Formát Wordu podle ukázky se při rolování resetuje. Jak používat tlačítko Word - ukázkový formát? Styly a formátování

Jak jsme zjistili v předchozích lekcích, i primitiva braná jako základ nám umožňují pomocí řady jednoduchých manipulací vytvářet různá trojrozměrná tělesa, od abstraktních objektů až po zcela reálné modely. Ještě větší vyhlídky se otevírají při použití Shapes jako počátečních objektů, což je sada dvourozměrných nebo trojrozměrných křivek. Tvary kombinují dva typy objektů: Splines a NURBS Curves. Podívejme se v této lekci na spline, protože jsou populárnější a častěji používané v modelování. Budeme však studovat pouze ty nejjednodušší techniky pro práci se splajny a problematiku modelování spline si necháme na následující lekce.

Co jsou spline

Splines (Spline piecewise polynomial function) jsou dvourozměrné geometrické objekty, které jsou zcela nezávislé a mohou sloužit jako základ pro konstrukci složitějších trojrozměrných těles. Navenek jsou spline různé čáry, tvar čáry je určen typem vrcholů, kterými prochází. Spline mohou být nejjednodušší geometrické tvary: obdélníky, hvězdy, elipsy atd., stejně jako složité přerušované čáry nebo křivky, stejně jako obrysy textových znaků.

Hlavními prvky splajnů jsou vrcholy ( Vrchol) a segmenty ( Segment). Vrcholy jsou body umístěné na spline, přičemž první vrchol, označující začátek spline, je označen bílým čtverečkem. Segment je obvykle chápán jako úsek spline čáry ohraničený dvěma sousedními vrcholy, mohou být buď přímé, nebo zakřivené segmenty. Vrcholy spline se liší typem, který určuje míru zakřivení segmentů spline sousedících s těmito vrcholy. Celkem existují čtyři typy vrcholů (obr. 1):

1. Roh(Roh) vrchol, ve kterém má splajn zlom a sousední segmenty nemají žádné zakřivení.
2. Hladký(Smoothed) vrchol, přes který je spline křivka nakreslena s hladkým ohybem a zakřivení segmentů sousedících s vrcholem je na obou stranách stejné.
3. Bezier(Bézier) vrchol, který připomíná vyhlazený a liší se od něj schopností ovládat míru zakřivení obou segmentů. Toho je dosaženo díky přítomnosti tečných vektorů ve vrcholu, omezených na koncích značkami ve formě zelených čtverců a nazývaných Bezierovy úchyty. Přesunutím Bézierových úchytů můžete změnit směr, kterým segmenty splajnu vstupují a vystupují z vrcholu, a změnou vzdálenosti od úchytů k vrcholu můžete upravit stupeň zakřivení segmentů splajnu. Ve vrcholech tohoto typu jsou Bézierovy úchyty propojeny a pohyb jednoho z nich automaticky způsobí pohyb druhého.
4. Bezier Roh - vrchol, který má tečné vektory, které umožňují řídit míru zakřivení segmentů, nicméně na rozdíl od Bézierových vrcholů mají vrcholy Bézierovy rohy tečné vektory, které nejsou vzájemně spojeny a pohyb jedné ze značek není závisí na pohybu toho druhého.

Segmenty se také liší typem: Curve nebo Line. Výběrem typu Curve můžete získat zakřivené segmenty, pokud jsou vrcholy hladké nebo mají Bézierův typ, ale v případě rohových vrcholů, i když nastavíte typ Curve, segment zůstane lineární. Výběr typu čáry způsobí, že typ vrcholu bude ignorován, což má za následek, že segment tohoto typu bude vždy vypadat lineárně.

Vytváření splajnů

Nejprve budeme experimentovat s nejjednoduššími křivkami, což jsou běžné geometrické tvary. Aktivujte kategorii objektu Tvary příkazový řádek (Formuláře). Vytvořit(Vytvoření), v seznamu typů objektů zadejte typ Splines(splines). To způsobí, že se na panelu objeví skupina nástrojů odpovídajících typům spline (obr. 2). Nástroje se používají ke konstrukci standardních splajnů Obdélník(Obdélník), Kruh(Kruh), Elipsa(Elipsa), Oblouk(Oblouk), Kobliha(Kroužek), NGon(N-úhelník), Hvězda(Hvězda), Text(Text), Spirála(Spirála) a Sekce(Sekce). Jejich konstrukce je podobná vytváření primitiv a umístění vrcholů a povaha kteréhokoli z pojmenovaných objektů jsou nastaveny parametry v okamžiku vytvoření v panelu Vytvořit(Vytvoření) a později v panelu Upravit(Přeměna). Nástroj Čára(Line) je určen pro vytváření splajnů nestandardního typu a funguje mírně odlišně.

Geometrické tvary

Zkuste například vytvořit některé standardní spline ve formě geometrických tvarů, jako je mnohoúhelník, hvězda a spirála, jak je znázorněno na Obr. 3. Zkuste vykreslení výběrem příkazu Rendering=>Renderer a kliknutím na tlačítko Vykreslit. S tímto procesem se podrobně seznámíme později, ale zatím si jednoduše vysvětlíme, že renderování se obvykle provádí až v konečné fázi práce, je nutné vytvořený model vizualizovat a jeho hlavním úkolem je model co nejvíce přiblížit co nejvíce do reality. Po vykreslení neuvidíte v okně, které se otevře, žádný obrázek, faktem je, že splajny se ve výchozím nastavení nevykreslují. Chcete-li je zviditelnit během vykreslování, vyberte první spline a aktivujte panel Upravit(Změnit) a ve svitku Vykreslování Renderovatelné(vizualizovatelné). Proveďte podobnou operaci pro další dvě křivky a křivky se znovu vykreslí (obr. 4).

Prozatím mají všechny spline stejnou tloušťku, což lze snadno opravit změnou každého z nich ve svitku Vykreslování Hodnota parametru (vykreslování). Tloušťka(Tloušťka). Věnujte pozornost svitku Parametry(Parameters), který definuje základní parametry každého typu spline: rozměry, počet vrcholů atd. Pro procvičení zvětšete tloušťku každého spline, změňte počet vrcholů pro mnohoúhelník a hvězdu a zvyšte počet otočení například na spirále, jak je znázorněno na Obr. 5, 6 a 7. Vezměte prosím na vědomí, že všechny změny se projevily v projekčních oknech, kromě zvýšení tloušťky křivek, které zůstaly stejné, je to v pořádku, vše je tak, jak má být, protože výchozí možnost Zobrazit Render Mesh(Zobrazit vykreslený drátový model) je zakázáno. O tom, že se tloušťka skutečně změnila, se můžete přesvědčit vykreslením (obr. 8) nebo jednoduše zapnutím tohoto zaškrtávacího políčka. Experimentujte s dalšími parametry spline, posouvejte je vůči sobě a zkuste na jejich základě vytvořit jedinou kompozici, například tu, která je znázorněna na Obr. 9.

Text

Chcete-li vytvořit text, znovu načtěte soubor pomocí příkazu Soubor=>Obnovit(File=>Reset), na panelu Vytvořit(Vytvořit) znovu vyberte typ Splines(Splines) a aktivujte nástroj Text(Text). V rozbalovacím seznamu parametrů vytváření spline, který se otevře, zadejte požadovaný text, vyberte písmo a nastavte jeho parametry (obr. 10). Poté klikněte do jednoho z promítacích oken, čímž se objeví text (obr. 11).

Před vykreslením posuňte text tak, aby byl celý v zobrazení, aktivujte panel Upravit(Změnit), ve svitku Vykreslování zaškrtávací políčko (Vykreslování). Renderovatelné Tloušťka(Tloušťka), například až 10. Renderujte a ujistěte se, že i takové jednoduché manipulace umožňují získat zajímavou verzi trojrozměrného textu (obr. 12).

Čáry

Při vytváření předchozích typů splajnů jsme nevěnovali pozornost vrcholům a segmentům, navíc jsme si na různé typy vrcholů ani nevzpomněli. U spline čar je vše jinak v závislosti na vlastnostech konstrukce křivky, budou doplněny o vrcholy různých typů. Kliknutí levým tlačítkem do výřezu s vybraným nástrojem Čára(Čára) bude mít za následek nový rohový bod ( Roh) a pohybem myši při stisknutém levém tlačítku se objeví Bézierův vrchol ( Bezier). Tento princip vytváření vrcholů je standardně nastaven a v případě potřeby jej lze v rolloutu změnit Metoda tvorby(Creation Method) na panelu Vytvořit(Změnit) Obr. 13. K tomu stačí změnit polohu přepínačů Počáteční typ(Typ vrcholu po kliknutí) a Typ přetažení(Typ vrcholu při přetahování). Všimněte si, že ve většině případů byste neměli měnit metody vytváření vrcholů (abyste se nepletli), mnohem pohodlnější je vzít za základ výchozí princip a nejprve vytvořit obrysy pouze s rohovými vrcholy a poté změnit typ ty vrcholy, pro které je to potřeba udělat.

Klepnutím pravým tlačítkem myši ukončíte kreslení křivky spline. Když se pokusíte umístit vrchol na místo počátečního bodu spline, zobrazí se otázka „ Zavřít Spline?"("Zavřít spline?") kladná odpověď bude mít za následek uzavřenou konturu, jinak bude kontura přerušena a její hraniční vrcholy lze posouvat nezávisle.

Teoreticky existuje druhá metoda pro vytvoření spline z čar Režim klávesnice Vstup(Vstup z klávesnice), který zahrnuje zadání souřadnic (X, Y a Z) každého z vrcholů ručně z klávesnice (obr. 14). Každý nový vrchol je přímo přidán pomocí tlačítka Přidat bod(Přidat vrchol), tlačítko Dokončit(Dokončit) umožňuje dokončit vytváření spline a tlačítka Blízko(Zavřít) vytvoří segment spojující první vrchol s posledním.

Chcete-li posílit své dovednosti v práci s křivkami spline, zkuste vytvořit spline znázorněný na obr. 15 a uložte jej na disk později, přeměníme jej na sklenici. Všimněte si, že tento spline obsahuje pouze rohové vrcholy. Nejpohodlnější je začít s vytvářením kontury od pravého dolního vrcholu (na kontuře je označen bílým čtverečkem) a vzhledem k tomu, že většina segmentů je navzájem spojena v pravém úhlu, podržte klávesu při konstruování těchto fragmentů obrys Posun(to zajistí vytvoření ideálních úhlů).

Složené tvary spline

Dva typy standardních tvarů spline Kobliha(Prsten) a Text(Text) se zásadně liší od všech ostatních typů splajnů v tom, že obsahují více než jeden splajn ve formuláři, a proto patří ke složeným tvarům. Prsten obsahuje dvě kruhové drážky. Počet jednoduchých splajnů, které tvoří textový objekt, se rovná alespoň počtu písmen v něm obsažených a možná i více, pokud text obsahuje písmena skládající se z několika splajnů. Hlavní výhodou složeného splajnu oproti běžnému splajnu je možnost provádět operace na všech částech tvaru spline najednou, což je rychlejší a pohodlnější. To ale není jediný problém, kdy je třeba se uchýlit ke složeným tvarům v jiných případech, například když je nutné provést booleovskou operaci na splajnech.

Chcete-li změnit jednoduchý spline na složený, musíte zrušit zaškrtnutí políčka vedle tlačítka Spustit nový tvar(Začít nový formulář) Obr. 16. Poté se každý nový spline stane nedílnou součástí stávajícího tvaru spline. Povolením tohoto zaškrtávacího políčka tento režim zrušíte a následující spline již vytvoří své vlastní tvary.

Pokusme se vytvořit imitaci jednoduché mříže ve formě složeného drážkování, takové mřížky se často používají k vytváření různých plotů. Nejprve vytvořte typ spline Obdélník(Obr. 17) a poté přejděte do režimu vytváření složeného formuláře zrušením zaškrtávacího políčka Spustit nový tvar(Začněte nový formulář). Přidejte k obdélníku oblouk pomocí nástroje Oblouk (obr. 18). Vezměte prosím na vědomí, že pro zarovnání konců oblouku s obrysem obdélníku je výhodnější použít ruční změny parametrů Z(Od) a Na(B), definující počáteční a koncový bod oblouku. Bez zaškrtávacího políčka Spustit nový tvar, doplňte tvar řadou čar přibližně jako na Obr. 19.

Rýže. 19. Vzhled skupiny čar

Klepnutím na prázdnou část libovolného výřezu zrušte výběr mřížky a poté ji vyberte pomocí nástroje Vyberte Objekt(Výběr objektu) bude vybrána celá mříž, což indikuje její jednotu. To vám umožní nakonfigurovat parametry pro všechny spline zahrnuté ve formuláři najednou, což je velmi pohodlné. Aktivujte panel Upravit(Změnit), ve svitku Vykreslování zaškrtávací políčko (Vykreslování). Renderovatelné(Vizualizované) a zvyšte hodnotu parametru Tloušťka(Tloušťka). Vykreslete možná výsledná mřížka bude vypadat podobně jako ta na obr. 20. Mříž se však ukázala jako nedokonalá, protože rozdělení oblouku na stejný počet segmentů podle oka je problematické. Pro takové účely je lepší využít možnost automatického rozdělení segmentů na daný počet stejných částí, ale to obnáší úpravu tvaru na úrovni podobjektu, takže se k problematice vytváření mřížky vrátíme později.

Navíc princip nastavení tloušťky není u skutečné mříže úplně dobře zvolen, její obdélníková základna má zpravidla mnohem větší tloušťku než jednotlivé tyče. Pro zohlednění tohoto aspektu je nutné vytvořit mříž z jednotlivých splajnů nebo ji upravit později na úrovni segmentu.

Editace splajnů

Spline lze upravovat na dvou úrovních: na úrovni parametrického tvaru a na úrovni podobjektů: vrcholů, segmentů a také splajnů, pokud mluvíme o složeném spline.

Editace na úrovni parametrického formuláře nebo objektu se provádí obvyklým způsobem při aktivaci panelu Upravit(Změnit) a umožňuje připojit ke spline další spline a změnit řadu parametrů spline zadaných při jeho vytváření (obr. 21).

Úpravy splajnů na úrovni podobjektů umožňují proměnit i ten nejjednodušší spline ve složitý objekt téměř libovolné konfigurace, protože počet dostupných transformací nelze srovnávat se seznamem možností při úpravách na úrovni objektu jako celku (obr. 22 ). Aby bylo možné upravit splajn na úrovni podobjektu, musí být převeden na objekt typu Upravitelný spline(Upravitelný spline) pomocí příkazu Převést na=>Převést na upravitelný spline(Převést na=>Převést na upravitelný spline). Takový objekt přestává být parametrický, nelze jej již upravovat na úrovni parametrů, měnit šířku, výšku, poloměr atd., ale lze jej upravovat na úrovni vrcholů a segmentů.

Výběr požadované úrovně podobjektů se provádí kliknutím na příslušné tlačítko v roletě Výběr panely Upravit. K výběru samotných dílčích objektů použijte obvyklé nástroje pro výběr: Vybrat objekt, Vybrat a přesunout, Vybrat a změnit měřítko(Vyberte a škálujte), Vyberte a Otočte(Vybrat a otočit) a Oblast výběru(Výběr tvaru) pro výběr oblastí určitého tvaru. Pokud potřebujete při výběru postupně vybrat několik objektů, podržte klávesu Ctrl.

Základní nástroje pro změnu geometrie podobjektů: vrcholy ( Vrchol), segmenty ( Segment) a spline obecně ( Spline) jsou ve svitku Geometrie(Upravit geometrii), která bude dostupná po aktivaci panelu Upravit(Přeměna). Typ podobjektů se ovládá pomocí kontextového menu.

Změna typu podobjektů

V praxi nejčastěji musíte změnit typy vrcholů a vybrat požadovaný typ ze čtyř možných: Roh(Roh), Hladký(vyhlazené), Bezier(Bezier) a Bezierův roh(Bezierův roh). Je mnohem méně obvyklé měnit typy segmentů nebo splajnů, zde jsou pouze dvě možnosti: Křivka(Křivka) a Čára(Čára). Změna typu se provádí přes kontextové menu, vyvolané kliknutím pravým tlačítkem myši na vybrané objekty, přičemž je vždy zaškrtnutý aktuální typ a pro jeho změnu stačí vybrat jakýkoli jiný typ podobjektu.

Například nástroj Čára(Line) vytvořte křivku ze dvou segmentů (obr. 23) kliknutím levým tlačítkem myši na všechny její tři vrcholy, všimněte si, že v normálním režimu nejsou vrcholy křivky zvýrazněny speciálními ikonami. Přepněte do režimu editace vrcholu, tím se na křivce zobrazí tři jeho vrcholy: počáteční bod bude označen bílým čtvercem a další dva body křížky (obr. 24). Klikněte na prostřední vrchol pravým tlačítkem myši a v kontextové nabídce, která se otevře (obr. 25), uvidíte zaškrtnutí vedle slova Corner (obr. 25), což dokazuje, že vrchol je skutečně hranatý. Změňte typ tohoto vrcholu na Bezier(Bézier) se okamžitě změní vzhled kontury (obr. 26).

Úpravy na úrovni Vertex

Při úpravách na úrovni vrcholu jsou nejzajímavější operace v rozbalení Geometrie:

• Upřesnit(Upřesnit) umožňuje přidat další vrcholy beze změny obrysu spline, což může být vyžadováno pro následné přerušení spline v daném bodě;
• Přerušení(Break) umožňuje přerušit konturu v libovolném zvoleném vrcholu, čímž vytvoří dva shodné, ale přesto samostatné vrcholy;
• Vložit(Insert) umožňuje vložit vrchol do libovolného bodu spline, okamžitě jej přesunout a pokračovat v přidávání nových vrcholů;
• Vymazat(Delete) slouží k odstranění vybraných vrcholů;
• Svar(Merge) je zodpovědná za sloučení dvou vybraných koncových nebo odpovídajících vrcholů do jednoho, s přihlédnutím k hodnotě parametru Svařovací práh(Merge Threshold), který určuje vzdálenost, ve které budou sloučeny odpovídající vrcholy;
• Pojistka(Zoom) umožňuje přiblížit vybrané body k sobě, použití této operace je užitečné před svařováním vrcholů pomocí operace Weld;
• Připojit(Connect) spojuje dva vrcholy na koncích otevřené spline úsečkou;
• Filé(Round) umožňuje zaoblit libovolné rohy;
• Zkosení(Zkosení) je odpovědné za odstranění přímého zkosení z libovolného úhlu.

Vytvořte například spline ve tvaru hvězdy (obr. 27). Chcete-li získat přístup k úpravám vrcholu, přeměňte jej na upravitelný spline kliknutím pravým tlačítkem na spline a výběrem příkazu Převést na=>Převést na upravitelný spline(Převést na=>Převést na upravitelný spline). Postupně po stisknutí tlačítka Ctrl vyberte všechny vnější vrcholy hvězdy a poté klikněte na tlačítko Filé a zakulatíme vršky tak, aby se hvězda změnila v květ (obr. 28). Vyberte všechny vnitřní vrcholy a sloučte je do jednoho bodu kliknutím na tlačítko Fuse a poté je sloučte pomocí operace Svar(obr. 29). A nakonec zkuste pomocí operace udělat okvětní lístky více zaoblené Filé(obr. 30). Získaný výsledek je znázorněn na Obr. 31.

A nyní ke složitějšímu úkolu: otevřete dříve vytvořený soubor s polotovarem na sklenici. Aktivací panelu přepněte do režimu úpravy vrcholů Upravit(Změnit) a kliknutím na tlačítko Vrchol(Píky). Změňte měřítko obrazu a poté zkontrolujte, zda jsou všechny vrcholy na svém místě, a v případě potřeby posuňte jeden nebo druhý vrchol pomocí nástroje Vybrat a přesunout(Vyberte a přesuňte) tak, aby všechny segmenty byly vůči sobě v požadovaných úhlech.

Vyberte ten, který je znázorněn na obr. 32 a změňte jeho typ na Bezierův roh zadáním v kontextové nabídce. Změňte stupeň zakřivení segmentu sousedícího s tímto vrcholem přibližně tak, jak je znázorněno na Obr. 33. Vyberte ten, který je znázorněn na Obr. 34 a zaoblete odpovídající roh kliknutím na tlačítko Filé(Round) a postupnou změnou hodnoty parametru v poli odpovídajícího čítače nebo posouváním vrcholu myší (obr. 35). Podobně zakulatíme roh u vyššího vrcholu (obr. 36). Transformujte ten, který je znázorněn na obr. 37 typ shora nahoru Bezierův roh(Bezierův roh) a poté změňte zakřivení segmentů sousedících s vrcholem podle obr. 38.

Přidejte do cesty další vrchol kliknutím v rozbalení Geometrie(Geometrie) na tlačítku Upřesnit(Specifikujte) a kliknutím na místo kontury, kde se má objevit nový vrchol (obr. 39). Vezměte prosím na vědomí, že v režimu přidávání bodů do kontury, když myš narazí na konturu, změní se v tuto chvíli vzhled kurzoru a měli byste kliknout. Znovu klikněte na tlačítko Upřesnit pro přepnutí do normálního režimu úprav. Transformujte ten, který je znázorněn na obr. 40 ukažte na roh Beziera a poté změňte zakřivení segmentu sousedícího s bodem (obr. 41).

Zkusme vytvořit rotační těleso založené na této spline, tedy model se středovou osovou symetrií. V následujících lekcích se seznámíme s nejrůznějšími příklady soustružení spline tvarů do trojrozměrných modelů, ale zatím se omezíme na rotační těleso jako nejjednodušší způsob modelování. Takové modely se vytvářejí rotací spline kolem libovolné osy a k provedení této operace se používá modifikátor Soustruh(Otáčení).

Aplikujte modifikátor Soustruh (Rotace) na vytvořený spline provedením příkazu z hlavní nabídky Modifiers=>Editace záplat/spline=>Soustruh(Modifiers=>Editace záplat/splines=>Rotace). Vezměte prosím na vědomí, že seznam Seznam modifikátorů přidáno do řádku Soustruh. Konfigurace možnosti rotace ve skupině Zarovnat(Zarovnání) svitku Parametry(Možnosti) klikněte na tlačítko Max(Maximálně), ve skupině Výstup(Výstup) vyberte možnost Náplast(Patch), ve skupině Směr(Směr osy) vyberte možnost Y(obr. 42). Přejít na projekci Perspektivní a bez zrušení výběru objektu v rolování Parametry(Možnosti), zaškrtněte políčko Převrátit normály(Normální rotace) uvidíte přibližně stejné sklo jako na obr. 43.

Úpravy na úrovni segmentu

Úpravy splajnů na úrovni segmentu vám umožňují:

• operace rozdělení spline na samostatné části Přerušení(Rozbít);
• přidat nové vrcholy do stávající operace segmentů Upřesnit(Upřesněte);
• samostatné segmenty, které je transformují do nezávislých forem, Odpojit(Samostatný);
• operace odstranění segmentů Vymazat(Vymazat);
• přidat zadaný počet vrcholů na vybraném segmentu, rozdělení na stejné části, operace Rozdělit(Rozdělit).

Abychom si procvičili úpravy na úrovni segmentů, vraťme se k mřížce a zkusme ji namodelovat znovu s přihlédnutím ke zjištěným chybám. K tomu znovu vytvořte spline obdélník a přidejte k němu oblouk (obr. 44). Přejděte do režimu úpravy segmentu, vyberte ten, který je znázorněn na obr. 45 segment. Poté klikněte na tlačítko Rozdělit(Divide), po předchozím označení v poli vedle tlačítka počet vrcholů, které mají být přidány (obr. 46). Proveďte podobnou operaci pro levou stranu obdélníku a pro každý z obloukových segmentů (obr. 47).

Zapněte uchopování vertexů – to zajistí, že se vertexy při přidávání nových splajnů dokonale shodují. Chcete-li to provést, klepněte pravým tlačítkem myši na nástroj na hlavním panelu nástrojů Přepínač Snaps(Snap Switch), na kartě Snímky(Vazby) zaškrtněte políčko Vrchol(Vertexy) a poté znovu klepněte levým tlačítkem myši Přepínač Snaps pro aktivaci režimu. Přejděte do režimu úpravy vrcholů a povolte možnost přidávat čáry kliknutím na tlačítko Skvělá linie(Vytvořit řádek). Rozdíl mezi tímto nástrojem a nástrojem Čára(Line) znamená, že do upraveného splajnu budou automaticky přidány nové řádky. Začněte vytvářet čáry, které chcete. Všimněte si, že když se přiblížíte k vrcholu, značka myši se změní na modrý kříž (Obrázek 48). Hotový rošt je znázorněn na Obr. 49 vzdálenost mezi tyčemi mřížky je nyní stejná a vrcholy se shodují s hranicemi mřížky. Aby byla základna mříže silnější než jednotlivé tyče, rozlomte tvar na dvě samostatné drážky: rám a příhradové tyče. Přejděte do režimu úpravy segmentu, vyberte segmenty snímku a klikněte na tlačítko Odpojit(Oddělit) vybrané segmenty se změní na nezávislé objekty. Poté vyberte rám a nastavte pro něj jednu tloušťku a jinou pro tyče a vykreslete. Výsledná mřížka je znázorněna na Obr. 50.

Úpravy na úrovni spline

Úpravy na úrovni spline vám umožňují:

• operace spojení spline Připojit(Připojit se);
• vytvářet obrysy zadané šířky podél operace spline Obrys(Obvod);
• zrcadlové drážkování svisle, vodorovně nebo diagonálně Zrcadlo(Odraz);
• zaměnit počáteční a koncový bod splajnů Opačná operace;
• aplikovat různé modifikátory na spline, provádět booleovské operace na operaci spline Boolean(Boolean) atd.

Abychom pochopili nuance úprav tvarů na úrovni spline, pokusme se vytvořit model okenního rámu. Nejprve vytvořte obdélníkový splajn, převeďte ho na upravitelný splajn (příkaz Převést na=>Převést na upravitelný spline Převést na => Převést na upravitelný spline). Přepněte se do režimu úprav spline a pro simulaci tloušťky rámu vytvořte tah kolem obrysu kliknutím na tlačítko Obrys(Contour), s parametry posunutí řádově 5-10 (obr. 51). Vytvořte vnitřní přepážky okna ve formě spline čar a doplňte je přesně stejnými obrysy (obr. 52). Upozorňujeme, že fragmenty rámců jsou umístěny nad sebou - to je nezbytná podmínka pro provádění booleovských operací (podrobně se na ně podíváme v jedné z následujících lekcí, ale prozatím se omezíme na jeden experiment) . Renderujte, zapněte potřebné parametry a uvidíte, že rámeček sice nevypadá vůbec tak, jak byste si přáli, ale jsou vidět všechny kontury, které se navzájem překrývají (obr. 53).

Nyní potřebujeme spojit jednotlivé splajny do jediného tvaru. Vyberte samotný rám, přejděte do režimu úprav spline a klikněte na tlačítko Připojit(Připojit) a poté nejprve na jedné vnitřní příčce a poté na druhé se tvar stane jednotným. V režimu úprav spline vyberte vnitřek rámečku (obr. 54), aktivujte tlačítko Odčítání(Výjimka), klikněte na tlačítko Boolean(Boolean) a poté podél horizontální propojky. Tím dojde ke spojení rámu s vodorovným příčníkem (obr. 55). Znovu vyberte vnitřek rámu a proveďte stejné kroky, určete svislý oddíl místo vodorovného, ​​vykreslete a získejte jediný okenní blok (obr. 56).

Rýže. 55. Výsledek první logické operace

A nakonec si zkusme vytvořit šablonu pro 3D logo Windows. Nástroj Oblouk vytvořte oblouk (obr. 57), vytvořte kopii oblouku a umístěte jej o něco výše (obr. 58). Převeďte libovolný z oblouků na upravitelný spline a přejděte do režimu úpravy vrcholů. Aktivujte tlačítko Připojit(Připojit) a určete druhý oblouk jako ten, který se má připojit, v důsledku toho se oblouky stanou samostatnými splinemi jednoho tvaru (obr. 59). Spojte počáteční a koncový bod obou oblouků. Chcete-li to provést, v režimu úpravy vrcholu klikněte na tlačítko Připojit(Připojit), umístěte myš na první vrchol, stiskněte levé tlačítko a bez jeho uvolnění přetáhněte segment na druhý vrchol. Poté proveďte stejnou operaci pro další dva vrcholy (obr. 60).

Použijte modifikátor na celý formulář Vytlačit(Extruze) výběrem příkazu z hlavní nabídky Modifikátory=>Editace sítě=>Vysunutí(Modifiers=>Editing Meshe=>Extrusion) a experimentálně vyberte požadovanou hodnotu pro parametr Množství. Výsledkem bude objemový konvexní povrch, jako na obr. 61. Vezměte prosím na vědomí, že seznam Seznam modifikátorů přidáno do řádku Vytlačit. Vytvořte kopii tohoto formuláře a umístěte oba formuláře, jak je znázorněno na obr. 62. Střídavě práce s nářadím Vybrat a přesunout(Vyberte a přesuňte) a Vyberte a Otočte(Vyberte a otočte), změňte polohu klonovaného povrchu podle obr. 63. Vytvořte kopii obou povrchů a umístěte všechny čtyři povrchy tak, jak se objevují na logu Windows. Po dokončení vyberte barvy, výsledek je znázorněn na obr. 64.

Navíc křivka popisující deformaci pružného pravítka upevněného v jednotlivých bodech je spline. Existuje tedy fyzikální model spline funkce (nebo naopak spline funkce je matematickým modelem flexibilního pravítka). Intuitivní přístup k používání po částech v aproximačních úlohách byl v matematice nalezen již dlouhou dobu. Fyzikální model, nazývaný mechanická analogie křivky, je vícepodporový nosník, který nepodléhá vnějšímu zatížení a jehož deformace jsou způsobeny vnitřními reakcemi na dané posunutí podpor do pevných uzlů. Matematicky je tento model popsán diferenciální rovnicí deformace nosníku a jedná se o vícebodový okrajový problém, k jehož řešení byla použita tehdy známá mřížková metoda, která dostala řešení přesně v této podobě, dnes nazývané spline. Ale, jak poznamenal sovětský vědec Nikolaj Kornejčuk, k invazi splajnů do teorie aproximace došlo kvůli problému interpolace, díky jejich dobrým výpočetním a aproximačním vlastnostem. Spline mají výjimečně dobré aproximační vlastnosti, všestrannost a umožňují snadnou implementaci z nich odvozených výpočetních algoritmů. Algoritmy pro konstrukci splajnů se zároveň shodují s algoritmem metody konečných prvků, která je hlavní průmyslovou metodou pevnostní analýzy v systémech počítačově podporovaného navrhování (CAD).

Teorie spline interpolace a samotný termín spline se datují k článku Isaaca Schoenberga (eng. Isaac Jacob Schoenberg) z roku 1946. Jeho zvláště intenzivní rozvoj nastal v 50.–70. V současnosti se CAD stal tradiční aplikační oblastí pro použití interpolačních splajnů. Potenciální možnosti splajnů jsou však mnohem širší než jen popis některých křivek. V reálném světě je velké množství fyzikálních procesů ze své podstaty spline. V mechanice jde o deformaci pružné desky nebo tyče upevněné v jednotlivých bodech; trajektorie tělesa, pokud se na něj působící síla skokově mění (dráha umělého vesmírného tělesa s aktivními a inerciálními segmenty pohybu, trajektorie letadla se skokovou změnou tahu motoru a změnou profilu křídla atd. .). V termodynamice se jedná o výměnu tepla v tyči složené z úlomků s různým přenosem tepla. V chemii difúze vrstvami různých látek. V elektřině šíření elektromagnetických polí heterogenními médii. To znamená, že splajn není fiktivní matematická abstrakce, ale v mnoha případech je řešením diferenciálních rovnic, které popisují velmi reálné fyzikální procesy.

Začněme se dívat na splajny s definicí algebraického splajnu. Funkce definovaná a spojitá na intervalu [ a , b ] (\displaystyle), volal polynomiální spline objednávka m (\displaystyle m) s uzly x j ∈ (a ≤ x 0< . . . < x n ≤ b) {\displaystyle x_{j}\in (a\leq x_{0}<..., pokud na každém ze segmentů [ x j − 1 , x j) (\displaystyle (3) (\displaystyle \left[(\begin(array)(*(20)(c))((P_(j))((t_(j)))= f((t_(j))))\\((P_(j))((t_(j-1)))=f((t_(j-1))))\\(((P)) _(j))((t_(j)))=f"((t_(j))))\\(((P)_(j))((t_(j-1)))=f "((t_(j-1))))\\\konec (pole))\vpravo]\qquad (3))

umožňuje jednoznačně určit čtyři koeficienty polynomu. Pro polynom 5. stupně je třeba přidat podmínku rovnosti 2. derivace na koncích úsečky atd. Z výše uvedeného by mělo být zřejmé, proč jsou splajny konstruovány převážně z polynomů lichých stupňů (se sudým číslem koeficientů).

Pro polynomy sudých stupňů při sestavování systému (3):

• derivace na jednom z konců segmentu zůstává nedefinovaná;
• a nebude splněna podmínka rovnosti derivací (hladkost křivky),

proto pro polynom 2. stupně není možné dosáhnout rovnosti 1. derivace v bodech spojení a pro 4. stupeň - s 2. derivací atd. Pro konstrukci splajnů se sudými stupni jsou uměle přidány další podmínky tvoří soustavu rovnic, podobnou (3). Pokud jsou derivace spline polynomu definovány stejným způsobem jako odpovídající derivace interpolované funkce, nazývá se spline Hermitian.

Pj (n) (t j) = f n (t j) , P j (n) (f j − 1) = f n (t j − 1) (4) (\displaystyle P_(j)^((n))((t_ (j)))=(f^(n))((t_(j))),\qquad P_(j)^((n))((f_(j-1)))=(f^(n ))((t_(j-1)))\qquad (4))

Pro konstrukci Besselovy a Akimiho splajny existují lokální metody, B - splajny [ ]. V zásadě, když mluvíme o splajnech, máme na mysli splajny zkonstruované z algebraických polynomů. Právě pro ně platí výše uvedená definice. Tyto splajny jsou nejvíce prozkoumané. Spline se však může skládat z fragmentů funkcí libovolné třídy. V [ ] konstrukce takových splajnů je zvažována a zkoumány jejich vlastnosti. Autor [ SZO?] nedává obecnou definici vytvořených splajnů. Je zřejmé, že pro jakékoli třídy funkcí, které tvoří spline, není definice uvedená na začátku článku zcela vhodná. Pokud se například spline skládá z exponenciálních segmentů, pak koncept spline defektu ztrácí svůj význam. I když počet spojitých derivací zůstane důležitou charakteristikou. Konstrukce splajnu, jehož fragmenty jsou nespojité funkce (racionální funkce, Padého funkce), je poněkud mimo rámec splajnu, protože jednou z hlavních výhod splajnů je jejich hladkost. Pokud takové konstrukce libovolně rozšíříme, smažou se rozdíly mezi funkcemi splajnů a kusů. Další výhodou splajnů je výpočetní efektivita. Přílišná složitost fragmentů výrazně snižuje výhodu splajnů oproti klasickým funkcím.

Pro spline jsou charakteristické následující rysy: spline se skládá z fragmentů - funkcí stejné třídy, které se liší pouze svými parametry, jsou na sousední fragmenty ve spojovacích bodech kladeny určité podmínky, které jsou redukovány na kontinuitu hodnot a některé první deriváty. Spline je směr aplikované matematiky, který se rychle rozvíjí. Internet obsahuje rozsáhlou bibliografii o křivkách (Spline bibliografická databáze (SBD)).

Klasifikace splajnů

Jak bylo uvedeno výše, existuje velké množství struktur nazývaných spline. Proto je nutné zavést do této odrůdy určitou klasifikaci s cílem identifikovat ty vlastnosti, které vám umožní vybrat spline vhodné pro konkrétní aplikační problém.

Spline přiřazení. Podle účelu lze rozlišit tři hlavní skupiny splajnů: „interpolační splajny“ nebo „funkční splajny“ – procházející přesně danými body, „vyhlazovací splajny“ – procházející danými body s přihlédnutím k chybám v jejich určení; „korelační splajny“ - průchod korelační množinou bodů a zobrazení její obecné závislosti (trend, regrese). Interpolace a funkční splajny se používají v problémech geometrického modelování, například při definování obrysů trupů plavidel a letadel. Vyhlazovací splajny se nejčastěji používají k popisu závislostí fyzikálních experimentů se známou chybou měření. Korelační splajny se používají jako nelineární regresní grafy, z nichž za nejjednodušší lze považovat popis závislosti skokovou a po částech lineární funkcí (spline nulového a prvního stupně).

Pohled na fragmenty spline. Skutečnost, že splajn se skládá z fragmentů stejného typu, je jedním z klíčových rysů, který jej odlišuje od ostatních funkcí kusu. Existují však kombinované splajny, které se skládají z fragmentů různých splajnů.

Nejznámější splajny jsou ty, které se skládají z fragmentů algebraických polynomů ne vyššího než daného stupně. Zpravidla se jedná o kubické polynomy, nebo polynomy lichých stupňů: první, třetí (kubický), pátý stupeň. Vyšší stupně se používají jen zřídka kvůli složitosti výpočtů a obtížím popsaným v předchozí části. Jejich hlavní výhodou je jednoduchost výpočtů a analýz. Nevýhodou je, že tomuto vztahu odpovídá relativně málo reálných fyzikálních procesů.

Exponenciální splajny. Pokud je taženo pružné kovové pravítko upevněné v uzlech, pak řešením diferenciální rovnice nebude algebraický polynom, ale exponenciální. Proto se takové spline také nazývají čas. Exponent popisuje mnoho fyzikálních procesů v dynamických systémech. Nevýhodou je složitost výpočtů.

Mechanickou analogií s kovovým pravítkem, což je výpočtový model nosníku, se získají splajny s proměnlivou tuhostí, popsané v pracích V. F. Snigireva a A. P. Pavlenka Zpočátku se těmto splinem říkalo degenerované nebo logaritmické, protože řešení k původní spline diferenciální rovnice, což je splajnový fragment, bude obsahovat přirozené logaritmické funkce. Tuhost v nich může působit jako váhová funkce, je-li předem určena, a jako řídící funkce, která se zjistí z podmínek minimálního funkcionálu energie operátora původní spline rovnice, podobně jako celková potenciální energie deformace pravítka (paprsku). Funkce tuhosti umožňuje ovládat tvar drážky. V případě, kdy je funkce tuhosti kontrolní funkcí, pak se takové splajny nazývají splajny minimální tuhosti.

Trigonometrické splajny jsou ty, jejichž fragmenty jsou popsány trigonometrickými polynomy. Mají poměrně složité výpočtové výrazy. Více než padesát spline fragmentů různých typů je popsáno v dílech B. A. Popova.

Existují také racionální spline a Padé spline. Jejich rysem je možnost rozbití derivátů na fragmentech s kontinuitou v uzlech. M. Ansermet konstruuje frakční splajny, kde jsou fragmenty specifikovány pomocí funkce gama.

Proveditelnost použití fragmentů určitého typu je založena na konkrétních podmínkách úkolu a implementačních omezeních. Hlavním požadavkem je zpravidla dosažení dané přesnosti interpolace s přijatelnými náklady na čas a prostředky na implementaci. Úspěšný výběr fragmentů, které odpovídají povaze procesu, vám umožní zkrátit výpočetní čas a požadované množství paměti.

Počet fragmentů. Je zřejmé, že minimální počet fragmentů je jeden. Klasická definice spline omezuje počet fragmentů na určitý počet na konečném segmentu. Je však možné sestrojit splajny s nekonečným počtem fragmentů, ale ve skutečnosti tyto metody a algoritmy nevyžadují informace o určitém počtu fragmentů. Zástupci těchto splajnů jsou kardinál Spline studoval Schoenberg. Lokální splajny jsou vhodnější pro konstrukci splajnů s neomezeným počtem fragmentů.

Šířka fragmentů. Měly by být vybrány splajny se stejnou šířkou fragmentu. To vám umožní výrazně zjednodušit výpočetní výrazy, urychlit provoz algoritmů a snížit náklady na implementaci. Určitého zjednodušení lze dosáhnout použitím fragmentů s více šířkami. Existují splajny s nulovou šířkou fragmentu (De Boer). To vede k množství uzlů a schopnosti aproximovat splajny se spojitými fragmenty nespojitých funkcí. Vypočtené výrazy jsou získány jako výsledek průchodů do limitů. Spline mohou mít také fragmenty s nekonečnou šířkou. Tyto fragmenty by měly být extrémní. Někdy to umožňuje přirozeně nastavit okrajové podmínky. Přísně vzato, šířka fragmentů závisí na volbě parametru – argumentu spline funkce, a to vyžaduje řešení samostatného parametrizačního problému. Ideální volbou parametru je délka interpolované funkce, která není vždy známa, takže existuje mnoho způsobů, jak tento problém vyřešit. Nejběžnější způsob parametrizace je pomocí akordů.

Podmínky pro spojování fragmentů. Další důležitá vlastnost, která odlišuje spline. Když mluvíme o splajnech, obvykle se předpokládá, že fragmenty do sebe hladce zapadají. To znamená, že je zajištěna kontinuita hodnot první derivace. Pojem defekt spline je spojen s počtem spojitých derivací, které má fragmentová funkce určitého typu, a počtem derivací, jejichž spojitost je v uzlech zaručena. Exponent, sinusovka má nekonečný počet derivací. Pro ně tento pojem nemá žádný význam. Proto je vhodnější hovořit přímo o počtu derivací, jejichž spojitost je zaručena na spline uzlech. V praxi mluvíme o kontinuitě hodnot a první, maximálně druhé derivaci. Mezera mezi druhou a vyšší derivací není vizuálně patrná, takže se s ní počítá jen zřídka. Je jasné, že první derivaci na styčných bodech lze specifikovat různými způsoby. Nejběžnější jsou dva způsoby. Hodnota první derivace je zvolena tak, aby byla zajištěna kontinuita druhé (globální kubické splajny s minimálním defektem). První derivace se rovná první derivaci interpolované funkce (možná přibližně) v Hermitovských splajnech.

Okrajové podmínky . Existují 4 typy klasických okrajových podmínek a řada neklasických. Pokud mají splajny omezený počet fragmentů, pak přirozeně nemají nejvzdálenější fragmenty vlevo a vpravo, takže nejvzdálenější uzly se nemají k čemu připojit. Jedinou výjimkou jsou periodické splajny, které mají přirozené pokračování (typ 3 klasických okrajových podmínek). Někdy se okrajové podmínky s nulovou derivací nazývají přirozené, i když není důvod je považovat za přirozenější než jiné, ale pro kubický spline jsou přirozené (přirozené) okrajové podmínky speciálním případem 2. typu klasických okrajových podmínek, které specifikují druhé derivace na okrajích spline. V tomto případě přirovnání druhých derivací k nule osvobodí hrany kovového pravítka od zatížení ohybovým momentem, ke kterému by přirozeně došlo při jeho aplikaci na pevné (dané) uzly ve fyzickém prostoru. V 1. typu klasických okrajových podmínek jsou specifikovány první derivace (tečny) na hranách spline; u typu 2 - jsou specifikovány druhé derivace (zakřivení); 3. typ se používá pro interpolaci uzavřených nebo periodických čar a spočívá ve spojování krajních fragmentů spline; 4. typ se používá, když ani první ani druhá derivace nejsou známy na okrajích spline a spočívá ve spojení sousedních dvojic krajních fragmentů (1. s 2. a poslední s předposledním) pomocí třetí derivace, což je v praxi implementováno kreslením párů podél uzlů sousedících s extrémními fragmenty funkce podobné jednomu fragmentu splajnu (pro polynomický splajn polynom stejného stupně jako splajnový fragment). Používají se různé kombinace okrajových podmínek, které jsou redukovány na tyto 4 typy klasických podmínek. Nelze-li okrajové podmínky redukovat na tyto čtyři typy, jako je například změna na páru sousedních krajních fragmentů spline její třetí derivace podle lineárního (afinního) zákona, navrženého v pracích V.F , pak se takové podmínky nazývají neklasická verze podmínek okrajových podmínek. Níže jsou uvedeny některé možnosti, které se redukují na klasické okrajové podmínky. Pokud má splajn fragmenty stejné šířky, budou se brát v úvahu chybějící fragmenty stejné šířky. Další možností je považovat chybějící fragmenty za rozšířené do nekonečna. Výhodou tohoto přístupu je možnost extrapolace. Šířku fragmentů lze považovat za nulovou. Vypočtené výrazy se získají přechodem na limit. Podíváme-li se na okrajové podmínky z hlediska tvorby spline z bázových funkcí, pak se redukují na pokračování odpovídajících lokálních bázových funkcí. Šířka sousedních fragmentů ovlivňuje jejich tvar. A jednoduché řezání často vede k oscilacím a zvýšené chybě na hranách. Okrajové podmínky jsou důležité při zpracování obrazu a při problémech s extrapolací.

Další omezení. Nejčastěji se týkají derivátů na uzlech. Někdy vycházejí z fyziky procesu. Podmínky: nezcizitelnost hodnot, rovnost momentů, ploch, normalizační podmínky. Další podmínky někdy zjednodušují analýzu vlastností spline, ale mohou vážně zkomplikovat náklady na konstrukci a implementaci.

Mřížka interpolačních bodů. Může výrazně ovlivnit efektivitu výpočtů. Důležité jsou případy jednotné sítě a jednotné sítě se vzdáleností mezi body násobkem vzdálenosti mezi uzly spline. Nalezení sítě interpolačních bodů (interpolačních uzlů) je parametrizační úloha, která již byla diskutována v části „Šířka fragmentů“.

Lokální vlastnosti bázových funkcí. Spline lze považovat za součet vážených základních splajnů. Důležitá je šířka těchto základních funkcí. V globálních splajnech jsou tedy základní splajny nenulové v celém interpolačním segmentu. I když stojí za zmínku, že s určitou přesností (dostačující pro mnoho technických výpočtů) je lze považovat za místní. U lokálních splajnů je šířka základních funkcí malá (čtyři fragmenty pro kubické hermitovské splajny). To výrazně ovlivňuje efektivitu kalkulací a náklady na implementaci.

Prezentační formulář. Funkce, které definují splajnové fragmenty, jsou zpravidla závislé na mnoha parametrech, díky kterým mění svůj tvar. Hodnoty parametrů na každém fragmentu jsou individuální. Tyto parametry mohou specifikovat konkrétní spline. U polynomiálních splajnů se jedná o polynomické koeficienty. Spline tedy může být reprezentován sadou funkčních parametrů na každém z fragmentů. Nazvěme tuto reprezentaci fragment po fragmentu. Tato reprezentace je vizuální a často má jasný fyzický význam. Ale počet parametrů je přehnaný. Takže pro kubický spline musíte mít 4 * (r-1) parametry ( r- počet spline uzlů). Tato reprezentace je získána jako výsledek neurčité integrace fragmentu původní splajnové diferenciální rovnice a nazývá se podobná po částech polynomická forma (pp-forma) analogicky s polynomiálními splajny. K explicitnímu vyjádření koeficientů prostřednictvím již známých hodnot souřadnic uzlových bodů se používá expanze podobného po částech polynomického tvaru do bázových funkcí dosazením do Hermitových okrajových podmínek (okrajové podmínky spline fragmentu, interpolace podmínky a spoléhání se na deriváty). Výsledkem je základní tvar (B-forma) splajnu. Tato reprezentace spline je mnohem kompaktnější a je zapsána prostřednictvím základních funkcí spline ve tvaru:

S (x) = ∑ j = 1 r a j B j (x) (\displaystyle S(x)=\součet \limits _(j=1)^(r)((a_(j))(B_(j)) (x))),

Kde B j (x) (\displaystyle (B_(j))(x))- základní funkce spline (obvykle lokální), a j (\displaystyle a_(j))- číselné koeficienty, které upřesňují váhu základních funkcí při vytváření spline, jejichž fyzikálním významem jsou zobecněné (lineární a úhlové) pohyby kovového pravítka v uzlech. Počet parametrů definujících spline se rovná počtu uzlů spline. Mezi parametry funkce na fragmentu a koeficienty spline polynomu existuje vztah, který umožňuje najít další s některými koeficienty, i když vzorce mohou mít dosti složitou podobu.

Převedení podobného po částech polynomického tvaru spline reprezentace do základního tvaru redukuje řád soustavy lineárních algebraických rovnic pro hledání neznámých spline koeficientů, protože jsou částečně vyjádřeny prostřednictvím již známých parametrů - souřadnic daných bodů (uzlů), které mohou výrazně snížit výpočetní náklady díky možnosti aplikovat metody ekonomického řešení, jako je algebraická metoda rozmítání nebo variace Gaussovy metody pro řídké (pásmové) matice s volbou vedoucího prvku sloupce.

Obsah spline koeficientů. Jak bylo uvedeno v předchozím odstavci, obsah parametrů spline v reprezentaci fragment po fragmentu je určen typem funkce. S polynomiální reprezentací je třeba zdůraznit případ, kdy koeficienty mají stejný fyzikální význam jako vstupní data. To znamená, že koeficienty jsou spline hodnoty v uzlech. Tato forma se nazývá Lagrangeova, analogicky s Lagrangeovým polynomem. Je třeba poznamenat, že základní křivky této formy jsou rovné jedné v centrálním uzlu a nule ve všech ostatních.

Koeficienty interpolace a funkční splajny obsahují vždy hodnoty souřadnic daných bodů vyplývající z interpolačních podmínek. A také, v závislosti na podmínkách podpory pro derivace, obsahují hodnoty odpovídajících derivací na hranicích spline fragmentu (v uzlových bodech). Při zápisu takových podmínek je zpravidla spline fragment na svých hranicích založen na první nebo druhé derivaci. Podpora křivkového fragmentu na prvních derivacích jasně odráží fyzikální význam, protože první derivace (tangens) jsou úhlové posuny (rotace) kovového pravítka vzhledem k příčné ose. Spoléhání se na druhé derivace spline se používá ke zjednodušení typu výpočetních výrazů, aby se snížily chyby při jejich ručním přepisování, v některých případech však může použití takových výrazů v jakýchkoli dalších podmínkách vést k triviálním řešením.

Speciální splajny. V některých případech jsou uvažovány funkce, které jsou blízko hranici mezi splajny a obyčejnými funkcemi, stejně jako splajny a kusové funkce. Jedná se například o splajny skládající se ze dvou fragmentů. Mají zjednodušenou verzi konstrukce, ale zvláštní pozornost by měla být věnována okrajovým podmínkám.

Speciální splajny zahrnují vícerozměrný ortogonální normalizovaný splajn, který popisuje nelineární model umělého neuronu (Khakimov spline model). používá se k modelování závislosti funkce na množině argumentů.

Viz také

Poznámky

Vershinin V.V., Zavyalov Yu.S., Pavlov N.N. Extrémní vlastnosti splajnů a problém vyhlazování. - Novosibirsk: Věda, 1988, MDT 519.651

Rozhenko Alexandr Iosifovič. Teorie a algoritmy variační spline aproximace: Dis. ... doktor fyziky a matematiky. Vědy: 1. 1. 2007: Novosibirsk, 2003 231 s. RSL OD, 71:05-1/136

Shikin E. V., Plis L. I. Křivky a povrchy na obrazovce počítače. Uživatelská příručka pro spline. - M.: DIALOG-MEPhI, 1996. - 240 s. ISBN 5-86404-080-0, MDT 681.3 Ш57

Khakimov B.V. Modelování korelačních závislostí pomocí splajnů na příkladech z geologie a ekologie. - Petrohrad. : Neva, 2003. - 144 s. - ISBN 5-211-04588-2.

Pavlenko Alexej Petrovič. Aplikace zobecněných řešení pro návrh nosníkových prvků leteckých konstrukcí a tvorbu funkčních splajnů: Dis. ...bonbón. tech. Vědy: 05.07.02, 05.13.18 Kazaň, 2007. 185 RSL OD, 61 07-5/5391

Spline(Angličtina) spline - prkno, laťka) - funkce, jejíž definiční obor je rozdělen na konečný počet segmentů, na každém z nich splajn splajne s nějakou algebraickou funkcí. Maximální stupeň použitých funkcí (obvykle polynomy) se nazývá stupeň spline. Rozdíl mezi stupněm spline a hladkostí jeho obrysu (absence nespojitostí v souřadnicích v první a druhé derivaci) se nazývá spline defekt. Například souvislá přerušovaná čára z přímých segmentů je spline stupně 1 a defektu 1 (v bodech konjugace segmentů spline je první derivace porušena - je narušena hladkost).

Spline mají četné aplikace, a to jak v matematické teorii, tak v různých výpočetních aplikacích. Zejména splajny dvou proměnných se intenzivně používají k definování povrchů v různých systémech počítačového modelování.

Se spline interpolací znázorněnou na obr. 2.8 je původní funkce nahrazena segmenty kubických parabol procházejících čtyřmi sousedními uzlovými body. Koeficienty parabol se vypočítají tak, aby se souřadnice v bodech konjugace fragmentů splajnu shodovaly, stejně jako první a druhá derivace (defekt splajnu je nulový).

Čára, kterou takové spline funkce popisují, svým tvarem připomíná flexibilní pravítko upevněné v uzlových bodech.

Výpočet spline obvykle spočívá v řešení systému lineárních rovnic.

2.4. Přiblížení

Rozšířeným úkolem zpracování a modelování dat je reprezentovat jejich celek nějakou funkcí F(x). Úkolem aproximace je získat parametry této funkce tak, aby funkce aproximovala „oblak“ počátečních bodů s nejmenší střední kvadratická chyba . Aproximace je obvykle založena na metoda nejmenších čtverců.

2.4.1. Polynomiální aproximace

Polynom je vyjádřením tvaru: na=A 0 +A 1 H X+A 2 H X 2 +...+A n H x n

V každém z n body, pro které jsou hodnoty známé x i A y i, najdeme součet kvadrátů odchylek vypočtených a naměřených hodnot

Abychom našli nejlepší aproximaci, je nutné najít minimum této funkce pro proměnné: AÓ, A 1 , A 2 , ..., A n.

Řešení: odlišení funkce F pro každou z těchto proměnných a srovnejte derivaci s nulou. Po jednoduchých transformacích získáme soustavu lineárních rovnic. Řešením tohoto systému můžete najít neznámé koeficienty polynomu AÓ, A 1 , A 2 , ..., A n.

Koeficienty pro neznámé	Uvolnit
a n	...	a 2	a o	člen
	...
	...
...	...	....	.....	....
	...		N

Příklad polynomiální aproximace dat je uveden na Obr. 2.10.

Rýže. 2.10 Polynomiální aproximace

2.4.2. Lineární aproximace

Zvláštním, ale také nejoblíbenějším případem polynomiální aproximace je lineární aproximace. S lineární aproximací funkce y(x) popisuje úsečku a má tvar y(x) = A + bx (obr. 2.11).

Rýže. 2.11. Lineární aproximace

2.4.3. Metoda nejmenších čtverců pro libovolnou funkci

Funkce y(x) lze reprezentovat libovolnou diferencovatelnou funkcí (obr. 2.12). V praxi se nedoporučuje používat funkce s vyššími stupni než 4-6 - značně narůstají implementační chyby.

Rýže. 2.12. Aproximace libovolnými funkcemi

2.5. Vyhlazování dat

Data z většiny experimentů mají náhodné složky (šum), takže je potřeba statistické vyhlazení dat.

V tomto případě se počítá sestava Z =z 1 ,z 2 ,...z n vyhlazené funkční hodnoty F(x,y), dáno sadami hodnot argumentů X =x 1 ,x 2 ,...x n A Y =y 1 ,y 2 ,...y n odpovídající funkční hodnoty.

Funkce vyhlazování, daný tabulkou hodnot v nestejně rozmístěných bodech pomocí polynomu prvního stupně vytvořeného z k (alespoň tři body) na postupné body metodou nejmenších čtverců (obr. 2.13).

Rýže. 2.13. Vyhlazování dat

Na k= 3 – za každé tři po sobě jdoucí body (x j-2, y j-2),( x j-1, y j-1), ( x j, y j) Pro j=3,...n sestrojí posloupnost polynomů prvního stupně W j ( x)=m j x+b j, přičemž v těchto bodech je uvedena nejmenší odchylka od daných hodnot ve smyslu nejmenších čtverců.

Stanovení kurzů m j A b j polynom W j ( x) vyrobené metodou nejmenších čtverců.

Požadované vyhlazené hodnoty z j = W j ( x) = m j x + b j se počítají podle vzorce:

2.6. Extrapolace dat (predikce)

Při extrapolaci přes počet daných bodů se vypočítá určitý počet N následující body.

Na Obr. 2.14 plná čára znázorňuje graf funkce popisující polohu daných bodů, tečkovaná čára znázorňuje předpověď (extrapolaci grafu).

Rýže. 2.14. Extrapolace dat

2.7. Numerická diferenciace

Geometrická interpolace první derivace - je rovna tangenci úhlu tečny.

Při výpočtu derivace funkce dané tabulkou musíte určit hodnoty funkce y vlevo a vpravo ve stejné vzdálenosti od této hodnoty x , pro které chceme vypočítat hodnotu derivace a vydělit jejich rozdíl h (v praxi se jedná o přibližné určení tečny úhlu tečny, tím menší h , tím přesnější je výsledek (obr. 2.15):

Rýže. 2.15. Numerická diferenciace

.

Hodnoty lze zjistit interpolací.

2.8. Výpočet určitého integrálu

Geometrická interpretace určitého integrálu - plocha geometrického útvaru tvořená grafem integrandu a osou úsečky na intervalu.

Jednoduchý a zároveň dobrý způsob je následující: integrační sekce je rozdělena na několik stejných malých intervalů. Integrál přes každý malý interval je přibližně roven součinu délky intervalu a průměrné hodnoty integrandu na jeho začátku a konci. Tato metoda se nazývá lichoběžníková metoda , protože výsledkem je, jako by v každém malém intervalu byl oblouk grafu nahrazen jeho tětivou a plocha pod tímto obloukem (hodnota integrálu) je nahrazena plochou výsledného lichoběžníku se svislými základnami ( obr. 2.16).

Rýže. 2.16. Lichoběžníková metoda

Odpovídající vzorec je:

kde se pro stručnost označuje .

Ještě účinnější vzorec lze získat, pokud se křivka na malém intervalu nahradí parabolou, tzn. kvadratický graf závislosti.

Rozdělme oblast integrace od x = A na x= b do sudého počtu stejných intervalů. Hranice intervalů: . Délku intervalu označujeme h , Takže .

Tento vzorec se nazývá Simpsonův vzorec . Výhody Simpsonovy formule ve srovnání s lichoběžníkovou formuli jsou zvláště patrné s rostoucím počtem. n intervaly oddílů. Lze ukázat, že v tomto případě chyba lichoběžníkového vzorce klesá nepřímo úměrně k n 2 a chyba Simpsonova vzorce je nepřímo úměrná n 4 .

2.9. Numerické řešení diferenciálních rovnic

Diferenciální rovnice prvního řádu: ,

Kde y – neznámá funkce od x .

Obvykle se má za to, že tato rovnice je řešitelná s ohledem na derivaci, tzn. má tvar: . Pro vyřešení rovnice je nutné nastavit počáteční podmínky: x = x 0 a y = y 0 .

Pokud má rovnice tvar a jsou uvedeny počáteční podmínky x=x 0 a y=y 0 , tedy nahrazením hodnot x 0 A y 0 do funkce najdeme hodnotu derivace v bodě x 0: .

Hodnota funkce: , kde D x – malý přírůstek x .

Odtud hodnota funkce y 1 = y(x 1) = ,

Kde x 1 = x 0+D x .

Nyní, když vezmeme pointu ( x 1 ,y 1) u původního můžete získat bod úplně stejným způsobem y 2 = y(x 2) = , Kde x 2 = x 1+D x . Krok za krokem je tedy možné postupně vypočítat hodnoty funkce pro různé x .

Příkladem diferenciální rovnice prvního řádu je základní rovnice pohybu vlaku: , Kde - měrná výsledná síla v závislosti na rychlosti.

Konstrukce křivky rychlosti vlaku jako funkce ujeté vzdálenosti se provádí na základě grafické nebo analytické integrace základní rovnice pohybu vlaku:

, kde je měrná výsledná síla. (1)

Pro grafické začlenění základní rovnice pohybu vlaku byla vyvinuta řada metod (Lipetzova metoda, Upreinova metoda), které jsou založeny na aproximaci rychlostní křivky segmenty tečen (Lipets) nebo oblouků (Uprein).

Analytické integrační metody jsou obvykle spojeny s použitím Eulerova metoda a na základě toho se v plném souladu s ustanoveními známými z matematiky vyvozuje závěr o přesnosti sestrojení křivky.

Metoda Eulerovy křivky je založena na myšlence grafického sestavení řešení diferenciální rovnice. Tato metoda také poskytuje způsob, jak najít požadovanou funkci v číselné (tabulkové) podobě.

Myšlenka metody spočívá v tom, že v malém intervalu změn v nezávislé proměnné je integrální křivka diferenciální rovnice nahrazena přímým (tečným) segmentem.

Odtud lze proces opakovat pro mezeru atd. Číslo h je krok stolu.

Pracovní vzorec pro stanovení hodnot y podle Eulerovy metody má tvar , Kde

Geometrická integrální křivka je nahrazena přerušovanou čarou zvanou Eulerova přerušovaná čára (obr. 2.17).

Eulerova metoda má nízkou přesnost, navíc chyba každého nového kroku se obecně systematicky zvyšuje. Nejpraktičtější metodou pro posouzení přesnosti je v tomto případě metoda dvojího počítání – s kroky h a s kroky h/ 2. Shoda desetinných míst ve výsledcích získaných těmito dvěma metodami dává přirozený důvod je považovat za správné. Chyba metody je úměrná h 2 . Existují různá vylepšení Eulerovy metody, která zvyšují její přesnost tak, aby se chyba metody stala úměrnou h 3 .

Rýže. 2.17. Integrální křivka a Eulerova přerušovaná čára

Na Obr. Obrázek 2.18 ukazuje rychlostní křivku zkonstruovanou plně v souladu s výpočtovým schématem Eulerovy metody.

Rýže. 2.18. Navrhované schéma konstrukce rychlostní křivky

Navíc všechny metody analytické a grafické integrace základní pohybové rovnice vlaku jsou založeny na implementaci jiného výpočtového schématu.

Na Obr. Obrázek 2.19 ukazuje rychlostní křivku vykreslenou podle aktuálně implementovaného algoritmu.

Rýže. 2.19. Aktuální diagram křivky rychlosti

Jak vidíte, konstrukce je stejná pouze v prvním kroku a v dalších krocích se zásady pro konstrukci křivky liší. Vlastní konstrukční chyba ve druhém případě je nejen menší než v prvním, ale má také zřetelnou tendenci k dalšímu snižování.

Důvod tohoto rozporu je pravděpodobně následující.

Při konstrukci rychlostní křivky se základní rovnice pohybu vlaku zredukuje do tvaru

nebo (2)

Tato rovnice se liší od rovnice 1, pro kterou je ve skutečnosti určena Eulerova metoda. Přitom derivaci (tangens úhlu tečny v geometrické interpretaci) nelze zpočátku určit, ale vypočítáme ji výběrem přírůstku jediné nezávislé proměnné PROTI . Funkční závislost hodnoty derivace na cestě S není zahrnuta na pravé straně rovnice 2. Jedná se o konstantu, která závisí na zmenšeném sklonu pod vlakem a mění se pouze tehdy, když se mění, přičemž si zachovává všechny charakteristiky konstanty.

Totéž platí pro konstrukci rychlostní křivky integrací základní rovnice pohybu vlaku v čase, kdy přírůstek dráhy je také volen přírůstkem rychlosti za určitý časový interval.

Základní rovnici pohybu vlaku lze integrovat pouze s ohledem na rychlost, jedinou skutečně nezávislou proměnnou, a Eulerova metoda zahrnuje integraci podél cesty.

Posouzení skutečné přesnosti rychlostní křivky je věcí statistického výzkumu. Téměř všechny výchozí údaje pro výpočty trakce, s výjimkou údajů o podélném profilu a plánu trati, jsou statisticky průměrné.

Zvyšování přesnosti trakčních výpočtů je proto třeba chápat jako oproštění použité výpočetní techniky od vlastních chyb, předpokladů a zjednodušení, aby se přiblížila ne-li přesnému, tak matematicky očekávanému výsledku.

Současná úroveň rozvoje výpočetní techniky odstraňuje v tomto chápání téměř všechna omezení pro zvýšení přesnosti výpočtů trakce.

Přesnost vykreslení rychlostní křivky výrazně závisí na integračním kroku - v současné době neexistují žádné překážky pro snížení kroku.

Přesnost konstrukce lze zvýšit implementací algoritmů s návraty, kdy se po výpočtu přírůstku rychlosti podél tečny sestrojené na začátku intervalu přepočítává přírůstek podél tečny v její střední části s opakováním, dokud není numerické řešení stabilizovaný.

Limitem pro zvýšení přesnosti je pravděpodobně implementace algoritmu s návraty při přepočtu přírůstku rychlosti nikoli hodnotou výslednice při průměrné rychlosti , a podle středního znaménka výslednice, kde jsou počáteční a konečné rychlosti na intervalu.

Všechny tyto algoritmy jsou snadno implementovatelné v moderních podmínkách.

Z hlediska organizace výpočetního procesu je nejatraktivnější volba časového přírůstku jako integračního kroku. V tomto případě jsou přírůstky rychlosti a podle toho i cesta v každém kroku výpočtu automaticky optimalizovány z hlediska přesnosti a rychlosti algoritmu.

Při nízkých rychlostech jsou přírůstky dráhy malé, což zajišťuje vysokou konstrukční přesnost. Se zvyšující se rychlostí vlaku se zvyšují přírůstky koleje, čímž se zvyšuje rychlost výstavby. V tomto případě jsou přírůstky rychlosti malé a začínají se snižovat, když se blíží ustálené rychlosti, čímž se eliminuje problém vynucených změn v integračním kroku při různých rychlostech vlaků.

Na Obr. Obrázek 2.20 ukazuje grafy přírůstků dráhy a rychlosti získané sestrojením křivky analytickou integrací základní rovnice pohybu vlaku v čase (min) na místě s vlakem zrychlujícím se na ustálenou rychlost.

Právě tento přístup je implementován ve známém programu pro výpočet trakce „ERA-TEP“ - standardním programu ruských drah JSC (Anisimov V.A., DVGUPS).

Rýže. 2.20. Křivka rychlosti (a) a grafy přírůstků dráhy a rychlosti jako funkce ujeté vzdálenosti (b)

2.10. Modelování terénu

Konečný výsledek inženýrsko-geodetických a inženýrsko-geologických průzkumů je v současné době digitální model terénu .

Digitální model terénu (DTM) je soubor, jehož prvky jsou topografické a geodetické informace o terénu. Zahrnuje:

Metrické informace – geodetické prostorové souřadnice charakteristických bodů reliéfu a situace;

Syntaktické informace k popisu vazeb mezi body - hranice staveb, lesy, orná půda, nádrže, cesty, rozvodí a odvodňovací linie, směry svahů mezi charakteristickými body na svazích apod.;

Sémantické informace charakterizující vlastnosti objektů - technické parametry inženýrských staveb, geologické charakteristiky zemin, údaje o stromech v lesích atd.;

Strukturální informace, které popisují spojení mezi různými objekty - vztah objektů k libovolné množině: samostatné body železniční trati, budovy a stavby osídlené oblasti, budovy a stavby odpovídajících průmyslových odvětví atd.;

Obecné informace – název lokality, souřadnicový a výškový systém, nomenklatura.

Topografický DTM charakterizuje situaci a terén. Skládá se z digitálního modelu terénu (DEM) a digitálního modelu vrstevnic (situace) terénu (DMC). Kromě toho lze DEM doplnit o speciální inženýrský model (SEM).

V inženýrské praxi se často využívá kombinace digitálních modelů charakterizujících situaci, reliéf, hydrologické, inženýrsko-geologické, technicko-ekonomické a další ukazatele. Digitální model terénu, zaznamenaný na počítačových médiích, v určitých strukturách a kódech je elektronická mapa (obr. 2.21).

Rýže. 2.21. Elektronická mapa založená na DTM získaná z dat laserového skenování

Při řešení inženýrských a geodetických úloh na počítači se využívá matematické interpretace digitálních modelů. Říkají jí matematický model terénu (MMM).

Automatizovaný návrh založený na DTM a MMM snižuje náklady na pracovní sílu a čas desítkykrát ve srovnání s použitím papírových topografických map a plánů pro tyto účely.

Výchozími podklady pro tvorbu digitálních modelů terénu jsou výsledky topografických průzkumů, údaje o geologii a hydrografii území.

Digitální výškový model terén (DEM) je pole souřadnic průzkumných bodů X ,Y ,H .

Matematický model reliéfu(DMR) kombinuje digitální výškový model a metody pro aproximaci měřických bodů a interpolaci zemského povrchu mezi nimi.

Existuje velké množství typů DEM a MMR, z nichž každý se liší způsobem aproximace reliéfu modelovaného sítí měřických bodů a pravidly pro aproximaci měřických bodů a interpolací - pořadím výpočtu nadmořské výšky. H bod určený souřadnicemi X,Y v obecném případě, to znamená, když se daný bod neshoduje s žádným z bodů průzkumu.

Lineární a spline interpolace značek je možná.

Pomocí digitálního výškového modelu můžete získat podélný profil země v libovolném určeném směru (obr. 2.22).

Rýže. 2.22. Digitální výškový model a podélný profil země v daném směru

Nejběžnější je triangulační model terénu ( CÍN ) s lineární interpolací značek.

Podstata modelu CÍN ve svém názvu – „Irregular triangular network“ (v anglickém originále – Triangulovaná nepravidelná síť ). V prostorovém vyjádření se jedná o síť trojúhelníků s výškovými značkami v uzlech, což nám umožňuje reprezentovat modelovaný povrch jako mnohostranný (obr. 2.23).

Rýže. 2.23. Příklad triangulace

Úkol sestrojit triangulační model byl poprvé položen v roce 1934 v práci sovětského matematika B.N. Delaunay.

Pro pochopení Delaunayovy triangulační metody je nutné uvést několik definic.

Definice 1. Triangulace je rovinný graf, jehož všechny vnitřní oblasti jsou trojúhelníky (obr. 2.23).

Definice 2. Problém sestrojení triangulace z dané množiny dvourozměrných bodů je problém spojování daných bodů disjunktními úsečkami tak, aby vznikla soustava disjunktních trojúhelníků. Úkol sestrojit triangulaci z počáteční množiny bodů je nejednoznačný, tzn. má mnoho řešení.

Definice 3. Triangulace se nazývá optimální, pokud je součet délek všech hran mezi všemi možnými triangulacemi postavenými na stejných počátečních bodech minimální (v tomto případě žádný z daných triangulačních bodů nespadá do kružnice opsané kolem jakéhokoli sestrojeného trojúhelníku) (obr. 2.24) .

Rýže. 2.24. Delaunayova triangulace

Všechny v současnosti známé systémy počítačově podporovaného navrhování (CAD) podporují funkci vytváření CÍN .

2.11. Modelování podélného profilu a půdorysu při rekonstrukci železnic

Osa železniční trati ztrácí při provozu vlivem jedoucích vlaků a přírodních jevů správný geometrický tvar v půdorysu i podélném profilu, což vede ke zhoršení dynamiky pohybu vlaku, zvýšenému opotřebení koleje a vozového parku. . V průběhu oprav a rekonstrukcí vozovky se periodicky uvádí půdorys a podélný profil do správného geometrického obrysu, což vyžaduje příslušné výpočty a modelování výchozích dat.

Při rekonstrukcích železnic jsou výchozími podklady pro výpočty výsledky zaměření stávající trati v půdorysu a podélném profilu.

Digitální model podélného profilu (obr. 2.25) umožňuje využívat optimalizační a interaktivní metody navrhování a získávat značky hlav kolejnic mezi měřickými body. Osa úsečky se vždy považuje za osu dráhy.

Rýže. 2.25. Modelování podélného profilu železnic

Návrhová převýšení podélného profilu se počítají s přihlédnutím k přítomnosti vertikálních křivek uspořádaných v místech zlomů návrhové linie, když rozdíl ve sklonech protilehlých prvků dosáhne určité hodnoty, přesněji, pokud korekce od vertikální křivky překročí 0,01 m a algebraický rozdíl ve sklonech , Kde R PROTI- poloměr vertikálního oblouku (obr. 2.26).

Rýže. 2.26. Vertikální křivka, návrhový diagram

Obecně se návrhová výška určuje pomocí následujícího algoritmu:

Značka zlomeniny profilu;

- sklon j -tý profilový prvek;

- rozdíl sklonu, ‰;

Li , pak se oprava nezavádí, jinak

- označit ve vypočítaném bodě bez zohlednění vertikální křivky;

tečna svislé křivky;

pokud není korekce zavedena, bod leží mimo svislou křivku), jinak

- korekce od svislé křivky;

když tak jinak

Provedení takového výpočtu automaticky vyžaduje přítomnost digitálního modelu podélného profilu. Při provádění výpočtů „ručně“ je implicitně vytvořen i takový model (výpočtové schéma).

Simulace plánu umožňuje vypočítat parametry jeho prvků – přímé, kruhové a přechodové křivky.

Půdorysný model existující cesty v pravoúhlém souřadnicovém systému (obr. 2.27) předpokládá použití obdobného souřadnicového modelu návrhového plánu cesty (obr. 2.28). Práce s takovými modely „ručně“ je tak pracná, že před příchodem počítačů se tento přístup nepoužíval.

Rýže. 2.27. Model souřadnic stávajícího plánu kolejí

Rýže. 2.28. Souřadnicový model plánu cesty projektu

Pro výpočty (masivní a pracné) byly použity plánové modely (stávající a návrhové cesty) v křivočarém souřadnicovém systému, kde osa stávající cesty byla brána jako osa úseček.

Byly použity dva typy modelů – úhlový diagram a diagram zakřivení (šipka).

Použití těchto modelů (za cenu některých předpokladů a zjednodušení) umožňuje vypočítat parametry prvků plánu „ručně“, mimo jiné pomocí jednoduchých a pohodlných graficko-analytických metod.

Na úhlovém diagramu (obr. 2.29) jsou vyneseny úhly natočení křivky podél svislé osy.

Na přímkách je úhel konstantní,

Na kruhových obloucích – mění se lineárně,

Na přechodových křivkách lze změnu úhlu natočení za určitých předpokladů popsat čtvercovou parabolou.

Rýže. 2.29. Úhlová tabulka

Aby osa dráhy měla správný geometrický tvar, je nutné její osu posunout (narovnat) o určitou hodnotu určenou výpočtem.

Při použití úhlových diagramů je velikost posunu:

, Kde U g , U v – úhly natočení návrhu a stávající osy koleje v závislosti na vzdálenosti od začátku zaměření (úhlové diagramy), S - vzdálenost od začátku zaměření k vypočítanému bodu.

Grafická interpretace integrálu - plochy. To je rozdíl mezi oblastmi návrhu a existujícími úhlovými diagramy.

Na grafu zakřivení (šipky) (obr. 2.30) je zakřivení dráhy (šipky ohybu) vyneseno podél svislé osy. Zakřivení je převrácená hodnota poloměru. Výložník (obr. 2.31), F – vzdálenost od osy stopy k tětivě určité délky A , (obvykle 20 m). Graf zakřivení se liší od grafu šipky v tom, že zakřivení je určeno v bodě a šipka je určena na tětivě. Rozdíly se objevují pouze v přechodových zónách od přímky k přechodové křivce a od přechodové křivky ke kruhové křivce.

Rýže. 2.30. Graf zakřivení (šipky)

Rýže. 3.31. Měření ohybových šipek

Pokud se šipka měří v milimetrech, pak kdy A = 20 m: .

Pro návrhovou cestu položenou ve správné geometrické poloze:

Na přímkách je zakřivení (šipka) nulové,

Na kruhových křivkách je zakřivení (šipka) konstantní,

Na přechodových křivkách se zakřivení (šipka) mění lineárně.

Posun , kde: kg , K v – zakřivení osy koleje v návrhu a stávajících polohách v závislosti na vzdálenosti od začátku místa průzkumu, s ; S – vzdálenost od začátku úseku k vypočítanému bodu.

Dvojitý integrál se vypočítá dvojitým sečtením ploch grafu křivosti (šipek).

3. MATEMATICKÉ METODY

3.1. Implementace numerického modelu na počítači

Nalezení jakéhokoli, zvláště optimálního, konstrukčního řešení nevyhnutelně vyžaduje variantní přístup.

Použití matematických metod umožňuje snížit počet porovnávaných možností na nezbytné a dostatečné minimum, je však vždy velké a pouze použití výpočetní techniky umožňuje vyřešit problém v přijatelném čase.

Faktor časových nákladů počítače je kritický při výběru metody pro řešení konkrétního aplikačního problému. "O efektivní metodě řešení můžeme mluvit pouze tehdy, pokud skutečně řeší problémy tohoto typu na skutečných počítačích v reálném počítačovém čase."

V souladu s tím se samotný koncept metody ve výpočetní matematice liší od tradičního, tedy od jejího znázornění jako sledu instrukcí, jejichž provedení nevyhnutelně vede k požadovanému výsledku v konečném počtu kroků.

Obvykle se nemluví o metodě, ale o obecném přístupu k řešení konkrétního problému, který lze implementovat v rámci různých výpočetních schémat (numerické aplikované metody), mezi nimiž existuje optimální, a tato optimalita je vždy chápáno ve smyslu minimálního množství počítačového času stráveného výpočty (za jinak stejných okolností).

Hovoříme-li o „specifickém konstrukčním problému“, je nutné striktně definovat jeho formální charakteristiky ve vztahu například k volbě řízených proměnných, objektivní funkci problému, systému omezení kladených na řízené proměnné.

Numerická metoda zatím není programovatelná algoritmus (který sestává z jednotlivých operací probíhajících v jednoznačné posloupnosti), má určitý začátek i konec, který je dosažitelný po konečném počtu kroků, a proto může být v zásadě realizován strojem.

Kritéria výběru metod. K řešení problému existuje zpravidla řada metod (přístupů). Volba konkrétní metody pro numerické řešení problému a jeho finální transformace do programovatelného algoritmu vždy představuje pokus o optimalizaci, přičemž jako dodatečné podmínky fungují počáteční ustanovení a dodatečné požadavky, z nichž nejdůležitější jsou tyto:

Výchozí body:

Vyjádření problému a předpoklady o racionálním přístupu k jeho řešení;

Další informace o zdrojových datech (číselná oblast, typ číselného materiálu atd.);

Charakteristika výpočetní techniky (rychlost, paměť atd.);

Prezentace dat, přesnost, zaokrouhlování atd.

Požadavky:

Speciální požadavky na výstupní data (například požadavky na přesnost, výstup mezivýsledků, výstup grafiky včetně interaktivních atd.);

Stupeň univerzálnosti (zda musí být vyřešen jeden úkol, nebo je vyžadován univerzální software vzhledem k přijatelné sadě dat);

Minimalizace nákladů (doba výpočtu).

Tyto podmínky se částečně překrývají (rozporují) a proto se při snaze o jejich naplnění snaží dosáhnout určitého optima. K tomu použijte řadu pravidel určených zdravým rozumem a předchozími zkušenostmi s počítačem.

Základem pro výběr metody je princip přímé aplikace : je třeba zvolit pokud možno metodu, která řeší přesně daný úkol a nevede k řešení přes nějaké dílčí úkoly. „Matematicky elegantní“ řešení jsou často slepá vůči šíření chyb a stabilitě a numericky nepříznivá.

Nejdůležitějšími důvody nadměrného hromadění chyb je časté používání rozdílů (vede ke ztrátě platných číslic) a dělení čísly neznámého řádu (vede k přetečení bitové mřížky) - tomu je třeba se správnou organizací programu vyhnout.

3.2. Cílová funkce. Omezení

Ve všech oblastech činnosti je třeba neustále přijímat rozhodnutí. V případech, kdy je situace, ve které jsou přijaty, přístupná formalizaci, může být použití matematického aparátu velmi užitečné.