Метод ветвей и границ требует. Метод ветвей и границ решения целочисленных задач линейного программирования. Скачать решение задачи
Метод ветвей и границ − один из комбинаторных методов. В отличие от метода Гомори применим как к полностью, так и частично целочисленнным задачам.
Его суть заключается в упорядоченном переборе вариантов и рассмотрении лишь тех из них, которые оказываются по определенным признакам полезными для нахождения оптимального решения.
Идея метода ветвей и границ состоит в следующем: пусть решена ослабленная задача без ограничения целочисленности, и - целочисленная переменная, значение которой в оптимальном плане является дробным. Тогда интервал
не
содержит допустимых решений с целочисленной
координатой
.
Следовательно, допустимое целое значение
должно удовлетворять
или
,
или
Введение этих условий в задачу порождает две несвязанные между собой задачи с одной и той же целевой функцией, но непересекающимися областями допустимых значений переменных. В этом случае говорят, что задача разветвляется.
Очевидно, что возможен один из следующих четырех случаев.
Одна из задач неразрешима, а другая имеет целочисленный оптимальный план. Тогда этот план и значение целевой функции на нем и дают решение исходной задачи.
Одна из задач неразрешима, а другая имеет оптимальный план, среди компонент которого есть дробные числа. Тогда рассматриваем вторую задачу и в ее оптимальном плане выбираем одну из компонент, значение которой равно дробному числу, и строим две задачи на новых ограничениях по этой переменной, полученных разделением ее ближайших к решению целочисленных значений.
Обе задачи разрешимы. Одна из задач имеет оптимальный целочисленный план, а в оптимальном плане другой задачи есть дробные числа. Тогда вычисляем значения целевой функции на этих планах и сравниваем их между собой. Для определенности здесь и далее полагаем, что решается задача о максимуме целевой функции. Если на целочисленном оптимальном плане значение целевой функции больше или равно ее значению на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то данный целочисленный план является оптимальным для исходной задачи и вместе со значением целевой функции на нем дает искомое решение.
Если же значение целевой функции больше на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то следует взять одно из таких чисел и для задачи, план которой рассматривается, произвести ветвление по дробной переменной и построить две новые задачи.
Обе задачи разрешимы, и среди оптимальных планов обеих задач есть дробные числа. Тогда вычисляем значение целевой функции на данных оптимальных планах и рассматриваем ту из задач, для которой значение целевой функции является наибольшим. В оптимальном плане этой задачи выбираем одну из компонент, значение которой является дробным числом, и производим ветвление на две новые задачи, разбивая область изменения этой переменной на две, ограниченные целыми числами справа и слева соответственно.
Таким образом, процесс построения все новых и новых задач может быть представлен на рисунке в виде ветвистого дерева, с вершиной, обозначенной «задача 1», и отходящими от этой вершины ветвями. Такая последовательность действий при нахождении оптимального решения задачи целочисленного программирования нашла свое отражение в названии этого метода.
Исходная вершина отвечает оптимальному плану исходной задачи 1, а каждая соединенная с ней ветвью вершина отвечает оптимальным планам новых задач, построенных для новых ограничений по одной из переменных, имеющих в оптимальном плане задачи 1 значение в виде дробного числа.
Каждая из вершин имеет свои ответвления, при этом на каждом шаге выбирается та вершина, для которой значение целевой функции будет наибольшим.
Если на некотором шаге будет получен план, имеющий целочисленные значения, и значение функции на нем окажется больше или равно, чем значение функции в других возможных для ветвления вершинах, то данный план является оптимальным планом исходной задачи целочисленного программирования и значение целевой функции на нем является максимальным.
Пример . Найти методом ветвей и границ решение задачи целочисленного программирования
Решение . Находим оптимальный план сформулированной задачи симплексным методом без учета целочисленности переменных, а именно решаем задачу 1.
Оптимальный план задачи 1 линейного программирования
при
.
Для исходной задачи, с учетом целочисленности переменных, полученное решение не является оптимальным.
Для поиска целочисленного оптимального решения разделим интервал изменения переменной x 1 на две области, а именно x 1 и x 1 = 10 , и разобьем заданную задачу на две новые задачи.
|
|
|
Нижняя граница линейной функции не изменилась: Z 0 = 0. Решаем одну из задач, например задачу 3, симплексным методом. Получаем, что условия задачи противоречивы.
Решаем задачу 2 симплексным методом. Получаем оптимальный целочисленный план поставленной задачи 2, который является также оптимальным планом задачи 1:
при
.
Таким образом, в результате одного ветвления задачи было найдено ее оптимальное решение.
Ниже приведено условие задачи и текстовая часть решения. Все решение полностью, в формате doc в архиве, вы можете скачать. Некоторые символы могут не отображаться на странице, но документе word все отображается. Еще примеры работ по ЭМММ можно посмотреть
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Издательское предприятие должно выполнить в течении недели (число дней m = 5) работу по набору текста с помощью работников n категорий (высокая, средняя, ниже средней, низкая). Требуются определить оптимальную численность работников по категориям, при которой обеспечивается выполнение работы с минимальным расходом фонда зарплаты при заданных ограничениях. Исходные данные приведены в таблице 1 и 2.
Таблица 1
Таблица 2
Задача должна решаться методом целочисленного линейного программирования в Mathcad 2000/2001.
ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧИ
Для расчета оптимальной численности работников, при которой обеспечивается минимум расхода фонда зарплаты, составляется математическая модель целочисленного линейного программирования, так как численность работников не может быть дробной величиной.
Решение задачи целочисленного программирования выполняется в два этапа.
На первом этапе выполняется задача линейного программирования без учета целочисленности.
На втором этапе производится пошаговый процесс замены нецелочисленных переменных ближайшими верхними или нижними целыми значениями.
Сначала решается, задача без учета условия целочисленности.
Целевая функция определяется по формуле:
где Q - общий фонд зарплаты на выполнение работы;
x 1 , x 2 , …, x n - численность работников по категориям;
n - число категорий работников;
c 1 , c 2 ,…, c n - дневная тарифная ставка одного работника по категориям;
m - число рабочих дней в неделю, m = 5.
Целевую функцию можно записать в векторной форме:
При решении задачи должны выполняться следующие ограничения. Ограничение сверху
x ≤ d (1)
задает максимальную численность работников по категориям, где d —вектор, определяющий численность по категориям.
В ограничении
учтено, что общая численность работников не должна превышать k max .
В ограничении снизу
р × х≥Р (3)
отражается, что все работники вместе должны выполнить заданный объем работ Р .
В качестве последнего ограничения записывается условие неотрицательности вектора переменных
x ≥0 (4)
Математическая модель решения задачи без учета условия целочисленности включает следующие выражения:
x ≤ d
р × х≥Р ,
x ≥ 0 .
Модель целочисленного программирования должна включать выражения (5), а также дополнительные ограничения, с помощью которых нецелочисленные переменные х заменяются целочисленными значениями. Конкретные выражения модели с целочисленными переменными рассмотрены в следующем подразделе.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В MATHCAD
Исходные данные для примера даны в табл. 1 и 2.
Для решения задачи используется пакет Mathcad с функцией Minimize. Данная функция определяет вектор решения задачи:
х := Minimize (Q , x ),
где Q — выражение целевой функции, определяющей минимальный фонд зарплаты, х - вектор переменных.
Сначала задача решается без учета условия целочисленности. Это решение приведено в Приложении 1. В первой строке введены нулевые начальные значения вектора х и целевая функция Q (x ) . После слова Given и перед функцией Minimize указаны ограничения. В результате получена нецелочисленная оптимальная численность по категориям:
х =
с фондом зарплаты Q = 135 у. е.
Из данного решения находится целочисленное решение методом ветвей и границ.
Сначала в полученном решении анализируется дробная величина х 4 =
= 1,143. Для нее можно задать два целочисленных значения: х 4 = 1 и х 4 = 2. Начинается построение дерева решений (Приложение 2). На дереве решений откладывается начальный нулевой узел. Затем он соединяется первым узлом х 4 , и из этого узла проводятся две ветви, соответствующие ограничениям: х 4 = 1 и х 4 = 2.
Для ветви с ограничением х 4 = 1 решается задача линейного программирования, данная в Приложении 1, с учетом этого ограничения.
В результате получено решение этой задачи. Переменная х 1 стала целочисленная, но переменная х 2 стала дробной х 2 = 0,9.
Для продолжения ветви создается узел х 3 и ветвь х 3 = 1. Снова выполняется задача линейного программирования со всеми тремя ограничениями: x 4 = 1, х 2 = 1, х 3 = 1. С этими ограничениями задача имеет решение х Т =
= (1,938 1 1 1).
Для продолжения ветви создается узел х 1 и ветвь х 1 = 2. Снова выполняется задача линейного программирования со всеми тремя ограничениями: x 4 = 1, х 2 = 1, х 3 = 1, х 1 = 2. С этими ограничениями задача имеет решение х Т = = (2 1 1 1).
Процесс построения дерева решении и выполнение задачи линейного программирования повторяется, пока не будут построены все ветви.
В Приложении 2 приводится полное дерево возможных целочисленных решений, из которого следуют, что в задаче имеется 4 результативных решения.
Из результативных выбирается наилучшее и оно принимается как оптимальное целочисленное решение всей задачи с минимальной величиной Q (x ) . В нашем случае мы имеем два оптимальных целочисленных решения
Q (х) = 140,
x T = (2 1 1 1),
x T = (1 1 2 2).
Следовательно, издательская организация должна привлечь для набора текста двух работников высокой категории, одного работника средней категории, одного работника ниже средней категории и одного работника низкой категории. Возможен так же другой равнозначный вариант привлечения работников: один работник высокой категории, один работник средней категории, два работника категории ниже средней и два работника низкой категории. В обоих вариантах затраты будут минимальными и составят 140 ден. ед.
Скачать решение задачи:
Имя файла: 2.rar
Размер файла: 24.99 Kb
Если закачивание файла не начнется через 10 сек, кликните
Решение будем вести с использованием калькулятора . Возьмем в качестве произвольного маршрута:X 0 = (1,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,1)
Тогда F(X 0) = 90 + 40 + 60 + 50 + 20 = 260
Для определения нижней границы множества воспользуемся операцией редукции или приведения матрицы по строкам, для чего необходимо в каждой строке матрицы D найти минимальный элемент.
d i = min(j) d ij
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 90 | 80 | 40 | 100 | 40 |
| 2 | 60 | M | 40 | 50 | 70 | 40 |
| 3 | 50 | 30 | M | 60 | 20 | 20 |
| 4 | 10 | 70 | 20 | M | 50 | 10 |
| 5 | 20 | 40 | 50 | 20 | M | 20 |
Затем вычитаем d i из элементов рассматриваемой строки. В связи с этим во вновь полученной матрице в каждой строке будет как минимум один ноль.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 50 | 40 | 0 | 60 |
| 2 | 20 | M | 0 | 10 | 30 |
| 3 | 30 | 10 | M | 40 | 0 |
| 4 | 0 | 60 | 10 | M | 40 |
| 5 | 0 | 20 | 30 | 0 | M |
Такую же операцию редукции проводим по столбцам, для чего в каждом столбце находим минимальный элемент:
d j = min(i) d ij
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 50 | 40 | 0 | 60 |
| 2 | 20 | M | 0 | 10 | 30 |
| 3 | 30 | 10 | M | 40 | 0 |
| 4 | 0 | 60 | 10 | M | 40 |
| 5 | 0 | 20 | 30 | 0 | M |
| d j | 0 | 10 | 0 | 0 | 0 |
После вычитания минимальных элементов получаем полностью редуцированную матрицу, где величины d i и d j называются константами приведения .
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 40 | 40 | 0 | 60 |
| 2 | 20 | M | 0 | 10 | 30 |
| 3 | 30 | 0 | M | 40 | 0 |
| 4 | 0 | 50 | 10 | M | 40 |
| 5 | 0 | 10 | 30 | 0 | M |
Сумма констант приведения определяет нижнюю границу H:
H = ∑d i + ∑d j
H = 40+40+20+10+20+0+10+0+0+0 = 140
Элементы матрицы d ij соответствуют расстоянию от пункта i до пункта j.
Поскольку в матрице n городов, то D является матрицей nxn с неотрицательными элементами d ij >=0
Каждый допустимый маршрут представляет собой цикл, по которому коммивояжер посещает город только один раз и возвращается в исходный город.
Длина маршрута определяется выражением:
F(M k) = ∑d ij
Причем каждая строка и столбец входят в маршрут только один раз с элементом d ij .
Шаг №1 .
Определяем ребро ветвления
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 40 | 40 | 0(40) | 60 | 40 |
| 2 | 20 | M | 0(20) | 10 | 30 | 10 |
| 3 | 30 | 0(10) | M | 40 | 0(30) | 0 |
| 4 | 0(10) | 50 | 10 | M | 40 | 10 |
| 5 | 0(0) | 10 | 30 | 0(0) | M | 0 |
| d j | 0 | 10 | 10 | 0 | 30 | 0 |
d(1,4) = 40 + 0 = 40; d(2,3) = 10 + 10 = 20; d(3,2) = 0 + 10 = 10; d(3,5) = 0 + 30 = 30; d(4,1) = 10 + 0 = 10; d(5,1) = 0 + 0 = 0; d(5,4) = 0 + 0 = 0;
Наибольшая сумма констант приведения равна (40 + 0) = 40 для ребра (1,4), следовательно, множество разбивается на два подмножества (1,4) и (1*,4*).
H(1*,4*) = 140 + 40 = 180
Исключение ребра (1,4) проводим путем замены элемента d 14 = 0 на M, после чего осуществляем очередное приведение матрицы расстояний для образовавшегося подмножества (1*,4*), в результате получим редуцированную матрицу.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 40 | 40 | M | 60 | 40 |
| 2 | 20 | M | 0 | 10 | 30 | 0 |
| 3 | 30 | 0 | M | 40 | 0 | 0 |
| 4 | 0 | 50 | 10 | M | 40 | 0 |
| 5 | 0 | 10 | 30 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 40 |
Включение ребра (1,4) проводится путем исключения всех элементов 1-ой строки и 4-го столбца, в которой элемент d 41 заменяем на М, для исключения образования негамильтонова цикла.
В результате получим другую сокращенную матрицу (4 x 4), которая подлежит операции приведения.
∑d i + ∑d j = 10
| i j | 1 | 2 | 3 | 5 | d i |
| 2 | 20 | M | 0 | 30 | 0 |
| 3 | 30 | 0 | M | 0 | 0 |
| 4 | M | 50 | 10 | 40 | 10 |
| 5 | 0 | 10 | 30 | M | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 | 10 |
Нижняя граница подмножества (1,4) равна:
H(1,4) = 140 + 10 = 150 ≤ 180
Поскольку нижняя граница этого подмножества (1,4) меньше, чем подмножества (1*,4*), то ребро (1,4) включаем в маршрут с новой границей H = 150
Шаг №2 .
Определяем ребро ветвления и разобьем все множество маршрутов относительно этого ребра на два подмножества (i,j) и (i*,j*).
С этой целью для всех клеток матрицы с нулевыми элементами заменяем поочередно нули на М(бесконечность) и определяем для них сумму образовавшихся констант приведения, они приведены в скобках.
| i j | 1 | 2 | 3 | 5 | d i |
| 2 | 20 | M | 0(20) | 30 | 20 |
| 3 | 30 | 0(10) | M | 0(30) | 0 |
| 4 | M | 40 | 0(30) | 30 | 30 |
| 5 | 0(30) | 10 | 30 | M | 10 |
| d j | 20 | 10 | 0 | 30 | 0 |
d(2,3) = 20 + 0 = 20; d(3,2) = 0 + 10 = 10; d(3,5) = 0 + 30 = 30; d(4,3) = 30 + 0 = 30; d(5,1) = 10 + 20 = 30;
Наибольшая сумма констант приведения равна (0 + 30) = 30 для ребра (3,5), следовательно, множество разбивается на два подмножества (3,5) и (3*,5*).
Нижняя граница гамильтоновых циклов этого подмножества:
H(3*,5*) = 150 + 30 = 180
Исключение ребра (3,5) проводим путем замены элемента d 35 = 0 на M, после чего осуществляем очередное приведение матрицы расстояний для образовавшегося подмножества (3*,5*), в результате получим редуцированную матрицу.
| i j | 1 | 2 | 3 | 5 | d i |
| 2 | 20 | M | 0 | 30 | 0 |
| 3 | 30 | 0 | M | M | 0 |
| 4 | M | 40 | 0 | 30 | 0 |
| 5 | 0 | 10 | 30 | M | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 30 | 30 |
Включение ребра (3,5) проводится путем исключения всех элементов 3-ой строки и 5-го столбца, в которой элемент d 53 заменяем на М, для исключения образования негамильтонова цикла.
В результате получим другую сокращенную матрицу (3 x 3), которая подлежит операции приведения.
Сумма констант приведения сокращенной матрицы:
∑d i + ∑d j = 10
После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:
| i j | 1 | 2 | 3 | d i |
| 2 | 20 | M | 0 | 0 |
| 4 | M | 40 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 10 | M | 0 |
| d j | 0 | 10 | 0 | 10 |
Нижняя граница подмножества (3,5) равна:
H(3,5) = 150 + 10 = 160 ≤ 180
Поскольку нижняя граница этого подмножества (3,5) меньше, чем подмножества (3*,5*), то ребро (3,5) включаем в маршрут с новой границей H = 160
Шаг №3 .
Определяем ребро ветвления и разобьем все множество маршрутов относительно этого ребра на два подмножества (i,j) и (i*,j*).
С этой целью для всех клеток матрицы с нулевыми элементами заменяем поочередно нули на М(бесконечность) и определяем для них сумму образовавшихся констант приведения, они приведены в скобках.
| i j | 1 | 2 | 3 | d i |
| 2 | 20 | M | 0(20) | 20 |
| 4 | M | 30 | 0(30) | 30 |
| 5 | 0(20) | 0(30) | M | 0 |
| d j | 20 | 30 | 0 | 0 |
d(2,3) = 20 + 0 = 20; d(4,3) = 30 + 0 = 30; d(5,1) = 0 + 20 = 20; d(5,2) = 0 + 30 = 30;
Наибольшая сумма констант приведения равна (0 + 30) = 30 для ребра (5,2), следовательно, множество разбивается на два подмножества (5,2) и (5*,2*).
Нижняя граница гамильтоновых циклов этого подмножества:
H(5*,2*) = 160 + 30 = 190
Исключение ребра (5,2) проводим путем замены элемента d 52 = 0 на M, после чего осуществляем очередное приведение матрицы расстояний для образовавшегося подмножества (5*,2*), в результате получим редуцированную матрицу.
| i j | 1 | 2 | 3 | d i |
| 2 | 20 | M | 0 | 0 |
| 4 | M | 30 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | M | M | 0 |
| d j | 0 | 30 | 0 | 30 |
Включение ребра (5,2) проводится путем исключения всех элементов 5-ой строки и 2-го столбца, в которой элемент d 25 заменяем на М, для исключения образования негамильтонова цикла.
В результате получим другую сокращенную матрицу (2 x 2), которая подлежит операции приведения.
Сумма констант приведения сокращенной матрицы:
∑d i + ∑d j = 20
После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:
| i j | 1 | 3 | d i |
| 2 | 20 | 0 | 0 |
| 4 | M | 0 | 0 |
| d j | 20 | 0 | 20 |
Нижняя граница подмножества (5,2) равна:
H(5,2) = 160 + 20 = 180 ≤ 190
Поскольку нижняя граница этого подмножества (5,2) меньше, чем подмножества (5*,2*), то ребро (5,2) включаем в маршрут с новой границей H = 180
В соответствии с этой матрицей включаем в гамильтонов маршрут ребра (2,1) и (4,3).
В результате по дереву ветвлений гамильтонов цикл образуют ребра:
(1,4), (4,3), (3,5), (5,2), (2,1),
Длина маршрута равна F(Mk) = 180
Рассмотрим следующую задачу целочисленного линейного программирования. Максимизировать при ограничениях
На рис.1 пространство допустимых решений задачи целочисленного линейного программирования представлено точками. Соответствующая начальная задача линейного программирования (обозначим ее ЛП0) получается путем отбрасывания условия целочисленности. Ее оптимальным решением будет =3.75, =1.25, z=23.75.
Рис.1.
Так как оптимальное решение задачи ЛП0 не удовлетворяет условия целочисленности, метод ветвей и границ изменяет пространство решений задачи линейного программирования так, что в конечном счете получается оптимальное решение задачи целочисленного линейного программирования. Для этого сначала выбирается одна из целочисленных переменных, значение которой в оптимальном решении задачи ЛП0 не является целочисленным. Например, выбирая (=3.75), замечаем, что область 3 ? ?4 пространства допустимых решений задачи ЛП0 не содержит целочисленных значений переменной и, следовательно, может быть исключена из рассмотрения, как бесперспективная. Это эквивалентно замене исходной задачи ЛП0 двумя новыми задачами линейного программирования ЛП1 и ЛП2, которые определяются следующим образом:
Пространство допустимых решений ЛП1 = пространство допустимых решений ЛП0 + (), пространство допустимых решений ЛП2 = пространство допустимых решений ЛП0 + ().
На рис.2 изображены пространства допустимы решений задач ЛП1 И ЛП2 . Оба пространства содержат все допустимые решения исходной задачи ЦЛП. Это обозначает, что задачи ЛП1 и ЛП2 «не потеряют» решения начальной задачи ЛП0.
Рис.2.
Если продолжим разумно исключать из рассмотрения области, не содержащие целочисленных решений (такие, как), путем введения надлежащих ограничений, то в конечном счете получим задачу линейного программирования, оптимальное решение которой удовлетворяет требованиям целочисленности. Другими словами, будем решать задачу ЦЛП путем решения последовательности непрерывных задач линейного программирования.
Новые ограничения и взаимоисключаемы, так что задачи ЛП1 и ЛП2 необходимо рассматривать как независимые задачи линейного программирования, что и показано на Рис.3. Дихотомизация задач ЛП - основа концепции ветвления в методе ветвей и границ. В этом случае называется переменной ветвления.
Рис.3.
Оптимальное решение задачи ЦЛП находятся в пространстве допустимых решений либо в ЛП1, либо в ЛП2. Следовательно, обе подзадачи должны быть решены. Выбираем сначала задачу ЛП1 (выбор произволен), имеющую дополнительное ограничение?3.
Максимизировать при ограничениях
Оптимальным решением задачи ЛП1 является, и. Оптимальное решение задачи ЛП1 удовлетворяет требованию целочисленности переменных и. В этом случае говорят что задача прозондирована. Это означает, что задача ЛП1 не должна больше зондироваться, так как она не может содержать лучшего решения задачи ЦЛП.
Мы не можем в этой ситуации оценить качество целочисленного решения, полученного из рассмотрения задачи ЛП1, ибо решение задачи ЛП2 может привести к лучшему целочисленному решению (с большим решением в целевой функции z). Пока мы можем лишь сказать, что значение является нижней границей оптимального (максимального) значения целевой функции исходной задачи ЦЛП. Это значит, что любая нерассмотренная подзадача, которая не может привести к целочисленному решению с большим значением целевой функции, должна быть исключена, как бесперспективная. Если же нерассмотренная подзадача может привести к лучшему целочисленному решению, то нижняя граница должна быть надлежащим образом изменена.
При значении нижней границы исследуем ЛП2. Так как в задачи ЛП0 оптимальное значение целевой функции равно 23.75 и вес ее коэффициенты являются целыми числами, то невозможно получить целочисленное решение задачи ЛП2, которое будет лучше имеющегося. В результате мы отбрасываем подзадачу ЛП2 и считаем ее прозондированной.
Реализация метода ветвей и границ завершена, так как обе подзадачи ЛП1 и ЛП2 прозондированы. Следовательно, мы заключаем, что оптимальным решением задачи ЦЛП является решение, соответствующей нижней границе, а именно, и.
Если бы мы выбрали в качестве ветвлении переменную то ветвления и скорость нахождения оптимального решения были бы другими Рис.4.
Рис.4. Дерево ветвлений решений
Требуется решить следующую задачу:
max 2х 1 + х 2
5х 1 + 2х 2 10
3х 1 + 8х 2 13
Вначале решим эту задачу графически без ограниченийцелочисленности. Решение может быть найдено как симплекс-методом, так и графически. Найдем его графически (рисунок 4). Координаты точки оптимума можно найти, решив систему уравнений: 5х 1 + 2х 2 = 10 х 1 =27/17
3х 1 + 8х 2 = 13 х 2 =35/34
Х G = (27/17;35/34), z G =143/34
Рисунок 4 - Графическое решение задачи без ограничений целочиелейности
Начнем строить дерево, первая вершина которого будет соответствовать всей ОДП нецелочисленной задачи (G), а ее оценка будет равна z G (рис.5).
Рисунок 5 - Схема метода ветвей и границ
Полученный план не является целочисленным, поэтому возьмем его произвольную нецелочисленную компоненту, например, первую (х 1 Z; [х 1 ] = = 1) и разобьем ОДП на две части следующим образом:
G 1 ={XG: х 1 1}
G 2 ={XG: х 1 2}
Это означает, что в область G 1 войдут все точки из G, у которых абсцисса не больше 1, а в G 2 - у которых она не меньше 2. Точки с дробными значениями абсциссы от 1 до 2 исключены из рассмотрения.
Изобразим эти области на графике (рисунок 6).
Из рисунка 6 видно, что G 2 представляет собой одну точку Х G 2 =(2;0), следовательно, на этом множестве оптимум задачи равен 4 ( 2 =4).
План Х G 2 является целочисленным, следовательно, решение целочисленной задачи уже, возможно, найдено. Однако, следует еще найти оценку множества G 1 |. Она может оказаться не менее 4 (но обязательно не более 143/34). Если это так, то нужно проверить, не является ли целочисленным решение задачи на G 1. Если оно целое, то является решением задачи, а если нет, то процесс решения необходимо продолжить, разбивая G 1
Рисунок 6 - Разбиение множества на части
На G 1 точку оптимума можно найти, решив систему уравнений:
х 1 = 1 х 1 =1
3х 1 + 8х 2 = 13 х 2 =5/4
Х G 1 = (1; 5/4), z G =13/4
Оценка меньше 4, следовательно, решением задачи является Х * =Х G 2 =(2;0),z * =4.
3.4 Решение задачи целочисленного линейного программирования методом ветвей и границ с помощью ппп «Система деловых задач»
ЗЦЛП можно решить с помощью пакета прикладных программ “Quantitative Systems for Business” ("Система деловых задач") . Соответствующая программа запускается файлом intlprog.ехе. Она решает как частично, так и полностью целочисленные задачи линейного программирования с числом переменных и ограничений до 20, используя метод ветвей и границ. В том числе решаются и задачи с булевыми переменными (т.е. с переменными, которые могут принимать одно из двух значений - 0 или 1; как, например, в задаче о назначениях ). По умолчанию все переменные неотрицательны. Программа позволяет ввести целочисленные границы для переменных, не включая их в общее число ограничений. По умолчанию нижняя граница 0, а верхняя 32000. Если необходимо установить нецелочисленные границы, их вводят, как обычные ограничения.
Если в задаче имеется несколько оптимальных планов, из них находится только один. Информация о наличии множественного решения не выводится.
Режим 2 (ввод новой задачи) включает три этапа. На первом этапе осуществляют ввод информации о размерности задачи, направлении экстремизации и именах переменных (по умолчанию XI, Х2,..., Хn).
На втором этапе необходимо определить, являются ли все переменные целочисленными, являются ли все переменные булевыми, и будут ли вводиться границы для переменных. При ответе «нет» на первый вопрос или «да» на третий, выводится таблица (рисунок 7):
Введите предел и границы для переменных
(По умолчанию значения нижней границы 0 и верхней границы 32000)
№ перем. Имя Предел (I/C) Нижняя гр. Верхняя гр.
1 X 1
2 X 2
Рисунок 7 - Определение пределов и границ
Установив I (integer) в столбце «Предел», на переменную накладывают ограничение целочисленности. В противном случае (С, continuous) -переменная может принимать и нецелые значения, т.е. является непрерывной.
Значения границ округляются до целых. Если нижняя больше верхней, выдается сообщение об ошибке.
На третьем этапе вводятся коэффициенты при переменных и знаки в ограничениях.
В меню решений имеется возможность исправить целочисленную погрешность (по умолчанию она 0,001).
Решение задачи методом ветвей и границ не сопровождается графической иллюстрацией (изображением дерева) в программе, но для пояснения алгоритма приведем такую иллюстрацию на рисунок 8.
Алгоритм метода ветвей и границ, реализованный в данной программе, несколько отличается от рассмотренного выше в методических указаниях и является менее эффективным в том смысле, что может потребовать большего числа итераций. Тем не менее, его полезно рассмотреть, чтобы наглядно проиллюстрировать разницу в подходах. Кроме того, во многих учебных пособиях применение метода ветвей и границ рассматривается именно на примере данной его модификации.
Основное различие заключается в том, что здесь на каждом этапе не выбирается наиболее «перспективное» подмножество. После того, как очередное подмножество разбито на две части, не подсчитывают сразу оценку обеих частей, а вместо этого каждая ветвь дерева последовательно рассматривается до конца. Исходная ОДП разбивается на подмножества по первой нецелочисленной переменной в оптимальном плане нецелочисленной задачи. Затем рассматривают ту вершину, которой соответствует знак , разбивают соответствующее подмножество так же, как и исходную ОДП, снова рассматривают ту вершину, которой соответствует знак , и т.д. до тех пор, пока не будет получен целочисленный план, или задача окажется неразрешимой. Только после этого возвращаются к рассмотрению вершин, которым соответствовал знак .
При этом на каждой итерации выводится информация о текущих целочисленных границах (определяющих рассматриваемое подмножество), оптимальном плане нецелочисленной задачи, о том, является ли он целочисленным, о значении целевой функции (ЦФ) на нем и о величинах ZL или ZU. Для задачи на максимум выводится значение нижней границы ZL, а на минимум верхней ZU. До тех пор, пока не найдено какое-нибудь целое решение, ZL =-1*10 20 , а ZU = 1*10 20 .
После нахождения целочисленного плана нельзя сразу судить о том, является ли он оптимальным, так как рассматривались не наиболее перспективные вершины. Но можно в уверенностью утверждать, что искомый максимум не меньше (а минимум не больше) значения целевой функции на целочисленном плане. Поэтому значения границ ZL и ZU изменяются (если только ранее не был найден целочисленный план с не меньшим (не большим) значением целевой функции).
Ветви с оценкой, меньшей ZL или большей ZU, не рассматриваются. План, соответствующий границе, запоминается. После того, как рассмотрены или исключены из рассмотрения все подмножества, этот план можно считать оптимальным.
Поясним это на примере (рис.8):
max 3х 1 + 2х 2
7х 1 + 5х 2 35
9х 1 + 4х 2 36
На первой итерации найдено нецелочисленное решение Х=(2,353; 3,706). Вся ОДП (множество G) разбивается на два подмножества - G 1 и G 2 следующим образом:
G 1 ={XG: х 1 3}
G 2 ={XG: х 1 2}.
На второй итерации решают задачу на подмножестве G 1 . Полученное решение также нецелочисленно. Далее, вместо того, чтобы рассмотреть подмножество G 2 , продолжают рассматривать G 1 . В соответствующем плане выбирают первую по счету нецелочисленную компоненту (это х 2) и разбивают G 1 на G 3 и G 4 . На третьей итерации рассматривают G 3 - на этом подмножестве допустимых планов нет. Только после этого на четвертой итерации рассматривается вторая ветвь, выходящая из G 1 - подмножество G 4 . Далее аналогично.
На пятой итерации на подмножестве G 5 найдено целочисленное решение, которому соответствует значение целевой функции 12. На следующей итерации это значение присваивается величине ZL, которая до этого была равна -1*10 20 . Соответствующий план запоминается - он может оказаться оптимальным. Но на шестой итерации снова получен целочисленный план, целевая функция на котором равна 13 (больше 12) - ZL снова изменяется, запоминается новый план.
После этого, на седьмой итерации, переходят к рассмотрению подмножества G 2 , которое разбивают на G 7 и G 8 .
На тринадцатой итерации (подмножество G 14) снова найдено целочисленное решение Х=(0; 7), целевая функция на нем равна 14. Снова изменяется ZL и запоминается соответствующий план.
План, найденный на четырнадцатой итерации, также является целочисленным, но его не запоминают, так как 13<14 (ZL=14). План, найденный на пятнадцатой итерации, тоже, к сожалению, не запоминается, так как 1414, а программа ставит своей целью найти хотя бы одно решение.
Наличие других оптимальных планов здесь игнорируется.
Таким образом, решение Х=(0; 7) получено за 15 итераций.
Отметим, что если бы использовался более эффективный вариант метода ветвей и границ, схема которого описана в методических указаниях, то после второй итерации произошел бы сразу переход к седьмой. В самом деле, если рассматривать значения целевой функции на соответствующих планах в качестве оценки подмножеств, то оценка G 2 выше. Поэтому итерации с 3-ей по 6-ю оказываются лишними, и общее число итераций могло быть равно 11.
