Diskrétní Wienerův filtr. Optimální lineární filtrace spojitých signálů

Definice
Subsekvence (βn) nazývá se nekonečně velká sekvence, když pro koho, libovolně velké číslo M, taková věc existuje přirozené číslo N M v závislosti na M tak, že pro všechna přirozená n > N M platí následující nerovnost:
|βn | >M.
V tomto případě píšou
.
Nebo v .
Říká se, že to tíhne do nekonečna, popř konverguje do nekonečna.

Pokud počínaje nějakým číslem N 0 , Že
( konverguje k plus nekonečnu).
Pokud pak
( konverguje do mínus nekonečna).

Napišme tyto definice pomocí logických symbolů existence a univerzálnosti:
(1) .
(2) .
(3) .

Posloupnosti s limitami (2) a (3) jsou speciální případy nekonečně velké posloupnosti (1). Z těchto definic vyplývá, že pokud je limita posloupnosti rovna plus nebo mínus nekonečnu, pak je také rovna nekonečnu:
.
Opak samozřejmě neplatí. Členové sekvence mohou mít střídající se znaménka. V tomto případě se limita může rovnat nekonečnu, ale bez konkrétního znaménka.

Všimněte si také, že pokud nějaká vlastnost platí pro libovolnou posloupnost s limitou rovnou nekonečnu, pak stejná vlastnost platí pro posloupnost, jejíž limita je rovna plus nebo mínus nekonečnu.

V mnoha učebnicích počtu se v definici nekonečně velké posloupnosti uvádí, že číslo M je kladné: M > 0 . Tento požadavek je však zbytečný. Pokud je zrušen, nevznikají žádné rozpory. Jen malé nebo záporné hodnoty nás nezajímají. Zajímá nás chování sekvence pro libovolně velké kladné hodnoty M. Pokud tedy vznikne potřeba, pak M může být zdola omezeno libovolným předem určeným číslem a, to znamená, že můžeme předpokládat, že M > a.

Když jsme definovali ε - okolí koncového bodu, pak požadavek ε > 0 je důležité. Na záporné hodnoty, nelze nerovnost vůbec uspokojit.

Okolí bodů v nekonečnu

Když jsme uvažovali o konečných limitách, zavedli jsme koncept okolí bodu. Připomeňme, že okolí koncového bodu je otevřený interval obsahující tento bod. Koncept čtvrtí můžeme také zavádět donekonečna vzdálené body.

Nechť M je libovolné číslo.
Okolí bodu "nekonečno", , se nazývá množina.
Okolí bodu "plus nekonečno", , se nazývá množina.
V blízkosti bodu "minus nekonečno", , se nazývá množina.

Přísně vzato, okolí bodu "nekonečno" je množina
(4) ,
kde M 1 a M 2 - libovolná kladná čísla. Použijeme první definici, protože je jednodušší. I když vše, co je uvedeno níže, platí také při použití definice (4).

Nyní můžeme dát jediná definice limita posloupnosti, která platí pro konečné i nekonečné limity.

Univerzální definice limity posloupnosti.
Bod a (konečný nebo v nekonečnu) je limita posloupnosti, jestliže pro libovolné okolí tohoto bodu existuje přirozené číslo N takové, že do tohoto okolí patří všechny prvky posloupnosti s čísly.

Pokud tedy existuje limita, pak mimo okolí bodu a může být pouze konečný počet členů posloupnosti nebo prázdná množina. Tato podmínka je nezbytná a dostatečná. Důkaz této vlastnosti je úplně stejný jako u konečných limit.

Vlastnost sousedství konvergentní posloupnosti
Aby bod a (konečný nebo v nekonečnu) byl limitou posloupnosti, je nutné a postačující, aby mimo jakékoli okolí tohoto bodu existoval konečný počet členů posloupnosti nebo prázdná množina.
Důkaz .

Někdy se také zavádějí pojmy ε - okolí bodů v nekonečnu.
Připomeňme, že ε-okolí konečného bodu a je množina .
Uveďme si následující zápis. Označme ε okolí bodu a. Pak pro konečný bod,
.
Pro body v nekonečnu:
;
;
.
Pomocí pojmů ε - sousedství můžeme dát další univerzální definice limit sekvence:

Bod a (konečný nebo v nekonečnu) je limitou posloupnosti, jestliže pro libovolné kladné číslo ε > 0 existuje přirozené číslo N ε závislé na ε takové, že pro všechna čísla n > N ε patří členy x n k ε-okolí bodu a:
.

Pomocí logických symbolů existence a univerzálnosti bude tato definice napsána takto:
.

Příklady nekonečně velkých sekvencí

Nejprve se podíváme na tři jednoduché podobné příklady a poté vyřešíme složitější.

Příklad 1

.

.
Zapišme si definici nekonečně velké posloupnosti:
(1) .
V našem případě
.

Zavádíme čísla a spojujeme je s nerovnostmi:
.
Podle vlastností nerovnic, jestliže a , pak
.
Všimněte si, že tato nerovnost platí pro libovolné n. Proto si můžete vybrat takto:
na ;
na .

Takže pro každého můžeme najít přirozené číslo, které vyhovuje nerovnosti. Pak pro všechny,
.
Znamená to, že . To znamená, že sekvence je nekonečně velká.

Příklad 2

Ukažte to pomocí definice nekonečně velké posloupnosti
.

(2) .
Obecný člen dané posloupnosti má tvar:
.

Zadejte čísla a:
.
.

Pak pro kohokoli lze najít přirozené číslo, které vyhovuje nerovnosti, takže pro všechny,
.
Znamená to, že .

.

Příklad 3

Ukažte to pomocí definice nekonečně velké posloupnosti
.

Zapišme si definici limity posloupnosti rovné mínus nekonečnu:
(3) .
Obecný člen dané posloupnosti má tvar:
.

Zadejte čísla a:
.
Z toho je zřejmé, že pokud a , pak
.

Protože pro kterékoli je možné najít přirozené číslo, které vyhovuje nerovnosti, pak
.

Vzhledem k tomu, že jako N můžeme vzít jakékoli přirozené číslo, které splňuje následující nerovnost:
.

Příklad 4

Ukažte to pomocí definice nekonečně velké posloupnosti
.

Zapišme si obecný člen posloupnosti:
.
Zapišme si definici limity posloupnosti rovné plus nekonečnu:
(2) .

Protože n je přirozené číslo, n = 1, 2, 3, ... , Že
;
;
.

Zavádíme čísla a M a spojujeme je s nerovnostmi:
.
Z toho je zřejmé, že pokud a , pak
.

Takže pro libovolné číslo M můžeme najít přirozené číslo, které splňuje nerovnost. Pak pro všechny,
.
Znamená to, že .

Reference:
L.D. Kudrjavcev. Studna matematická analýza. Svazek 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolského. Kurz matematické analýzy. Svazek 1. Moskva, 1983.

Okolí tohoto bodu jsme definovali jako vnější stranu kružnic se středem v počátku: U (∞, ε ) = {z ∈ | |z | > ε). Tečka z = ∞ je izolovaný singulární bod analytické funkce w = F (z ), pokud v některém okolí tohoto bodu nejsou žádné další singulární body této funkce. Abychom určili typ tohoto singulárního bodu, provedeme změnu proměnné a bodu z = ∞ jde k věci z 1 = 0, funkce w = F (z ) bude mít podobu . Typ singulárního bodu z = ∞ funkcí w = F (z ) budeme nazývat typ singulární bod z 1 = 0 funkcí w = φ (z 1). Pokud rozšíření funkce w = F (z ) po stupních z v blízkosti bodu z = ∞, tzn. při dostatečně velkých hodnotách modulu z , má tvar , then, nahrazující z dne , obdržíme . S takovou změnou proměnné se tedy hlavní a pravidelné díly Laurentovy řady vymění a typ singulárního bodu z = ∞ je určeno počtem členů ve správné části rozšíření funkce v Laurentově řadě v mocninách z v blízkosti bodu z = 0. Proto
1. Bod z = ∞ je odstranitelný singulární bod, pokud toto rozšíření neobsahuje správnou část (snad kromě výrazu A 0);
2. Bod z = ∞ - pól n -tý řád, pokud pravá část končí členem A n · z n ;
3. Bod z = ∞ je v podstatě singulární bod, pokud pravidelná část obsahuje nekonečně mnoho členů.

V tomto případě zůstávají v platnosti kritéria pro typy singulárních bodů podle hodnoty: if z= ∞ je odstranitelný singulární bod, pak tato limita existuje a je konečná, jestliže z= ∞ je pól, pak je tato limita nekonečná, jestliže z= ∞ je v podstatě singulární bod, pak tato limita neexistuje (ani konečná, ani nekonečná).

Příklady: 1. F (z ) = -5 + 3z 2 - z 6. Funkce je již v mocninách polynom z , nejvyšší stupeň je tedy šestý z
Stejného výsledku lze dosáhnout i jiným způsobem. Vyměníme z na, pak . Pro funkci φ (z 1) bod z 1 = 0 je pól šestého řádu, tedy pro F (z ) tečka z = ∞ - pól šestého řádu.
2. Pro tuto funkci získejte rozšíření výkonu z obtížné, tak pojďme najít: ; limita existuje a je konečná, tedy bod z
3. Správná část rozšíření výkonu z obsahuje nekonečně mnoho termínů, takže z = ∞ je v podstatě singulární bod. V opačném případě lze tuto skutečnost konstatovat na základě skutečnosti, že neexistuje.

Zbytek funkce v nekonečně vzdáleném singulárním bodě.

Na závěr singulární bod A , Kde γ - obvod neobsahující žádné jiné kromě A , singulárních bodů, procházených tak, že plocha jím ohraničená a obsahující singulární bod zůstane vlevo (proti směru hodinových ručiček).

Definujme podobným způsobem: , kde Γ − je obrys omezující takové okolí U (∞, r ) body z = ∞, který neobsahuje další singulární body a lze jej procházet tak, aby toto okolí zůstalo vlevo (tj. ve směru hodinových ručiček). Všechny ostatní (koncové) singulární body funkce se tedy musí nacházet uvnitř obrysu Γ − . Změňme směr procházení vrstevnice Γ − : . Podle hlavní věty o zbytcích , kde se sumace provádí přes všechny konečné singulární body. Proto konečně

,

těch. zbytek v nekonečně vzdáleném singulárním bodě se rovná součtu zbytků ve všech konečných singulárních bodech s opačným znaménkem.

V důsledku toho existuje teorém o celkovém součtu: pokud funkce w = F (z ) je analytický všude v rovině S s výjimkou konečného počtu singulárních bodů z 1 , z 2 , z 3 , …,z k , pak součet zbytků ve všech konečných singulárních bodech a zbytku v nekonečnu je nula.

Všimněte si, že pokud z = ∞ je odstranitelný singulární bod, pak zbytek v něm může být odlišný od nuly. Takže pro funkci, samozřejmě, ; z = 0 je jediný konečný singulární bod této funkce, takže , přesto, že, tzn. z = ∞ je odstranitelný singulární bod.