Перевод в 5 систему счисления. Малый математический факультет. озиционные системы счисления
Разберем одну из важнейших тем по информатике - . В школьной программе она раскрывается довольно "скромно", скорее всего, из-за недостатка отведенных на нее часов. Знания по этой теме, особенно на перевод систем счисления , являются обязательным условием для успешной сдачи ЕГЭ и поступления в ВУЗы на соответствующие факультеты. Ниже подробным образом рассмотрены такие понятия, как позиционные и непозиционные системы счисления , даны примеры этих систем счисления, представлены правила перевода целых десятичных чисел, правильных десятичных дробей и смешанных десятичных чисел в любую другую систему счисления, перевода чисел из любой системы счисления в десятичную, перевода из восьмеричной и шестнадцатиричной систем счисления в двоичную систему счисления . На экзаменах в большом количестве встречаются задачи по данной теме. Умение их решать – одно из требований к абитуриентам. Скоро: По каждой теме раздела, помимо подробного теоретического материала, будут представлены практически все возможные варианты задач для самостоятельного изучения. Кроме того, у вас появится возможность совершенно бесплатно скачать с файлообменника уже готовые подробные решения к данным задачам, иллюстрирующие различные способы получения верного ответа.
епозиционные системы счисления.
Непозиционные системы счисления - системы счисления, в которых количественное значение цифры не зависит от ее местоположения в числе.
К непозиционным системам счисления относится, например, римская, где вместо цифр - латинские буквы.
| I | 1 (один) |
| V | 5 (пять) |
| X | 10 (десять) |
| L | 50 (пятьдесят) |
| C | 100 (сто) |
| D | 500 (пятьсот) |
| M | 1000 (тысяча) |
Здесь буква V обозначает 5 независимо от ее местоположения. Однако стоит упомянуть о том, что хотя римская система счисления и является классическим примером непозиционной системы счисления, не является полностью непозиционной, т.к. меньшая цифра, стоящая перед большей, вычитается из нее:
| IL | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| MI | 1001 (1000+1=1001) |
озиционные системы счисления.
Позиционные системы счисления - системы счисления, в которых количественное значение цифры зависит от ее местоположения в числе.
Например, если говорить о десятичной системе счисления, то в числе 700 цифра 7 означает "семь сотен", но эта же цифра в числе 71 означает "семь десятков", а в числе 7020 - "семь тысяч".
Каждая позиционная система счисления имеет свое основание . В качестве основания выбирается натуральное число, большее или равное двум. Оно равно количеству цифр, используемых в данной системе счисления.
- Например:
- Двоичная - позиционная система счисления с основанием 2.
- Четверичная - позиционная система счисления с основанием 4.
- Пятиричная - позиционная система счисления с основанием 5.
- Восьмеричная - позиционная система счисления с основанием 8.
- Шестнадцатиричная - позиционная система счисления с основанием 16.
Чтобы успешно решать задачи по теме "Системы счисления", ученик должен знать наизусть соответствие двоичных, десятичных, восьмеричных и шестнадцатиричных чисел до 16 10:
| 10 с/с | 2 с/с | 8 с/с | 16 с/с |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Полезно знать, как получаются числа в этих системах счисления. Можно догадаться, что в восьмеричной, шестнадцатиричной, троичной и других позиционных системах счисления все происходит аналогично привычной нам десятичной системе:
К числу прибавляется единица и получается новое число. Если разряд единиц становится равен основанию системы счисления, мы увеличиваем число десятков на 1 и т.д.
Этот "переход единицы" как раз и пугает большинство учеников. На самом же деле все довольно просто. Переход происходит, если разряд единиц становится равен основанию системы счисления , мы увеличиваем число десятков на 1. Многие, помня старую добрую десятичную систему моментально путаются в разряда и в этом переходе, ведь десятичный и, например, двоичный десятки - разные вещи.
Отсюда у находчивых учеников появляются "свои методики" (на удивление... работающие) при заполнении, например, таблиц истинности, первые столбцы (значения переменных) которых, фактически, заполняются двоичными числами в порядке возрастания.
Для примера разберем получение чисел в восьмеричной системе : К первому числу (0) прибавляем 1, получаем 1. Затем к 1 прибавляем 1, получаем 2 и т.д. до 7. Если мы прибавим к 7 единицу, получим число равное основанию системы счисления, т.е. 8. Тогда нужно увеличить на единицу разряд десятков (получаем восьмеричный десяток - 10). Далее, очевидно, идут числа 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...
равила перевода из одной системы счисления в другую.
1 Перевод целых десятичных чисел в любую другую систему счисления.
Число нужно разделить на новое основание системы счисления . Первый остаток от деления - это и есть первая младшая цифра нового числа. Если частное от деления меньше или равно новому основанию, то его (частное) нужно снова разделить на новое основание. Деление нужно продолжать, пока не получим частное меньше нового основания. Это есть старшая цифра нового числа (нужно помнить, что, например, в шестнадцатиричной системе после 9 идут буквы, т.е. если в остатке получили 11, нужно записать его как B).
Пример ("деление уголком"): Переведем число 173 10 в восьмеричную систему счисления.
Таким образом, 173 10 =255 8
2 Перевод правильных десятичных дробей в любую другую систему счисления.
Число нужно умножить на новое основание системы счисления. Цифра, перешедшая в целую часть - старшая цифра дробной части нового числа. для получения следующей цифры дробную часть получившегося произведения опять нужно умножать на новое основание системы счисления, пока не произойдет переход в целую часть. Умножение продолжаем, пока дробная часть не станет равна нулю, либо пока не дойдем до указанной в задаче точности ("... вычислить с точностью, например, двух знаков после запятой").
Пример: Переведем число 0,65625 10 в восьмеричную систему счисления.
Результат уже получен!
Системы счисления
Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:
Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.
Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:
Тогда число 1287.923 можно представить в виде:
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3·10 -3 .
В общем случае формулу можно представить в следующем виде:
Ц n ·s n +Ц n-1 ·s n-1 +...+Ц 1 ·s 1 +Ц 0 ·s 0 +Д -1 ·s -1 +Д -2 ·s -2 +...+Д -k ·s -k
где Ц n -целое число в позиции n , Д -k - дробное число в позиции (-k), s - система счисления.
Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, в восьмеричной системе счисления - из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7}, в двоичной системе счисления - из множества цифр {0,1}, в шестнадцатеричной системе счисления - из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.
| Таблица 1 | |||
|---|---|---|---|
| Система счисления | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Для перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления.
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления
С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.
Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:
1 ·2 6 +0 ·2 5 +1 ·2 4 +1 ·2 3 +1 ·2 2 +0 ·2 1 +1 ·2 0 +0 ·2 -1 +0 ·2 -2 +1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125
Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:
Пример 3 . Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:
Здесь A -заменен на 10, B - на 11, C - на 12, F - на 15.
Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.
Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления - последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС - на 2, для 8-ичной СС - на 8, для 16-ичной - на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.
Пример 4 . Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111 . Следовательно можно записать:
159 10 =10011111 2 .
Пример 5 . Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147 (см. Рис. 2). Следовательно можно записать:
615 10 =1147 8 .
Пример 6 . Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 - D. Следовательно наше шестнадцатеричное число - это 4CD9.
Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).
Рассмотрим вышеизложенное на примерах.
Пример 7 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0.0011011 .
Следовательно можно записать:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Пример 8 . Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:
0.125 10 =0.001 2 .
Пример 9 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:
0.214 10 =0.36C8B4 16 .
Пример 10 . Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Получили:
0.512 10 =0.406111 8 .
Пример 11 . Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Пример 12 . Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим.
Калькулятор позволяет переводить целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Основание системы счисления не может быть меньше 2 и больше 36 (10 цифр и 26 латинских букв всё-таки). Длина чисел не должна превышать 30 символов. Для ввода дробных чисел используйте символ. или, . Чтобы перевести число из одной системы в другую, введите исходное число в первое поле, основание исходной системы счисления во второе и основание системы счисления, в которую нужно перевести число, в третье поле, после чего нажмите кнопку "Получить запись".
Исходное число записано в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системе счисления .
Хочу получить запись числа в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системе счисления .
Получить запись
Выполнено переводов: 1419274
Системы счисления
Системы счисления делятся на два типа: позиционные и не позиционные . Мы пользуемся арабской системой, она является позиционной, а есть ещё римская − она как раз не позиционная. В позиционных системах положение цифры в числе однозначно определяет значение этого числа. Это легко понять, рассмотрев на примере какого-нибудь числа.
Пример 1 . Возьмём число 5921 в десятичной системе счисления. Пронумеруем число справа налево начиная с нуля:
Число 5921 можно записать в следующем виде: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Число 10 является характеристикой, определяющей систему счисления. В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.
Пример 2 . Рассмотрим вещественное десятичное число 1234.567. Пронумеруем его начиная с нулевой позиции числа от десятичной точки влево и вправо:
Число 1234.567 можно записать в следующем виде: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 +6·10 -2 +7·10 -3 .
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Наиболее простым способом перевода числа с одной системы счисления в другую, является перевод числа сначала в десятичную систему счисления, а затем, полученного результата в требуемую систему счисления.
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления
Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную достаточно пронумеровать его разряды, начиная с нулевого (разряд слева от десятичной точки) аналогично примерам 1 или 2. Найдём сумму произведений цифр числа на основание системы счисления в степени позиции этой цифры:
1.
Перевести число 1001101.1101 2 в десятичную систему счисления.
Решение:
10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 -4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
Ответ:
10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Перевести число E8F.2D 16 в десятичную систему счисления.
Решение:
E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Ответ:
E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления целую и дробную части числа нужно переводить отдельно.
Перевод целой части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Целая часть переводится из десятичной системы счисления в другую систему счисления с помощью последовательного деления целой части числа на основание системы счисления до получения целого остатка, меньшего основания системы счисления. Результатом перевода будет являться запись из остатков, начиная с последнего.
3.
Перевести число 273 10 в восьмиричную систему счисления.
Решение:
273 / 8 = 34 и остаток 1, 34 / 8 = 4 и остаток 2, 4 меньше 8, поэтому вычисления завершены. Запись из остатков будет иметь следующий вид: 421
Проверка
: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , результат совпал. Значит перевод выполнен правильно.
Ответ:
273 10 = 421 8
Рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в различные системы счисления.
Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Напомним, правильной десятичной дробью называется вещественное число с нулевой целой частью . Чтобы перевести такое число в систему счисления с основанием N нужно последовательно умножать число на N до тех пор, пока дробная часть не обнулится или же не будет получено требуемое количество разрядов. Если при умножении получается число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть дальше не учитывается, так как последовательно заносится в результат.
4.
Перевести число 0.125 10 в двоичную систему счисления.
Решение:
0.125·2 = 0.25 (0 - целая часть, которая станет первой цифрой результата), 0.25·2 = 0.5 (0 - вторая цифра результата), 0.5·2 = 1.0 (1 - третья цифра результата, а так как дробная часть равна нулю, то перевод завершён).
Ответ:
0.125 10 = 0.001 2
Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами ), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.
Система называется позиционной , если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.
Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления . Если количество таких цифр равно P , то система счисления называется P -ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.
Запись произвольного числа x в P -ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена
x = a n P n + a n -1 P n -1 + ... + a 1 P 1 + a 0 P 0 + a -1 P -1 + ... + a -m P -m
Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию P системы счисления.
При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P > 1 обычно используют следующий алгоритм:
1) если переводится целая часть числа, то она делится на P , после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P , остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;
2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P , после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая дробь в системе счисления с основанием P . Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P .
Кодирование чисел
Чтобы использовать числа, нужно их как-то называть и записывать, нужна система нумерации. Различные системы счёта и записи чисел тысячелетиями сосуществовали и соревновались между собой, но к концу "докомпьютерной эпохи" особую роль при счёте стало играть число "десять", а самой популярной системой кодирования оказалась позиционная десятичная система. В этой системе значение цифры в числе зависит от её места (позиции) внутри числа. Десятичная система счисления пришла из Индии (не позднее VI века нашей эры). Алфавит этой системы: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - всего 10 цифр, таким образом основание системы счисления - 10. Число записывается как комбинация единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее. Пример: 1998=8*10 0 + 9*10 1 + 9*10 2 + 1*10 3 .
В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д.
333 10 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3
Заметим, что выбор числа 10 в качестве основания системы счисления объясняется традицией, а не какими-то замечательными свойствами числа 10. Вообще, представление числа N в р-ричной системе счисления, это:
N=a n *p n +a n-l *p n-l +...+a l *p l +a o , где а ¹ 0, а i Î {0, 1, 2, ..., а i }.
В Вавилоне, например, использовалась 60-ричная система счисления, алфавит содержал цифры от 1 до 59, числа 0 не было, таблицы умножения были очень громоздкими, поэтому очень скоро она была забыта, но отголоски её былой распространённости можно наблюдать и сейчас - деление часа на 60 минут, деление круга на 360 градусов.
Двоичная система счисления
Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII - XIX вв.). Выдающийся математик Лейбниц говорил: "Вычисление с помощью двоек... является для науки основным и порождает новые открытия... При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок". Позже двоичная система была забыта, и только в 1936 - 1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем. Рассмотрим пример представления числа в двоичной системе счисления:
Пример 2.1.1. Переведём число 2000 в двоичную систему.
1. Делим 2000 на основание новой системы счисления - 2:
2000:2=1000(0 - остаток),
2. Собираем последнее частное от деления (всегда равно 1) и остатки от деления и записываем их по порядку, начиная снизу:
2000 10 ==11111010000 2
Для проверки переведём полученное число в десятичную систему счисления, для этого:
1. Выделим двоичные разряды числа, то есть, степени числа 2, начиная с 0-й:
2. Запишем сумму произведений 0 и 1 на соответствующую степень числа 2 (см. представление числа в р-ричной системе счисления):
0*2 0 +0*2 1 +0*2 2 +0*2 3 +l*2 4 +0*2 5 +l*2 6 +l*2 7 +l*2 8 +l*2 9 +l*210= 16+64+128+256+512+1024=2000
Существуют системы счисления, родственные двоичной. При работе с компьютерами иногда приходится иметь дело с двоичными числами, так как двоичные числа заложены в конструкцию компьютера. Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека - слишком длинные числа неудобно записывать и запоминать. На помощь приходят системы счисления, родственные двоичной - восьмеричная и шестнадцатеричная.
Например, в шестнадцатеричной системе для записи чисел предназначены 10 арабских цифр и буквы латинского алфавита {А, В, С, D, Е, F}. Чтобы записать число в этой системе счисления, удобно воспользоваться двоичным представлением числа. Возьмём для примера то же число - 2000 или 11111010000 в двоичной системе. Разобьём его на четвёрки знаков, двигаясь справа налево, в последней четвёрке слева припишем незначащий 0, чтобы количество знаков в триадах было по четыре: 0111 1101 0000. Начнём перевод - числу 0111 в двоичной системе соответствует число 7 в десятичной (7 10 =1*2 0 +1*2 1 +1*2 2), в шестнадцатеричной системе счисления цифра 7 есть; числу 1101 в двоичной системе соответствует число 13 в десятичной (13=1*2 0 + 0*2 1 + 1*2 2 + 1*2 3), в шестнадцатеричной системе этому числу соответствует цифра D, и, наконец, число 0000 - в любой системе счисления 0. Запишем теперь результат:
11111010000 2 = 7D0 16 .
ДВЕНАДЦАТИРИЧНАЯ И ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Хотя десятичная система счисления является наиболее широко применимой, это отнюдь не означает, что она самая лучшая. Широкое распространение во многом объясняется тем анатомическим обстоятельством, что у нас на руках и ногах по десять пальцев. Что же касается позиционного принципа и цифровых обозначений, то они с равным успехом могут быть приспособлены к системе счисления с любым основанием, независимо от того, равно ли оно 2, 10 или какому-нибудь другому целому положительному числу, кроме единицы. Например, подставив в полиномиальное представление 7x 2 + 6x 1 + 5x 0 + 4x –1 + 3x –2 вместо x значение 10, мы получим число 765,43 в нашей обычной десятичной системе. Но без малейшего ущерба для позиционного принципа обозначения целых чисел и дробей вместо x можно подставить и любое другое целое положительное число. Вместо числа 10 в качестве основания системы счисления чаще других предлагалось использовать числа 8 и 12. Системы, получающиеся при таких заменах, известны под названием восьмеричной и двенадцатеричной. В восьмеричной системе вместо переменной x в полиномиальном представлении следует подставить 8, и тогда число, равное в десятичной системе 765,43, в восьмеричной системе окажется равным (8 2) + 6(8 1) + 5(8 0) + 4(8 –1) + 3(8 –2), т.е. числу. В двенадцатеричной системе то же самое полиномиальное представление при x = 12 дает (12 2) + 6(12 1) + 5(12 0) + 4(12 –1) + 3(12 –2), или в наших обычных обозначениях. Что касается вычислений, то они во всех трех системах счисления, десятичной, восьмеричной и двенадцатиричной, производятся практически одинаково и с одной и той же легкостью. Различие в основном заключается в таблицах сложения и умножения, поскольку они изменяются от одной системы счисления к другой. Например, сумма семь плюс семь равна сумме восемь плюс шесть в восьмеричной системе, десять плюс четыре – в десятичной и двенадцать плюс два – в двенадцатиричной. Символически эти суммы и произведения можно записать следующим образом:Мы видим, что переход от десятичной системы к восьмеричной или двенадцатиричной действительно требует полного пересмотра таблиц сложения и умножения; это объясняет, почему предложения о переходе к этим системам счисления не получили широкого признания. Преимущества, которые сулит этот переход, сводятся на нет сопряженными с ним трудностями. Главные преимущества восьмеричной и двенадцатиричной систем счисления связаны с делимостью их оснований. Рассматривая только целые числа, меньшие половины основания (поскольку ни одно число не может быть делителем основания, если это число больше половины основания, но меньше его), нетрудно понять, что число 10 имеет два неделителя – числа 3 и 4, тогда как в восьмеричной системе единственный неделитель, меньший половины основания, есть число 3, а в двенадцатиричной системе единственный неделитель основания равен числу 5. Иначе говоря, преимущество числа 12 как основания системы счисления заключается в том, что оно имеет делителями числа 2, 3, 4 и 6, тогда как число 10 имеет делителями числа 2 и 5. Число 8 имеет делителями только числа 2 и 4, однако его основное преимущество перед другими в том, что непрерывное деление пополам неизменно приводит к «одноместному» дробному представлению в полиномиальной форме. Например, если 8 разделить на 2 10 , то результат окажется в точности равным (0,004) 8 , тогда как если 12 разделить на 2 10 , то получится (приближенно) (0,0183) 12 , а при делении на 2 10 числа 10 результат (также приближенный) будет равным (0,0097656) 10 .
Методический комментарий к уроку
Цели учителя: Показать учащимся методы интеграции знаний из различных источников, создать условия для продуктивной работы в группах.
Цели учащихся: Познакомиться с историей появления систем счисления, узнать принципы построения различных систем счисления и области их использования, получить необходимые навыки командной работы с различными источниками информации.
На уроке математике в 5-м классе во время выполнения задания, связанного с разложением по разрядам многозначных чисел, у учащихся возникли вопросы: “Почему мы считаем десятками? Почему нельзя считать по-другому? Есть ли другие способы счёта?”. Учителем было предложено найти ответы на данные вопросы путём поиска, анализа и обобщения информации по данной теме в течение недели, работая в малых группах, сформированных из учащихся класса по желанию. Результаты данной работы должны быть оформлены и представлены на уроке математике через неделю. По окончании урока класс разбился на следующие творческие группы:
- Системы счисления (общие понятия) – 5 человек
- Двоичная система – 7 человек (этот вопрос вызвал наибольший интерес)
- Шестидесятеричная система– 5 человек
- Десятичная система– 5 человек
- Другие системы счисления – 3 человека
- Перевод их одной системы в другую – 5 человек.
В результате поисковой деятельности учащихся получился следующий урок:
“Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир”
(И-В Гёте)
Группами учащихся были представлены результаты поисковой и аналитической работы.
I – Общие понятия
Системой счисления называется совокупность приёмов обозначения чисел – язык, алфавитом которого являются символы (цифры), а синтаксисом – правило, позволяющее сформулировать запись числа однозначно.
Число – это некоторая абстрактная сущность для описания количества
Цифра – это знак, используемый для записи чисел. Цифры бывают разные, самыми распространёнными являются арабские цифры; менее распространёнными римские цифры (можно увидеть на циферблате часов или в обозначении века)
Основание – количество цифр, используемых в системе счисления.
Примеры чисел в различных системах счисления:
11001 2 – число в двоичной системе счисления
221 3 – число в троичной системе счисления
31 8 – число в восьмеричной системе счисления
25 10 – число в десятичной системе счисления
В старых книгах по арифметике, кроме 4 арифметических действий, упоминается и пятое – нумерация. Нумерация (счисление) была одной из первых проблем, с которой столкнулись при построении арифметики.
Существует множество способов записи чисел с помощью цифр. Эти способы можно разделить на три группы:
- позиционные системы счисления
- смешанные системы счисления
- непозиционные системы счисления
Денежные знаки – пример смешанной системы счисления. Сейчас в России используются монеты и купюры следующих номиналов: 1коп., 5коп., 10коп., 50коп., 1руб., 2руб.,5руб., 10руб., 50руб., 100руб., 500руб., 1000руб., 5000руб. Чтобы получить некоторую сумму в рублях, надо использовать некоторое количество денежных знаков различного достоинства. Предположим, что мы покупаем пылесос, который стоит 6379 рублей. Чтобы заплатить за покупку потребуется 6 купюр по 1000 рублей, 3 купюры по 100 рублей, 1 пятидесятирублёвая купюра, две десятки, одна пятирублёвая и две монеты по 2 рубля. Если мы запишем количество купюр и монет, начиная с 100 рублей и заканчивая одной копейкой, заменяя нулями пропущенные номиналы, то мы получим число, представленное в смешанной системе счисления: в нашем случае – 603121200000.
В непозиционных системах счисления величина числа не зависит от положения цифр в записи числа. Если бы мы перемешали цифры в числе 603121200000, то мы бы не смогли понять, сколько стоит пылесос; в непозиционной системе цифры можно переставлять, при этом сумма не изменится. Примером непозиционной системы является римская система. Такие системы строятся по принципу аддитивности (англ. аdd. – сумма). Количественный эквивалент числа определяется как сумма цифр. Например:
В позиционных системах счисления всегда важен порядок расположения цифр в записи числа. (25 и 52 – разные числа)
Любая система счисления, предназначенная для практического использования, должна обеспечивать:
- возможность представления числа в заданном диапазоне чисел
- однозначность представления
- краткость и простоту записи
- лёгкость овладения системой, а так же простота и удобство оперирования ею
II – Двоичная система счисления
Двоичная система счисления – это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления натуральные числа записываются с помощью двух символов: 1 и 0. Цифра двоичной системы - бит. Восемь цифр – байт.
Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё в XVII-XIX веках. Выдающийся математик Лейбниц говорил: “Вычисление с помощью двоек…является для науки основным и порождает новые открытия… При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок”. Позже двоичная система была забыта, и только в 1936-1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательное применение двоичной системы при конструировании электронных схем.
Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой.
Преимущества двоичной системы:
- Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. Две цифры легко представлены физическими явлениями: есть ток – нет тока; индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет т.д.
- Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать
- Двоичная арифметика является довольно простой.
- Возможно применение аппарата логики для выполнения побитовых операций
Для преобразования из двоичной системы в десятичную используется таблица степеней числа 2.
III – Шестидесятеричная система счисления
В современное время шестидесятеричная система счисления используется для измерения времени, углов.
В представлении времени используются три позиции: часы, минуты, секунды, так как для каждой позиции приходится использовать 60 цифр, а у нас только 10, то для каждой шестидесятеричной позиции используются две десятичные цифры (00, 01, …), позиции разделяются двоеточием. h:m:s.
Рассмотрим действия в шестидесятеричной системе счисления на двух задачах:
- Пирог нужно печь в духовке 45 минут. Сколько секунд потребуется?
- Нужно испечь 10 пирогов. Сколько потребуется времени?
Чтобы производить вычисления в шестидесятеричной системе счисления нужно знать таблицы сложения и умножения шестидесятеричных чисел. Каждая таблица очень большая, она размером 60*60, мы то обычную таблицу умножения еле запомнили, а уж выучить шестидесятеричную таблицу нам будет ещё гораздо сложнее. Как же быть? Можно решать эти задачи в десятичной системе счисления, а потом результат перевести в шестидесятеричную.
45 минут=0*3600+45*60+0= 2700 секунд
2700*10=27000 секунд потребуется для выпечки 10 пирогов.
27000/60=450 (остаток 0)
450/60=7 (остаток 30)
7/60=0 (остаток 7) Получилось 07:30:00
IV – Десятичная система счисления
Представление чисел с помощью арабских цифр – самая распространённая позиционная система счисления, она называется “десятичной системой счисления”. Десятичной она называется потому, что использует десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Десятичная система счисления – наиболее известное достижение индийской математики (595год). Система с основанием 10 проникла по караванным путям из Индии во многие области Ближнего Востока. Постепенно эту систему всё шире стали применять в арабском мире, хотя одновременно в ходу оставались и другие системы. “Книга абака” Леонардо Пизанского (1202 год) была одним из источников для проникновения индийско-арабской системы нумерации в Западную Европу. Эта книга была грандиозным по тем временам трудом, в печатном виде она насчитывала 460 страниц. Её автор известен ещё и под именем Фибоначчи. Его книга представляла математическую энциклопедию своего времени. Десятичная система получила распространение и признание в Европе только в эпоху Возрождения.
V – Другие системы счисления
Шестнадцатеричная система счисления – используются следующие знаки для записи чисел: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, А, В, С,D, E, F.
Двоично-десятичная система счисления. В такой системе каждая десятичная цифра кодируется определённой комбинацией цифр двоичной системы. Обозначение каждой десятичной цифры называется тетрадой. Пример:
125 10 =000100100101 2-10 (3 тетрады)
0000=1 0100=4 1000=8
0001=1 0101=5 1001=9
Пятеричная система счисления – Первые математики умели считать лишь по пальцам одной руки, а если предметов было больше, то говорили так: “пять +один” и т.д. Иногда за основу принимали число 20 – число пальцев на руках и ногах. Из 307 систем счисления первобытных американских народов 146 были десятичными, 106 – пятеричными и десятичными. В более характерной форме система с основанием 20 существовала у майя в Мексике и у кельтов в Европе.
VI – Перевод из одной системы в другую
Связаны ли системы счисления между собой? Возможно, ли перевести число из одной системы в другую? Существует два основных правила перевода из одной системы в другую:
Перевод из любой другой в десятичную систему осуществляется по формулам:
11001 2 – 1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =1*16+1*8+0*4+0*2+ 1*1=25 10
221 3 -2*3 2 +2*3 1 +1*3 0 =2*9+2*3+1*1=25 10
31 8 – 3*8 1 +1*8 0 =3*8+1*1=25 10
25 10 – 2*10 1 +5*10 0 =2*10+5*1=25 10
Перевод числа из десятичной системы в систему с любым основанием осуществляется по алгоритму:
25 10 перевести в число в двоичной системе
25/2=12 (остаток 1)
12/2=6 (остаток 0)
6/2=3 (остаток 0)
3/2=1 (остаток 1)
1/2=0 (остаток 1) Получили число 11001 2
25 10 перевести в число в троичной системе
25/3=8 (остаток 1)
8/3=2 (остаток 2)
2/3=0 (остаток 2) Получили 221 3
25 10 перевести в число в восьмеричной системе
25/8=3 (остаток 1)
3/8=0 (остаток 3) Получили 31 8
После представления результатов работы творческих групп были оценены все системы счисления по указанным в начале критериям и все пришли к выводу, что в результате исторического развития математики самая удобная система (десятичная) стала самой распространённой. При этом были горячие сторонники двоичной системы, считавшие, что она очень важна для электроники.
Закончен урок был синквейном.
Система счисления – удобная, быстрая, помогает, считает, записывает
“Счёт и вычисления – основа порядка в голове” (И. Песталоцци)
Источники информации
- Д.Я. Стройк “Краткий очерк истории математики” (“Наука”, Москва, 1990 г.).
- Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова “За страницами учебника математики” (“Просвещение”, Москва, 2008).
- А.В. Дорофеева “Страницы истории на уроках математики” (“Просвещение”, Москва, 2007).
- Интернет – ресурсы “Википедия”.
