Lineární závislost a nezávislost řádků matice

Nechť je k řádků a k sloupců (k ≤ min(m; n)) náhodně vybráno v matici A o rozměrech (m; n). Prvky matice umístěné v průsečíku vybraných řádků a sloupců tvoří čtvercovou matici řádu k, jejíž determinant se nazývá minor M kk řádu k y nebo k-tý řád menší matice A.

Pořadí matice je maximální řád r nenulových minoritních hodnot matice A a jakýkoli menší řád r, který je nenulový, je základ menší. Označení: zvonil A = r. Pokud rang A = rang B a velikosti matic A a B jsou stejné, pak se matice A a B nazývají ekvivalentní. Označení: A ~ B.

Hlavními metodami pro výpočet hodnosti matice jsou metoda ohraničení nezletilých a metoda.

Hraniční mollová metoda

Podstata metody hraničící nezletilé je následující. Nechť v matici již byl nalezen moll řádu k, odlišný od nuly. Potom níže uvažujeme pouze ty minority řádu k+1, které obsahují (tj. hranici) minoritu k-tého řádu, která se liší od nuly. Pokud jsou všechny rovny nule, pak je hodnost matice rovna k, jinak je mezi hraničními minoritami (k+1) řádu nenulová jednička a celý postup se opakuje.

Lineární nezávislost řádků (sloupců) matice

Pojem pořadí matice úzce souvisí s konceptem lineární nezávislosti jejích řádků (sloupců).

Řádky matice:

se nazývají lineárně závislé, pokud existují čísla λ 1, λ 2, λ k taková, že rovnost platí:

Řádky matice A se nazývají lineárně nezávislé, pokud je výše uvedená rovnost možná pouze v případě, kdy všechna čísla λ 1 = λ 2 = … = λ k = 0

Lineární závislost a nezávislost sloupců matice A se určí podobným způsobem.

Pokud jakýkoli řádek (al) matice A (kde (a l)=(a l1 , a l2 ,…, a ln)) lze reprezentovat jako

Pojem lineární kombinace sloupů je definován obdobným způsobem. Platí následující věta o základu moll.

Základní řádky a základní sloupce jsou lineárně nezávislé. Libovolný řádek (nebo sloupec) matice A je lineární kombinací základních řádků (sloupců), tj. řádků (sloupců) protínajících základní vedlejší. Hodnost matice A: rang A = k je tedy rovna maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků (sloupců) matice A.

Tito. Hodnost matice je rozměr největší čtvercové matice v matici, pro kterou je třeba určit pořadí, pro kterou se determinant nerovná nule. Pokud původní matice není čtvercová, nebo je-li čtvercová, ale její determinant je nulový, pak pro čtvercové matice nižšího řádu se řádky a sloupce volí libovolně.

Kromě determinantů lze hodnost matice vypočítat počtem lineárně nezávislých řádků nebo sloupců matice. Je roven počtu lineárně nezávislých řádků nebo sloupců, podle toho, který je menší. Pokud má matice například 3 lineárně nezávislé řádky a 5 lineárně nezávislých sloupců, pak je její pořadí tři.

Příklady zjištění hodnosti matice

Pomocí metody ohraničení nezletilých zjistěte hodnost matice

Řešení: Druhého řádu moll

hraniční moll M 2 je také nenulový. Oba nezletilí jsou však čtvrtého řádu, hraničícího s M 3 .

se rovnají nule. Hodnost matice A je tedy 3 a základem minor je například výše uvedená vedlejší M 3 .

Metoda elementárních transformací je založena na tom, že elementární transformace matice nemění její hodnost. Pomocí těchto transformací můžete přivést matici do tvaru, kde jsou všechny její prvky kromě a 11, a 22, ..., a rr (r ≤min (m, n)) rovny nule. To samozřejmě znamená, že pořadí A = r. Všimněte si, že pokud má matice n-tého řádu tvar horní trojúhelníkové matice, tedy matice, ve které jsou všechny prvky pod hlavní diagonálou rovny nule, pak je její definice rovna součinu prvků na hlavní diagonále. . Této vlastnosti lze využít při výpočtu hodnosti matice metodou elementárních transformací: je nutné jimi matici zredukovat na trojúhelníkovou a následně výběrem odpovídajícího determinantu zjistíme, že hodnost matice se rovná počtu prvků hlavní úhlopříčky, které se liší od nuly.

Pomocí metody elementárních transformací zjistěte hodnost matice

Řešení Označme i-tou řadu matice A symbolem α i . V první fázi provedeme elementární transformace

Ve druhé fázi provádíme transformace

Jako výsledek dostáváme

Každý řádek matice A je označen e i = (a i 1 a i 2 …, a in) (např.
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n) atd.). Každá z nich je řádková matice, kterou lze vynásobit číslem nebo přidat do jiného řádku podle obecných pravidel pro práci s maticemi.

Lineární kombinace Přímky e l , e 2 ,...e k nazýváme součtem součinů těchto přímek libovolnými reálnými čísly:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k, kde l l, l 2,..., l k jsou libovolná čísla (koeficienty lineární kombinace).

Řádky matice e l , e 2 ,...e m se nazývají lineárně závislé, pokud existují čísla l l , l 2 ,..., l m, která se současně nerovnají nule, takže lineární kombinace řádků matice je rovna nulovému řádku:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, kde 0 = (0 0...0).

Lineární vztah mezi řádky matice znamená, že alespoň jeden řádek matice je lineární kombinací ostatních. Pro definitivnost nechť je poslední koeficient l m ¹ 0. Poté, když obě strany rovnosti vydělíme l m, získáme výraz pro poslední řádek jako lineární kombinaci zbývajících řádků:
e m = (l l / l m) el + ( l 2 / l m) e 2 +...+ (l m - 1 / l m) e m - 1.

Je-li lineární kombinace řádků rovna nule právě tehdy, když jsou všechny koeficienty rovny nule, tzn. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, pak se čáry nazývají lineárně nezávislé.

Věta o hodnosti matice. Hodnost matice se rovná maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých řádků nebo sloupců, kterými lze lineárně vyjádřit všechny její další řádky nebo sloupce.

Pojďme dokázat tuto větu. Nechť matice A o velikosti m x n má hodnost r (r(A) £ min (m; n)). V důsledku toho existuje nenulová moll r-tého řádu. Každého takového nezletilého zavoláme základní. Ať je to nezletilý, aby bylo jasno

Řádky této moll budou také nazývány základní.

Dokažme, že pak jsou řádky matice e l , e 2 ,...e r lineárně nezávislé. Předpokládejme opak, tj. jeden z těchto řádků, například r-tý, je lineární kombinací ostatních: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Poté, pokud odečteme prvky r-té řady 1. řady násobené l l , prvky 2. řady násobené l 2 atd., konečně prvky (r-1) řady násobené l r-1 , pak r-tý řádek bude nulový. V tomto případě by se podle vlastností determinantu výše uvedený determinant neměl měnit a zároveň by se měl rovnat nule. Je získán rozpor a je prokázána lineární nezávislost řádků.

Nyní dokážeme, že libovolné (r+1) řádky matice jsou lineárně závislé, tzn. libovolný řetězec lze vyjádřit základními.

Doplňme dříve uvažovanou mollovou ještě o jeden řádek (i-tý) a další sloupec (j-tý). V důsledku toho získáme minoritní řád (r+1), který se podle definice pořadí rovná nule.

Koncepty lineární závislosti a lineární nezávislosti jsou definovány stejně pro řádky a sloupce. Vlastnosti spojené s těmito pojmy formulovanými pro sloupce jsou tedy samozřejmě platné i pro řádky.

1. Pokud sloupcový systém obsahuje nulový sloupec, pak je lineárně závislý.

2. Pokud má sloupcový systém dva stejné sloupce, pak je lineárně závislý.

3. Pokud má sloupcový systém dva proporcionální sloupce, pak je lineárně závislý.

4. Systém sloupců je lineárně závislý právě tehdy, když alespoň jeden ze sloupců je lineární kombinací ostatních.

5. Jakékoli sloupce zahrnuté v lineárně nezávislém systému tvoří lineárně nezávislý subsystém.

6. Sloupový systém obsahující lineárně závislý subsystém je lineárně závislý.

7. Pokud je soustava sloupců lineárně nezávislá a po přidání sloupce se ukáže, že je lineárně závislá, lze sloupec rozšiřovat do sloupců, a to navíc unikátním způsobem, tzn. expanzní koeficienty lze nalézt jednoznačně.

Dokažme například poslední vlastnost. Protože je systém sloupců lineárně závislý, existují čísla, která nejsou všechna rovna 0, což

V této rovnosti. Ve skutečnosti, pokud, pak

To znamená, že netriviální lineární kombinace sloupců se rovná nulovému sloupci, což je v rozporu s lineární nezávislostí systému. Proto a pak, tzn. sloupec je lineární kombinace sloupců. Zbývá ukázat jedinečnost takové reprezentace. Předpokládejme opak. Nechť existují dvě expanze a , A ne všechny koeficienty expanzí jsou si navzájem rovny (například ). Pak od rovnosti

Dostaneme (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

postupně se lineární kombinace sloupců rovná nulovému sloupci. Protože ne všechny jeho koeficienty se rovnají nule (alespoň), je tato kombinace netriviální, což odporuje podmínce lineární nezávislosti sloupců. Výsledný rozpor potvrzuje jedinečnost expanze.

Příklad 3.2. Dokažte, že dva nenulové sloupce a jsou lineárně závislé právě tehdy, když jsou proporcionální, tzn. .

Řešení. Ve skutečnosti, pokud jsou sloupce lineárně závislé, pak existují čísla, která se zároveň nerovnají nule, takže . A v této rovnosti. Za předpokladu, že ano, dostaneme kontradikci, protože sloupec je také nenulový. Znamená, . Proto existuje číslo takové, že . Potřeba byla prokázána.

Naopak pokud , tak . Získali jsme netriviální lineární kombinaci sloupců rovnající se nulovému sloupci. To znamená, že sloupce jsou lineárně závislé.

Příklad 3.3. Zvažte všechny druhy systémů vytvořených ze sloupců

Prozkoumejte každý systém na lineární závislost.
Řešení. Uvažujme pět systémů obsahujících každý jeden sloupec. Podle odstavce 1 poznámek 3.1: systémy jsou lineárně nezávislé a systém skládající se z jednoho nulového sloupce je lineárně závislý.

Uvažujme systémy obsahující dva sloupce:

– každý ze čtyř systémů je lineárně závislý, protože obsahuje nulový sloupec (vlastnost 1);

– systém je lineárně závislý, protože sloupce jsou proporcionální (vlastnost 3): ;

– každý z pěti systémů je lineárně nezávislý, protože sloupce jsou neproporcionální (viz tvrzení příkladu 3.2).

Zvažte systémy obsahující tři sloupce:

– každý ze šesti systémů je lineárně závislý, protože obsahuje nulový sloupec (vlastnost 1);

– systémy jsou lineárně závislé, protože obsahují lineárně závislý subsystém (vlastnost 6);

– systémy a jsou lineárně závislé, protože poslední sloupec je lineárně vyjádřen přes zbytek (vlastnost 4): resp.

Konečně systémy se čtyřmi nebo pěti sloupci jsou lineárně závislé (vlastností 6).

Hodnost matice

V této části se budeme zabývat další důležitou numerickou charakteristikou matice související s tím, do jaké míry na sobě její řádky (sloupce) závisí.

Definice 14.10 Nechť je dána matice velikostí a číslo nepřesahující nejmenší z čísel: . Řádky a sloupce matice vybereme náhodně (čísla řádků se mohou lišit od čísel sloupců). Determinant matice složené z prvků v průsečíku vybraných řádků a sloupců se nazývá maticový řád minor.

Příklad 14.9 Nechat .

Minor prvního řádu je jakýkoli prvek matice. Takže 2, , jsou nezletilí prvního řádu.

Nezletilí druhého řádu:

1. vezmeme řádky 1, 2, sloupce 1, 2, dostaneme moll ;

2. vezmeme řádky 1, 3, sloupce 2, 4, dostaneme moll ;

3. vezmeme řádky 2, 3, sloupce 1, 4, dostaneme vedlejší

Nezletilí třetího řádu:

řádky zde lze vybrat pouze jedním způsobem,

1. vezměte sloupce 1, 3, 4, dostaneme vedlejší ;

2. vezměte sloupce 1, 2, 3, dostaneme vedlejší .

Nabídka 14.23 Jsou-li všechny minority matice řádu rovny nule, pak všechny minority řádu, pokud existují, jsou rovny také nule.

Důkaz. Vezměme si libovolný menší řád. Toto je determinant matice pořadí. Pojďme si to rozebrat podle prvního řádku. Potom v každém členu expanze bude jeden z faktorů menší než řád původní matice. Podle podmínky se řád nezletilých rovná nule. Menší hodnota řádu se tedy bude rovnat nule.

Definice 14.11 Hodnost matice je největší pořadí maticových minorů kromě nuly. Hodnost nulové matice se považuje za nulovou.

Neexistuje žádné jednotné standardní označení pro hodnost matice. Podle učebnice jej označíme.

Příklad 14.10 Matice z příkladu 14.9 má hodnost 3, protože existuje minoritní skupina třetího řádu jiná než nula, ale neexistují žádné minority čtvrtého řádu.

Hodnost matice je roven 1, protože existuje nenulový minoritní prvek prvního řádu (maticový prvek) a všechny minority druhého řádu jsou rovny nule.

Hodnost nesingulární čtvercové matice řádu je rovna , protože její determinant je menší z řádu a je nenulový pro nesingulární matici.

Nabídka 14.24 Když je matice transponována, její pozice se nemění, tzn .

Důkaz. Transponovaný moll původní matice bude minoritou transponované matice a naopak, jakýkoli moll je transponovaný moll původní matice. Při transpozici se determinant (vedlejší) nemění (Tvrzení 14.6). Pokud jsou tedy všechny minority řádu v původní matici rovny nule, pak jsou všechny minority stejného řádu rovny také nule. Pokud je moll řádu v původní matici odlišný od nuly, pak b je moll stejného řádu, odlišného od nuly. Proto, .

Definice 14.12 Nechť je hodnost matice . Potom se jakákoliv moll řádu, jiná než nula, nazývá základní moll.

Příklad 14.11 Nechat . Determinant matice je nula, protože třetí řádek se rovná součtu prvních dvou. Druhý menší řád, umístěný v prvních dvou řádcích a prvních dvou sloupcích, je roven . V důsledku toho je hodnost matice dvě a uvažovaná minorita je základní.

Základní moll je také moll umístěný řekněme v prvním a třetím řádku, prvním a třetím sloupci: . Základem bude vedlejší ve druhém a třetím řádku, prvním a třetím sloupci: .

Vedlejší v prvním a druhém řádku a ve druhém a třetím sloupci je nula, a proto nebude základem. Čtenář si může samostatně ověřit, kteří další nezletilí druhého řádu budou základní a kteří ne.

Protože lze sloupce (řádky) matice sčítat, násobit čísly a vytvářet lineární kombinace, je možné zavést definice lineární závislosti a lineární nezávislosti systému sloupců (řádků) matice. Tyto definice jsou podobné stejným definicím 10.14, 10.15 pro vektory.

Definice 14.13 Systém sloupců (řádků) se nazývá lineárně závislý, pokud existuje taková množina koeficientů, z nichž alespoň jeden je odlišný od nuly, že lineární kombinace sloupců (řádků) s těmito koeficienty bude rovna nule.

Definice 14.14 Systém sloupců (řádků) je lineárně nezávislý, pokud rovnost k nule lineární kombinace těchto sloupců (řádků) znamená, že všechny koeficienty této lineární kombinace jsou rovny nule.

Následující tvrzení, podobné tvrzení 10.6, je také pravdivé.

Věta 14.25 Systém sloupců (řádků) je lineárně závislý právě tehdy, když jeden ze sloupců (jeden z řádků) je lineární kombinací jiných sloupců (řádků) tohoto systému.

Formulujme větu tzv základní vedlejší věta.

Věta 14.2 Libovolný sloupec matice je lineární kombinací sloupců procházejících základní minoritou.

Důkaz lze nalézt v učebnicích lineární algebry, např. v,.

Nabídka 14.26 Hodnost matice se rovná maximálnímu počtu jejích sloupců tvořících lineárně nezávislý systém.

Důkaz. Nechť je hodnost matice . Vezměme si sloupce procházející základem moll. Předpokládejme, že tyto sloupce tvoří lineárně závislý systém. Pak je jeden ze sloupců lineární kombinací ostatních. Proto v základním mollu bude jeden sloupec lineární kombinací ostatních sloupců. Podle tvrzení 14.15 a 14.18 se tento základ minor musí rovnat nule, což odporuje definici základu minor. Předpoklad, že sloupce procházející bází minor jsou lineárně závislé, tedy není pravdivý. Maximální počet sloupců tvořících lineárně nezávislý systém je tedy větší nebo roven .

Předpokládejme, že sloupce tvoří lineárně nezávislý systém. Udělejme z nich matrici. Všichni matriční nezletilí jsou matriční nezletilí. Proto má menší základ matice řád ne větší než . Podle věty o základní minoritě je sloupec, který neprochází základní minor matice, lineární kombinací sloupců procházejících nižší bází, to znamená, že sloupce matice tvoří lineárně závislý systém. To je v rozporu s výběrem sloupců, které tvoří matici. V důsledku toho maximální počet sloupců tvořících lineárně nezávislý systém nemůže být větší než . To znamená, že se rovná tomu, co bylo uvedeno.

Nabídka 14.27 Hodnost matice se rovná maximálnímu počtu jejích řádků tvořících lineárně nezávislý systém.

Důkaz. Podle výroku 14.24 se pořadí matice během transpozice nemění. Řádky matice se stávají jejími sloupci. Maximální počet nových sloupců transponované matice (bývalých řádků původní) tvořících lineárně nezávislý systém je roven hodnosti matice.

Nabídka 14.28 Pokud je determinant matice nula, pak jeden z jejích sloupců (jeden z řádků) je lineární kombinací zbývajících sloupců (řádků).

Důkaz. Nechť je řád matice roven . Determinant je jediným menším prvkem čtvercové matice, která má řád. Protože se rovná nule, pak . Systém sloupců (řádků) je tedy lineárně závislý, to znamená, že jeden ze sloupců (jeden z řádků) je lineární kombinací ostatních.

Výsledky tvrzení 14.15, 14.18 a 14.28 dávají následující větu.

Věta 14.3 Determinant matice je roven nule právě tehdy, když jeden z jejích sloupců (jeden z řádků) je lineární kombinací zbývajících sloupců (řádků).

Nalezení hodnosti matice pomocí výpočtu všech jejích podřadných položek vyžaduje příliš mnoho výpočetní práce. (Čtenář může zkontrolovat, že ve čtvercové matici čtvrtého řádu je 36 nezletilých 2. řádu.) Proto se k nalezení pořadí používá jiný algoritmus. K jeho popisu bude zapotřebí řada dalších informací.

Definice 14.15 Nazvěme na nich následující akce elementární transformace matic:

1) přeskupení řádků nebo sloupců;
2) násobení řádku nebo sloupce číslem jiným než nula;
3) přidání do jednoho z řádků dalšího řádku vynásobeného číslem nebo přidání do jednoho ze sloupců dalšího sloupce vynásobeného číslem.

Nabídka 14.29 Při elementárních transformacích se hodnost matice nemění.

Důkaz. Nechť je hodnost matice rovna , - matici vzniklé provedením elementární transformace.

Uvažujme permutaci řetězců. Nechť je vedlejší matice, pak má matice moll, který se s ní buď shoduje, nebo se od ní liší přeskupením řádků. Naopak jakákoli matice minor může být spojena s maticí minor, která se s ní shoduje nebo se od ní liší v pořadí řádků. Ze skutečnosti, že všechny minority řádu v matici jsou rovny nule, tedy vyplývá, že v matici jsou také všechny minority tohoto řádu rovny nule. A protože matice má menší pořadí , odlišné od nuly, pak má matice také menší pořadí, odlišné od nuly, tedy .

Zvažte vynásobení řetězce jiným číslem než nulou. Vedlejší z matice odpovídá moll z matice, která se s ní buď shoduje, nebo se od ní liší pouze v jednom řádku, který se získá z vedlejšího řádku vynásobením jiným číslem než nula. V tom druhém případě. Ve všech případech se buď a současně rovnají nule, nebo se zároveň liší od nuly. Proto, .

Všimněte si, že řádky a sloupce matice lze považovat za aritmetické vektory rozměrů m A n, resp. Velikostní matici lze tedy interpretovat jako množinu m n-rozměrné popř n m-rozměrné aritmetické vektory. Analogicky s geometrickými vektory zavádíme pojmy lineární závislosti a lineární nezávislosti řádků a sloupců matice.

4.8.1. Definice. Čára
volal lineární kombinace strun s šancemi
, pokud všechny prvky tohoto řádku mají následující rovnost:

,
.

4.8.2. Definice.

Struny
jsou nazývány lineárně závislé, pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace rovna nulovému řádku, tzn. jsou čísla, která nejsou všechna rovna nule

,
.

4.8.3. Definice.

Struny
jsou nazývány lineárně nezávislé, je-li nulové řadě rovna pouze jejich triviální lineární kombinace, tzn.

,

4.8.4. Teorém. (Kritérium pro lineární závislost řádků matice)

Aby byly řádky lineárně závislé, je nutné a postačující, aby alespoň jeden z nich byl lineární kombinací ostatních.

Důkaz:

Nutnost. Nechte čáry
jsou lineárně závislé, pak existuje jejich netriviální lineární kombinace rovna nulovému řádku:

.

Bez ztráty obecnosti předpokládejme, že první z koeficientů lineární kombinace je nenulový (jinak lze řádky přečíslovat). Vydělením tohoto poměru , dostaneme

,

to znamená, že první řádek je lineární kombinací ostatních.

Přiměřenost. Nechť jeden z řádků např. , je tedy lineární kombinací ostatních

to znamená, že existuje netriviální lineární kombinace strun
, rovná se nulovému řetězci:

což znamená čáry
jsou lineárně závislé, což je potřeba dokázat.

Komentář.

Podobné definice a tvrzení lze formulovat i pro sloupce matice.

§4.9. Hodnost matice.

4.9.1. Definice. Méně důležitý objednat matrice velikost
nazývaný determinant pořadí s prvky umístěnými na průsečíku některé z nich linky a sloupců.

4.9.2. Definice. Nenulová podřadná objednávka matrice velikost
volal základní Méně důležitý, jsou-li všichni nezletilí matice v pořádku
se rovnají nule.

Komentář. Matice může mít několik základních minoritních skupin. Je zřejmé, že všechny budou stejného pořadí. Je také možné, že matice velikost
menší objednávka se liší od nuly a nezletilí jsou v pořádku
neexistuje, tzn
.

4.9.3. Definice. Volají se řádky (sloupce), které tvoří základ minor základnířádky (sloupce).

4.9.4. Definice. Hodnost matice se nazývá řád jejího základu menší. Hodnost matice označený
nebo
.

Komentář.

Všimněte si, že kvůli rovnosti řádků a sloupců determinantu se hodnost matice při transpozici nemění.

4.9.5. Teorém. (Invariance pořadí matice při elementárních transformacích)

Hodnost matice se během jejích elementárních transformací nemění.

Žádný důkaz.

4.9.6. Teorém. (O základní moll).

Podkladové řádky (sloupce) jsou lineárně nezávislé. Libovolný řádek (sloupec) matice může být reprezentován jako lineární kombinace jejích základních řádků (sloupců).

Důkaz:

Udělejme důkaz pro struny. Důkaz výpisu pro sloupce lze provést analogicky.

Nechť hodnost matice velikosti
rovná se , A
− základní moll. Bez ztráty obecnosti předpokládáme, že základ minor je umístěn v levém horním rohu (v opačném případě lze matici pomocí elementárních transformací redukovat do této podoby):

.

Nejprve dokažme lineární nezávislost základních řádků. Důkaz provedeme kontradikcí. Předpokládejme, že základní řádky jsou lineárně závislé. Potom podle věty 4.8.4 může být jeden z řetězců reprezentován jako lineární kombinace zbývajících základních řetězců. Pokud tedy od tohoto řádku odečteme zadanou lineární kombinaci, dostaneme nulový řádek, což znamená, že vedlejší
se rovná nule, což odporuje definici základu minor. Tím jsme získali rozpor, proto byla prokázána lineární nezávislost základních řádků.

Dokažme nyní, že každý řádek matice může být reprezentován jako lineární kombinace základních řádků. Pokud číslo příslušného řádku od 1 do r, pak to samozřejmě může být reprezentováno jako lineární kombinace s koeficientem rovným 1 pro čáru a nulové koeficienty pro zbývající řádky. Nyní ukažme, že pokud číslo řádku z
před
, může být reprezentován jako lineární kombinace základních řetězců. Zvažte matici minor
, získaný ze základu minor
přidání řádku a libovolný sloupec
:

Ukažme, že tento nezletilý
z
před
a pro libovolné číslo sloupce od 1 do .

Ve skutečnosti, pokud číslo sloupce od 1 do r, pak máme determinant se dvěma stejnými sloupci, který je evidentně roven nule. Pokud je číslo sloupce z r+1 komu a číslo řádku z
před
, Že
je menší než původní matice vyššího řádu než základ menší, což znamená, že se rovná nule z definice základu minor. Bylo tedy prokázáno, že nezletilý
je nula pro libovolné číslo řádku z
před
a pro libovolné číslo sloupce od 1 do . Když to rozbalíme přes poslední sloupec, dostaneme:

Tady
− odpovídající algebraické sčítání. všimněte si, že
, protože proto
je základní moll. Proto prvky linky k může být reprezentován jako lineární kombinace odpovídajících prvků základních řádků s koeficienty nezávislými na čísle sloupce :

Dokázali jsme tedy, že libovolný řádek matice může být reprezentován jako lineární kombinace jejích základních řádků. Věta je dokázána.

Přednáška 13

4.9.7. Teorém. (Na úrovni nesingulární čtvercové matice)

Aby čtvercová matice nebyla singulární, je nutné a postačující, aby hodnost matice byla rovna velikosti této matice.

Důkaz:

Nutnost. Nechte čtvercovou matici velikost n je tedy nedegenerovaná
determinantem matice je tedy základ menší, tzn.

Přiměřenost. Nechat
pak je řád menšího základu roven velikosti matice, proto je menší základ determinantem matice , tj.
podle definice základního moll.

Následek.

Aby čtvercová matice byla nesingulární, je nutné a postačující, aby její řádky byly lineárně nezávislé.

Důkaz:

Nutnost. Protože čtvercová matice není singulární, její pořadí se rovná velikosti matice
to znamená, že determinant matice je menší základ. Proto podle věty 4.9.6 na menší bázi jsou řádky matice lineárně nezávislé.

Přiměřenost. Protože všechny řádky matice jsou lineárně nezávislé, její pořadí není menší než velikost matice, což znamená
tedy podle předchozí věty 4.9.7 matice je nedegenerovaná.

4.9.8. Metoda ohraničení nezletilých pro zjištění hodnosti matice.

Všimněte si, že část této metody již byla implicitně popsána v důkazu základní vedlejší věty.

4.9.8.1. Definice. Méně důležitý
volal hraničící vzhledem k nezletilému
, je-li získán od nezletilého
přidáním jednoho nového řádku a jednoho nového sloupce do původní matice.

4.9.8.2. Postup pro zjištění hodnosti matice metodou bordering minors.

Najdeme jakoukoli aktuální minoritu matice, která se liší od nuly.

Počítáme všechny nezletilé, kteří s tím sousedí.

Pokud jsou všechny rovny nule, pak aktuální minor je základní a hodnost matice se rovná pořadí aktuálního minoru.

Pokud je mezi hraničícími nezletilými alespoň jeden nenulový, pak se to považuje za aktuální a postup pokračuje.

Pomocí metody ohraničení nezletilých zjistíme hodnost matice

.

Je snadné specifikovat aktuální nenulový druhořadý moll, kupř.

.

Vypočítáme nezletilé, kteří s ním sousedí:

V důsledku toho, protože všechny hraniční nezletilé třetího řádu jsou rovny nule, pak jsou vedlejší
je základní, tzn

Komentář. Z uvažovaného příkladu je zřejmé, že metoda je značně pracná. Proto se v praxi mnohem častěji používá metoda elementárních transformací, o které bude řeč dále.

4.9.9. Zjištění hodnosti matice metodou elementárních transformací.

Na základě věty 4.9.5 lze tvrdit, že hodnost matice se při elementárních transformacích nemění (to znamená, že hodnosti ekvivalentních matic jsou stejné). Hodnost matice je tedy rovna hodnosti krokové matice získané z původní matice elementárními transformacemi. Hodnost krokové matice je zjevně rovna počtu jejích nenulových řádků.

Pojďme určit hodnost matice

metodou elementárních transformací.

Představme si matrici krokovat zobrazení:

Počet nenulových řádků výsledné matice stupně je tedy tři,

4.9.10. Hodnost systému lineárních prostorových vektorů.

Uvažujme systém vektorů
nějaký lineární prostor . Pokud je lineárně závislý, pak v něm lze rozlišit lineárně nezávislý subsystém.

4.9.10.1. Definice. Hodnost vektorového systému
lineární prostor nazývá se maximální počet lineárně nezávislých vektorů tohoto systému. Hodnost vektorového systému
označený jako
.

Komentář. Pokud je systém vektorů lineárně nezávislý, pak je jeho hodnost rovna počtu vektorů v systému.

Zformulujme větu ukazující souvislost mezi pojmy hodnosti soustavy vektorů v lineárním prostoru a hodností matice.

4.9.10.2. Teorém. (Na úrovni soustavy vektorů v lineárním prostoru)

Hodnost systému vektorů v lineárním prostoru je rovna hodnosti matice, jejíž sloupce nebo řádky jsou souřadnicemi vektorů v nějakém základu lineárního prostoru.

Žádný důkaz.

Následek.

Aby byl systém vektorů v lineárním prostoru lineárně nezávislý, je nutné a postačující, aby hodnost matice, jejíž sloupce nebo řádky jsou souřadnicemi vektorů v určité bázi, byla rovna počtu vektorů v systému.

Důkaz je zřejmý.

4.9.10.3. Věta (O rozměru lineární skořepiny).

Dimenze lineárních trupových vektorů
lineární prostor rovná se hodnosti tohoto vektorového systému:

Žádný důkaz.