Главная › Настройки › В чем заключается идея симплекс метода. Реферат: Графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования. Из всех отношений выберем наименьшее. Пусть это будет

В чем заключается идея симплекс метода. Реферат: Графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования. Из всех отношений выберем наименьшее. Пусть это будет

Оптимальная стратегия замены оборудования

Одной из важных экономических проблем является определение оптимальной стратегии в замене старых станков, агрегатов, машин на новые.

Старение оборудования включает его физический и моральный износ, в результате чего растут производственные затраты по выпуску продукции на старом оборудовании, увеличиваются затраты на его ремонт и обслуживание, снижаются производительность и ликвидная стоимость.

Наступает время, когда старое оборудование выгоднее продать, заменить новым, чем эксплуатировать ценой больших затрат; причем его можно заменить новым оборудованием того же вида или новым, более совершенным.

Оптимальная стратегия замены оборудования состоит в определении оптимальных сроков замены. Критерием оптимальности при этом может служить прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует оптимизировать, или суммарные затраты на эксплуатацию в течение рассматриваемого промежутка времени, подлежащие минимизации.

Введем обозначения: r(t) - стоимость продукции, производимой за один год на единице оборудования возраста t лет;

u(t) - ежегодные затраты на обслуживание оборудования возраста t лет;

s(t) - остаточная стоимость оборудования возраста t лет;

Р - покупная цена оборудования.

Рассмотрим период N лет, в пределах которого требуется определить оптимальный цикл замены оборудования.

Обозначим через fN(t) максимальный доход, получаемый от оборудования возраста t лет за оставшиеся N лет цикла использования оборудования при условии оптимальной стратегии.

Возраст оборудования отсчитывается в направлении течения процесса. Так, t = 0 соответствует случаю использования нового оборудования. Временные же стадии процесса нумеруются в обратном направлении по отношению к ходу процесса. Так, N = 1 относится к одной временной стадии, остающейся до завершения процесса, а N = N - к началу процесса.

На каждом этапе N–стадийного процесса должно быть принято решение о сохранении или замене оборудования. Выбранный вариант должен обеспечивать получение максимальной прибыли.

Функциональные уравнения, основанные на принципе оптимальности, имеют вид:

Первое уравнение описывает N–стадийный процесс, а второе- одностадийный. Оба уравнения состоят из двух частей: верхняя строка определяет доход, получаемый при сохранении оборудования; нижняя - доход, получаемый при замене оборудования и продолжении процесса работы на новом оборудовании.

В первом уравнении функция r(t) - u(t) есть разность между стоимостью произведенной продукции и эксплуатационными издержками на N–й стадии процесса.

Функция fN–1 (t + 1) характеризует суммарную прибыль от (N - 1) оставшихся стадий для оборудования, возраст которого в начале осуществления этих стадий составляет (t + 1) лет.

Нижняя строка в первом уравнении характеризуется следующим образом: функция s(t) - Р представляет чистые издержки по замене оборудования, возраст которого t лет.

Функция r(0) выражает доход, получаемый от нового оборудования возраста 0 лет. Предполагается, что переход от работы на оборудовании возраста t лет к работе на новом оборудовании совершается мгновенно, т.е. период замены старого оборудования и переход на работу на новом оборудовании укладываются в одну и ту же стадию.

Последняя функция fN–1 представляет собой доход от оставшихся N - 1 стадий, до начала осуществления которых возраст оборудования составляет один год.

Аналогичная интерпретация может быть дана уравнению для одностадийного процесса. Здесь нет слагаемого вида f0(t + 1), так как N принимает значение 1, 2,..., N. Равенство f0(t) = 0 следует из определения функции fN(t).

Уравнения являются рекуррентными соотношениями, которые позволяют определить величину fN(t) в зависимости от fN–1(t + 1). Структура этих уравнений показывает, что при переходе от одной стадии процесса к следующей возраст оборудования увеличивается с t до (t + 1) лет, а число оставшихся стадий уменьшается с N до (N - 1).

Расчет начинают с использования первого уравнения. Уравнения позволяют оценить варианты замены и сохранения оборудования, с тем чтобы принять тот из них, который предполагает больший доход. Эти соотношения дают возможность не только выбрать линию поведения при решении вопроса о сохранении или замене оборудования, но и определить прибыль, получаемую при принятии каждого из этих решений.

Пример. Определить оптимальный цикл замены оборудования при следующих исходных данных: Р = 10, S(t) = 0, f(t) = r(t) - u(t), представленных в таблице.

Решение. Уравнения запишем в следующем виде:

Вычисления продолжаем до тех пор, пока не будет выполнено условие f1(1) > f2(2), т.е. в данный момент оборудование необходимо заменить, так как величина прибыли, получаемая в результате замены оборудования, больше, чем в случае использования старого. Результаты расчетов помещаем в таблицу, момент замены отмечаем звездочкой, после чего дальнейшие вычисления по строчке прекращаем.

Можно не решать каждый раз уравнение, а вычисления проводить в таблице. Например, вычислим f4(t):

Дальнейшие расчеты для f4(t) прекращаем, так как f4(4) = 23 По результатам вычислений и по линии, разграничивающей области решений сохранения и замены оборудования, находим оптимальный цикл замены оборудования. Для данной задачи он составляет 4 года.

Ответ. Для получения максимальной прибыли от использования оборудования в двенадцатиэтапном процессе оптимальный цикл состоит в замене оборудования через каждые 4 года.

Оптимальное распределение ресурсов

Пусть имеется некоторое количество ресурсов х, которое необходимо распределить между п различными предприятиями, объектами, работами и т.д. так, чтобы получить максимальную суммарную эффективность от выбранного способа распределения.

Введем обозначения: xi - количество ресурсов, выделенных i–му предприятию (i = );

gi(xi) - функция полезности, в данном случае это величина дохода от использования ресурса xi, полученного i–м предприятием;

fk(x) - наибольший доход, который можно получить при использовании ресурсов х от первых k различных предприятий.

Сформулированную задачу можно записать в математической форме:

при ограничениях:

Для решения задачи необходимо получить рекуррентное соотношение, связывающее fk(x) и fk–1(x).

Обозначим через хk количество ресурса, используемого k–м способом (0 ≤ xk ≤ х), тогда для (k - 1) способов остается величина ресурсов, равная (x - xk). Наибольший доход, который получается при использовании ресурса (x - xk) от первых (k - 1) способов, составит fk–1(x - xk).

Для максимизации суммарного дохода от k–гo и первых (k - 1) способов необходимо выбрать xk таким образом, чтобы выполнялись соотношения

Рассмотрим конкретную задачу по распределению капиталовложений между предприятиями.

Распределение инвестиций для эффективного использования потенциала предприятия

Совет директоров фирмы рассматривает предложения по наращиванию производственных мощностей для увеличения выпуска однородной продукции на четырех предприятиях, принадлежащих фирме.

Для расширения производства совет директоров выделяет средства в объеме 120 млн р. с дискретностью 20 млн р. Прирост выпуска продукции на предприятиях зависит от выделенной суммы, его значения представлены предприятиями и содержатся в таблице.

Найти распределение средств между предприятиями, обеспечивающее максимальный прирост выпуска продукции, причем на одно предприятие можно осуществить не более одной инвестиции.

Решение. Разобьем решение задачи на четыре этапа по количеству предприятий, на которых предполагается осуществить инвестиции.

Рекуррентные соотношения будут иметь вид:

для предприятия № 1

для всех остальных предприятий

Решение будем проводить согласно рекуррентным соотношениям в четыре этапа.

1–й этап. Инвестиции производим только первому предприятию. Тогда

2–й этап. Инвестиции выделяем первому и второму предприятиям. Рекуррентное соотношение для 2–го этапа имеет вид

при х = 20 f2(20) = max (8 + 0,0 + 10) = max (8, 10) = 10,

при x = 40 f2(40) = max (16,8 + 10,20) = max (16, 18, 20) =20,

при х = 60 f2(60) = max (25,16 + 10, 8 + 20,28) = max (25,26, 28,28) =28,

при х = 80 f2(80) = max (36,25 + 10,16 + 20,8 + 28,40) = max (36, 35, 36, 36, 40) = 40,

при х = 100 f2(100) = max (44,36 + 10,25 + 20,16 + 28,8 + 40,48) = max (44, 46, 45, 44, 48, 48) = 48,

при х = 120 f2(120) = max (62,44 + 10,36 +20,25 + 28,16 + 40,8 + 48,62) = max (62, 54, 56, 53, 56, 56, 62) = 62.

3–й этап. Финансируем 2–й этап и третье предприятие. Расчеты проводим по формуле

при х = 20 f3(20) = mах (10, 12) = 12,

при x = 40 f3(40) = max (20,10 + 12,21) = max (20, 22, 21) = 22,

при х = 60 f3(60) = max (28,20 + 12,10 + 21,27) = max (28, 32, 31, 27) = 32,

при х = 80 f3(80) = max (40,28 + 12,20 + 21,10 + 27,38) = max (40, 40, 41, 37, 38) = 41,

при x = 100 f3(100) = max (48,40 + 12,28 + 21,20 + 27,10 + 38,50) = max (48, 52, 49, 47, 48, 50) = 52,

при х = 120 f3(120) = max (62,48 + 12,40 + 21,28 + 27,20 + 38,10 + 50,63) = max (62, 60, 61, 55, 58, 60, 63) = 63.

4–й этап. Инвестиции в объеме 120 млн р. распределяем между 3–м этапом и четвертым предприятием.

При х = 120 f4(120) = max (63,52 + 11,41 + 23,32 + 30,22 + 37,12 + 51,63) = max (63, 63, 64, 62, 59, 63, 63) = 64.

Получены условия управления от 1–го до 4–го этапа. Вернемся от 4–го к 1–му этапу. Максимальный прирост выпуска продукции в 64 млн р. получен на 4–м этапе как 41 + 23, т.е. 23 млн р. соответствуют выделению 40 млн р. четвертому предприятию (см. табл. 29.3). Согласно 3–му этапу 41 млн р. получен как 20 + 21, т.е. 21 млн р. соответствует выделеник 40 млн р. третьему предприятию. Согласно 2–этапу 20 млн р. получено при выделении 40 млн р. второму предприятию.

Таким образом, инвестиции в объеме 120 млн р. целесообразно выделить второму, третьему и четвертому предприятиям по 40 млн р. каждому, при этом прирост продукции будет максимальным и составит 64 млн р.

Минимизация затрат на строительство и эксплуатацию предприятий

Задача по оптимальному размещению производственных предприятий может быть сведена к задаче распределения ресурсов согласно критерию минимизации с учетом условий целочисленности, накладываемых на переменные.

Пусть задана потребность в пользующемся спросом продукте на определенной территории. Известны пункты, в которых можно построить предприятия, выпускающие данный продукт. Подсчитаны затраты на строительство и эксплуатацию таких предприятий.

Необходимо так разместить предприятия, чтобы затраты на их строительство и эксплуатацию были минимальные.

Введем обозначения:

х - количество распределяемого ресурса, которое можно использовать п различными способами,

xi - количество ресурса, используемого по i–му способу (i = );

gi(xi) - функция расходов, равная, например, величине затрат на производство при использовании ресурса xi по i–му способу;

φk(x) - наименьшие затраты, которые нужно произвести при использовании ресурса х первыми k способами.

Необходимо минимизировать общую величину затрат при освоении ресурса x всеми способами:

при ограничениях

Экономический смысл переменных xi состоит в нахождении количества предприятий, рекомендуемого для строительства в i–м пункте. Для удобства расчетов будем считать, что планируется строительство предприятий одинаковой мощности.

Рассмотрим конкретную задачу по размещению предприятий.

Пример. В трех районах города предприниматель планирует построить пять предприятий одинаковой мощности по выпуску хлебобулочных изделий, пользующихся спросом.

Необходимо разместить предприятия таким образом, чтобы обеспечить минимальные суммарные затраты на их строительство и эксплуатацию. Значения функции затрат gi(x) приведены в таблице.

В данном примере gi(х) - функция расходов в млн р., характеризующая величину затрат на строительство и эксплуатацию в зависимости от количества размещаемых предприятий в i–м районе;

φk(x) - наименьшая величина затрат в млн. р., которые нужно произвести при строительстве и эксплуатации предприятий в первых k районах.

Решение. Решение задачи проводим с использованием рекуррентных соотношений: для первого района

для остальных районов

Задачу будем решать в три этапа.

1–й этап. Если все предприятия построить только в первом районе, то

минимально возможные затраты при х = 5 составляют 76 млн р.

2–й этап. Определим оптимальную стратегию при размещении предприятий только в первых двух районах по формуле

Найдем φ2(l):

g2(1) + φ1(0) = 10 + 0 = 10,

g2(0) + φ1(l)= 0 +11 = 11,

φ2(l) = min (10, 11) = 10.

Вычислим φ2(2):

g2(2) + φ1(0) = 19 + 0 = 19,

g2(l) + φ1(l) = 10 + 11 = 21,

g2(0) + φ1 (2) = 0 + 18 = 18,

φ2(2) = min (19, 21, 18) = 18.

Найдем φ2(3):

g2(3) + φ1 (0) = 34 + 0 = 34,

g2(2) + φ1(l) = 19 + 11 = 30,

g2(1) + φ1(2) = 10 + 18 = 28,

g2(0) + φ1(3) = 0 + 35 = 35,

φ2(3) = min (34, 30, 28, 35) = 28.

Определим φ2(4):

g2(4) + φ1(0) = 53 + 0 = 53,

g2(3) + φ1(l) = 34 + 11 = 45,

g2(2) + φ1(2) = 19 + 18 = 37,

g2(l) + φ1(3) = 10 + 35 = 45,

g2(0) +φ1(4) = 0 + 51 = 51,

φ2(4) = min (53, 45, 37, 45, 51) = 37.

Вычислим φ2(5):

g2(5) + φ1(0) = 75 + 0 = 75,

g2(4) + φ1(l) = 53 + 11 = 64,

g2(3) + φ1(2) = 34 + 18 = 52,

g2(2) + φ1(3) = 19 + 35 = 54,

g2(1) + φ1(4) = 10 + 51 = 61,

g2(0) + φ1(5) = 0 + 76 = 76,

φ2(5) = min (75, 64, 52, 54, 61, 76) = 52.

3–й этап. Определим оптимальную стратегию при размещении пяти предприятий в трех районах по формуле

φ3(x) = min{g3(x3) + φ2(x – х3)}.

Найдем φ3(5):

g3(5) + φ2(0) = 74 + 0 = 74,

g3(4) + φ2(1) = 54 + 10 = 64,

g3(3) + φ2(2) = 36 + 18 = 54,

g3(2) +φ2(3) = 20 + 28 = 48,

g3(1) + φ2(4) = 9 + 37 = 46,

g3(0) + φ2(5) = 0 + 52 = 52,

φ3(5) = min (74, 64, 54, 48, 46, 52) = 46.

Минимально возможные затраты при х = 5 составляют 46 млн р.

Определены затраты на строительство предприятий от 1–го до 3–го этапа. Вернемся 3–го к 1–му этапу. Минимальные затраты в 46 млн р. на 3–м этапе получены как 9 + 37, т.е. 9 млн р. соответствуют строительству одного предприятия в третьем районе (см. табл. 29.4). Согласно 2–му этапу 37 млн р. получены как 19 + 18, т.е. 19 млн р. соответствуют строительству двух предприятий во втором районе. Согласно 1–му этапу 18 млн р. соответствуют строительству двух предприятий в первом районе.

Ответ. Оптимальная стратегия состоит в строительстве одного предприятия в третьем районе, по два предприятия во втором и первом районах, при этом минимальная стоимость строительства и эксплуатации составит 46 ден. ед.

Нахождение рациональных затрат при строительстве трубопроводов и транспортных артерий

Требуется проложить путь (трубопровод, шоссе) между двумя пунктами А и В таким образом, чтобы суммарные затраты на его сооружение были минимальные.

Решение. Разделим расстояние между пунктами А и В на шаги (отрезки). На каждом шаге можем двигаться либо строго на восток (по оси X), либо строго на север (по оси Y). Тогда путь от А в В представляет ступенчатую ломаную линию, отрезки которой параллельны одной из координатных осей. Затраты на сооружение каждого из отрезков известны (рис. 29.2) в млн р.

Разделим расстояние от А до В в восточном направлении на 4 части, в северном – на 3 части. Путь можно рассматривать как управляемую систему, перемещающуюся под влиянием управления из начального состояния А в конечное В. Состояние этой системы перед началом каждого шага будет характеризоваться двумя целочисленными координатами х и у. Для каждого из состояний системы (узловой точки) найдем условное оптимальное управление. Оно выбирается так, чтобы стоимость всех оставшихся шагов до конца процесса была минимальна. Процедуру условной оптимизации проводим в обратном направлении, т.е. от точки В к точке А.

Найдем условную оптимизацию последнего шага.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Во всем мире сейчас существует огромное множество различных предприятий, которые используют для производства продукции машинное оборудование. Поэтому при его внедрении необходимо составить оптимальный план замены и использования оборудования. Задача эта рассматривается как многоэтапный процесс, который характерен для динамического программирования.

В условиях рыночной экономики выбор стратегии замены оборудования или обеспечения его работоспособности для промышленного предприятия обычно довольно сложен, и для получения приемлемых результатов иногда может оказаться недостаточно только солидного опыта и, так как часто интуиция приводит к ошибочным заключениям. Математическое же рассмотрение позволяет получить правильные и легко вычислимые оценки.

В экономической теории наработан широкий перечень моделей замены оборудования, которые позволяют оценивать целесообразность и условия замены более полно и адекватно. Эти модели построены как зарубежными специалистами, так и учеными СССР и РФ. В настоящее время представляется весьма актуальной систематизация этих моделей и определение областей их эффективного применения.

Целью данной курсовой работы является определение оптимальных сроков замены старого оборудования.

Задачи этой работы состоят:

В нахождении условного оптимального решения задачи;

В составлении оптимального плана замены оборудования.

Старение оборудования включает его физический и моральный износ. В результате чего увеличиваются производственные затраты, растут затраты на обслуживание и ремонт оборудования, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Критерием оптимальности является либо прибыль от эксплуатации оборудования, либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода.

1. Теоретическое описание модели замены оборудования

1.1 Характеристика модели замены оборудования

Важной экономической проблемой является своевременная замена оборудования: автомобилей, станков, электроники и т.п. старение оборудования включает физический и моральный износ, а вследствие этого повышаются затраты на обслуживание и ремонт оборудования, снижается производительность труда, да и работать на старом оборудовании не так приятно, как на новом. Соответственно необходимо знать, когда и как надо заменять оборудование.

Задача о замене оборудования заключается в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Экономические и математические задачи, которые решают данную проблему, называют оптимизационными.

Оптимизационные задачи решаются с помощью оптимизационных моделей методами математического программирования. Структура оптимизационной модели состоит из целевой функции, области допустимых решений и системы ограничений, определяющими эту область.

Целевая функция - функция, связывающая цель с управляемыми переменными. Область допустимых значений - это область, в пределах которой осуществляется выбор решений. Она ограничена системой ограничений, состоящей из уравнений и неравенств.

Выделяется группа задач по виду критерия оптимальности:

Задачи линейного программирования. Целевая функция и функции в системе ограничений - линейные функции.

Задачи целочисленного линейного программирования. К предыдущим условиям добавляется условие необходимости получить ответ в виде целых чисел.

Задачи нелинейного программирования. Целевая функция и/или функции в системе ограничений - нелинейные функции.

Задачи квадратичного программирования. Множество допустимых решений представляет собой выпуклый многогранник, а целевая функция является квадратичной.

Задачи выпуклого программирования. Множество допустимых решений и целевая функция - выпуклое множество.

Задачи стохастического программирования. Функции носят случайный характер.

Задачи эвристического программирования. Чрезмерно большое количество вариантов решения, приводящий к невозможности найти точный оптимум алгоритмическим путем.

Задачи динамического программирования. Критерий эффективности выражен неявно через уравнения, описывающие операции во времени.

Модель замены оборудование - это оптимизационная модель, которую мы можем отнести к динамическому программированию. В основе метода динамического программирования лежит принцип последовательной оптимизации: решение исходной задачи оптимизации большой размерности заменяется решением последовательности задач оптимизации малой размерности. Основным условием применимости метода динамического программирования является возможность разбиения процесса принятия решений на ряд однотипных шагов или этапов, каждый из которых планируется отдельно, но с учетом результатов, полученных на других шагах.

1.2 Принцип оптимальности Беллмана

замена оборудование математический программирование

Метод динамического программирования состоит в том, что оптимальное управление строится постепенно. На каждом шаге оптимизируется управление только этого шага. Вместе с тем на каждом шаге управление выбирается с учётом последствий, так как управление, оптимизирующее целевую функцию только для данного шага, может привести к неоптимальному эффекту всего процесса. Управление на каждом шаге должно быть оптимальным с точки зрения процесса в целом. Это основное правило динамического программирования, сформулированное Беллманом, называется принципом оптимальности.

Планируется эксплуатация оборудования в течение некоторого периода времени. Оборудование имеет тенденцию с течением времени стареть и приносить все меньший доход. При этом есть возможность в начале любого года продать устаревшее оборудование за определенную цену, которая также зависит от возраста, и купить новое оборудование. Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации оборудования после последней замены, определенный в годах. Требуется найти оптимальный план замены оборудования на новое так, чтобы суммарный доход за все годы эксплуатации был максимальным.

Введем обозначения: r(t) -- стоимость продукции, производимой за один год на единице оборудования возраста t лет:

u(t) -- ежегодные затраты на обслуживание оборудования возраста t лет;

s(t) -- остаточная стоимость оборудования возраста t лет;

Р -- покупная цена оборудования.

Рассмотрим период N лет, в пределах которого требуется определить оптимальный цикл замены оборудования.

На каждом этапе N-стадийного процесса должно быть принято решение о сохранении или замене оборудования. Выбранный вариант должен обеспечивать получение максимальной прибыли.

Функциональные уравнения, основанные на принципе оптимальности, показаны на рис. 2:

Уравнение 1 описывает N-стадийный процесс, а 2 -- одностадийный. Оба уравнения состоят из двух частей: верхняя строка определяет доход, получаемый при сохранении оборудования; нижняя -- доход, получаемый при замене оборудования и продолжении процесса работы на новом оборудовании.

В уравнении 1 функция r(t) -- u(t) есть разность между стоимостью произведенной продукции и эксплуатационными издержками на N-й стадии процесса.

Функция fN-1 (t + 1) характеризует суммарную прибыль от (N -- 1) оставшихся стадий для оборудования, возраст которого в начале осуществления этих стадий составляет (t + 1) лет.

Нижняя строка 1 характеризуется следующим образом: функция s(t) -- Р представляет чистые издержки по замене оборудования, возраст которого t лет.

Последняя функция fN-1 в 1 представляет собой доход от оставшихся N -- 1 стадий, до начала осуществления которых возраст оборудования составляет один год.

Уравнения 1 и 2 являются рекуррентными соотношениями, которые позволяют определить величину fN(t) в зависимости от fN-1(t + 1). Структура этих уравнений показывает, что при переходе от одной стадии процесса к следующей возраст оборудования увеличивается с t до (t + 1) лет, а число оставшихся стадий уменьшается с N до (N -- 1).

Расчет начинают с использования уравнения 1. Уравнения 1 и 2 позволяют оценить варианты замены и сохранения оборудования, с тем чтобы принять тот из них, который предполагает больший доход. Эти соотношения дают возможность не только выбрать линию поведения при решении вопроса о сохранении или замене оборудования, но и определить прибыль, получаемую при принятии каждого из этих решений.

2. Информационно-методическое обеспечение моделирования

2.1 Методическое обеспечение модели

В экономических процессах управление заключается в распределении и перераспределении средств на каждом этапе. Например, выпуск продукции любым предприятием - управляемый процесс, так как он определяется изменением состава оборудования, объемом поставок сырья, величиной финансирования и т.д. Совокупность решений, принимаемых в начале каждого года планируемого периода по обеспечению предприятия сырьем, замене оборудования, размерам финансирования и т.д., является управлением. Казалось бы, для получения максимального объема выпускаемой продукции проще всего вложить максимально возможное количество средств и использовать на полную мощность оборудование. Но это привело бы к быстрому изнашиванию оборудования и, как следствие, к уменьшению выпуска продукции.

Следовательно, выпуск продукции надо спланировать так, чтобы избежать нежелательных эффектов. Необходимо предусмотреть мероприятия, обеспечивающие пополнение оборудования по мере изнашивания, т.е. по периодам времени. Последнее хотя и приводит к уменьшению первоначального объема выпускаемой продукции, но обеспечивает в дальнейшем возможность расширения производства. Таким образом, экономический процесс выпуска продукции можно считать состоящим из нескольких этапов (шагов), на каждом из которых осуществляется влияние на его развитие.

Началом этапа (шага) управляемого процесса считается момент принятия решения (о величине капитальных вложений, о замене оборудования определенного вида и т.д.). Под этапом обычно понимают хозяйственный год.

Динамическое программирование, используя поэтапное планирование, позволяет не только упростить решение задачи, но и решить те из них, к которым нельзя применить методы математического анализа. Упрощение решения достигается за счет значительного уменьшения количества исследуемых вариантов, так как вместо того, чтобы один раз решать сложную многовариантную задачу, метод поэтапного планирования предполагает многократное решение относительно простых задач.

Планируя поэтапный процесс, исходят из интересов всего процесса в целом, т.е. при принятии решения на отдельном этапе всегда необходимо иметь в виду конечную цель.

Задача динамического программирования должна удовлетворять двум условиям. Первое условие обычно называют условием отсутствия последействия, а второе - условием аддитивности целевой функции задачи.

2.2 Алгоритмическое обеспечение модели

В период эксплуатации и хранения оборудование подвергается физическому и моральному износу. Физический износ характеризуется утратой оборудованием своих первоначальных качеств. Это вызывает уменьшение точности работы оборудования, снижение скорости его работы. Физический износ оборудования является причиной увеличения доли бракованных изделий, увеличения времени простоя оборудования по техническим причинам, перерасхода основных и вспомогательных материалов, простоев в связи с авариями, что в конечном итоге ведет к росту себестоимости продукции. Моральный износ оборудования бывает двух форм. Первая форма морального износа вызывает уменьшение стоимости оборудования вследствие удешевления их воспроизводства. Вторая форма морального износа наступает в том случае, если изменяется конструкция и эксплуатационные показатели новых машин, когда машина технически устарела и заменяется более совершенной.

Предприятия должны постоянно проводить мероприятия, предупреждающие или устраняющие последствия износа оборудования путем своевременного проведения различного вида ремонтов и технического обслуживания оборудования.

Организация технического обслуживания и ремонта оборудования на предприятиях направлена на поддержание и восстановление работоспособности оборудования. Но в результате ремонта можно не только восстановить утерянные функции деталей и узлов машин и механизмов, но и модернизировать их с целью улучшения технических характеристик. Сущность ремонта заключается в обеспечении сохранности и качественном восстановлении эксплуатационных характеристик оборудования путем замены или восстановления изношенных деталей и регулировки механизмов.

Ремонт - это комплекс операций по восстановлению исправности, работоспособности либо ресурса оборудования, либо его составных частей.

Задачами организации ремонтных работ на предприятии являются:

поддержание оборудования в работоспособном состоянии;

предупреждение преждевременного износа деталей и узлов;

сохранение высокой точности, надежности и долговечности оборудования;

сокращение простоев оборудования во время ремонтов и техобслуживания;

снижение затрат на ремонт и техническое обслуживание.

Под системой ремонта понимается совокупность взаимосвязанных положений и норм, определяющих организацию и выполнение ремонтных работ на предприятии. Существует несколько систем организации ремонта оборудования. В основу каждой из них закладывается определенный изначальный принцип. Он касается, прежде всего, периодичности выполнения ремонтов и технического обслуживания. Наиболее широко распространены три системы.

Система ремонта оборудования «по отказам» предусматривает выполнение ремонтов в случае отказа работы оборудования. В этой системе достаточно сложно предусмотреть простои и затраты на ремонт. К числу недостатков этой системы можно отнести длительность простоя оборудования при ремонте и значительные затраты на ремонт.

Система послеосмотрового ремонта. При использовании этой системы решение о проведении ремонта принимается после осмотра оборудования.

Вышеперечисленные две системы называются еще системами ремонта по потребности.

Система планово-предупредительного ремонта (ППР). При использовании этой системы ремонта заранее выполняется комплекс работ, предупреждающий большой износ оборудования, длительные простои, большие затраты на ремонт и аварии.

Под системой планово-предупредительного ремонта понимается совокупность организационных и технических мероприятий по изучению и контролю износа деталей и узлов машин, а также по уходу, надзору, обслуживанию и ремонту оборудования, проводимых на нормативной основе с целью постоянного поддержания оборудования в работоспособном состоянии и предупреждения неожиданных выходов его из строя. Такая система ремонта позволяет наилучшим образом сочетать работы по техническому обслуживанию и профилактическому ремонту с общим ходом производственного процесса на предприятии.

Сущность системы планово-предупредительного ремонта заключается в следующем:

систематическая проверка состояния оборудования и проведение необходимых ремонтов для предупреждения аварии;

необходимость изучения износа деталей и узлов и планирования ремонтов с целью предупреждения аварий;

обязательная материальная и техническая подготовка планируемых ремонтов с целью повышения качества ремонтов и уменьшения простоев при ремонтах машин;

создание надежных предпосылок для снижения трудоемкости ремонтов.

Планирование ремонтных работ осуществляется в виде годового плана-графика. В основу плана-графика положена структура ремонтного цикла по каждому виду оборудования и нормативы трудоемкости по видам планируемых ремонтов для каждого вида оборудования.

Годовой план-график ремонта составляется по месяцам планируемого года Ремонтные работы, предусмотренные планом-графиком, надо, по возможности, равномерно распределять по кварталам и месяцам года для однотипного оборудования.

Таким образом, классический подход предупредительного ремонта основан на календаре: через заданный интервал времени оборудование ремонтируется независимо от износа на данный момент. У каждого оборудования свой срок ремонта и своя стоимость ремонта. На производстве оборудование, как правило, сложное. И у каждой детали сложного оборудования свой срок ремонта и своя стоимость ремонта. Если срок ремонта сложного оборудования совпадает со сроком ремонта входящих в него деталей, то сокращаются затраты на ремонт.

Замена оборудования требуется в тот момент когда прибыль становится меньше, а затраты на обслуживание и ремонт резко увеличиваются.

3. Многомодельный подход к решению проблемы управления процессом замены производственного оборудования

Для эффективного управления производственным предприятием все шире начинают привлекаться математические оптимизационные модели и методы. Проблему эффективного управления предприятием и, в частности, управления процессом замены производственного оборудования необходимо решать комплексно и на каждом иерархическом уровне управления предприятием.

При этом необходимо отметить, что в современной конкурентной среде оценка результатов деятельности предприятия в сравнении с прошлыми стандартами больше не работает. Чтобы успешно конкурировать и развиваться, компании должны принять на вооружение философию непрерывных улучшений, а это непрерывный процесс, в ходе которого происходит непрекращающийся поиск способов, которые сводятся к совершенствованию технологий работы, проведению своевременных модернизаций, ремонту, замене и выбору нового оборудования и направленных на снижение затрат и повышение их производительности. При этом одной из целей предприятия является привлечение дополнительных инвестиций.

Для привлечения дополнительных инвестиций предприятию необходимо обладать инвестиционной привлекательностью. В связи с этим возникает проблема эффективного управления процессом замены производственного оборудования предприятия, решение которой сводится к решению ряда оптимизационных задач. В общем случае решение проблемы эффективного управления процессом замены оборудования предприятия тесно взаимосвязано с решением проблемы эффективного стратегического развития предприятия.

На рис. 3 показана взаимосвязь показателей эффективности результатов деятельности предприятия, где решение проблемы эффективного стратегического развития предприятия зависит от решения проблемы эффективного управления производственными активами (оборудованием) предприятия.

Исходя из вышесказанного и необходимости учета многих факторов, следует, что проблемы эффективного управления процессом замены необходимо решать комплексно и поэтапно. В данной статье предлагается система моделей и методов решения задач управления процессом замены производственного оборудования предприятия (см. табл. 1).

Задачи замены оборудования
Дано: поток расходов на оборудование от срока ввода в эксплуатацию. Целевой критерий: минимизация средних расходов за период эксплуатации.	МА1. аналитическая модель определения оптимального срока замены оборудования по средним расходам.
Дано: поток доходов от выпускаемой продукции и расходов на оборудование от ввода в эксплуатацию. Целевой критерий: максимизация суммы прибыли и ликвидной стоимости за период эксплуатации.	МА2. Аналитическая модель определения оптимального срока замены оборудования по доходам.	Необходимые и достаточные условия существования экстремума целевой функции.
Дано: поток доходов и расходов от ввода в эксплуатацию системы идентичного оборудования с заданной функцией надежности. Целевой критерий: максимизация суммы прибыли от начала срока эксплуатации	МА3. Стохастическая модель замены системы идентичного оборудования с отказами	Методы теории надежности, необходимые и достаточное условия существования экстремума функции
Дано: поток расходов на оборудование, начальный возраст оборудования, период эксплуатации, стоимость нового оборудования, способ амортизации, темп инфляции. Целевой критерий: минимизация расходов при многошаговом процессе замены оборудования.	МВ1.Управляемая динамическая модель процессом замены производственного оборудования с отказами (или без отказов)	Методы динамического программирования в обратном времени
Дано: поток доходов, расходов на оборудование, начальный возраст оборудования, период эксплуатации, стоимость нового оборудования, способ амортизации, темп инфляции, темпы стоимости нового оборудования, продукции, функции надежности	МВ2. Модели прогноза ряда динамики МВ3. Управляемая динамическая модель процессом замены производственного оборудования с отказом	Методы расчета тренда, скользящей средней, регрессионного анализа. Методы динамического программирования в прямом времени.

Задачи класса А. Для заданных исходных данных найти оптимальные сроки замены оборудования. В качестве целевых функций выступают средние расходы за период эксплуатации, суммы прибыли и ликвидной стоимости за период эксплуатации.

Задачи класса В. Для заданных исходных данных найти оптимальные стратегии замены эксплуатируемого и нового оборудования в долгосрочной перспективе. В качестве целевых функций выступают расходы и прибыли при многошаговом процессе замены оборудования.

В связи с тем, что решение о замене для задач данного класса принимается в начале каждого календарного года эксплуатации оборудования, то задача определения оптимальных стратегий замены эксплуатируемого и нового оборудования сводится к многошаговой процедуре принятия решений. Каждый шаг оценивается величиной прибыли или величиной расхода, которые можно подсчитать за год эксплуатации. Очевидно, что решение подобной задачи можно осуществить на управляемой динамической модели, поскольку их потенциальные возможности адекватного отражения свойств реальных систем выше, чем статичных моделей. Кроме того, к ним применим принцип оптимальности Р. Беллмана: оптимальное управление обладает тем свойством, что, каково бы не было начальное состояние системы на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге, последующие шаги управления должны выбираться оптимальными относительно состояния, к которому придет система в конце данного шага. Использование этого принципа позволяет построить рекуррентные функциональные уравнения динамического программирования относительно оптимального значения целевой функции.

Заключение

Функционирование предприятия в условиях конкуренции имеет ряд особенностей, которые оказывают влияние на организационно-правовые формы управления предприятием. Для успешного решения проблемы эффективного управления производственными активами должны привлекаться экономико-математические модели и методы. При этом отражение всех основных аспектов в проблеме оптимизации управления заменой производственного оборудования может быть достигнуто посредством многомодельного подхода, когда для решения задачи управления заменой привлекается не одна, а несколько математических моделей, позволяющих описать процесс замены с различной степенью детализации. В работе показано, что замена оборудования, является многошаговым процессом и в этом случае оптимальная стратегия замены является решением оптимизационной задачи поставленной на управляемой - дискретной динамической модели.

Предложенная в работе методика определения оптимальной стратегии замены и эксплуатации оборудования, базирующаяся на управляемой динамической модели, направлена на повышение степени эффективности процессов, управления производственными активами предприятия. Она является наиболее подходящей для практического применения в настоящее время. Предлагаемая постановка задач определения оптимальных сроков замены и подход, в отличии - от традиционных, позволяет решить задачу выбора оптимальной стратегии замены производственных активов предприятия на дискретной управляемой динамической модели стратегии замены методом динамического программирования принятия решений в прямом времени, что не требует фиксации срока эксплуатации и является новаторским в определении текущих сроков замены.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Ознакомление с методами решения оптимизационных задач. Алгоритм метода ломанных. Определение наименьшего значения целевой функции. Описание метода анализа математической модели. Расчет поиска минимума по методу ломаных. Листинг программы, интерфейс.

курсовая работа , добавлен 06.12.2014

Постановка задачи динамического программирования. Составление основного функционального управления динамического программирования, определяющего условный оптимальный выигрыш для данного состояния. Выбор оптимальной стратегии замены оборудования.

курсовая работа , добавлен 02.07.2014

Определение совокупности шаговых управлений. Решение задач динамического программирования двухэтапным способом. Решение последовательности задач условной оптимизации. Оптимальное распределение памяти, политика замены оборудования, замена форвардера.

презентация , добавлен 30.10.2013

Построение и использование математических и алгоритмических моделей для решения линейных оптимизационных задач. Освоение основных приемов работы с инструментом "Поиск решения" среды Microsoft Excel. Ввод системы ограничений и условий оптимизации.

лабораторная работа , добавлен 21.07.2012

Основные понятия и принципы динамического программирования, реккурентность природы задач данного типа и функциональные уравнения Беллмана. Разработка структуры блок-схемы и реализация на ЭВМ построенного алгоритма на выбранном языке программирования.

курсовая работа , добавлен 26.11.2010

Анализ метода линейного программирования для решения оптимизационных управленческих задач. Графический метод решения задачи линейного программирования. Проверка оптимального решения в среде MS Excel с использованием программной надстройки "Поиск решения".

курсовая работа , добавлен 29.05.2015

Особенности использования электронной таблицы Microsoft Excel для решения оптимизационных задач. Выполнение команды "Поиск решения" в меню "Сервис". Запись ограничений через использование кнопки "Добавить". Сообщение о найденном решении на экране.

лабораторная работа , добавлен 03.08.2011

Практические навыки моделирования задач линейного программирования и их решения графическим и симплекс-методом с использованием прикладной программы SIMC. Моделирование транспортных задач и их решение методом потенциалов с помощью программы TRAN2.

контрольная работа , добавлен 15.06.2009

Понятие линейного программирования и оптимизации. Основы работы в системе MathCAD. Интерфейс пользователя, входной язык и тип данных. Этапы компьютерного математического моделирования. Пример решения оптимизационной задачи средствами программы MathCAD.

курсовая работа , добавлен 16.10.2011

Графическое решение задач. Составление математической модели. Определение максимального значения целевой функции. Решение симплексным методом с искусственным базисом канонической задачи линейного программирования. Проверка оптимальности решения.

Данный сервис предназначен для онлайн решения задачи оптимальной стратегии обновления оборудования . Обычно в исходных данных задаются следующие параметры:

r(t) - стоимость продукции, произведенной в течение каждого года планового периода с помощью этого оборудования;
u(t) - ежегодные затраты, связанные с эксплуатацией оборудования;
s(t) - остаточная стоимость оборудования;
р - стоимость нового оборудования, включающая расходы, связанные с установкой, наладкой, запуском оборудования и не меняющаяся в данном плановом периоде.

Если стоимость оборудования не указана, будет решаться задача с функциями затрат и замены (задача планирования капитальных вложений).

Планирование капитальных вложений.

Пример №1 . Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход r(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы в таблице, стоимость нового оборудования равна P = 13 , а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.

t	0	1	2	3	4	5	6
r(t)	8	7	7	6	6	5	5
s(t)	12	10	8	8	7	6	4

Решение .
I этап. Условная оптимизация (k = 6,5,4,3,2,1).
Переменной управления на k-м шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (С) или заменить (З) оборудование в начале k-го года.
1-й шаг: k = 6. Для 1-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5,6, а функциональные уравнения имеют вид:
F 6 (t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (З))
F 6 (1) = max(7 ; 10 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (2) = max(7 ; 8 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (3) = max(6 ; 8 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (4) = max(6 ; 7 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (5) = max(5 ; 6 - 13 + 8) = 5 (C)
F 6 (6) = max(5 ; 4 - 13 + 8) = 5 (C)
2-й шаг: k = 5. Для 2-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5, а функциональные уравнения имеют вид:
F 5 (t) = max(r(t) + F 6 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 6 (1))
F 5 (1) = max(7 + 7 ; 10 - 13 + 8 + 7) = 14 (C)
F 5 (2) = max(7 + 6 ; 8 - 13 + 8 + 7) = 13 (C)
F 5 (3) = max(6 + 6 ; 8 - 13 + 8 + 7) = 12 (C)
F 5 (4) = max(6 + 5 ; 7 - 13 + 8 + 7) = 11 (C)
F 5 (5) = max(5 + 5 ; 6 - 13 + 8 + 7) = 10 (C)
F 5 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 7) = 6 (З)
3-й шаг: k = 4. Для 3-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4, а функциональные уравнения имеют вид:
F 4 (t) = max(r(t) + F 5 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 5 (1))
F 4 (1) = max(7 + 13 ; 10 - 13 + 8 + 14) = 20 (C)
F 4 (2) = max(7 + 12 ; 8 - 13 + 8 + 14) = 19 (C)
F 4 (3) = max(6 + 11 ; 8 - 13 + 8 + 14) = 17 (C/З)
F 4 (4) = max(6 + 10 ; 7 - 13 + 8 + 14) = 16 (C/З)
F 4 (5) = max(5 + 6 ; 6 - 13 + 8 + 14) = 15 (З)
F 4 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 14) = 13 (З)
4-й шаг: k = 3. Для 4-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3, а функциональные уравнения имеют вид:
F 3 (t) = max(r(t) + F 4 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 4 (1))
F 3 (1) = max(7 + 19 ; 10 - 13 + 8 + 20) = 26 (C)
F 3 (2) = max(7 + 17 ; 8 - 13 + 8 + 20) = 24 (C)
F 3 (3) = max(6 + 16 ; 8 - 13 + 8 + 20) = 23 (З)
F 3 (4) = max(6 + 15 ; 7 - 13 + 8 + 20) = 22 (З)
F 3 (5) = max(5 + 13 ; 6 - 13 + 8 + 20) = 21 (З)
F 3 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 20) = 19 (З)
5-й шаг: k = 2. Для 5-го шага возможные состояния системы t = 1,2, а функциональные уравнения имеют вид:
F 2 (t) = max(r(t) + F 3 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 3 (1))
F 2 (1) = max(7 + 24 ; 10 - 13 + 8 + 26) = 31 (C/З)
F 2 (2) = max(7 + 23 ; 8 - 13 + 8 + 26) = 30 (C)
F 2 (3) = max(6 + 22 ; 8 - 13 + 8 + 26) = 29 (З)
F 2 (4) = max(6 + 21 ; 7 - 13 + 8 + 26) = 28 (З)
F 2 (5) = max(5 + 19 ; 6 - 13 + 8 + 26) = 27 (З)
F 2 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 26) = 25 (З)
6-й шаг: k = 1. Для 6-го шага возможные состояния системы t = 1, а функциональные уравнения имеют вид:
F 1 (t) = max(r(t) + F 2 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 2 (1))
F 1 (1) = max(7 + 30 ; 10 - 13 + 8 + 31) = 37 (C)
F 1 (2) = max(7 + 29 ; 8 - 13 + 8 + 31) = 36 (C)
F 1 (3) = max(6 + 28 ; 8 - 13 + 8 + 31) = 34 (C/З)
F 1 (4) = max(6 + 27 ; 7 - 13 + 8 + 31) = 33 (C/З)
F 1 (5) = max(5 + 25 ; 6 - 13 + 8 + 31) = 32 (З)
F 1 (6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 31) = 30 (З)
Результаты вычислений по уравнениям Беллмана F k (t) приведены в таблице, в которой k - год эксплуатации, а t - возраст оборудования.
Таблица – Матрица максимальных прибылей

k / t	1	2	3	4	5	6
1	37	36	34	33	32	30
2	31	30	29	28	27	25
3	26	24	23	22	21	19
4	20	19	17	16	15	13
5	14	13	12	11	10	6
6	7	7	6	6	5	5

В таблице выделено значение функции, соответствующее состоянию (З) - замена оборудования.
При решении данной задачи в некоторых таблицах при оценке выбора нужного управления мы получали одинаковые значения F для обоих вариантов управления. В этом случае, в соответствии с алгоритмом решения подобных задач необходимо выбирать управление сохранения оборудования.
II этап. Безусловная оптимизация (k = 6,5,4,3,2,1).
По условию задачи возраст оборудования равен t 1 =1 годам. Плановый период N=6 лет.
К началу 1-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 1 = t 0 + 1 = 0 + 1 = 1. Прибыль составит F 1 (1)=37.
Оптимальное управление при k = 1, x 1 (1) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 1-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 2-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 2 = t 1 + 1 = 1 + 1 = 2. Прибыль составит F 2 (2)=30.
Оптимальное управление при k = 2, x 2 (2) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 2-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 3-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 3 = t 2 + 1 = 2 + 1 = 3. Прибыль составит F 3 (3)=23.
Безусловное оптимальное управление при k = 3, x 3 (3)=(З), т.е. для получения максимума прибыли за оставшиеся годы необходимо в этом году провести замену оборудования.
К началу 4-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 4 = t 3 + 1 = 0 + 1 = 1. Прибыль составит F 4 (1)=20.
Оптимальное управление при k = 4, x 4 (1) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 1-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 5-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 5 = t 4 + 1 = 1 + 1 = 2. Прибыль составит F 5 (2)=13.
Оптимальное управление при k = 5, x 5 (2) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 2-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 6-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 6 = t 5 + 1 = 2 + 1 = 3. Прибыль составит F 6 (3)=6.
Оптимальное управление при k = 6, x 6 (3) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 3-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
F 1 (1) → (C) → F 2 (2) → (C) → F 3 (3) → (З) → F 4 (1) → (C) → F 5 (2) → (C) → F 6 (3) → (C) →
Таким образом, за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести в начале 3-го года эксплуатации

Пример №2 . Задача планирования капитальных вложений. Интервал планирования Т=5 лет. Функция затрат на ремонт и дальнейшую эксплуатацию K(t)=t+2t 2 (р.); функция замены P(t)=10+0.05t 2 (р.). Определить оптимальную стратегию замены и ремонта для нового оборудования (t=0) и оборудования возраста t=1, t=2, t=3.
Определить оптимальные планируемые затраты по годам пятилетки, если количество оборудования по возрастным группам следующие: n(t=0)=10, n(t=1)=12, n(t=2)=8, n(t=3)=5

Введение………………...………………………………………………...……….3

Глава 1. Теоретическое описание модели замены оборудования…………..….4

1.1. Характеристика состояния хозяйствующего субъекта и выявление тенденций его развития…………...………………………………..……...4

1.2. Информационно-методическое обеспечение экономического моделирования……………...……...…………………………………...…..4

1.2.1. Методическая база решения модели………………….…………....4

1.2.2. Информационно-методическое обеспечение метода…………..…9

Глава 2. Расчет показателей экономико-математической модели и экономическая интерпретация результатов………………………….………...13

2.1. Нахождение условного оптимального решение задачи…………...15

2.2. Составление оптимального плана замены оборудования…………21

Заключение…………………………………………………………………….....24

Список литературы…………………………………………………………..…..26

Приложения…………………………...………………………………………....27

Введение

Во всем мире существует множество предприятий, которые используют для производства своей продукции машинное оборудование. Поэтому при его внедрении нужно составлять оптимальный план использования и замены оборудования. Задачи по замене оборудования рассматриваются как многоэтаповый процесс, который характерен для динамического программирования.

Многие предприятия сохраняют или заменяют оборудование по своей интуиции, не применяя методы динамического программирования. Применять эти методы целесообразно, так как это позволяет наиболее четко максимизировать прибыль или минимизировать затраты.

Целью данной работы является определение оптимальных сроков замены старого оборудования.

Задачи этой работы состоят:

· в нахождении условного оптимального решения задачи;

· в составлении оптимального плана замены оборудования.

Старение оборудования включает его физический и моральный износ. В результате чего увеличиваются производственные затраты, растут затраты на обслуживание и ремонт, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Критерием оптимальности является либо прибыль от эксплуатации оборудования, либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода.

Курсовая содержит 2 главы, 12 таблиц, 1 приложение, 5 рисунков и оформлена на 30 страницах.

Глава 1. Теоретическое описание модели замены оборудования

1.1. Характеристика состояния хозяйствующего субъекта и выявление тенденций его развития

Для осуществления своей эффективной деятельности производственные объединения и предприятия должны периодически производить замену используемого ими оборудования. При этой замене учитывается производительность используемого оборудования и затраты, связанные с содержанием и ремонтом оборудования.

Характерным для динамического программирования является подход к решению задачи по этапам, с каждым из которых ассоциирована одна управляемая переменная. Набор рекуррентных вычислительных процедур, связывающих различные этапы, обеспечивает получение допустимого решения задачи в целом при достижении последнего этапа.

() (1.1)

(1.1) - принцип оптимальности Беллмана.

(1.2)

где t – возраст оборудования к началу k-го года ( k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10);

– управление, реализуемое к началу k-го года; P 0 – стоимость нового оборудования.

(1.2) - функциональное уравнение Беллмана.

1.2. Информационно-методическое обеспечение экономического моделирования

1.2.1. Методическая база решения модели

В задачах динамического программирования экономический процесс зависит от времени (от нескольких периодов (этапов) времени), поэтому находится ряд оптимальных решений (последовательно для каждого этапа), обеспечивающих оптимальное развитие всего процесса в целом. Задачи динамического программирования называются многоэтапными или многошаговыми. Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, позволяющий осуществлять оптимальное планирование многошаговых управляемых процессов и процессов, зависящих от времени. Экономический процесс называется управляемым, если можно влиять на ход его развития. Управлением называется совокупность решений, принимаемых на каждом этапе для влияния на ход процесса. В экономических процессах управление заключается в распределении и перераспределении средств на каждом этапе. Например, выпуск продукции любым предприятием – управляемый процесс, так как он определяется изменением состава оборудования, объемом поставок сырья, величиной финансирования и т.д. Совокупность решений, принимаемых в начале каждого года планируемого периода по обеспечению предприятия сырьем, замене оборудования, размерам финансирования и т.д., является управлением. Казалось бы, для получения максимального объема выпускаемой продукции проще всего вложить максимально возможное количество средств и использовать на полную мощность оборудование. Но это привело бы к быстрому изнашиванию оборудования и, как следствие, к уменьшению выпуска продукции. Следовательно, выпуск продукции надо спланировать так, чтобы избежать нежелательных эффектов. Необходимо предусмотреть мероприятия, обеспечивающие пополнение оборудования по мере изнашивания, т.е. по периодам времени. Последнее хотя и приводит к уменьшению первоначального объема выпускаемой продукции, но обеспечивает в дальнейшем возможность расширения производства. Таким образом, экономический процесс выпуска продукции можно считать состоящим из нескольких этапов (шагов), на каждом из которых осуществляется влияние на его развитие.

Предположим, какая-то система S находится в некотором начальном состоянии S 0 и является управляемой. Таким образом, благодаря осуществлению некоторого управления U указанная система переходит из начального состояния S 0 в конечное состояние S к. При этом качество каждого из реализуемых управлений U характеризуется соответствующим значением функции W(U). Задача состоит в том, чтобы из множества возможных управлений U найти такое U*, при котором функция W(U) принимает экстремальное (максимальное или минимальное) значение W(U*).

Задачи динамического программирования имеют геометрическую интерпретацию. Состояние физической системы S можно описать числовыми параметрами, например расходом горючего и скоростью, количеством вложенных средств и т.д. Назовем эти параметры координатами системы; тогда состояние системы можно изобразить точкой S, а переход из одного состояния S 1 в другое S 2 – траекторией точки S. Управление U означает выбор определенной траектории перемещения точки S из S 1 в S 2 , т.е. установление определенного закона движения точки S.