Главная › Телефон › Что такое p в html. Как посчитать величину P или значение вероятности. Я главный в иерархии заголовков

Что такое p в html. Как посчитать величину P или значение вероятности. Я главный в иерархии заголовков

Гейзенберга привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции Ψ(х, у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина |Ψ| 2 , определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме ΔV, т. е. в области с координатами х и х + dх, у и у + dу, z и z + dz .

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером . Уравнение Шрёдингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы.

Общее уравнение Шредингера имеет вид:

где ? = h / (2π ), m - масса частицы, Δ - оператор Лапласа , i - мнимая единица, U (x, y, z, t ) - потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ(x, y, z, t ) - искомая волновая функция частицы.

Уравнение (1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью υ «с.

Оно дополняется условиями , накладываемыми на волновую функцию:

1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной;

2) производные должны быть непрерывны;

3) функция |Ψ| 2 должна быть интегрируема (это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей).

Уравнение (1) называют уравнением Шредингера, зависящим от времени.

Дли многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (1) можно упростить, исключив зависимость Ψ от времени, т.е. найти уравнение Шредингера для стационарных состояний - состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция U = U (х, у , z ) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде

. (2)

Уравнение (2) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний.

Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями Ψ. Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собственными. Решения, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственнымифункциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором - о дискретном спектре.

Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)

где l — ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 2).

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде:

. (1)

По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х = 0 и х = 1) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль.

Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид:

Ψ (0) = Ψ (l ) = 0. (2)

В пределах «ямы» (0 ≤ х ≤ 0) уравнение Шредингера (1) сведется к уравнению:

или . (3)

где k 2 = 2mE / ? 2 . (4)

Общее решение дифференциального уравнения (3):

Ψ (x ) = A sin kx + B cos kx .

Так как по (2) Ψ (0) = 0, то В = 0. Тогда

Ψ (x ) = A sin kx . (5)

Условие Ψ (l ) = A sin kl = 0 (2) выполняется только при kl = nπ , где n - целые числа, т.е. необходимо, чтобы

k = nπ / l . (6)

Из выражений (4) и (6) следует, что:

(n = 1, 2, 3,…), (7)

т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Е п, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия Е п частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т. е. квантуется.

Квантованные значения энергии Е п называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Е п, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии п.

Подставив в (5) значение k из (6), найдем собственные функции:

Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки, которое для данного случая запишется в виде:

В результате интегрирования получим , а собственные функции будут иметь вид:

(n = 1, 2, 3,…). (8)

Графики собственных функций (8), соответствующие уровням энергии (7) при n = 1,2,3, приведены на рис. 3, а. На рис. 3, б изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная ‌‌‌‌‌‌ Ψ n (x )‌ 2 = Ψ n (x )·Ψ n * (x ) для п = 1, 2 и 3. Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с п= 2 частица не может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения (7) вытекает, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен:

Например, для электрона при размерах ямы l = 10 -1 м (свободные электроны в металле), ΔЕ n ≈ 10 -35 ·n Дж ≈ 10 -1 6 n эВ, т.е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными (l ≈ 10 -10 м), то для электрона ΔЕ n ≈ 10 -17 n Дж ≈ 10 2 n эВ, т.е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр).

Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.

Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная π 2 ? 2 /(2т1 2 ). Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Δх частицы в «яме» шириной l равна Δх = l .

Тогда, согласно соотношению неопределенностей, импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса Δр ≈ h / l . Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия Е min ≈ (Δp ) 2 / (2m ) = ? 2 / (2ml 2 ). Все остальные уровни (п > 1) имеют энергию, превышающую это минимальное значение.

Из формул (9) и (7) следует, что при больших квантовых числах (n »1) ΔЕ n / E п ≈ 2/п «1, т. е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше п. Если п очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов — дискретность - сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора (1923), согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

Стационарные решения уравнения Шредингера.

Приложение A.

Нахождение решения уравнения Шредингера для свободного электрона в виде волнового пакета .

Запишем уравнение Шредингера для свободного электрона

После преобразований уравнение Шредингера принимает вид

(A.2)

Это уравнение решаем с начальным условием

(A.3)

Здесь - волновая функция электрона в начальный момент времени. Ищем решение уравнения (A.2) в виде интеграла Фурье

(A.4)

Подставляем (A.4) в (A.2) и получаем

Решение (A.4) можно теперь записать в следующем виде

(A.6)

Используем начальное условие (A.3), и из (A.6) получаем разложение начальной волновой функции электрона в интеграл Фурье.

(A.7)

К выражению (A.7) применяем обратное преобразование Фурье

(A.8)

Подведем итог проделанным преобразованиям. Итак, если известна волновая функция электрона в начальный момент времени, то после интегрирования (A.8) находим коэффициенты . Затем после подстановки этих коэффициентов в (A.6) и интегрировании, получаем волновую функцию электрона в произвольный момент времени в любой точке пространства.

Для некоторых распределений интегрирование можно провести в явном виде и получить аналитическое выражение для решения уравнения Шредингера. В качестве начальной волновой функции возьмем распределение Гаусса, модулированное плоской монохроматической волной.

Здесь - средний импульс электрона. Выбор начальной волновой функции в таком виде позволят получить решение уравнения Шредингера в виде волнового пакета.

Рассмотрим подробно свойства начальной волновой функции (A.9).

Во-первых , волновая функция нормирована на единицу.

(A.10)

Нормировка (A.10) легко доказывается, если использовать следующий табличный интеграл.

(A.11)

Во-вторых , если волновая функция нормирована на единицу, то квадрат модуля волновой функции является плотностью вероятности, нахождения электрона в данной точке пространства.

Здесь величину будем называть амплитудой волнового пакета в начальный момент времени. Физический смысл амплитуды пакета – это максимальное значение распределения вероятности. На Рис.1 показан график распределения плотности вероятности.

Распределение плотности вероятности в начальный момент времени.

Отметим некоторые особенности графика на Рис.1.

1. Координата – это точка на оси x , в которой распределение вероятности имеет максимальное значение. Поэтому можно сказать, что с наибольшей вероятностью можно обнаружить электрон вблизи точки .

2. Величина определят отклонение от точки , при котором величина распределения уменьшается в e раз по сравнению с максимальным значением.

(A.13)

В этом случае величину называют шириной волнового пакета в начальный момент времени, а величину – полушириной пакета.

3. Вычислим вероятность нахождения электрона в интервале .

(A.14)

Таким образом, вероятность обнаружить электрон в области с центром и полушириной равна 0.843. Эта вероятность близка к единице, поэтому обычно, об области с полушириной говорят, как об области, где находится электрон в начальный момент времени.

В-третьих , начальная волновая функция не является собственной функцией оператора импульса . Поэтому электрон в состоянии с волновой функцией не имеет определенного импульса, можно говорить только о среднем импульсе электрона. Вычислим средний импульс электрона.

Поэтому, величина в формуле (A.9) является средним значением импульса электрона. Формула (A.15) легко доказывается, если использовать табличный интеграл (A.11).

Таким образом, свойства начальной волновой функции разобраны. Теперь подставим функцию в интеграл Фурье (A.8) и найдем коэффициенты .

В интеграле (A.16) делаем следующую замену переменной интегрирования.

(A.17)

В результате интеграл (A.16) принимает следующий вид.

(A.18)

В результате получаем следующее выражение для коэффициентов .

(A.18)

Подставляем коэффициенты в формулу (A.6), получаем следующее интегральное выражение для волновой функции.

В интеграле (A.19) делаем следующую замену переменной интегрирования.

(A.20)

В результате интеграл (A.19) принимает следующий вид.

Окончательно получаем формулу для волнового пакета.

(A.22)

Легко видеть, что для начального момента времени формула (A.22) переходит в формулу (A.9) для начальной волновой функции. Найдем плотность вероятности для функции (A.22).

Подставляем волновой пакет (A.22) в формулу (A.23), и в результате получаем следующее выражение.

(A.24)

Здесь центр волнового пакета, или максимум распределения плотности вероятности, движется со скоростью , равной следующей величине.

Полуширина волнового пакета увеличивается со временем, и определятся следующей формулой.

(A.26)

Амплитуда волнового пакета уменьшается со временем, и определятся следующей формулой.

(A.27)

Таким образом, распределение вероятности для волнового пакета можно записать в следующем виде.

(A.28)

На Рис.2. показано распределение вероятности в три последовательных момента времени.

Распределение вероятности в три последовательных момента времени.

Приложение B.

Общие сведения о решении уравнения Шредингера .

Введение.

Движение квантовой частицы в общем случае описывается уравнением Шредингера:

Здесь i – мнимая единица, h =1.0546´10 -34 (Дж×с) - постоянная Планка. Оператор Ĥ называется оператором Гамильтона. Вид оператора Гамильтона зависит от типа взаимодействия электрона с внешними полями.

Если не учитывать спиновые свойства электрона, например, не рассматривать движение электрона в магнитном поле, то оператор Гамильтона можно представить в виде.

(B.2)

Здесь – оператор кинетической энергии:

, (B.3)

где m =9.1094´10 -31 (кг) – масса электрона. Потенциальная энергия описывает взаимодействие электрона с внешним электрическим полем.

В данной лабораторной работе будет рассматриваться одномерное движение электрона вдоль оси x . Уравнение Шредингера в этом случае принимает следующий вид:

. (B.4)

Уравнение (B.4) с математической точки зрения является дифференциальным уравнение в частных производных для неизвестной волновой функции Y =Y (x,t). Известно, что такое уравнение имеет определенное решение, если заданы соответствующие начальные и граничные условия. Начальные и граничные условия выбираются исходя из конкретной физической задачи.

Пусть, например, электрон движется слева направо с некоторым средним импульсом p 0 . Кроме того, в начальный момент времени t=0, электрон локализован в некоторой области пространства x m -d < x < x m +d. Здесь x m – центр области локализации электрона, а d – эффективная полуширина этой области.

В этом случае начальное условие будет выглядеть следующим образом:

. (B.5)

Здесь Y 0 (x) – волновая функция в начальный момент времени. Волновая функция это комплексная функция, поэтому графически удобно представлять не саму волновую функцию, а плотность вероятности.

Плотность вероятности, нахождения электрона в данном месте в данный момент времени выражается через волновую функцию следующим образом:

Заметим, что вероятности должна быть нормирована на единицу. Отсюда получаем условие нормировки волновой функции:

. (B.7)

Распределение плотности вероятности в начальный момент времени

, (B.8)

можно изобразить графически. На Рис.3. показано возможное расположение электрона в начальный момент времени.

Расположение электрона в момент t=0.

Из этого рисунка видно, что с наибольшей вероятностью электрон находится в точке x m . Буквой A будем обозначать амплитуду (максимальное значение) распределения вероятности. Из этого рисунка так же видно, как определяется ширина 2d или полуширина d распределения. Если распределение имеет экспоненциальный или гауссов характер, то ширину распределения определяют на уровне в e раз меньшем, чем максимальное значение.

На Рис.3. показан вектор среднего импульса электрона. Это означает, что электрон движется справа налево, и распределение вероятности так же будет перемещаться справа налево. На Рис.2. показано распределение вероятности в три последовательных момента времени. На Рис.2. видно, что максимум распределения x m (t) перемещается слева направо.

На Рис.2. можно заметить, что движение электрона справа налево сопровождается деформацией распределения плотности вероятности. Амплитуда A (t) уменьшается, а полуширина d(t) растет. Все указанные детали движения электрона можно получить, если решить уравнение Шредингера (B4) с начальным условием (B.5).

Резюме . В зависимости от постановки физической задачи может меняться вид уравнения Шредингера. При исследовании тех или иных физических явлений, описываемых уравнением Шредингера, выбираются нужные начальные и граничные условия для нахождения решения уравнения Шредингера.

Стационарные решения уравнения Шредингера.

Если электрон движется в постоянном по времени внешнем поле, то его потенциальная энергия не будет зависеть от времени. В этом случае одним из возможных решений уравнения Шредингера (B.4) является решение с разделяющимися переменными по времени t и по координате x.

Применяем известный в математике прием решения дифференциальных уравнений. Ищем решение уравнения (B.4) в виде:

. (B.9)

Подставляем (B.9) в уравнение (B.4) и получаем следующие соотношения:

. (B.10)

Здесь E – константа, которой в квантовой механике придается смысл полной энергии электрона. Соотношения (B.10) эквивалентны следующим двум дифференциальным уравнениям:

. (B.11)

Первое уравнение в системе (B.11) имеет следующее общее решение:

Здесь C – произвольная константа. Подставляем (B.12) в выражение (B.9) и получаем решение уравнения Шредингера (B.4) в виде:

, (B.13)

где функция y (x) удовлетворяет уравнению.

(B.14)

Константа C содержится в функции y (x).

Решение уравнения Шредингера (B.4) в виде выражения (B.13), называется стационарным решением уравнения Шредингера . Уравнение (B.14) называют стационарным уравнение Шредингера . Функцию y (x) называют волновой функцией , независящей от времени.

Состояние электрона, которое описывается волной функцией (B.13), называется стационарным состоянием . В квантовой механике утверждается, что в стационарном состоянии электрон обладает определенной энергией E .

Полученные результаты можно обобщить на уравнение Шредингера (B.1) для трехмерного движения электрона. Если оператор Гамильтона Ĥ не зависит явно от времени, то одним из возможных решений уравнения Шредингера (B.1) является стационарное решение следующего вида:

, (B.15)

где волновая функция удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера.

(B.16)

Заметим, что уравнения (B.14) и (B.16) в квантовой механике имеют еще оно название. Эти уравнения являются уравнениями на собственные функции и собственные значения оператора Гамильтона. Другими словами, решая уравнение (B.16) находят энергии E (собственные значения оператора Гамильтона) и соответствующие им волновые функции (собственные функции оператора Гамильтона).

Резюме . Стационарные решения уравнения Шредингера являются некоторым классом решений из огромного множества других решений уравнения Шредингера. Стационарные решения существуют, если оператор Гамильтона не зависит явно от времени. В стационарном состоянии электрон имеет определенную энергию. Для нахождения возможных значений энергии надо решить стационарное уравнение Шредингера.

Волновой пакет.

Легко видеть, что стационарные решения уравнения Шредингера не описывают движение локализованного электрона, как показано на Рис.1 и Рис.2. Действительно, если взять стационарное решение (B.13) и найти распределение вероятности, то получится функция независящая от времени.

(B.17)

В этом нет ничего удивительного, стационарное решение (B.13) является одним из возможных решений дифференциального уравнения в частных производных (B.4).

Но вот что интересно, в силу линейности уравнения Шредингера (B.4) относительно волновой функции Y (x,t), для решений этого уравнения выполняется принцип суперпозиции. Для стационарных состояний этот принцип утверждает следующее. Любая линейная комбинация стационарных решений (с разными энергиями E ) уравнения Шредингера (B.4) то же является решением уравнения Шредингера (B.4).

Чтобы дать математическое выражение для принципа суперпозиции, нужно сказать несколько слов об энергетическом спектре электрона. Если решение стационарного уравнения Шредингера (B.14) имеет дискретный спектр, то это означает, что уравнение (B.14) можно записать в следующем виде:

(B.18)

где индекс n пробегает, вообще говоря, бесконечный ряд значений n=0,1,2,¼ . В этом случае решение уравнения Шредингера (B.4) можно представить в виде суммы стационарных решений.

(B.19)

В квантовой механике доказывается, что собственные функции y n (x) дискретного спектра можно сделать ортонормированной системой функций. Это означает, что выполняется следующее условие нормировки.

(B.20)

Здесь d n m – символ Кронекера.

y n (x) ортонормированная, то коэффициенты C n в сумме (B.19) имеют простой физический смысл. Квадрат модуля от коэффициента C n равен вероятности того, что электрон в состоянии с волновой функцией (B.19) имеет энергию E n .

Самое главное в этом утверждении, что электрон в состоянии с волновой функцией (B.19) не имеет определенной энергии. При измерении энергии, у этого электрона может быть получена любая энергия из набора с вероятностью (B.21).

Поэтому говорят, что электрон может обладать той или иной энергией с вероятностью, определяемой формулой (B.21).

Электрон, который находится в стационарном состоянии и имеет определенную энергию, будем называть монохроматическим электроном . Электрон, который не находится в стационарном состоянии, и поэтому не имеет определенной энергии, будем называть немонохроматическим электроном .

Если решение стационарного уравнения Шредингера (B.14) имеет непрерывный спектр, то это означает, что уравнение (B.14) можно записать в следующем виде:

, (B.22)

где энергия E принимает значения на некотором непрерывном интервале [E min , E max ]. В этом случае решение уравнения Шредингера (B.4) можно представить в виде интеграла стационарных решений.

(B.23)

Собственные функции непрерывного спектра y E (x) в квантовой механике принято нормировать на d-функцию:

, (B.24)

Определение d-функции содержится в следующих интегральных соотношениях:

Чтобы наглядно представить поведение d-функции, приводят следующее описание этой функции:

Так вот, если система функций y E (x) нормирована на d-функцию, то квадрат модуля от коэффициента C (E ) в интеграле (B.23) равен плотности вероятности того, что электрон в состоянии с волновой функцией (B.19) имеет энергию E .

Волновая функция Y(x,t) представленная в виде суммы (B.19) или в виде интеграла (B.23) от стационарных решений уравнения Шредингера, называется волновым пакетом .

Таким образом, состояние не монохроматического электрона описывается волновым пакетом. Можно сказать еще так, в состояние немонохроматического электрона дают вклад состояния монохроматического электрона со своими весовыми множителями.

На Рис.1. и Рис.2. изображены волновые пакеты электрона в разные моменты времени.

Резюме . Состояние немонохроматического электрона описывается волновым пакетом. Немонохроматический электрон не обладает определенной энергией. Волновой пакет можно представить суммой или интегралом волновых функций стационарных состояний со своими энергиями. Вероятность того, что немонохроматический электрон имеет ту или иную энергию из этого набора энергий, определятся вкладом соответствующих стационарных состояний в волновой пакет.

Свободное движение. Общее решение уравнения Шредингера.

В зависимости от поля, с которым взаимодействует электрон, решение стационарного уравнения Шредингера (B.14) может иметь разный вид. В данной лабораторной работе рассматривается свободное движение. Поэтому в уравнении (B.14) положим потенциальную энергию равной нулю. В результате получим следующее уравнение:

, (B.26)

общее решение этого уравнения имеет следующий вид:

. (B.27)

Здесь C 1 и С 2 - две произвольные константы, k имеет смысл волнового числа.

Теперь с помощью выражения (B.23) запишем общее решение уравнения Шредингера для свободного движения. Подставляем функцию (B.27) в интеграл (B.23). При этом учитываем, что пределы интегрирования по энергии E для свободного движения выбираются от нуля до бесконечности. В результате получаем следующее выражение:

В этом интеграле удобно перейти от интегрирования по энергии E к интегрированию по волновому числу k . Будем считать, что волновое число может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Для удобства введем частоту w, связанную с энергией E , следующим соотношением:

Преобразуя интеграл (B.28), получаем следующее выражение для волнового пакета:

. (B.30)

Интеграл (B.30) дает общее решение уравнения Шредингера (B.4) для свободного движения. Коэффициенты C (k) находятся из начальных условий.

Возьмем начальное условие (B.5) и подставим туда решение (B.30). В результате получим следующее выражение:

(B.31)

Интеграл (B.31) есть не что иное, как разложение начальной волновой функции в интеграл Фурье. Используя обратное преобразование Фурье, находим коэффициенты C (k).

. (B.32)

Резюме . Под свободным движением электрона понимается движение в отсутствии внешнего поля в бесконечной области пространства. Если известна волновая функция электрона в начальный момент времени Y 0 (x), то с помощью формул (B.32) и (B.30) можно найти общее решение уравнения Шредингера Y(x,t) для свободного движения электрона.

Введение

Известно, что курс квантовой механики является одним из сложных для восприятия. Это связано не столько с новым и "необычным" математическим аппаратом, сколько прежде всего с трудностью осознания революционных, с позиции классической физики, идей, лежащих в основе квантовой механики и сложностью интерпретации результатов.

В большинстве учебных пособий по квантовой механике изложение материала основано, как правило, на анализе решений стационарного уравнений Шредингера. Однако стационарный подход не позволяет непосредственно сопоставить результаты решения квантовомеханической задачи с аналогичными классическими результатами. К тому же многие процессы, изучаемые в курсе квантовой механики (как, например, прохождение частицы через потенциальный барьер, распад квазистационарного состояния и др.) носят в принципе нестационарный характер и, следовательно, могут быть поняты в полном объеме лишь на основе решений нестационарного уравнения Шредингера. Поскольку число аналитически решаемых задач невелико, использование компьютера в процессе изучения квантовой механики является особенно актуальным.

Уравнение Шредингера и физический смысл его решений

Волновое уравнение Шредингера

Одним из основных уравнений квантовой механики является уравнение Шредингера, определяющее изменение состояний квантовых систем с течением времени. Оно записывается в виде

где Н -- оператор Гамильтона системы, совпадающий с оператором энергии, если он не зависит от времени. Вид оператора определяется свойствами системы. Для нерелятивистского движения частицы массы в потенциальном поле U(r) оператор действителен и представляется суммой операторов кинетической и потенциальной энергии частицы

Если частица движется в электромагнитном поле, то оператор Гамильтона будет комплексным.

Хотя уравнение (1.1) является уравнением первого порядка по времени, вследствие наличия мнимой единицы оно имеет и периодические решения. Поэтому уравнение Шредингера (1.1) часто называют волновым уравнением Шредингера, а его решение называют волновой функцией, зависящей от времени. Уравнение (1.1) при известном виде оператора Н позволяет определить значение волновой функции в любой последующий момент времени, если известно это значение в начальный момент времени. Таким образом, волновое уравнение Шредингера выражает принцип причинности в квантовой механике.

Волновое уравнение Шредингера может быть получено на основании следующих формальных соображений. В классической механике известно, что если энергия задана как функция координат и импульсов

то переход к классическому уравнению Гамильтона--Якоби для функции действия S

можно получить из (1.3) формальным преобразованием

Таким же образом уравнение (1.1) получается из (1.3) при переходе от (1.3) к операторному уравнению путем формального преобразования

если (1.3) не содержит произведений координат и импульсов, либо содержит такие их произведения, которые после перехода к операторам (1.4) коммутируют между собой. Приравнивая после этого преобразования результаты действия на функцию операторов правой и левой частей полученного операторного равенства, приходим к волновому уравнению (1.1). Не следует, однако, принимать эти формальные преобразования как вывод уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера является обобщением опытных данных. Оно не выводится в квантовой механике, так же как не выводятся уравнения Максвелла в электродинамике, принцип наименьшего действия (или уравнения Ньютона) в классической механике.

Легко убедиться, что уравнение (1.1) удовлетворяется при волновой функцией

описывающей свободное движение частицы с определенным значением импульса. В общем случае справедливость уравнения (1.1) доказывается согласием с опытом всех выводов, полученных с помощью этого уравнения.

Покажем, что из уравнения (1.1) следует важное равенство

указывающее на сохранение нормировки волновой функции с течением времени. Умножим слева (1.1) на функцию *, a уравнение, комплексно сопряженное к (1.1), на функцию и вычтем из первого полученного уравнения второе; тогда находим

Интегрируя это соотношение по всем значениям переменных и учитывая самосопряженность оператора, получаем (1.5).

Если в соотношение (1.6) подставить явное выражение оператора Гамильтона (1.2) для движения частицы в потенциальном поле, то приходим к дифференциальному уравнению (уравнение непрерывности)

где является плотностью вероятности, а вектор

можно назвать вектором плотности тока вероятности.

Комплексную волновую функцию всегда можно представить в виде

где и -- действительные функции времени и координат. Таким образом, плотность вероятности

а плотность тока вероятности

Из (1.9) следует, что j = 0 для всех функций, у которых функция Ф не зависит от координат. В частности, j= 0 для всех действительных функций.

Решения уравнения Шредингера (1.1) в общем случае изображаются комплексными функциями. Использование комплексных функций весьма удобно, хотя и не необходимо. Вместо одной комплексной функции состояние системы можно описать двумя вещественными функциями и, удовлетворяющими двум связанным уравнениям. Например, если оператор Н -- вещественный, то, подставив в (1.1) функцию и отделив вещественную и мнимую части, получим систему двух уравнений

при этом плотность вероятности и плотность тока вероятности примут вид

Волновые функции в импульсном представлении.

Фурье-образ волновой функции характеризует распределение импульсов в квантовом состоянии. Требуется вывести интегральное уравнение для с Фурье-образом потенциала в качестве ядра.

Решение. Между функциями и имеются два взаимно обратных соотношения.

Если соотношение (2.1) использовать в качестве определения и применить к нему операцию, то с учетом определения 3-мерной -функции,

в результате, как нетрудно убедиться, получится обратное соотношение (2.2). Аналогичные соображения использованы ниже при выводе соотношения (2.8).

тогда для Фурье-образа потенциала будем иметь

Предполагая, что волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера

Подставляя сюда вместо и соответственно выражения (2.1) и (2.3), получаем

В двойном интеграле перейдем от интегрирования по переменной к интегрированию по переменной, а затем эту новую переменную вновь обозначим посредством. Интеграл по обращается в нуль при любом значении лишь в том случае, когда само подынтегральное выражение равно нулю, но тогда

Это и есть искомое интегральное уравнение с Фурье-образом потенциала в качестве ядра. Конечно, интегральное уравнение (2.6) можно получить только при условии, что Фурье-образ потенциала (2.4) существует; для этого, например, потенциал должен убывать на больших расстояниях по меньшей мере как, где.

Необходимо отметить, что из условия нормировки

следует равенство

Это можно показать, подставив в (2.7) выражение (2.1) для функции:

Если здесь сначала выполнить интегрирование по, то мы без труда получим соотношение (2.8).

Обще уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Статистическое толкование волн де Бройля (см. § 216) и соотношение неопределенностей Гейзенберга (см. 5 215) привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции Ψ (х, у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина |Ψ| 2 , определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т. е. в области с координатами x и x+dx, y иy+dy, z и z+dz. Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера,как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид

где h=h/(2π), m-масса частицы, ∆ -оператор Лапласа (),

i - мнимая единица, U (х, у, z, t) - потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ (х, у, z, t) - искомая волновая функция частицы.

Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0; см. § 225), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью υ<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные

должны быть непрерывны; 3) функция |Ψ| 2 должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).

Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, которой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Для простоты рассмотрим одномерный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид (см. § 154)

Или в комплексной записи . Следовательно, плоская волна де Бройля имеет вид

(217.2)

(учтено, что ω = E/h, k=p/h). В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет только |Ψ| 2 , то это (см. (217.2)) несущественно. Тогда

; (217.3)

Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсом p (E = p 2 /(2m)) и подставляя выражения (217.3), получим дифференциальное уравнение

которое совпадает с уравнением (217.1) для случая U= 0 (ми рассматривали свободную частицу).

Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то полная энергия Е складывается из кинетической и потенциальной энергий. Проводя аналогичные рассуждения используя взаимосвязь между Еи р (для данного случая р 2 /(2m)=E -U), прядем к дифференциальному уравнению, совпадающему с (217.1).

Приведенные рассуждения не должны восприниматься как вывод уравнения Шредингера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к которым оно приводит.

Уравнение (217.1) является общим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шредингера, зависящем от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимость Ψ от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера для стационарных состоянии - состоянии с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция U = U(х, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая - только времени, причем зависимость от времени выражается множителем

где Е - полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (217.4) в (217.1), получим

откуда после деления на общий множитель е – i (E/ h) t и соответствующих преобразований придем к уравнению, определяющему функцию ψ:

(217.5)

Уравнение (217.5) называетсяуравнением Шредингера для стационарных состояний.

В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями ψ. Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называютсясобственными. Решения же, которые соответствуютсобственным значениям энергии, называютсясобственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором - о дискретном спектре.