Derivace komplexní funkce více proměnných, příklady řešení. Parciální derivace jsou parciální derivace komplexní funkce dvou proměnných. Diferencování komplexních funkcí

) již jsme se opakovaně setkali s parciálními derivacemi komplexních funkcí jako jsou i složitější příklady. Tak o čem jiném můžete mluvit?! ...A všechno je jako v životě - neexistuje žádná složitost, která by se nedala zkomplikovat =) Ale matematika je to, k čemu matematika je, aby rozmanitost našeho světa zapadla do přísného rámce. A někdy to lze udělat jednou větou:

Obecně platí, že komplexní funkce má tvar , kde, alespoň jeden písmen představuje funkce, na kterém může záviset libovolný počet proměnných.

Minimální a nejjednodušší možností je dlouho známá komplexní funkce jedné proměnné, jehož derivát jsme se naučili, jak najít minulý semestr. Máte také schopnosti rozlišovat funkce (podívejte se na stejné funkce ) .

Nyní nás tedy bude zajímat pouze případ. Vzhledem k velké rozmanitosti komplexních funkcí jsou obecné vzorce pro jejich deriváty velmi těžkopádné a těžko stravitelné. V tomto ohledu se omezím na konkrétní příklady, ze kterých můžete pochopit obecný princip hledání těchto derivátů:

Příklad 1

Vzhledem ke složité funkci kde . Požadovaný:
1) najděte jeho derivaci a zapište celkový diferenciál 1. řádu;
2) vypočítat hodnotu derivátu v .

Řešení: Nejprve se podívejme na funkci samotnou. Je nám nabídnuta funkce v závislosti na a , což zase jsou funkce jedna proměnná:

Zadruhé, věnujme bedlivou pozornost samotnému úkolu – jsme povinni najít derivát, tedy vůbec nemluvíme o parciálních derivacích, na které jsme zvyklí nacházet! Od funkce ve skutečnosti závisí pouze na jedné proměnné, pak slovo „derivát“ znamená totální derivace. Jak ji najít?

První, co mě napadne, je přímá substituce a další diferenciace. Pojďme nahradit fungovat:
, po kterém nejsou žádné problémy s požadovanou derivací:

A podle toho celkový diferenciál:

Toto řešení je matematicky správné, ale drobnou nuancí je, že když je problém formulován tak, jak je formulován, nikdo od vás takové barbarství nečeká =) Ale vážně, tady se opravdu dá najít chyba. Představte si, že funkce popisuje let čmeláka a vnořené funkce se mění v závislosti na teplotě. Provádění přímé substituce , dostáváme jen soukromé informace, který charakterizuje let řekněme pouze v horkém počasí. Navíc, pokud je člověku, který se v čmeláčcích nevyzná, předloží hotový výsledek a dokonce mu řekne, co je to za funkci, pak se nikdy nedozví nic o základním zákonu letu!

Takže zcela nečekaně nám náš bzučící bratr pomohl pochopit význam a důležitost univerzálního vzorce:

Zvykněte si na „dvoupatrový“ zápis pro deriváty – v uvažované úloze se používají právě ony. V tomto případě by měl být jeden velmi elegantní v hesle: deriváty s přímými symboly „de“ jsou úplné deriváty a deriváty se zaoblenými ikonami jsou parciální derivace. Začněme těmi posledními:

U „ocasů“ je vše obecně elementární:

Dosadíme nalezené deriváty do našeho vzorce:

Když je funkce zpočátku navržena složitým způsobem, bude to logické (a to je vysvětleno výše!) nechat výsledky tak jak jsou:

Zároveň je v „důmyslných“ odpovědích lepší upustit od i minimálních zjednodušení (zde například prosí o odstranění 3 minusů)- a vy máte méně práce a váš chlupatý přítel si rád úkol snáze zkontroluje.

Hrubá kontrola však nebude zbytečná. Pojďme nahradit do nalezené derivace a proveďte zjednodušení:


(v posledním kroku, který jsme použili trigonometrické vzorce , )

Výsledkem byl stejný výsledek jako u metody „barbarského“ řešení.

Vypočítejme derivaci v bodě. Nejprve je vhodné zjistit „tranzitní“ hodnoty (hodnoty funkcí ) :

Nyní vypracujeme konečné výpočty, které lze v tomto případě provést různými způsoby. Používám zajímavou techniku, ve které jsou 3. a 4. „patra“ zjednodušeny nikoli podle obvyklých pravidel, ale jsou transformovány jako podíl dvou čísel:

A samozřejmě by byl hřích nekontrolovat pomocí kompaktnějšího zápisu :

Odpověď:

Stává se, že problém je navržen v „poloobecné“ podobě:

"Najděte derivaci funkce kde »

To znamená, že funkce „hlavní“ není dána, ale její „vložky“ jsou zcela specifické. Odpověď by měla být dána stejným stylem:

Navíc může být podmínka mírně zašifrována:

"Najděte derivaci funkce »

V tomto případě potřebujete na vlastní pěst označte vnořené funkce nějakými vhodnými písmeny, například přes a použijte stejný vzorec:

Mimochodem o označení písmen. Opakovaně jsem naléhal, abychom jako zachránce života „neulpěli na dopisech“, a teď je to obzvláště důležité! Při rozboru různých zdrojů k tématu jsem obecně nabyl dojmu, že se autoři „zbláznili“ a začali studenty nemilosrdně házet do bouřlivé propasti matematiky =) Tak mi to promiňte :))

Příklad 2

Najděte derivaci funkce , Pokud

Ostatní označení by neměla být matoucí! Pokaždé, když narazíte na takový úkol, musíte odpovědět na dvě jednoduché otázky:

1) Na čem závisí „hlavní“ funkce? V tomto případě funkce „zet“ závisí na dvou funkcích („y“ a „ve“).

2) Na jakých proměnných závisí vnořené funkce? V tomto případě obě „vložky“ závisí pouze na „X“.

Takže byste neměli mít žádné potíže s přizpůsobením vzorce tomuto úkolu!

Krátké řešení a odpověď na konci lekce.

Další příklady prvního typu lze nalézt v Ryabushkova problémová kniha (IDZ 10.1), no, míříme funkce tří proměnných:

Příklad 3

Vzhledem k funkci, kde .
Vypočítejte derivaci v bodě

Vzorec pro derivaci komplexní funkce, jak mnozí hádají, má příbuzný tvar:

Rozhodněte se, až to uhodnete =)

Pro každý případ uvedu obecný vzorec pro funkci:
, i když v praxi pravděpodobně neuvidíte nic delšího než příklad 3.

Kromě toho je někdy nutné odlišit „zkrácenou“ verzi - zpravidla funkci formy resp. Tuto otázku nechávám na vás, abyste si ji prostudovali sami – vymyslete nějaké jednoduché příklady, přemýšlejte, experimentujte a odvozujte zkrácené vzorce pro derivace.

Pokud vám stále není něco jasné, přečtěte si prosím pomalu znovu a pochopte první část lekce, protože nyní bude úkol složitější:

Příklad 4

Najděte parciální derivace komplexní funkce, kde

Řešení: tato funkce má tvar a po přímé substituci dostaneme obvyklou funkci dvou proměnných:

Ale takový strach se nejen nepřijímá, ale člověk už nechce rozlišovat =) Použijeme proto hotové vzorce. Abychom vám pomohli rychle pochopit vzor, ​​učiním několik poznámek:

Podívejte se pozorně na obrázek shora dolů a zleva doprava….

Nejprve najdeme parciální derivace funkce „hlavní“:

Nyní najdeme „X“ deriváty „vložek“:

a zapište si konečnou derivaci „X“:

Podobně jako u „hry“:

A

Můžete se držet jiného stylu - najít všechny „ocasy“ najednou a poté zapište obě derivace.

Odpověď:

O substituci nějak o tom vůbec nepřemýšlím =) =), ale výsledky můžete trochu upravit. I když, znovu, proč? – pouze ztíží kontrolu učitele.

V případě potřeby pak plný diferenciál zde je to napsáno podle obvyklého vzorce a mimochodem, v tomto kroku se lehká kosmetika stává vhodnou:


Tohle je... ...rakev na kolečkách.

Vzhledem k popularitě uvažovaného typu komplexní funkce existuje několik úloh pro samostatné řešení. Jednodušší příklad v „poloobecné“ podobě je pro pochopení samotného vzorce;-):

Příklad 5

Najděte parciální derivace funkce, kde

A složitější - se zahrnutím diferenciačních technik:

Příklad 6

Najděte úplný diferenciál funkce , Kde

Ne, vůbec se nesnažím „poslat vás ke dnu“ – všechny příklady jsou převzaty ze skutečných děl a „na volném moři“ můžete narazit na jakákoli písmena. V každém případě budete muset funkci analyzovat (odpověď na 2 otázky – viz výše) prezentujte jej v obecné podobě a pečlivě upravte parciální derivační vzorce. Možná budete teď trochu zmatení, ale pochopíte samotný princip jejich stavby! Protože skutečné výzvy teprve začínají :)))

Příklad 7

Najděte parciální derivace a sestrojte úplný diferenciál komplexní funkce
, Kde

Řešení: funkce „hlavní“ má tvar a stále závisí na dvou proměnných – „x“ a „y“. Oproti příkladu 4 však přibyla další vnořená funkce, a proto jsou i parciální derivační vzorce prodlouženy. Stejně jako v tomto příkladu, pro lepší vizualizaci vzoru, zvýrazním „hlavní“ dílčí deriváty v různých barvách:

A znovu pečlivě prostudujte záznam shora dolů a zleva doprava.

Protože je problém formulován v „poloobecné“ formě, veškerá naše práce se v podstatě omezuje na hledání parciálních derivací vložených funkcí:

Žák první třídy zvládne:

A dokonce i plný diferenciál dopadl docela dobře:

Záměrně jsem vám nenabídl žádnou konkrétní funkci – aby zbytečný nepořádek nenarušoval dobré pochopení konceptu úkolu.

Odpověď:

Poměrně často se můžete setkat s investicemi „smíšené velikosti“, například:

Zde funkce „hlavní“, ačkoli má tvar , stále závisí na „x“ i „y“. Fungují tedy stejné vzorce – akorát některé parciální derivace se budou rovnat nule. Navíc to platí i pro funkce jako , ve kterém každá „vložka“ závisí na jedné proměnné.

Podobná situace nastává v posledních dvou příkladech lekce:

Příklad 8

Najděte totální diferenciál komplexní funkce v bodě

Řešení: podmínka je formulována „rozpočtově“ a vnořené funkce musíme označit sami. Myslím, že toto je dobrá volba:

„Vložky“ obsahují ( POZOR!) TŘI písmena jsou staré dobré „X-Y-Z“, což znamená, že funkce „hlavní“ ve skutečnosti závisí na třech proměnných. Lze jej formálně přepsat jako a parciální derivace jsou v tomto případě určeny následujícími vzorci:

Skenujeme, ponoříme se do toho, zachytíme….

V našem úkolu:

Uvažujme funkci dvou proměnných:

Protože proměnné $x$ a $y$ jsou nezávislé, můžeme pro takovou funkci zavést koncept parciální derivace:

Parciální derivace funkce $f$ v bodě $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ vzhledem k proměnné $x$ je limit

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0)) )+\Delta x;((y)_(0)) \vpravo))(\Delta x)\]

Podobně můžete definovat parciální derivaci vzhledem k proměnné $y$ :

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0)) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]

Jinými slovy, abyste našli parciální derivaci funkce několika proměnných, musíte opravit všechny ostatní proměnné kromě požadované a pak najít běžnou derivaci s ohledem na tuto požadovanou proměnnou.

To vede k hlavní technice pro výpočet takových derivací: jednoduše předpokládejme, že všechny proměnné kromě této jsou konstanty, a pak funkci diferencujte, jako byste derivovali „obyčejnou“ – s jednou proměnnou. Například:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prvočíslo ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(zarovnat)$

Je zřejmé, že parciální derivace s ohledem na různé proměnné dávají různé odpovědi - to je normální. Mnohem důležitější je pochopit, proč jsme řekněme v prvním případě v klidu odstranili $10y$ pod znaménkem derivátu a ve druhém případě jsme úplně vynulovali první člen. To vše se děje kvůli skutečnosti, že všechna písmena, kromě proměnné, pomocí které se provádí diferenciace, jsou považovány za konstanty: lze je vyjmout, „spálit“ atd.

Co je to „částečná derivace“?

Dnes si povíme něco o funkcích více proměnných a jejich parciálních derivacích. Za prvé, co je funkcí několika proměnných? Doposud jsme byli zvyklí považovat funkci za $y\left(x \right)$ nebo $t\left(x \right)$ nebo jakoukoli proměnnou a jednu její jedinou funkci. Nyní budeme mít jednu funkci, ale několik proměnných. Se změnou $y$ a $x$ se změní i hodnota funkce. Pokud se například $x$ zdvojnásobí, hodnota funkce se změní, zatímco pokud se $x$ změní, ale $y$ se nezmění, hodnota funkce se změní stejným způsobem.

Funkci více proměnných, stejně jako funkci jedné proměnné, lze samozřejmě diferencovat. Protože však existuje více proměnných, je možné rozlišovat podle různých proměnných. V tomto případě vznikají specifická pravidla, která při diferenciaci jedné proměnné neexistovala.

Za prvé, když počítáme derivaci funkce z libovolné proměnné, musíme uvést, pro kterou proměnnou derivaci počítáme – nazývá se to parciální derivace. Například máme funkci dvou proměnných a můžeme ji vypočítat jak v $x$, tak v $y$ - dvě parciální derivace každé proměnné.

Za druhé, jakmile zafixujeme jednu z proměnných a začneme s ní počítat parciální derivaci, pak všechny ostatní zahrnuté v této funkci jsou považovány za konstanty. Například v $z\left(xy \right)$, pokud uvažujeme parciální derivaci vzhledem k $x$, pak kdekoli narazíme na $y$, považujeme ji za konstantu a jako takovou s ní zacházíme. Zejména při výpočtu derivace součinu můžeme vyjmout $y$ ze závorek (máme konstantu) a při výpočtu derivace součtu, pokud někde dostaneme derivaci výrazu obsahujícího $y$ a neobsahující $x$, pak bude derivace tohoto výrazu rovna „nule“ jako derivace konstanty.

Na první pohled se může zdát, že mluvím o něčem složitém a řada studentů je zpočátku zmatená. V parciálních derivacích však není nic nadpřirozeného a nyní to uvidíme na příkladu konkrétních problémů.

Problémy s radikály a polynomy

Úkol č. 1

Abychom neztráceli čas, začněme od úplného začátku vážnými příklady.

Pro začátek mi dovolte připomenout tento vzorec:

Jedná se o standardní tabulkovou hodnotu, kterou známe ze standardního průběhu.

V tomto případě se derivát $z$ vypočítá takto:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Udělejme to znovu, protože kořen není $x$, ale nějaký jiný výraz, v tomto případě $\frac(y)(x)$, pak nejprve použijeme standardní hodnotu tabulky a poté, protože kořen je nikoli $x $ a jiný výraz, musíme vynásobit naši derivaci jiným z tohoto výrazu s ohledem na stejnou proměnnou. Nejprve spočítejme následující:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Vrátíme se k našemu výrazu a píšeme:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]

V podstatě to je vše. Je však špatné nechat to v této podobě: taková konstrukce je nepohodlná pro další výpočty, takže ji trochu transformujeme:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Odpověď byla nalezena. Nyní se pojďme zabývat $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Pojďme si to napsat samostatně:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Nyní si zapíšeme:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Všechno je hotovo.

Problém č. 2

Tento příklad je jednodušší a složitější než předchozí. Je to složitější, protože je tam více akcí, ale je to jednodušší, protože tam není kořen a navíc je funkce symetrická vzhledem k $x$ a $y$, tzn. pokud prohodíme $x$ a $y$, vzorec se nezmění. Tato poznámka nám dále zjednoduší výpočet parciální derivace, tzn. stačí spočítat jeden z nich a ve druhém jednoduše prohodit $x$ a $y$.

Pojďme k věci:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \vpravo ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime )))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Pojďme počítat:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Mnoho studentů však této notaci nerozumí, takže ji zapišme takto:

\[((\left(xy \right))^(\prime )))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Znovu jsme se tedy přesvědčili o univerzálnosti algoritmu parciálních derivací: bez ohledu na to, jak je vypočítáme, pokud jsou všechna pravidla aplikována správně, odpověď bude stejná.

Nyní se podívejme na další částečnou derivaci z našeho velkého vzorce:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Dosadíme výsledné výrazy do našeho vzorce a dostaneme:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \vpravo))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \vpravo))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))((\ left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\]

Na základě započtených $x$. A abychom ze stejného výrazu vypočítali $y$, neprovádějme stejnou posloupnost akcí, ale využijte symetrie našeho původního výrazu – jednoduše nahradíme všechna $y$ v našem původním výrazu $x$ a naopak:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Díky symetrii jsme tento výraz vypočítali mnohem rychleji.

Nuance řešení

Pro parciální derivace fungují všechny standardní vzorce, které používáme pro ty obyčejné, totiž derivace kvocientu. Zároveň však vyvstávají specifické rysy: pokud uvažujeme parciální derivaci $x$, pak když ji získáme z $x$, považujeme ji za konstantu, a proto bude její derivace rovna „nule“ .

Stejně jako v případě běžných derivátů lze kvocient (stejný derivát) vypočítat několika různými způsoby. Například stejnou konstrukci, kterou jsme právě vypočítali, lze přepsat takto:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Zároveň na druhou stranu můžete použít vzorec z derivačního součtu. Jak víme, rovná se součtu derivací. Zapišme si například následující:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Nyní, když to všechno víme, zkusme pracovat se serióznějšími výrazy, protože skutečné parciální derivace se neomezují pouze na polynomy a kořeny: existují také trigonometrie, logaritmy a exponenciální funkce. Teď to udělejme.

Problémy s goniometrickými funkcemi a logaritmy

Úkol č. 1

Zapišme si následující standardní vzorce:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Vyzbrojeni těmito znalostmi se pokusme vyřešit:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Vypišme jednu proměnnou samostatně:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime )))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Vraťme se k našemu designu:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

To je vše, našli jsme to za $ x $, nyní provedeme výpočty pro $ y $:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Opět spočítejme jeden výraz:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime )))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \vpravo)\]

Vrátíme se k původnímu výrazu a pokračujeme v řešení:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Všechno je hotovo.

Problém č. 2

Zapišme si vzorec, který potřebujeme:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Nyní počítejme $ x $:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Nalezeno za $ x $. Počítáme po $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Problém je vyřešen.

Nuance řešení

Takže bez ohledu na to, jakou funkci vezmeme parciální derivaci, pravidla zůstávají stejná, bez ohledu na to, zda pracujeme s trigonometrií, s kořeny nebo s logaritmy.

Klasická pravidla práce se standardními derivacemi zůstávají nezměněna, jmenovitě derivace součtu a rozdílu, kvocient a komplexní funkce.

Poslední vzorec najdeme nejčastěji při řešení úloh s parciálními derivacemi. Setkáváme se s nimi téměř všude. Nikdy nebyl jediný úkol, kdy bychom na to nenarazili. Ale bez ohledu na to, jaký vzorec použijeme, stále máme přidaný ještě jeden požadavek, a to zvláštnost práce s parciálními derivacemi. Jakmile opravíme jednu proměnnou, všechny ostatní jsou konstanty. Konkrétně, vezmeme-li v úvahu parciální derivaci výrazu $\cos \frac(x)(y)$ vzhledem k $y$, pak $y$ je proměnná a $x$ zůstává všude konstantou. To samé funguje i obráceně. Lze ji vyjmout ze znaménka derivace a derivace samotné konstanty bude rovna „nule“.

To vše vede k tomu, že parciální derivace téhož výrazu, ale s ohledem na různé proměnné, mohou vypadat úplně jinak. Podívejme se například na následující výrazy:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Problémy s exponenciálními funkcemi a logaritmy

Úkol č. 1

Pro začátek si napišme následující vzorec:

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

S vědomím této skutečnosti, stejně jako derivace komplexní funkce, zkusme počítat. Nyní to vyřeším dvěma různými způsoby. První a nejzřetelnější je derivát produktu:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Vyřešme samostatně následující výraz:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Vrátíme se k původnímu návrhu a pokračujeme v řešení:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\vpravo)\]

Vše, $x$ se počítá.

Jak jsem však slíbil, nyní se pokusíme tuto stejnou parciální derivaci vypočítat jiným způsobem. Chcete-li to provést, poznamenejte si následující:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Napišme to takto:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=(e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

Ve výsledku jsme dostali úplně stejnou odpověď, ale množství výpočtů se ukázalo být menší. K tomu stačilo poznamenat, že při provádění produktu lze přidat indikátory.

Nyní počítejme $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Pojďme řešit jeden výraz samostatně:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Pokračujme v řešení naší původní konstrukce:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Stejnou derivaci lze samozřejmě vypočítat i druhým způsobem a odpověď by byla stejná.

Problém č. 2

Počítejme $ x $:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Pojďme samostatně vypočítat jeden výraz:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Pokračujme v řešení původní konstrukce: $$

Toto je odpověď.

Zbývá najít analogicky pomocí $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right)))^(\prime ))_(y)=\]

Jako vždy vypočítáme jeden výraz samostatně:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Pokračujeme v řešení základního návrhu:

Vše bylo spočítáno. Jak vidíte, v závislosti na tom, která proměnná se bere pro rozlišení, jsou odpovědi zcela odlišné.

Nuance řešení

Zde je nápadný příklad toho, jak lze derivaci stejné funkce vypočítat dvěma různými způsoby. Podívejte se sem:

\[(((z)")_(x))=\left((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ vlevo(1+\frac(1)(y) \vpravo)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \vpravo)\ ]

Při výběru různých cest se může množství výpočtů lišit, ale odpověď, pokud je vše provedeno správně, bude stejná. To platí pro klasické i parciální derivace. Zároveň ještě jednou připomínám: podle toho, s jakou proměnnou se derivace bere, tzn. diferenciace, odpověď může dopadnout úplně jinak. Podívejte:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

Na závěr, abychom celý tento materiál sjednotili, zkusme vypočítat další dva příklady.

Problémy s goniometrickými funkcemi a funkcemi se třemi proměnnými

Úkol č. 1

Zapišme si následující vzorce:

\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Pojďme nyní vyřešit náš výraz:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Samostatně vypočítejme následující konstrukci:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Pokračujeme v řešení původního výrazu:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Toto je konečná odpověď soukromé proměnné na $x$. Nyní počítejme po $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Pojďme vyřešit jeden výraz samostatně:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Pojďme vyřešit naši konstrukci až do konce:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Problém č. 2

Na první pohled se tento příklad může zdát poměrně komplikovaný, protože se jedná o tři proměnné. Ve skutečnosti je to jeden z nejjednodušších úkolů dnešního videonávodu.

Najít podle $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x(e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Nyní se pojďme zabývat $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Našli jsme odpověď.

Teď už zbývá jen najít podle $z$:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Vypočítali jsme třetí derivaci, která dokončuje řešení druhého problému.

Nuance řešení

Jak vidíte, na těchto dvou příkladech není nic složitého. Jediné, o čem jsme přesvědčeni, je, že derivace komplexní funkce se používá často a podle toho, jakou parciální derivaci počítáme, dostáváme různé odpovědi.

V posledním úkolu jsme byli požádáni, abychom pochopili funkci tří proměnných najednou. Na tom není nic špatného, ​​ale na úplném konci jsme se přesvědčili, že se od sebe všechny výrazně liší.

Klíčové body

Poslední poznatky z dnešního video tutoriálu jsou následující:

1. Parciální derivace se počítají stejně jako obyčejné, ale pro výpočet parciální derivace vzhledem k jedné proměnné bereme všechny ostatní proměnné zahrnuté v této funkci jako konstanty.
2. Při práci s parciálními derivacemi používáme stejné standardní vzorce jako s obyčejnými derivacemi: součet, rozdíl, derivace součinu a kvocientu a samozřejmě derivace komplexní funkce.

Sledování této videolekce samozřejmě nestačí k úplnému pochopení tohoto tématu, takže právě teď na mém webu je soubor problémů pro toto video speciálně věnovaný dnešnímu tématu - vstupte, stáhněte si, vyřešte tyto problémy a zkontrolujte odpověď . A poté nebudete mít problémy s parciálními derivacemi ani u zkoušek, ani v samostatné práci. Toto samozřejmě není poslední lekce vyšší matematiky, takže navštivte náš web, přidejte si VKontakte, odebírejte YouTube, lajkujte a zůstaňte s námi!

Parciální derivace se používají v problémech zahrnujících funkce více proměnných. Pravidla pro hledání jsou úplně stejná jako pro funkce jedné proměnné, jen s tím rozdílem, že jedna z proměnných musí být v době derivace považována za konstantu (konstantní číslo).

Vzorec

Parciální derivace pro funkci dvou proměnných $ z(x,y) $ se zapisují v následujícím tvaru $ z"_x, z"_y $ a najdeme je pomocí vzorců:

Parciální derivace prvního řádu

$$ z"_x = \frac(\částečné z)(\částečné x) $$

$$ z"_y = \frac(\částečné z)(\částečné y) $$

Parciální derivace druhého řádu

$$ z""_(xx) = \frac(\částečné^2 z)(\částečné x \částečné x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\částečné^2 z)(\částečné y \částečné y) $$

Smíšený derivát

$$ z""_(xy) = \frac(\částečné^2 z)(\částečné x \částečné y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\částečné^2 z)(\částečné y \částečné x) $$

Parciální derivace komplexní funkce

a) Nechť $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, pak derivace komplexní funkce je určena vzorcem:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\částečné z)(\částečné x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\částečné z)(\částečné y) \cdot \frac (dy) (dt) $$

b) Nechť $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, pak parciální derivace funkce najdeme podle vzorce:

$$ \frac(\částečné z)(\částečné u) = \frac(\částečné z)(\částečné x) \cdot \frac(\částečné x)(\částečné u) + \frac(\částečné z)( \částečné y) \cdot \frac(\částečné y)(\částečné u) $$

$$ \frac(\částečné z)(\částečné v) = \frac(\částečné z)(\částečné x) \cdot \frac(\částečné x)(\částečné v) + \frac(\částečné z)( \částečné y) \cdot \frac(\částečné y)(\částečné v) $$

Parciální derivace implicitní funkce

a) Nechť $ F(x,y(x)) = 0 $, pak $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Nechť $ F(x,y,z)=0 $, pak $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Příklady řešení

Příklad 1

Najděte parciální derivace prvního řádu $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

Řešení

Abychom našli parciální derivaci vzhledem k $ x $, budeme považovat $ y $ za konstantní hodnotu (číslo): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Abychom našli parciální derivaci funkce vzhledem k $y$, definujeme $y$ konstantou: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Pokud nemůžete svůj problém vyřešit, pošlete nám jej. Poskytneme podrobné řešení. Budete moci sledovat průběh výpočtu a získávat informace. To vám pomůže získat známku od učitele včas!

Odpověď

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Příklad 2

Najděte parciální derivace funkce druhého řádu $ z = e^(xy) $

Řešení

Nejprve musíte najít první derivace, a když je budete znát, můžete najít derivace druhého řádu. Nechť $y$ je konstanta: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ano^(xy) $$ Nyní nastavíme $ x $ na konstantní hodnotu: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Když známe první derivace, najdeme podobně i druhou. Nastavit $y$ na konstantu: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Nastavíme $ x $ na konstantu: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Nyní zbývá jen najít smíšený derivát. Můžete rozlišit $ z"_x $ $ y $ a $ z"_y $ můžete odlišit $ x $, protože podle věty $ z""_(xy) = z""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Odpověď

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

Příklad 4

Nechť $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ definuje implicitní funkci $ F(x,y,z) = 0 $. Najděte parciální derivace prvního řádu.

Řešení

Funkci zapíšeme ve formátu: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ a najdeme derivace: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Odpověď

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Příklad. Najděte jestli, kde.

Řešení. Podle vzorce (1) máme:

Příklad. Najděte parciální derivaci a celkovou derivaci if .

Řešení. .

Na základě vzorce (2) získáme .

2°. Případ několika nezávislých proměnných.

Nechat z = f(x;y) - funkce dvou proměnných X A y, z nichž každá je funkcí

nezávislá proměnná t: x = x(t), y = y(t). V tomto případě funkce z=f(x(t);y(t)) je

komplexní funkce jedné nezávisle proměnné t; proměnné x a y jsou přechodné proměnné.

Teorém. Li z == F(x; y) - v určitém bodě diferencovatelné M(x;y) D funkce

A x = x(t) A na =y(t) - diferencovatelné funkce nezávisle proměnné t,

pak derivace komplexní funkce z(t) == F(x(t);y(t)) vypočítané podle vzorce

(3)

Zvláštní případ: z = f(x; y), kde y = y(x), těch. z = f(x;y(x)) - komplexní funkce jednoho

nezávislá proměnná X. Tento případ se redukuje na předchozí a roli proměnné

t hraje X. Podle vzorce (3) máme:

.

Poslední vzorec se nazývá totální derivační vzorce.

Obecný případ: z = f(x;y), Kde x = x(u;v), y=y(u;v). Potom z = f(x(u;v);y(u;v)) - komplex

funkce nezávislých proměnných A A proti. Jeho parciální deriváty lze nalézt

za použití vzorce (3) následovně. Po opravení proti, vyměnit to,

odpovídající parciální derivace

Tedy derivace komplexní funkce (z) vzhledem ke každé nezávisle proměnné (A A proti)

se rovná součtu součinů parciálních derivací této funkce (z) vzhledem k jejímu meziproduktu

proměnné (x a y) na jejich deriváty vzhledem k odpovídající nezávislé proměnné (u a v).

Ve všech uvažovaných případech platí vzorec

(vlastnost invariance totálního diferenciálu).

Příklad. Najděte a jestliže z= F(x,y), kde x=uv, .

Nechť z=ƒ(x;y) je funkcí dvou proměnných x a y, z nichž každá je funkcí nezávisle proměnné t: x = x(t), y = y(t). V tomto případě je funkce z = f(x(t);y(t)) komplexní funkcí jedné nezávisle proměnné t; proměnné x a y jsou přechodné proměnné.

Věta 44.4. Jestliže z = ƒ(x;y) je funkce diferencovatelná v bodě M(x;y) є D a x = x(t) a y = y(t) jsou diferencovatelné funkce nezávisle proměnné t, pak derivace komplexní funkce z(t ) = f(x(t);y(t)) se vypočítá pomocí vzorce

Dejme nezávislé proměnné t přírůstek Δt. Potom funkce x = = x(t) a y = y(t) obdrží přírůstky Δx a Δy. Ty zase způsobí, že funkce z inkrementuje Az.

Protože podmínkou je funkce z - ƒ(x;y) diferencovatelná v bodě M(x;y), lze její celkový přírůstek znázornit ve tvaru

kde а→0, β→0 při Δх→0, Δу→0 (viz odstavec 44.3). Vydělme výraz Δz Δt a přejdeme k limitě v Δt→0. Potom Δх→0 a Δу→0 díky spojitosti funkcí x = x(t) a y = y(t) (podle podmínek věty jsou diferencovatelné). Dostáváme:

Speciální případ: z=ƒ(x;y), kde y=y(x), tj. z=ƒ(x;y(x)) je komplexní funkce jedné nezávisle proměnné x. Tento případ se redukuje na předchozí a roli proměnné t hraje x. Podle vzorce (44.8) máme:

Vzorec (44.9) se nazývá celkový derivační vzorec.

Obecný případ: z=ƒ(x;y), kde x=x(u;v), y=y(u;v). Pak z= f(x(u;v);y(u;v)) je komplexní funkcí nezávislých proměnných u a v. Jeho parciální deriváty lze nalézt pomocí vzorce (44.8) následovně. Když máme pevné v, nahradíme ho odpovídajícími parciálními derivacemi

Podobně dostaneme:

Derivace komplexní funkce (z) vzhledem ke každé nezávisle proměnné (u a v) je tedy rovna součtu součinů parciálních derivací této funkce (z) vzhledem k jejím meziproměnným (x a y). ) a jejich deriváty vzhledem k odpovídající nezávisle proměnné (u a v).

Příklad 44.5. Zjistěte, zda z=ln(x 2 +y 2), x=u v, y=u/v.

Řešení: Najdeme dz/du (dz/dv - nezávisle) pomocí vzorce (44.10):

Zjednodušme pravou stranu výsledné rovnosti:

40. Parciální derivace a totální diferenciály funkcí více proměnných.

Nechť je dána funkce z = ƒ (x; y). Protože x a y jsou nezávislé proměnné, jedna z nich se může měnit, zatímco druhá si zachovává svou hodnotu. Nezávislé proměnné x přiřaďme přírůstek Δx, přičemž hodnota y zůstane nezměněna. Potom z obdrží přírůstek, který se nazývá částečný přírůstek z vzhledem k x a je označen ∆ x z. Tak,

Axz=I(x+Ax;y)-I(x;y).

Podobně získáme částečný přírůstek z vzhledem k y:

Ay z=ƒ(x;y+Ay)-ƒ(x;y).

Celkový přírůstek Δz funkce z je určen rovností

Δz = ƒ(x + Δx;y + Δy) - ƒ(x;y).

Pokud existuje limit

pak se nazývá parciální derivace funkce z = ƒ (x; y) v bodě M (x; y) vzhledem k proměnné x a značí se jedním ze symbolů:

Parciální derivace vzhledem k x v bodě M 0 (x 0 ; y 0) se obvykle značí symboly

Parciální derivace z=ƒ(x;y) vzhledem k proměnné y je podobně definována a označena:

Parciální derivace funkce několika (dvou, tří nebo více) proměnných je tedy definována jako derivace funkce jedné z těchto proměnných za předpokladu, že hodnoty zbývajících nezávislých proměnných jsou konstantní. Proto jsou parciální derivace funkce ƒ(x;y) nalezeny pomocí vzorců a pravidel pro výpočet derivací funkce jedné proměnné (v tomto případě je x, resp. y považováno za konstantní hodnotu).

Příklad 44.1. Najděte parciální derivace funkce z = 2y + e x2-y +1. Řešení:

Geometrický význam parciálních derivací funkce dvou proměnných

Graf funkce z= ƒ (x; y) je určitá plocha (viz část 12.1). Grafem funkce z = ƒ (x; y 0) je přímka průsečíku této plochy s rovinou y = y o. Na základě geometrického významu derivace pro funkci jedné proměnné (viz odstavec 20.2) dojdeme k závěru, že ƒ"x(x o; y o) = tan a, kde a je úhel mezi osou Ox a tečnou k křivka z = ƒ (x; y 0) v bodě Mo(xo;yo; ƒ(xo;yo)) (viz obr. 208).

Podobně f"y (x 0; y 0) = tgp.

Funkce Z=f(x,y) se nazývá diferencovatelná v bodě P(x,y), pokud její celkový přírůstek ΔZ lze vyjádřit jako Δz = A∙Δx+B∙Δy+ω(Δx,Δy), kde Δx a Δy – jakékoli přírůstky odpovídajících argumentů x a y v určitém okolí bodu P, A a B jsou konstantní (nezávisí na Δx,Δy),

ω(Δx,Δy) – nekonečně malé číslo vyššího řádu, než je vzdálenost:

Pokud je funkce v bodě diferencovatelná, pak se její celkový přírůstek v tomto bodě skládá ze dvou částí:

1. Hlavní část přírůstku funkce A∙Δx+B∙Δy je lineární vzhledem k Δx,Δy

2. A nelineární ω(Δx,Δy) je infinitesimálem vyššího řádu, než je hlavní část přírůstku.

Hlavní část přírůstku funkce, lineární vzhledem k Δx,Δy, se nazývá totální diferenciál této funkce a označuje se:Δz = A∙Δx+B∙Δy, Δx=dx a Δy=dy nebo úplný diferenciál funkce dvou proměnných:

Rozdíl zobrazení. Diferenciál a derivace numerické funkce jedné proměnné. Tabulka derivátů. Diferencovatelnost. ) je funkcí argumentu , která je nekonečně malá jako →0, tzn.

Ujasněme si nyní souvislost mezi diferencovatelností v bodě a existencí derivace ve stejném bodě.

Teorém. Aby funkce F(x) byl v daném bodě diferencovatelný X , je nutné a postačující, že má v tomto bodě konečnou derivaci.

Tabulka derivátů.