Hodnost matice. Metoda hranic nezletilých. Lineární nezávislost řádků (sloupců) matice. Vlastnosti lineárně závislých a lineárně nezávislých maticových sloupců

Nechat

Sloupce matice dimenzí. Lineární kombinace maticových sloupců nazývaná sloupcová matice s některými nazývanými reálnými nebo komplexními čísly lineární kombinační koeficienty. Pokud v lineární kombinaci vezmeme všechny koeficienty rovné nule, pak se lineární kombinace rovná matici nulového sloupce.

Sloupce matice se nazývají lineárně nezávislé , je-li jejich lineární kombinace rovna nule pouze tehdy, když jsou všechny koeficienty lineární kombinace rovny nule. Sloupce matice se nazývají lineárně závislé , pokud existuje množina čísel, z nichž alespoň jedno je nenulové, a lineární kombinace sloupců s těmito koeficienty je rovna nule

Podobně lze uvést definice lineární závislosti a lineární nezávislosti řádků matice. V následujícím textu jsou všechny věty formulovány pro sloupce matice.

Věta 5

Pokud je mezi sloupci matice nula, pak jsou sloupce matice lineárně závislé.

Důkaz. Uvažujme lineární kombinaci, ve které jsou všechny koeficienty rovné nule pro všechny nenulové sloupce a jedna pro všechny nulové sloupce. Je roven nule a mezi koeficienty lineární kombinace je nenulový koeficient. Proto jsou sloupce matice lineárně závislé.

Věta 6

Li maticové sloupce jsou lineárně závislé, to je vše maticové sloupce jsou lineárně závislé.

Důkaz. Pro definitivnost budeme předpokládat, že první sloupce matice lineárně závislé. Pak podle definice lineární závislosti existuje množina čísel, z nichž alespoň jedno je nenulové, a lineární kombinace sloupců s těmito koeficienty je rovna nule.

Udělejme lineární kombinaci všech sloupců matice, včetně zbývajících sloupců s nulovými koeficienty

Ale . Proto jsou všechny sloupce matice lineárně závislé.

Následek. Mezi lineárně nezávislými sloupci matice jsou všechny lineárně nezávislé. (Toto tvrzení lze snadno dokázat rozporem.)

Věta 7

Aby byly sloupce matice lineárně závislé, je nutné a postačující, aby alespoň jeden sloupec matice byl lineární kombinací ostatních.

Důkaz.

Nutnost. Nechť jsou sloupce matice lineárně závislé, to znamená, že existuje množina čísel, z nichž alespoň jedno je odlišné od nuly, a lineární kombinace sloupců s těmito koeficienty je rovna nule.

Předpokládejme pro jistotu, že. To znamená, že první sloupec je lineární kombinací zbytku.

Přiměřenost. Nechť alespoň jeden sloupec matice je lineární kombinací ostatních, například , kde jsou nějaká čísla.

Potom je lineární kombinace sloupců rovna nule a mezi čísly v lineární kombinaci je alespoň jedno (at ) odlišné od nuly.

Nechť je hodnost matice . Je volán jakýkoli nenulový vedlejší řád 1 základní . Nazývají se řádky a sloupce, na jejichž průsečíku je základ menší základní .

kde jsou některá čísla (některá z těchto čísel nebo dokonce všechna mohou být rovna nule). To znamená, že mezi prvky sloupců jsou následující rovnosti:

nebo , .

Z (3.3.1) vyplývá, že

(3.3.2)

kde je nulový řetězec.

Definice. Řádky matice A jsou lineárně závislé, pokud existují čísla, která nejsou všechna současně rovna nule, takže

(3.3.3)

Pokud je rovnost (3.3.3) pravdivá tehdy a jen tehdy, pak se řádky nazývají lineárně nezávislé. Vztah (3.3.2) ukazuje, že pokud je jeden z řádků lineárně vyjádřen ostatními, pak jsou řádky lineárně závislé.

Je snadné vidět opak: pokud jsou struny lineárně závislé, pak existuje struna, která bude lineární kombinací zbývajících strun.

Nechť, například, v (3.3.3), pak .

Definice. Nechť je v matici A vybrán určitý moll r řádu a nechat nezletilé ( r +1)-tý řád stejné matice zcela obsahuje vedlejší . Řekneme, že v tomto případě moll hraničí s nezletilým (nebo hraničí s ).

Nyní dokážeme důležité lemma.

Lemmao hranicích s nezletilými. Je-li nezletilý v pořádku r matice A = se liší od nuly a všechny minoritní položky, které ji ohraničují, jsou rovny nule, pak jakýkoli řádek (sloupec) matice A je lineární kombinací jejích řádků (sloupců), které tvoří .

Důkaz. Aniž bychom ztratili obecnost uvažování, budeme předpokládat, že nenulová moll r pořadí je v levém horním rohu matice A =:

.

Za první k řádků matice A, tvrzení lemmatu je zřejmé: stačí zahrnout do lineární kombinace stejný řádek s koeficientem rovným jedné a zbytek - s koeficienty rovnými nule.

Dokažme nyní, že zbývající řádky matice A jsou lineárně vyjádřeny první k linky. Za tímto účelem zkonstruujeme vedlejší ( r +1) pořadí přidáním k nezletilému k -tý řádek () a l sloupec():

.

Výsledná vedlejší hodnota je pro všechny rovna nule k a l . Jestliže , pak se rovná nule, protože obsahuje dva stejné sloupce. Jestliže , pak výsledný moll je okrajový moll for, a proto je podle podmínek lemmatu roven nule.

Rozložme moll podle prvků posledníhol sloupec:

(3.3.4)

kde jsou algebraické doplňky k prvkům. Algebraický doplněk je vedlejší matice A, proto . Vydělte (3.3.4) a vyjádřete to pomocí:

(3.3.5)

Kde, .

Za předpokladu, že dostaneme:

(3.3.6)

Výraz (3.3.6) to znamená k Tý řádek matice A je lineárně vyjádřen prostřednictvím prvního r řádky.

Vzhledem k tomu, že když je matice transponována, hodnoty jejích vedlejších hodnot se nemění (kvůli vlastnosti determinantů), pak vše prokázané platí i pro sloupce. Věta je dokázána.

Důsledek I . Jakýkoli řádek (sloupec) matice je lineární kombinací jejích základních řádků (sloupců). Ve skutečnosti je menší základ matice nenulový a všechny minority, které s ní sousedí, jsou rovny nule.

Důsledek II. Determinant n řádu se rovná nule právě tehdy, pokud obsahuje lineárně závislé řádky (sloupce). Dostatečnost lineární závislosti řádků (sloupců) pro determinant rovný nule byla prokázána již dříve jako vlastnost determinantů.

Pojďme dokázat nutnost. Nechť je dána čtvercová matice n řádu, z nichž jediná vedlejší je nula. Z toho vyplývá, že hodnost této matice je menší n , tj. existuje alespoň jeden řádek, který je lineární kombinací základních řádků této matice.

Dokažme další větu o hodnosti matice.

Teorém.Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice se rovná maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých sloupců a rovná se hodnosti této matice.

Důkaz. Nechť je hodnost matice A= rovna r. Pak některý z jeho k základní řádky jsou lineárně nezávislé, jinak by základ menší byl nula. Na druhou stranu jakékoliv r +1 nebo více řádků jsou lineárně závislé. Za předpokladu opaku bychom mohli najít menší řád větší než r , odlišný od nuly důsledkem 2 předchozího lemmatu. To je v rozporu s tím, že maximální pořadí nenulových nezletilých je rovno r . Vše osvědčené pro řádky platí i pro sloupce.

Na závěr nastíníme další metodu pro zjištění hodnosti matice. Pořadí matice může být určeno nalezením menšího z maximálního řádu, který je odlišný od nuly.

Na první pohled to vyžaduje výpočet konečného, ​​ale možná velmi velkého počtu minorů této matice.

Následující věta však umožňuje vnést do toho podstatná zjednodušení.

Teorém.Pokud je vedlejší matice A nenulová a všechny vedlejší matice, které ji ohraničují, jsou rovny nule, pak se hodnost matice rovná r.

Důkaz. Stačí ukázat, že jakýkoli podsystém matice řádků s S>r bude za podmínek věty lineárně závislá (z toho vyplyne, že r je maximální počet lineárně nezávislých řádků matice nebo některého z jejích menších řádů větší než k se rovná nule).

Předpokládejme opak. Nechť jsou řádky lineárně nezávislé. U lemmatu o hraničních minoritách bude každá z nich lineárně vyjádřena pomocí řádků obsahujících minor a které jsou vzhledem k tomu, že jsou nenulové, lineárně nezávislé:

(3.3.7)

Uvažujme matici K z koeficientů lineárních výrazů (3.3.7):

.

Řádky této matice budou označeny . Budou lineárně závislé, jelikož hodnost matice K, tzn. nepřekračuje maximální počet jeho lineárně nezávislých čar r< S . Proto existují taková čísla, ne všechna rovna nule, že

Přejděme k rovnosti komponent

(3.3.8)

Nyní zvažte následující lineární kombinaci:

nebo

Systém vektorů stejného řádu se nazývá lineárně závislý, pokud lze z těchto vektorů pomocí vhodné lineární kombinace získat nulový vektor. (Není dovoleno, aby všechny koeficienty lineární kombinace byly rovné nule, protože by to bylo triviální.) Jinak se vektory nazývají lineárně nezávislé. Například následující tři vektory:

jsou lineárně závislé, protože to lze snadno zkontrolovat. V případě lineární závislosti lze libovolný vektor vždy vyjádřit lineární kombinací jiných vektorů. V našem příkladu: buď nebo To lze snadno zkontrolovat pomocí příslušných výpočtů. To vede k následující definici: vektor je lineárně nezávislý na ostatních vektorech, pokud jej nelze reprezentovat jako lineární kombinaci těchto vektorů.

Uvažujme systém vektorů bez určení, zda je lineárně závislý nebo lineárně nezávislý. Pro každý systém sestávající ze sloupcových vektorů a je možné identifikovat maximální možný počet lineárně nezávislých vektorů. Toto číslo, označené písmenem , je hodnost tohoto vektorového systému. Protože na každou matici lze nahlížet jako na systém sloupcových vektorů, je hodnost matice definována jako maximální počet lineárně nezávislých sloupcových vektorů, které obsahuje. Řádkové vektory se také používají k určení hodnosti matice. Obě metody poskytují stejný výsledek pro stejnou matici a nemohou překročit nejmenší z nebo Pořadí čtvercové matice řádu se pohybuje od 0 do . Pokud jsou všechny vektory nulové, pak je hodnost takové matice nulová. Pokud jsou všechny vektory na sobě lineárně nezávislé, pak je hodnost matice stejná. Pokud vytvoříme matici z výše uvedených vektorů, pak je hodnost této matice 2, protože každé dva vektory lze snížit na třetinu lineární kombinací, pak je hodnost menší než 3.

Můžeme se ale ujistit, že libovolné dva jejich vektory jsou lineárně nezávislé, tedy jejich pořadí

Čtvercová matice se nazývá singulární, pokud jsou její sloupcové vektory nebo řádkové vektory lineárně závislé. Determinant takové matice je roven nule a její inverzní matice neexistuje, jak je uvedeno výše. Tyto závěry jsou si navzájem ekvivalentní. V důsledku toho se čtvercová matice nazývá nesingulární nebo nesingulární, pokud jsou její sloupcové vektory nebo řádkové vektory na sobě nezávislé. Determinant takové matice se nerovná nule a existuje její inverzní matice (srovnej s str. 43)

Hodnost matice má zcela zřejmou geometrickou interpretaci. Pokud je hodnost matice rovna , pak se o -rozměrném prostoru říká, že je překlenutý vektory. Pokud je hodnost, pak vektory leží v -rozměrném podprostoru, který je všechny zahrnuje. Hodnost matice tedy odpovídá minimální požadované dimenzi prostoru „který obsahuje všechny vektory“ -rozměrný podprostor v -rozměrném prostoru se nazývá -rozměrná nadrovina. Hodnost matice odpovídá nejmenší dimenzi nadroviny, ve které ještě leží všechny vektory.

Ortogonalita. O dvou vektorech a a b se říká, že jsou vzájemně ortogonální, pokud je jejich skalární součin nula. Pokud má řádová matice rovnost, kde D je diagonální matice, pak jsou sloupcové vektory matice A párově vzájemně ortogonální. Pokud jsou tyto sloupcové vektory normalizovány, tedy zmenšeny na délku rovnou 1, pak nastává rovnost a hovoříme o ortonormálních vektorech. Je-li B čtvercová matice a platí rovnost, pak se matice B nazývá ortogonální. V tomto případě ze vzorce (1.22) vyplývá, že ortogonální matice je vždy nesingulární. Z ortogonality matice tedy vyplývá lineární nezávislost jejích řádkových vektorů nebo sloupcových vektorů. Opačné tvrzení není pravdivé: lineární nezávislost systému vektorů neznamená párovou ortogonalitu těchto vektorů.

Pojem pořadí matice úzce souvisí s pojmem lineární závislosti (nezávislosti) jejích řádků nebo sloupců. V budoucnu budeme prezentovat materiál pro řádky, pro sloupce je prezentace podobná.

V matrice A Označme jeho řádky takto:

, , …. ,

Říká se, že dva řádky matice jsou stejné, jestliže jejich odpovídající prvky jsou stejné: , jestliže , .

Aritmetické operace na řádcích matice (násobení řádku číslem, přidání řádků) jsou zavedeny jako operace prováděné po prvku:

Čára E nazývaná lineární kombinace strun..., matice, pokud je rovna součtu součinů těchto řádků libovolnými reálnými čísly:

Řádky matice se nazývají lineárně závislé, pokud existují čísla, která nejsou současně rovna nule, takže lineární kombinace řádků matice je rovna nule:

, =(0,0,...,0). (3.3)

Věta 3.3Řádky matice jsou lineárně závislé, pokud alespoň jeden řádek matice je lineární kombinací ostatních.

□ Pro jistotu nechť ve vzorci (3.3) , Pak

Řádek je tedy lineární kombinací zbývajících řádků. ■

Pokud je lineární kombinace řádků (3.3) rovna nule právě tehdy, když jsou všechny koeficienty rovné nule, pak se řádky nazývají lineárně nezávislé.

Věta 3.4.(o hodnosti matice) Hodnost matice se rovná maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých řádků nebo sloupců, kterými jsou lineárně vyjádřeny všechny její ostatní řádky (sloupce).

□ Nechte matici A velikost m n má hodnost r(r min). To znamená, že existuje nenulová moll r-tý řád. Jakýkoli nenulový vedlejší r Tý řád bude nazýván základem minor.

Pro definitivu budiž základ menší přední nebo rohový moll. Potom jsou řádky matice lineárně nezávislé. Předpokládejme opak, to znamená, že jedna z těchto strun je například lineární kombinací ostatních. Odečtěte od prvků r- 1. řádku prvky 1. řádku vynásobené , dále prvky 2. řádku vynásobené , ... a prvky ( r- 1) - tý řádek vynásobený . Na základě vlastnosti 8 se při takových transformacích matice její determinant D nezmění, ale od r- řádek se nyní bude skládat pouze z nul, pak D = 0 je rozpor. Proto je náš předpoklad, že řádky matice jsou lineárně závislé, nesprávný.

Zavolejme na linky základní. Ukažme, že libovolné (r+1) řádky matice jsou lineárně závislé, tzn. jakýkoli řetězec je vyjádřen základními.

Uvažujme moll (r +1) prvního řádu, který získáme doplněním příslušné moll o prvky jiné řady i a sloupec j. Tato vedlejší je nula, protože hodnost matice je r, takže jakákoli moll vyššího řádu je nula.

Rozbalením podle prvků posledního (přidaného) sloupce dostaneme

Kde se modul posledního algebraického doplňku shoduje se základem moll D a tedy odlišné od nuly, tzn. 0.

Uvažujme libovolnou, ne nutně čtvercovou, matici A o velikosti mxn.

Hodnost matice.

Pojem pořadí matice je spojen s pojmem lineární závislosti (nezávislosti) řádků (sloupců) matice. Zvažme tento koncept pro struny. U sloupců - podobně.

Označme stoky matice A:

e 1 =(a 11,a 12,…,a 1n); e 2 =(a 21,a 22,…,a 2n);…, e m =(a m1,a m2,…,a mn)

e k =e s jestliže a kj =a sj , j=1,2,…,n

Aritmetické operace na řádcích matice (sčítání, násobení číslem) jsou zavedeny jako operace prováděné prvek po prvku: λе k =(λа k1 ,λа k2 ,…,λа kn);

e k +е s =[(a k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(a kn +a sn)].

Řádek e se nazývá lineární kombinaceřádky e 1, e 2,…, e k, pokud se rovná součtu součinů těchto řádků libovolnými reálnými čísly:

e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

Nazývají se přímky e 1, e 2,…, e m lineárně závislé, pokud existují reálná čísla λ 1 ,λ 2 ,…,λ m , ne všechna se rovna nule, že lineární kombinace těchto řetězců je rovna nulovému řetězci: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 ,Kde 0 =(0,0,…,0) (1)

Je-li lineární kombinace rovna nule právě tehdy, jsou-li všechny koeficienty λ i rovny nule (λ 1 =λ 2 =...=λ m =0), pak řádky e 1, e 2,..., e m se nazývají lineárně nezávislé.

Věta 1. Aby struny e 1 , e 2 ,…, e m byly lineárně závislé, je nutné a postačující, aby jedna z těchto strun byla lineární kombinací zbývajících strun.

Důkaz. Nutnost. Nechť řetězce e 1, e 2,…, e m jsou lineárně závislé. Pro jistotu nechť (1) λ m ≠ 0, pak

Že. řetězec e m je lineární kombinací zbývajících strun. Atd.

Přiměřenost. Nechť jedna ze strun, například e m, je lineární kombinací zbývajících strun. Pak budou čísla taková, že platí rovnost, která lze přepsat do formuláře

kde alespoň 1 z koeficientů (-1) se nerovná nule. Tito. řádky jsou lineárně závislé. Atd.

Definice. Vedlejší k-tý řád matice A o velikosti mxn se nazývá determinant k-tého řádu s prvky ležícími v průsečíku libovolných k řádků a libovolných k sloupců matice A. (k≤min(m,n)). .

Příklad., nezletilí 1. řádu: =, =;

Nezletilí 2. řádu: , 3. řádu

Matice 3. řádu má 9 minoritních 1. řádu, 9 minoritních 2. řádu a 1 minoritní 3. řádu (determinant této matice).

Definice. Hodnost matice A je nejvyšším řádem nenulových minoritních hodnot této matice. Označení - rg A nebo r(A).

Vlastnosti maticového pořadí.

1) hodnost matice A nxm nepřesahuje menší z jejích rozměrů, tzn.

r(A)

2) r(A)=0, když jsou všechny prvky matice rovny 0, tzn. A=0.

3) Pro čtvercovou matici A n-tého řádu r(A)=n, když A je nedegenerované.

(Hodnota diagonální matice se rovná počtu jejích nenulových diagonálních prvků).

4) Pokud je hodnost matice rovna r, pak matice má alespoň jednu minoritní hodnotu řádu r, která se nerovná nule, a všechny minority vyšších řádů jsou rovna nule.

Pro úrovně matice platí následující vztahy:

2) r(A+B)< r(A)+r(B); 3) r(AB)

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(ATA)=r(A);

5) r(AB)=r(A), pokud B je čtvercová nesingulární matice.

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, kde n je počet sloupců matice A nebo řádků matice B.

Definice. Volá se nenulová moll řádu r(A). základní moll. (Matice A může mít několik základních nezletilých). Řádky a sloupce, na jejichž průsečíku je základna, se nazývají příslušně základní struny A základní sloupy.

Věta 2 (o základu vedlejší). Podkladové řádky (sloupce) jsou lineárně nezávislé. Libovolný řádek (libovolný sloupec) matice A je lineární kombinací základních řádků (sloupců).

Důkaz. (Pro struny). Pokud by základní řádky byly lineárně závislé, pak by podle věty (1) jeden z těchto řádků byl lineární kombinací jiných základních řádků, pak, aniž byste změnili hodnotu základního vedlejšího, můžete od tohoto řádku odečíst naznačenou lineární kombinaci a získat nulový řádek, což je v rozporu se skutečností, že základ minor je odlišný od nuly. Že. základní řádky jsou lineárně nezávislé.

Dokažme, že libovolný řádek matice A je lineární kombinací základních řádků. Protože při libovolných změnách řádků (sloupců) si determinant zachovává vlastnost být roven nule, pak bez ztráty obecnosti můžeme předpokládat, že základ minor je v levém horním rohu matice

A=, těch. umístěných na prvních r řádcích a prvních r sloupcích. Nechť 1£j£n, 1£i£m. Ukažme, že determinant (r+1) řádu

Jestliže j£r nebo i£r, pak je tento determinant roven nule, protože bude mít dva stejné sloupce nebo dva stejné řádky.

Je-li j>r a i>r, pak je tento determinant minoritou (r+1)-tého řádu matice A. Od Hodnost matice je r, což znamená, že jakákoli minoritní kategorie vyššího řádu je rovna 0.

Rozbalením podle prvků posledního (přidaného) sloupce dostaneme

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj Arj +a ij A ij =0, kde poslední algebraický doplněk A ij se shoduje se základem moll M r a proto A ij = M r ≠0.

Vydělením poslední rovnosti A ij můžeme prvek a ij vyjádřit jako lineární kombinaci: , kde .

Opravme hodnotu i (i>r) a zjistíme, že pro libovolné j (j=1,2,...,n) jsou prvky i-tého řádku e i lineárně vyjádřeny prostřednictvím prvků řádků e 1, e 2,...,e r, tj. e. I-tý řádek je lineární kombinací základních řádků: . Atd.

Věta 3. (nutná a postačující podmínka, aby se determinant rovnal nule). Aby byl determinant n-tého řádu D roven nule, je nutné a postačující, aby jeho řádky (sloupce) byly lineárně závislé.

Důkaz (str. 40). Nutnost. Pokud je determinant n-tého řádu D roven nule, pak menší báze jeho matice je řádu r

Jedna řada je tedy lineární kombinací ostatních. Pak podle věty 1 jsou řádky determinantu lineárně závislé.

Přiměřenost. Pokud jsou řádky D lineárně závislé, pak podle věty 1 je jeden řádek A i lineární kombinací zbývajících řádků. Odečtením zadané lineární kombinace od řetězce A i beze změny hodnoty D získáme nulový řetězec. Proto podle vlastností determinantů D=0. atd.

Věta 4. Při elementárních transformacích se hodnost matice nemění.

Důkaz. Jak se ukázalo při zvažování vlastností determinantů, při transformaci čtvercových matic se jejich determinanty buď nemění, nebo se násobí nenulovým číslem, případně mění znaménko. V tomto případě je zachován nejvyšší řád nenulových nezletilých původní matice, tzn. hodnost matice se nemění. Atd.

Jestliže r(A)=r(B), pak A a B jsou ekvivalent: A~B.

Věta 5. Pomocí elementárních transformací můžete matici zmenšit na stupňovitý pohled. Matice se nazývá postupně, pokud má tvar:

A=, kde a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k.

Podmínku r≤k lze vždy dosáhnout transpozicí.

Věta 6. Hodnost matice stupně se rovná počtu jejích nenulových řádků .

Tito. Hodnost krokové matice se rovná r, protože existuje nenulová moll řádu r: