番号eが呼び出されます。 自然対数と数値 e. 双曲線関数による表現

意味

番号と呼ばれる無理数で超越的な数学定数です。 オイラー数または ネピア数、自然対数の底です。

舞台裏での定数 は、スコットランドの数学者ジョン・ネイピア (1550-1617) の著作「驚異的な対数表の説明」に記載されています (より正確には、1618 年に出版されたこの著作の翻訳の付録にあります)。 この定数について最初に言及したのは、ザクセンの哲学者、論理学者、数学者、機械工、物理学者、弁護士、歴史家、外交官、発明家、言語学者のゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ (1646-1716) がオランダの機械工、物理学者、数学者、天文学者に宛てた手紙の中にあります。そして1690年から1691年の発明家クリスティアン・フィンゲンス・ファン・ズリヘム（1629年-1695年）。 そこでは、それは文字によって指定されました。 伝統的指定 1727 年にスイス、ドイツ、ロシアの数学者、機械工のレオンハルト オイラー (1707-1783) がそれを使い始めました。 彼は、1731 年にドイツの数学者クリスチャン ゴールドバッハ (1690-1764) に宛てた手紙の中でこの言葉を初めて使用しました。この手紙が記載された最初の出版物は、L. オイラーの著書『分析的に説明される力学、または運動の科学』(1736 年) でした。 定数自体は、スイスの数学者ヤコブ ベルヌーイ (1655-1705) によって、利子収入の制限値の問題を解決する際に最初に計算されました。

数は数学のさまざまな分野、特に微分積分において重要な役割を果たします。 オイラー数の超越性は、1873 年にフランスの数学者シャルル エルミット (1822-1901) によって証明されました。

番号 e のタスク

1) 限界を超えて:

指数は、 、 または として表されます。

番号e

指数次数の基礎は次のとおりです。 番号e。 これは無理数です。 ほぼ等しいです
e ≈ 2,718281828459045...

数値 e は数列の極限によって決定されます。 これはいわゆる 2番目の素晴らしい制限:
.

数値 e は系列として表すこともできます。
.

指数グラフ

グラフは指数を示します e程度に バツ.
y (x) = e x
グラフは、指数が単調増加していることを示しています。

数式

基本的な公式は、次数 e を底とする指数関数の場合と同じです。

;
;
;

指数関数を介した次数 a の任意の底を持つ指数関数の式:
.

プライベートな価値観

させてください (x) = e x。 それから
.

指数のプロパティ

指数にはべき乗底を持つ指数関数の特性があります。 e > 1 .

ドメイン、値のセット

指数y (x) = e xすべての x に対して定義されます。
その定義領域:
- ∞ < x + ∞ .
その多くの意味:
0 < y < + ∞ .

極端、増加、減少

指数関数は単調増加関数であるため、極値はありません。 その主な特性を表に示します。

逆関数

指数の逆数は自然対数です。
;
.

指数の導関数

デリバティブ e程度に バツに等しい e程度に バツ :
.
n次微分:
.
数式の導出 > > >

積分

複素数

複素数の演算は次のように実行されます。 オイラーの公式:
,
ここで虚数単位は次のとおりです。
.

双曲線関数による式

; ;
.

三角関数を使った式

; ;
;
.

べき級数展開

参考文献:
で。 ブロンスタイン、K.A. Semendyaev、エンジニアと大学生のための数学ハンドブック、「Lan」、2009 年。

確率- ランダムなイベントが発生する確率を反映する 0 から 1 までの数値。0 はイベントが発生する確率が完全に存在しないことを意味し、1 は問題のイベントが確実に発生することを意味します。

イベント E の確率は 1 から 1 までの数値です。
相互に排他的なイベントの確率の合計は 1 に等しくなります。

経験的確率- 確率。過去のイベントの相対頻度として計算され、履歴データの分析から抽出されます。

非常にまれなイベントの確率は経験的に計算できません。

主観的確率- 過去のデータに関係なく、イベントの個人的な主観的な評価に基づく確率。 株式の売買を決定する投資家は、主観的な確率を考慮して行動することがよくあります。

事前確率 -

確率の概念により、イベントが発生する確率は 1 分の 1 (オッズ) です。 イベントが発生する確率は、確率によって次のように表されます: P/(1-P)。

たとえば、イベントの確率が 0.5 の場合、イベントの確率は 2 分の 1 です。 0.5/(1-0.5)。

イベントが発生しない確率は、式 (1-P)/P を使用して計算されます。

一貫性のない確率- たとえば、A 社の株の価格は、起こり得るイベント E を 85% 考慮しますが、B 社の株の価格は 50% のみを考慮します。 これを不一致確率といいます。 オランダの賭博定理によれば、一貫性のない確率は利益の機会を生み出します。

無条件の確率これは「その出来事が起こる確率はどれくらいですか?」という質問に対する答えです。

条件付き確率- これは、「イベント B が発生した場合にイベント A が発生する確率はいくらか」という質問に対する答えです。 条件付き確率は P(A|B) として表されます。

同時確率- イベント A と B が同時に発生する確率。 P(AB)と表します。

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

確率を合計するためのルール:

事象 A または事象 B のいずれかが起こる確率は、

P (A または B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

イベント A と B が相互に排他的である場合、

P (A または B) = P(A) + P(B)

自主イベント- イベント A と B は次の場合に独立しています。

P(A|B) = P(A)、P(B|A) = P(B)

つまり、確率値が 1 つのイベントから次のイベントまで一定である一連の結果です。
コイントスはそのようなイベントの一例です。後続の各トスの結果は、前のコインの結果に依存しません。

依存イベント- これらは、あるイベントの発生確率が別のイベントの発生確率に依存するイベントです。

独立したイベントの確率を乗算するためのルール:
イベント A と B が独立している場合、

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

合計確率ルール:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S と S" は相互に排他的なイベントです

期待値確率変数は、確率変数の考えられる結果の平均です。 イベント X の場合、期待値は E(X) として表されます。

一定の確率で相互に排他的なイベントの値が 5 つあるとします (たとえば、ある会社の収入がこのような確率でこれだけの金額であったなど)。 期待値は、すべての結果の合計にその確率を乗算したものです。

確率変数の分散は、確率変数の期待値からの二乗偏差の期待値です。

s 2 = E( 2 ) (6)

条件付き期待値は、イベント S がすでに発生していると仮定した場合の、確率変数 X の期待値です。

関数はモデルです。 X を独立変数の値のセットとして定義しましょう // 独立とは任意のことを意味します。

関数は、集合 X からの独立変数の各値について、従属変数の一意の値を見つけることができるルールです。 // つまり すべての x に対して 1 つの y があります。

この定義から、独立変数 (x で表し、任意の値を取ることができる) と従属変数 (y または f (x) で表し、次の場合に関数から計算されます) という 2 つの概念があることがわかります。 x) を代入します。

例: y=5+x

1. 独立は x です。これは、任意の値を取ることを意味します。x=3 とします。

2. 次に、y を計算しましょう。これは、y=5+x=5+3=8 を意味します。 (y は x に依存します。どの x を代入しても y が得られるためです)

変数 y は変数 x に関数的に依存するといわれており、次のように表されます: y = f (x)。

例えば。

1.y=1/x。 (誇張と呼ばれます)

2. y=x^2。 (放物線と呼ばれます)

3.y=3x+7。 （直線といいます）

4. y= √ x。 (放物線枝と呼ばれます)

独立変数 (x で表します) は関数の引数と呼ばれます。

機能ドメイン

関数の引数が取るすべての値のセットは関数のドメインと呼ばれ、D(f) または D(y) と表されます。

1.、2.、3.、4 の D(y) を考えます。

1. D (y)= (∞; 0) および (0;+∞) // ゼロを除く実数のセット全体。

2. D (y)= (∞; +∞)//実数のすべての数

3. D (y)= (∞; +∞)//実数のすべての数

4.D(y)= )