Určete hodnost matice pomocí metody elementárních transformací. Pojem matice hodnosti

Dáme nějakou matici:

.

Vyberme v této matici libovolné řetězce a libovolné sloupce
. Pak determinant řádu, složeného z maticových prvků
, který se nachází na průsečíku vybraných řádků a sloupců, se nazývá vedlejší matice řádu
.

Definice 1.13. Hodnost matice
je největší řád nenulové minority této matice.

Chcete-li vypočítat hodnost matice, měli byste vzít v úvahu všechny její minoritní kategorie nejnižšího řádu, a pokud se alespoň jedna z nich liší od nuly, přistoupit k uvažování minoritních skupin nejvyššího řádu. Tento přístup k určení hodnosti matice se nazývá metoda ohraničení (nebo metoda ohraničení nezletilých).

Problém 1.4. Pomocí metody ohraničení nezletilých určete hodnost matice
.

.

Zvažte lemování prvního řádu, např.
. Pak přejdeme k uvažování o nějakém lemování druhého řádu.

Například,
.

Nakonec analyzujme ohraničení třetího řádu.

.

Takže nejvyšší řád nenulové minory je 2, tedy
.

Při řešení problému 1.4 si můžete všimnout, že počet nezletilých hraničících druhého řádu je nenulový. V tomto ohledu platí následující koncept.

Definice 1.14. Základní minor matice je jakákoliv nenulová minorita, jejíž pořadí se rovná hodnosti matice.

Věta 1.2.(Základní vedlejší věta). Základní řádky (základní sloupce) jsou lineárně nezávislé.

Všimněte si, že řádky (sloupce) matice jsou lineárně závislé právě tehdy, pokud alespoň jeden z nich může být reprezentován jako lineární kombinace ostatních.

Věta 1.3. Počet lineárně nezávislých řádků matice je roven počtu lineárně nezávislých sloupců matice a je roven pořadí matice.

Věta 1.4.(Nezbytná a postačující podmínka, aby se determinant rovnal nule). V pořadí pro determinant -tý řád byl roven nule, je nutné a postačující, aby jeho řádky (sloupce) byly lineárně závislé.

Výpočet hodnosti matice na základě její definice je příliš těžkopádný. To se stává zvláště důležité pro matice vysokých řádů. V tomto ohledu je v praxi hodnost matice vypočítávána na základě aplikace vět 10.2 - 10.4, stejně jako použití konceptů maticové ekvivalence a elementárních transformací.

Definice 1.15. Dvě matrice
A se nazývají ekvivalentní, pokud jsou jejich hodnosti stejné, tzn.
.

Pokud matrice
A jsou ekvivalentní, pak pozn
 .

Věta 1.5. Pořadí matice se nemění v důsledku elementárních transformací.

Budeme nazývat elementární maticové transformace
kteroukoli z následujících operací na matici:

Nahrazení řádků sloupci a sloupců odpovídajícími řádky;

Změna uspořádání řádků matice;

Přeškrtnutí řádku, jehož prvky jsou všechny nulové;

Násobení řetězce číslem jiným než nula;

Přičtení k prvkům jednoho řádku odpovídající prvky jiného řádku vynásobené stejným číslem
.

Důsledek věty 1.5. Pokud matice
získané z matrice pomocí konečného počtu elementárních transformací, pak matice
A jsou ekvivalentní.

Při výpočtu hodnosti matice by měla být redukována na lichoběžníkový tvar pomocí konečného počtu elementárních transformací.

Definice 1.16. Lichoběžníkovou formu zobrazení matice budeme nazývat, když v hraničním mollu nejvyššího řádu jiného než nula zmizí všechny prvky pod diagonálními. Například:

.

Zde
, maticové prvky
jít na nulu. Potom bude forma zobrazení takové matice lichoběžníková.

Matice jsou zpravidla redukovány do lichoběžníkového tvaru pomocí Gaussova algoritmu. Myšlenka Gaussova algoritmu spočívá v tom, že vynásobením prvků prvního řádku matice odpovídajícími faktory se dosáhne toho, že všechny prvky prvního sloupce umístěné pod prvkem
, změní se na nulu. Poté vynásobením prvků druhého sloupce odpovídajícími faktory zajistíme, aby všechny prvky druhého sloupce umístěné pod prvkem
, změní se na nulu. Poté postupujte stejným způsobem.

Problém 1.5. Určete hodnost matice jejím zmenšením do lichoběžníkového tvaru.

.

Pro snazší použití Gaussova algoritmu můžete zaměnit první a třetí řádek.








.

Je zřejmé, že zde
. Chcete-li však výsledek přivést do elegantnější podoby, můžete dále pokračovat v transformaci sloupců.










.

Určení hodnosti matice

Uvažujme matici \(A\) typu \((m,n)\). Nechť pro jistotu \(m \leq n\). Vezmeme \(m\) řádků a vybereme \(m\) sloupce matice \(A\), na průsečíku těchto řádků a sloupců dostaneme čtvercovou matici řádu \(m\), jejíž determinant se nazývá menší objednávka \(m\) matice \(A\). Je-li tato minorita odlišná od 0, je volána základní moll a říkají, že hodnost matice \(A\) je rovna \(m\). Pokud je tento determinant roven 0, pak jsou vybrány další sloupce \(m\) v jejich průsečíku jsou prvky, které tvoří další moll řádu \(m\). Pokud je vedlejší 0, pokračujeme v postupu. Pokud mezi všemi možnými minoritami řádu \(m\) nejsou žádné nenulové, vybereme \(m-1\) řádky a sloupce z matice \(A\), v jejich průsečíku čtvercovou matici řádu \(m- 1\) se objeví , jeho determinant se nazývá moll řádu \(m-1\) původní matice. Pokračujeme v postupu a hledáme nenulového nezletilého, procházíme všechny možné nezletilé a snižujeme jejich pořadí.

Definice.

Volá se nenulová moll dané matice nejvyššího řádu základní moll původní matice se nazývá její řád pořadí matice \(A\), řádky a sloupce, na jejichž průsečíku je základový moll, se nazývají základové řádky a sloupce. Hodnost matice je označena \(rang(A)\).

Z této definice vyplývají jednoduché vlastnosti hodnosti matice: je to celé číslo a hodnost nenulové matice splňuje nerovnosti: \(1 \leq rank(A) \leq \min(m,n)\ ).

Jak se změní pořadí matice, pokud je řádek smazán? Přidat nějaký řádek?

Zkontrolujte odpověď

1) Pořadí se může snížit o 1.

2) Hodnost se může zvýšit o 1.

Lineární závislost a lineární nezávislost sloupců matice

Nechť \(A\) je matice typu \((m,n)\). Uvažujme sloupce matice \(A\) - jedná se o sloupce s čísly \(m\). Označme je \(A_1,A_2,...,A_n\). Nechť \(c_1,c_2,...,c_n\) jsou nějaká čísla.

Definice.

Sloupec \[ D=c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n = \sum _(m=1)^nc_mA_m \] se nazývá lineární kombinace sloupců \(A_1,A_2,...,A_n\), čísel \( c_1,c_2 ,...,c_n\) se nazývají koeficienty této lineární kombinace.

Definice.

Nechť jsou dány \(p\) sloupce \(A_1, A_2, ..., A_p\). Pokud existují čísla \(c_1,c_2,...,c_p\) taková, že

1. ne všechna tato čísla se rovnají nule,

2. lineární kombinace \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_pA_p =\sum _(m=1)^pc_mA_m\) se rovná nulovému sloupci (tj. sloupci, jehož všechny prvky jsou nuly), pak říkáme, že sloupce \( A_1, A_2, ..., A_p\) jsou lineárně závislé. Pokud pro danou množinu sloupců taková čísla \(c_1,c_2,...,c_n\) neexistují, sloupce se nazývají lineárně nezávislé.

Příklad. Zvažte 2 sloupce

\[ A_1=\left(\begin(pole)(c) 1 \\ 0 \end(pole) \right), A_2=\left(\begin(pole)(c) 0 \\ 1 \end(pole) \right), \] pak pro libovolná čísla \(c_1,c_2\) máme: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left(\begin(pole)(c) 1 \\ 0 \end(pole) \right) + c_2\left(\begin(pole)(c) 0 \\ 1 \end(pole) \right)=\left(\begin(array)(c) c_1 \\ c_2 \end(pole) \right). \]

Tato lineární kombinace je rovna nulovému sloupci právě tehdy, když jsou obě čísla \(c_1,c_2\) rovna nule. Tyto sloupce jsou tedy lineárně nezávislé.

Prohlášení. Aby byly sloupce lineárně závislé, je nutné a postačující, aby jeden z nich byl lineární kombinací ostatních.

Nechť jsou sloupce \(A_1,A_2,...,A_m\) lineárně závislé, tzn. pro některé konstanty \(\lambda _1, \lambda _2,...,\lambda _m\), z nichž všechny nejsou rovny 0, platí: \[ \sum _(k=1)^m\lambda _kA_k=0 \ ] (na pravé straně je nulový sloupec). Nechť například \(\lambda _1 \neq 0\). Potom \[ A_1=\sum _(k=2)^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] tzn. první sloupec je lineární kombinací ostatních.

Základní vedlejší věta

Teorém.

Pro jakoukoli nenulovou matici \(A\) platí následující:

1. Základní sloupce jsou lineárně nezávislé.

2. Libovolný sloupec matice je lineární kombinací svých základních sloupců.

(Totéž platí pro struny).

Nechť pro jednoznačnost \((m,n)\) je typ matice \(A\), \(rang(A)=r \leq n\) a základ minor se nachází v prvním \(r \) matice řádků a sloupců \(A\). Nechť \(s\) je libovolné číslo mezi 1 a \(m\), \(k\) je libovolné číslo mezi 1 a \(n\). Uvažujme menší z následujícího tvaru: \[ D=\left| \begin(pole)(ccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & a_(1s) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2r) & a_(2s) \\ \dots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(r1) & a_(r2) & \ldots & a_(rr) & a_(rs) \\ a_(k1) & a_(k2) & \ldots & a_(kr) & a_(ks) \\ \end(pole) \right| , \] tj. K základu moll jsme přiřadili \(s-\)-tý sloupec a \(k-\)-tý řádek. Podle definice hodnosti matice je tento determinant roven nule (pokud zvolíme \(s\leq r\) nebo \(k \leq r\), pak má tato minorita 2 stejné sloupce nebo 2 stejné řádky, pokud \(s>r\) a \(k>r\) - podle definice hodnosti se minorita o velikosti větší než \(r\) stane nulou). Rozšiřme tento determinant podél posledního řádku, dostaneme: \[ a_(k1)A_(k1)+a_(k2)A_(k2)+....+a_(kr)A_(kr)+a_(ks) A_(ks)=0. \quad \quad(16) \]

Zde čísla \(A_(kp)\) jsou algebraické doplňky prvků ze spodního řádku \(D\). Jejich hodnoty nezávisí na \(k\), protože jsou tvořeny pomocí prvků z prvních \(r\) řádků. V tomto případě je hodnota \(A_(ks)\) základní moll, odlišná od 0. Označme \(A_(k1)=c_1,A_(k2)=c_2,...,A_(ks) =c_s \neq 0 \). Přepišme (16) do nového zápisu: \[ c_1a_(k1)+c_2a_(k2)+...+c_ra_(kr)+c_sa_(ks)=0, \] nebo, děleno \(c_s\), \[ a_(ks)=\lambda_1a_(k1)+\lambda_2a_(k2)+...+\lambda_ra_(kr), \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] Tato rovnost platí pro jakoukoli hodnotu \(k\), takže \[ a_(1s)=\lambda_1a_(11)+\lambda_2a_(12)+...+\lambda_ra_(1r), \] \[ a_ (2s)=\lambda_1a_(21)+\lambda_2a_(22)+...+\lambda_ra_(2r), \] \[ ................... .. ................................... \] \[ a_(ms)=\lambda_1a_( m1) +\lambda_2a_(m2)+...+\lambda_ra_(mr). \] Takže \(s-\)-tý sloupec je lineární kombinací prvních \(r\) sloupců. Věta byla prokázána.

Komentář.

Ze základní vedlejší věty vyplývá, že hodnost matice je rovna počtu jejích lineárně nezávislých sloupců (což se rovná počtu lineárně nezávislých řádků).

Důsledek 1.

Pokud je determinant nula, pak má sloupec, který je lineární kombinací ostatních sloupců.

Důsledek 2.

Pokud je hodnost matice menší než počet sloupců, pak jsou sloupce matice lineárně závislé.

Výpočet hodnosti matice a nalezení základu minor

Některé transformace matice nemění její pořadí. Takové transformace lze nazvat elementárními. Odpovídající fakta lze snadno ověřit pomocí vlastností determinantů a určení hodnosti matice.

1. Přeskupení sloupců.

2. Násobení prvků libovolného sloupce nenulovým faktorem.

3. Přidání libovolného dalšího sloupce do sloupce vynásobeného libovolným číslem.

4. Přeškrtněte nulový sloupec.

Totéž platí pro struny.

Pomocí těchto transformací lze matici převést do tzv. „lichoběžníkového“ tvaru – matice, která má pod hlavní diagonálou pouze nuly. Pro "lichoběžníkovou" matici je pořadím počet nenulových prvků na hlavní diagonále a základ minor je menší, jejíž úhlopříčka se shoduje s množinou nenulových prvků na hlavní diagonále transformované matice.

Příklad. Zvažte matrici

\[ A=\left(\begin(pole)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(pole) \vpravo).

\] Transformujeme jej pomocí výše uvedených transformací.

\[ A=\left(\begin(pole)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(pole) \right) \mapsto \left(\begin(pole)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end(pole) \vpravo) \mapsto \left(\začátek(pole)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \end(pole) \vpravo) \mapsto \] \[ \left(\begin(pole)(cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(pole) \right)\mapsto \left(\begin(pole)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end(pole)\vpravo).

\] Zde postupně provedeme následující kroky: 1) přeskupte druhý řádek nahoru, 2) odečtěte první řádek od zbytku vhodným faktorem, 3) odečtěte druhý řádek od třetího 4krát, přidejte druhý řádek k čtvrtý, 4) přeškrtněte nulové řádky - třetí a čtvrtý . Naše finální matice získala požadovaný tvar: na hlavní diagonále jsou nenulová čísla a pod hlavní diagonálou nuly. Poté se procedura zastaví a počet nenulových prvků na hlavní diagonále se rovná hodnosti matice. Základní moll jsou první dva řádky a první dva sloupce. V jejich průsečíku je matice řádu 2 s nenulovým determinantem. Zároveň lze při návratu po řetězci transformací vysledovat, odkud se vzal ten či onen řádek (ten či onen sloupec) ve finální matici, tzn. určit základní řádky a sloupce v původní matici. V tomto případě tvoří první dva řádky a první dva sloupce základ minor.

Pro práci s pojmem maticová hodnost budeme potřebovat informace z tématu "Algebraické doplňky a vedlejší. Druhy vedlejších a algebraických doplňků." Především jde o pojem „matrix minor“, jelikož hodnost matice určíme právě přes nezletilé. Hodnost matice

Pojďme si to vysvětlit podrobněji. Předpokládejme, že mezi nezletilými druhého řádu je alespoň jeden jiný než nula. A všichni nezletilí, jejichž pořadí je vyšší než dva, se rovnají nule. Závěr: hodnost matice je 2 Nebo například mezi nezletilými desátého řádu je alespoň jedna, která se nerovná nule. A všichni nezletilí, jejichž pořadí je vyšší než 10, se rovnají nule. Závěr: hodnost matice je 10.

Hodnost matice $A$ je označena následovně: $\rang A$ nebo $r(A)$. Hodnost nulové matice $O$ se předpokládá nulová, $\rang O=0$. Dovolte mi připomenout, že pro vytvoření matice minor je třeba proškrtnout řádky a sloupce, ale nelze vyškrtnout více řádků a sloupců, než obsahuje matice samotná. Pokud má například matice $F$ velikost $5\krát 4$ (tj. obsahuje 5 řádků a 4 sloupce), pak je maximální pořadí jejích vedlejších hodnot čtyři. Již nebude možné tvořit nezletilé pátého řádu, protože budou vyžadovat 5 sloupců (a my máme jen 4). To znamená, že hodnost matice $F$ nemůže být větší než čtyři, tzn. $\rang F≤4$.

V obecnější podobě výše uvedené znamená, že pokud matice obsahuje $m$ řádků a $n$ sloupců, pak její pořadí nemůže překročit nejmenší z $m$ a $n$, tj. $\rang A≤\min(m,n)$.

V zásadě ze samotné definice hodnosti vyplývá způsob jejího zjištění. Proces hledání hodnosti matice lze podle definice schematicky znázornit takto:

Dovolte mi vysvětlit tento diagram podrobněji. Začněme uvažovat úplně od začátku, tzn. od nezletilých prvního řádu nějaké matice $A$.

1. Pokud jsou všechny nezletilé 1. řádu (tj. prvky matice $A$) rovny nule, pak $\rang A=0$. Pokud je mezi nezletilými prvního řádu alespoň jeden, který se nerovná nule, pak $\rang A≥ 1$. Přejděme ke kontrole nezletilých druhého řádu.
2. Pokud jsou všichni nezletilí druhého řádu rovni nule, pak $\rang A=1$. Pokud je mezi nezletilými 2. řádu alespoň jeden, který se nerovná nule, pak $\rang A≥ 2$. Přejděme ke kontrole nezletilých třetího řádu.
3. Pokud jsou všichni nezletilí třetího řádu rovni nule, pak $\rang A=2$. Pokud je mezi nezletilými třetího řádu alespoň jeden, který se nerovná nule, pak $\rang A≥ 3$. Přejděme ke kontrole nezletilých čtvrtého řádu.
4. Pokud jsou všichni nezletilí čtvrtého řádu rovni nule, pak $\rang A=3$. Pokud je mezi nezletilými čtvrtého řádu alespoň jeden, který se nerovná nule, pak $\rang A≥ 4$. Přejdeme ke kontrole nezletilých pátého řádu a tak dále.

Co nás čeká na konci této procedury? Je možné, že mezi nezletilými k-tého řádu bude alespoň jeden, který se bude lišit od nuly, a všichni (k+1) nezletilí řádu se budou rovnat nule. To znamená, že k je maximální řád nezletilých, mezi nimiž je alespoň jeden, který není roven nule, tzn. hodnost se bude rovnat k. Může nastat jiná situace: mezi nezletilými k. řádu bude alespoň jeden, který se nebude rovnat nule, ale již nebude možné tvořit (k+1) nezletilé. V tomto případě je hodnost matice také rovna k. zkrátka pořadí posledního složeného nenulového vedlejšího se bude rovnat hodnosti matice.

Přejděme k příkladům, ve kterých bude proces hledání hodnosti matice z definice jasně ilustrován. Ještě jednou zdůrazňuji, že v příkladech tohoto tématu začneme hledat hodnost matic pouze pomocí definice hodnosti. Další metody (výpočet hodnosti matice metodou ohraničení nezletilých, výpočet hodnosti matice metodou elementárních transformací) jsou diskutovány v následujících tématech.

Mimochodem, není vůbec nutné zahajovat postup zjišťování hodnosti u nezletilých nejmenšího řádu, jak tomu bylo v příkladech č. 1 a č. 2. Ihned můžete přejít k nezletilým vyšších řádů (viz příklad č. 3).

Příklad č. 1

Najděte pořadí matice $A=\left(\begin(pole)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(pole) \vpravo)$.

Tato matice má velikost $3\krát 5$, tzn. obsahuje tři řádky a pět sloupců. Z čísel 3 a 5 je minimum 3, proto hodnost matice $A$ není větší než 3, tzn. $\rang A≤ 3 $. A tato nerovnost je zřejmá, protože už nebudeme moci tvořit nezletilé čtvrtého řádu - vyžadují 4 řádky a my máme jen 3. Přejděme přímo k procesu hledání hodnosti dané matice.

Mezi vedlejšími 1. řádu (tedy mezi prvky matice $A$) jsou nenulové jedničky. Například 5, -3, 2, 7. Obecně nás celkový počet nenulových prvků nezajímá. Je tam alespoň jeden nenulový prvek – a to stačí. Protože mezi nezletilými prvního řádu je alespoň jeden nenulový, dojdeme k závěru, že $\rang A≥ 1$ a přistoupíme ke kontrole nezletilých druhého řádu.

Začněme zkoumat nezletilé druhého řádu. Například na průsečíku řádků č. 1, č. 2 a sloupců č. 1, č. 4 jsou prvky následujícího vedlejšího: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(pole) \vpravo|. U tohoto determinantu jsou všechny prvky druhého sloupce rovny nule, proto je samotný determinant roven nule, tzn. $\left|\begin(pole)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(pole) \right|=0$ (viz vlastnost č. 3 v tématu vlastnosti determinantů). Nebo můžete tento determinant jednoduše vypočítat pomocí vzorce č. 1 z části o výpočtu determinantů druhého a třetího řádu:

$$ \left|\begin(pole)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(pole) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

První moll druhého řádu, který jsme testovali, se ukázal být rovný nule. Co to znamená? O nutnosti další kontroly nezletilých druhého řádu. Buď budou všechny nulové (a pak se hodnost rovná 1), nebo mezi nimi bude alespoň jeden nezletilý, který se liší od nuly. Zkusme si lépe vybrat tak, že napíšeme moll 2. řádu, jehož prvky se nacházejí na průsečíku řádků č. 1, č. 2 a sloupců č. 1 a č. 5: $\left|\begin( pole)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(pole) \right|$. Pojďme zjistit hodnotu tohoto minoru druhého řádu:

$$ \left|\begin(pole)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(pole) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Tato minorita se nerovná nule. Závěr: mezi nezletilými druhého řádu je alespoň jeden jiný než nula. Proto $\rang A≥ 2$. Musíme přejít ke studiu nezletilých dětí třetího řádu.

Zvolíme-li sloupec č. 2 nebo sloupec č. 4 pro vytvoření nezletilých 3. řádu, pak se tyto nezletilé budou rovnat nule (protože budou obsahovat nulový sloupec). Zbývá zkontrolovat pouze jeden moll třetího řádu, jehož prvky jsou umístěny na průsečíku sloupců č. 1, č. 3, č. 5 a řad č. 1, č. 2, č. 3. Zapišme si tuto drobnost a zjistěme její hodnotu:

$$ \left|\begin(pole)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(pole) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Takže všichni nezletilí třetího řádu jsou rovni nule. Poslední nenulový moll, který jsme sestavili, byl druhého řádu. Závěr: maximální pořadí nezletilých, mezi nimiž je alespoň jeden nenulový, je 2. Proto $\rang A=2$.

Odpověď: $\rang A=2$.

Příklad č. 2

Najděte pořadí matice $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(pole) \vpravo)$.

Máme čtvercovou matici čtvrtého řádu. Hned poznamenejme, že hodnost této matice nepřesahuje 4, tzn. $\rang A≤ 4 $. Začněme hledat hodnost matice.

Mezi nezletilými prvního řádu (tj. mezi prvky matice $A$) je alespoň jeden, který není roven nule, proto $\rang A≥ 1$. Přejděme ke kontrole nezletilých druhého řádu. Například na průsečíku řádků č. 2, č. 3 a sloupců č. 1 a č. 2 získáme následující moll 2. řádu: $\left| \begin(pole) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(pole) \right|$. Pojďme si to spočítat:

$$\left| \begin(pole) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(pole) \right|=0-10=-10. $$

Mezi nezletilými druhého řádu je alespoň jeden, který se nerovná nule, takže $\rang A≥ 2$.

Přejděme k nezletilým osobám třetího řádu. Najdeme např. nezletilého, jehož prvky jsou umístěny na průsečíku řad č. 1, č. 3, č. 4 a sloupců č. 1, č. 2, č. 4:

$$\left | \begin(pole) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(pole) \right|=105-105=0. $$

Vzhledem k tomu, že tento minor třetího řádu se ukázal být roven nule, je nutné prošetřit další minor třetího řádu. Buď se všechny budou rovnat nule (pak bude hodnost rovna 2), nebo mezi nimi bude alespoň jeden, který se nebude rovnat nule (pak začneme studovat nezletilé čtvrtého řádu). Uvažujme moll třetího řádu, jehož prvky se nacházejí na průsečíku řad č. 2, č. 3, č. 4 a sloupců č. 2, č. 3, č. 4:

$$\left| \begin(pole) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(pole) \right|=-28. $$

Mezi nezletilými třetího řádu je alespoň jeden nenulový, takže $\rang A≥ 3$. Přejděme ke kontrole nezletilých čtvrtého řádu.

Libovolný moll čtvrtého řádu se nachází v průsečíku čtyř řádků a čtyř sloupců matice $A$. Jinými slovy, moll čtvrtého řádu je determinantem matice $A$, protože tato matice obsahuje 4 řádky a 4 sloupce. Determinant této matice byl vypočten v příkladu č. 2 tématu „Snížení pořadí determinantu v řádku (sloupci)“, takže vezměme si hotový výsledek:

$$\left| \začátek(pole) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (pole)\vpravo|=86. $$

Takže moll čtvrtého řádu se nerovná nule. Již nemůžeme tvořit nezletilé pátého řádu. Závěr: nejvyšší pořadí nezletilých, mezi nimiž je alespoň jeden nenulový, je 4. Výsledek: $\rang A=4$.

Odpověď: $\rang A=4$.

Příklad č. 3

Najděte pořadí matice $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( pole) \right)$.

Okamžitě si všimněme, že tato matice obsahuje 3 řádky a 4 sloupce, takže $\rang A≤ 3$. V předchozích příkladech jsme začali proces hledání hodnosti uvažováním nezletilých nejmenšího (prvního) řádu. Zde se pokusíme okamžitě zkontrolovat nezletilé nejvyššího možného řádu. Pro matici $A$ jsou to nezletilí třetího řádu. Uvažujme moll třetího řádu, jehož prvky leží na průsečíku řad č. 1, č. 2, č. 3 a sloupců č. 2, č. 3, č. 4:

$$\left| \begin(pole) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(pole) \right|=-8-60-20=-88. $$

Takže nejvyšší řád nezletilých, mezi nimiž je alespoň jeden, který se nerovná nule, je 3. Hodnost matice je tedy 3, tzn. $\rang A=3$.

Odpověď: $\rang A=3$.

Obecně platí, že nalezení úrovně matice podle definice je v obecném případě poměrně pracný úkol. Například relativně malá matice o velikosti $5\krát 4$ má 60 nezletilých druhého řádu. A i když se 59 z nich rovná nule, pak se 60. moll může ukázat jako nenulový. Pak budete muset studovat nezletilé třetího řádu, kterých má tato matrice 40 kusů. Obvykle se snaží používat méně těžkopádné metody, jako je metoda ohraničení nezletilých nebo metoda ekvivalentních transformací.

Definice. Hodnost matice je maximální počet lineárně nezávislých řádků považovaných za vektory.

Věta 1 o hodnosti matice. Hodnost matice se nazývá maximální řád nenulové minority matice.

Pojem moll jsme již probírali v lekci o determinantech, ale nyní jej zobecníme. Vezměme v matici určitý počet řádků a určitý počet sloupců a toto „něco“ by mělo být menší než počet řádků a sloupců matice a pro řádky a sloupce by toto „něco“ mělo být stejné číslo. . Potom na průsečíku toho, kolik řádků a kolik sloupců bude matice nižšího řádu, než je naše původní matice. Determinant je matice a bude vedlejší k-tého řádu, pokud zmíněné „nějaké“ (počet řádků a sloupců) označíme k.

Definice. Menší ( r+1) řád, ve kterém leží vybraný nezletilý r-tý řád se pro danou nezletilou nazývá hraniční.

Nejčastěji se používají dvě metody zjištění hodnosti matice. Tento způsob hranic nezletilých A metoda elementárních transformací(Gaussova metoda).

Při použití metody ohraničení minors se používá následující věta.

Věta 2 o hodnosti matice. Pokud lze z maticových prvků skládat moll rřádu, nerovná se nule, pak se hodnost matice rovná r.

Při použití metody elementární transformace se používá následující vlastnost:

Pokud se pomocí elementárních transformací získá lichoběžníková matice, která je ekvivalentní té původní, pak hodnost této matice je počet řádků v něm jiných než řádků sestávajících výhradně z nul.

Zjištění hodnosti matice metodou ohraničení nezletilých

Ohraničující moll je moll vyššího řádu vzhledem k danému, pokud tento moll vyššího řádu obsahuje danou moll.

Například vzhledem k matici

Vezměme si nezletilého

Ohraničující nezletilí budou:

Algoritmus pro zjištění hodnosti matice další.

1. Najděte nezletilé druhého řádu, které se nerovnají nule. Pokud jsou všichni nezletilí druhého řádu rovni nule, pak bude hodnost matice rovna jedné ( r =1 ).

2. Pokud existuje alespoň jeden moll druhého řádu, který není roven nule, pak skládáme hraniční molly třetího řádu. Pokud jsou všechny hraničící nezletilé třetího řádu rovny nule, pak se hodnost matice rovná dvěma ( r =2 ).

3. Pokud alespoň jeden z hraničních nezletilých třetího řádu není roven nule, pak skládáme hraniční nezletilé. Pokud jsou všechny hraniční nezletilé čtvrtého řádu rovny nule, pak se hodnost matice rovná třem ( r =2 ).

4. Takto pokračujte, dokud to velikost matice dovolí.

Příklad 1. Najděte hodnost matice

.

Řešení. Minor druhého řádu .

Pojďme to ohraničit. Budou tam čtyři sousedící nezletilí:

,

,

Všichni hraniční nezletilí třetího řádu se tedy rovnají nule, proto se hodnost této matice rovná dvěma ( r =2 ).

Příklad 2 Najděte hodnost matice

Řešení. Hodnost této matice je rovna 1, protože všichni nezletilí druhého řádu této matice jsou rovni nule (v tomto, stejně jako v případech hraničních nezletilých ve dvou následujících příkladech, jsou milí studenti vyzváni, aby si ověřili sami, možná používající pravidla pro výpočet determinantů), a mezi minoritními 1. řádu, tedy mezi prvky matice, jsou nenulové jedničky.

Příklad 3 Najděte hodnost matice

Řešení. Druhý řád této matice je a všechny minoritní třetí řády této matice jsou rovny nule. Proto je hodnost této matice dvě.

Příklad 4. Najděte hodnost matice

Řešení. Hodnost této matice je 3, protože jediná vedlejší matice třetího řádu je 3.

Zjištění hodnosti matice metodou elementárních transformací (Gaussova metoda)

Již z příkladu 1 je zřejmé, že úloha určení hodnosti matice metodou ohraničení nezletilých vyžaduje výpočet velkého počtu determinantů. Existuje však způsob, jak snížit objem výpočtů na minimum. Tato metoda je založena na použití elementárních maticových transformací a nazývá se také Gaussova metoda.

Následující operace jsou chápány jako elementární maticové transformace:

1) vynásobení libovolného řádku nebo sloupce matice číslem jiným než nula;

2) přidání odpovídajících prvků jiného řádku nebo sloupce k prvkům libovolného řádku nebo sloupce matice, vynásobené stejným číslem;

3) prohození dvou řádků nebo sloupců matice;

4) odstranění „nulových“ řádků, tedy těch, jejichž prvky jsou všechny rovny nule;

5) smazání všech proporcionálních čar kromě jedné.

Teorém. Během elementární transformace se hodnost matice nemění. Jinými slovy, pokud použijeme elementární transformace z matice Ašel do matrice B, To .

Nechť A je matice velikostí m\krát n a k je přirozené číslo nepřesahující ma n: k\leqslant\min\(m;n\). Vedlejší k-tý řád matice A je determinant matice k-tého řádu tvořené prvky v průsečíku libovolně zvolených k řádků a k sloupců matice A. Při označování nezletilých uvedeme čísla vybraných řádků jako horní indexy a čísla vybraných sloupců jako dolní indexy, seřazené vzestupně.

Příklad 3.4. Napište nezletilí různých řádů matice

A=\začátek(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

Řešení. Matice A má rozměry 3\times4 . Má: 12 nezletilých 1. řádu, např. nezletilí M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 nezletilých 2. řádu, např. M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 nezletilí 3. řádu, např.

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

V matici A velikosti m\krát n se nazývá r-tý řád menší základní, pokud je nenulový a všechny minority řádu (r+1)-ro jsou rovny nule nebo vůbec neexistují.

Hodnost matice se nazývá řád základu moll. V nulové matici není žádný menší základ. Hodnost nulové matice je tedy podle definice rovna nule. Hodnost matice A je označena \operatorname(rg)A.

Příklad 3.5. Najděte všechny základní nezletilé a maticovou hodnost

A=\začátek(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Řešení. Všechny minority třetího řádu této matice jsou rovny nule, protože tyto determinanty mají nulový třetí řádek. Základní tedy může být pouze moll 2. řádu umístěný v prvních dvou řádcích matice. Při procházení 6 možných nezletilých vybereme nenulové

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Každý z těchto pěti nezletilých je základní. Hodnost matice je tedy 2.

Poznámky 3.2

1. Jsou-li v matici všechny minority k-tého řádu rovny nule, pak jsou minority vyššího řádu také rovny nule. Rozšiřováním menšího řádu (k+1)-ro přes libovolný řádek skutečně získáme součet součinů prvků tohoto řádku menšími hodnotami k-tého řádu, které jsou rovny nule.

2. Hodnost matice se rovná nejvyššímu řádu nenulové minority této matice.

3. Pokud je čtvercová matice nesingulární, pak se její pořadí rovná jejímu pořadí. Pokud je čtvercová matice singulární, pak je její pořadí menší než její pořadí.

4. Označení se používají také pro hodnost \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rang)A,~ \operatorname(rank)A.

5. Hodnost blokové matice je definována jako hodnost regulární (číselné) matice, tzn. bez ohledu na jeho blokovou strukturu. V tomto případě není hodnost blokové matice menší než hodnosti jejích bloků: \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)A A \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)B, protože všechny minority matice A (nebo B ) jsou také minority matice bloku (A\mid B) .

Věty na bázi moll a hodnost matice

Uvažujme hlavní věty vyjadřující vlastnosti lineární závislosti a lineární nezávislosti sloupců (řádků) matice.

Věta 3.1 na bázi vedlejší. V libovolné matici A je každý sloupec (řádek) lineární kombinací sloupců (řádků), ve kterých je umístěn základ minor.

Bez ztráty obecnosti totiž předpokládáme, že v matici A o velikosti m\krát n se základ minor nachází v prvních r řádcích a prvních r sloupcích. Zvažte determinant

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

který se získá přiřazením odpovídajících prvků stého řádku a k-tého sloupce k základu minor matice A. Všimněte si, že pro jakékoli 1\leqslant s\leqslant m a tento determinant je roven nule. Jestliže s\leqslant r nebo k\leqslant r , pak determinant D obsahuje dva stejné řádky nebo dva stejné sloupce. Jestliže s>r a k>r, pak je determinant D roven nule, protože je menší z řádu (r+l)-ro. Rozšířením determinantu podél posledního řádku dostaneme

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

kde D_(r+1\,j) jsou algebraické doplňky prvků posledního řádku. Všimněte si, že D_(r+1\,r+1)\ne0, protože se jedná o základ menší. Proto

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Kde \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

Zapsáním poslední rovnosti pro s=1,2,\ldots,m dostaneme

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

těch. k-tý sloupec (pro jakýkoli 1\leqslant k\leqslant n) je lineární kombinace sloupců základu moll, což jsme potřebovali dokázat.

Základní vedlejší věta slouží k prokázání následujících důležitých vět.

Podmínka, aby determinant byl nulový

Věta 3.2 (nezbytná a postačující podmínka, aby determinant byl nulový). Aby se determinant rovnal nule, je nutné a postačující, aby jeden z jeho sloupců (jeden z jeho řádků) byl lineární kombinací zbývajících sloupců (řádků).

Nutnost totiž vyplývá ze základní vedlejší věty. Pokud je determinant čtvercové matice řádu n roven nule, pak je její hodnost menší než n, tzn. alespoň jeden sloupec není zahrnut v základu minor. Pak je tento vybraný sloupec podle věty 3.1 lineární kombinací sloupců, ve kterých se nachází základ minor. Přidáním případně dalších sloupců do této kombinace s nulovými koeficienty získáme, že vybraný sloupec je lineární kombinací zbývajících sloupců matice. Dostatečnost vyplývá z vlastností determinantu. Pokud je například poslední sloupec A_n determinantu \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) lineárně vyjádřeno přes zbytek

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

pak přičtení k A_n sloupci A_1 násobeném (-\lambda_1), pak sloupcem A_2 násobeným (-\lambda_2) atd. sloupec A_(n-1) vynásobený (-\lambda_(n-1)) získáme determinant \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) s nulovým sloupcem, který se rovná nule (vlastnost 2 determinantu).

Invariance pořadí matice při elementárních transformacích

Věta 3.3 (o invarianci hodnosti při elementárních transformacích). Při elementárních transformacích sloupců (řádků) matice se její pořadí nemění.

Opravdu, nech to být. Předpokládejme, že v důsledku jedné elementární transformace sloupců matice A jsme dostali matici A". Pokud byla provedena transformace typu I (permutace dvou sloupců), pak jakákoli vedlejší (r+l)-ro řádu matice A" se buď rovná příslušnému minoru (r+l )-ro řádu matice A, nebo se od něj liší znaménkem (vlastnost 3 determinantu). Pokud byla provedena transformace typu II (vynásobení sloupce číslem \lambda\ne0 ), pak jakákoliv vedlejší (r+l)-ro řádu matice A" je buď rovna odpovídající vedlejší (r+l) -ro řádu matice A nebo od ní odlišného faktoru \lambda\ne0 (vlastnost 6 determinantu Pokud byla provedena transformace typu III (přidání do jednoho sloupce dalšího sloupce vynásobeného číslem \Lambda), pak libovolný minoritní (r+1)-tý řád matice A" je buď roven odpovídající minoritní. (r+1)-tému řádu matice A (vlastnost 9 determinantu), nebo je roven součtu dva menší (r+l)-ro řádu matice A (vlastnost 8 determinantu). Proto při elementární transformaci jakéhokoli typu jsou všechny vedlejší (r+l)-ro řádu matice A rovny nule, protože všechny vedlejší (r+l)-ro řádu matice A jsou rovna nule Je tedy prokázáno, že při elementárních transformacích sloupců se hodnostní matice nemůže zvětšovat Protože transformace inverzní k elementárním jsou elementární, nemůže se při elementárních transformacích sloupců hodnost matice snižovat, tedy obdobně. dokázal, že hodnost matice se při elementárních transformacích řádků nemění.

Důsledek 1. Pokud je jeden řádek (sloupec) matice lineární kombinací jejích ostatních řádků (sloupců), lze tento řádek (sloupec) z matice odstranit, aniž by se změnilo jeho pořadí.

Takový řetězec může být skutečně vynulován pomocí elementárních transformací a nulový řetězec nemůže být zahrnut do základního moll.

Důsledek 2. Pokud je matice redukována na nejjednodušší formu (1.7), pak

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.

Matice nejjednoduššího tvaru (1.7) má totiž menší základ r-tého řádu.

Důsledek 3. Jakákoli nesingulární čtvercová matice je elementární, jinými slovy, jakákoli nesingulární čtvercová matice je ekvivalentní matici identity stejného řádu.

Je-li A skutečně nesingulární čtvercová matice n-tého řádu, pak \operatorname(rg)A=n(viz odstavec 3 komentáře 3.2). Převedením matice A do nejjednoduššího tvaru (1.7) elementárními transformacemi tedy získáme matici identity \Lambda=E_n , protože \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(viz důsledek 2). Matice A je tedy ekvivalentní matici identity E_n a lze ji z ní získat jako výsledek konečného počtu elementárních transformací. To znamená, že matice A je elementární.

Věta 3.4 (o hodnosti matice). Hodnost matice se rovná maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků této matice.

Ve skutečnosti, nech \operatorname(rg)A=r. Potom má matice A r lineárně nezávislých řádků. To jsou řádky, ve kterých se nachází základní moll. Pokud by byly lineárně závislé, pak by se tato minorita rovnala nule podle věty 3.2 a hodnost matice A by nebyla rovna r. Ukažme, že r je maximální počet lineárně nezávislých řádků, tzn. libovolné p řádky jsou lineárně závislé pro p>r. Z těchto p řádků skutečně vytvoříme matici B. Protože matice B je součástí matice A, pak \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

To znamená, že alespoň jeden řádek matice B není zahrnut v základním minoru této matice. Potom se podle věty o bazické minoritě rovná lineární kombinaci řádků, ve kterých se nachází basová moll. Proto jsou řádky matice B lineárně závislé. Matice A má tedy nejvýše r lineárně nezávislých řádků.

Důsledek 1. Maximální počet lineárně nezávislých řádků v matici se rovná maximálnímu počtu lineárně nezávislých sloupců:

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T.

Toto tvrzení vyplývá z věty 3.4, použijeme-li jej na řádky transponované matice a vezmeme-li v úvahu, že minority se během transpozice nemění (vlastnost 1 determinantu).

Důsledek 2. Při elementárních transformacích řádků matice je zachována lineární závislost (neboli lineární nezávislost) libovolného systému sloupců této matice.

Zvolme vlastně libovolných k sloupců dané matice A a sestavme z nich matici B. Nechť matici A" získáme jako výsledek elementárních transformací řádků matice A a matici B" získáme jako výsledek stejných transformací řádků matice B. Podle věty 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. Pokud by tedy byly sloupce matice B lineárně nezávislé, tzn. k=\jméno operátora(rg)B(viz důsledek 1), pak jsou sloupce matice B" také lineárně nezávislé, protože k=\jméno operátora(rg)B". Pokud by sloupce matice B byly lineárně závislé (k>\jméno operátora(rg)B), pak jsou sloupce matice B také lineárně závislé (k>\jméno operátora(rg)B"). V důsledku toho je pro všechny sloupce matice A zachována lineární závislost nebo lineární nezávislost při transformacích elementárních řádků.

Poznámky 3.3

1. Na základě Důsledku 1 věty 3.4 platí, že vlastnost sloupců uvedená v Důsledku 2 platí také pro jakýkoli systém řádků matice, pokud jsou elementární transformace prováděny pouze na jeho sloupcích.

2. Důsledek 3 věty 3.3 lze upřesnit následovně: jakákoli nesingulární čtvercová matice, využívající elementární transformace pouze jejích řádků (nebo pouze jejích sloupců), může být redukována na identitní matici stejného řádu.

Ve skutečnosti lze pomocí pouze elementárních řádkových transformací libovolnou matici A redukovat do zjednodušeného tvaru \Lambda (obr. 1.5) (viz věta 1.1). Protože matice A je nesingulární (\det(A)\ne0), její sloupce jsou lineárně nezávislé. To znamená, že sloupce matice \Lambda jsou také lineárně nezávislé (důsledek 2 věty 3.4). Proto se zjednodušený tvar \Lambda nesingulární matice A shoduje s jejím nejjednodušším tvarem (obr. 1.6) a je maticí identity \Lambda=E (viz 3. důsledek věty 3.3). Transformací pouze řádků nesingulární matice ji lze redukovat na matici identity. Podobné úvahy platí pro elementární transformace sloupců nesingulární matice.

Pořadí součinu a součet matic

Věta 3.5 (o hodnosti součinu matic). Pořadí součinu matic nepřesahuje pořadí faktorů:

\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).

Nechť matice A a B mají skutečně velikosti m\krát p a p\krát n . Přiřaďme matici A matici C=AB\dvojtečka\,(A\střed C). Samozřejmě, že \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C), protože C je součástí matice (A\mid C) (viz odstavec 5 poznámek 3.2). Všimněte si, že každý sloupec C_j je podle operace násobení matic lineární kombinací sloupců A_1,A_2,\ldots,A_p matrice A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Takový sloupec lze vymazat z matice (A\mid C), aniž by se změnilo jeho pořadí (důsledek 1 věty 3.3). Přeškrtnutím všech sloupců matice C dostaneme: \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Odtud, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Podobně můžeme dokázat, že podmínka je současně splněna \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)B a vyvodit závěr o platnosti věty.

Následek. Li A je tedy nesingulární čtvercová matice \operatorname(rg)(AB)= \operatorname(rg)B A \operatorname(rg)(CA)=\operatorname(rg)C, tj. hodnost matice se nemění, když je vynásobena zleva nebo zprava nesingulární čtvercovou maticí.

Věta 3.6 o hodnosti součtů matic. Pořadí součtu matic nepřesahuje součet pořadí členů:

\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.

Opravdu, pojďme vytvořit matrici (A+B\střed A\střed B). Všimněte si, že každý sloupec matice A+B je lineární kombinací sloupců matic A a B. Proto \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). Vzhledem k tomu, že počet lineárně nezávislých sloupců v matici (A\mid B) nepřesahuje \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B, a \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(viz část 5 poznámek 3.2), získáme dokazovanou nerovnost.