§4.8. Lineární závislost řádků a sloupců matice. Hodnost matice. Metoda hranic nezletilých. Lineární nezávislost řádků (sloupců) matice

Systém vektorů stejného řádu se nazývá lineárně závislý, pokud lze z těchto vektorů pomocí vhodné lineární kombinace získat nulový vektor. (Není dovoleno, aby všechny koeficienty lineární kombinace byly rovné nule, protože by to bylo triviální.) Jinak se vektory nazývají lineárně nezávislé. Například následující tři vektory:

jsou lineárně závislé, protože to lze snadno zkontrolovat. V případě lineární závislosti lze libovolný vektor vždy vyjádřit lineární kombinací jiných vektorů. V našem příkladu: buď nebo To lze snadno zkontrolovat pomocí příslušných výpočtů. To vede k následující definici: vektor je lineárně nezávislý na ostatních vektorech, pokud jej nelze reprezentovat jako lineární kombinaci těchto vektorů.

Uvažujme systém vektorů bez určení, zda je lineárně závislý nebo lineárně nezávislý. Pro každý systém sestávající ze sloupcových vektorů a je možné identifikovat maximální možný počet lineárně nezávislých vektorů. Toto číslo, označené písmenem , je hodnost tohoto vektorového systému. Protože na každou matici lze nahlížet jako na systém sloupcových vektorů, je hodnost matice definována jako maximální počet lineárně nezávislých sloupcových vektorů, které obsahuje. Řádkové vektory se také používají k určení hodnosti matice. Obě metody poskytují stejný výsledek pro stejnou matici a nemohou překročit nejmenší z nebo Pořadí čtvercové matice řádu se pohybuje od 0 do . Pokud jsou všechny vektory nulové, pak je hodnost takové matice nulová. Pokud jsou všechny vektory na sobě lineárně nezávislé, pak je hodnost matice stejná. Pokud vytvoříme matici z výše uvedených vektorů, pak je hodnost této matice 2, protože každé dva vektory lze snížit na třetinu lineární kombinací, pak je hodnost menší než 3.

Můžeme se ale ujistit, že libovolné dva jejich vektory jsou lineárně nezávislé, tedy jejich pořadí

Čtvercová matice se nazývá singulární, pokud jsou její sloupcové vektory nebo řádkové vektory lineárně závislé. Determinant takové matice je roven nule a její inverzní matice neexistuje, jak je uvedeno výše. Tyto závěry jsou si navzájem ekvivalentní. V důsledku toho se čtvercová matice nazývá nesingulární nebo nesingulární, pokud jsou její sloupcové vektory nebo řádkové vektory na sobě nezávislé. Determinant takové matice se nerovná nule a existuje její inverzní matice (srovnej s str. 43)

Hodnost matice má zcela zřejmou geometrickou interpretaci. Pokud je hodnost matice rovna , pak se o -rozměrném prostoru říká, že je překlenutý vektory. Pokud je hodnost, pak vektory leží v -rozměrném podprostoru, který je všechny zahrnuje. Hodnost matice tedy odpovídá minimální požadované dimenzi prostoru „který obsahuje všechny vektory“ -rozměrný podprostor v -rozměrném prostoru se nazývá -rozměrná nadrovina. Hodnost matice odpovídá nejmenší dimenzi nadroviny, ve které ještě leží všechny vektory.

Ortogonalita. O dvou vektorech a a b se říká, že jsou vzájemně ortogonální, pokud je jejich skalární součin nula. Pokud má řádová matice rovnost, kde D je diagonální matice, pak jsou sloupcové vektory matice A párově vzájemně ortogonální. Pokud jsou tyto sloupcové vektory normalizovány, tedy zmenšeny na délku rovnou 1, pak platí rovnost a hovoříme o ortonormálních vektorech. Je-li B čtvercová matice a platí rovnost, pak se matice B nazývá ortogonální. V tomto případě ze vzorce (1.22) vyplývá, že ortogonální matice je vždy nesingulární. Z ortogonality matice tedy vyplývá lineární nezávislost jejích řádkových vektorů nebo sloupcových vektorů. Opačné tvrzení není pravdivé: lineární nezávislost systému vektorů neznamená párovou ortogonalitu těchto vektorů.

Nechat

Sloupce matice dimenzí. Lineární kombinace maticových sloupců nazývaná sloupcová matice s některými nazývanými reálnými nebo komplexními čísly lineární kombinační koeficienty. Pokud v lineární kombinaci vezmeme všechny koeficienty rovné nule, pak se lineární kombinace rovná matici nulového sloupce.

Sloupce matice se nazývají lineárně nezávislé , je-li jejich lineární kombinace rovna nule pouze tehdy, když jsou všechny koeficienty lineární kombinace rovny nule. Sloupce matice se nazývají lineárně závislé , pokud existuje množina čísel, z nichž alespoň jedno je nenulové, a lineární kombinace sloupců s těmito koeficienty je rovna nule

Podobně lze uvést definice lineární závislosti a lineární nezávislosti řádků matice. V následujícím textu jsou všechny věty formulovány pro sloupce matice.

Věta 5

Pokud je mezi sloupci matice nula, pak jsou sloupce matice lineárně závislé.

Důkaz. Uvažujme lineární kombinaci, ve které jsou všechny koeficienty rovné nule pro všechny nenulové sloupce a jedna pro všechny nulové sloupce. Je roven nule a mezi koeficienty lineární kombinace je nenulový koeficient. Proto jsou sloupce matice lineárně závislé.

Věta 6

Li maticové sloupce jsou lineárně závislé, to je vše maticové sloupce jsou lineárně závislé.

Důkaz. Pro definitivnost budeme předpokládat, že první sloupce matice lineárně závislé. Pak podle definice lineární závislosti existuje množina čísel, z nichž alespoň jedno je nenulové, a lineární kombinace sloupců s těmito koeficienty je rovna nule.

Udělejme lineární kombinaci všech sloupců matice, včetně zbývajících sloupců s nulovými koeficienty

Ale . Proto jsou všechny sloupce matice lineárně závislé.

Následek. Mezi lineárně nezávislými sloupci matice jsou všechny lineárně nezávislé. (Toto tvrzení lze snadno dokázat rozporem.)

Věta 7

Aby byly sloupce matice lineárně závislé, je nutné a postačující, aby alespoň jeden sloupec matice byl lineární kombinací ostatních.

Důkaz.

Nutnost. Nechť jsou sloupce matice lineárně závislé, to znamená, že existuje množina čísel, z nichž alespoň jedno je odlišné od nuly, a lineární kombinace sloupců s těmito koeficienty je rovna nule.

Předpokládejme pro jistotu, že. To znamená, že první sloupec je lineární kombinací zbytku.

Přiměřenost. Nechť alespoň jeden sloupec matice je lineární kombinací ostatních, například , kde jsou nějaká čísla.

Potom je lineární kombinace sloupců rovna nule a mezi čísly v lineární kombinaci je alespoň jedno (at ) odlišné od nuly.

Nechť je hodnost matice . Je volán jakýkoli nenulový vedlejší řád 1 základní . Nazývají se řádky a sloupce, na jejichž průsečíku je základ menší základní .

Pojem pořadí matice úzce souvisí s pojmem lineární závislosti (nezávislosti) jejích řádků nebo sloupců. V budoucnu budeme prezentovat materiál pro řádky, pro sloupce je prezentace podobná.

V matrice A Označme jeho řádky takto:

, , …. ,

Říká se, že dva řádky matice jsou stejné, jestliže jejich odpovídající prvky jsou stejné: , jestliže , .

Aritmetické operace na řádcích matice (násobení řádku číslem, sčítání řádků) jsou zavedeny jako operace prováděné prvek po prvku:

Čára E nazývaná lineární kombinace strun..., matice, pokud je rovna součtu součinů těchto řádků libovolnými reálnými čísly:

Řádky matice se nazývají lineárně závislé, pokud existují čísla, která nejsou současně rovna nule, takže lineární kombinace řádků matice je rovna nule:

, =(0,0,...,0). (3.3)

Věta 3.3Řádky matice jsou lineárně závislé, pokud alespoň jeden řádek matice je lineární kombinací ostatních.

□ Pro jistotu nechť ve vzorci (3.3) , Pak

Řádek je tedy lineární kombinací zbývajících řádků. ■

Pokud je lineární kombinace řádků (3.3) rovna nule právě tehdy, když jsou všechny koeficienty rovné nule, pak se řádky nazývají lineárně nezávislé.

Věta 3.4.(o hodnosti matice) Hodnost matice se rovná maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých řádků nebo sloupců, kterými jsou lineárně vyjádřeny všechny její ostatní řádky (sloupce).

□ Nechte matici A velikost m n má hodnost r(r min). To znamená, že existuje nenulová moll r-tý řád. Jakýkoli nenulový vedlejší r Tý řád bude nazýván základem minor.

Pro definitivu budiž základ menší přední nebo rohový moll. Potom jsou řádky matice lineárně nezávislé. Předpokládejme opak, to znamená, že jedna z těchto strun je například lineární kombinací ostatních. Odečtěte od prvků r- 1. řádku prvky 1. řádku vynásobené , dále prvky 2. řádku vynásobené , ... a prvky ( r- 1) - tý řádek vynásobený . Na základě vlastnosti 8 se při takových transformacích matice její determinant D nezmění, ale od r- řádek se nyní bude skládat pouze z nul, pak D = 0 je rozpor. Proto je náš předpoklad, že řádky matice jsou lineárně závislé, nesprávný.

Zavolejme na linky základní. Ukažme, že libovolné (r+1) řádky matice jsou lineárně závislé, tzn. jakýkoli řetězec je vyjádřen základními.

Uvažujme moll (r +1) prvního řádu, který získáme doplněním příslušné moll o prvky jiné řady. i a sloupec j. Tato vedlejší je nula, protože hodnost matice je r, takže jakákoli moll vyššího řádu je nula.

Rozbalením podle prvků posledního (přidaného) sloupce dostaneme

Kde se modul posledního algebraického doplňku shoduje se základem moll D a tedy odlišné od nuly, tzn. 0.

kde jsou některá čísla (některá z těchto čísel nebo dokonce všechna mohou být rovna nule). To znamená, že mezi prvky sloupců jsou následující rovnosti:

nebo , .

Z (3.3.1) vyplývá, že

(3.3.2)

kde je nulový řetězec.

Definice. Řádky matice A jsou lineárně závislé, pokud existují čísla, která nejsou všechna současně rovna nule, takže

(3.3.3)

Pokud je rovnost (3.3.3) pravdivá tehdy a jen tehdy, pak se řádky nazývají lineárně nezávislé. Vztah (3.3.2) ukazuje, že pokud je jeden z řádků lineárně vyjádřen ostatními, pak jsou řádky lineárně závislé.

Je snadné vidět opak: pokud jsou struny lineárně závislé, pak existuje struna, která bude lineární kombinací zbývajících strun.

Nechť, například, v (3.3.3), pak .

Definice. Nechť je v matici A vybrán určitý moll r řádu a nechat nezletilé ( r +1)-tý řád stejné matice zcela obsahuje vedlejší . Řekneme, že v tomto případě moll hraničí s nezletilým (nebo hraničí s ).

Nyní dokážeme důležité lemma.

Lemmao hranicích s nezletilými. Je-li nezletilý v pořádku r matice A = se liší od nuly a všechny minoritní položky, které ji ohraničují, jsou rovny nule, pak jakýkoli řádek (sloupec) matice A je lineární kombinací jejích řádků (sloupců), které tvoří .

Důkaz. Aniž bychom ztratili obecnost uvažování, budeme předpokládat, že nenulová moll r pořadí je v levém horním rohu matice A =:

.

Za první k řádků matice A, tvrzení lemmatu je zřejmé: stačí zahrnout do lineární kombinace stejný řádek s koeficientem rovným jedné a zbytek - s koeficienty rovnými nule.

Dokažme nyní, že zbývající řádky matice A jsou lineárně vyjádřeny první k linky. Za tímto účelem zkonstruujeme vedlejší ( r +1) pořadí přidáním k nezletilému k -tý řádek () a l sloupec():

.

Výsledná vedlejší hodnota je pro všechny rovna nule k a l . Jestliže , pak se rovná nule, protože obsahuje dva stejné sloupce. Jestliže , pak výsledný moll je okrajový moll for, a proto je podle podmínek lemmatu roven nule.

Rozložme moll podle prvků posledníhol sloupec:

(3.3.4)

kde jsou algebraické doplňky k prvkům. Algebraický doplněk je vedlejší matice A, proto . Vydělte (3.3.4) a vyjádřete to pomocí:

(3.3.5)

Kde, .

Za předpokladu, že dostaneme:

(3.3.6)

Výraz (3.3.6) to znamená k Tý řádek matice A je lineárně vyjádřen prostřednictvím prvního r řádky.

Vzhledem k tomu, že když je matice transponována, hodnoty jejích vedlejších hodnot se nemění (kvůli vlastnosti determinantů), pak vše prokázané platí i pro sloupce. Věta byla prokázána.

Důsledek I . Jakýkoli řádek (sloupec) matice je lineární kombinací jejích základních řádků (sloupců). Ve skutečnosti je menší základ matice nenulový a všechny minority, které s ní hraničí, jsou rovny nule.

Důsledek II. Determinant n řádu se rovná nule právě tehdy, pokud obsahuje lineárně závislé řádky (sloupce). Dostatečnost lineární závislosti řádků (sloupců) pro determinant rovný nule byla prokázána již dříve jako vlastnost determinantů.

Pojďme dokázat nutnost. Nechť je dána čtvercová matice n řádu, z nichž jediná vedlejší je nula. Z toho vyplývá, že hodnost této matice je menší n , tj. existuje alespoň jeden řádek, který je lineární kombinací základních řádků této matice.

Dokažme další větu o hodnosti matice.

Teorém.Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice se rovná maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých sloupců a rovná se hodnosti této matice.

Důkaz. Nechť je hodnost matice A= rovna r. Pak některý z jeho k základní řádky jsou lineárně nezávislé, jinak by základ menší byl nula. Na druhou stranu jakékoliv r +1 nebo více řádků jsou lineárně závislé. Za předpokladu opaku bychom mohli najít menší řád větší než r , lišící se od nuly důsledkem 2 předchozího lemmatu. To je v rozporu s tím, že maximální pořadí nenulových nezletilých se rovná r . Vše osvědčené pro řádky platí i pro sloupce.

Na závěr nastíníme další metodu pro zjištění hodnosti matice. Pořadí matice může být určeno nalezením minoru z maximálního řádu, který je odlišný od nuly.

Na první pohled to vyžaduje výpočet konečného, ​​ale možná velmi velkého počtu minorů této matice.

Následující věta však umožňuje vnést do toho podstatná zjednodušení.

Teorém.Pokud je vedlejší matice A nenulová a všechny vedlejší matice, které ji ohraničují, jsou rovny nule, pak se hodnost matice rovná r.

Důkaz. Stačí ukázat, že jakýkoli podsystém matice řádků s S>r bude za podmínek věty lineárně závislá (z toho vyplyne, že r je maximální počet lineárně nezávislých řádků matice nebo některého z jejích menších řádů větší než k se rovná nule).

Předpokládejme opak. Nechť jsou řádky lineárně nezávislé. U lemmatu o hraničních minoritách bude každá z nich lineárně vyjádřena pomocí řádků obsahujících minor a které jsou vzhledem k tomu, že jsou nenulové, lineárně nezávislé:

(3.3.7)

Uvažujme matici K z koeficientů lineárních výrazů (3.3.7):

.

Řádky této matice budou označeny . Budou lineárně závislé, jelikož hodnost matice K, tzn. nepřekračuje maximální počet jeho lineárně nezávislých čar r< S . Proto existují čísla, ne všechna rovna nule, že

Přejděme k rovnosti komponent

(3.3.8)

Nyní zvažte následující lineární kombinaci:

nebo

Každý řádek matice A je označen e i = (a i 1 a i 2 …, a in) (např.
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n) atd.). Každá z nich je řádková matice, kterou lze vynásobit číslem nebo přidat do jiného řádku podle obecných pravidel pro práci s maticemi.

Lineární kombinace Přímky e l , e 2 ,...e k nazýváme součtem součinů těchto přímek libovolnými reálnými čísly:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k, kde l l, l 2,..., l k jsou libovolná čísla (koeficienty lineární kombinace).

Řádky matice e l , e 2 ,...e m se nazývají lineárně závislé, pokud existují čísla l l , l 2 ,..., l m, která se současně nerovnají nule, takže lineární kombinace řádků matice je rovna nulovému řádku:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, kde 0 = (0 0...0).

Lineární vztah mezi řádky matice znamená, že alespoň jeden řádek matice je lineární kombinací ostatních. Pro definitivnost nechť je poslední koeficient l m ¹ 0. Poté, když obě strany rovnosti vydělíme l m, získáme výraz pro poslední řádek jako lineární kombinaci zbývajících řádků:
e m = (l l / l m) el + ( l 2 / l m) e 2 +...+ (l m - 1 / l m) e m - 1.

Je-li lineární kombinace řádků rovna nule právě tehdy, když jsou všechny koeficienty rovny nule, tzn. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, pak se čáry nazývají lineárně nezávislé.

Věta o hodnosti matice. Hodnost matice se rovná maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých řádků nebo sloupců, kterými lze lineárně vyjádřit všechny její další řádky nebo sloupce.

Dokažme tuto větu. Nechť matice A o velikosti m x n má hodnost r (r(A) £ min (m; n)). V důsledku toho existuje nenulová moll r-tého řádu. Každého takového nezletilého zavoláme základní. Ať je to nezletilý, aby bylo jasno

Řádky této moll budou také nazývány základní.

Dokažme, že pak jsou řádky matice e l , e 2 ,...e r lineárně nezávislé. Předpokládejme opak, tj. jeden z těchto řádků, například r-tý, je lineární kombinací ostatních: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Poté, pokud odečteme prvky r-té řady 1. řady násobené l l , prvky 2. řady násobené l 2 atd., konečně prvky (r-1) řady násobené l r-1 , pak r-tý řádek bude nulový. V tomto případě by se podle vlastností determinantu výše uvedený determinant neměl měnit a zároveň by se měl rovnat nule. Je získán rozpor a je prokázána lineární nezávislost řádků.

Nyní dokážeme, že libovolné (r+1) řádky matice jsou lineárně závislé, tzn. libovolný řetězec lze vyjádřit základními.

Doplňme dříve uvažovanou mollovou ještě o jeden řádek (i-tý) a další sloupec (j-tý). V důsledku toho získáme minoritní řád (r+1), který se podle definice pořadí rovná nule.