Domov › Služby › Co je funkcí komplexní proměnné. Funkce komplexní proměnné. Diferenciace funkcí komplexní proměnné. Cauchy-Riemannovy podmínky

Co je funkcí komplexní proměnné. Funkce komplexní proměnné. Diferenciace funkcí komplexní proměnné. Cauchy-Riemannovy podmínky

Funkce komplexní proměnné.
Diferenciace funkcí komplexní proměnné.

Tento článek otevírá sérii lekcí, ve kterých se budu zabývat typickými problémy souvisejícími s teorií funkcí komplexní proměnné. Pro úspěšné zvládnutí příkladů musíte mít základní znalosti o komplexních číslech. Za účelem konsolidace a opakování materiálu stačí navštívit stránku. Budete také potřebovat dovednosti k nalezení parciální derivace druhého řádu. Tady jsou, tyhle parciální derivace... ještě teď mě trochu překvapilo, jak často se vyskytují...

Téma, které začínáme zkoumat, nepředstavuje žádné zvláštní potíže a ve funkcích komplexní proměnné je v zásadě vše jasné a přístupné. Hlavní je dodržet základní pravidlo, které jsem si experimentálně odvodil. Číst dál!

Pojem funkce komplexní proměnné

Nejprve si obnovme znalosti o školní funkci jedné proměnné:

Funkce jedné proměnné je pravidlo, podle kterého každá hodnota nezávisle proměnné (z definičního oboru) odpovídá jedné a pouze jedné hodnotě funkce. Přirozeně, „x“ a „y“ jsou reálná čísla.

Ve složitém případě je funkční závislost specifikována podobně:

Jednohodnotová funkce komplexní proměnné- to je pravidlo, podle kterého každý obsáhlý hodnota nezávisle proměnné (z oblasti definice) odpovídá jedné a jediné obsáhlý funkční hodnotu. Teorie uvažuje i o vícehodnotových a některých dalších typech funkcí, ale pro jednoduchost se zaměřím na jednu definici.

Jaký je rozdíl mezi komplexní proměnnou funkcí?

Hlavní rozdíl: komplexní čísla. Nebudu ironický. Takové otázky často nechávají lidi ve strnulosti na konci článku vám povím zábavný příběh. Na lekci Komplexní čísla pro figuríny uvažovali jsme o komplexním čísle ve tvaru . Od této chvíle se stalo písmeno „z“. variabilní, pak to označíme následovně: , zatímco „x“ a „y“ mohou být různé platný významy. Zhruba řečeno, funkce komplexní proměnné závisí na proměnných a , které nabývají „obyčejných“ hodnot. Z této skutečnosti logicky vyplývá následující bod:

Funkci komplexní proměnné lze zapsat jako:
, kde a jsou dvě funkce dvou platný proměnné.

Funkce je volána reálná část funkcí
Funkce je volána imaginární část funkcí

To znamená, že funkce komplexní proměnné závisí na dvou reálných funkcích a . Abychom si vše konečně objasnili, podívejme se na praktické příklady:

Příklad 1

Řešení: Nezávislá proměnná „zet“, jak si vzpomínáte, se zapisuje ve tvaru , tedy:

(1) Nahradili jsme .

(2) Pro první termín byl použit zkrácený násobící vzorec. V termínu byly otevřeny závorky.

(3) Pečlivě zarovnané, nezapomeňte na to

(4) Přeuspořádání pojmů: nejprve přepíšeme pojmy , ve kterém není žádná pomyslná jednotka(první skupina), pak výrazy, kde jsou (druhá skupina). Je třeba poznamenat, že míchání pojmů není nutné a tento krok lze přeskočit (ve skutečnosti to uděláte ústně).

(5) U druhé skupiny to vyjmeme ze závorek.

Výsledkem bylo, že naše funkce byla zastoupena ve formě

Odpovědět:
– reálná část funkce.
– imaginární část funkce.

Jaké funkce to byly? Nejběžnější funkce dvou proměnných, ze kterých můžete najít tak populární částečné derivace. Bez milosti to najdeme. Ale o něco později.

Algoritmus pro řešený problém lze ve stručnosti napsat takto: do původní funkce dosadíme , provedeme zjednodušení a rozdělíme všechny členy do dvou skupin - bez imaginární jednotky (reálná část) a s imaginární jednotkou (imaginární část) .

Příklad 2

Najděte skutečnou a imaginární část funkce

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Než se vrhnete do bitvy na složitém letadle s vylosovanými dámami, dovolte mi, abych vám dal nejdůležitější rady k tématu:

BUĎ OPATRNÝ! Musíte být opatrní, samozřejmě, všude, ale v komplexních číslech byste měli být opatrnější než kdy jindy! Pamatujte, že opatrně otevřete závorky, nic neztratíte. Podle mého pozorování je nejčastější chybou ztráta znaménka. Nespěchej!

Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Nyní kostka. Pomocí zkráceného vzorce pro násobení odvodíme:
.

Vzorce jsou v praxi velmi pohodlné, protože výrazně urychlují proces řešení.

Diferenciace funkcí komplexní proměnné.

Mám dvě zprávy: dobrou a špatnou. Začnu tím dobrým. Pro funkci komplexní proměnné platí pravidla derivace a tabulka derivací elementárních funkcí. Derivace se tedy bere úplně stejně jako v případě funkce reálné proměnné.

Špatnou zprávou je, že pro mnoho komplexních proměnných funkcí neexistuje vůbec žádná derivace a musíte na to přijít je to rozlišitelné jednu nebo druhou funkci. A „zjištění“, jak se vaše srdce cítí, je spojeno s dalšími problémy.

Uvažujme funkci komplexní proměnné. Aby byla tato funkce diferencovatelná, je nutné a postačující:

1) Aby existovaly parciální derivace prvního řádu. Na tyto zápisy hned zapomeňte, protože v teorii funkcí komplexní proměnné se tradičně používá jiný zápis: .

2) K provedení tzv Cauchy-Riemannovy podmínky:

Pouze v tomto případě bude derivace existovat!

Příklad 3

Řešení je rozdělena do tří po sobě jdoucích etap:

1) Najdeme skutečnou a imaginární část funkce. Tento úkol byl diskutován v předchozích příkladech, takže jej napíšu bez komentáře:

Od té doby:

Tím pádem:

– imaginární část funkce.

Dovolte mi ještě jeden technický bod: v jakém pořadí napsat pojmy do skutečné a imaginární části? Ano, v zásadě je to jedno. Například skutečná část může být napsána takto: , a ten pomyslný – takhle: .

2) Zkontrolujme splnění Cauchy-Riemannových podmínek. Jsou dva.

Začněme kontrolou stavu. Shledáváme částečné derivace:

Tím je podmínka splněna.

Dobrou zprávou samozřejmě je, že parciální derivace jsou téměř vždy velmi jednoduché.

Kontrolujeme splnění druhé podmínky:

Výsledek je stejný, ale s opačnými znaménky, tedy podmínka je také splněna.

Cauchyho-Riemannovy podmínky jsou splněny, proto je funkce diferencovatelná.

3) Najdeme derivaci funkce. Derivát je také velmi jednoduchý a lze jej nalézt podle obvyklých pravidel:

Imaginární jednotka je při diferenciaci považována za konstantu.

Odpovědět: - skutečná část, – imaginární část.
Cauchy-Riemannovy podmínky jsou splněny, .

Existují další dva způsoby, jak najít derivaci, samozřejmě se používají méně často, ale informace budou užitečné pro pochopení druhé lekce - Jak najít funkci komplexní proměnné?

Derivát lze najít pomocí vzorce:

V tomto případě:

Tím pádem

Musíme vyřešit inverzní problém - ve výsledném výrazu musíme izolovat . K tomu je nutné v termínech a mimo závorky:

Opačná akce, jak si mnozí všimli, je poněkud obtížnější na kontrolu, vždy je lepší vzít výraz na koncept nebo ústně otevřít závorky zpět a ujistit se, že výsledek je přesný;

Zrcadlový vzorec pro nalezení derivace:

V tomto případě: , Proto:

Příklad 4

Určete reálné a imaginární části funkce . Zkontrolujte splnění podmínek Cauchy-Riemann. Pokud jsou splněny Cauchy-Riemannovy podmínky, najděte derivaci funkce.

Krátké řešení a přibližná ukázka finálního návrhu na konci lekce.

Jsou Cauchy-Riemannovy podmínky vždy splněny? Teoreticky se neplní častěji, než se plní. Ale v praktických příkladech si nepamatuji případ, kdy by nebyly splněny =) Pokud tedy vaše parciální derivace „nekonvergují“, pak s velmi vysokou pravděpodobností můžete říci, že jste někde udělali chybu.

Pojďme si zkomplikovat naše funkce:

Příklad 5

Určete reálné a imaginární části funkce . Zkontrolujte splnění podmínek Cauchy-Riemann. Vypočítat

Řešení: Algoritmus řešení je zcela zachován, ale na konci bude přidán nový bod: nalezení derivace v bodě. Pro krychli již byl odvozen požadovaný vzorec:

Pojďme definovat skutečné a imaginární části této funkce:

Pozor a ještě jednou pozor!

Od té doby:

Tím pádem:
– reálná část funkce;
– imaginární část funkce.

Kontrola druhé podmínky:

Výsledek je stejný, ale s opačnými znaménky, tedy podmínka je také splněna.

Cauchy-Riemannovy podmínky jsou splněny, proto je funkce diferencovatelná:

Vypočítejme hodnotu derivace v požadovaném bodě:

Odpovědět:, , Cauchy-Riemannovy podmínky jsou splněny,

Funkce s kostkami jsou běžné, takže zde je příklad pro posílení:

Příklad 6

Určete reálné a imaginární části funkce . Zkontrolujte splnění podmínek Cauchy-Riemann. Vypočítat.

Řešení a příklad zakončení na konci lekce.

V teorii komplexní analýzy jsou také definovány další funkce komplexního argumentu: exponent, sinus, kosinus atd. Tyto funkce mají neobvyklé a dokonce bizarní vlastnosti - a to je opravdu zajímavé! Opravdu vám to chci říct, ale jak už to tak bývá, nejde o referenční knihu nebo učebnici, ale o knihu řešení, takže budu uvažovat o stejném problému s některými běžnými funkcemi.

Nejprve o tzv Eulerovy vzorce:

Pro každého platnýčísla, platí následující vzorce:

Můžete si jej také zkopírovat do svého notebooku jako referenční materiál.

Přísně vzato, existuje pouze jeden vzorec, ale obvykle pro pohodlí píší také speciální případ s mínusem v exponentu. Parametr nemusí být jedno písmeno, může to být složitý výraz nebo funkce, důležité je pouze to, aby je akceptoval pouze platné významy. Ve skutečnosti uvidíme toto hned teď:

Příklad 7

Najděte derivaci.

Řešení: Obecná linie strany zůstává neotřesitelná – je třeba rozlišovat skutečnou a imaginární část funkce. Níže uvedu podrobné řešení a komentáře ke každému kroku:

Od té doby:

(1) Nahraďte místo „z“.

(2) Po nahrazení musíte vybrat skutečné a imaginární části první v ukazateli vystavovatelé. Chcete-li to provést, otevřete závorky.

(3) Seskupíme imaginární část indikátoru, přičemž imaginární jednotku umístíme mimo závorky.

(4) Používáme školní akci s tituly.

(5) Pro násobitel použijeme Eulerův vzorec a .

(6) Otevřete závorky, výsledkem je:

– reálná část funkce;
– imaginární část funkce.

Další akce jsou standardní; pojďme zkontrolovat splnění podmínek Cauchy-Riemann:

Příklad 9

Určete reálné a imaginární části funkce . Zkontrolujte splnění podmínek Cauchy-Riemann. Budiž, derivaci nenajdeme.

Řešení: Algoritmus řešení je velmi podobný předchozím dvěma příkladům, ale jsou zde velmi důležité body, takže se znovu vyjádřím k počáteční fázi krok za krokem:

Od té doby:

1) Nahraďte místo „z“.

(2) Nejprve vybereme skutečnou a imaginární část uvnitř sinusu. Pro tyto účely otevíráme závorky.

(3) Použijeme vzorec a .

(4) Použití parita hyperbolického kosinusu: A zvláštnost hyperbolického sinusu: . Hyperbolika, ač mimo tento svět, v mnohém připomíná podobné goniometrické funkce.

Nakonec:
– reálná část funkce;
– imaginární část funkce.

Pozornost! Znaménko mínus odkazuje na pomyslnou část a za žádných okolností bychom ji neměli ztratit! Pro názornou ilustraci lze výše uvedený výsledek přepsat následovně:

Pojďme zkontrolovat splnění podmínek Cauchy-Riemann:

Cauchy-Riemannovy podmínky jsou splněny.

Odpovědět:, , Cauchy-Riemannovy podmínky jsou splněny.

Dámy a pánové, pojďme na to přijít sami:

Příklad 10

Určete reálné a imaginární části funkce. Zkontrolujte splnění podmínek Cauchy-Riemann.

Záměrně jsem vybral obtížnější příklady, protože se zdá, že každý si s něčím poradí, třeba s loupanými arašídy. Zároveň si procvičíte pozornost! Oříškový lusk na konci lekce.

No, na závěr se podívám na další zajímavý příklad, kdy je ve jmenovateli komplexní argument. V praxi se to stalo několikrát, podívejme se na něco jednoduchého. Ehm, stárnu...

Příklad 11

Určete reálné a imaginární části funkce. Zkontrolujte splnění podmínek Cauchy-Riemann.

Řešení: Opět je nutné rozlišovat reálnou a imaginární část funkce.
Pokud, pak

Nabízí se otázka, co dělat, když je ve jmenovateli „Z“?

Vše je jednoduché - pomůže standardní metoda násobení čitatele a jmenovatele konjugovaným výrazem, byl již použit v příkladech lekce Komplexní čísla pro figuríny. Vzpomeňme na školní vzorec. Již máme ve jmenovateli, což znamená, že sdružený výraz bude . Takže musíte vynásobit čitatele a jmenovatele:

Federální agentura pro vzdělávání

___________________________________

Stát Petrohrad

Elektrotechnická univerzita "LETI"

_______________________________________

Teorie funkcí komplexní proměnné

Směrnice

do praktických hodin

ve vyšší matematice

Petrohrad

Nakladatelství SPbSETU "LETI"

MDT 512,64(07)

TFKP: Metodické pokyny pro řešení problémů / sestavil: V.G Dyumin, A.M. Kotochigov, N.N Sosnovsky Petrohrad: Nakladatelství St.

Schválený

Ediční a vydavatelská rada univerzity

jako vodítka

Funkce komplexní proměnné , se v obecném případě liší od zobrazení reálné roviny
sama o sobě pouze formou záznamu. Důležitým a mimořádně užitečným objektem je třída funkcí komplexní proměnné,

mající stejnou derivaci jako funkce jedné proměnné. Je známo, že funkce více proměnných mohou mít parciální derivace a směrové derivace, ale derivace v různých směrech se zpravidla neshodují a o derivaci nelze v bodě mluvit. Pro funkce komplexní proměnné je však možné popsat podmínky, za kterých umožňují derivaci. Studium vlastností diferencovatelných funkcí komplexní proměnné je obsahem metodických pokynů. Návod je zaměřen na demonstraci toho, jak lze vlastnosti takových funkcí využít k řešení různých problémů. Úspěšné zvládnutí prezentované látky není možné bez základních dovedností ve výpočtech s komplexními čísly a bez znalosti nejjednodušších geometrických objektů, definovaných z hlediska nerovností spojujících reálnou a imaginární část komplexního čísla, jakož i jeho modulu a argumentu. Souhrn všech informací potřebných k tomu naleznete v pokynech.

V textu pokynů je široce používán standardní aparát matematické analýzy: limity, derivace, integrály, řady. Tam, kde mají tyto pojmy svá specifika, jsou ve srovnání s funkcemi jedné proměnné uvedena příslušná vysvětlení, většinou však stačí oddělit reálnou a imaginární část a aplikovat na ně standardní aparát reálné analýzy.

1. Elementární funkce komplexní proměnné

Je přirozené začít diskusi o podmínkách diferencovatelnosti funkcí komplexní proměnné zjištěním, které elementární funkce mají tuto vlastnost. Z zřejmého vztahu

Z toho vyplývá, že každý polynom je diferencovatelný. A protože mocninnou řadu lze v jejím kruhu konvergence členit člen po členu,

pak je jakákoli funkce diferencovatelná v bodech, v jejichž blízkosti může být rozšířena v Taylorově řadě. To je dostatečná podmínka, ale jak se brzy ukáže, také nezbytná. Studium funkcí jedné proměnné s ohledem na jejich derivaci je vhodné podpořit sledováním chování funkčního grafu. To není možné u funkcí komplexní proměnné. Body grafu leží v prostoru dimenze 4, .

Určitou grafickou reprezentaci funkce však lze získat uvažováním obrázků poměrně jednoduchých množin v komplexní rovině
, vznikající vlivem dané funkce. Podívejme se například na několik jednoduchých funkcí z tohoto pohledu.

Lineární funkce

Tato jednoduchá funkce je velmi důležitá, protože jakákoli diferencovatelná funkce je lokálně podobná lineární. Zvažme činnost funkce v maximálních detailech

Tady
-- modul komplexního čísla A -- jeho argument. Lineární funkce tedy provádí natahování, rotaci a translaci. Lineární mapování tedy vezme jakoukoli množinu na podobnou množinu. Zejména pod vlivem lineárního zobrazení se přímky mění v přímky a kruhy v kružnice.

Funkce

Tato funkce je po lineární další nejsložitější. Těžko očekávat, že převede jakoukoli úsečku na přímku a kružnici na kružnici, jednoduché příklady ukazují, že se to neděje, lze však ukázat, že tato funkce převede množinu všech úseček a kružnic na; sám. Pro ověření je vhodné přejít na skutečný (souřadnicový) popis mapování

Důkaz vyžaduje popis inverzního zobrazení

Zvažte rovnici if
, pak dostaneme obecnou rovnici přímky. Li
, Že

Proto, když
dostaneme rovnici libovolné kružnice.

Všimněte si, že pokud
A
, pak kružnice prochází počátkem. Li
A
, pak dostanete přímku procházející počátkem.

Při působení inverze se uvažovaná rovnice přepíše do tvaru

, (
)

nebo . A
Je vidět, že jde také o rovnici, která popisuje buď kružnice, nebo přímky. Skutečnost, že koeficienty v rovnici

zaměněná místa znamená, že během inverze se přímky procházející 0 změní na kružnice a kružnice procházející 0 se změní na přímky.

Výkonové funkce
Hlavní rozdíl mezi těmito funkcemi a funkcemi, o kterých jsme hovořili výše, je v tom, že nejsou individuální (
transformuje komplexní rovinu na dvě kopie stejné roviny. Přesné zpracování tohoto tématu vyžaduje použití těžkopádného aparátu Riemannových povrchů a přesahuje rámec zde uvažované problematiky. Je důležité pochopit, že komplexní rovinu lze rozdělit na sektory, z nichž každý je namapován na komplexní rovinu jedna ku jedné. Toto je rozdělení funkce
vypadá například takto, horní polorovina je mapována funkcí jedna ku jedné na komplexní rovinu
. Geometrické zkreslení pro takové obrázky je obtížnější popsat než v případě inverze. Jako cvičení můžete sledovat, na co se mřížka pravoúhlých souřadnic horní poloroviny transformuje při zobrazení

Je vidět, že mřížka pravoúhlých souřadnic se transformuje na rodinu parabol, které tvoří systém křivočarých souřadnic v rovině
. Rozdělení roviny popsané výše je takové, že funkce
zobrazí každý z sektory po celé rovině. Popis dopředného a zpětného mapování vypadá takto

Takže funkce
Má to různé inverzní funkce,

specifikované v různých sektorech letadla

V takových případech se o mapování říká, že je vícelistové.

Žukovského funkce

Funkce má svůj vlastní název, protože tvořila základ teorie křídla letadla vytvořené Žukovským (popis tohoto návrhu lze nalézt v knize). Funkce má řadu zajímavých vlastností, zaměřme se na jednu z nich – zjistěte, na kterých sadách tato funkce působí jedna k jedné. Zvažte rovnost

, kde
.

V důsledku toho je funkce Zhukovsky jedna ku jedné v jakékoli doméně, ve které pro kteroukoli A jejich produkt není roven jedné. Jedná se například o otevřený jednotkový kruh
a doplněk uzavřeného jednotkového kruhu
.

Zvažte tedy působení Žukovského funkce na kruhu

Oddělením reálné a imaginární části získáme parametrickou rovnici elipsy

,
.

Li
, pak tyto elipsy vyplňují celou rovinu. Podobným způsobem lze ověřit, že obrazy segmentů jsou hyperboly

Exponenciální funkce

Funkci lze rozšířit do mocninné řady, která je absolutně konvergentní v celé komplexní rovině, je tedy všude diferencovatelná. Popišme množiny, na kterých je funkce jedna ku jedné. Jednoznačná rovnost
ukazuje, že rovinu lze rozdělit do rodiny pásů, z nichž každý je mapován jedna ku jedné funkcí na celou komplexní rovinu. Tento oddíl je nezbytný pro pochopení toho, jak funguje inverzní funkce, přesněji řečeno inverzní funkce. Na každém z pruhů je přirozeně definované inverzní mapování

Inverzní funkce je v tomto případě také multivalentní a počet inverzních funkcí je nekonečný.

Geometrický popis mapování je celkem jednoduchý: rovné čáry
proměnit v paprsky
, segmenty

zatočit do kruhů
.

Kde
jsou reálná čísla a - speciální znak tzv pomyslná jednotka . U imaginární jednotky se podle definice předpokládá, že
.

(4.1) – algebraický tvar komplexní číslo a
volal reálná část komplexní číslo a
-imaginární část .

Číslo
volal komplexní konjugát na číslo
.

Nechť jsou dána dvě komplexní čísla
,
.

1. Množství
komplexní čísla A se nazývá komplexní číslo

2. Rozdílem
komplexní čísla A se nazývá komplexní číslo

3. Práce
komplexní čísla A se nazývá komplexní číslo

4. Soukromé z dělení komplexního čísla na komplexní číslo
se nazývá komplexní číslo

Poznámka 4.1. To znamená, že operace s komplexními čísly jsou zavedeny podle obvyklých pravidel aritmetických operací na doslovných výrazech v algebře.

Příklad 4.1. Jsou uvedena komplexní čísla. Nalézt

Řešení. 1) .

4) Vynásobením čitatele a jmenovatele komplexním konjugátem jmenovatele dostaneme

Trigonometrický tvar komplexní číslo:

Kde
- modul komplexního čísla,
je argument komplexního čísla. Roh definovány nejednoznačně, až do termínu
:

,
.

- hlavní hodnota argumentu, určená podmínkou

, (nebo
).

Demonstrativní forma komplexní číslo:

Vykořenit
mocninu čísla Má to různé hodnoty, které se zjistí podle vzorce

Kde
.

Body odpovídající hodnotám
, jsou vrcholy správné
čtverec vepsaný do kruhu o poloměru
se středem v počátku.

Příklad 4.2. Najděte všechny kořenové hodnoty
.

Řešení. Představme si komplexní číslo
v trigonometrickém tvaru:

, kde
.

Pak
. Proto podle vzorce (4.2)
má čtyři významy:

,
.

Věřící
, shledáváme

,
,

, .

Zde jsme převedli hodnoty argumentu na jeho hlavní hodnotu.

Sady na komplexní rovinu

Komplexní číslo
vyobrazený v letadle
tečka
se souřadnicemi
. Modul
a argument
odpovídají polárním souřadnicím bodu
.

Je užitečné si tuto nerovnost pamatovat
definuje kružnici se středem v bodě poloměr . Nerovnost
definuje polorovinu umístěnou napravo od přímky
a nerovnost
- polorovina umístěná nad přímkou
. Navíc systém nerovností
nastavuje úhel mezi paprsky
A
, opuštění původu.

Příklad 4.3. Nakreslete oblast definovanou nerovnostmi:
.

Řešení. První nerovnost odpovídá prstenci se středem v bodě
a dva poloměry 1 a 2, kružnice se do plochy nezapočítávají (obr. 4.1).

Druhá nerovnost odpovídá úhlu mezi paprsky
(sektor 4. souřadnicového úhlu) a
(kladný směr osy
). Samotné paprsky do regionu nepronikají (obr. 4.2).

Požadovaná oblast je průsečíkem dvou získaných oblastí (obr. 4.3)

4.2. Funkce komplexní proměnné

Nechť funkci jedné hodnoty
vymezené a souvislé v regionu
, A - po částech hladká uzavřená nebo neuzavřená orientovaná křivka ležící v
. Nechte, jako obvykle,
,,Kde
,
- reálné funkce proměnných A .

Výpočet integrálu funkce
komplexní proměnná redukuje na výpočet obvyklých křivočarých integrálů, jmenovitě

Pokud je funkce
analytické v jednoduše propojené doméně
, obsahující body A , pak Newton-Leibnizův vzorec platí:

Kde
- nějaký primitivní prvek pro funkci
, to je
v oblasti
.

V integrálech funkcí komplexní proměnné lze provést změnu proměnné a integrace po částech je podobná tomu, jak se to dělá při výpočtu integrálů funkcí reálné proměnné.

Všimněte si také, že pokud je cesta integrace součástí přímky vycházející z bodu , nebo část kruhu se středem v bodě , pak je užitečné provést variabilní náhradu formuláře
. V prvním případě
, A - reálná integrační proměnná; v druhém případě
, A - reálná integrační proměnná.

Příklad 4.4. Vypočítat
podle paraboly
z bodu
do té míry
(Obrázek 4.4).

Řešení. Přepišme integrand do tvaru

Pak
,
. Použijme vzorec (4.3):

Protože
, Že
,
. Proto

Příklad 4.5. Vypočítejte integrál
, Kde - oblouk kruhu
,
(obr. 4.5) .

Řešení.Řekněme
, Pak
,
,
. Dostaneme:

Funkce
, jednohodnotové a analytické v kruhu
, se v tomto prstenci rozkládá na série Laurent

Ve vzorci (4.5) řada
volal hlavní část Laurentova série a série
volal pravá část série Laurent.

Definice 4.1. Tečka volalizolovaný singulární bod funkcí
, pokud existuje okolí tohoto bodu, ve kterém je funkce
analytické všude kromě samotného bodu .

Funkce
v blízkosti bodu lze rozšířit do série Laurent. V tomto případě jsou možné tři různé případy, kdy série Laurent:

1) neobsahuje termíny se zápornými mocninami rozdílu
, to je

(Laurentova série neobsahuje hlavní díl). V tomto případě volal odnímatelný singulární bod funkcí
;

2) obsahuje konečný počet členů se zápornými mocninami rozdílu
, to je

a
. V tomto případě bod volal pól řádu funkcí
;

3) obsahuje nekonečné množství členů se zápornými mocninami:

V tomto případě bod volal v podstatě zvláštní bod funkcí
.

Při určování charakteru izolovaného singulárního bodu není nutné hledat rozšíření Laurentovy řady. Můžete použít různé vlastnosti izolovaných singulárních bodů.

1) je odnímatelný singulární bod funkce
, pokud existuje konečná limita funkce
na místě :

2) je pól funkce
, Pokud

3) je v podstatě singulární bod funkce
, pokud v
funkce nemá limitu, ani konečnou, ani nekonečnou.

Definice 4.2. Tečka volalnula
první objednávka (nebo mnohosti ) funkcí
, pokud jsou splněny následující podmínky:

…,

.

Poznámka 4.2. Tečka právě tehdy, když je nula
první objednávka funkcí
, kdy v nějakém sousedství tohoto bodu platí rovnost

kde je funkce
analytické v určitém bodě A

4) bod je pólem řádu (
) funkce
, pokud je tento bod nultého řádu pro funkci
.

5) nech - izolovaný singulární bod funkce
, Kde
- analytické funkce v bodě . A nechme pointu je nulového řádu funkcí
a nultého řádu funkcí
.

Na
tečka je pólem řádu
funkcí
.

Na
tečka je odnímatelný singulární bod funkce
.

Příklad 4.6. Najděte izolované body a určete jejich typ pro funkci
.

Řešení. Funkce
A
- analytické v celé komplexní rovině. To znamená, že singulární body funkce
jsou nuly ve jmenovateli, tedy body, kde
. Takových bodů je nekonečně mnoho. Především jde o to
, stejně jako body splňující rovnici
. Odtud
A
.

Zvažte pointu
. V tomto bodě dostáváme:

,
,

,
.

Řád nula je
.

,
,

,
.

Takže tečka
je pólem druhého řádu (
).

. Pak

,
.

Pořadí nulového čitatele je
.

,
,
.

Řád nula ve jmenovateli je
. Proto body
na
jsou póly prvního řádu ( jednoduché tyče ).

Věta 4.1. (Cauchyho věta o reziduích ). Pokud je funkce
je analytický na hranici kraj
a všude uvnitř oblasti, kromě konečného počtu singulárních bodů
, Že

Při počítání integrálů se vyplatí pečlivě najít všechny singulární body funkce
, pak nakreslete obrys a singulární body a poté vyberte pouze ty body, které spadají do integračního obrysu. Udělat správnou volbu bez obrázku je často obtížné.

Způsob výpočtu srážky
závisí na typu singulárního bodu. Proto před výpočtem zbytku musíte určit typ singulárního bodu.

1) zbytek funkce v bodě rovný koeficientu pro mínus první stupeň v Laurentově expanzi
v blízkosti bodu :

Toto tvrzení platí pro všechny typy izolovaných bodů, a proto v tomto případě není nutné určovat typ singulárního bodu.

2) zbytek v odstranitelném singulárním bodě je roven nule.

3) pokud je jednoduchý pól (pól prvního řádu) a funkce
mohou být zastoupeny ve formě
, Kde
,
(všimněte si, že v tomto případě
), pak zbytek v bodě rovná se

Zejména pokud
, Že
.

4) pokud - tedy jednoduchá tyč

5) pokud - tyč
funkce řádu
, Že

Příklad 4.7. Vypočítejte integrál
.

Řešení. Hledání singulárních bodů integrandu
. Funkce
má dva singulární body
A
Do obrysu spadá pouze bod
(obr. 4.6). Tečka
- pól druhého řádu, od
je nula násobku 2 pro funkci
.