Číselné a písmenné výrazy. Vzorec. Hledání významu výrazu, příklady, řešení

Číselné vyjádření– jedná se o jakýkoli záznam čísel, aritmetických symbolů a závorek. Číselný výraz se může jednoduše skládat z jednoho čísla. Připomeňme, že základní aritmetické operace jsou „sčítání“, „odčítání“, „násobení“ a „dělení“. Tyto akce odpovídají znaménkům „+“, „-“, „∙“, „:“.

Abychom dostali číselné vyjádření, musí být samozřejmě záznam čísel a aritmetických znaků smysluplný. Takže například takový záznam 5: + ∙ nelze nazvat číselným výrazem, protože jde o náhodnou sadu symbolů, která nemá žádný význam. Naopak 5 + 8 ∙ 9 je již skutečné číselné vyjádření.

Hodnota číselného výrazu.

Řekněme hned, že pokud provedeme akce uvedené v číselném výrazu, získáme v důsledku toho číslo. Toto číslo se volá hodnotu číselného výrazu.

Pokusme se vypočítat, co získáme v důsledku provádění akcí našeho příkladu. Podle pořadí, ve kterém se provádějí aritmetické operace, provedeme nejprve operaci násobení. Vynásobte 8 9. Dostaneme 72. Nyní sečtěte 72 a 5. Dostaneme 77.
Takže 77- významčíselné vyjádření 5 + 8 ∙ 9.

Numerická rovnost.

Můžete to napsat takto: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Zde jsme poprvé použili znak „=“ („Rovno“). Takový zápis, ve kterém jsou dva číselné výrazy odděleny znaménkem „=“, se nazývá číselná rovnost. Navíc, pokud se hodnoty levé a pravé strany rovnosti shodují, pak se rovnost nazývá věřící. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – správná rovnost.
Pokud napíšeme 5 + 8 ∙ 9 = 100, pak to již bude falešná rovnost, protože hodnoty levé a pravé strany této rovnosti se již neshodují.

Nutno podotknout, že v číselném vyjádření můžeme použít i závorky. Závorky ovlivňují pořadí, ve kterém se akce provádějí. Upravme tedy například náš příklad přidáním závorek: (5 + 8) ∙ 9. Nyní musíte nejprve sečíst 5 a 8. Dostaneme 13. A pak vynásobíme 13 9. Dostaneme 117. Tedy (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – významčíselné vyjádření (5 + 8) ∙ 9.

Chcete-li výraz správně přečíst, musíte určit, která akce se pro výpočet hodnoty daného číselného výrazu provede jako poslední. Pokud je tedy poslední akcí odečítání, pak se výraz nazývá „rozdíl“. Pokud je tedy poslední akcí součet – „součet“, dělení – „podíl“, násobení – „součin“, umocnění – „mocnina“.

Například číselný výraz (1+5)(10-3) zní takto: „součin součtu čísel 1 a 5 a rozdílu čísel 10 a 3“.

Příklady číselných výrazů.

Zde je příklad složitějšího číselného výrazu:

\[\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\]

Tento číselný výraz používá prvočísla, běžné zlomky a desetinná místa. Používají se také znaménka sčítání, odčítání, násobení a dělení. Zlomková čára také nahrazuje znaménko dělení. Přes zdánlivou složitost je zjištění hodnoty tohoto číselného výrazu celkem jednoduché. Hlavní věcí je být schopen provádět operace se zlomky a také pečlivě a přesně provádět výpočty a dodržovat pořadí, ve kterém jsou akce prováděny.

V závorkách máme výraz $\frac(1)(4)+3,75$ . Převeďte desetinný zlomek 3,75 na běžný zlomek.

3,75 $=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Tak, $\frac(1)(4)+3,75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Dále v čitateli zlomku \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\] máme výraz 1,25+3,47+4,75-1,47. Pro zjednodušení tohoto výrazu použijeme komutativní zákon sčítání, který říká: „Součet se nemění změnou místa členů.“ To znamená, 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

Ve jmenovateli zlomku výraz $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Dostaneme $\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)=4: \frac(8)(2)=4:4 = 1 $

Kdy číselné výrazy nedávají smysl?

Podívejme se na další příklad. Ve jmenovateli zlomku $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ hodnota výrazu $3\centerdot 3-9$ je 0. A jak víme, dělení nulou je nemožné. Proto zlomek $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ nemá žádný význam. O číselných výrazech, které nemají žádný význam, se říká, že nemají „žádný význam“.

Pokud v číselném vyjádření použijeme kromě čísel i písmena, pak budeme mít

Číselné výrazy se skládají z čísel, aritmetických symbolů a závorek. Pokud takový výraz obsahuje proměnné, bude nazýván algebraický. Goniometrický výraz je výraz, ve kterém je proměnná obsažena pod znaménky goniometrických funkcí. Problémy s určováním hodnot numerických, trigonometrických a algebraických výrazů se často vyskytují ve školních kurzech matematiky.

Instrukce

Chcete-li zjistit hodnotu číselného výrazu, určete pořadí operací v daném příkladu. Pro usnadnění si jej označte tužkou nad odpovídajícími značkami. Proveďte všechny uvedené akce v určitém pořadí: akce v závorkách, umocňování, násobení, dělení, sčítání, odčítání. Výsledné číslo bude hodnotou číselného výrazu.

Příklad. Najděte hodnotu výrazu (34 10+(489–296) 8):4–410. Určete postup. Proveďte první akci ve vnitřních závorkách 489–296=193. Poté vynásobte 193 8=1544 a 34 10=340. Další akce: 340+1544=1884. Dále vydělte 1884:4=461 a poté odečtěte 461–410=60. Našli jste význam tohoto výrazu.

Chcete-li nejprve najít hodnotu trigonometrického výrazu pro známý úhel?. K tomu použijte příslušné goniometrické vzorce. Vypočítejte zadané hodnoty goniometrických funkcí a dosaďte je do příkladu. Následuj kroky.

Příklad. Najděte význam výrazu 2sin 30? co 30? tg 30? ctg 30?. Zjednodušte tento výraz. K tomu použijte vzorec tg? ctg ?=1. Získat: 2sin 30? co 30? 1=2sin 30? co 30?. Je známo, že hřích 30?=1/2 a cos 30?=?3/2. Proto 2sin 30? cos 30? = 2 1/2 ? 3/2 = ? 3/2. Našli jste význam tohoto výrazu.

Význam algebraického výrazu závisí na hodnotě proměnné. Chcete-li najít hodnotu algebraického výrazu s proměnnými, výraz zjednodušte. Nahraďte proměnné určitými hodnotami. Proveďte potřebné kroky. Ve výsledku dostanete číslo, které bude hodnotou algebraického výrazu pro dané proměnné.

Příklad. Najděte hodnotu výrazu 7(a+y)–3(2a+3y) s a=21 a y=10. Zjednodušte tento výraz a získáte: a–2y. Dosaďte odpovídající hodnoty proměnných a vypočítejte: a–2y=21–2 10=1. Toto je hodnota výrazu 7(a+y)–3(2a+3y) s a=21 a y=10.

Poznámka

Existují algebraické výrazy, které pro některé hodnoty proměnných nedávají smysl. Například výraz x/(7–a) nedává smysl, pokud a=7, protože v tomto případě se jmenovatel zlomku stane nulou.

V Lazarus můžete také počítat složité matematické výrazy. Například následující výraz:

Vše, co musíme udělat, je správně nastavit vzorec, aby jej Lazarus mohl sestavit a poté vyřešit.

Rýže. 4 – Program „výpočet hodnoty výrazů“ před spuštěním

Pro začátek zadejte při kompilaci programu mezi „procedure“ a „begin“ příkaz var alfa………y:real; je nezbytný pro výpočet desetinných čísel. Musíte také zadat příkaz „math“ do „uses“, jinak některé funkce v programu nebudou fungovat.

Takto vypadá kód pro program „výpočet hodnoty výrazů“ v Lazarus:

procedure TForm1.SpeedButton1Click(Sender: TObject);

var x,y: Single;

x:= StrToFloat(Edit1.Text);

y:= ((sin(x))/2)+3;

Label3.Caption:=FloatToStr(y);

Rýže. 5 – Program „Evaluation of Expressions“ po spuštění.

Program byl sestaven správně, výklad se povedl. Nyní, abyste mohli vypočítat funkci „y“, musíte do vzorce zadat své hodnoty.

Výpočet součtů řady čísel.

Pomocí součtu číselných řad můžete: - rozšířit funkci na mocninnou řadu; - provádět přibližné výpočty funkčních hodnot; - provádět limitní výpočty; - provádět výpočet určitých integrálů; - provádět logaritmické výpočty; - provést integraci diferenciálních rovnic; - řešit rovnici prvního řádu iterační metodou.

Iterace je opakované provádění nějaké akce, dokud není splněna nějaká podmínka. Řada je považována za danou, pokud je dán zákon, podle kterého lze vypočítat kteréhokoli člena řady a je známo pořadové číslo tohoto čísla. Mezi řadami jsou řady konvergentní a řady divergentní. Pokud hodnota dílčích součtů Sn směřuje k určitému číslu A, jak n roste bez omezení, řada se nazývá konvergentní a číslo A se nazývá součet. Při neomezeném nárůstu n se tedy hodnota Sn liší tak málo, jak je žádoucí od A, tzn. číslo A je limita posloupnosti Sn.

Rýže. 6 – Program „Výpočet součtů řady čísel“ před spuštěním

Kód pro program „Výpočet součtů řady čísel“ bude vypadat takto:

Třídy, SysUtils, FileUtil, LResources, Formuláře, Ovládací prvky, Grafika, Dialogy, ExtCtrls, StdCtrls, Matematika;

TForm1 = class(TForm)

Tlačítko1: TButton;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

(soukromá prohlášení)

(veřejná prohlášení)

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var n, faktoriál: celé číslo; x, y, s: skutečné;

x:=StrToFloat(Edit1.Text);

pro n:=1 až 25 do

s:=s + mocnina(x,(n-1))/faktor;

faktoriál:=faktoriál*(n+1);

Label4.Caption:=FloatToStr(s);

y:=(výkon(2,76,x)-1)/x;

Label5.Caption:=FloatToStr(y);

Rýže. 7 – Program „Výpočet součtů řady čísel“ po spuštění

Program byl zkompilován správně, objekt byl zkompilován úspěšně. Nyní, abyste mohli vypočítat součet řady čísel, musíte zadat své hodnoty do vzorce a vytvořený program, podobný kalkulačce, vypočítá odpověď.

Tento článek pojednává o tom, jak najít hodnoty matematických výrazů. Začněme jednoduchými číselnými výrazy a poté uvažujme případy, jak se jejich složitost zvyšuje. Na konci uvádíme výraz obsahující písmenné symboly, závorky, odmocniny, speciální matematické symboly, mocniny, funkce atd. Jako tradičně poskytneme celou teorii bohatými a podrobnými příklady.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Jak zjistit hodnotu číselného výrazu?

Číselné výrazy mimo jiné pomáhají popsat stav problému v matematickém jazyce. Obecně mohou být matematické výrazy buď velmi jednoduché, skládající se z dvojice čísel a aritmetických symbolů, nebo velmi složité, obsahující funkce, mocniny, odmocniny, závorky atd. V rámci úkolu je často nutné najít význam konkrétního výrazu. Jak to udělat, bude diskutováno níže.

Nejjednodušší případy

To jsou případy, kdy výraz neobsahuje nic jiného než čísla a aritmetické operace. Chcete-li úspěšně najít hodnoty takových výrazů, budete potřebovat znalost pořadí provádění aritmetických operací bez závorek a také schopnost provádět operace s různými čísly.

Pokud výraz obsahuje pouze čísla a aritmetická znaménka " + " , " · " , " - " , " ÷ " , pak se akce provádějí zleva doprava v následujícím pořadí: nejprve násobení a dělení, poté sčítání a odčítání. Uveďme příklady.

Příklad 1: Hodnota číselného výrazu

Potřebujete najít hodnoty výrazu 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Nejprve provedeme násobení a dělení. Dostaneme:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Nyní provedeme odečítání a dostaneme konečný výsledek:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Příklad 2: Hodnota číselného výrazu

Vypočítejme: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Nejprve provedeme zlomkovou konverzi, dělení a násobení:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Nyní uděláme nějaké sčítání a odčítání. Seskupíme zlomky a přivedeme je ke společnému jmenovateli:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Požadovaná hodnota byla nalezena.

Výrazy se závorkami

Pokud výraz obsahuje závorky, definují pořadí operací v tomto výrazu. Nejprve se provedou akce v závorkách a poté všechny ostatní. Ukažme si to na příkladu.

Příklad 3: Hodnota číselného výrazu

Nalezneme hodnotu výrazu 0,5 · (0,76 - 0,06).

Výraz obsahuje závorky, proto nejprve provedeme operaci odčítání v závorce a teprve potom násobení.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

Význam výrazů obsahujících závorky v závorkách se nachází podle stejného principu.

Příklad 4: Hodnota číselného výrazu

Vypočítejme hodnotu 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.

Provedeme akce počínaje nejvnitřnějšími závorkami a přesunout se k těm vnějším.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Při hledání významů výrazů se závorkami je hlavní sledovat posloupnost akcí.

Výrazy s kořeny

Matematické výrazy, jejichž hodnoty potřebujeme najít, mohou obsahovat kořenové znaky. Navíc samotný výraz může být pod kořenovým znakem. Co dělat v tomto případě? Nejprve musíte najít hodnotu výrazu pod kořenem a poté extrahovat kořen z čísla získaného jako výsledek. Pokud je to možné, je lepší se zbavit kořenů v číselných výrazech a nahradit je číselnými hodnotami.

Příklad 5: Hodnota číselného výrazu

Vypočítejme hodnotu výrazu s odmocninami - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Nejprve vypočítáme radikální výrazy.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Nyní můžete vypočítat hodnotu celého výrazu.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Nalezení významu výrazu s kořeny často vyžaduje nejprve transformaci původního výrazu. Pojďme si to vysvětlit ještě na jednom příkladu.

Příklad 6: Hodnota číselného výrazu

Kolik je 3 + 1 3 - 1 - 1

Jak vidíte, nemáme možnost nahradit kořen přesnou hodnotou, což komplikuje proces počítání. V tomto případě však můžete použít zkrácený vzorec násobení.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Tím pádem:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Výrazy s pravomocemi

Pokud výraz obsahuje mocniny, musí být jejich hodnoty vypočteny před provedením všech ostatních akcí. Stává se, že samotný exponent nebo základ stupně jsou výrazy. V tomto případě se nejprve vypočítá hodnota těchto výrazů a poté hodnota stupně.

Příklad 7: Hodnota číselného výrazu

Nalezneme hodnotu výrazu 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Začněme počítat popořadě.

2 3 4 – 10 = 2 12 – 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Zbývá pouze provést operaci sčítání a zjistit význam výrazu:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Často je také vhodné zjednodušit výraz pomocí vlastností stupně.

Příklad 8: Hodnota číselného výrazu

Vypočítejme hodnotu následujícího výrazu: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Exponenty jsou opět takové, že nelze získat jejich přesné číselné hodnoty. Zjednodušme původní výraz, abychom našli jeho hodnotu.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Výrazy se zlomky

Pokud výraz obsahuje zlomky, pak při výpočtu takového výrazu musí být všechny zlomky v něm uvedeny jako obyčejné zlomky a jejich hodnoty se vypočítají.

Pokud čitatel a jmenovatel zlomku obsahuje výrazy, pak se nejprve vypočítají hodnoty těchto výrazů a zapíše se konečná hodnota samotného zlomku. Aritmetické operace se provádějí ve standardním pořadí. Podívejme se na příklad řešení.

Příklad 9: Hodnota číselného výrazu

Najdeme hodnotu výrazu obsahujícího zlomky: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Jak vidíte, v původním výrazu jsou tři zlomky. Nejprve spočítejme jejich hodnoty.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Přepišme náš výraz a vypočítejme jeho hodnotu:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Při hledání významu výrazů je často vhodné zlomky zmenšit. Existuje nevyslovené pravidlo: před zjištěním jeho hodnoty je nejlepší zjednodušit jakýkoli výraz na maximum a omezit všechny výpočty na nejjednodušší případy.

Příklad 10: Hodnota číselného výrazu

Vypočítejme výraz 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Nemůžeme úplně extrahovat kořen pětky, ale můžeme původní výraz zjednodušit pomocí transformací.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Původní výraz má tvar:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Vypočítejme hodnotu tohoto výrazu:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Výrazy s logaritmy

Pokud jsou ve výrazu přítomny logaritmy, jejich hodnota se pokud možno počítá od začátku. Například ve výrazu log 2 4 + 2 · 4 můžete okamžitě zapsat hodnotu tohoto logaritmu místo log 2 4 a pak provést všechny akce. Dostaneme: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Číselné výrazy lze také nalézt pod logaritmickým znakem samotným a na jeho základně. V tomto případě je třeba nejprve najít jejich význam. Vezměme si výraz log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. My máme:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Pokud není možné vypočítat přesnou hodnotu logaritmu, zjednodušení výrazu pomůže najít jeho hodnotu.

Příklad 11: Hodnota číselného výrazu

Najdeme hodnotu výrazu log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Podle vlastnosti logaritmů:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Opět použitím vlastností logaritmů pro poslední zlomek ve výrazu dostaneme:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Nyní můžete přistoupit k výpočtu hodnoty původního výrazu.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Výrazy s goniometrickými funkcemi

Stává se, že výraz obsahuje goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens a také jejich inverzní funkce. Hodnota se vypočítá před provedením všech ostatních aritmetických operací. Jinak je výraz zjednodušen.

Příklad 12: Hodnota číselného výrazu

Najděte hodnotu výrazu: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Nejprve vypočítáme hodnoty goniometrických funkcí obsažených ve výrazu.

hřích - 5 π 2 = - 1

Hodnoty dosadíme do výrazu a vypočítáme jeho hodnotu:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

Hodnota výrazu byla nalezena.

Často, aby bylo možné najít hodnotu výrazu s goniometrickými funkcemi, musí být nejprve převeden. Vysvětlíme si to na příkladu.

Příklad 13: Hodnota číselného výrazu

Musíme najít hodnotu výrazu cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Pro převod použijeme goniometrické vzorce pro kosinus dvojitého úhlu a kosinus součtu.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 -1 cos 1-1 = 0.

Obecný případ číselného výrazu

Obecně platí, že goniometrický výraz může obsahovat všechny výše popsané prvky: závorky, mocniny, odmocniny, logaritmy, funkce. Formulujme obecné pravidlo pro hledání významů takových výrazů.

Jak zjistit hodnotu výrazu

1. Odmocniny, mocniny, logaritmy atd. jsou nahrazeny svými hodnotami.
2. Provedou se akce uvedené v závorkách.
3. Zbývající akce se provádějí v pořadí zleva doprava. Nejprve - násobení a dělení, poté - sčítání a odčítání.

Podívejme se na příklad.

Příklad 14: Hodnota číselného výrazu

Vypočítejme hodnotu výrazu - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

Výraz je poměrně složitý a těžkopádný. Nebylo náhodou, že jsme zvolili právě takový příklad, snažili jsme se do něj vměstnat všechny výše popsané případy. Jak najít význam takového výrazu?

Je známo, že při výpočtu hodnoty komplexního zlomkového tvaru se nejprve hodnoty čitatele a jmenovatele zlomku nacházejí samostatně. Tento výraz postupně transformujeme a zjednodušíme.

Nejprve si spočítejme hodnotu radikálního výrazu 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Chcete-li to provést, musíte najít hodnotu sinus a výraz, který je argumentem goniometrické funkce.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Nyní můžete zjistit hodnotu sinusu:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.

Vypočteme hodnotu radikálního výrazu:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Se jmenovatelem zlomku je vše jednodušší:

Nyní můžeme napsat hodnotu celého zlomku:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

Když to vezmeme v úvahu, zapíšeme celý výraz:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Konečný výsledek:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

V tomto případě jsme byli schopni vypočítat přesné hodnoty kořenů, logaritmů, sinů atd. Pokud to není možné, můžete se jich pokusit zbavit pomocí matematických transformací.

Výpočet hodnot výrazů pomocí racionálních metod

Číselné hodnoty se musí počítat konzistentně a přesně. Tento proces lze racionalizovat a urychlit pomocí různých vlastností operací s čísly. Je například známo, že součin je roven nule, pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule. Vezmeme-li tuto vlastnost v úvahu, můžeme okamžitě říci, že výraz 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 je roven nule. Zároveň není vůbec nutné provádět akce v pořadí popsaném v článku výše.

Vhodné je také použít vlastnost odečítání stejných čísel. Bez provedení jakýchkoliv akcí můžete nařídit, aby hodnota výrazu 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 byla také nula.

Další technikou pro urychlení procesu je použití transformací identity, jako je seskupování termínů a faktorů a umístění společného faktoru mimo hranaté závorky. Racionálním přístupem k počítání výrazů se zlomky je redukovat stejné výrazy v čitateli i ve jmenovateli.

Vezměme například výraz 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Bez provedení operací v závorkách, ale zmenšením zlomku, můžeme říci, že hodnota výrazu je 1 3 .

Hledání hodnot výrazů s proměnnými

Hodnota doslovného výrazu a výrazu s proměnnými se nachází pro konkrétní dané hodnoty písmen a proměnných.

Hledání hodnot výrazů s proměnnými

Chcete-li najít hodnotu doslovného výrazu a výrazu s proměnnými, musíte dané hodnoty písmen a proměnných dosadit do původního výrazu a poté vypočítat hodnotu výsledného číselného výrazu.

Příklad 15: Hodnota výrazu s proměnnými

Vypočítejte hodnotu výrazu 0, 5 x - y za předpokladu x = 2, 4 a y = 5.

Do výrazu dosadíme hodnoty proměnných a vypočítáme:

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

Někdy můžete výraz transformovat tak, abyste získali jeho hodnotu bez ohledu na hodnoty písmen a proměnných v něm obsažených. Chcete-li to provést, musíte se ve výrazu zbavit písmen a proměnných pokud možno pomocí identických transformací, vlastností aritmetických operací a všech možných dalších metod.

Například výraz x + 3 - x má evidentně hodnotu 3 a pro výpočet této hodnoty není nutné znát hodnotu proměnné x. Hodnota tohoto výrazu je rovna třem pro všechny hodnoty proměnné x z jejího rozsahu přípustných hodnot.

Ještě jeden příklad. Hodnota výrazu x x je rovna jedné pro všechna kladná x.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Pokud se tedy číselný výraz skládá z čísel a znamének +, −, · a:, pak v pořadí zleva doprava musíte nejprve provést násobení a dělení a poté sčítání a odčítání, které vám umožní najít požadovanou hodnotu výrazu.

Pro upřesnění uveďme několik příkladů.

Příklad.

Vypočítejte hodnotu výrazu 14−2·15:6−3.

Řešení.

Chcete-li najít hodnotu výrazu, musíte provést všechny akce v něm uvedené v souladu s přijatým pořadím provádění těchto akcí. Nejprve v pořadí zleva doprava provedeme násobení a dělení, dostaneme 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Nyní také provedeme zbývající akce v pořadí zleva doprava: 14−5−3=9−3=6. Takto jsme našli hodnotu původního výrazu, rovná se 6.

Odpovědět:

14−2·15:6−3=6.

Příklad.

Najděte význam výrazu.

Řešení.

V tomto příkladu musíme nejprve provést násobení 2·(−7) a dělení s násobením ve výrazu . Když si vzpomeneme, jak , najdeme 2·(−7)=−14. A nejprve provést akce ve výrazu , pak a provést: .

Získané hodnoty dosadíme do původního výrazu: .

Ale co když je pod kořenovým znakem číselný výraz? Chcete-li získat hodnotu takového kořene, musíte nejprve najít hodnotu radikálního výrazu a dodržet přijaté pořadí provádění akcí. Například, .

V číselných výrazech by měly být kořeny vnímány jako nějaká čísla a je vhodné okamžitě nahradit kořeny jejich hodnotami a poté najít hodnotu výsledného výrazu bez kořenů a provést akce v přijatém pořadí.

Příklad.

Najděte význam výrazu s kořeny.

Řešení.

Nejprve zjistíme hodnotu kořene . Za tímto účelem nejprve vypočítáme hodnotu radikálního výrazu, který máme −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. A za druhé zjistíme hodnotu kořene.

Nyní vypočítejme hodnotu druhého kořene z původního výrazu: .

Nakonec můžeme najít význam původního výrazu nahrazením kořenů jejich hodnotami: .

Odpovědět:

Poměrně často, abychom našli význam výrazu s kořeny, je nejprve nutné jej transformovat. Ukažme řešení příkladu.

Příklad.

Jaký je význam výrazu .

Řešení.

Nejsme schopni nahradit odmocninu ze tří jeho přesnou hodnotou, což nám neumožňuje vypočítat hodnotu tohoto výrazu výše popsaným způsobem. Hodnotu tohoto výrazu však můžeme vypočítat provedením jednoduchých transformací. Použitelný vzorec čtvercového rozdílu: . Vezmeme-li v úvahu, dostáváme . Hodnota původního výrazu je tedy 1.

Odpovědět:

.

S tituly

Jsou-li základem a exponentem čísla, pak se jejich hodnota vypočítá určením stupně, například 3 2 =3·3=9 nebo 8 −1 =1/8. Existují také položky, kde základem a/nebo exponentem jsou nějaké výrazy. V těchto případech je potřeba najít hodnotu výrazu v základu, hodnotu výrazu v exponentu a následně vypočítat hodnotu samotného stupně.

Příklad.

Najděte hodnotu výrazu s mocninami tvaru 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.

Řešení.

V původním výrazu jsou dvě mocniny 2 3·4−10 a (1−1/2) 3,5−2·1/4. Jejich hodnoty je třeba vypočítat před provedením dalších akcí.

Začněme s mocninou 2 3·4−10. Jeho ukazatel obsahuje číselné vyjádření, vypočítejme jeho hodnotu: 3·4−10=12−10=2. Nyní můžete zjistit hodnotu samotného stupně: 2 3·4−10 =2 2 =4.

Základ a exponent (1−1/2) 3,5−2 1/4 obsahují výrazy, vypočítáme jejich hodnoty, abychom pak našli hodnotu exponentu. My máme (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Nyní se vrátíme k původnímu výrazu, nahradíme stupně v něm jejich hodnotami a najdeme hodnotu výrazu, kterou potřebujeme: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Odpovědět:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6.

Stojí za zmínku, že existují častější případy, kdy je vhodné provést předběžné zjednodušení vyjadřování pomocí pravomocí na základně.

Příklad.

Najděte význam výrazu .

Řešení.

Soudě podle exponentů v tomto výrazu nebude možné získat přesné hodnoty exponentů. Zkusme původní výraz zjednodušit, možná to pomůže najít jeho význam. My máme

Odpovědět:

.

Mocniny ve výrazech jdou často ruku v ruce s logaritmy, ale budeme hovořit o hledání významu výrazů s logaritmy v jednom z nich.

Zjištění hodnoty výrazu se zlomky

Číselné výrazy mohou ve svém zápisu obsahovat zlomky. Když potřebujete najít význam výrazu, jako je tento, zlomky jiné než zlomky by měly být nahrazeny jejich hodnotami, než budete pokračovat ve zbývajících krocích.

Čitatel a jmenovatel zlomků (které se liší od běžných zlomků) může obsahovat jak některá čísla, tak výrazy. Chcete-li vypočítat hodnotu takového zlomku, musíte vypočítat hodnotu výrazu v čitateli, vypočítat hodnotu výrazu ve jmenovateli a poté vypočítat hodnotu samotného zlomku. Toto pořadí je vysvětleno skutečností, že zlomek a/b, kde a a b jsou nějaké výrazy, v podstatě představuje podíl tvaru (a):(b), protože .

Podívejme se na příklad řešení.

Příklad.

Najděte význam výrazu se zlomky .

Řešení.

V původním číselném vyjádření jsou tři zlomky A . Abychom našli hodnotu původního výrazu, musíme nejprve tyto zlomky nahradit jejich hodnotami. Pojďme na to.

Čitatel a jmenovatel zlomku obsahují čísla. Chcete-li zjistit hodnotu takového zlomku, nahraďte sloupec zlomku znakem dělení a proveďte tuto akci: .

V čitateli zlomku je výraz 7−2·3, jeho hodnotu snadno zjistíme: 7−2·3=7−6=1. Tím pádem, . Můžete přistoupit k nalezení hodnoty třetího zlomku.

Třetí zlomek v čitateli a jmenovateli obsahuje číselné výrazy, proto je třeba nejprve spočítat jejich hodnoty, což vám umožní zjistit hodnotu samotného zlomku. My máme .

Zbývá nahradit nalezené hodnoty do původního výrazu a provést zbývající akce: .

Odpovědět:

.

Často, když najdete hodnoty výrazů se zlomky, musíte provést zjednodušení zlomkových výrazů, založené na provádění operací se zlomky a redukčních zlomcích.

Příklad.

Najděte význam výrazu .

Řešení.

Odmocninu z pěti nelze úplně extrahovat, takže abychom našli hodnotu původního výrazu, nejprve jej zjednodušíme. Pro tohle zbavme se iracionality ve jmenovateli první zlomek: . Poté bude mít původní výraz formu . Po odečtení zlomků kořeny zmizí, což nám umožní zjistit hodnotu původně daného výrazu: .

Odpovědět:

.

S logaritmy

Pokud číselný výraz obsahuje , a pokud je možné se jich zbavit, provede se to před provedením dalších akcí. Například při zjištění hodnoty výrazu log 2 4+2·3 se logaritmus log 2 4 nahradí jeho hodnotou 2, načež se zbývající akce provedou v obvyklém pořadí, tj. log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

Pokud jsou pod logaritmem a/nebo na jeho základně číselné výrazy, nejprve se najdou jejich hodnoty a poté se vypočítá hodnota logaritmu. Zvažte například výraz s logaritmem formuláře . Na bázi logaritmu a pod jeho znaménkem jsou číselné výrazy: . Nyní najdeme logaritmus, po kterém dokončíme výpočty: .

Pokud logaritmy nejsou vypočteny přesně, pak je předběžné zjednodušení pomocí . Zároveň je potřeba dobře ovládat látku v článku. převod logaritmických výrazů.

Příklad.

Najděte hodnotu výrazu pomocí logaritmů .

Řešení.

Začněme výpočtem log 2 (log 2 256) . Protože 256=2 8, pak log 2 256=8, tedy, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Logaritmy log 6 2 a log 6 3 lze seskupit. Součet logaritmů log 6 2 + log 6 3 se rovná logaritmu součinu log 6 (2 3), tedy, log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Nyní se podíváme na zlomek. Pro začátek přepíšeme základ logaritmu ve jmenovateli ve tvaru obyčejného zlomku na 1/5, poté využijeme vlastnosti logaritmu, které nám umožní získat hodnotu zlomku:
.

Zbývá pouze dosadit získané výsledky do původního výrazu a dokončit hledání jeho hodnoty:

Odpovědět:

Jak zjistit hodnotu goniometrického výrazu?

Když číselný výraz obsahuje nebo atd., jejich hodnoty se vypočítají před provedením dalších akcí. Pokud jsou pod znaménkem goniometrických funkcí číselné výrazy, pak se nejprve vypočtou jejich hodnoty a poté se zjistí hodnoty goniometrických funkcí.

Příklad.

Najděte význam výrazu .

Řešení.

Když přejdeme k článku, dostaneme a cosπ=−1 . Tyto hodnoty dosadíme do původního výrazu, má tvar . Chcete-li zjistit jeho hodnotu, musíte nejprve provést umocnění a poté dokončit výpočty: .

Odpovědět:

.

Stojí za zmínku, že výpočet hodnot výrazů se siny, kosiny atd. často vyžaduje předchozí převod goniometrického výrazu.

Příklad.

Jakou hodnotu má goniometrický výraz .

Řešení.

Transformujme původní výraz pomocí , v tomto případě budeme potřebovat vzorec dvojitého úhlu kosinus a vzorec součtu kosinu:

Proměny, které jsme provedli, nám pomohly najít význam výrazu.

Odpovědět:

.

Obecný případ

Obecně platí, že číselný výraz může obsahovat odmocniny, mocniny, zlomky, některé funkce a závorky. Nalezení hodnot takových výrazů spočívá v provedení následujících akcí:

• první odmocniny, mocniny, zlomky atd. jsou nahrazeny svými hodnotami,
• další akce v závorkách,
• a v pořadí zleva doprava se provedou zbývající operace - násobení a dělení, následuje sčítání a odčítání.

Uvedené akce se provádějí až do dosažení konečného výsledku.

Příklad.

Najděte význam výrazu .

Řešení.

Forma tohoto výrazu je poměrně složitá. V tomto výrazu vidíme zlomky, odmocniny, mocniny, sinus a logaritmy. Jak zjistit jeho hodnotu?

Při procházení záznamu zleva doprava narazíme na zlomek formuláře . Víme, že při práci se složitými zlomky musíme zvlášť vypočítat hodnotu čitatele, zvlášť jmenovatele a nakonec najít hodnotu zlomku.

V čitateli máme kořen tvaru . Chcete-li určit jeho hodnotu, musíte nejprve vypočítat hodnotu radikálního výrazu . Je zde sinus. Jeho hodnotu zjistíme až po výpočtu hodnoty výrazu . To můžeme udělat: . Pak odkud a odkud .

Jmenovatel je jednoduchý: .

Tím pádem, .

Po dosazení tohoto výsledku do původního výrazu bude mít tvar . Výsledný výraz obsahuje stupeň . Abychom našli jeho hodnotu, musíme nejprve najít hodnotu ukazatele, kterou máme .

Tak, .

Odpovědět:

.

Pokud není možné vypočítat přesné hodnoty odmocnin, mocnin atd., můžete se jich pokusit zbavit pomocí některých transformací a poté se vrátit k výpočtu hodnoty podle zadaného schématu.

Racionální způsoby výpočtu hodnot výrazů

Výpočet hodnot číselných výrazů vyžaduje konzistenci a přesnost. Ano, je nutné dodržet posloupnost úkonů zaznamenanou v předchozích odstavcích, ale není třeba to dělat slepě a mechanicky. Máme tím na mysli, že je často možné racionalizovat proces hledání významu výrazu. Například určité vlastnosti operací s čísly mohou výrazně urychlit a zjednodušit hledání hodnoty výrazu.

Známe například tuto vlastnost násobení: je-li jeden z faktorů v součinu roven nule, pak je hodnota součinu rovna nule. Pomocí této vlastnosti můžeme okamžitě říci, že hodnota výrazu 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) se rovná nule. Pokud bychom postupovali podle standardního pořadí operací, museli bychom nejprve vypočítat hodnoty těžkopádných výrazů v závorkách, což by zabralo spoustu času a výsledek by byl stále nula.

Je také vhodné použít vlastnost odečítání stejných čísel: pokud od čísla odečtete stejné číslo, výsledkem je nula. Tuto vlastnost lze uvažovat šířeji: rozdíl mezi dvěma stejnými číselnými výrazy je nulový. Například bez výpočtu hodnoty výrazů v závorkách můžete zjistit hodnotu výrazu (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), je roven nule, protože původní výraz je rozdílem stejných výrazů.

Transformace identity mohou usnadnit racionální výpočet hodnot výrazu. Neméně často se používá například seskupování pojmů a faktorů; Takže hodnotu výrazu 53·5+53·7−53·11+5 lze velmi snadno najít po odstranění faktoru 53 ze závorek: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Přímý výpočet by trval mnohem déle.

Na závěr tohoto bodu věnujte pozornost racionálnímu přístupu k výpočtu hodnot výrazů se zlomky - identické faktory v čitateli a jmenovateli zlomku jsou zrušeny. Například zmenšením stejných výrazů v čitateli a jmenovateli zlomku umožňuje okamžitě najít jeho hodnotu, která se rovná 1/2.

Zjištění hodnoty doslovného výrazu a výrazu s proměnnými

Hodnota doslovného výrazu a výrazu s proměnnými se nachází pro konkrétní dané hodnoty písmen a proměnných. To znamená, že mluvíme o nalezení hodnoty doslovného výrazu pro dané písmenné hodnoty, nebo o nalezení hodnoty výrazu s proměnnými pro vybrané hodnoty proměnných.

Pravidlo zjištění hodnoty doslovného výrazu nebo výrazu s proměnnými pro dané hodnoty písmen nebo vybrané hodnoty proměnných je následující: je potřeba dané hodnoty písmen nebo proměnných dosadit do původního výrazu a vypočítat hodnota výsledného číselného výrazu je to požadovaná hodnota;

Příklad.

Vypočítejte hodnotu výrazu 0,5·x−y při x=2,4 a y=5.

Řešení.

Chcete-li najít požadovanou hodnotu výrazu, musíte nejprve dosadit dané hodnoty proměnných do původního výrazu a poté provést následující kroky: 0,5·2,4−5=1,2−5=−3,8.

Odpovědět:

−3,8 .

Jako poslední poznámka, někdy provádění konverzí na doslovných a proměnných výrazech přinese jejich hodnoty, bez ohledu na hodnoty písmen a proměnných. Například výraz x+3−x lze zjednodušit, poté bude mít tvar 3. Z toho můžeme usoudit, že hodnota výrazu x+3−x je rovna 3 pro libovolné hodnoty proměnné x z jejího rozsahu přípustných hodnot (APV). Další příklad: hodnota výrazu je rovna 1 pro všechny kladné hodnoty x, takže rozsah přípustných hodnot proměnné x v původním výrazu je množina kladných čísel a v tomto rozsahu je rovnost drží.

Bibliografie.

• Matematika: učebnice pro 5. třídu. obecné vzdělání instituce / N. Ya Vilenkin, V. I. Žochov, A. S. Česnokov, S. I. Shvartburd. - 21. vyd., vymazáno. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6. třída: vzdělávací. pro všeobecné vzdělání instituce / [N. Ya. Vilenkin a další]. - 22. vyd., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: učebnice pro 7. třídu obecné vzdělání instituce / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M.: Vzdělávání, 2008. - 240 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: učebnice pro 8. třídu. obecné vzdělání instituce / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdělávání, 2008. - 271 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. třída: vzdělávací. pro všeobecné vzdělání instituce / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdělávání, 2009. - 271 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebra a začátek analýzy: Proc. pro 10-11 ročníků. obecné vzdělání instituce / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn a další; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. vyd. - M.: Vzdělávání, 2004. - 384 s.: ill.