Malá matematická fakulta. Převod čísel do různých číselných soustav s řešením
Metodický komentář k lekci
Cíle učitele: Ukázat žákům metody integrace poznatků z různých zdrojů, vytvářet podmínky pro produktivní práci ve skupinách.
Cíle studenta: Seznámit se s historií vzniku číselných soustav, osvojit si principy konstrukce různých číselných soustav a oblasti jejich použití, získat potřebné dovednosti v týmové práci s různými zdroji informací.
Při hodině matematiky v 5. ročníku při plnění úkolu souvisejícího s rozšiřováním víceciferných čísel na číslice měli žáci otázky: „Proč počítáme po desítkách? Proč nemůžeme počítat jinak? Existují jiné způsoby, jak počítat?" Učitel byl požádán, aby na tyto otázky našel odpovědi vyhledáváním, analýzou a shrnutím informací na toto téma během týdne, přičemž pracoval v malých skupinách vytvořených ze studentů ve třídě podle potřeby. Výsledky této práce by měly být formalizovány a prezentovány na hodině matematiky za týden. Na konci lekce byla třída rozdělena do následujících kreativních skupin:
- Číselné soustavy (obecné pojmy) – 5 osob
- Binární systém – 7 osob (tato otázka vzbudila největší zájem)
- Sexagesimální systém – 5 osob
- Desetinná soustava – 5 osob
- Ostatní číselné soustavy – 3 osoby
- Přenos z jednoho systému do druhého - 5 lidí.
Výsledkem vyhledávacích aktivit studentů byla tato lekce:
"Čísla nevládnou světu, ale ukazují, jak je svět řízen."
(já-v Goethovi)
Skupiny studentů prezentovaly výsledky rešeršní a analytické práce.
I – Obecné pojmy
Číselná soustava je soubor metod pro označování čísel - jazyk, jehož abecedou jsou symboly (čísla) a syntaxe je pravidlo, které umožňuje jednoznačně formulovat zápis čísla.
Číslo je nějaká abstraktní entita k popisu množství
Číslice je znak používaný k zápisu čísel. Existují různá čísla, nejběžnější jsou arabské číslice; Římské číslice jsou méně časté (lze je vidět na ciferníku hodinek nebo v označení století)
Základ je počet číslic použitých v číselné soustavě.
Příklady čísel v různých číselných soustavách:
11001 2 – číslo v binární číselné soustavě
221 3 – číslo v ternární číselné soustavě
31 8 – číslo v osmičkové číselné soustavě
25 10 – číslo v desítkové soustavě
Ve starých knihách o počítání se kromě 4 početních operací uvádí i pátá - číslování. Číslování (číslování) bylo jedním z prvních problémů, se kterými se setkáváme při konstrukci aritmetiky.
Existuje mnoho způsobů, jak zapsat čísla pomocí číslic. Tyto metody lze rozdělit do tří skupin:
- poziční číselné soustavy
- smíšené číselné soustavy
- nepoziční číselné soustavy
Bankovky jsou příkladem smíšeného číselného systému. Nyní se v Rusku používají následující nominální hodnoty: 1 kopeck, 5 kopeck, 10 kopeck, 50 kopeck, 1 rubl, 2 rubl, 5 rubl, 10 rubl, 50 rubl, 100 rubl, 500 rubl, 1000 rubl, 5000 rubl. Chcete-li získat určitou částku v rublech, musíte použít určitý počet bankovek různých nominálních hodnot. Předpokládejme, že koupíme vysavač, který stojí 6 379 rublů. K zaplacení nákupu budete potřebovat 6 bankovek 1000 rublů, 3 bankovky 100 rublů, 1 bankovku padesát rublů, dvě desítky, jednu pětirublovou a dvě mince po 2 rublech. Pokud zapíšeme počet bankovek a mincí, počínaje 100 rubly a končící jednou kopejkou, přičemž chybějící nominální hodnoty nahradíme nulami, dostaneme číslo zastoupené ve smíšeném číselném systému: v našem případě - 603121200000.
V nepozičních číselných soustavách velikost čísla nezávisí na poloze číslic v čísle. Pokud bychom zapletli čísla v čísle 603121200000, nedokázali bychom zjistit, kolik vysavač stojí; V nepozičním systému lze čísla přeskupit bez změny součtu. Příkladem nepozičního systému je římský systém. Takové systémy jsou stavěny na principu aditivity (anglicky add. – sum). Kvantitativní ekvivalent čísla je definován jako součet číslic. Například:
V pozičních číselných soustavách je vždy důležité pořadí číslic v čísle. (25 a 52 jsou různá čísla)
Jakýkoli číselný systém určený pro praktické použití musí poskytovat:
- schopnost reprezentovat číslo v daném rozsahu čísel
- jednoznačnost prezentace
- stručnost a jednoduchost záznamu
- snadné ovládání systému a také jednoduchost a pohodlí při jeho ovládání
II – Binární číselná soustava
Binární číselná soustava je poziční číselná soustava se základem 2. V této číselné soustavě se přirozená čísla zapisují pomocí dvou symbolů: 1 a 0. Číslicou dvojkové soustavy je bit. Osm číslic je bajt.
Binární číselnou soustavu vynalezli matematici a filozofové již v 17.–19. století. Vynikající matematik Leibniz řekl: „Výpočet pomocí dvojek... je pro vědu zásadní a dává vzniknout novým objevům... Když se čísla zredukují na nejjednodušší principy, jako je 0 a 1, všude se objeví úžasný řád. “ Později byla binární soustava zapomenuta a teprve v letech 1936-1938 našel americký inženýr a matematik Claude Shannon pozoruhodné využití dvojkové soustavy při návrhu elektronických obvodů.
Binární systém se používá v digitálních zařízeních, protože je nejjednodušší.
Výhody binárního systému:
- Čím méně hodnot je v systému, tím jednodušší je výroba jednotlivých prvků, které na těchto hodnotách fungují. Dvě čísla jsou snadno reprezentována fyzikálními jevy: existuje proud - není proud; zda je indukce magnetického pole větší než prahová hodnota nebo ne atd.
- Čím méně stavů prvek má, tím vyšší je odolnost vůči šumu a tím rychleji může pracovat
- Binární aritmetika je poměrně jednoduchá.
- K provádění bitových operací je možné použít logický aparát
Chcete-li převést z binárního na desítkové, použijte tabulku mocnin 2.
III – Hexadecimální číselná soustava
V moderní době se k měření času a úhlů používá systém šestinásobných čísel.
Při reprezentaci času se používají tři pozice: hodiny, minuty, sekundy, protože pro každou pozici musíme použít 60 číslic, a máme pouze 10, pak pro každou šestou pozici jsou použity dvě desetinné číslice (00, 01, ... ), pozice jsou odděleny dvojtečkou. h:m:s.
Podívejme se na akce v šestinásobném číselném systému na dvou úlohách:
- Koláč je třeba péct v troubě po dobu 45 minut. Kolik sekund to bude trvat?
- Musíte upéct 10 koláčů. jak dlouho to bude trvat?
K provádění výpočtů v systému šestisetových čísel potřebujete znát tabulky sčítání a násobení šestičetných čísel. Každá tabulka je velmi velká, má velikost 60*60, stěží jsme si zapamatovali obvyklou násobilku a o to těžší pro nás bude naučit se šestinásobnou tabulku. Jak to může být? Tyto problémy můžete vyřešit v desítkové soustavě čísel a poté výsledek převést na šestinásobek.
45 minut=0*3600+45*60+0= 2700 sekund
K upečení 10 koláčů bude potřeba 2700*10=27000 sekund.
27000/60=450 (zbytek 0)
450/60=7 (zbytek 30)
7/60=0 (zbytek 7) Ukázalo se 07:30:00
IV – Desetinná číselná soustava
Znázorňování čísel pomocí arabských číslic je nejběžnější poziční číselný systém a nazývá se „desetinný číselný systém“. Říká se tomu desítkové, protože používá deset číslic: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Desítková číselná soustava je nejslavnějším úspěchem indické matematiky (595). Systém základny 10 cestoval po karavanních trasách z Indie do mnoha oblastí Blízkého východu. Postupně se tento systém začal stále více používat v arabském světě, i když jiné systémy zůstaly v provozu současně. „Kniha počítadla“ od Leonarda z Pisy (1202) byla jedním ze zdrojů pronikání indicko-arabského systému číslování do západní Evropy. Tato kniha byla na tehdejší dobu monumentálním dílem v tištěné podobě, měla 460 stran. Její autor je znám také pod jménem Fibonacci. Jeho kniha byla matematickou encyklopedií své doby. Desítková soustava se v Evropě rozšířila a uznala až během renesance.
V – Jiné číselné soustavy
Hexadecimální číselná soustava - pro zápis čísel se používají následující znaky: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F.
Binární desítková číselná soustava. V takovém systému je každá desetinná číslice zakódována specifickou kombinací číslic ve dvojkové soustavě. Označení každé desetinné číslice se nazývá tetráda. Příklad:
125 10 =000100100101 2-10 (3 tetrády)
0000=1 0100=4 1000=8
0001=1 0101=5 1001=9
Pětinásobný číselný systém - První matematici uměli počítat pouze na prstech jedné ruky, a pokud bylo objektů více, říkali toto: „pět + jeden“ atd. Někdy se za základ bralo číslo 20 – počet prstů na rukou a nohou. Z 307 číselných soustav primitivních amerických národů bylo 146 desítkových, 106 pětidesítkových a desítkových. V typičtější podobě existoval systém základny 20 u Mayů v Mexiku a Keltů v Evropě.
VI – Převod z jednoho systému do druhého
Souvisí číselné soustavy navzájem? Je možné převést číslo z jednoho systému do druhého? Existují dvě základní pravidla pro převod z jednoho systému do druhého:
Převod z jakékoli jiné soustavy na desítkovou soustavu se provádí pomocí vzorců:
11001 2 – 1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =1*16+1*8+0*4+0*2+ 1*1=25 10
221 3 -2*3 2 +2*3 1 +1*3 0 =2*9+2*3+1*1=25 10
31 8 – 3*8 1 +1*8 0 =3*8+1*1=25 10
25 10 – 2*10 1 +5*10 0 =2*10+5*1=25 10
Převod čísla z desítkové soustavy na soustavu s libovolným základem se provádí podle algoritmu:
Převeďte 25 10 na číslo ve dvojkové soustavě
25/2=12 (zbytek 1)
12/2=6 (zbytek 0)
6/2=3 (zbytek 0)
3/2 = 1 (zbytek 1)
1/2=0 (zbytek 1) Dostali jsme číslo 11001 2
Převeďte 25 10 na číslo v ternární soustavě
25/3=8 (zbytek 1)
8/3 = 2 (zbytek 2)
2/3=0 (zbytek 2) Přijato 221 3
Převeďte 25 10 na číslo v osmičkové soustavě
25/8=3 (zbytek 1)
3/8=0 (zbytek 3) Přijato 31 8
Po prezentaci výsledků práce tvůrčích skupin byly všechny číselné soustavy vyhodnoceny podle kritérií uvedených na začátku a všichni dospěli k závěru, že v důsledku historického vývoje matematiky se stala nejvhodnější soustava (desítková). nejrozšířenější. Zároveň se našli horliví zastánci dvojkové soustavy, kteří věřili, že je pro elektroniku velmi důležitá.
Lekce skončila syncwinem.
Číselný systém je pohodlný, rychlý, pomáhá, počítá, zaznamenává
„Počítání a výpočty jsou základem pořádku v hlavě“ (I. Pestalozzi)
Zdroje informací
- D.Ya. Stroik „Stručný nástin historie matematiky“ („Věda“, Moskva, 1990).
- N.Ya. Vilenkin, L.P. Šibasov, Z.F. Shibasov „Za stránkami učebnice matematiky“ („Osvícení“, Moskva, 2008).
- A.V. Dorofeev „Stránky historie v hodinách matematiky“ („Osvícení“, Moskva, 2007).
- Internet – zdroje Wikipedie.
Kalkulačka umožňuje převádět celá a zlomková čísla z jedné číselné soustavy do druhé. Základ číselné soustavy nesmí být menší než 2 a větší než 36 (koneckonců 10 číslic a 26 latinských písmen). Délka čísel nesmí přesáhnout 30 znaků. Chcete-li zadat zlomková čísla, použijte symbol . nebo, . Chcete-li převést číslo z jedné soustavy do druhé, zadejte do prvního pole původní číslo, do druhého základ původní číselné soustavy a do třetího pole základ číselné soustavy, na kterou chcete číslo převést, poté klikněte na tlačítko "Získat záznam".
Původní číslo zapsáno 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 35 -tá číselná soustava.
Chci si nechat napsat číslo 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -tá číselná soustava.
Získejte vstup
Překlady dokončeny: 1455723
Číselné soustavy
Číselné soustavy se dělí na dva typy: poziční A ne poziční. Používáme arabský systém, je poziční, ale existuje i římský systém – není poziční. V pozičních systémech poloha číslice v čísle jednoznačně určuje hodnotu tohoto čísla. To lze snadno pochopit, když se podíváte na nějaké číslo jako příklad.
Příklad 1. Vezměme si číslo 5921 v desítkové číselné soustavě. Číslo očíslujme zprava doleva počínaje nulou:
Číslo 5921 lze zapsat v následujícím tvaru: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Číslo 10 je charakteristika, která definuje číselnou soustavu. Hodnoty pozice daného čísla jsou brány jako mocniny.
Příklad 2. Uvažujme skutečné desetinné číslo 1234,567. Očíslujme to od nulové pozice čísla od desetinné čárky doleva a doprava:
Číslo 1234,567 lze zapsat v následujícím tvaru: 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10-2 +7·10-3.
Převod čísel z jedné číselné soustavy do druhé
Nejjednodušší způsob, jak převést číslo z jedné číselné soustavy do druhé, je nejprve převést číslo do desítkové číselné soustavy a následně výsledný výsledek do požadované číselné soustavy.
Převod čísel z libovolné číselné soustavy do desítkové číselné soustavy
K převodu čísla z libovolné číselné soustavy na desítkovou stačí očíslovat jeho číslice počínaje nulou (číslice vlevo od desetinné čárky) podobně jako v příkladech 1 nebo 2. Nalezneme součet součinů číslic čísla podle základu číselné soustavy na mocninu pozice této číslice:
1.
Převeďte číslo 1001101.1101 2 do desítkové soustavy čísel.
Řešení: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Odpověď: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Převeďte číslo E8F.2D 16 do desítkové soustavy čísel.
Řešení: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Odpověď: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10
Převod čísel z desítkové číselné soustavy do jiné číselné soustavy
Chcete-li převést čísla z desítkové číselné soustavy do jiné číselné soustavy, je nutné převést odděleně celé číslo a zlomkové části čísla.
Převod celé části čísla z desítkové číselné soustavy do jiné číselné soustavy
Část celého čísla se převádí z desítkové číselné soustavy do jiné číselné soustavy postupným dělením celé části čísla základem číselné soustavy, dokud není získán celý zbytek, který je menší než základ číselné soustavy. Výsledkem překladu bude záznam zbytku, počínaje posledním.
3.
Převeďte číslo 273 10 do osmičkové číselné soustavy.
Řešení: 273 / 8 = 34 a zbytek 1. 34 / 8 = 4 a zbytek 2. 4 je menší než 8, takže výpočet je kompletní. Záznam z bilancí bude vypadat takto: 421
Zkouška: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, výsledek je stejný. To znamená, že překlad byl proveden správně.
Odpověď: 273 10 = 421 8
Uvažujme o převodu pravidelných desetinných zlomků do různých číselných soustav.
Převod zlomkové části čísla z desítkové číselné soustavy do jiné číselné soustavy
Připomeňme, že se nazývá správný desetinný zlomek reálné číslo s nulovou celočíselnou částí. Chcete-li převést takové číslo na číselnou soustavu se základem N, musíte číslo postupně násobit N, dokud se zlomková část nevynuluje nebo nezíská požadovaný počet číslic. Pokud se při násobení získá číslo s celočíselnou částí jinou než nula, pak se celá část dále nebere v úvahu, protože je postupně zadávána do výsledku.
4.
Převeďte číslo 0,125 10 do binární číselné soustavy.
Řešení: 0,125·2 = 0,25 (0 je celočíselná část, která se stane první číslicí výsledku), 0,25·2 = 0,5 (0 je druhá číslice výsledku), 0,5·2 = 1,0 (1 je třetí číslice výsledku, a protože zlomková část je nula, je překlad dokončen).
Odpověď: 0.125 10 = 0.001 2
1. Pořadové počítání v různých číselných soustavách.
V moderním životě používáme poziční číselné soustavy, tedy soustavy, ve kterých číslo označené číslicí závisí na poloze číslice v zápisu čísla. Proto v budoucnu budeme hovořit pouze o nich, vynecháme termín „poziční“.
Abychom se naučili převádět čísla z jedné soustavy do druhé, pochopíme, jak probíhá sekvenční zaznamenávání čísel na příkladu desítkové soustavy.
Protože máme desítkovou číselnou soustavu, máme k sestavení čísel 10 symbolů (číslic). Začneme počítat: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Čísla jsou u konce. Zvětšíme bitovou hloubku čísla a vynulujeme číslici nižšího řádu: 10. Poté znovu zvýšíme číslici nižšího řádu, dokud nezmizí všechny číslice: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Zvětšíme číslici vyššího řádu o 1 a vynulujeme číslici nižšího řádu: 20. Když použijeme všechny číslice pro obě číslice (dostaneme číslo 99), opět zvýšíme kapacitu číslic čísla a vynulujeme existující číslice: 100. A tak dále.
Zkusme totéž udělat ve 2., 3. a 5. systému (zavedeme zápis pro 2. systém, pro 3. atd.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Pokud má číselný systém základ větší než 10, budeme muset zadávat další znaky, je obvyklé zadávat písmena latinské abecedy. Například pro 12místný systém potřebujeme kromě deseti číslic dvě písmena ( a ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Převod z desítkové soustavy čísel na jakoukoli jinou.
Chcete-li převést kladné celé desítkové číslo na číselnou soustavu s jiným základem, musíte toto číslo vydělit základem. Výsledný podíl znovu rozdělte základem a dále, dokud nebude podíl menší než základ. V důsledku toho zapište na jeden řádek poslední podíl a všechny zbytky, počínaje posledním.
Příklad 1. Desetinné číslo 46 převedeme do dvojkové číselné soustavy.
Příklad 2 Desetinné číslo 672 převedeme do osmičkové soustavy.
Příklad 3 Desetinné číslo 934 převedeme do hexadecimální číselné soustavy.
3. Převod z libovolné číselné soustavy na desítkovou.
Abychom se naučili převádět čísla z jakéhokoli jiného systému na desítkové, pojďme analyzovat obvyklý zápis desítkových čísel.
Například desetinné číslo 325 je 5 jednotek, 2 desítky a 3 stovky, tzn.
Úplně stejná situace je i v jiných číselných soustavách, jen nebudeme násobit 10, 100 atd., ale mocniny základu číselné soustavy. Vezměme si například číslo 1201 v ternární číselné soustavě. Očíslujme číslice zprava doleva počínaje nulou a představme si naše číslo jako součet součinů číslice a trojky až k mocnině číslice čísla:
Jedná se o desítkový zápis našeho čísla, tzn.
Příklad 4. Převeďme osmičkové číslo 511 do desítkové číselné soustavy.
Příklad 5. Převeďme šestnáctkové číslo 1151 do desítkové číselné soustavy.
4. Převod z dvojkové soustavy do soustavy se základní „mocninou dvou“ (4, 8, 16 atd.).
Pro převod binárního čísla na číslo s mocninou dvou základů je nutné rozdělit binární posloupnost do skupin podle počtu číslic rovnající se mocnině zprava doleva a každou skupinu nahradit odpovídající číslicí nového čísla. číselný systém.
Převeďme například binární číslo 1100001111010110 do osmičkové soustavy. Za tímto účelem ji rozdělíme do skupin po 3 znacích počínaje zprava (od ), a poté použijeme korespondenční tabulku a nahradíme každou skupinu novým číslem:
Naučili jsme se, jak vytvořit korespondenční tabulku v kroku 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Tito.
Příklad 6. Převedeme binární číslo 1100001111010110 na šestnáctkové.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Převod ze systému se základní „mocninou dvou“ (4, 8, 16 atd.) na binární.
Tento překlad je podobný předchozímu, proveden v opačném směru: každou číslici nahradíme skupinou číslic ve dvojkové soustavě z korespondenční tabulky.
Příklad 7. Převeďme hexadecimální číslo C3A6 na binární číselnou soustavu.
Chcete-li to provést, nahraďte každou číslici čísla skupinou 4 číslic (od ) z korespondenční tabulky a v případě potřeby doplňte skupinu nulami na začátku:
Při studiu kódování jsem si uvědomil, že číselným soustavám dost dobře nerozumím. Přesto jsem často používal 2-, 8-, 10-, 16-té systémy, převáděl jsem jeden na druhý, ale vše se dělalo „automaticky“. Po přečtení mnoha publikací mě překvapilo, že o takovém základním materiálu neexistuje jediný článek v jednoduchém jazyce. Proto jsem se rozhodl napsat vlastní, ve kterém jsem se snažil přístupně a uspořádaně podat základy číselných soustav.
Zavedení
Notový zápis je způsob záznamu (reprezentace) čísel.Co to znamená? Například před sebou vidíte několik stromů. Vaším úkolem je spočítat je. Chcete-li to provést, můžete ohnout prsty, udělat zářezy na kameni (jeden strom - jeden prst/zářez) nebo spojit 10 stromů s nějakým předmětem, například kamenem, a jeden vzorek s tyčí a umístit je na zemi, jak počítáte. V prvním případě je číslo reprezentováno jako řetězec ohnutých prstů nebo zářezů, ve druhém - složení kamenů a tyčinek, kde kameny jsou vlevo a tyče vpravo
Číselné soustavy se dělí na poziční a nepoziční a poziční zase na homogenní a smíšené.
Nepoziční- nejstarší, v něm má každá číslice čísla hodnotu, která nezávisí na její poloze (číslici). To znamená, že pokud máte 5 řádků, pak je číslo také 5, protože každý řádek, bez ohledu na jeho místo v řádku, odpovídá pouze 1 položce.
Polohový systém- význam každé číslice závisí na její pozici (číslici) v čísle. Například 10. číselná soustava, která je nám známá, je poziční. Uvažujme číslo 453. Číslo 4 označuje počet stovek a odpovídá číslu 400, 5 - počet desítek a je podobný hodnotě 50 a 3 - jednotky a hodnotě 3. Jak vidíte, čím větší číslice, tím vyšší hodnota. Konečné číslo lze vyjádřit jako součet 400+50+3=453.
Homogenní systém- pro všechny číslice (pozice) čísla je sada platných znaků (číslic) stejná. Jako příklad si vezměme již zmíněný 10. systém. Při zápisu čísla v homogenní 10. soustavě můžete v každé číslici použít pouze jednu číslici od 0 do 9, je tedy povoleno číslo 450 (1. číslice - 0, 2. - 5, 3. - 4), ale 4F5 nikoliv, protože znak F není součástí množiny čísel 0 až 9.
Smíšený systém- v každé číslici (pozici) čísla se sada platných znaků (číslic) může lišit od sad ostatních číslic. Pozoruhodným příkladem je systém měření času. V kategorii sekund a minut je možných 60 různých symbolů (od „00“ do „59“), v kategorii hodin – 24 různých symbolů (od „00“ do „23“), v kategorii dne – 365 atd.
Nepolohové systémy
Jakmile se lidé naučili počítat, vyvstala potřeba čísla zapisovat. Na začátku bylo všechno jednoduché - zářez nebo čárka na nějaké ploše odpovídaly jednomu předmětu, například jednomu ovoci. Tak se objevila první číselná soustava – jednotka.Systém čísel jednotek
Číslo v této číselné soustavě je řetězec pomlček (klacíků), jejichž počet se rovná hodnotě daného čísla. Sklizeň 100 datlí se tedy bude rovnat číslu sestávajícímu ze 100 pomlček.Tento systém má ale zjevné nepříjemnosti – čím větší číslo, tím delší řetězec tyčinek. Při psaní čísla se navíc můžete snadno zmýlit tím, že omylem přidáte špejli navíc nebo naopak nezapíšete.
Pro pohodlí začali lidé seskupovat tyčinky do 3, 5 a 10 kusů. Každá skupina přitom odpovídala konkrétnímu znaku nebo předmětu. Zpočátku se k počítání používaly prsty, takže se první znaky objevily pro skupiny po 5 a 10 kusech (jednotkách). To vše umožnilo vytvořit pohodlnější systémy pro záznam čísel.
Starověký egyptský desítkový systém
Ve starověkém Egyptě se k reprezentaci čísel 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7 používaly speciální symboly (čísla). Zde jsou některé z nich:Proč se tomu říká desítkové? Jak bylo uvedeno výše, lidé začali seskupovat symboly. V Egyptě zvolili skupinu 10, přičemž číslo „1“ zůstalo nezměněno. V tomto případě se číslo 10 nazývá základní desítková číselná soustava a každý symbol je do určité míry reprezentací čísla 10.
Čísla ve staroegyptském číselném systému byla zapsána jako kombinace těchto
znaky, z nichž každý se neopakoval více než devětkrát. Konečná hodnota se rovnala součtu prvků čísla. Stojí za zmínku, že tento způsob získávání hodnoty je charakteristický pro každou nepoziční číselnou soustavu. Příkladem může být číslo 345:
Babylonský sexagezimální systém
Na rozdíl od egyptského používal babylonský systém pouze 2 symboly: „rovný“ klín pro označení jednotek a „ležící“ klín pro označení desítek. Chcete-li určit hodnotu čísla, musíte rozdělit obrázek čísla na číslice zprava doleva. Nový výboj začíná vznikem rovného klínu po ležícím. Vezměme si jako příklad číslo 32:
Číslo 60 a všechny jeho mocniny jsou také označeny rovným klínem, jako „1“. Proto byl babylónský číselný systém nazýván sexagesimální.
Babyloňané psali všechna čísla od 1 do 59 v desítkové nepoziční soustavě a velké hodnoty v poziční soustavě se základem 60. Číslo 92:
Záznam čísla byl nejednoznačný, protože tam nebyla žádná číslice označující nulu. Zastoupení čísla 92 by mohlo znamenat nejen 92=60+32, ale také například 3632=3600+32. Pro určení absolutní hodnoty čísla byl zaveden speciální znak pro označení chybějící šestileté číslice, která odpovídá výskytu čísla 0 v zápisu desetinného čísla:
Nyní by číslo 3632 mělo být zapsáno jako:
Babylonský šestinásobný systém je prvním číselným systémem založeným částečně na pozičním principu. Tato číselná soustava se používá dodnes např. při určování času – hodina se skládá z 60 minut, minuta ze 60 sekund.
římský systém
Římský systém se příliš neliší od egyptského. Používá velká latinská písmena I, V, X, L, C, D a M k reprezentaci čísel 1, 5, 10, 50, 100, 500 a 1000. Číslo v římském číselném systému je soubor po sobě jdoucích číslic.Metody pro určení hodnoty čísla:
- Hodnota čísla se rovná součtu hodnot jeho číslic. Například číslo 32 v římské číselné soustavě je XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
- Pokud je vlevo od větší číslice menší, pak se hodnota rovná rozdílu mezi větší a menší číslicí. Zároveň může být levá číslice menší než pravá maximálně o jeden řád: například pouze X(10) se může objevit před L(50) a C(100) mezi „nejnižšími“ , a pouze před D(500) a M(1000) C(100), před V(5) - pouze I(1); číslo 444 v uvažovaném číselném systému bude zapsáno jako CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
- Hodnota se rovná součtu hodnot skupin a čísel, které se nevejdou do bodů 1 a 2.
1) slovanský
2) řečtina (jónština)
Poziční číselné soustavy
Jak již bylo zmíněno výše, první předpoklady pro vznik pozičního systému vznikly již ve starověkém Babylonu. V Indii měl systém podobu pozičního desítkového číslování pomocí nuly a od Indů si tuto číselnou soustavu vypůjčili Arabové, od kterých ji převzali Evropané. Z nějakého důvodu byl v Evropě tomuto systému přiřazen název „Arab“.Desetinná číselná soustava
Jedná se o jednu z nejběžnějších číselných soustav. To je to, co používáme, když pojmenujeme cenu produktu a řekneme číslo autobusu. Každá číslice (pozice) může používat pouze jednu číslici z rozsahu od 0 do 9. Základem systému je číslo 10.Vezměme si například číslo 503. Pokud by toto číslo bylo zapsáno v nepoziční soustavě, pak by jeho hodnota byla 5+0+3 = 8. Máme ale poziční soustavu a to znamená, že každá číslice čísla musí být vynásobený základem systému, v tomto případě číslem „10“, umocněným na mocninu rovnající se číslici. Ukazuje se, že hodnota je 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Aby nedošlo k záměně při práci s několika číselnými soustavami současně, je základ označen jako dolní index. Tedy 503 = 503 10.
Kromě desítkové soustavy si zvláštní pozornost zaslouží 2-, 8- a 16. soustava.
Binární číselná soustava
Tento systém se používá především ve výpočetní technice. Proč nepoužili obvyklé 10.? První počítač vytvořil Blaise Pascal, který používal desítkovou soustavu, což se v moderních elektronických strojích ukázalo jako nepohodlné, protože vyžadovalo výrobu zařízení schopných provozu v 10 stavech, což zvýšilo jejich cenu a konečnou velikost stroj. Prvky fungující ve 2. systému tyto nedostatky nemají. Zmíněný systém však vznikl dávno před vynálezem počítačů a má své „kořeny“ v civilizaci Inků, kde se používalo quipus – složité provazové vazby a uzly.Binární poziční číselný systém má základ 2 a pro zápis čísel používá 2 symboly (číslice): 0 a 1. V každé číslici je povolena pouze jedna číslice – buď 0, nebo 1.
Příkladem je číslo 101. Je podobné číslu 5 v desítkové číselné soustavě. Abyste mohli převést od 2 do 10, musíte vynásobit každou číslici binárního čísla základem „2“ umocněným na mocninu rovnou hodnotě místa. Tedy číslo 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10.
No, pro stroje je 2. číselná soustava pohodlnější, ale často vidíme a používáme čísla v 10. soustavě na počítači. Jak potom stroj určí, jaké číslo uživatel zadává? Jak přeloží číslo z jednoho systému do druhého, protože má pouze 2 symboly - 0 a 1?
Aby mohl počítač pracovat s binárními čísly (kódy), musí být někde uloženy. K uložení každé jednotlivé číslice se používá spoušť, což je elektronický obvod. Může být ve 2 stavech, z nichž jeden odpovídá nule, druhý jedné. K zapamatování jednoho čísla slouží registr - skupina spouštěčů, jejichž počet odpovídá počtu číslic v binárním čísle. A sada registrů je RAM. Číslo obsažené v registru je strojové slovo. Aritmetické a logické operace se slovy provádí aritmetická logická jednotka (ALU). Pro zjednodušení přístupu k registrům jsou očíslovány. Číslo se nazývá adresa registru. Pokud například potřebujete sečíst 2 čísla, stačí uvést čísla buněk (registrů), ve kterých se nacházejí, a ne čísla samotná. Adresy se zapisují v osmičkové a šestnáctkové soustavě (o nich bude řeč níže), protože přechod z nich do dvojkové soustavy a zpět je poměrně jednoduchý. Pro převod z 2. na 8. musí být číslo rozděleno do skupin po 3 číslicích zprava doleva a pro přesun na 16. - 4. Pokud není dostatek číslic ve skupině číslic zcela vlevo, pak jsou vyplněny zleva s nulami, kterým se říká vedení. Vezměme si jako příklad číslo 101100 2. V osmičkové soustavě je to 101 100 = 54 8 a v šestnáctkové soustavě je 0010 1100 = 2C 16. Skvělé, ale proč na obrazovce vidíme desetinná čísla a písmena? Když stisknete klávesu, do počítače se přenese určitá sekvence elektrických impulsů a každý symbol odpovídá své sekvenci elektrických impulsů (nuly a jedničky). Program ovladače klávesnice a obrazovky přistoupí k tabulce kódů znaků (například Unicode, která umožňuje zakódovat 65536 znaků), určí, kterému znaku odpovídá výsledný kód, a zobrazí jej na obrazovce. Texty a čísla jsou tedy uloženy v paměti počítače v binárním kódu a jsou programově převedeny na obrázky na obrazovce.
Osmičková číselná soustava
8. číselná soustava, stejně jako binární, se často používá v digitální technice. Má základ 8 a k zápisu čísel používá číslice 0 až 7.Příklad osmičkového čísla: 254. Pro převod do 10. soustavy musí být každá číslice původního čísla vynásobena 8 n, kde n je ciferné číslo. Ukazuje se, že 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10.
Hexadecimální číselná soustava
Hexadecimální systém je široce používán v moderních počítačích, používá se například k označení barvy: #FFFFFF - bílá. Daný systém má základ 16 a používá k zápisu tato čísla: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, kde písmena jsou 10, 11, 12, 13, 14, 15.Vezměme si jako příklad číslo 4F5 16. Pro převod do osmičkové soustavy nejprve převedeme hexadecimální číslo na binární a poté jej rozdělíme do skupin po 3 číslicích na osmičkové. Chcete-li převést číslo na 2, musíte každou číslici reprezentovat jako 4bitové binární číslo. 4F5 16 = (100 1111 101) 2. Ale ve skupinách 1 a 3 je málo číslic, takže každou vyplňte úvodními nulami: 0100 1111 0101. Nyní musíte výsledné číslo rozdělit do skupin po 3 číslicích zprava doleva: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101 Převedeme každou binární skupinu na osmičkovou soustavu, každou číslici vynásobíme 2 n, kde n je číslo číslice: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .
Kromě uvažovaných pozičních číselných soustav existují další, například:
1) Trojice
2) Čtvrtohory
3) Duodecimální
Polohové systémy se dělí na homogenní a smíšené.
Homogenní poziční číselné soustavy
Definice uvedená na začátku článku popisuje homogenní systémy zcela plně, takže je zbytečné vyjasňování.Smíšené číselné soustavy
K již dané definici můžeme přidat větu: „pokud P=Q n (P,Q,n jsou kladná celá čísla, zatímco P a Q jsou základy), pak záznam libovolného čísla ve smíšené (P-Q) číselné soustavě shodně se shoduje se zápisem stejného čísla v číselné soustavě se základem Q.“Na základě věty můžeme formulovat pravidla pro převod z P-tého do Q-tého systému a naopak:
- Chcete-li převést z Q-té na P-tou, musíte rozdělit číslo v Q-té soustavě do skupin n číslic, počínaje pravou číslicí, a každou skupinu nahradit jednou číslicí v P-té soustavě. .
- Pro převod z P-té na Q-tou je nutné převést každou číslici čísla v P-té soustavě na Q-tou a chybějící číslice doplnit úvodními nulami s výjimkou levé tak, aby každé číslo v soustavě se základem Q se skládá z n číslic .
Smíšené číselné systémy jsou také například:
1) Faktorový
2) Fibonacci
Převod z jedné číselné soustavy do druhé
Někdy je potřeba převést číslo z jedné číselné soustavy do druhé, proto se podívejme na způsoby převodu mezi různými soustavami.Převod do desítkové číselné soustavy
V číselné soustavě se základem b existuje číslo a 1 a 2 a 3. Pro převod do 10. soustavy je nutné každou číslici čísla vynásobit b n, kde n je číslo číslice. Tedy (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 * b 2 + a 2 * b 1 + a 3 * b 0) 10.Příklad: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10
Převod z desítkové číselné soustavy na ostatní
Celý díl:- Celou část desetinného čísla postupně dělíme základem soustavy, do které převádíme, dokud se desetinné číslo nerovná nule.
- Zbytky získané při dělení jsou číslice požadovaného čísla. Číslo v novém systému se zapisuje od posledního zbytku.
- Desetinnou část desetinného čísla vynásobíme základem soustavy, na kterou chceme převést. Oddělte celou část. Pokračujeme v násobení zlomkové části základem nového systému, dokud se nerovná 0.
- Čísla v novém systému jsou složena z celých částí výsledků násobení v pořadí odpovídajícím jejich výrobě.
15\8 = 1, zbytek 7
1\8 = 0, zbytek 1
Po sepsání všech zbytků zdola nahoru dostaneme konečné číslo 17. Tedy 15 10 = 17 8.
Převod z binárního na osmičkové a šestnáctkové
Chcete-li převést na osmičkové číslo, rozdělíme binární číslo do skupin po 3 číslicích zprava doleva a chybějící krajní číslice doplníme úvodními nulami. Dále transformujeme každou skupinu postupným násobením číslic 2 n, kde n je číslo číslice.Vezměme si jako příklad číslo 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8
Pro převod do šestnáctkové soustavy rozdělíme binární číslo do skupin po 4 číslicích zprava doleva, pak obdobně jako při převodu z 2. na 8. místo.
Převod z osmičkové a šestnáctkové soustavy na binární
Převod z osmičkové na binární - každou číslici osmičkového čísla převedeme na binární 3místné číslo dělením 2 (více informací o dělení viz výše odstavec „Převod z desítkové soustavy čísel na ostatní“), vyplňte chybějící krajní číslice s úvodními nulami.Zvažte například číslo 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2
Překlad z 16. na 2. - každou číslici hexadecimálního čísla převedeme na binární 4místné číslo dělením 2, přičemž chybějící krajní číslice doplníme úvodními nulami.
Převod zlomkové části libovolné číselné soustavy na desítkovou
Převod se provádí stejným způsobem jako u celých částí s tím rozdílem, že číslice čísla se násobí základem na mocninu „-n“, kde n začíná od 1.
Příklad: 101 011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 0,25 + 0,125) = 5,375 10
Převod zlomkové části binárního čísla na 8. a 16
Překlad zlomkové části se provádí stejně jako u celých částí čísla s jedinou výjimkou, že rozdělení do skupin po 3 a 4 číslicích jde vpravo od desetinné čárky, chybějící číslice jsou doplněny o nuly vpravo.Příklad: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8
Převod zlomkové části desítkové soustavy na jakoukoli jinou
Chcete-li převést zlomkovou část čísla na jiné číselné soustavy, musíte celou část otočit na nulu a začít násobit výsledné číslo základem soustavy, na kterou chcete převést. Pokud se v důsledku násobení objeví znovu celé části, je třeba je po prvním zapamatování (zapsání) hodnoty výsledné celé části znovu vynulovat. Operace končí, když je zlomková část zcela nulová.Například převedeme 10,625 10 na binární:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Zapsáním všech zbytků odshora dolů dostaneme 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2
Podívejme se na jedno z nejdůležitějších témat v informatice -. Ve školních osnovách se projevuje spíše „skromně“, nejspíše kvůli nedostatku hodin, které jsou na to vyhrazeny. Znalosti na toto téma, zejména na překlad číselných soustav, jsou předpokladem pro úspěšné složení Jednotné státní zkoušky a přijetí na vysoké školy příslušných fakult. Níže podrobně rozebíráme pojmy jako např poziční a nepoziční číselné soustavy, jsou uvedeny příklady těchto číselných soustav, jsou uvedena pravidla pro převod celých desetinných čísel, správných desetinných zlomků a smíšených desetinných čísel do jakékoli jiné číselné soustavy, převod čísel z libovolné číselné soustavy na desítkovou, převod z osmičkové a šestnáctkové číselné soustavy na binární číselný systém. Na toto téma je u zkoušek spousta problémů. Schopnost je řešit je jedním z požadavků na uchazeče. Již brzy: U každého tématu sekce budou kromě podrobného teoretického materiálu uvedeny téměř všechny možné možnosti úkoly pro samostudium. Kromě toho budete mít možnost zcela zdarma stáhnout ze služby souborového hostingu hotová podrobná řešení těchto problémů ilustrující různé způsoby, jak získat správnou odpověď.
poziční číselné soustavy.
Nepoziční číselné soustavy- číselné soustavy, ve kterých kvantitativní hodnota číslice nezávisí na jejím umístění v čísle.
Mezi nepoziční číselné soustavy patří například římská, kde jsou místo číslic latinská písmena.
| já | 1 (jedna) |
| PROTI | 5 (pět) |
| X | 10 (deset) |
| L | 50 (padesát) |
| C | 100 (sto) |
| D | 500 (pět set) |
| M | 1000 (tisíc) |
Zde písmeno V znamená 5 bez ohledu na jeho umístění. Za zmínku však stojí, že ačkoli je římská číselná soustava klasickým příkladem nepoziční číselné soustavy, není zcela nepoziční, protože Od něj se odečte menší číslo před větším:
| IL | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| MI | 1001 (1000+1=1001) |
poziční číselné soustavy.
Poziční číselné soustavy- číselné soustavy, ve kterých kvantitativní hodnota číslice závisí na jejím umístění v čísle.
Například, pokud mluvíme o systému desítkových čísel, pak v čísle 700 číslo 7 znamená „sedm set“, ale stejné číslo v čísle 71 znamená „sedm desítek“ a v čísle 7020 - „sedm tisíc“ .
Každý poziční číselný systém má vlastní báze. Jako základ je zvoleno přirozené číslo větší nebo rovné dvěma. Je roven počtu číslic použitých v dané číselné soustavě.
- Například:
- Binární- poziční číselný systém se základem 2.
- Kvartérní- poziční číselný systém se základem 4.
- Pětinásobné- poziční číselný systém se základem 5.
- Osmičková- poziční číselný systém se základem 8.
- Hexadecimální- poziční číselný systém se základem 16.
Pro úspěšné řešení úloh na téma „Číselné soustavy“ musí student znát zpaměti korespondenci binárních, desítkových, osmičkových a šestnáctkových čísel do 16 10:
| 10 s/s | 2 s/s | 8 s/s | 16 s/s |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Je užitečné vědět, jak se v těchto číselných soustavách získávají čísla. Můžete hádat, že v osmičkové, šestnáctkové, trojkové a dalších poziční číselné soustavy vše se děje stejným způsobem jako v desítkové soustavě, na kterou jsme zvyklí:
K číslu se přidá jedna a získá se nové číslo. Pokud se místo jednotek rovná základu číselné soustavy, zvýšíme počet desítek o 1 atd.
Tento „přechod jednoho“ je to, co většinu studentů děsí. Ve skutečnosti je vše docela jednoduché. K přechodu dojde, pokud se číslice jednotky rovná číselný základ, zvýšíme počet desítek o 1. Mnozí, kteří si pamatují starou dobrou desítkovou soustavu, jsou okamžitě zmateni číslicemi v tomto přechodu, protože desítkové a například binární desítky jsou různé věci.
Vynalézaví studenti si odsud vyvíjejí „své vlastní metody“ (kupodivu... fungující) při vyplňování např. pravdivostních tabulek, jejichž první sloupce (proměnné hodnoty) jsou ve skutečnosti vyplněny binárními čísly ve vzestupném pořadí.
Podívejme se například na zadávání čísel osmičkový systém: K prvnímu číslu (0) přičteme 1, dostaneme 1. Poté přičteme 1 k 1, dostaneme 2 atd. k 7. Přičteme-li k 7 jedničku, dostaneme číslo rovné základu číselné soustavy, tzn. 8. Potom je třeba zvýšit místo desítek o jednu (dostaneme osmičkovou desítku - 10). Další, samozřejmě, jsou čísla 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...
Pravidla pro převod z jedné číselné soustavy do druhé.
1 Převod celých desítkových čísel do jakékoli jiné číselné soustavy.
Číslo musí být děleno nový základ číselného systému. První zbytek dělení je první vedlejší číslice nového čísla. Pokud je podíl dělení menší nebo roven novému základu, pak se musí (podíl) znovu dělit novým základem. Dělení musí pokračovat, dokud nezískáme podíl menší, než je nová základna. Toto je nejvyšší číslice nového čísla (je třeba si uvědomit, že například v šestnáctkové soustavě jsou po 9 písmena, tj. pokud je zbytek 11, musíte to napsat jako B).
Příklad („dělení rohem“): Převeďme číslo 173 10 do osmičkové číselné soustavy.
Tedy 173 10 = 255 8
2 Převod pravidelných desetinných zlomků do jakékoli jiné číselné soustavy.
Číslo je nutné vynásobit novým základem číselné soustavy. Číslice, která se stala celočíselnou částí, je nejvyšší číslicí zlomkové části nového čísla. pro získání další číslice se musí zlomková část výsledného součinu opět vynásobit novým základem číselné soustavy, dokud nenastane přechod na celou část. Pokračujeme v násobení, dokud se zlomková část nestane nulou, nebo dokud nedosáhneme přesnosti uvedené v úloze („... počítejte s přesností např. na dvě desetinná místa“).
Příklad: Převeďme číslo 0,65625 10 do osmičkové číselné soustavy.
