Pochopit aritmetické kořeny. Kořen a jeho vlastnosti. Podrobná teorie s příklady (2019)

Gratulujeme: dnes se podíváme na kořeny - jedno z nejúžasnějších témat v 8. třídě :)

Mnoho lidí je zmateno kořeny, ne proto, že jsou složité (co je na tom tak složitého – pár definic a pár dalších vlastností), ale protože ve většině školních učebnic jsou kořeny definovány v takové džungli, že jen autoři učebnic sami mohou tomuto psaní rozumět. A i to jen s lahví dobré whisky :).

Proto nyní uvedu nejsprávnější a nejkompetentnější definici kořene - jedinou, kterou byste si opravdu měli pamatovat. A pak vysvětlím: proč je to všechno potřeba a jak to aplikovat v praxi.

Nejprve si však zapamatujte jeden důležitý bod, na který mnoho kompilátorů učebnic z nějakého důvodu „zapomíná“:

Kořeny mohou být sudého stupně (naše oblíbené $\sqrt(a)$, stejně jako všechny druhy $\sqrt(a)$ a sudé $\sqrt(a)$) a liché stupně (všechny druhy $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ atd.). A definice kořene lichého stupně je poněkud odlišná od sudého.

Pravděpodobně 95 % všech chyb a nedorozumění spojených s kořeny je skryto v tomto zasraném „poněkud jiném“. Pojďme si tedy jednou provždy ujasnit terminologii:

Definice. Dokonce i root n od čísla $a$ je libovolné nezápornéčíslo $b$ je takové, že $((b)^(n))=a$. A lichá odmocnina stejného čísla $a$ je obecně jakékoli číslo $b$, pro které platí stejná rovnost: $((b)^(n))=a$.

V každém případě je kořen označen takto:

\(A)\]

Číslo $n$ v takovém zápisu se nazývá kořenový exponent a číslo $a$ se nazývá radikální výraz. Konkrétně pro $n=2$ dostaneme naši „oblíbenou“ druhou odmocninu (mimochodem, toto je odmocnina sudého stupně) a pro $n=3$ dostaneme krychlovou odmocninu (lichý stupeň), což je často se také vyskytuje v úlohách a rovnicích.

Příklady. Klasické příklady odmocnin:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(zarovnat)\]

Mimochodem, $\sqrt(0)=0$ a $\sqrt(1)=1$. To je celkem logické, protože $((0)^(2))=0$ a $((1)^(2))=1$.

Časté jsou i kořínky - není třeba se jich bát:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(zarovnat)\]

No, pár "exotických příkladů":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(zarovnat)\]

Pokud nechápete, jaký je rozdíl mezi sudým a lichým stupněm, přečtěte si definici znovu. To je velmi důležité!

Mezitím se podíváme na jednu nepříjemnou vlastnost kořenů, kvůli které jsme potřebovali zavést samostatnou definici pro sudé a liché exponenty.

Proč jsou kořeny vůbec potřeba?

Po přečtení definice se mnoho studentů zeptá: „Co matematici kouřili, když na to přišli? A skutečně: proč jsou všechny tyto kořeny vůbec potřeba?

Abychom na tuto otázku odpověděli, vraťme se na chvíli do základní školy. Pamatujte: v oněch vzdálených dobách, kdy byly stromy zelenější a knedlíky chutnější, bylo naším hlavním zájmem správně vynásobit čísla. No, něco v duchu „pět na pět - dvacet pět“, to je vše. Čísla však můžete násobit nikoli ve dvojicích, ale v trojicích, čtveřicích a obecně celých množinách:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

O to však nejde. Trik je jiný: matematici jsou líní lidé, takže měli problém zapsat násobení deseti pěti takto:

Proto přišli s tituly. Proč nenapsat počet faktorů jako horní index místo dlouhého řetězce? Něco takového:

Je to velmi pohodlné! Všechny výpočty jsou výrazně zredukovány a nemusíte plýtvat hromadou listů pergamenu a sešitů, abyste si zapsali nějakých 5 183. Tento záznam byl nazýván mocninou čísla, bylo v něm nalezeno mnoho vlastností, ale ukázalo se, že štěstí bylo krátkodobé.

Po grandiózním pijáckém večírku, který byl zorganizován právě za účelem „objevení“ stupňů, se náhle nějaký zvlášť tvrdohlavý matematik zeptal: „Co když známe stupeň čísla, ale samotné číslo neznáme? Pokud tedy skutečně víme, že určité číslo $b$, řekněme, na 5. mocninu dává 243, jak můžeme hádat, čemu se rovná samotné číslo $b$?

Tento problém se ukázal být mnohem globálnější, než by se na první pohled mohlo zdát. Protože se ukázalo, že pro většinu „hotových“ mocností žádná taková „počáteční“ čísla neexistují. Posuďte sami:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Šipka doprava b=4\cdot 4\cdot 4\Šipka doprava b=4. \\ \end(zarovnat)\]

Co když $((b)^(3))=50 $? Ukazuje se, že potřebujeme najít určité číslo, které nám po vynásobení třikrát samo o sobě dá 50. Co je to ale za číslo? Je zřetelně větší než 3, protože 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. To je toto číslo leží někde mezi třemi a čtyřmi, ale nebudete rozumět, čemu se rovná.

To je přesně důvod, proč matematici přišli s $n$-tými kořeny. To je přesně důvod, proč byl zaveden radikální symbol $\sqrt(*)$. Označit samotné číslo $b$, které nám v uvedené míře dá dříve známou hodnotu

\[\sqrt[n](a)=b\Šipka doprava ((b)^(n))=a\]

Nehádám se: tyto kořeny se často dají snadno vypočítat - výše jsme viděli několik takových příkladů. Ale přesto, ve většině případů, když si vzpomenete na libovolné číslo a pak se z něj pokusíte extrahovat kořen libovolného stupně, čeká vás strašný průšvih.

Co tam je! Dokonce ani nejjednodušší a nejznámější $\sqrt(2)$ nelze reprezentovat v naší obvyklé podobě - ​​jako celé číslo nebo zlomek. A pokud toto číslo zadáte do kalkulačky, uvidíte toto:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Jak vidíte, za desetinnou čárkou je nekonečná posloupnost čísel, která se neřídí žádnou logikou. Toto číslo můžete samozřejmě zaokrouhlit a rychle porovnat s jinými čísly. Například:

\[\sqrt(2)=1,4142...\přibližně 1,4 \lt 1,5\]

Nebo zde je další příklad:

\[\sqrt(3)=1,73205...\přibližně 1,7 \gt 1,5\]

Ale všechna tato zaoblení jsou za prvé dost hrubá; a zadruhé je potřeba umět pracovat i s přibližnými hodnotami, jinak můžete chytit hromadu nezjevných chyb (mimochodem, dovednost porovnávání a zaokrouhlování je potřeba zkontrolovat na profilu Jednotná státní zkouška).

V seriózní matematice se proto bez kořenů neobejdete - jsou to stejní rovní zástupci množiny všech reálných čísel $\mathbb(R)$, stejně jako zlomky a celá čísla, která jsou nám už dávno známá.

Neschopnost reprezentovat kořen jako zlomek tvaru $\frac(p)(q)$ znamená, že tento kořen není racionální číslo. Taková čísla se nazývají iracionální a nelze je přesně znázornit jinak než pomocí radikálu nebo jiných konstrukcí speciálně k tomu určených (logaritmy, mocniny, limity atd.). Ale o tom zase jindy.

Uvažujme několik příkladů, kdy po všech výpočtech zůstanou v odpovědi iracionální čísla.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\cca 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\cca -1,2599... \\ \end(align)\]

Přirozeně, ze vzhledu kořene je téměř nemožné odhadnout, jaká čísla budou následovat za desetinnou čárkou. Můžete se však spolehnout na kalkulačku, ale i ta nejpokročilejší datová kalkulačka nám poskytne pouze prvních pár číslic iracionálního čísla. Proto je mnohem správnější psát odpovědi ve tvaru $\sqrt(5)$ a $\sqrt(-2)$.

To je přesně důvod, proč byly vynalezeny. Pro pohodlné zaznamenávání odpovědí.

Proč jsou potřeba dvě definice?

Pozorný čtenář si již pravděpodobně všiml, že všechny odmocniny uvedené v příkladech jsou převzaty z kladných čísel. Tedy alespoň od nuly. Ale krychlové kořeny lze klidně extrahovat z absolutně jakéhokoli čísla - ať už pozitivního nebo negativního.

Proč se to děje? Podívejte se na graf funkce $y=((x)^(2))$:

Graf kvadratické funkce dává dva kořeny: kladný a záporný

Zkusme spočítat $\sqrt(4)$ pomocí tohoto grafu. K tomu je na grafu nakreslena vodorovná čára $y=4$ (označená červeně), která se protíná s parabolou ve dvou bodech: $((x)_(1))=2$ a $((x). )_(2)) = -2 $. To je celkem logické, protože

S prvním číslem je vše jasné - je kladné, takže je to kořen:

Ale co potom dělat s druhým bodem? Jako čtyři má dva kořeny najednou? Když totiž odmocníme číslo −2, dostaneme také 4. Proč tedy nenapsat $\sqrt(4)=-2$? A proč se učitelé na takové příspěvky dívají, jako by tě chtěli sežrat :)

Problém je v tom, že pokud neuložíte žádné další podmínky, pak bude mít čtveřice dvě odmocniny - kladnou a zápornou. A každé kladné číslo bude mít také dvě z nich. Ale záporná čísla nebudou mít vůbec žádné kořeny - to lze vidět ze stejného grafu, protože parabola nikdy neklesne pod osu y, tj. nepřijímá záporné hodnoty.

Podobný problém nastává pro všechny kořeny se sudým exponentem:

1. Přísně vzato, každé kladné číslo bude mít dva kořeny se sudým exponentem $n$;
2. Ze záporných čísel není odmocnina se sudým $n$ vůbec extrahována.

To je důvod, proč definice sudé odmocniny $n$ konkrétně stanoví, že odpověď musí být nezáporné číslo. Tím se zbavíme nejednoznačnosti.

Ale pro liché $n$ takový problém není. Abychom to viděli, podívejme se na graf funkce $y=((x)^(3))$:

Parabola krychle může mít libovolnou hodnotu, takže odmocninu lze vzít z libovolného čísla

Z tohoto grafu lze vyvodit dva závěry:

1. Větve kubické paraboly na rozdíl od běžné jdou do nekonečna oběma směry – nahoru i dolů. Proto ať nakreslíme vodorovnou čáru v jakékoli výšce, tato čára se určitě protne s naším grafem. V důsledku toho lze odmocninu vždy vzít z absolutně libovolného čísla;
2. Kromě toho bude taková křižovatka vždy jedinečná, takže nemusíte přemýšlet o tom, které číslo je považováno za „správný“ kořen a které ignorovat. Proto je určování kořenů pro lichý stupeň jednodušší než pro sudý stupeň (není zde požadavek na nezápornost).

Škoda, že tyto jednoduché věci nejsou ve většině učebnic vysvětleny. Místo toho náš mozek začne stoupat se všemi druhy aritmetických kořenů a jejich vlastností.

Ano, nehádám se: musíte také vědět, co je aritmetický kořen. A o tom budu podrobně mluvit v samostatné lekci. Dnes si o ní také povíme, protože bez ní by všechny úvahy o kořenech $n$-té násobnosti byly neúplné.

Nejprve však musíte jasně porozumět definici, kterou jsem uvedl výše. V opačném případě vám díky přemíru pojmů začne v hlavě takový nepořádek, že nakonec nebudete rozumět vůbec ničemu.

Vše, co musíte udělat, je pochopit rozdíl mezi sudými a lichými ukazateli. Pojďme si proto ještě jednou shromáždit vše, co opravdu potřebujete vědět o kořenech:

1. Odmocnina sudého stupně existuje pouze z nezáporného čísla a sama je vždy nezáporným číslem. Pro záporná čísla není takový kořen definován.
2. Odmocnina lichého stupně však existuje z libovolného čísla a sama o sobě může být libovolné číslo: pro kladná čísla je kladná a pro záporná čísla, jak naznačuje čepice, záporná.

je to těžké? Ne, není to těžké. Je to jasné? Ano, je to zcela zřejmé! Nyní si tedy trochu procvičíme s výpočty.

Základní vlastnosti a omezení

Kořeny mají mnoho podivných vlastností a omezení – o tom bude řeč v samostatné lekci. Proto nyní zvážíme pouze nejdůležitější „trik“, který se vztahuje pouze na kořeny se sudým indexem. Zapišme tuto vlastnost jako vzorec:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\vpravo|\]

Jinými slovy, pokud umocníme číslo na sudou mocninu a pak z něj vezmeme odmocninu stejné mocniny, nedostaneme původní číslo, ale jeho modul. Jedná se o jednoduchou větu, kterou lze snadno dokázat (stačí uvažovat zvlášť nezáporné $x$ a poté zvlášť záporné). Učitelé o tom neustále mluví, je to uvedeno v každé školní učebnici. Jakmile ale dojde na řešení iracionálních rovnic (tj. rovnic obsahujících radikálové znaménko), studenti tento vzorec jednomyslně zapomínají.

Abychom problému porozuměli podrobně, zapomeňme na minutu všechny vzorce a zkusme spočítat dvě čísla rovnou:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Toto jsou velmi jednoduché příklady. Většina lidí vyřeší první příklad, ale mnoho lidí se zasekne u druhého. Chcete-li takové svinstvo vyřešit bez problémů, vždy zvažte postup:

1. Nejprve se číslo zvýší na čtvrtou mocninu. No, je to trochu snadné. Dostanete nové číslo, které najdete i v násobilce;
2. A nyní z tohoto nového čísla je nutné extrahovat čtvrtý kořen. Tito. nedochází k žádné „redukci“ odmocnin a mocnin – jedná se o sekvenční akce.

Podívejme se na první výraz: $\sqrt(((3)^(4)))$. Je zřejmé, že nejprve musíte vypočítat výraz pod kořenem:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Potom vyjmeme čtvrtou odmocninu čísla 81:

Nyní udělejme totéž s druhým výrazem. Nejprve zvýšíme číslo −3 na čtvrtou mocninu, což vyžaduje vynásobení samo sebou 4krát:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ vlevo(-3 \vpravo)=81\]

Dostali jsme kladné číslo, protože celkový počet mínusů v součinu je 4 a všechna se navzájem vyruší (koneckonců mínus za mínus dává plus). Poté znovu extrahujeme kořen:

V zásadě tento řádek nemohl být napsán, protože není jasné, že odpověď bude stejná. Tito. sudý kořen stejné sudé síly „spálí“ mínusy a v tomto smyslu je výsledek k nerozeznání od běžného modulu:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \vpravo|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \vpravo|=3. \\ \end(zarovnat)\]

Tyto výpočty jsou v dobré shodě s definicí odmocniny sudého stupně: výsledek je vždy nezáporný a znaménko radikálu také vždy obsahuje nezáporné číslo. V opačném případě není kořenový adresář definován.

Poznámka k postupu

1. Zápis $\sqrt(((a)^(2)))$ znamená, že nejprve odmocníme číslo $a$ a poté vezmeme druhou odmocninu výsledné hodnoty. Proto si můžeme být jisti, že pod kořenovým znaménkem je vždy nezáporné číslo, protože $((a)^(2))\ge 0$ v každém případě;
2. Ale zápis $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ naopak znamená, že nejprve vezmeme odmocninu z určitého čísla $a$ a teprve potom výsledek odmocnime. Proto číslo $a$ nemůže být v žádném případě záporné - to je povinný požadavek zahrnutý v definici.

V žádném případě by se tedy nemělo bezmyšlenkovitě redukovat kořeny a stupně, a tím údajně „zjednodušit“ původní výraz. Protože pokud má odmocnina záporné číslo a jeho exponent je sudý, dostaneme spoustu problémů.

Všechny tyto problémy jsou však relevantní pouze pro sudé ukazatele.

Odstranění znaménka mínus z kořenového znaménka

Odmocniny s lichými exponenty mají přirozeně také svůj vlastní rys, který u sudých v zásadě neexistuje. A to:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Stručně řečeno, můžete odstranit mínus pod znaménkem kořenů lichých stupňů. Toto je velmi užitečná vlastnost, která vám umožní „vyhodit“ všechny nevýhody:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(zarovnat)\]

Tato jednoduchá vlastnost značně zjednodušuje mnoho výpočtů. Nyní se nemusíte obávat: co kdyby byl pod kořenem skrytý negativní výraz, ale stupeň u kořene se ukázal být sudý? Stačí jen „vyhodit“ všechny mínusy mimo kořeny, načež se mohou navzájem násobit, dělit a celkově dělat mnoho podezřelých věcí, které nás v případě „klasických“ kořenů zaručeně dovedou k chyba.

A zde přichází na scénu další definice – stejná, s jakou na většině škol začínají studium iracionálních výrazů. A bez nichž by naše úvahy byly neúplné. Seznamte se s námi!

Aritmetický kořen

Předpokládejme na chvíli, že pod kořenovým znaménkem mohou být pouze kladná čísla nebo v extrémních případech nula. Zapomeňme na sudé/liché ukazatele, zapomeňme na všechny výše uvedené definice – budeme pracovat pouze s nezápornými čísly. co potom?

A pak dostaneme aritmetický kořen - částečně se překrývá s našimi „standardními“ definicemi, ale stále se od nich liší.

Definice. Aritmetický kořen $n$-tého stupně nezáporného čísla $a$ je nezáporné číslo $b$ takové, že $((b)^(n))=a$.

Jak vidíme, parita nás již nezajímá. Místo toho se objevilo nové omezení: radikální výraz je nyní vždy nezáporný a samotný kořen je také nezáporný.

Abyste lépe pochopili, jak se aritmetický kořen liší od obvyklého, podívejte se na grafy čtvercové a kubické paraboly, které již známe:

Oblast hledání aritmetického kořene - nezáporná čísla

Jak vidíte, odteď nás zajímají pouze ty kousky grafů, které se nacházejí v první souřadnicové čtvrtině – kde jsou souřadnice $x$ a $y$ kladné (nebo alespoň nulové). Už se nemusíte dívat na indikátor, abyste pochopili, zda máme právo umístit záporné číslo pod kořen nebo ne. Protože se zápornými čísly se už v zásadě nepočítá.

Můžete se zeptat: "No, proč potřebujeme takovou kastrovanou definici?" Nebo: "Proč si nemůžeme vystačit se standardní definicí uvedenou výše?"

Uvedu jen jednu vlastnost, kvůli které se nová definice stává vhodnou. Například pravidlo pro umocňování:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Pozor: radikální výraz můžeme umocnit na libovolnou mocninu a zároveň vynásobit kořenový exponent stejnou mocninou – a výsledkem bude stejné číslo! Zde jsou příklady:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

Takže o co jde? Proč jsme to nemohli udělat dříve? Zde je důvod. Uvažujme jednoduchý výraz: $\sqrt(-2)$ - toto číslo je v našem klasickém chápání zcela normální, ale z hlediska aritmetického kořene absolutně nepřijatelné. Zkusme to převést:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Jak vidíte, v prvním případě jsme odstranili mínus pod radikálem (máme plné právo, protože exponent je lichý) a ve druhém případě jsme použili výše uvedený vzorec. Tito. Z matematického hlediska se vše děje podle pravidel.

WTF?! Jak může být stejné číslo kladné i záporné? V žádném případě. Jde jen o to, že vzorec pro umocňování, který skvěle funguje pro kladná čísla a nulu, začíná v případě záporných čísel vytvářet úplnou herezi.

Právě proto, aby se zbavili takové nejednoznačnosti, byly vynalezeny aritmetické kořeny. Je jim věnována samostatná velká lekce, kde se podrobně zabýváme všemi jejich vlastnostmi. Takže se jimi teď nebudeme zabývat - lekce se již ukázala být příliš dlouhá.

Algebraický kořen: pro ty, kteří chtějí vědět více

Dlouho jsem přemýšlel, zda dát toto téma do samostatného odstavce nebo ne. Nakonec jsem se rozhodl to tu nechat. Tento materiál je určen pro ty, kteří chtějí ještě lépe porozumět kořenům - již ne na průměrné „školní“ úrovni, ale na úrovni blízké olympiádě.

Takže: kromě „klasické“ definice $n$-té odmocniny čísla a souvisejícího dělení na sudé a liché exponenty existuje ještě „dospělejší“ definice, která vůbec nezávisí na paritě a dalších jemnostech. Tomu se říká algebraický kořen.

Definice. Algebraická $n$-tá odmocnina libovolného $a$ je množina všech čísel $b$ tak, že $((b)^(n))=a$. Pro takové kořeny neexistuje žádné zavedené označení, takže navrch dáme pomlčku:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \vpravo. \vpravo\) \]

Zásadní rozdíl oproti standardní definici uvedené na začátku lekce je v tom, že algebraický kořen není konkrétní číslo, ale množina. A protože pracujeme s reálnými čísly, tato sada se dodává pouze ve třech typech:

1. Prázdná sada. Vyskytuje se, když potřebujete najít algebraický kořen sudého stupně ze záporného čísla;
2. Sada skládající se z jednoho jediného prvku. Všechny kořeny lichých mocnin, stejně jako kořeny sudých mocnin nuly, spadají do této kategorie;
3. Nakonec může sada obsahovat dvě čísla – stejná čísla $((x)_(1))$ a $((x)_(2))=-((x)_(1))$, která jsme viděli na graf kvadratické funkce. Podle toho je takové uspořádání možné pouze při extrakci odmocniny sudého stupně z kladného čísla.

Poslední případ si zaslouží podrobnější zvážení. Pojďme si spočítat pár příkladů, abychom pochopili rozdíl.

Příklad. Vyhodnoťte výrazy:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Řešení. S prvním výrazem je vše jednoduché:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Jedná se o dvě čísla, která jsou součástí sady. Protože každá z nich na druhou dává čtyřku.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Zde vidíme množinu skládající se pouze z jednoho čísla. To je celkem logické, protože kořenový exponent je lichý.

Konečně poslední výraz:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Dostali jsme prázdnou sadu. Protože neexistuje jediné reálné číslo, které nám po zvýšení na čtvrtou (tj. sudou!) mocninu dá záporné číslo -16.

Závěrečná poznámka. Pozor: ne náhodou jsem všude poznamenal, že pracujeme s reálnými čísly. Protože tam jsou i komplexní čísla - dá se tam docela dobře spočítat $\sqrt(-16)$ a spousta dalších divných věcí.

V moderních školních matematických kurzech se však komplexní čísla téměř nikdy neobjevují. Z většiny učebnic byly odstraněny, protože naši úředníci považují toto téma za „příliš obtížné na pochopení“.

Je čas to urovnat metody extrakce kořenů. Jsou založeny na vlastnostech kořenů, zejména na rovnosti, která platí pro každé nezáporné číslo b.

Níže se podíváme na hlavní metody extrakce kořenů jeden po druhém.

Začněme tím nejjednodušším případem – extrahováním odmocnin z přirozených čísel pomocí tabulky čtverců, tabulky kostek atd.

Pokud tabulky čtverců, kostek atd. Pokud ho nemáte po ruce, je logické použít metodu extrahování kořene, která zahrnuje rozklad radikálního čísla na prvočinitele.

Za zvláštní zmínku stojí, co je možné pro kořeny s lichými exponenty.

Nakonec se podívejme na metodu, která nám umožňuje postupně najít číslice kořenové hodnoty.

Začněme.

Pomocí tabulky čtverců, tabulky kostek atd.

V nejjednodušších případech vám tabulky čtverců, kostek atd. umožňují extrahovat kořeny. Co jsou to za tabulky?

Tabulka druhých mocnin celých čísel od 0 do 99 včetně (zobrazená níže) se skládá ze dvou zón. První zóna tabulky je umístěna na šedém pozadí, výběrem konkrétního řádku a konkrétního sloupce umožňuje sestavit číslo od 0 do 99. Vyberme například řádek 8 desítek a sloupec 3 jednotek, čímž jsme opravili číslo 83. Druhá zóna zabírá zbytek tabulky. Každá buňka se nachází na průsečíku určitého řádku a určitého sloupce a obsahuje druhou mocninu odpovídajícího čísla od 0 do 99. Na průsečíku námi zvolené řady 8 desítek a sloupce 3 jedniček je buňka s číslem 6 889, což je druhá mocnina čísla 83.

Tabulky kostek, tabulky čtvrtých mocnin čísel od 0 do 99 a tak dále jsou podobné tabulce čtverců, jen obsahují kostky, čtvrté mocniny atd. ve druhé zóně. odpovídající čísla.

Tabulky čtverců, kostek, čtvrtých mocnin atd. umožňují extrahovat druhé odmocniny, krychlové odmocniny, čtvrté odmocniny atd. podle čísel v těchto tabulkách. Vysvětlíme si princip jejich použití při extrakci kořenů.

Řekněme, že potřebujeme extrahovat n-tou odmocninu čísla a, zatímco číslo a je obsaženo v tabulce n-tých mocnin. Pomocí této tabulky najdeme číslo b takové, že a=b n. Pak , proto číslo b bude požadovaným kořenem n-tého stupně.

Jako příklad si ukažme, jak pomocí tabulky krychlí extrahovat odmocninu z 19 683. V tabulce kostek najdeme číslo 19 683, z ní zjistíme, že toto číslo je kostkou čísla 27, tedy, .

Je jasné, že tabulky n-tých mocnin jsou pro extrakci odmocnin velmi vhodné. Často však nejsou po ruce a jejich sestavení vyžaduje určitý čas. Navíc je často nutné extrahovat odmocniny z čísel, která nejsou obsažena v odpovídajících tabulkách. V těchto případech se musíte uchýlit k jiným metodám extrakce kořenů.

Rozložení radikálního čísla na prvočinitele

Poměrně pohodlný způsob, jak extrahovat kořen přirozeného čísla (pokud je samozřejmě extrahován kořen), je rozložit radikálové číslo na prvočinitele. Jeho jde o to: poté je docela snadné jej reprezentovat jako mocninu s požadovaným exponentem, což vám umožní získat hodnotu odmocniny. Pojďme si tento bod ujasnit.

Nechť se vezme n-tá odmocnina přirozeného čísla a a jeho hodnota se rovná b. V tomto případě platí rovnost a=b n. Číslo b, jako každé přirozené číslo, může být reprezentováno jako součin všech jeho prvočinitelů p 1 , p 2 , …, p m ve tvaru p 1 ·p 2 ·…·p m a v tomto případě radikálového čísla a je reprezentováno jako (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Protože rozklad čísla na prvočinitele je jedinečný, bude mít rozklad radikálního čísla a na prvočinitele tvar (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, což umožňuje vypočítat hodnotu odmocniny. jako.

Všimněte si, že pokud rozklad radikálního čísla a na prvočinitele nemůže být reprezentován ve tvaru (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, pak n-tá odmocnina takového čísla a není úplně extrahována.

Pojďme na to při řešení příkladů.

Příklad.

Vezměte druhou odmocninu ze 144.

Řešení.

Pokud se podíváte na tabulku čtverců uvedenou v předchozím odstavci, můžete jasně vidět, že 144 = 12 2, z čehož je zřejmé, že druhá odmocnina ze 144 se rovná 12.

Ale ve světle tohoto bodu nás zajímá, jak se získává kořen rozkladem radikálního čísla 144 na prvočinitele. Podívejme se na toto řešení.

Pojďme se rozložit 144 k hlavním faktorům:

To znamená, 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Na základě výsledného rozkladu lze provést následující transformace: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Proto, .

Pomocí vlastností stupně a vlastností kořenů by se řešení dalo formulovat trochu jinak: .

Odpověď:

Pro konsolidaci materiálu zvažte řešení dalších dvou příkladů.

Příklad.

Vypočítejte hodnotu kořene.

Řešení.

Prvočíslo radikálového čísla 243 má tvar 243=3 5 . Tedy, .

Odpověď:

Příklad.

Je kořenová hodnota celé číslo?

Řešení.

Abychom na tuto otázku odpověděli, rozložme radikální číslo na prvočinitele a uvidíme, zda je lze reprezentovat jako třetí mocninu celého čísla.

Máme 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Výsledný rozvoj nemůže být reprezentován jako krychle celého čísla, protože mocnina prvočinitele 7 není násobkem tří. Krychlovou odmocninu 285 768 proto nelze extrahovat úplně.

Odpověď:

Žádný.

Získávání odmocnin ze zlomkových čísel

Je čas přijít na to, jak extrahovat odmocninu zlomkového čísla. Nechť zlomkové radikálové číslo zapíšeme jako p/q. Podle vlastnosti kořene kvocientu platí následující rovnost. Z této rovnosti vyplývá pravidlo pro extrakci kořene zlomku: Odmocnina zlomku se rovná podílu odmocniny čitatele děleného odmocninou jmenovatele.

Podívejme se na příklad extrahování kořene ze zlomku.

Příklad.

Jaká je druhá odmocnina běžného zlomku 25/169?

Řešení.

Pomocí tabulky druhých mocnin zjistíme, že druhá odmocnina v čitateli původního zlomku je rovna 5 a druhá odmocnina ve jmenovateli je rovna 13. Pak . Tím je těžba kořene běžné frakce 25/169 ukončena.

Odpověď:

Odmocnina desetinného zlomku nebo smíšeného čísla se extrahuje po nahrazení radikálových čísel obyčejnými zlomky.

Příklad.

Vezměte třetí odmocninu desetinného zlomku 474,552.

Řešení.

Představme si původní desetinný zlomek jako obyčejný zlomek: 474,552=474552/1000. Pak . Zbývá extrahovat krychlové odmocniny, které jsou v čitateli a jmenovateli výsledného zlomku. Protože 474 552 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 13 · 13 · 13 =(2 3 13) 3 = 78 3 a 1 000 = 10 3, pak A . Zbývá jen dokončit výpočty .

Odpověď:

.

Převzetí odmocniny ze záporného čísla

Vyplatí se pozastavit se u extrahování odmocnin ze záporných čísel. Když jsme studovali kořeny, řekli jsme, že když je kořenový exponent liché číslo, pak může být pod kořenem záporné číslo. Těmto položkám jsme dali následující význam: pro záporné číslo −a a lichý exponent odmocniny 2 n−1, . Tato rovnost dává pravidlo pro extrakci lichých kořenů ze záporných čísel: Chcete-li extrahovat odmocninu záporného čísla, musíte vzít odmocninu opačného kladného čísla a před výsledek umístit znaménko mínus.

Podívejme se na příklad řešení.

Příklad.

Najděte hodnotu kořene.

Řešení.

Transformujme původní výraz tak, aby pod znaménkem kořene bylo kladné číslo: . Nyní nahraďte smíšené číslo obyčejným zlomkem: . Aplikujeme pravidlo pro extrakci kořene obyčejného zlomku: . Zbývá vypočítat kořeny v čitateli a jmenovateli výsledného zlomku: .

Zde je krátké shrnutí řešení: .

Odpověď:

.

Bitové určení kořenové hodnoty

V obecném případě je pod odmocninou číslo, které při použití výše uvedených technik nemůže být reprezentováno jako n-tá mocnina žádného čísla. Ale v tomto případě je potřeba znát význam daného kořene, alespoň do určitého znaménka. V tomto případě můžete pro extrakci kořene použít algoritmus, který vám umožní postupně získat dostatečný počet číselných hodnot požadovaného čísla.

Prvním krokem tohoto algoritmu je zjistit, jaký je nejvýznamnější bit kořenové hodnoty. Za tímto účelem se čísla 0, 10, 100, ... postupně zvyšují na mocninu n až do okamžiku, kdy číslo překročí radikálové číslo. Potom číslo, které jsme v předchozí fázi zvýšili na mocninu n, bude označovat odpovídající nejvýznamnější číslici.

Zvažte například tento krok algoritmu při extrakci druhé odmocniny z pěti. Vezměte čísla 0, 10, 100, ... a odmocněte je, dokud nedostaneme číslo větší než 5. Máme 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, což znamená, že nejvýznamnější číslice budou jedničky. Hodnotu tohoto bitu, stejně jako nižších, zjistíme v dalších krocích algoritmu pro extrakci kořene.

Všechny následující kroky algoritmu jsou zaměřeny na sekvenční objasnění hodnoty kořene nalezením hodnot dalších bitů požadované hodnoty kořene, počínaje nejvyšší a přechodem k nejnižším. Například hodnota kořene v prvním kroku se ukáže jako 2, ve druhém 2,2, ve třetím 2,23 a tak dále 2,236067977…. Popišme, jak se nacházejí hodnoty číslic.

Číslice se najdou vyhledáním jejich možných hodnot 0, 1, 2, ..., 9. V tomto případě se paralelně počítají n-té mocniny odpovídajících čísel a porovnávají se s radikálním číslem. Pokud v určité fázi hodnota stupně překročí radikálové číslo, pak se hodnota číslice odpovídající předchozí hodnotě považuje za nalezenou, a pokud se tak nestane, dojde k přechodu k dalšímu kroku algoritmu pro extrakci kořene; pak je hodnota této číslice rovna 9.

Vysvětleme tyto body na stejném příkladu extrahování druhé odmocniny z pěti.

Nejprve zjistíme hodnotu číslice jednotky. Procházíme hodnoty 0, 1, 2, ..., 9, s výpočtem 0 2, 1 2, ..., 9 2, dokud nedostaneme hodnotu větší než radikálové číslo 5. Všechny tyto výpočty je vhodné prezentovat ve formě tabulky:

Takže hodnota číslice jednotky je 2 (od 2 2<5 , а 2 3 >5). Přejděme k hledání hodnoty desetinového místa. V tomto případě odmocníme čísla 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9 a porovnáme výsledné hodnoty s radikálním číslem 5:

Od 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, pak hodnota desetin místa je 2. Můžete přistoupit ke zjištění hodnoty setin místa:

Takto byla nalezena další hodnota odmocniny z pěti, je rovna 2,23. A tak můžete pokračovat v hledání hodnot: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Pro konsolidaci materiálu analyzujeme extrakci kořene s přesností na setiny pomocí uvažovaného algoritmu.

Nejprve určíme nejvýznamnější číslici. K tomu dáme krychli čísla 0, 10, 100 atd. dokud nedostaneme číslo větší než 2 151 186. Máme 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151 186 , takže nejvýznamnější číslice jsou desítky.

Pojďme určit jeho hodnotu.

Od 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, pak hodnota místa v desítkách je 1. Pojďme k jednotkám.

Hodnota jedniček je tedy 2. Přejdeme na desetiny.

Protože i 12,9 3 je méně než radikální číslo 2 151,186, je hodnota desetin místa 9. Zbývá provést poslední krok algoritmu, který nám dá hodnotu kořene s požadovanou přesností.

V této fázi se zjistí hodnota kořene s přesností na setiny: .

Na závěr tohoto článku bych chtěl říci, že existuje mnoho dalších způsobů, jak extrahovat kořeny. Ale pro většinu úkolů stačí ty, které jsme studovali výše.

Reference.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnice pro 8. ročník. vzdělávací instituce.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a další. Algebra a počátky analýzy: Učebnice pro 10. - 11. ročník všeobecně vzdělávacích institucí.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (příručka pro studenty technických škol).

Vstupní úroveň

Kořen a jeho vlastnosti. Podrobná teorie s příklady (2019)

Pokusme se zjistit, jaký druh konceptu je tento „kořen“ a „s čím se jí“. K tomu se podívejme na příklady, se kterými jste se již ve třídě setkali (no, nebo se s tím teprve setkáte).

Máme například rovnici. Jaké je řešení této rovnice? Jaká čísla lze odmocnit a získat? Když si zapamatujete násobilku, můžete snadno odpovědět: a (když se vynásobí dvě záporná čísla, získá se kladné číslo)! Pro zjednodušení zavedli matematici speciální pojem odmocniny a přiřadili jí speciální symbol.

Definujme aritmetickou druhou odmocninu.

Proč musí být číslo nezáporné? Čemu se například rovná? No, no, zkusíme vybrat jeden. Možná tři? Zkontrolujeme: , ne. Možná, ? Opět kontrolujeme: . No, nehodí se? To se dá očekávat – protože neexistují žádná čísla, která po umocnění dávají záporné číslo!
Toto si musíte zapamatovat: číslo nebo výraz pod kořenovým znaménkem musí být nezáporné!

Ti nejpozornější si však už asi všimli, že definice říká, že řešení odmocniny z „čísla se nazývá toto nezápornéčíslo, jehož druhá mocnina se rovná ". Někteří z vás si řeknou, že jsme se na začátku podívali na příklad, vybraná čísla, která lze odmocnit a dostat, odpověď byla a, ale tady mluvíme o jakémsi „nezáporném čísle“! Tato poznámka je zcela na místě. Zde stačí rozlišovat mezi pojmy kvadratických rovnic a aritmetickou druhou odmocninou čísla. Například není ekvivalentní s výrazem.

Z toho vyplývá, že, tedy popř. (Přečíst téma "")

A z toho plyne.

To je samozřejmě velmi matoucí, ale je nutné si uvědomit, že znaménka jsou výsledkem řešení rovnice, jelikož při řešení rovnice musíme zapsat všechna X, která po dosazení do původní rovnice dá správný výsledek. Oba a zapadají do naší kvadratické rovnice.

Pokud však prostě vezměte druhou odmocninu z něčeho, pak vždycky dostaneme jeden nezáporný výsledek.

Nyní zkuste vyřešit tuto rovnici. Všechno už není tak jednoduché a hladké, že? Zkus projít čísla, třeba něco vyjde? Začněme úplně od začátku - od nuly: - nehodí se, jdi dál - necelé tři, taky smeť stranou, co kdyby. Pojďme zkontrolovat: - také není vhodné, protože... to je víc než tři. Je to stejný příběh se zápornými čísly. Co bychom tedy nyní měli dělat? Opravdu nám hledání nic nedalo? Ani ne, teď už s jistotou víme, že odpovědí bude nějaké číslo mezi a, stejně jako mezi a. Řešení samozřejmě nebudou celá čísla. Navíc nejsou racionální. Tak co dál? Znázorníme funkci grafu a označme na ní řešení.

Zkusme oklamat systém a získat odpověď pomocí kalkulačky! Pojďme z toho dostat kořen! Oh-oh-oh, ukázalo se, že. Toto číslo nikdy nekončí. Jak si to můžeš pamatovat, když u zkoušky nebude kalkulačka!? Vše je velmi jednoduché, nemusíte si to pamatovat, stačí si zapamatovat (nebo umět rychle odhadnout) přibližnou hodnotu. a samotné odpovědi. Taková čísla se nazývají iracionální, aby se zjednodušil zápis takových čísel, že byl zaveden koncept odmocniny.

Podívejme se na další příklad, který to posílí. Podívejme se na následující problém: potřebujete přejet čtvercové pole o straně km úhlopříčně, kolik km musíte ujet?

Nejzřejmější věcí je uvažovat trojúhelník samostatně a použít Pythagorovu větu: . Tedy, . Jaká je zde tedy požadovaná vzdálenost? Je zřejmé, že vzdálenost nemůže být záporná, to jsme pochopili. Odmocnina dvou je přibližně stejná, ale jak jsme již uvedli, - je již úplná odpověď.

Chcete-li vyřešit příklady s kořeny bez způsobení problémů, musíte je vidět a rozpoznat. K tomu je potřeba znát alespoň druhé mocniny čísel od do a také je umět rozpoznat. Potřebujete například vědět, co se rovná čtverci, a také naopak, co se rovná čtverci.

Zachytili jste, co je to druhá odmocnina? Pak vyřešte pár příkladů.

Příklady.

No a jak to dopadlo? Nyní se podívejme na tyto příklady:

Odpovědi:

Třetí odmocnina

Zdá se, že jsme vyřešili koncept odmocniny, nyní zkusme zjistit, co je krychlová odmocnina a jaký je jejich rozdíl.

Odmocnina čísla je číslo, jehož třetí mocnina se rovná. Všimli jste si, že je zde vše mnohem jednodušší? Neexistují žádná omezení pro možné hodnoty jak hodnoty pod znaménkem odmocniny, tak extrahovaného čísla. To znamená, že odmocninu lze získat z libovolného čísla: .

Chápete, co je krychlový kořen a jak jej extrahovat? Pak pokračujte a řešte příklady.

Příklady.

Odpovědi:

Kořen - oh stupeň

Dobře, pochopili jsme pojmy druhé a krychlové odmocniny. Nyní shrňme poznatky získané pomocí konceptu 1. kořen.

1. kořenčísla je číslo, jehož mocnina je rovna, tzn.

ekvivalent.

Pokud - dokonce, To:

• s negativním, výraz nedává smysl (sudá odmocnina záporných čísel nelze odstranit!);
• pro nezáporné() výraz má jeden nezáporný kořen.

Pokud je - liché, pak má výraz jedinečný kořen pro libovolný.

Nelekejte se, platí zde stejné zásady jako u odmocniny a krychle. To znamená, že principy, které jsme použili při zvažování odmocnin, jsou rozšířeny na všechny odmocniny sudého stupně.

A vlastnosti, které byly použity pro krychlový kořen, platí pro kořeny lichého stupně.

No, už je to jasnější? Podívejme se na příklady:

Zde je vše víceméně jasné: nejprve se podíváme - ano, stupeň je sudý, číslo pod odmocninou je kladné, což znamená, že naším úkolem je najít číslo, jehož čtvrtá mocnina nám dá. No, nějaké dohady? Možná, ? Přesně!

Stupeň je tedy rovný - lichý, číslo pod odmocninou je záporné. Naším úkolem je najít číslo, které, když je umocněno, produkuje. Je poměrně obtížné okamžitě si všimnout kořene. Vyhledávání však můžete okamžitě zúžit, že? Za prvé, požadované číslo je určitě záporné a za druhé si lze všimnout, že je liché, a proto je požadované číslo liché. Pokuste se najít kořen. Samozřejmě to můžete klidně odmítnout. Možná, ?

Ano, to je to, co jsme hledali! Všimněte si, že pro zjednodušení výpočtu jsme použili vlastnosti stupňů: .

Základní vlastnosti kořenů

Je to jasné? Pokud ne, po zhlédnutí příkladů by vše mělo zapadnout na své místo.

Násobení kořenů

Jak množit kořeny? Nejjednodušší a nejzákladnější vlastnost pomáhá odpovědět na tuto otázku:

Začněme něčím jednoduchým:

Nejsou kořeny výsledných čísel přesně extrahovány? Žádný problém – zde je několik příkladů:

Co když nejsou dva, ale více násobitelů? To samé! Vzorec pro násobení kořenů pracuje s libovolným počtem faktorů:

Co s tím můžeme dělat? No, samozřejmě, schovejte trojku pod odmocninu a nezapomeňte, že trojka je odmocnina z!

Proč to potřebujeme? Ano, jen pro rozšíření našich možností při řešení příkladů:

Jak se vám líbí tato vlastnost kořenů? Hodně to usnadňuje život? Pro mě je to přesně tak! Jen si to musíte zapamatovat Můžeme zadat pouze kladná čísla pod kořenem sudého stupně.

Podívejme se, kde jinde to může být užitečné. Například problém vyžaduje porovnání dvou čísel:

A co víc:

nemůžete to říct hned. Dobře, použijeme vlastnost disassembled zadání čísla pod kořenový znak? Pak pokračujte:

S vědomím, že čím větší číslo pod kořenovým znakem, tím větší je samotný kořen! Tito. pokud tedy,. Z toho pevně usuzujeme. A nikdo nás nepřesvědčí o opaku!

Před tím jsme zadali násobitel pod znaménkem kořene, ale jak ho odstranit? Stačí to započítat do faktorů a extrahovat to, co extrahujete!

Bylo možné jít jinou cestou a rozšířit se o další faktory:

Není to špatné, že? Každý z těchto přístupů je správný, rozhodněte se, jak chcete.

Zde je například následující výraz:

V tomto příkladu je stupeň sudý, ale co když je lichý? Opět použijte vlastnosti exponentů a vše faktorujte:

S tím se zdá být vše jasné, ale jak extrahovat odmocninu čísla na mocninu? Zde je například toto:

Docela jednoduché, že? Co když je stupeň větší než dva? Postupujeme podle stejné logiky pomocí vlastností stupňů:

No, je vše jasné? Zde je příklad:

To jsou úskalí, o nich vždy stojí za zapamatování. To se ve skutečnosti odráží v příkladech nemovitostí:

pro liché: pro sudé a:

Je to jasné? Posílit příklady:

Jo, vidíme, že odmocnina je na sudou mocninu, záporné číslo pod odmocninou je také na sudou mocninu. No, vychází to stejně? Zde je co:

To je vše! Zde je několik příkladů:

rozumíš? Pak pokračujte a řešte příklady.

Příklady.

Odpovědi.

Pokud jste dostali odpovědi, můžete s klidem v duši pokračovat. Pokud ne, pojďme pochopit tyto příklady:

Podívejme se na dvě další vlastnosti kořenů:

Tyto vlastnosti je třeba analyzovat na příkladech. No, uděláme to?

rozumíš? Pojďme to zajistit.

Příklady.

Odpovědi.

KOŘENY A JEJICH VLASTNOSTI. STŘEDNÍ ÚROVEŇ

Aritmetická druhá odmocnina

Rovnice má dvě řešení: a. Jsou to čísla, jejichž druhá mocnina se rovná.

Zvažte rovnici. Pojďme to vyřešit graficky. Nakreslíme graf funkce a čáru na úrovni. Řešením budou průsečíky těchto čar. Vidíme, že tato rovnice má také dvě řešení - jedno kladné a druhé záporné:

Ale v tomto případě řešení nejsou celá čísla. Navíc nejsou racionální. Abychom si tato iracionální rozhodnutí zapsali, zavedeme speciální symbol odmocniny.

Aritmetická druhá odmocnina je nezáporné číslo, jehož druhá mocnina se rovná. Když výraz není definován, protože Neexistuje žádné číslo, jehož druhá mocnina se rovná zápornému číslu.

Druhá odmocnina: .

Například . A z toho vyplývá, že popř.

Dovolte mi ještě jednou upozornit, toto je velmi důležité: Druhá odmocnina je vždy nezáporné číslo: !

Třetí odmocninačísla je číslo, jehož třetí mocnina se rovná. Odmocnina krychle je definována pro každého. Lze jej extrahovat z libovolného čísla: . Jak vidíme, může nabývat i záporných hodnot.

Tá odmocnina čísla je číslo, jehož th mocnina je rovna, tzn.

Pokud je to sudé, pak:

• jestliže, pak tý kořen a není definován.
• jestliže, pak nezáporný kořen rovnice se nazývá aritmetický kořen tého stupně a je označen.

Pokud je - liché, pak má rovnice jedinečný kořen pro libovolný.

Všimli jste si, že vlevo nad znaménko kořene píšeme jeho stupeň? Ale ne pro druhou odmocninu! Pokud vidíte kořen bez stupně, znamená to, že je čtvercový (stupně).

Příklady.

Základní vlastnosti kořenů

KOŘENY A JEJICH VLASTNOSTI. KRÁTCE O HLAVNÍCH VĚCÍCH

Druhá odmocnina (aritmetická odmocnina) z nezáporného čísla se nazývá toto nezáporné číslo, jehož druhá mocnina je

Vlastnosti kořenů:

Aritmetický kořen druhého stupně

Definice 1

Druhá odmocnina (nebo druhá odmocnina) z $a$ zavolejte číslo, které se po umocnění rovná $a$.

Příklad 1

$7^2=7 \cdot 7=49$, což znamená, že číslo $7$ je 2. kořenem čísla $49$;

$0.9^2=0.9 \cdot 0.9=0.81$, což znamená, že číslo $0.9$ je 2. kořenem čísla $0.81$;

$1^2=1 \cdot 1=1$, což znamená, že číslo $1$ je 2. kořenem čísla $1$.

Poznámka 2

Jednoduše řečeno, pro libovolné číslo $a

$a=b^2$ pro záporné $a$ je nesprávné, protože $a=b^2$ nemůže být záporné pro žádnou hodnotu $b$.

Lze usuzovat, že pro reálná čísla nemůže být 2. odmocnina záporného čísla.

Poznámka 3

Protože $0^2=0 \cdot 0=0$, pak z definice vyplývá, že nula je 2. odmocnina nuly.

Definice 2

Aritmetický kořen 2. stupně čísla $a$($a \ge 0$) je nezáporné číslo, které se po umocnění rovná $a$.

Kořeny 2. stupně se také nazývají odmocniny.

Aritmetický kořen 2. stupně čísla $a$ je označen jako $\sqrt(a)$ nebo můžete vidět zápis $\sqrt(a)$. Ale nejčastěji je pro druhou odmocninu číslo $2$ kořenový exponent– neuvedeno. Znak „$\sqrt( )$“ je znakem aritmetického kořene 2. stupně, který se také nazývá „ radikální znamení" Pojmy „kořen“ a „radikální“ jsou názvy stejného objektu.

Pokud je pod aritmetickým kořenovým znaménkem číslo, pak je voláno radikální číslo a pokud výraz, pak – radikální výraz.

Záznam $\sqrt(8)$ se čte jako „aritmetický kořen 2. stupně z osmi“ a slovo „aritmetický“ se často nepoužívá.

Definice 3

Podle definice aritmetický kořen 2. stupně lze napsat:

Pro jakékoli $a \ge 0$:

$(\sqrt(a))^2=a$,

$\sqrt(a)\ge 0$.

Ukázali jsme rozdíl mezi druhou odmocninou a aritmetickou druhou odmocninou. Dále budeme uvažovat pouze kořeny nezáporných čísel a výrazů, tzn. pouze aritmetika.

Aritmetický kořen třetího stupně

Definice 4

Aritmetická odmocnina 3. stupně (nebo krychlová odmocnina) čísla $a$($a \ge 0$) je nezáporné číslo, které se při dělení na kostky rovná $a$.

Často se slovo aritmetika vynechává a říká se „3. odmocnina čísla $a$“.

Aritmetický kořen 3. stupně $a$ je označen jako $\sqrt(a)$, znak „$\sqrt( )$“ je znakem aritmetického kořene 3. stupně a číslo $3$ v tento zápis se nazývá kořenový index. Zavolá se číslo nebo výraz, který se objeví pod kořenovým znakem radikál.

Příklad 2

$\sqrt(3,5)$ – aritmetická odmocnina 3. stupně z $3,5$ nebo odmocnina z $3,5$;

$\sqrt(x+5)$ – aritmetická odmocnina 3. stupně z $x+5$ nebo odmocnina z $x+5$.

Aritmetický n-tý kořen

Definice 5

Aritmetický kořen n-tého stupně z čísla $a \ge 0$ je voláno nezáporné číslo, které, když je umocněno na $n$-tou, se rovná $a$.

Zápis pro aritmetický kořen stupně $n$ z $a \ge 0$:

kde $a$ je radikální číslo nebo výraz,

Vyřešme jednoduchý problém, jak najít stranu čtverce o ploše 9 cm 2. Pokud předpokládáme, že strana náměstí A cm, pak sestavíme rovnici podle podmínek úlohy:

A X A = 9

A2 = 9

A2-9 = 0

(A-3) (A+3)=0

A=3 nebo A=-3

Délka strany čtverce nemůže být záporné číslo, takže požadovaná strana čtverce je 3 cm.

Při řešení rovnice jsme našli čísla 3 a -3, jejichž druhé mocniny jsou 9. Každé z těchto čísel se nazývá odmocnina z čísla 9. Nezáporný z těchto kořenů, tedy číslo 3, se nazývá aritmetický kořen čísla.

Je celkem logické přijmout fakt, že odmocninu lze nalézt od čísel po třetí mocninu (odmocninu), čtvrtou mocninu a tak dále. A v principu je kořen inverzní operace umocňování.

Vykořenitn stupně z mezi α je takové číslo b, Kde b n = α .

Zde n- obvykle se volá přirozené číslo kořenový index(nebo stupeň kořene); zpravidla je větší nebo rovna 2, protože případ n = 1 otřepaný.

Označený na písmenu jako symbol (kořenový znak) na pravé straně se nazývá radikál. Číslo α - radikální výraz. Pro náš příklad s partou by řešení mohlo vypadat takto: protože (± 3) 2 = 9 .

Dostali jsme kladné a záporné hodnoty kořene. Tato funkce komplikuje výpočty. Pro dosažení jednoznačnosti byl představen koncept aritmetický kořen, jehož hodnota je vždy se znaménkem plus, tedy pouze kladná.

Vykořenit volal aritmetický, pokud je extrahováno z kladného čísla a je samo kladným číslem.

Například,

Existuje pouze jeden aritmetický kořen daného stupně z daného čísla.

Operace výpočtu se obvykle nazývá „ extrakce kořenů n stupně“ z řad α . V podstatě provádíme operaci inverzní k navýšení na mocninu, totiž nalezení základny mocniny b podle známého ukazatele n a výsledek povýšení k moci

α = mld. Kč

Kořeny druhého a třetího stupně se v praxi používají častěji než jiné, a proto dostaly zvláštní názvy.

Druhá odmocnina: V tomto případě je zvykem nepsat exponent 2 a výraz „odmocnina“ bez uvedení exponentu nejčastěji znamená druhou odmocninu. Geometricky interpretováno je délka strany čtverce, jehož plocha je rovna α .

Odmocnina krychle: Geometricky interpretovaná délka hrany krychle, jejíž objem je roven α .

Vlastnosti aritmetických kořenů.

1) Při výpočtu aritmetický kořen produktu, je nutné jej extrahovat z každého faktoru zvlášť

Například,

2) Pro výpočet kořen zlomku, je nutné jej vyjmout z čitatele a jmenovatele tohoto zlomku

Například,

3) Při výpočtu kořen stupně, je nutné vydělit exponent kořenovým exponentem

Například,

První výpočty související s extrakcí druhé odmocniny byly nalezeny v dílech matematiků starověkého Babylonu a Číny, Indie, Řecka (v pramenech nejsou žádné informace o úspěších starověkého Egypta v tomto ohledu).

Matematici starověkého Babylonu (2. tisíciletí př. n. l.) používali k extrakci druhé odmocniny speciální numerickou metodu. Počáteční aproximace pro druhou odmocninu byla nalezena na základě přirozeného čísla nejblíže odmocnině (v menším směru) n. Prezentace radikálního výrazu ve tvaru: a=n2+r, dostaneme: x 0 = n+r/2n, pak byl použit iterativní proces zpřesnění:

Iterace v této metodě konvergují velmi rychle. pro ,

Například, a=5; n=2; r = 1; x 0 = 9/4 = 2,25 a dostaneme posloupnost aproximací:

V konečné hodnotě jsou všechny číslice správné kromě poslední.

Řekové formulovali problém zdvojnásobení krychle, který se scvrkl na konstrukci krychle pomocí kružítka a pravítka. Pravidla pro výpočet jakéhokoli stupně celého čísla studovali matematici v Indii a arabských státech. Poté byly široce rozvinuty ve středověké Evropě.

Dnes jsou kalkulačky široce používány pro pohodlí při výpočtu odmocniny a krychle.