéma na Obr. 74.1 s danými parametry prvků (e(t)=Emsin(ωt+ψE), R, R1, R2, R3, L1, L2, C) vypočítejte přechodový děj a určete funkci uab(t).