По какому критерию оценивается качество модели. Оценка качества имитационной модели. Зависимость динамики ряда Z от двух динамических факторов X и Y

на котором проверяются достоверность и адекватность модели. Созданная модель должна быть адекватна реальному экономическому процессу. При неудовлетворительном качестве модели возвращаются ко второму этапу моделирования.

7. Этап интерпретации результатов моделирования.

Рис. 2.1. Основные этапы эконометрического моделирования

прогноз экономических показателей, характеризующих изучаемый процесс (явление, объект);

моделирование поведения процесса (явления, объекта) при различных значениях факторных переменных;

формирование управленческих решений.

Количество переменных, включенных в эконометрическую модель, не должно быть слишком большим и должно быть теоретически обоснованным. В модели должна отсутствовать функциональная или тесная корреляционная связь между факторными переменными, что может привести к явлению мультиколлинеарности .

При формировании исходной информации для эконометрической модели чрезвычайно важной проблемой является выбор показателей, адекватных сущности исследуемых явлений. Часто эконометрическая модель строится именно для выражения закономерности, существующей между явлениями. Следует обратить внимание на определенную подмену понятий, которая обычно происходит на первом этапе построения модели при переходе от содержательного анализа явлений к формированию отражающих их уровни количественных характеристик (показателей). В ходе содержательного анализа явление часто рассматривается на качественном уровне. Однако при построении модели используется исходная информация, наборы показателей, которые выражают эти явления, их свойства, тенденции в виде количественных характеристик.

Для традиционных направлений исследований проблема обоснования состава показателей обычно считается решенной. Например, в исследованиях производительности труда, макроэкономическом анализе обычно рассматриваются уже устоявшиеся наборы

показателей, значения которых публикуются в статистических сборниках, научных отчетах и т.п. Их примером являются выработка на одного работающего как показатель, выражающий явление «производительность труда», объемы ВВП (показатель результативности экономики), объем основных фондов (показатель уровня материальной обеспеченности производственного процесса, экономики) и т.д. Вместе с тем в ряде областей эконометрических исследований такие системы показателей не могут сформированы столь однозначно. Часто одно и то же явление может быть выражено альтернативными вариантами показателей. В отсутствие объективных данных в эконометрических исследованиях допускается замена одного показателя другим, косвенно отражающим то же явление. Например, среднедушевой доход как показатель материального уровня жизни может быть заменен на среднегодовой товарооборот на одного жителя региона и т.п. Неправильный выбор показателя, представляющего рассматриваемое явление в модели, может существенно повлиять на ее качество, в связи с чем к проблеме обоснования состава показателей (переменных) эконометрической модели на практике следует относиться с предельным вниманием.

Рассматривая проблему выбора конкретного вида функции , следует отметить, что в практике эконометрических исследований используется достаточно широкий круг функциональных зависимостей между переменными, наиболее часто используются: линейная , правая полулогарифмическая , степенная , гиперболическая , логарифмическая гиперболическая , обратная линейная (функция Торнквиста) , функция с постоянной эластичностью замены , экспоненциальная функция . На практике могут встретиться и комбинации рассмотренных выше зависимостей, например,

Большинство функций
с помощью определенного набора преобразований могут быть приведены к линейной форме. Например, еслии связаны зависимостью
(7), то введя переменные
, получим выражение (4) с точностью до преобразования исходных факторов.

В практических исследованиях часто, используя преобразование
и
, степенную модель (6) преобразуют к линейному виду, связывающему логарифмы переменныхи. Однако следует заметить, что в данном случае, с точки зрения математики, такое преобразование не совсем корректно из-за аддитивности ошибки в выражении (6), поэтому значения коэффициентов линейной (относительно логарифмов переменных) модели нельзя в общем случае полагать равными соответствующим значениям степенного аналога.

На примере линейной эконометрической модели можно представить еще одну форму моделей такого типа – моделей, в которых отсутствует свободный коэффициент :

Во многих практических исследованиях строгие теоретические концепции, предварительные допущения о содержательных сторонах взаимодействия между явлениями отступают на второй план. Для них главное – построение уравнения, достаточно точно выражающего взаимосвязи, адекватные тенденциям изменения переменных и на временном интервале (1,Т) . Более того, часто именно удачная форма уравнения эконометрической модели кладется в основу разрабатываемой теоретической концепции, которая затем находит свое применение в последующем анализе. Очевидно, что наиболее «подходящая» форма обеспечивает наилучшее приближение теоретических (расчетных) частот значений
к действительным значениям .

Обычно выбор формы зависимости осуществляется на основе графического анализа тенденций развития соответствующих процессов. Например, если переменная и переменная изменялись во времени согласно графикам, представленным на рис. 2.2, то логично предположить, что зависимость гиперболическая
. Для графиков, представленных на рис. 2.3, характерна логарифмическая зависимость
.

Рис. 2.2. Гиперболическая зависимость

Рис. 2.3. Логарифмическая зависимость

Оптимальный состав факторов , включаемых в эконометрическую модель, одно из основных условий ее хорошего качества, понимаемого и как соответствие формы модели теоретической концепции, выражающей содержание взаимосвязей между рассматриваемыми переменными и как точность предсказания на рассматриваемом интервале времени (1, Т) наблюдаемых значений переменной уравнением
. В общем случае на этапе обоснования эконометрической модели исследователи могут столкнуться с проблемой выбора наиболее предпочтительного состава независимых факторов среди ряда альтернативных вариантов.

Можно выделить два основных подхода к решению этой проблемы:

первый предполагает априорное (до построения модели) исследование характера и силы взаимосвязей между рассматриваемыми переменными, по результатам которого в модель включаются факторы, наиболее значимые по своему непосредственному влиянию на зависимую переменную . И, наоборот, из модели исключаются факторы, которые либо малозначимы, с точки зрения силы своего влияния на переменную , либо их сильное влияние на нее можно трактовать как индуцированное взаимосвязями с другими экзогенными переменными;

второй подход к отбору независимых факторов – можно назвать апостериорным – предполагает первоначально включить в модель все отобранные на основе содержательного анализа факторы. Уточнение их состава в этом случае производится на основе анализа характеристик качества построенной модели, одной из групп которых являются и показатели, выражающие силу влияния каждого фактора на зависимую переменную .

В основе «априорного» подхода лежат следующие предположения: 1) сильное влияние фактора на зависимую переменную должно подтверждаться и определенными количественными характеристиками, важнейшей из которых является их парный линейный коэффициент корреляции
.Логика использования коэффициента парной корреляции при отборе значимых факторов на практике состоит в следующем. Если его значение достаточно велико (≥0,5÷0,6), то можно говорить о наличии существенной

5-парной корреляции при отбор(0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 линейной связи между переменными иили о достаточно сильномвлиянии на . Чем больше абсолютное значение парного линейного коэффициента корреляции, тем сильнее этовлияние (положительное или отрицательное, в зависимости от знака ).Значение парного линейного коэффициента корреляции должно рассчитываться с учетом формы преобразования и в модели. Например, если
, то и коэффициент корреляцииопределяется между и
, и т.п.;2) если два и более факторов выражают одно и то же явление, то как правило, между ними также должна существовать достаточно сильная взаимосвязь. На это может указать значение парного линейного коэффициента корреляции
. На практике взаимосвязь между факторами признается существенной, если
. В таких ситуациях один из этих факторов целесообразно исключить из модели, чтобы одна и та же причина не учитывалась дважды. Следует отметить, что приведенные рубежные значения (в первом случае 0,5÷0,6, во втором 0,8÷0,9 достаточно условны. В каждом конкретном случае они устанавливаются индивидуально. При их выборе существенную роль играет интуиция исследователя.

Обычно считается: если для фактора
, то при большом числе других достаточно значимых факторов, информацией, которую содержит в себе факторотносительно изменчивости переменной, можно пренебречь. Иногда же, наоборот, если состав факторов не слишком широк и фактор выражает существенное с точки зрения теории явление, то исследователь, стремясь не потерять информацию о закономерностях изменчивости переменной, может оставить его в модели и при меньшем значении выборочного парного линейного коэффициента корреляции (0,3 ÷ 0,4). При таком отборе, основанном на эмпирике и интуиции, обычно не принимается во внимание точность оценки выборочных коэффициентов корреляции, которая растет с увеличением выборки. При фиксированной численности выборки точность оценок всех коэффициентов примерно одинакова. Логика такого отбора в большей степени ориентирована на содержательную сторону проблемы учета взаимосвязей между переменными модели. Значительно усложняет проблему отбора факторов явление ложной корреляции , т.е. большие значения парных коэффициентов корреляции могут иметь место и в тех случаях, когда тенденции рассматриваемых процессов совпали случайно, при отсутствии между ними логически обоснованной взаимосвязи. Ложная корреляция может помешать при построении «правильной» модели по двум причинам. Во-первых, в модель случайно могут быть введены незначимые с содержательной точки зрения факторы, характеризующиеся значимыми величинами парного линейного коэффициента корреляции. Во-вторых, из модели могут быть исключены значимые с точки зрения влияния на факторы, в отношении которых ошибочно признана гипотеза о том, что они выражают то же явление, что и другой фактор (факторы), уже включенный в эту модель. Среди основных причин включения в модель переменных с ложной корреляцией часто называют ненадежность информации, используемой при определении значений факторов в различные моменты времени, трудности формализации факторов, имеющих качественный характер, неустойчивость тенденций изменения рассматриваемых переменных, неправильную форму взаимосвязи между ними и т.п.

Основной путь, придерживаясь которого можно избежать ошибок, связанных с понятием «ложной корреляции», связан с проведением качественного анализа проблемы, направленного на обоснование адекватного ей содержания и формы модели. При этом можно предложить и некоторые общие рекомендации, которых целесообразно придерживаться, следуя этим путем: 1) число факторов, включаемых в модель, не должно быть слишком велико. Их увеличение может свести к минимуму ее практическую ценность, так как в этом случае модель начинает отражать не закономерность развития на фоне случайности, а саму случайность; 2) простота модели в значительной степени гарантирует ее адекватность, поскольку более сложные зависимости часто априорно трудноуловимы на ограниченном временном интервале, но в то же время они допускают аппроксимацию достаточно простыми функциями. Иными словами, сложная модель может в большей степени выражать второстепенные взаимосвязи между переменными в ущерб основным.

При апостериорном подходе уточнение состава факторов эконометрической модели осуществляется на основе анализа значений ряда качественных характеристик уже построенного ее варианта. Одну из групп таких характеристик, наиболее важных при отборе факторов, образуют значения критерия Стьюдента , рассчитываемые для коэффициентов при каждом из факторов модели. С помощью этого критерия проверяется гипотеза о значимости влияния фактора на зависимую переменную. Окончательное решение о целесообразности оставления фактора или его удаления из модели принимается наоснове анализа всего комплекса

Таким образом, для практики можно предложить следующую по­этапную процедуру построения окончательного варианта модели на ос­нове апостериорного подхода : 1) в исходный вариант модели включаются все факторы, отобранные в ходе содержательного анализа проблемы. Для этого варианта рассчи­тываются значения оценок коэффициентов модели, их среднеквадратические ошибки и значения критериев Стьюдента; 2) из модели удаляют незначимый фактор, характеризующийся наи­меньшим значением наблюдаемым значением критерия Стьюдента, (при условии, что наблюдаемое значение не больше табличного), и таким образом форми­руют новый вариант модели с уменьшенным на один числом факторов. Заметим, что в модели может быть несколько незначимых факторов. Однако все их одновременно удалять не следует. Возможно, что незна­чимость большинства из них обусловлена влиянием «наихудшего»из не­значимых факторов и на следующем шаге расчетов эти факторы ока­жутся значимыми; 3) процесс отбора факторов можно считать законченным, когда остающиеся в модели факторы являются значимыми, если полученный вариант модели удовлетворяет и другим критериям ее качества,то, процесс построения модели можно считать завершенным в целом. В противном случае целесообразно попытаться сформировать другой альтернативный вариант модели, отличающийся от предыдущего либо со­ставом факторов, либо формой их взаимосвязи с зависимой переменной у .

Каждый из этих подходов имеет свои преимущества и недостатки. «Априорный» путь отбора факторов не обладает достаточной обосно­ванностью. Он в большей степени использует «прямые» количественные индикаторы «силы» взаимосвязей между рассматриваемыми величинами и не принимает во внимание в полной мере особенности комплексного влия­ния независимых факторов на переменную , т.е. своеобразные эффекты «эмерджентности» такого влияния. Вместе с тем использование априорного подхода часто позволяет уточнить некоторые предварительные альтернативные варианты наборов независимых факторов, проверить исходные предпосылки модели отно­сительно правильности выбора формы взаимосвязей между ними.

«Апостериорный» подход к отбору факторов, на первый взгляд, пред­почтительнее как раз из-за того, что целесообразность включения каждо­го из факторов в эконометрическую модель определяется на основании всего комплекса взаимосвязей между вошедшими в модель переменными. Однако когда общее количество факторов достаточно велико, нет ника­ких гарантий, что множество несущественных, а то и ложных взаимосвя­зей между ними не будет превалировать над основными. В результате может оказаться, что в числе первых кандидатов на исключение будут «названы» наиболее важные, значимые с точки зрения влияния на пере­менную у, факторы. Поэтому в сложных случаях, т.е. при наличии боль­шого числа отобранных для включения в модель на этапе содержатель­ного анализа факторов, специалисты рекомендуют сочетать при формировании их «оптимального» состава оба подхода – «априорный» и «апостериорный».

Согласно этим рекомендациям с помощью методов «априорного» отбора, используя при этом и содержательный анализ, формируются альтернативные варианты включаемых в модель наборов факторов. Далее, с помощью методов «апостериорного» отбора, эти наборы уточняются, соответствующие им варианты моделей сопоставляются по ряду характеристик их качества. Предполагается, что лучший из вариантов модели содержит и «оптимальный» набор факторов. В результате процедура отбора факторов в эконометрическую модель превращается в перебор некоторого множества их приемлемых сочетаний, сформированных на базе «априорного» подхода. Перебирая различные варианты составов независимых факторов, рассматривая возможные виды их взаимосвязей с зависимой переменной исследователь формирует и разные варианты (модификации) эконометрической модели для описания рассматриваемых процессов. В этом случае возникает проблема выбора «оптимального» или наиболее «рационального» среди них. Обычно эта проблема решается на основе аналитического сопоставления статистических характеристик качества построенных вариантов, рассчитываемых уже при известных значениях оценок их параметров.

В общем случае «качество» эконометрической модели оценивается по двум группам характеристик. В первую группу входят показатели, критерии, выражающие степень соответствия построенной модели основным закономерностям описываемого ею процесса. Во вторую – показатели и критерии, в большей степени оценивающие точность ее аппроксимации наблюдаемых значений . К критериям первой группы может быть отнесенкритерий Стьюдента , используемый для оценки значимости влияния каждого фактора на зависимую переменную . Вторую группу критериев образуют широко используемые в статистике и эконометрикекоэффициент множественной корреляции , коэффициент детерминации и критерий Фишера-Снедекора .

Модель считается хорошей со статистической точки зрения, если она адекватна и достаточно точна.

I. Проверка адекватности модели реальному явлению - важный этап прогнозирования экономических процессов. Для этого исследуют ряд остатков е, = у, - у, т.е. расхождения уровней, рассчитанных по модели, и фактических наблюдений. Наиболее важными свойствами остаточной компоненты являются равенство математического ожидания нулю , независимость последовательных уровней ряда остатков, их случайность и соответствие нормальному закону распределения.

1. Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы # 0: |е| = 0. С этой целью строится Г-статистика:

где е - среднее арифметическое значение уровней ряда остатков e t

- среднеквадратическое отклонение для этой

последовательности, рассчитанное по формуле для малой выборки.

На уровне значимости а гипотеза отклоняется, если "расч > ^табл(а, v)’ ? табл(а, v) критерий распределения Стьюдента с доверительной вероятностью (1 - а) и степенями свободы v = n - 1.

• 2. Проверка условия случайности возникновения отдельных отклонений от тренда. Для проверки случайности уровней ряда могут быть использованы следующие критерии:
  • критерий «восходящих» и «нисходящих» серий (был описан ранее, см. с. 292);
  • критерий «пиков», или критерий поворотных точек. Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше (меньше) соседних с ним элементов. Если остатки случайны, то поворотная точка приходится примерно на каждые 1,5 наблюдения. Если их больше, то возмущения быстро колеблются и это не может быть объяснено только случайностью. Если же их меньше, то последовательные значения случайной компоненты положительно коррелированны.

Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить как

где р - фактическое количество поворотных точек в случайном ряду; 1,96 - квантиль нормального распределения для 5%-го уровня значимости. Квадратные скобки здесь означают, что от результата вычисления следует взять целую часть.

Если неравенство не соблюдается, то ряд остатков нельзя считать случайным (т.е. он содержит регулярную компоненту), и стало быть, модель н е является адекватной.

• 3. Проверка условия независимости, или наличия (отсутствия) автокорреляции в отклонениях от модели роста, осуществляется с помощью критерия Дарбина - Уотсона [см. формулу (3.4.8)].
• 4. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения важно с точки зрения правомерности построения доверительных интервалов прогноза. Ввиду малого числа наблюдений в большинстве случаев это свойство может быть проверено лишь приближенными методами. Таким, в частности, является метод, основанный на вычислении коэффициентов асимметрии As и эксцесса Ех для ряда остатков:

Значения As и Ех для нормально распределенной совокупности равны нулю.

Если одновременно выполняются неравенства

то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты не отвергается.

Если выполняется хотя бы одно из неравенств :

гипотеза о нормальном характере распределения отвергается. В этих формулах

где - среднеквадратическая ошибка (СКО) выборочной характеристики асимметрии; а Ех - среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики эксцесса.

В случае попадания коэффициентов асимметрии и эксцесса в зону неопределенности (между полутора и двумя СКО) используются другие критерии, в частности ^-критерий:

уровень ряда остатков; - среднеквадратичегде e mav и е . - соответственно максимальный и минимальный

ское отклонение ряда остатков.

Если расчетное значение RS попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается. (Табличное значение /^-критерия см. в Приложении 5.) В этом случае допустимо строить доверительный интервал прогноза.

Если все пункты проверки дают положительный результат, то выбранная трендовая модель адекватна реальному ряду экономической динамики и ее можно использовать для построения прогнозных оценок. В противном случае - модель надо улучшать.

II. Оценка точности модели. В статистическом анализе известно большое число характеристик точности. Наиболее часто кроме среднеквадратического отклонения используются:

максимальная по абсолютной величине ошибка

относительная максимальная ошибка

средняя по модулю ошибка

средняя по модулю относительная ошибка

Эти показатели дают представление об абсолютной величине ошибки модели и о доле ошибки в процентном отношении к среднему значению результативного признака.

При использовании ретропрогноза - подхода, когда несколько последних уровней ряда оставляются в качестве проверочной последовательности, точность прогнозных оценок определяется на основе этих же показателей.

Лучшей по точности считается та модель, у которой все перечисленные характеристики имеют меньшую величину. Однако эти показатели по-разному отражают степень точности модели и потому нередко дают противоречивые выводы. Для однозначного выбора лучшей модели следует воспользоваться либо одним основным показателем, либо обобщенным критерием.

Формально качество модели определяется ее адекватностью и точностью. Эти свойства исследуются на основе анализа ряда остатков (отклонений расчетных значений от фактических):

При этом адекватность является более важной составляющей качества, но сначала рассмотрим характеристики точности и нормальности ряда остатков, так как некоторые из них используются при расчете различных критериев адекватности.

Характеристики точности

Под точностью понимается величина случайных ошибок. Сравнительный анализ точности имеет смысл только для адекватных моделей: среди них лучшей признается модель с меньшими значениями характеристик точности, к которым относятся:

Максимальная ошибка соответствует максимальному отклонению расчетных значений от фактических;

Средняя абсолютная ошибка

показывает, насколько в среднем отклоняются фактические значения от модели;

Средняя относительная ошибка

;

Остаточная дисперсия

Средняя квадратическая ошибка

. (72)

Средняя квадратическая ошибка является наиболее часто используемой характеристикой точности (что объясняется ее связью с остаточной дисперсией, которая играет центральную роль в регрессионном анализе). Значение средней квадратической ошибки всегда несколько больше значения средней абсолютной ошибки, но они имеют схожий смысл – характеризуют среднюю удаленность расчетных значений модели от фактических исходных данных. Обычно точность модели признается удовлетворительной если выполняется условие:

. (73)

К характеристикам точности можно отнести также множественный коэффициент детерминации

, (74) характеризующий долю дисперсии зависимой переменной, объясненной с помощью регрессии, и множественный коэффициент корреляции (индекс корреляции):

Проверка адекватности модели

Проверка значимости осуществляется на основе t – критерия Стьюдента, т.е. проверяется гипотеза о том, что параметр, измеряющий связь, равен нулю.

Средняя ошибка параметра равна:

, (76) а для параметра :

. (77)

Расчетные значения t - критерия вычисляются по формуле:

(78) Параметр считается значимым, если . Значениеопределяетсяпо формуле СТЬЮДЕНТ.ОБР .2 Х(0,95;46) при числе степеней свободы и с вероятностью (Р=1- ) При и. Следовательно, в рассматриваемом примере параметрыявляются значимыми.

Параметр лежит в пределах;,

а параметр-;.

Значимость уравнения регрессии в целом определяется с помощью F – критерия Фишера:

(79)

Расчетное значение F сопоставляется с критическимдля числа степеней свободыпри заданном уровне значимости(например,), где,.

Если , то уравнение считается значимым.

Другой подход к определению значений параметров уравнения парной регрессии и оценке значимости заключается в обращении к режиму “РЕГРЕССИЯ” EXCEL. Следует отметить, что результаты расчётов, приведенные в табл.7-9, получены с меньшими временными затратами и полностью совпадают с результатами “ручного” счёта.

Проверка наличия или отсутствия систематической ошибки

Проверка свойства нулевого среднего.

Рассчитывается среднее значение ряда остатков (табл. 10):

Если оно близко к нулю, то считается, что модель не содержит систематической ошибки и адекватна по критерию нулевого среднего, иначе – модель неадекватна по данному критерию. Если средняя ошибка не точно равна нулю, то для определения степени ее близости к нулю используется t – критерий Стьюдента. Расчётное значение критерия вычисляется по формуле

и сравнивается с критическим . Если выполняется неравенство , то модель неадекватна по данному критерию.

Проверка случайности ряда остатков.

Осуществляется по методу серий. Серией называется последовательность расположенных подряд значений ряда остатков, для которых разность имеет один и тот же знак, где- медиана ряда остатков.

Если модель хорошо отражает исследуемую зависимость, то она часто пересекает линию графика исходных данных и тогда серий много, а их длина невелика. Иначе – серий мало и некоторые из них включают большое число членов.

В качестве серий рассматриваются расположенные подряд ошибки с одинаковыми знаками. Далее подсчитывается число серий и длина максимальной из них. Полученные значения сравниваются с критическими

(82) (83) (квадратные скобки означают округление вниз до ближайшего целого).

Если выполняется система неравенств:

, (84) то модель признается адекватной по критерию случайности, если хотя бы одно из неравенств нарушено, то модель признается неадекватной по данному критерию.

Проверка независимости последовательных остатков.

Является важнейшим критерием адекватности модели и осуществляется с помощью коэффициента Дарбина-Уотсона:

. (85) Для рядов с тесной взаимосвязью между последовательными значениями остатков значение близко к нулю, что свидетельствует о том, что закономерная составляющая не полностью отражена в модели и частично закономерность присуща ряду остатков, т.е. модель неадекватна исходному процессу.

Если последовательные остатки независимы, то близко к 2. Это свидетельствует о хорошем качестве модели и чистой фильтрации закономерной составляющей.

При отрицательной автокорреляции остатков (строго периодичном чередовании их знаков) близко к 4.

Для проверки существенности положительной автокорреляции остатков значение сравнивается сииз табл. 2 Приложения к лекции:

Если , то возникает предположение об отрицательной автокорреляции остатков, и тогда с критическими значениями сравниваются не, аи делаются аналогичные выводы.

Помимо наиболее очевидных качеств, необходимых для того, чтобы стать моделью (рост, раз-мер, красота и здоровье), существуют и не столь явные, менее ощутимые факторы, которые тоже принимаются в расчет. Они значительно более субъективны, и мнение одного модельного агентства может существенно отличаться от мне-ния другого. Став же профес-сиональной моделью, регулярно посещающей кастинги, вы обнаружите, что это в равной степе-ни, относится и к потенциальным работодателям.

Фотогеничность

Каждый, кто фотографировал, знает, что одни люди получаются на снимке хорошо, а другие нет. От того, насколько вы фотогеничны, зави-сит то, каким объектив «видит» вас.

Ваш успех как модели зависит от того, как вы получаетесь на фотографии, - То, как вы выглядите на самом деле, вовсе не самое главное.

Если у вас действительно есть это качество, оно обязательно проявится на снимке. Ваша мама способна сделать весьма льстящую вам фото-графию и при помощи дешевой камеры. Вы можете потратить всего доллар в кабинке моментального фото и получить полоску вели-колепных снимков.

Фактор хамелеона

«Когда я только начинала карьеру модели, мой агент сказал: «Вы выглядите великолепно, и у вас все получиться, но вы никогда не станете «супер-моделью», - вспоминает модель Джоди Келли . -Он сказал так потому, что я была как хамелеон и на каждом фото выглядела по-разному».

«Для того чтобы стать «супермоделью» в девя-ностых годах, - добавляет она, - необходимо было выглядеть так, чтобы, взглянув на ваши фотографии, можно быль сказать: «Это Синди Кроуфорд, а вот опять она, и опять».

Повезло Джоди Келли в другом - модели, кото-рым присущ «фактор хамелеона», обычно имеют более продолжительную карьеру. И она подтвердила это личным примером, проработав профессиональной моделью более 10 лет.

Терпение

Одним из наиболее важных качеств модели является терпение. Звучит это очевидно, но это не простая банальность.

«Некоторым моделям не требуется это каче-ство, поскольку у них ежедневные фотосессии, они загружены работой, - комментирует один визажист. - Некоторые из них уже не полу-чают от работы удовольствие. Они работают долгие часы, и это плохо как для них самих, так и для качества их фото».

«Если вы не обладаете терпением, просто становитесь моделью, - подчеркивает Сэм, менеджер по ангажементу Ford Models. - Вы просто не выживете. Вы не продержитесь долго. И вообще у вас ничего не получится. В этом бизнесе необходимо иметь терпение».

«Мне кажется, что в наши дни люди, особенно молодое поколение, стали забывать о том, что не все приходит сразу, - добавляет он. Можно обойти всех потенциальных заказчиков в городе и оставаться без работы на протяжении полугода... и вдруг, раз, и вы получаете ее. Вот, что такое истинное терпение».
«Это означает, в конечном итоге, оказаться в правильном месте и в правильное время - наконец-то, после того,как миллион раз вы оказывались не в месте и в неподходящее время!»

Даже после того как вы получили работу, приходится проводить время в ожидании. «Прическа и макияж при подготовке к съемкам обычно занимают 3-4 часа.Как только вы полностью одеты и вошли в образ - вы попадаете на фотосессию и это истинно пленительный момент. Но, поверьте мне, путь к нему - вовсе нет!»

История фотографа для каталога Avon

Модель Джоди Келли работала над фото, и то, как она это делала, ярко иллюстрирует, какими качествами должна обла-дать хорошая модель.

Был сделан заказ на фото в зимней одежде на природе для каталога Avon . Проблема заключалась в том, что, согласно плану, съемки обычно проводились за шесть месяцев до выхо-да каталога. Был как раз разгар июля- пик страшной жары.

Зная, что снимать придется в тяжелых условиях, фотограф выбирал модель, исходя их трех критериев:

1. Ее облик должен был таким, как это принято в каталогах Avon - обязательна обворожительная, счастливая улыбка.

2; Она никогда не жалуется на трудность и всецело отдает себя работе.

3. Она не потеет так сильно, как обычные люди. «Джоди до ненормальности суха! - шутит Эрик. - Однако именно это каче-ство позволило ей получить данный заказ».

Для съемок рабочая группа выбрала питомник новогодних елок в Нью-Джерси, и фотограф, модель, визажист и стилист отпра-вились туда в арендованном фургончике-рефрижераторе.

На ветки деревьев напылили снег. Обширное полотно, растянутое над моделью, подобно облаку, превратило прямые солнечные лучи в рассеянные. Джоди была в пальто, шапочке, рукавицах и шарфе, и это при температуре свыше 30 градусов по Цельсию.

Все члены группы просто обливались потом, и приходилось часто прерываться, чтобы попить воды. Все это время она вела себя как стойкий боец, ни разу не пожаловавшись на сложив-шуюся ситуацию.

«Мне не на что было жаловаться, - комментирует Джоди тяже-лые условия съемок. - Всю свою жизнь я мечтала быть моделью. И вот я получила эту работу, и мне еще платят за осу-ществление моей мечты! Даже несмотря на погоду, я чувство-вала себя счастливой».

Грациозность

«Грациозность движений должна исходить изнутри, - объясняет один представитель модельного бизнеса. - Это то, с чем вы либо были рождены, либо нет. Ее невозможно отто-чить при помощи балета, спорта и других заня-тий. Она либо есть у вас, либо ее нет, и это хорошо видно на снимке».

Без комплексов

В этом бизнесе нельзя быть излишне скром-ной в том, что касается вашего тела. «Вы дол-жны чувствовать себя абсолютно комфортно, что бы ни делали с вашим телом, - говорит модель Джоди Келли . - Во время выступле-ния на подиуме необходимо одеваться и раз-деваться как можно быстрее, и не остается времени на то, чтобы еще как-то при этом прикрываться».

При съемках для журнала, - добавляет она, -на вас будут прикалывать что-то булавками, вас будут трогать руками, наносить грим на ваше лицо, шею, тело. Вас будут тянуть, дер-гать за волосы и ворошить их. При этом никто не посягает на вас и не переходит границы, просто все эти манипуляции необходимы и всё делать нужно очень быстро».

Уверенность в себе

Уверенность в себе и ощущение комфорта являются теми скрытыми качествами, кото-рые крайне необходимы модели. Если вы чувствуете себя неуклюжей, застенчивой или неловкой или же вы просто расстроены тем, что на лице выскочил прыщик, - ваша не-уверенность в себе обязательно проявится на фото.

Открытость

С какими бы людьми вам не приходилось работать в модельном бизнесе, вы не дол-жны испытывать предубеждения по отноше-нию к ним. Вы должны уметь успешно сотрудничать с любым человеком из любых слоев общества.

«Большое» фото

И наконец, вам необходимо прийти к понима-нию того, что модельный бизнес - это «боль-ше, чем просто фотография», а это может дать только опыт. Это сложно для молодой модели, которая находится под воздействием чар романтики и которая насмотрелась плохих фильмов и прочитала слишком много статей в бульварной прессе.

При этом модель не осознаёт того, что творче-ский план, возможно, разрабатывался на про-тяжении нескольких недель и что все компе-тентные инстанции уже одобрили каждый его пункт, а также то, что решения принимались значительно более опытными людьми, чем она.

Становится грустно, когда видишь, как модель пытается изменить грим, прическу или элементы наряда, поскольку она думает, что знает, как выглядеть более выигрышно.

Если вы не доверяете мнению творческой группы или же пытаетесь объяснить вашему работодателю, что лучше для него, вы не только вызовите их гнев, но и потеряете все то, что вам может дать их творческая мысль. Закончится это тем, что ваш портфолио будет заполнен однобокими, неинтересными фото.

Всегда следует помнить, что вы всего лишь одна из частей, которые составляют одну «большую» фотографию. Необходимо с пониманием относиться к тому, что делают остальные люди, окружающие вас, поскольку у них есть свой, возможно, отличный от вашего, взгляд на позы, выражение лица, одежду и свет. Таким образом, абсолютно необходимо осмы-слить и понять их творческий замысел в комплек-се, чтобы реализовать то, что они ожидают от вас.

Часть 3. Обработка и анализ результатов моделирования.

Решения, принимаемые исследователем по результатам имитационного моделирования, могут быть конструктивными только при выполнении двух условий :

Полученные результаты обладают требуемой точностью и достоверностью;

Исследователь способен правильно интерпретировать полученные результаты и знать, каким образом они могут быть использованы.

Возможность выполнения первого условия закладывается, в-основном, еще на этапе разработки модели и частично – на этапе планирования эксперимента. Достоверность результатов моделирования предполагает, что модель, с помощью которой они получены, не только является правильной, но и отвечает некоторым дополнительным требованиям, предъявляемым к имитационным моделям.

Способность исследователя правильно интерпретировать полученные результаты и принимать на их основе правильные решения существенно зависит от соответствия формы представления результатов целям моделирования.

Если разработчик модели уверен, что полученные результаты будут использоваться в соответствии с одной, четко определенной целью, форма их представления может быть определена заранее. В этом случае преобразование экспериментальных данных к требуемому виду может производиться либо в ходе эксперимента, либо сразу после его завершения. Такой подход позволяет экономить память компьютера, необходимую для хранения большого количества необработанных данных, а также сократить время на анализ результатов и принятие решений.

Если же заранее конкретизировать цель моделирования сложно или целей несколько, данные должны накапливаться в базе данных и затем уже выдаваться в требуемой форме по запросу пользователя. Как правило, по такому принципу строятся системы автоматизации моделирования.

Оценка качества модели является завершающим этапом ее разработки и преследует две цели:

1) Проверить соответствие модели ее предназначению (целям исследования);

2) Оценить достоверность и статистические характеристики результатов, получаемых при проведении модельных экспериментов.

При аналитическом моделировании достоверность результатов определяется двумя основными факторами:

1) Корректным выбором математического аппарата, используемого для описания исследуемой системы;

2) Математической ошибкой, присущей данному математическому методу.

При имитационном моделировании на достоверность результатов влияет целый ряд дополнительных факторов, основными из которых являются:

1) Моделирование случайных факторов, основанное на использовании датчиков случайных чисел, которые могут вносить искажения в поведение модели;

2) Наличие нестационарного режима работы модели;

3) Использование нескольких разнотипных математических методов в рамках одной модели;

4) Зависимость результатов моделирования от плана эксперимента;

5) Необходимость синхронизации работы отдельных компонентов модели;

6) Наличие модели рабочей нагрузки, качество которой зависит, в свою очередь, от тех же факторов.

Пригодность имитационной модели для решения задач исследования характеризуется тем, в какой степени она обладает так называемыми целевыми свойствами. Основными из них являются:

Адекватность;

Устойчивость;

Чувствительность.

Оценка адекватности модели. В общем случае под адекватностью понимают степень соответствия модели тому реальному явлению или объекту, для описания которого она строится.

Вместе с тем, создаваемая модель ориентирована, как правило, на исследование определенного подмножества свойств этого объекта. Поэтому можно считать, что адекватность модели определяется степенью ее соответствия не столько реальному объекту, сколько целям исследования.

Один из наиболее распространенных способов формального обоснования адекватности разработанной модели – использование методов математической статистики. Суть этих методов заключается в проверке выдвинутой гипотезы (в данном случае – об адекватности модели) на основе некоторых статистических критериев. При проверке гипотез методами математической статистики необходимо иметь в виду, что статистические критерии не могут доказать ни одной гипотезы: они могут лишь указать на отсутствие опровержения.

Процедура оценки основана на сравнении измерений на реальной системе и результатов экспериментов на модели и может проводиться различными способами. Наиболее распространенные из них:

По средним значениям модели и системы;

По дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов системы;

По максимальному значению относительных откликов модели от откликов системы.

Названные способы близки между собой, поэтому ограничимся рассмотрением первого из них. При этом способе проверяется гипотеза о близости среднего значения наблюдаемой переменной Y среднему значению отклика реальной системы Y*.

В результате N 0 опытов на реальной системе получают множество значений (выборку) Y*. Выполнив N M экспериментов на модели, также получают множество значений наблюдаемой переменной Y.

Затем вычисляются оценки математического ожидания и дисперсии откликов модели и системы, после чего выдвигается гипотеза о близости средних значений величин У* и У (в статистическом смысле). Основой для проверки гипотезы явля­ется t-статистика (распределение Стьюдента). Ее значение, вычисленное по резуль­татам испытаний, сравнивается с критическим значением t кр, взятым из справоч­ной таблицы. Если выполняется неравенство t < t кр, то гипотеза принимается.

Необходимо еще раз подчеркнуть, что статистические методы применимы толь­ко в том случае, если оценивается адекватность модели существующей системе. На проектируемой системе провести измерения, естественно, не представляется возмож­ным. Единственный способ преодолеть это препятствие заключается в том, чтобы принять в качестве эталонного объекта концептуальную модель проектируемой сис­темы. Тогда оценка адекватности программно реализованной модели заключается в проверке того, насколько корректно она отражает концептуальную модель. Данная проблема сходна с проверкой корректности любой компьютерной программы, и ее можно решать соответствующими методами, например с помощью тестирования.

Оценка устойчивости модели. При оценке адекватности модели как существу­ющей, так и проектируемой системе реально может быть использовано лишь огра­ниченное подмножество всех возможных значений входных параметров (рабочей нагрузки и внешней среды). В связи с этим для обоснования достоверности полу­чаемых результатов моделирования большое значение имеет проверка устойчиво­сти модели. В теории моделирования это понятие трактуется следующим образом.

Устойчивость модели - это ее способность сохранять адекватность при иссле­довании эффективности системы на всем возможном диапазоне рабочей нагрузки, а также при внесении изменений в конфигурацию системы.

Каким образом может быть оценена устойчивость модели? Универсальной процеду­ры проверки устойчивости модели не существует. Разработчик вынужден прибегать к методам «для данного случая», частичным тестам и здравому смыслу. Часто бывает по­лезна апостериорная проверка. Она состоит в сравнении результатов моделирования и результатов измерений на системе после внесения в нее изменений. Если результаты моделирования приемлемы, уверенность в устойчивости модели возрастает.

В общем случае можно утверждать, что чем ближе структура модели структуре системы и чем выше степень детализации, тем устойчивее модель.

Устойчивость результатов моделирования может быть также оценена методами математической статистики. Здесь уместно вспомнить основную задачу математи­ческой статистики. Она заключается в том, чтобы проверить гипотезу относительно свойств некоторого множества элементов, называемого генеральной совокуп­ностью, оценивая свойства какого-либо подмножества генеральной совокупности (т.е. выборки). В генеральной совокупности исследователя обычно интересует не­который признак, который обусловлен случайностью и может иметь качественный или количественный характер.

В данном случае именно устойчивость результатов моделирования можно рас­сматривать как признак, подлежащий оценке. Для проверки гипотезы об устойчи­вости результатов может быть использован критерий Уилкоксона.

Критерий Уилкоксона служит для проверки того, относятся ли две выборки к од­ной и той же генеральной совокупности (т. е. обладают ли они одним и тем же статис­тическим признаком). Например, в двух партиях некоторой продукции измеряется определенный признак, и требуется проверить гипотезу о том, что этот признак имеет в обеих партиях одинаковое распределение; другими словами, необходимо убедиться, что технологический процесс от партии к партии изменяется несущественно.

При статистической оценке устойчивости модели соответствующая гипотеза может быть сформулирована следующим образом: при изменении входной (рабо­чей) нагрузки или структуры ИМ закон распределения результатов моделирова­ния остается неизменным.

Проверку указанной гипотезы Н проводят при следующих исходных данных:

есть две выборки X = (x 1 ..., x n) и Y = (у 1 ..., у т), полученные для различных значений рабочей нагрузки; относительно законов распределения X и У никаких предположений не делается.

Значения обеих выборок упорядочиваются вместе по возрастанию. Затем ана­лизируется взаимное расположение х i и у i . В случае у i < x i говорят, что пара значе­ний (х i , у i) образует инверсию.

Например, пусть для n = т = 3 после упорядочивания получилась такая последо­вательность значений: y 1 , x 1 , у 3 , х 2 , у 2 , х 3 , тогда имеем инверсии: (х 1 , y 1 ), (х 2 , y 1 ), (х 2 , y 3), (x 3 ,y 1), (x 3 , y 2), (x 3 , y 3).

Подсчитывают полное число инверсий U. Если гипотеза верна, то U не должно сильно отклоняться от своего математического ожидания М: M =nm/2.

От гипотезы отказываются, если (определяют по таблице для заданного уровня значимости).

Оценка чувствительности ИМ. Очевидно, что устойчивость является положитель­ным свойством модели. Однако если изменение входных воздействий или параметров модели (в некотором заданном диапазоне) не отражается на значениях выходных пара­метров, то польза от такой модели невелика (ее можно назвать «бесчувственной»). В связи с этим возникает задача оценивания чувствительности модели к изменению пара­метров рабочей нагрузки и внутренних параметров самой системы.

Такую оценку проводят по каждому параметру Х к в отдельности. Основана она на том, что обычно диапазон возможных изменений параметра известен. Одна из наиболее простых и распространенных процедур оценивания состоит в следующем.

1) вычисляется величина относительного среднего приращения параметра Х к:

2) проводится пара модельных экспериментов при значениях Х к = Х ктах и Х к = Х кт in и средних фиксированных значениях остальных параметров. Определя­ются значения отклика модели и ;

3) вычисляется ее относительное приращение наблюдаемой переменной Y:

В результате для k-ro параметра модели имеют пару значений , харак­теризующую чувствительность модели по этому параметру.

Аналогично формируются пары для остальных параметров модели, которые образуют множество .

Данные, полученные при оценке чувствительности модели, могут быть ис­пользованы, в частности, при планировании экспериментов: большее внима­ние должно уделяться тем параметрам, по которым модель является более чув­ствительной.

Калибровка модели. Если в результате проведенной оценки качества модели оказалось, что ее целевые свойства не удовлетворяют разработчика, необходимо выполнить ее калибровку, т. е. коррекцию с целью приведения в соответствие предъявляемым требованиям.

Как правило, процесс калибровки носит итеративный характер и состоит из трех основных этапов:

1) глобальные изменения модели (например, введение новых процессов, изме­нение типов событий и т. д.);

2) локальные изменения (в частности, изменение некоторых законов распреде­ления моделируемых случайных величин);

3) изменение специальных параметров, называемых калибровочными.

На первый взгляд, структурные изменения модели, как более сложные, должны рассматриваться только после того, как все попытки откалибровать модель путем изменения параметров и локальных модификаций окажутся безуспешными. Од­нако такая стратегия может скрыть структурное несоответствие или недостаточ­ную степень детальности модели. В этом смысле начинать калибровку с внесения глобальных изменений значительно безопаснее.

Вообще целесообразно объединить оценку целевых свойств ИМ и ее калибров­ку в единый процесс. Именно такая стратегия принята в статистическом методе калибровки, описанном ниже.

Процедура калибровки состоит из трех шагов, каждый из которых является ите­ративным.

Шаг 1. Сравнение выходных распределений.

Цель - оценка адекватности ИМ. Критерии сравнения могут быть различны. В частности, может использоваться величина разности между средними значениями откликов модели и системы.

Устранение различий на этом шаге основано на внесении глобальных изменений.

Шаг 2. Балансировка модели.

Основная задача - оценка устойчивости и чувствительности модели. По его резуль­татам, как правило, производятся локальные изменения (но возможны и глобальные).

Шаг 3. Оптимизация модели.

Цель этого этапа - обеспечение требуемой точности результатов. Здесь возмож­ны три основных направления работ:

дополнительная проверка качества датчиков СЧ;

снижение влияния переходного режима;

применение специальных методов понижения дисперсии.