Domov › Sazby › Vlastnosti funkce. Zvyšující a klesající funkce na intervalu. Dostatečné podmínky pro extrém funkce

Vlastnosti funkce. Zvyšující a klesající funkce na intervalu. Dostatečné podmínky pro extrém funkce

Abychom mohli určit povahu funkce a mluvit o jejím chování, je nutné najít intervaly nárůstu a poklesu. Tento proces se nazývá výzkum funkcí a grafy. Extrémní bod se používá při hledání největších a nejmenších hodnot funkce, protože v nich se funkce zvyšuje nebo snižuje z intervalu.

Tento článek odhaluje definice, formuluje dostatečné označení nárůstu a poklesu na intervalu a podmínku existence extrému. To platí pro řešení příkladů a problémů. Část o derivačních funkcích by se měla opakovat, protože řešení bude muset použít hledání derivace.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definice 1

Funkce y = f (x) poroste na intervalu x, když pro libovolné x 1 ∈ X a x 2 ∈ X, x 2 > x 1 je splněna nerovnost f (x 2) > f (x 1). Jinými slovy, vyšší hodnotu argument odpovídá větší hodnotě funkce.

Definice 2

Funkce y = f (x) se považuje za klesající na intervalu x, když pro libovolné x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1 platí rovnost f (x 2) > f (x 1) se považuje za pravdivé. Jinými slovy, větší hodnota funkce odpovídá menší hodnotě argumentu. Zvažte obrázek níže.

Komentář: Když je funkce určitá a spojitá na koncích intervalu rostoucího a klesajícího, tedy (a; b), kde x = a, x = b, jsou body zahrnuty do intervalu rostoucího a klesajícího. To neodporuje definici, to znamená, že se odehrává na intervalu x.

Hlavní vlastnosti elementárních funkcí typu y = sin x jsou jistota a kontinuita pro reálné hodnoty argumentů. Odtud dostáváme, že sinus narůstá nad intervalem - π 2; π 2, pak má nárůst na segmentu tvar - π 2; π 2.

Definice 3

Bod x 0 se nazývá maximální bod pro funkci y = f (x), kdy pro všechny hodnoty x platí nerovnost f (x 0) ≥ f (x). Maximální funkce je hodnota funkce v bodě a značí se y m a x .

Bod x 0 se nazývá minimální bod pro funkci y = f (x), kdy pro všechny hodnoty x platí nerovnost f (x 0) ≤ f (x). Minimální funkce je hodnota funkce v bodě a má označení tvaru y m i n .

Uvažuje se sousedství bodu x 0 extrémní body, a hodnotu funkce, která odpovídá extrémním bodům. Zvažte obrázek níže.

Extrémy funkce s největší a s nejnižší hodnota funkcí. Zvažte obrázek níže.

První obrázek ukazuje, co potřebujete najít nejvyšší hodnotu funkce ze segmentu [a; b]. Zjistí se pomocí maximálního počtu bodů a rovná se maximální hodnota funkce a druhý údaj je spíše jako nalezení maximálního bodu v x = b.

Dostatečné podmínky pro zvýšení a snížení funkce

Pro nalezení maxima a minima funkce je nutné použít znaménka extrému v případě, že funkce tyto podmínky splňuje. První znak je považován za nejčastěji používaný.

První postačující podmínka pro extrém

Definice 4

Nechť je dána funkce y = f (x), která je derivovatelná v ε okolí bodu x 0 a má spojitost v daném bodě x 0. Odtud to máme

když f " (x) > 0 s x ∈ (x 0 - ε ; x 0) a f" (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
když f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 pro x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), pak x 0 je minimální bod.

Jinými slovy, získáme jejich podmínky pro nastavení znaménka:

když je funkce spojitá v bodě x 0, pak má derivaci s měnícím se znaménkem, to znamená od + do -, což znamená, že bod se nazývá maximum;
když je funkce spojitá v bodě x 0, pak má derivaci s měnícím se znaménkem od - do +, což znamená, že bod se nazývá minimum.

Chcete-li správně určit maximální a minimální body funkce, musíte postupovat podle algoritmu pro jejich nalezení:

najít doménu definice;
najít derivaci funkce na této ploše;
identifikovat nuly a body, kde funkce neexistuje;
určení znaménka derivace na intervalech;
vyberte body, kde funkce změní znaménko.

Uvažujme algoritmus řešením několika příkladů hledání extrémů funkce.

Příklad 1

Najděte maximum a minimum bodů danou funkci y = 2 (x + 1) 2 x - 2.

Řešení

Rozsah dané funkce je vším reálná čísla kromě x = 2. Nejprve najdeme derivaci funkce a dostaneme:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

Odtud vidíme, že nuly funkce jsou x = - 1, x = 5, x = 2, to znamená, že každá závorka se musí rovnat nule. Označme to na číselné ose a dostaneme:

Nyní určíme znaménka derivace z každého intervalu. Je nutné vybrat bod obsažený v intervalu a dosadit jej do výrazu. Například body x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Chápeme to

y" (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, což znamená, že interval - ∞ - 1 má kladnou derivaci.

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Protože se druhý interval ukázal být menší než nula, znamená to, že derivace na intervalu bude záporná. Třetí s mínusem, čtvrtý s plusem. Chcete-li určit spojitost, musíte věnovat pozornost znaménku derivace, pokud se změní, pak je to extrémní bod.

Zjistíme, že v bodě x = - 1 bude funkce spojitá, což znamená, že derivace změní znaménko z + na -. Podle prvního znaménka máme, že x = - 1 je maximální bod, což znamená, že dostaneme

y ma x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Bod x = 5 znamená, že funkce je spojitá a derivace změní znaménko z – na +. To znamená, že x = -1 je minimální bod a jeho určení má tvar

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Grafický obrázek

Odpovědět: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

Za pozornost stojí skutečnost, že použití prvního dostatečného kritéria pro extrém nevyžaduje diferencovatelnost funkce v bodě x 0, což zjednodušuje výpočet.

Příklad 2

Najděte maximální a minimální body funkce y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.

Řešení.

Definičním oborem funkce jsou všechna reálná čísla. To lze zapsat jako soustavu rovnic ve tvaru:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8, x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Pak musíte najít derivát:

y" = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8", x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y" = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Bod x = 0 nemá derivaci, protože hodnoty jednostranných limitů jsou různé. Dostáváme to:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Z toho plyne, že funkce je spojitá v bodě x = 0, pak počítáme

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Je nutné provést výpočty, abychom našli hodnotu argumentu, když se derivace stane nulou:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Všechny získané body musí být označeny na přímce, aby se určilo znaménko každého intervalu. Proto je nutné vypočítat derivaci v libovolných bodech pro každý interval. Například můžeme vzít body s hodnotami x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. Chápeme to

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Obrázek na přímce vypadá

To znamená, že dojdeme k závěru, že je nutné uchýlit se k prvnímu náznaku extrému. Pojďme to spočítat a zjistit

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , pak odsud mají maximální body hodnoty x = - 4 + 2 3 3, x = 4 - 2 3 3

Pojďme k výpočtu minim:

r m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Vypočítejme maxima funkce. Chápeme to

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Grafický obrázek

Odpovědět:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 27 3 x 3 8 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Pokud je dána funkce f " (x 0) = 0, pak pokud f "" (x 0) > 0, dostaneme, že x 0 je minimální bod, jestliže f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Příklad 3

Najděte maxima a minima funkce y = 8 x x + 1.

Řešení

Nejprve najdeme doménu definice. Chápeme to

D(y): x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Je potřeba diferencovat funkci, po které dostaneme

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Při x = 1 se derivace stane nulou, což znamená, že bod je možný extrém. Pro upřesnění je nutné najít druhou derivaci a vypočítat hodnotu při x = 1. Dostaneme:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

To znamená, že pomocí postačující podmínky 2 pro extrém dostaneme, že x = 1 je maximální bod. Jinak zadání vypadá jako y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.

Grafický obrázek

Odpovědět: y ma x = y (1) = 4 ..

Definice 5

Funkce y = f (x) má derivaci až do n-tého řádu v okolí ε daný bod x 0 a derivace až n + 1. řádu v bodě x 0 . Potom f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = fn (x 0) = 0.

Z toho vyplývá, že když n je sudé číslo, pak x 0 je považováno za inflexní bod, když n je liché číslo, pak x 0 je extrémní bod a f (n + 1) (x 0) > 0, pak x 0 je minimální bod, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Příklad 4

Najděte maximální a minimální body funkce y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

Řešení

Původní funkce je racionální celá funkce, což znamená, že definičním oborem jsou všechna reálná čísla. Je potřeba funkci odlišit. Chápeme to

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Tato derivace půjde na nulu při x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. To znamená, že body mohou být možné extrémní body. Pro extrém je nutné uplatnit třetí postačující podmínku. Nalezení druhé derivace umožňuje přesně určit přítomnost maxima a minima funkce. Druhá derivace se vypočítá v bodech jejího možného extrému. Chápeme to

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

To znamená, že x 2 = 5 7 je maximální bod. Aplikováním 3. dostatečného kritéria získáme, že pro n = 1 a f (n + 1) 5 7< 0 .

Je třeba určit povahu bodů x 1 = - 1, x 3 = 3. Chcete-li to provést, musíte najít třetí derivaci a vypočítat hodnoty v těchto bodech. Chápeme to

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

To znamená, že x 1 = - 1 je inflexní bod funkce, protože pro n = 2 a f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Je nutné prozkoumat bod x 3 = 3. K tomu najdeme 4. derivaci a provedeme výpočty v tomto bodě:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Z toho, co bylo rozhodnuto výše, usuzujeme, že x 3 = 3 je minimální bod funkce.

Grafický obrázek

Odpovědět: x 2 = 5 7 je maximální bod, x 3 = 3 je minimální bod dané funkce.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Derivát. Je-li derivace funkce kladná pro jakýkoli bod v intervalu, pak funkce roste, je-li záporná, klesá.

Chcete-li najít intervaly nárůstu a poklesu funkce, musíte najít její definiční obor, derivaci, vyřešit nerovnice tvaru F’(x) > 0 a F’(x)

Řešení.

3. Vyřešte nerovnice y’ > 0 a y’ 0;
(4 - x)/x³

Řešení.
1. Najděte definiční obor funkce. Je zřejmé, že výraz ve jmenovateli musí být vždy jiný než nula. Proto je 0 vyloučena z definičního oboru: funkce je definována pro x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞).

2. Vypočítejte derivaci funkce:
y'(x) = ((3 x² + 2 x - 4)' x² – (3 x² + 2 x - 4) (x²)')/x^4 = ((6 x + 2) x² – (3 x² + 2 x - 4) 2 x)/x^4 = (6 x³ + 2 x² – 6 x³ – 4 x² + 8 x)/x^ 4 = (8 x – 2 x²)/x^4 = 2 (4 - x)/x³.

3. Vyřešte nerovnice y’ > 0 a y’ 0;
(4 - x)/x³

4. Levá strana nerovnost má jedno reálné x = 4 a obrací se k x = 0. Proto je hodnota x = 4 zahrnuta jak v intervalu, tak v klesajícím intervalu a bod 0 není zahrnut.
Tak, požadovaná funkce roste na intervalu x ∈ (-∞; 0) ∪ .

4. Levá strana nerovnosti má jedno reálné x = 4 a obrací se k x = 0. Hodnota x = 4 je tedy zahrnuta jak v intervalu, tak v klesajícím intervalu a bod 0 není zahrnut.
Požadovaná funkce tedy roste na intervalu x ∈ (-∞; 0) ∪ .

Prameny:

jak najít klesající intervaly na funkci

Funkce představuje striktní závislost jednoho čísla na druhém nebo hodnotu funkce (y) na argumentu (x). Každý proces (nejen v matematice) lze popsat vlastní funkcí, kterou bude mít vlastnosti: intervaly snižování a zvyšování, body minima a maxima a tak dále.

Budete potřebovat

- papír;
- pero.

Instrukce

Příklad 2
Najděte intervaly poklesu f(x)=sinx +x.
Derivace této funkce bude rovna: f’(x)=cosx+1.
Řešení nerovnosti cosx+1

Interval monotonie funkci lze nazvat intervalem, ve kterém funkce buď pouze roste, nebo pouze klesá. Řada konkrétních akcí pomůže najít takové rozsahy pro funkci, což je často vyžadováno v algebraických úlohách tento druh.

Instrukce

Prvním krokem při řešení problému určení intervalů, ve kterých funkce monotónně roste nebo klesá, je výpočet této funkce. Chcete-li to provést, zjistěte všechny hodnoty argumentů (hodnoty podél osy x), pro které můžete najít hodnotu funkce. Označte body, kde jsou pozorovány nespojitosti. Najděte derivaci funkce. Jakmile určíte výraz, který představuje derivaci, nastavte jej na nulu. Poté byste měli najít kořeny výsledného . Ne o oblasti přípustné.

Body, ve kterých je funkce nebo ve kterých je její derivace rovna nule, představují hranice intervalů monotonie. Tyto rozsahy, stejně jako body, které je oddělují, by měly být postupně zadávány do tabulky. Najděte znaménko derivace funkce ve výsledných intervalech. Chcete-li to provést, dosaďte libovolný argument z intervalu do výrazu odpovídajícímu derivaci. Pokud je výsledek kladný, funkce v tomto rozsahu se zvyšuje, jinak se snižuje. Výsledky se zapíší do tabulky.

V řádku označujícím derivaci funkce f'(x) jsou zapsány odpovídající hodnoty argumentů: „+“ - pokud je derivace kladná, "-" - záporná nebo "0" - rovna nule. V další řádek Všimněte si monotónnosti samotného původního výrazu. Šipka nahoru odpovídá zvýšení a šipka dolů odpovídá snížení. Zkontrolujte funkce. To jsou body, ve kterých je derivace nulová. Extrémem může být buď maximální bod, nebo minimální bod. Pokud se předchozí sekce funkce zvětšila a současná snížila, je to maximální bod. V případě, kdy funkce před daným bodem klesala a nyní roste, je to minimální bod. Do tabulky zadejte hodnoty funkce v extrémních bodech.

Prameny:

jaká je definice monotónnosti

Chování funkce, která má komplexní závislost na argumentu, je studováno pomocí derivace. Podle povahy změny v derivaci můžete najít kritické body a oblasti růstu nebo poklesu funkce.

Abychom tomuto tématu porozuměli, uvažujme funkci znázorněnou na grafu // Ukažme si, jak vám graf funkce umožňuje určit její vlastnosti.

Podívejme se na vlastnosti funkce na příkladu

Definiční obor funkce je rozpětí [ 3,5; 5,5].

Rozsah hodnot funkce je rozpětí [ 1; 3].

1. Při x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5 je hodnota funkce nulová.

Hodnota argumentu, při které je hodnota funkce nula, se nazývá funkce nula.

//ty. pro tuto funkci jsou čísla -3;-1;1,5; 4,5 jsou nuly.

2. V intervalech [ 4,5; 3) a (1; 1.5) a (4.5; 5.5] je graf funkce f umístěn nad osou úsečky a v intervalech (-3; -1) a (1.5; 4.5) pod osou úsečka. je vysvětlena následovně: na intervalech [ 4.5; 3) a (1; 1.5) a (4.5; 5.5] nabývá funkce kladných hodnot a na intervalech (-3; -1) a ( 1.5; 4.5) záporných.

Každý z uvedených intervalů (kde funkce nabývá hodnot stejného znaménka) se nazývá interval konstantního znaménka funkce f.//tj. například pokud vezmeme interval (0; 3), pak to není interval konstantního znaménka této funkce.

V matematice je při hledání intervalů konstantního znaménka funkce zvykem intervaly uvádět maximální délka. //Ty. interval (2; 3) je interval stálosti znam funkce f, ale odpověď by měla obsahovat interval [ 4,5; 3) obsahující interval (2; 3).

3. Pokud se posunete podél osy x z 4,5 na 2, všimnete si, že graf funkce klesá, to znamená, že se hodnoty funkce snižují. //V matematice je zvykem říkat, že na intervalu [ 4,5; 2] se funkce snižuje.

Když se x zvyšuje z 2 na 0, graf funkce stoupá, tzn. hodnoty funkce se zvyšují. //V matematice je zvykem říkat, že na intervalu [ 2; 0] funkce se zvýší.

Funkce f se volá, pokud pro libovolné dvě hodnoty argumentu x1 a x2 z tohoto intervalu tak, že x2 > x1 platí nerovnost f (x2) > f (x1). // nebo je funkce volána rostoucí v určitém intervalu, pokud pro libovolné hodnoty argumentu z tohoto intervalu odpovídá větší hodnota argumentu větší hodnotě funkce.//tj. čím více x, tím více y.

Zavolá se funkce f v určitém intervalu klesá, je-li pro libovolné dvě hodnoty argumentu x1 a x2 z tohoto intervalu takové, že x2 > x1, nerovnost f(x2) na nějakém intervalu klesá, je-li pro libovolné hodnoty argumentu z tohoto intervalu větší hodnota argumentu odpovídá menší hodnotě funkce. //ty. čím více x, tím méně y.

Pokud se funkce zvětší přes celý definiční obor, pak je volána vzrůstající.

Pokud funkce klesá v celém definičním oboru, je volána klesající.

Příklad 1 graf rostoucích a klesajících funkcí, resp.