Оптимальное линейное программирование. Симплексный метод решения задач линейного программирования. Метод линейного программирования в экономическом анализе

Линейное программирование сформировалось как отдельный раздел прикладной математики в 40 – 50-х гг. ХХ в. благодаря работам советского ученого, лауреата Нобелевской премии Л.В. Канторовича. В 1939 году им была опубликована работа «Математические методы организации и планирования производства», в которой он с использованием математики решил экономические задачи о наилучшей загрузке машин, раскрое материалов с наименьшими расходами, распределении грузов по нескольким видам транспорта и другие, предложив метод разрешающих множителей 8 .

Л.В. Канторович впервые сформулировал такие широко используемые экономико-математические понятия, как оптимальный план, оптимальное распределение ресурсов, объективно обусловленные оценки, указав многочисленные области экономики, где они могут быть применены.

Понятие линейного программирования было введено американским математиком Д. Данцигом, который в 1949 г. предложил алгоритм решения задачи линейного программирования, получивший название «симплексный метод».

Математическое программирование, в которое входит линейное программирование, в настоящее время является одним из направлений исследования операций. В зависимости от вида решаемых задач в нем выделяют такие области, как линейное, нелинейное, дискретное, динамическое программирование и др. Термин «программирование» введен в связи с тем, что неизвестные переменные, которые находятся в процессе решения задачи, обычно определяют программу или план работы некоторого экономического объекта.

В классическом математическом анализе исследуются общая постановка задачи определения условного экстремума. Однако в связи с развитием промышленного производства, транспорта, агропромышленного комплекса, банковского сектора традиционных результатов математического анализа оказалось недостаточно. Потребности практики и развитие вычислительной техники привели к необходимости определения оптимальных решений при анализе сложных экономических систем.

Главным инструментом для решения таких задач является математическое моделирование. При этом сначала строится простая модель, затем проводится ее исследование, позволяющее понять, какие из интегрирующих свойств объекта не улавливаются формальной схемой, после чего за счет усложнения модели обеспечивается большая ее адекватность реальности. Во многих случаях первым приближением к действительности является модель, в которой все зависимости между переменными, характеризующими состояние объекта, являются линейными. Практика показывает, что достаточное количество экономических процессов достаточно полно описывается линейными моделями. Следовательно, линейное программирование как аппарат, позволяющий отыскивать условный экстремум на множестве, заданном линейными уравнениями и неравенствами, играет важную роль при анализе этих процессов.

Линейное программирование получило широкое развитие в связи с тем, что было установлено: ряд задач сферы планирования и управления может быть сформулирован в виде задач линейного программирования, для решения которых имеются эффективные методы. По оценкам специалистов примерно 80–85 % всех решаемых на практике задач оптимизации относится к задачам линейного программирования.

Созданный математический аппарат в сочетании с компьютерными программами, производящими трудоемкие расчеты, позволяет широко использовать модели линейного программирования в экономической науке и практике.

Определение 1 9 . Линейное программирование (ЛП) – это область математического программирования, являющегося разделом математики и изучающего методы поиска экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции конечного числа переменных, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

Эта линейная функция называется целевой, а ограничения, которые представляют количественные соотношения между переменными, выражающие условия и требования экономической задачи и математически записываются в виде уравнений или неравенств, называются системой ограничений.

К задачам линейного программирования сводится широкий круг вопросов планирования экономических процессов, где ставится задача поиска наилучшего (оптимального) решения.

Общая задача линейного программирования (ЗЛП) состоит в нахождении экстремального значения (максимума или минимума) линейной функции, называемой целевой 10:

от n переменных x 1 , x 2 , …, х n при наложенных функциональных ограничениях:

(3.2)

и прямых ограничениях (требовании неотрицательности переменных)

, (3.3)

где a ij , b i , c j – заданные постоянные величины.

В системе ограничений (3.2) знаки «меньше или равно», «равно», «больше или равно» могут встречаться одновременно.

ЗЛП в более краткой записи имеет вид:

,

при ограничениях:

;

.

Вектор `Х = (x 1 , x 2 , …, х n ) компоненты которого удовлетворяют функциональным и прямым ограничениям задачи называют планом (или допустимым решением ) ЗЛП.

Все допустимые решения образуют область определения задачи линейного программирования, или область допустимых решений (ОДР). Допустимое решение, которое доставляет максимум или минимум целевой функции f (`X ), называется оптимальным планом задачи и обозначается f (`X * ), где ` Х * =(x 1 * , x 2 * , …, х n * ).

Еще одна форма записи ЗЛП:

,

где f (`X * ) есть максимальное (минимальное) значение f (С , х ), взятое по всем решениям, входящим в множество возможных решений Х .

Определение 2 11 . Математическое выражение целевой функции и ее ограничений называются математической моделью экономической задачи.

Для составления математической модели необходимо:

1) обозначить переменные;

2) составить целевую функцию исходя из цели задачи;

3) записать систему ограничений, учитывая имеющие в условии задачи показатели и их количественные закономерности.

Линейное программирование - один из важнейших разделов математики, изучающий теории и методы решения определенных задач. Эта математическая дисциплина стала в последние годы широко применяться в различных областях экономики, техники и военного дела, где в их развитии не последнюю роль играет математическое планирование и использование автоматических цифровых вычислительных машин. Данный раздел науки изучает линейные оптимизационные модели. Иначе говоря, линейное программирование посвящено чис

Впервые термин "линейное программирование" предложил американский экономист Т.Купманс в 1951 году. В 1975 году. русский математик Л.В.Канторович и Т.Купманс были удостоены Нобелевской премии по экономическим наукам за свой вклад в теорию оптимального распределения ресурсов. Т.Купманс пропагандировал методы линейного программирования и защищал приоритеты Л.В.Канторовича, открывшего эти методы.

История линейного программирования в США уходит корнями в 1947 год, когда Дж.Данциг написал об этом в своей работе. Л.В.Канторович изучал возможность применения математики к вопросам планирования, на основе чего в 1939 году была опубликована его монография "Математические методы организации и планирования производства". Важнейшей находкой (открытием) Л.В.Канторовича явилась возможность четко математически сформулировать важнейшие производственные задачи, что позволяет найти количественный подход к данным задачам, а также их решение численными методами.

Если бы первые работы Л.В.Канторовича получили в свое время должную оценку, то была бы велика вероятность еще большего продвижения линейного программирования в настоящее время. К сожалению, его работа оставалась в тени как в Советском Союзе, так и за его пределами, и, как отмечает Данциг: " ...и за это время линейное программирование стало настоящим искусством."

Оптимальный план любой линейной программы следует автоматически связывать с оптимальными ценами или, согласно Л.В.Канторовичу, с "объективно обусловленными оценками". Это нагромождение слов имело целью повысить "критикоустойчивость" термина. Суть экономического открытия Л.В.Канторовича заключается во взаимосвязи оптимальных решений и оптимальных цен.

Методы линейного программирования

С помощью методов линейного программирования решается большое количество экстремальных задач, связанных с экономикой. В этих случаях находят крайние значения (максимум и минимум) некоторых функций переменных величин.

Основой линейного программирования служит решение системы линейных уравнений, которые преобразуются в уравнения и неравенства. Оно характеризуется математическим выражением переменных величин, определенным порядком, последовательностью расчетов, логическим анализом. Оно применимо:

• при наличии математической определенности и количественной ограниченности между изучаемыми переменными величинами и факторами;
• при взаимозаменяемости факторов из-за последовательности расчетов;
• в случае совмещения математической логики с пониманием сущности изучаемых явлений.

В промышленном производстве этот метод помогает исчислению оптимальной общей производительности машин, агрегатов, поточных линий (в случае, если задан ассортимент продукции и соответствующие величины), а также решению задачи рационального использования материалов (с наиболее выгодным количеством заготовок).

В сельском хозяйстве с помощью этого метода определяют минимальную стоимость кормовых рационов с учетом заданного количества кормов (исходя из видов и содержащихся в них полезных веществ).

В литейном производстве данный метод помогает решить задачу о смесях, входящих в состав металлургической шихты. Этот же метод позволяет решить транспортную задачу, задачу наиболее оптимального прикрепления потребляющих предприятий к предприятиям, производящим продукцию.

Отличительной особенностью всех экономических задач, которые можно решить, применяя методы линейного программирования, является выбор вариантов решения, а также определенные ограничивающие условия. Решение подобной задачи означает выбор наиболее оптимального из всех альтернативных вариантов.

Существенной ценностью применения методов линейного программирования в экономике является выбор наиболее оптимального варианта из огромного количества всех допустимо возможных вариантов. Иными способами почти невозможно решать подобные задачи, чтобы найти степень рациональности использования ресурсов в производстве.

Одной из основных задач, решаемых с помощью линейного программирования, является транспортная задача, которая имеет целью минимизировать грузооборот товаров широкого потребления при их доставке от производителя к потребителю.

Данный метод является методом целенаправленного перебора опорных решений задачи линейного программирования. Он позволяет за конечное число шагов либо найти оптимальное решение, либо установить, что оптимальное решение отсутствует.

Основное содержание симплексного метода заключается в следующем:

1. Указать способ нахождения оптимального опорного решения
2. Указать способ перехода от одного опорного решения к другому, на котором значение целевой функции будет ближе к оптимальному, т.е. указать способ улучшения опорного решения
3. Задать критерии, которые позволяют своевременно прекратить перебор опорных решений на оптимальном решении или следать заключение об отсутствии оптимального решения.

Алгоритм симплексного метода решения задач линейного программирования

Для того, чтобы решить задачу симплексным методом необходимо выполнить следующее:

1. Привести задачу к каноническому виду
2. Найти начальное опорное решение с "единичным базисом" (если опорное решение отсутствует, то задача не имеет решение ввиду несовместимости системы ограничений)
3. Вычислить оценки разложений векторов по базису опорного решения и заполнить таблицу симплексного метода
4. Если выполняется признак единственности оптимального решения, то решение задачи заканчивается
5. Если выполняется условие существования множества оптимальных решений, то путем простого перебора находят все оптимальные решения

Пример решения задачи симплексным методом

Пример 26.1

Решить симплексным методом задачу:

Решение:

Приводим задачу к каноническому виду.

Для этого в левую часть первого ограничения-неравенства вводим дополнительную переменную x 6 с коэффициентом +1. В целевую функцию переменная x 6 входит с коэффицентом ноль (т.е. не входит).

Получаем:

Находим начальное опорное решение. Для этого свободные (неразрешенные) переменные приравниваем к нулю х1 = х2 = х3 = 0.

Получаем опорное решение Х1 = (0,0,0,24,30,6) с единичным базисом Б1 = (А4, А5, А6).

Вычисляем оценки разложений векторов условий по базису опорного решения по формуле:

Δ k = C б X k — c k

• C б = (с 1 , с 2 , ... , с m) — вектор коэффициентов целевой функции при базисных переменных
• X k = (x 1k , x 2k , ... , x mk) — вектор разложения соответствующего вектора А к по базису опорного решения
• С к — коэффициент целевой функции при переменной х к.

Оценки векторов входящих в базис всегда равны нулю. Опорное решение, коэффиценты разложений и оценки разложений векторов условий по базису опорного решения записываются в симплексную таблицу :

Сверху над таблицей для удобства вычислений оценок записываются коэффициенты целевой функции. В первом столбце "Б" записываются векторы, входящие в базис опорного решения. Порядок записи этих векторов соответствует номерам разрешенных неизвестных в уравнениях ограничениях. Во втором столбце таблицы "С б " записываются коэффициенты целевой функции при базисных переменных в том же порядке. При правильном расположении коэффициентов целевой функции в столбце "С б " оценки единичных векторов, входящих в базис, всегда равных нулю.

В последней строке таблицы с оценками Δ k в столбце "А 0 " записываются значения целевой функции на опорном решении Z(X 1).

Начальное опорное решение не является оптимальным, так как в задаче на максимум оценки Δ 1 = -2, Δ 3 = -9 для векторов А 1 и А 3 отрицательные.

По теореме об улучшении опорного решения, если в задаче на максимум хотя бы один вектор имеет отрицательную оценку, то можно найти новое опорное решение, на котором значение целевой функции будет больше.

Определим, введение какого из двух векторов приведет к большему приращению целевой функции.

Приращение целевой функции находится по формуле: .

Вычисляем значения параметра θ 01 для первого и третьего столбцов по формуле:

Получаем θ 01 = 6 при l = 1, θ 03 = 3 при l = 1 (таблица 26.1).

Находим приращение целевой функции при введении в базис первого вектора ΔZ 1 = — 6*(- 2) = 12, и третьего вектора ΔZ 3 = — 3*(- 9) = 27.

Следовательно, для более быстрого приближения к оптимальному решению необходимо ввести в базис опорного решения вектор А3 вместо первого вектора базиса А6, так как минимум параметра θ 03 достигается в первой строке (l = 1).

Производим преобразование Жордана с элементом Х13 = 2, получаем второе опорное решение Х2 = (0,0,3,21,42,0) с базисом Б2 = (А3, А4, А5). (таблица 26.2)

Это решение не является оптимальным, так как вектор А2 имеет отрицательную оценку Δ2 = — 6. Для улучшение решения необходимо ввести вектор А2 в базис опорного решения.

Определяем номер вектора, выводимого из базиса. Для этого вычисляем параметр θ 02 для второго столбца, он равен 7 при l = 2. Следовательно, из базиса выводим второй вектор базиса А4. Производим преобразование Жордана с элементом х 22 = 3, получаем третье опорное решение Х3 = (0,7,10,0,63,0) Б2 = (А3, А2, А5) (таблица 26.3).

Это решение является единственным оптимальным, так как для всех векторов, не входящих в базис оценки положительные

Δ 1 = 7/2, Δ 4 = 2, Δ 6 = 7/2.

Ответ: max Z(X) = 201 при Х = (0,7,10,0,63).

Метод линейного программирования в экономическом анализе

Метод линейного программирования дает возможность обосновать наиболее оптимальное экономическое решение в условиях жестких ограничений, относящихся к используемым в производстве ресурсам (основные фонды, материалы, трудовые ресурсы). Применение этого метода в экономическом анализе позволяет решать задачи, связанные главным образом с планированием деятельности организации. Данный метод помогает определить оптимальные величины выпуска продукции, а также направления наиболее эффективного использования имеющихся в распоряжении организации производственных ресурсов.

При помощи этого метода осуществляется решение так называемых экстремальных задач, которое заключается в нахождении крайних значений, то есть максимума и минимума функций переменных величин.

Этот период базируется на решении системы линейных уравнений в тех случаях, когда анализируемые экономические явления связаны линейной, строго функциональной зависимостью. Метод линейного программирования используется для анализа переменных величин при наличии определенных ограничивающих факторов.

Весьма распространено решение так называемой транспортной задачи с помощью метода линейного программирования. Содержание этой задачи заключается в минимизации затрат, осуществляемых в связи с эксплуатацией транспортных средств в условиях имеющихся ограничений в отношении количества транспортных средств, их грузоподъемности, продолжительности времени их работы, при наличии необходимости обслуживания максимального количества заказчиков.

Кроме этого, данный метод находит широкое применение при решении задачи составления расписания. Эта задача состоит в таком распределении времени функционирования персонала данной организации, которое являлось бы наиболее приемлемым как для членов этого персонала, так и для клиентов организации.

Данная задача заключается в максимизации количества обслуживаемых клиентов в условиях ограничений количества имеющихся членов персонала, а также фонда рабочего времени.

Таким образом, метод линейного программирования весьма распространен в анализе размещения и использования различных видов ресурсов, а также в процессе планирования и прогнозирования деятельности организаций.

Все же математическое программирование может применяться и в отношении тех экономических явлений, зависимость между которыми не является линейной. Для этой цели могут быть использованы методы нелинейного, динамического и выпуклого программирования.

Нелинейное программирование опирается на нелинейный характер целевой функции или ограничений, либо и того и другого. Формы целевой функции и неравенств ограничений в этих условиях могут быть различными.

Нелинейное программирование применяется в экономическом анализе в частности, при установлении взаимосвязи между показателями, выражающими эффективность деятельности организации и объемом этой деятельности, структурой затрат на производство, конъюнктурой рынка, и др.

Динамическое программирование базируется на построении дерева решений. Каждый ярус этого дерева служит стадией для определения последствий предыдущего решения и для устранения малоэффективных вариантов этого решения. Таким образом, динамическое программирование имеет многошаговый, многоэтапный характер. Этот вид программирования применяется в экономическом анализе с целью поиска оптимальных вариантов развития организации как в настоящее время, так и в будущем.

Выпуклое программирование представляет собой разновидность нелинейного программирования. Этот вид программирования выражает нелинейный характер зависимости между результатами деятельности организации и осуществляемыми ей затратами. Выпуклое (иначе вогнутое) программирование анализирует выпуклые целевые функции и выпуклые системы ограничений (точки допустимых значений). Выпуклое программирование применяется в анализе хозяйственной деятельности с целью минимизации затрат, а вогнутое — с целью максимизации доходов в условиях имеющихся ограничений действия факторов, влияющих на анализируемые показатели противоположным образом. Следовательно, при рассматриваемых видах программирования выпуклые целевые функции минимизируются, а вогнутые — максимизируются.

В связи с развитием техники, ростом промышленного производства все большую роль играют задачи отыскания оптимальных решений в различных сферах человеческой деятельности. Основным инструментом при решении этих задач стало математическое моделирование -- формальное описание изучаемого явления и исследование с помощью математического аппарата.

Всякая модель реального процесса предполагает идеализацию и абстракцию, но они не должны уходить слишком далеко от содержания задачи, чтобы построенная модель не утратила существенных черт моделируемого объекта, т. е. была ему адекватна. С другой стороны, если построить сложную модель, учитывающую все тончайшие особенности изучаемого процесса, то это может нарушить смысл моделирования, одна из целей которого -- упростить постановку задачи, чтобы легче было ее исследовать (слишком сложная модель, как правило, не поддается анализу).

В большом числе случаев первой степенью приближения к реальности является модель, в которой все зависимости между переменными, характеризующими состояние объекта, предполагаются линейными. Здесь имеется полная аналогия с тем, как весьма важная и зачастую исчерпывающая информация о поведении произвольной функции получается на основе изучения ее производной -- происходит замена этой функции в окрестности каждой точки линейной зависимостью. Значительное количество экономических, технических и других процессов достаточно хорошо и полно описывается линейными моделями. Сказанным определяется важность той роли, которую играет линейное программирование -- метод отыскания условного экстремума линейной функции на множестве, заданном при помощи линейных соотношений типа равенств и неравенств (линейных ограничений) .

Условия применимости линейной модели

Делимость. Если способ применяется с интенсивностями a и b (a < b), то его можно применять с любой интенсивностью x .

Это условие не тривиально. Если, например, интенсивность выполнения работы измерять числом назначенных на нее работников, то допустимы только целые значения интенсивности. Если же интенсивность измеряется числом человеко-часов в сутки, то принцип делимости, по-видимому, выполнен.

Пропорциональность. Затраты, выпуски и полезность, производимые каждым способом, пропорциональны его интенсивности.

Это условие постоянной отдачи (во всех смыслах), отсутствия эффекта масштаба. Особое внимание следует уделять выявлению диапазона интенсивности технологического способа, в котором этот способ удовлетворяет условию пропорциональности. Например, если сварщик проваривает контейнер за 6 часов, то двое сварщиков, пожалуй, справятся с этой работой за 3 часа. Но шестеро - за час - не сварят контейнер.

Аддитивность. Полезности и -- для каждого ингредиента -- затраты и выпуски, производимые всеми способами, суммируются.

Принцип аддитивности требует аккуратного и согласованного описания входящей в модель номенклатуры: технологических способов, ингредиентов, полезностей.

Формы записи задач линейного программирования

В самом общем виде задача ЛП записывается следующим образом:

• 2 (2)
• 3 (3)

• 4 (4)
• 5 (5)

Определение 1. Матрица называется матрицей задачи (1) - (5). ?

Более унифицированное представление задачи ЛП -- стандартная форма:

для i {1,…, m}, x 0.

Особенности стандартной формы: все переменные неотрицательны (n1 = n), ограничения-равенства отсутствуют (m1 = 0). Если ЦФ максимизируется, то m2 = 0 и нет ограничений вида (3); в противном случае m2 = m и нет ограничений вида (4). Полагая и, стандартную форму можно записать следующим образом:

6c x max (min) при Ax () b, x 0. (6)

Но самый простой вид имеет каноническая форма записи задач ЛП.

Определение 2. Задача (1) - (4) представлена в канонической форме, если все ограничения, кроме условий неотрицательности переменных, являются равенствами (m1 = m) и все переменные неотрицательны (n1 = n). ?

Задача ЛП в канонической форме имеет, следовательно, вид

• 7c x max (min) при Ax = b, x 0. (7)
• 1.2 Основы симплекс-метода

Рассмотрим задачу ЛП в канонической форме:

• 9 (9)
• 10х 0 (10)

Пусть и -- соответственно строка i и столбец j матрицы А0. Будем считать, что строки матрицы линейно независимы.

Любую задачу ЛП можно привести к канонической форме; если задача в канонической форме разрешима, то среди ее решений есть хотя бы одна крайняя точка множества допустимых решений; крайние точки множества допустимых решений задачи ЛП в канонической форме совпадают с БДР.

Опираясь на перечисленные факты, можно представить себе следующую процедуру решения задачи. Проверим каким-либо образом, имеет ли задача решение и, если имеет, приведем ее к канонической форме. Пусть матрица А0 канонической формы имеет размерность m Ч n и ранг m. Построим все m Ч m-подматрицы матрицы А0, отбрасывая вырожденные, оставшиеся подматрицы соответствуют базисам матрицы А0. Выберем из них допустимые базисы, построим соответствующие БДР. Выберем БДР, которое доставляет максимум целевой функции.

Но такой алгоритм на практике не может быть реализован, так как число БДР экспоненциально растет с ростом размерности задачи (числа переменных и/или ограничений). Процедуру можно ускорить, если организовать ее так, чтобы в процессе перебора БДР значение ЦФ не убывало (последовательное улучшение плана). Эта исходная идея симплекс-метода, которая реализуется следующим образом.

1. 3 Симплекс-таблицы

линейный программирование симплекс оптимизация

Преобразования задачи ЛП в канонической форме, осуществляемые симплекс-методом, удобно представлять как преобразования симплекс-таблиц. Общий вид симплекс-таблицы, которая соответствует текущей итерации симплекс-метода, представляет таблица 1.

В верхней строке записаны: заголовок первого столбца, идентификаторы всех (основных, дополнительных, вспомогательных и др.) переменных задачи и заголовок последнего столбца. Следующие m строк описывают уравнения задачи в виде:

который они имеют к началу итерации. Сначала указан идентификатор базисной переменной (в текущем базисе) для соответствующего уравнения. Затем следуют коэффициенты при переменных (в том порядке, в котором переменные записаны в первой строке). Последний элемент строки -- правая часть ограничения.

Нижняя строка соответствует уравнению

12, где и. (12)

представляющему ЦФ. Переменная z играет в нем роль базисной (имеет коэффициент 1 и не входит в другие уравнения); число F -- это правая часть уравнения (12), значение ЦФ на текущем базисном решении.

Таблица 1. Общий вид симплекс-таблицы

Замечание. Таблица описывает систему уравнений (11), поэтому текущее БДР можно получить, полагая базисные переменные равными соответствующим элементам последнего столбца, а небазисные -- равными нулю. ?

На рассматриваемой итерации происходит следующее.

Если в z-строке, в столбцах, соответствующих переменным, нет отрицательных элементов, то текущее БДР оптимально и в первом столбце таблицы записаны переменные оптимального базиса. В противном случае столбец переменной xs, для которого s < 0, становится направляющим.

Если все элементы направляющего столбца неположительны, то задача неограниченна. В противном случае вычисляем отношение элементов последнего и направляющего столбцов для всех строк, имеющих положительный элемент в направляющем столбце. Строка r, для которой это отношение минимально, становится направляющей. В первом столбце следующей симплекс-таблицы переменная xs займет место переменной xj(r).

Теперь ars -- разрешающий элемент. Элементы следующей симплекс-таблицы вычисляем по формулам:

13 при при i r (13)

• 14 (14)
• 15 (15)

Рассмотрим j = j(k). Из (11) и (12) следует, что столбец j (базисный) имеет единицу в строке k и нули в остальных строках: j = 0, aij = 1 при i = k, иначе aij = 0. Пусть k r (столбец j сохраняется в новом базисе). Тогда ari = 0 и из (13), (14), (16) следует, что для всех i и. Учитывая это, сформулируем правила преобразования симплекс-таблицы при переходе к новому базису:

• · в заголовок направляющей строки ставим заголовок направляющего столбца;
• · все числа направляющей строки делим на разрешающий элемент;
• · направляющий столбец становится единичным, с единицей в направляющей строке;
• · столбцы текущего базиса с номерами, отличными от j(r), не изменяются;
• · все остальные числа таблицы (включая элементы нижней строки и последнего столбца) пересчитываем по формулам (13) - (15), (16).

2. Понятие линейного программирования. Виды задач линейного программирования

Линейное программирование (ЛП) – один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Именно линейное программирование явилось тем разделом, с которого и начала развиваться сама дисциплина "математическое программирование". Термин "программирование" в названии дисциплины ничего общего с термином "программирование (т.е. составление программы) для ЭВМ" не имеет, т.к. дисциплина "линейное программирование" возникла еще до того времени, когда ЭВМ стали широко применяться для решения математических, инженерных, экономических и др. задач.

Термин "линейное программирование" возник в результате неточного перевода английского "linear programming". Одно из значений слова "programming" - составление планов, планирование. Следовательно, правильным переводом английского "linear programming" было бы не "линейное программирование", а "линейное планирование", что более точно отражает содержание дисциплины. Однако, термины линейное программирование, нелинейное программирование, математическое программирование и т.д. в нашей литературе стали общепринятыми и поэтому будут сохранены.

Итак, линейное программирование возникло после второй мировой войны и стало быстро развиваться, привлекая внимание математиков, экономистов и инженеров благодаря возможности широкого практического применения, а также математической стройности.

Можно сказать, что линейное программирование применимо для решения математических моделей тех процессов и систем, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира.

Линейное программирование применяется при решении экономических задач, в таких задачах как управление и планирование производства; в задачах определения оптимального размещения оборудования на морских судах, в цехах; в задачах определения оптимального плана перевозок груза (транспортная задача); в задачах оптимального распределения кадров и т.д.

Задача линейного программирования (ЛП), как уже ясно из сказанного выше, состоит в нахождении минимума (или максимума) линейной функции при линейных ограничениях.

Существует несколько методов решения задач ЛП. В данной работе будут рассмотрены некоторые из них, в частности:

Графический метод решения задачи ЛП;

Симплексный метод;

Решение задачи ЛП средствами табличного процессора Excel;

3. Понятие нелинейного программирования

В большинстве инженерных задач построение математической модели не удается свести к задаче линейного программирования.

Математические модели в задачах проектирования реальных объектов или технологических процессов должны отражать реальные протекающие в них физические и, как правило, нелинейные процессы. Переменные этих объектов или процессов связанны между собой физическими нелинейными законами, такими, как законы сохранения массы или энергии. Они ограничены предельными диапазонами, обеспечивающими физическую реализуемость данного объекта или процесса. В результате, большинство задач математического программирования, которые встречаются в научно-исследовательских проектах и в задачах проектирования – это задачи нелинейного программирования (НП).

В данной работе будет рассматриваться такой метод решения задач НП, как метод множителей Лагранжа.

Метод множителей Лагранжа позволяет отыскивать максимум (или минимум) функции при ограничениях-равенствах. Основная идея метода состоит в переходе от задачи на условный экстремум к задаче отыскания безусловного экстремума некоторой построенной функции Лагранжа.

4. Динамическое программирование

Динамическое программирование представляет собой математические аппарат, позволяющий быстро находить оптимальное решение в случаях, когда анализируемая ситуация не содержит факторов неопределенности, но имеется большое количество вариантов поведения, приносящих различные результаты, среди которых необходимо выбрать наилучший. Динамическое программирование подходит к решению некоторого класса задач путем разложения на части, небольшие и менее сложные задачи. В принципе, задачи такого рода могут быть решены путем перебора всех возможных вариантов и выбора среди них наилучшего, однако часто такой перебор весьма затруднен. В этих случаях процесс принятия оптимального решения может быть разбит на шаги (этапы) и исследован с помощью метода динамического программирования.

Решение задач методами динамического программирования проводится на основе сформулированного Р.Э.Беллманом принципа оптимальности: оптимальное поведение обладает тем свойством, что каким бы ни было первоначальное состояние системы и первоначальное решение, последующее решение должно определять оптимальное поведение относительно состояния, полученного в результате первоначального решения.

Таким образом, планирование каждого шага должно проводится с учетом общей выгоды, получаемой по завершении всего процесса, что и позволяет оптимизировать конечный результат по выбранному критерию.

Вместе с тем динамическое программирование не является универсальным методом решения. Практически каждая задача, решаемая этим методом, характеризуется своими особенностями и требует проведения поиска наиболее приемлемой совокупности методов для ее решения. Кроме того, большие объемы и трудоемкость решения многошаговых задач, имеющих множество состояний, приводят к необходимости отбора задач малой размерности либо использования сжатой информации.

Динамическое программирование применяется для решения таких задач, как: распределение дефицитных капитальных вложений между новыми направлениями их использования; разработка правил управления спросом и запасами; составление календарных планов текущего и капитального ремонтов оборудования и его замены; поиск кратчайших расстояний на транспортной сети и т.д.

Пусть процесс оптимизации разбит на n шагов. На каждом шаге необходимо определить два типа переменных – переменную состояния S и переменную управления X. Переменная S определяет, в каких состояниях может оказаться система на данном k-м шаге. В зависимости от S на этом шаге можно применить некоторые управления, которые характеризуются переменной X. Применение управления X на k-м шаге приносит некоторый результат Wk(S,Xk) и переводит систему в некоторое новое состояние S"(S,Xk). Для каждого возможного состояния на k-м шаге среди всех возможных управлений выбирается оптимальное управление X*k такое, чтобы результат, который достигается за шаги с k-го по n-й, оказался оптимальным. Числовая характеристика этого результата называется функцией Беллмана Fk(S) и зависит от номера шага k и состояния системы S.

Все решения задачи разбиваются на два этапа. На первом этапе, который называют условной оптимизацией, отыскиваются функция Беллмана и оптимальные управления для всех возможных состояний на каждом шаге, начиная с последнего.

После того, как функция Беллмана и соответствующие оптимальные управления найдены для всех шагов с n-го по первый, производится второй этап решения задачи, который называется безусловной оптимизацией.

В общем виде задача динамического программирования формулируется следующим образом: требуется определить такое управление X*, переводящее систему из начального состояния S0 в конечное состояние Sn, при котором целевая функция F(S0,X*) принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Особенности математической модели динамического программирования заключаются в следующем:

задача оптимизации формулируется как конечный многошаговый процесс управления;

целевая функция является аддитивной и равна сумме целевых функций каждого шага

выбор управления Xk на каждом шаге зависит только от состояния системы к этому шагу Sk-1 и не влияет на предшествующие шаги (нет обратной связи);

состояние системы Sk после каждого шага управления зависит только от предшествующего состояния системы Sk-1 и этого управляющего воздействия Xk (отсутствие последействия) и может быть записано в виде уравнения состояния:

на каждом шаге управление Xk зависит от конечного числа управляющих переменных, а состояние системы Sk зависит от конечного числа переменных;

оптимальное управление X* представляет собой вектор, определяемый последовательностью оптимальных пошаговых управлений:

X*=(X*1, X*2, …, X*k, …, X*n),

число которых и определяет количество шагов задачи.

Условная оптимизация. Как уже отмечалось выше, на данном этапе отыскиваются функция Беллмана и оптимальные управления для всех возможных состояний на каждом шаге, начиная с последнего в соответствии с алгоритмом обратной прогонки. На последнем n-м шаге найти оптимальное управление X*n и значение функции Беллмана Fn(S) не сложно, так как

Fn(S)=max{Wn(S,Xn)},

где максимум ищется по всем возможным значениям Xn.

Дальнейшие вычисления производятся согласно рекуррентному соотношению, связывающему функцию Беллмана на каждом шаге с этой же функцией, но вычисленной на предыдущем шаге:

Fk(S)=max{Wk(S,Xk)+Fk+1(S"(S,Xk))}. (1)

Этот максимум (или минимум) определяется по всем возможным для k и S значениям переменной управления X.

Безусловная оптимизация. После того, как функция Беллмана и соответствующие оптимальные управления найдены для всех шагов с n-го по первый (на первом шаге k=1 состояние системы равно ее начальному состоянию S0), осуществляется второй этап решения задачи. Находится оптимальное управление на первом шаге X1, применение которого приведет систему в состояние S1(S,x1*), зная которое можно, пользуясь результатами условной оптимизации, найти оптимальное управление на втором шаге, и так далее до последнего n-го шага.

Лабораторная работа №1 (Задача линейного программирования)

Для заданной математической постановки задачи ЛП, приняв дополнительно условие неотрицательности переменных, выполнить следующие действия:

Решить задачу графическим методом;

Привести задачу к канонической форме записи;

Составить симплексную таблицу;

Произвести решение задачи симплексным методом ручным способом или с использование компьютера;

Осуществить постановку двойственной задачи ЛП;

Получить решение двойственной задачи из полученной ранее симплексной таблицы и произвести анализ полученных результатов;

Проверить результаты решения в табличном процессоре Excel;

Составить отчет с приведение результатов по каждому пункту.

Ресурсы	Запасы	Продукция
		Р1	Р2
S1	18	0.2	3
S2	13.1	0.7	2
МВ	23	2.3	2
Прибыль от единицы продукции в У.Е.		3	4

Графический метод. Для построения многоугольника решений преобразуем исходную систему

, получим

изобразим граничные прямые.

Линейная функция F=f(x) является уравнением прямой линии c1x1 + c2x2 = const. Построим график целевой функции при f(x)=0. для построения прямой 3x1 + 4x2 = 0 строим радиус-вектор N = (3; 4) и через точку 0 проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую F=0 перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора N.

Рисунок 1 – Графический метод

Из рисунка 1 следует, что опорной по отношению к построенному многоугольнику решений эта прямая становится в точке B, где функция F принимает максимальное значение. Точка В лежит на пересечении прямых 0,7x1 + 2x2 ≤ 13,1 и 2,3x1 + 2x2 =23/ Для определения ее координат решим систему уравнений:

Оптимальный план задачи: х1 = 6.187; х2 = 4.38, подставляя значения х1 и х2 в целевую функцию, получаем Fmax= 3*6.187+4*4.38=36.08.

Таким образом, для того, чтобы получить максимальную прибыль в размере 36.06 долларов, необходимо запланировать производство 6 ед. продукции P1 и 4 ед. продукции P2.

Канонический вид задачи ЛП. Запишем в канонической форме задачу распределения ресурсов. Добавив к исходной системе ограничений неотрицательные переменные х3 ≥ 0, х4 ≥ 0, х5 ≥ 0, имеем:

Симплексная таблица ЛП. В случае базисных переменных {x3, x4, x5} начальная симплекс таблица будет выглядеть:

Таблица 1.

	-х1	-х2
х3 =	0,2	3	18
х4 =	0,7	2	13,1
х5 =	2,3	2	23
f(x) =	3	4

Она уже соответствует опорному плану x(0) = Т (столбец свободных членов).