Коммивояжер метод ветвей и границ. Пример решения задачи коммивояжера методом ветвей и границ. Общий план решения задачи коммивояжера
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1 . Описание метода ветвей и границ
В основе метода ветвей и границ лежит идея последовательного разбиения множества допустимых решений на подмножества. На каждом шаге метода элементы разбиения подвергаются проверке для выяснения, содержит данное подмножество оптимальное решение или нет. Проверка осуществляется посредством вычисления оценки снизу для целевой функции на данном подмножестве. Если оценка снизу не меньше рекорда - наилучшего из найденных решений, то подмножество может быть отброшено. Проверяемое подмножество может быть отброшено еще и в том случае, когда в нем удается найти наилучшее решение. Если значение целевой функции на найденном решении меньше рекорда, то происходит смена рекорда. По окончанию работы алгоритма рекорд является результатом его работы.
Если удается отбросить все элементы разбиения, то рекорд - оптимальное решение задачи. В противном случае, из неотброшенных подмножеств выбирается наиболее перспективное (например, с наименьшим значением нижней оценки), и оно подвергается разбиению. Новые подмножества вновь подвергаются проверке и т.д.
При применении метода ветвей и границ к каждой конкретной задаче в первую очередь должны быть определены две важнейшие его процедуры: 1) ветвления множества возможных решений; 2) вычисления нижних и верхних оценок целевой функции.
1 . 1 Правила ветвления
В зависимости от особенностей задачи для организации ветвления обычно используется один из двух способов:
1. ветвление множества допустимых решений исходной задачи D;
2. ветвление множества D" получаемого из D путем снятия условия целочисленноти на переменные.
Первый способ ветвления обычно применяется для задач целочисленного программирования и заключается в выделении подобластей возможных решений путем фиксации значений отдельных компонент целочисленных оптимизационных переменных (рис. 1). На рис. 1-а дана геометрическая интерпретация области допустимых решений задачи целочисленного программирования, определяемой двумя линейными ограничениями и условиями неотрицательности переменных, и образующихся при ветвлении подобластей, а на рис. 1-б показана соответствующая схема ветвления.
Второй способ ветвления - более универсальный, чем первый. Для осуществления ветвления некоторой области D i " этим способом на D i " решается оптимизационная задача с целевой функцией исходной задачи и действительными переменными.
Ветвление осуществляется, если в оптимальном решении значение хотя бы одной целочисленной по исходной постановке задача переменной не является целочисленным. Среди этих переменных выбирается одна, например j - я. Обозначим ее значение в найденном оптимальном решении x 0 [j]. Говорят, что ветвление осуществляется по переменной x[j]. Область D i " разделяется на две подобласти D i1 " и D i2 " следующим образом:
где ] - целая часть значения x 0 [j]
На рис. 2 условно дана геометрическая интерпретация такого ветвления.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 2. Геометрическая интерпретация ветвления
Видно, что при этом из области D i " удаляется часть между плоскостями вновь введенных ограничений. Так как переменная x[j] по условиям области допустимых решений исходной задачи - целочисленная, то из подобласти допустимых решений исходной задачи. D i (D i D i ") при таком изъятии не исключается ни одного решения.
1 . 2 Формирование нижних и верхних оценок целевой функции
Прежде чем начать обсуждение данного вопроса, необходимо сказать, что общепринятым является применение метода ветвей и границ для задачи, в которой направление оптимизации приведено к виду минимизации. Для компактности дальнейших обозначений и выкладок запишем задачу дискретного программирования, для которой будем применять метод ветвей и границ, в следующей обобщенной форме:
где х - вектор оптимизационных переменных, среди которых часть действительных, а часть целочисленных; f(x) - в общем случае нелинейная целевая функция; D - область допустимых решений задачи дискретного программирования общего вида.
Нижние оценки целевой дикции в зависимости от выбранного способа ветвления могут определяться либо для подобластей D i D либо для подобластей D i " D" (D i " и D" получены из соответствующих множеств D i и D путем снятия условий целочисленности на дискретные переменные).
Нижней оценкой целевой функции f(x) на множестве D i (или D i ") будем называть величину:
Вычисление нижних оценок в каждом конкретном случае может осуществляться с учетом особенностей решаемой задачи. При этом чтобы оценки наиболее эффективно, выполняли свою функцию, они должны быть как можно большими, т.е. быть как можно ближе к действительным значениям min f(x). Это необходимо в первую очередь для того, чтобы нижние оценки как можно точнее отражали действительное соотношение min f(x) на образовавшихся при ветвлении подмножествах и позволяли более точно определять направление дальнейшего поиска оптимального решения исходной задачи.
На рис. 3 показан такой идеальный случай, когда нижние оценки (соединены ломаной штрихпунктирной линией) правильно отражают соотношения между действительными минимальными значениями f(x) (соединены штриховой линией) для четырех подмножеств допустимых решений D 1 , D 2 , D 3 , D 4 .
Один из универсальных способов вычисления нижних оценок заключается в решении следующей задачи:
Определенная таким образом о i является нижней оценкой f(x) на D i (или D i "), так как D i D i ".
Если при решении задачи (4) установлено, что, то для общности будем полагать, что.
Необходимо отметить одно важное свойство нижних оценок, заключающееся в том, что их значения для образовавшихся при ветвлении подмножеств не могут быть меньше нижней оценки целевой функции на множестве, подвергавшемся ветвлению.
Совместно с нижней оценкой в методе ветвей и границ используются верхние оценки f(x). Как правило, вычисляют лишь одно значение верхней оценки, которую определяют как значение целевой функции для лучшего найденного допустимого решения исходной задачи. Такую верхнюю оценку иногда называют рекордом. Если же можно для решаемой задачи достаточно просто и точно получить верхние оценки f(x) для отдельных множеств, образующихся при ветвлении, то их необходимо использовать в методе для уменьшения вычислительной сложности процесса решения. При использовании единой верхней оценки ее первоначальное значение обычно полагают равным бесконечности (), если, конечно, из априорных соображений не известно ни одного допустимого решения исходной задачи. При нахождении первого допустимого решения:
Затем при определении более лучшего допустимого решения верхнюю оценку корректируют:
Таким образом, значение верхней оценки может лишь уменьшаться в процессе решения задачи.
1 .3 Алгоритм метода ветвей и границ
Основные правила алгоритма могут быть сформулированы следующим образом:
1. Ветвлению в первую очередь подвергается подмножество с номером, которому соответствует наименьшее значение нижней оценки целевой функции (I - это множество номеров всех подмножеств, (или), находящихся на концах ветвей и ветвление которых еще не прекращено). Если реализуется изложенный выше способ ветвления множеств, то может возникнуть неоднозначность относительно выбора компоненты, по которой необходимо осуществлять очередной шаг ветвления. К сожалению, вопрос о «наилучшем» способе такого выбора с общих позиций пока не решен, и поэтому в конкретных задачах используются некоторые эвристические правила.
2. Если для некоторого i-го подмножества выполняется условие, то ветвление его необходимо прекратить, так как потенциальные возможности нахождения хорошего решения в этом подмножестве (их характеризует) оказываются хуже, чем значение целевой функции для реального, найденного к данному моменту времени, допустимого решения исходной задачи (оно характеризует).
3. Ветвление подмножества прекращается, если найденное в задаче (4) оптимальное решение. Обосновывается это тем, что, и, следовательно, лучшего допустимого решения, чем в этом подмножестве не существует. В этом случае рассматривается возможность корректировки.
4. Если, где, то выполняются условия оптимальности для найденного к этому моменту лучшего допустимого решения. Обоснование такое же, как и пункта 2 настоящих правил.
5. После нахождения хотя бы одного допустимого решения исходной задачи может быть рассмотрена возможность остановки работы алгоритма с оценкой близости лучшего из полученных допустимых решений к оптимальному (по значению целевой функции):
1 .4 Решение задачи методом ветвей и границ
Первоначально находим симплексным методом или методом искусственного базиса оптимальный план задачи без учета целочисленности переменных.
Если среди компонент этого плана нет дробных чисел, то тем самым найдено искомое решение данной задачи.
Если среди компонент плана имеются дробные числа, то необходимо осуществить переход к новым планам, пока не будет найдено решение задачи.
Метод ветвей и границ основан на предположении, что наш оптимальный нецелочисленный план дает значение функции, большее, чем всякий последующий план перехода.
Пусть переменная в плане - дробное число. Тогда в оптимальном плане ее значение будет по крайней мере либо меньше или равно ближайшему меньшему целому числу, либо больше или равно ближайшему большему целому числу.
Определяя эти числа, находим симплексным методом решение двух задач линейного программирования
Возможны четыре случая при решении этой пары задач:
Одна из задач неразрешима, а другая имеет целочисленный оптимальный план. Тогда этот план и значение целевой функции дают решение исходной задачи.
Одна из задач неразрешима, а другая имеет нецелочисленный оптимальный план. Тогда рассматриваем вторую задачу и в ее оптимальном плане выбираем одну из компонент, значение которой равно дробному числу и строим две задачи, аналогичные предыдущим.
Обе задачи разрешимы. Одна из задач имеет оптимальный целочисленный план, а в оптимальном плане другой задачи есть дробные числа. Тогда вычисляем значения целевой функции от планов и сравниваем их между собой. Если на целочисленном оптимальном плане значение целевой функции больше или равно ее значению на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то данный целочисленный план является оптимальным для исходной задачи и дает искомое решение.
Обе задачи разрешимы, и среди оптимальных планов обеих задач есть дробные числа. Тогда рассматриваем ту из задач, для которой значение целевой функции является наибольшим. И строим две задачи.
Таким образом, при решении задачи получаем схему:
Находим решение задачи линейного программирования без учета целочисленности.
Составляет дополнительные ограничения на дробную компоненту плана.
Находим решение двух задач с ограничениями на компоненту.
Строим в случае необходимости дополнительные ограничения, согласно возможным четырем случаям получаем оптимальный целочисленный план либо устанавливаем неразрешимость задачи.
Найдем решение задачи
Решение. Находим решение без учет целочисленности задачи симплексным методом.
Рассмотрим следующую пару задач:
Первая задача имеет оптимальный план
вторая - неразрешима.
Проверяем на целочисленность план первой задачи. Это условие не выполняется, поэтому строим следующие задачи:
Задача 1.1
Задача 1.2
Задача 1.2 неразрешима, а задача №1.1 имеет оптимальный план, на котором значение целевой функции.
В результате получили, что исходная задача целочисленного программирования имеет оптимальный план и.
2. Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ
Рассмотрим теперь класс прикладных задач оптимизации. Метод ветвей и границ используется в очень многих из них. Предлагается рассмотреть одну из самых популярных задач - задача коммивояжера. Вот ее формулировка. Имеется несколько городов, соединенных некоторым образом дорогами с известной длиной; требуется установить, имеется ли путь, двигаясь по которому можно побывать в каждом городе только один раз и при этом вернуться в город, откуда путь был начат («обход коммивояжера»), и, если таковой путь имеется, установить кратчайший из таких путей.
2.1 Постановка задачи
Формализуем условие в терминах теории графов. Города будут вершинами графа, а дороги между городами - ориентированными (направленными) ребрами графа, на каждом из которых задана весовая функция: вес ребра - это длина соответствующей дороги. Путь, который требуется найти, это - ориентированный остовный простой цикл минимального веса в орграфе (напомним: цикл называется остовным, если он проходит по всем вершинам графа; цикл называется простым, если он проходит по каждой своей вершине только один раз; цикл называется ориентированным, если начало каждого последующего ребра совпадает с концом предыдущего; вес цикла - это сумма весов его ребер; наконец, орграф называется полным, если в нем имеются все возможные ребра); такие циклы называются также гамильтоновыми.
Очевидно, в полном орграфе циклы указанного выше типа есть. Заметим, что вопрос о наличии в орграфе гамильтонова цикла достаточно рассмотреть как частный случай задачи о коммивояжере для полных орграфов. Действительно, если данный орграф не является полным, то его можно дополнить до полного недостающими ребрами и каждому из добавленных ребер приписать вес Ґ, считая, что Ґ - это «компьютерная бесконечность», т.е. максимальное из всех возможных в рассмотрениях чисел. Если во вновь построенном полном орграфе найти теперь легчайший гамильтонов цикл, то при наличии у него ребер с весом Ґ можно будет говорить, что в данном, исходном графе «цикла коммивояжера» нет. Если же в полном орграфе легчайший гамильтонов цикл окажется конечным по весу, то он и будет искомым циклом в исходном графе.
Отсюда следует, что задачу о коммивояжере достаточно решить для полных орграфов с весовой функцией. Сформулируем теперь это в окончательном виде:
пусть - полный ориентированный граф и - весовая функция; найти простой остовный ориентированный цикл («цикл коммивояжера») минимального веса.
Пусть конкретный состав множества вершин и - весовая матрица данного орграфа, т.е. , причем для любого.
Рассмотрение метода ветвей и границ для решения задачи о коммивояжере удобнее всего проводить на фоне конкретного примера. Пользуясь введенными здесь обозначениями, мы проводим это описание в следующей лекции.
Введем некоторые термины. Пусть имеется некоторая числовая матрица. Привести строку этой матрицы означает выделить в строке минимальный элемент (его называют константой приведения) и вычесть его из всех элементов этой строки. Очевидно, в результате в этой строке на месте минимального элемента окажется ноль, а все остальные элементы будут неотрицательными. Аналогичный смысл имеют слова привести столбец матрицы.
Слова привести матрицу по строкам означают, что все строки матрицы приводятся. Аналогичный смысл имеют слова привести матрицу по столбцам.
Наконец, слова привести матрицу означают, что матрица сначала приводится по строкам, а потом приводится по столбцам.
Весом элемента матрицы называют сумму констант приведения матрицы, которая получается из данной матрицы заменой обсуждаемого элемента на Ґ. Следовательно, слова самый тяжелый нуль в матрице означают, что в матрице подсчитан вес каждого нуля, а затем фиксирован нуль с максимальным весом.
Приступим теперь к описанию метода ветвей и границ для решения задачи о коммивояжере.
Первый шаг. Фиксируем множество всех обходов коммивояжера (т.е. всех простых ориентированных остовных циклов). Поскольку граф - полный, это множество заведомо не пусто. Сопоставим ему число, которое будет играть роль значения на этом множестве оценочной функции: это число равно сумме констант приведения данной матрицы весов ребер графа. Если множество всех обходов коммивояжера обозначить через G, то сумму констант приведения матрицы весов обозначим через j(G). Приведенную матрицу весов данного графа следует запомнить; обозначим ее через M 1 ; таким образом, итог первого шага:
множеству G всех обходов коммивояжера сопоставлено чис-ло j(G) и матрица M 1 .
Второй шаг. Выберем в матрице M 1 самый тяжелый нуль; пусть он стоит в клетке; фиксируем ребро графа и разделим множество G на две части: на часть, состоящую из обходов, которые проходят через ребро, и на часть, состоящую из обходов, которые не проходят через ребро.
Сопоставим множеству следующую матрицу M 1,1: в матрице M 1 заменим на Ґ число в клетке. Затем в полученной матрице вычеркнем строку номер i и столбец номер j, причем у оставшихся строк и столбцов сохраним их исходные номера. Наконец, приведем эту последнюю матрицу и запомним сумму констант приведения. Полученная приведенная матрица и будет матрицей M 1,1 ; только что запомненную сумму констант приведения прибавим к j(G) и результат, обозначаемый в дальнейшем через j(), сопоставим множеству.
Теперь множеству тоже сопоставим некую матрицу M 1,2 . Для этого в матрице M 1 заменим на Ґ число в клетке и полученную в результате матрицу приведем. Сумму констант приведения запомним, а полученную матрицу обозначим через M 1,2 . Прибавим запомненную сумму констант приведения к числу j(G) и полученное число, обозначаемое в дальнейшем через j(), сопоставим множеству.
Теперь выберем между множествами и то, на котором минимальна функция j (т.е. то из множеств, которому соответствует меньшее из чисел j() и j()).
Заметим теперь, что в проведенных рассуждениях использовался в качестве исходного только один фактический объект - приведенная матрица весов данного орграфа. По ней было выделено определенное ребро графа и были построены новые матрицы, к которым, конечно, можно все то же самое применить.
При каждом таком повторном применении будет фиксироваться очередное ребро графа. Условимся о следующем действии: перед тем, как в очередной матрице вычеркнуть строку и столбец, в ней надо заменить на Ґ числа во всех тех клетках, которые соответствуют ребрам, заведомо не принадлежащим тем гамильтоновым циклам, которые проходят через уже отобранные ранее ребра.
К выбранному множеству с сопоставленными ему матрицей и числом j повторим все то же самое и так далее, пока это возможно.
Доказывается, что в результате получится множество, состоящее из единственного обхода коммивояжера, вес которого равен очередному значению функции j; таким образом, оказываются выполненными все условия, обсуждавшиеся при описании метода ветвей и границ.
После этого осуществляется улучшение рекорда вплоть до получения окончательного ответа.
2.2 Условие задачи
Студенту Иванову поручили разнести некоторые важные документы из 12-ого корпуса. Но, как назло, у него на это очень мало времени, да и еще надо вернуться обратно. Нужно найти кротчайший путь. Расстояния между объектами даны в таблице
2.3 Математическая модель задачи
Для решения задачи присвоим каждому пункту маршрута определенный номер: 12-ый корпус - 1, Белый дом - 2, КРК «Премьер» - 3, Администрация - 4 и 5-ый корпус - 5. Соответственно общее количество пунктов. Далее введем альтернативных переменных, принимающих значение 0, если переход из i-того пункта в j-тый не входит в маршрут и 1 в противном случае. Условия прибытия в каждый пункт и выхода из каждого пункта только по одному разу выражаются равенствами (8) и (9).
Для обеспечения непрерывности маршрута вводятся дополнительно n переменных и дополнительных ограничений (10).
Суммарная протяженность маршрута F , которую необходимо минимизировать, запишется в следующем виде:
В нашем случае эти условия запишутся в следующем виде:
2.4 Решение задачи методом ветвей и границ
1) Анализ множества D.
Найдем оценку снизу Н . Для этого определяем матрицу минимальных расстояний по строкам (1 где расстояние минимально в строке).
Аналогично определяем матрицу минимальных расстояний по столбцам.
Выберем начальный план: . Тогда верхняя оценка:
Очевидно, что, где означает переход из первого пункта в j-тый. Рассмотрим эти подмножества по порядку.
2) Анализ подмножества D 12 .
3) Анализ подмножества D 13 .
4) Анализ подмножества D 14 .
5) Анализ подмножества D 15 .
6) Отсев неперспективных подмножеств.
Подмножества D 13 и D 15 неперспективные. Т.к. , но, то далее будем рассматривать подмножество D 14 .
7) Анализ подмножества D 142 .
8) Анализ подмножества D 143 .
9) Анализ подмножества D 145 .
10) Отсев неперспективных подмножеств
Подмножество D 143 неперспективное. Т.к. , но, то далее будем рассматривать подмножество D 145 .
11) Анализ подмножества D 1452 .
ветвь граница целевой алгоритм
12) Анализ подмножества D 1453 .
Оптимальное решение: .
Таким образом, маршрут студента: 12-ый корпус - Администрация - 5-ый корпус - Белый дом - КРК Премьер - 12-ый корпус.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Список использованной литературы
1. Абрамов Л.А., Капустин В.Ф. Математическое программирование. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1981. -328 с.
2. Алексеев О.Г. Комплексное применение методов дискретной оптимизации. - М.: Наука, 1987. -294 с.
3. Корбут А.А., Финкелгейн Ю.Ю. Дискретное программирование. М.: Наука. 1969. -240 с
4. Кузнецов Ю.Н. и др. Математическое программирование: Учебное пособие. - 2-е изд., перераб и доп. - М.: Высшая школа, 1980. -300 с.
5. Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. - М.: Мир, 1985. -213 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Постановка и решение дискретных оптимизационных задач методом дискретного программирования и методом ветвей и границ на примере классической задачи коммивояжера. Этапы построения алгоритма ветвей и границ и его эффективность, построение дерева графов.
курсовая работа , добавлен 08.11.2009
Постановка задачи о коммивояжере. Нахождение оптимального решения с применением метода ветвей и границ. Основной принцип этого метода, порядок его применения. Использование метода верхних оценок в процедуре построения дерева возможных вариантов.
курсовая работа , добавлен 01.10.2009
Особенности метода ветвей и границ как одного из распространенных методов решения целочисленных задач. Декомпозиция задачи линейного программирования в алгоритме метода ветвей и границ. Графический, симплекс-метод решения задач линейного программирования.
курсовая работа , добавлен 05.03.2012
Моделирование передвижения муравьев. Метод ветвей и границ, ближайшего соседа. Ограничения, накладываемые на агента в стандартной постановке задачи коммивояжера. Использование графа видимости в алгоритме муравья. Структура данных алгоритма муравья.
дипломная работа , добавлен 07.02.2013
Методы ветвей и границ первого и второго порядка. Оптимальный и пассивный поиск. Недостатки метода Ньютона. Метод золотого сечения. Примеры унимодальных функций. Динамическое и линейное программирование. Метод Жордана-Гаусса. Решение задачи коммивояжера.
курсовая работа , добавлен 20.07.2012
Сущность теории графов и сетевого моделирования. Выбор оптимального пути и стоимости переезда коммивояжера с помощью метода ветвей и границ. Разработка программы выбора самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу.
курсовая работа , добавлен 08.08.2013
Оптимизация решения задачи с помощью алгоритма отжига. Анализ теории оптимизации как целевой функции. Метод градиентного спуска. Переменные и описание алгоритма отжига. Представление задачи коммивояжера через граф. Сведение задачи к переменным и решение.
курсовая работа , добавлен 21.05.2015
Постановка линейной целочисленной задачи. Метод отсекающих плоскостей. Дробный алгоритм решения полностью целочисленных задач. Эффективность отсечения Гомори. Сравнение вычислительных возможностей метода отсекающих плоскостей и метода ветвей и границ.
курсовая работа , добавлен 25.11.2011
Задача о ранце как задача комбинаторной оптимизации. Задача о загрузке, рюкзаке, ранце. Постановка и NP-полнота задачи. Классификация методов решения задачи о рюкзаке. Динамическое программирование. Метод ветвей и границ. Сравнительный анализ методов.
курсовая работа , добавлен 18.01.2011
Поиск верхних и нижних границ для оптимального значения на подобласти допустимых решений. Методы и проблемы решения задач нелинейного программирования. Написание и отладка программы. Создание программы для решения задачи "коммивояжёра" прямым алгоритмом.
Здравствуй! Реализовывая различные алгоритмы для нахождения гамильтонова цикла с наименьшей стоимостью, я наткнулся на публикацию, предлагающую свой вариант. Попробовав в деле, я получил неправильный ответ:
Дальнейшие поиски в Интернете не принесли ожидаемого результата: либо сложное для не-математиков теоретическое описание, либо понятное, но с ошибками.
Под катом вас будет ждать исправленный алгоритм и онлайн-калькулятор.
Сам метод, опубликованный Литтлом, Мерти, Суини, Кэрелом в 1963 г. применим ко многим NP-полным задачам, и представляет собой очень теоритеризованный материал, который без хороших знаний английского языка и математики сразу не применишь к нашей задаче коммивояжера.
Кратко о методе - это полный перебор всех возможных вариантов с отсеиванием явно неоптимальных решений.
Исправленный алгоритм, для нахождения действительно минимального маршрута
Алгоритм состоит из двух этапов:
Первый этап
Приведение матрицы затрат и вычисление нижней оценки стоимости маршрута r.
1. Вычисляем наименьший элемент в каждой строке (константа приведения для строки)
2. Переходим к новой матрице затрат, вычитая из каждой строки ее константу приведения
3. Вычисляем наименьший элемент в каждом столбце (константа приведения для столбца)
4. Переходим к новой матрице затрат, вычитая из каждого столбца его константу приведения.
Как результат имеем матрицу затрат, в которой в каждой строчке и в каждом столбце имеется хотя бы один нулевой элемент.
5. Вычисляем границу на данном этапе как сумму констант приведения для столбцов и строк (данная граница будет являться стоимостью, меньше которой невозможно построить искомый маршрут)
Второй (основной) этап
1.Вычисление штрафа за неиспользование для каждого нулевого элемента приведенной матрицы затрат.
Штраф за неиспользование элемента с индексом (h,k) в матрице, означает, что это ребро не включается в наш маршрут, а значит минимальная стоимость «неиспользования» этого ребра равна сумме минимальных элементов в строке h и столбце k.
а) Ищем все нулевые элементы в приведенной матрице
б) Для каждого из них считаем его штраф за неиспользование.
в) Выбираем элементы, которым соответствует максимальный штраф
2. Теперь наше множество S разбиваем на множества - содержащие ребро с максимальным штрафом(S w i) и не содержащие эти ребра(S w i /o).
3. Вычисление оценок затрат для маршрутов, входящих в каждое из этих множеств.
а) Для множеств S w i /o все просто: раз мы не берем соответствующее ребро c максимальным штрафом(h i ,k i), то для него оценка затрат равна оценки затрат множества S + штраф за неиспользование ребра (h i ,k i)
б) При вычислении затрат для множества S w i примем во внимание, что раз ребро (h i i,k i) входит в маршрут, то значит ребро (k i ,h i) в маршрут входить не может, поэтому в матрице затрат пишем c(k i ,h i)=infinity, а так как из пункта h i мы «уже ушли», а в пункт k i мы «уже пришли», то ни одно ребро, выходящее из h i , и ни одно ребро, приходящее в k i , уже использоваться не могут, поэтому вычеркиваем из матрицы затрат строку h i и столбец k i . После этого приводим матрицу, и тогда оценка затрат для S w равна сумме оценки затрат для S и r(h i ,k i), где r(h i ,k i) - сумма констант приведения для измененной матрицы затрат.
4. Из всех неразбитых множеств выбирается то, которое имеет наименьшую оценку.
Так продолжаем, пока в матрице затрат не останется одна не вычеркнутая строка и один не вычеркнутый столбец.
Небольшая оптимизация - подключаем эвристику
Да, правда, почему бы нам не ввести эвристику? Ведь в алгоритме ветвей и границ мы фактически строим дерево, в узлах которого решаем брать ребро (h i ,k i) или нет, и вешаем двух и более детей - Sw(h i ,k i) и Sw/o(h i ,k i). Но лучший вариант для следующей итерации выбираем только по оценке. Так давайте выбирать лучший не только по оценке, но и по глубине в дереве, т.к. чем глубже выбранный элемент, тем ближе он к концу подсчета. Тем самым мы сможем наконец дождаться ответа.
Теперь, собственно, об ошибках в той публикации
Причина у этих ошибок одна - игнорирование возможности появления нескольких нулевых элементов с максимальным штрафом. В таком случае надо делить не на два подмножества, а на большее количество (2n). А также следует выбирать для разбиения множество с минимальной границей из всех возможных путей, а не из двух полученных в результате последнего разбиения детей.
Доказательство
Вернемся к картинке в начале поста:
А вот решение с исправленным алгоритмом.
Одна из самых известных и важных задач транспортной логистики (и класса задач оптимизации в целом) – задача коммивояжера (англ. «Travelling salesman problem», TSP ). Также встречается название «задача о бродячем торговце ». Суть задачи сводится к поиску оптимального, то есть кратчайшего пути проходящего через некие пункты по одному разу. Например, задача коммивояжера может применяться для нахождения самого выгодного маршрута, позволяющего объехать определенные города со своим товаром по одному разу и вернуться в исходную точку. Мерой выгодности маршрута будет минимальное время, проведенное в пути, минимальные расходы на дорогу или, в простейшем случае, минимальная длина пути.
Кто и когда впервые начал исследовать задачу коммивояжера неизвестно, но одним из первых предложил решение подобной проблемы выдающийся математик XIX в. – Уильям Гамильтон. Здесь мы рассмотрим замкнутый вариант задачи (т.е. такой, когда в итоге мы возвращаемся в исходную точку) и ее решение методом ветвей и границ .
Общий план решения задачи коммивояжера
Для решения задачи коммивояжера методом ветвей и границ необходимо выполнить следующий алгоритм (последовательность действий):
- Построение матрицы с исходными данными.
- Нахождение минимума по строкам.
- Редукция строк.
- Нахождение минимума по столбцам.
- Редукция столбцов.
- Вычисление оценок нулевых клеток.
- Редукция матрицы.
- Если полный путь еще не найден, переходим к пункту 2, если найден к пункту 9.
- Вычисление итоговой длины пути и построение маршрута.
Более подробно эти этапы решения задачи о бродячем торговце раскрыты ниже.
Подробная методика решения задачи коммивояжера
В целях лучшего понимания задачи будем оперировать не понятиями графа, его вершин и т.д., а понятиями простыми и максимально приближенными к реальности: вершины графа будут называться «города», ребра их соединяющие – «дороги».
Итак, методика решения задачи коммивояжера:
1. Построение матрицы с исходными данными
Сначала необходимо длины дорог соединяющих города представить в виде следующей таблицы:
В нашем примере у нас 4 города и в таблице указано расстояние от каждого города к 3-м другим, в зависимости от направления движения (т.к. некоторые ж/д пути могут быть с односторонним движением и т.д.).
Расстояние от города к этому же городу обозначено буквой M. Также используется знак бесконечности. Это сделано для того, чтобы данный отрезок путь был условно принят за бесконечно длинный. Тогда не будет смысла выбрать движение от 1-ого города к 1-му, от 2-ого ко 2-му, и т.п. в качестве отрезка маршрута.
2. Нахождение минимума по строкам
Находим минимальное значение в каждой строке (di ) и выписываем его в отдельный столбец.
3. Редукция строк
Производим редукцию строк – из каждого элемента в строке вычитаем соответствующее значение найденного минимума (di).
В итоге в каждой строке будет хотя бы одна нулевая клетка .
4. Нахождение минимума по столбцам
5. Редукция столбцов
Вычитаем из каждого элемента матрицы соответствующее ему dj.
В итоге в каждом столбце будет хотя бы одна нулевая клетка .
6. Вычисление оценок нулевых клеток
Для каждой нулевой клетки получившейся преобразованной матрицы находим «оценку ». Ею будет сумма минимального элемента по строке и минимального элемента по столбцу, в которых размещена данная нулевая клетка. Сама она при этом не учитывается. Найденные ранее di и dj не учитываются. Полученную оценку записываем рядом с нулем, в скобках.
И так по всем нулевым клеткам:
7. Редукция матрицы
Выбираем нулевую клетку с наибольшей оценкой. Заменяем ее на «М ». Мы нашли один из отрезков пути. Выписываем его (от какого города к какому движемся, в нашем примере от 4-ого к 2-му).
Ту строку и тот столбец, где образовалось две «М» полностью вычеркиваем. В клетку, соответствующую обратному пути , ставим еще одну букву «М» (т.к. мы уже не будем возвращаться обратно).
8. Если полный путь еще не найден, переходим к пункту 2, если найден к пункту 9
Если мы еще не нашли все отрезки пути, то возвращаемся ко 2 -му пункту и вновь ищем минимумы по строкам и столбцам, проводим их редукцию, считаем оценки нулевых клеток и т.д.
Если все отрезки пути найдены (или найдены еще не все отрезки, но оставшаяся часть пути очевидна) – переходим к пункту 9 .
9. Вычисление итоговой длины пути и построение маршрута
Найдя все отрезки пути, остается только соединить их между собой и рассчитать общую длину пути (стоимость поездки по этому маршруту, затраченное время и т.д.). Длины дорог соединяющих города берем из самой первой таблицы с исходными данными.
В нашем примере маршрут получился следующий: 4 → 2 → 3 → 1 → 4 .
Общая длина пути: L = 30 .
Практическое применение задачи коммивояжера
Применение задачи коммивояжера на практике довольно обширно. В частности ее можно использовать для поиска кратчайшего маршрута при гастролях эстрадной группы по городам, нахождения последовательности технологических операций обеспечивающей наименьшее время выполнения всего производственного цикла и пр.
Решение задачи коммивояжера онлайн
Галяутдинов Р.Р.
© Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на
Определения
называется непустое конечное множество, состоящее из двух подмножеств и . Первое подмножество
(вершины) состоит из любого множества элементов. Второе подмножество (дуги) состоит из упорядоченных пар элементов первого подмножества 
. Если вершины и такие, что , то это вершины смежные.
Маршрутом в графе
называется последовательность вершин не обязательно попарно различных, где для любого
смежно с . Маршрут называется цепью, если все его ребра попарно различны. Если то маршрут называется замкнутым. Замкнутая цепь называется циклом.
Постановка задачи
Коммивояжер должен объездить n городов. Для того чтобы сократить расходы, он хочет построить такой маршрут, чтобы объездить все города точно по одному разу и вернуться в исходный с минимумом затрат.
В терминах теории графов задачу можно сформулировать следующим образом. Задано n вершин и матрица {c ij }, где c ij ≥0 – длинна (или цена) дуги (i , j ),
. Под маршрутом коммивояжера z будем понимать цикл i 1 , i 2 ,…, i n , i 1 точек 1,2,…, n. Таким образом, маршрут является набором дуг. Если между городами i и j нет перехода, то в матрице ставится символ «бесконечность». Он обязательно ставится по диагонали, что означает запрет на возвращение в точку, через которую уже проходил маршрут коммивояжера , длина маршрута l (z ) равна сумме длин дуг, входящих в маршрут. Пусть Z – множество всех возможных маршрутов. Начальная вершина i 1 – фиксирована. Требуется найти маршрут z 0 ÎZ , такой, что l (z 0)= minl (z ), z ÎZ .Решение задачи
Основная идея метода ветвей и границ состоит в том, что вначале строят нижнюю границу φ длин множества маршрутов Z. Затем множество маршрутов разбивается на два подмножества таким образом, чтобы первое подмножество
состояло из маршрутов, содержащих некоторую дугу (i, j), а другое подмножество не содержало этой дуги. Для каждого из подмножеств определяются нижние границы по тому же правилу, что и для первоначального множества маршрутов. Полученные нижние границы подмножеств и оказываются не меньше нижней границы множества всех маршрутов, т.е. φ(Z)≤ φ (), φ(Z) ≤ φ ().Сравнивая нижние границы φ (
) и φ (), можно выделить то, подмножество маршрутов, которое с большей вероятностью содержит маршрут минимальной длины.Затем одно из подмножеств
или по аналогичному правилу разбивается на два новых и . Для них снова отыскиваются нижние границы φ (), и φ () и т.д. Процесс ветвления продолжается до тех пор, пока не отыщется единственный маршрут. Его называют первым рекордом. Затем просматривают оборванные ветви. Если их нижние границы больше длины первого рекорда, то задача решена. Если же есть такие, для которых нижние границы меньше, чем длина первого рекорда, то подмножество с наименьшей нижней границей подвергается дальнейшему ветвлению, пока не убеждаются, что оно не содержит лучшего маршрута .Если же такой найдется, то анализ оборванных ветвей продолжается относительно нового значения длины маршрута. Его называют вторым рекордом. Процесс решения заканчивается, когда будут проанализированы все подмножества.
Для практической реализации метода ветвей и границ применительно к задаче коммивояжера укажем прием определения нижних границ подмножеств и разбиения множества маршрутов на подмножества (ветвление).
Для того чтобы найти нижнюю границу воспользуемся следующим соображением: если к элементам любого ряда матрицы задачи коммивояжера (строке или столбцу) прибавить или вычесть из них некоторое число, то от этого оптимальность плана не изменится. Длина же любого маршрутом коммивояжера изменится на данную величину.
Вычтем из каждой строки число, равное минимальному элементу этой строки. Вычтем из каждого столбца число, равное минимальному элементу этого столбца. Полученная матрица называется приведенной по строкам и столбцам. Сумма всех вычтенных чисел называется константой приведения.
Константу приведения следует выбирать в качестве нижней границы длины маршрутов.
Разбиение множества маршрутов на подмножества
Для выделения претендентов на включение во множество дуг, по которым производится ветвление, рассмотрим в приведенной матрице все элементы, равные нулю. Найдем степени Θ ij нулевых элементов этой матрицы. Степень нулевого элемента Θ ij равна сумме минимального элемента в строке i и минимального элемента в столбце j (при выборе этих минимумов c ij – не учитывается). С наибольшей вероятностью искомому маршруту принадлежат дуги с максимальной степенью нуля.
Для получения платежной матрицы маршрутов, включающей дугу (i , j ) вычеркиваем в матрице строку i и столбец j , а чтобы не допустить образования цикла в маршруте, заменяем элемент, замыкающий текущую цепочку на бесконечность.
Множество маршрутов, не включающих дугу (i , j ) получаем путем замены элемента c ij на бесконечность.
Пример решения задачи коммивояжера методом ветвей и границ
Коммивояжер должен объездить 6городов. Для того чтобы сократить расходы, он хочет построить такой маршрут, чтобы объездить все города точно по одному разу и вернуться в исходный с минимумом затрат. Исходный город A. Затраты на перемещение между городами заданы следующей матрицей:
| A | B | C | D | E | F | |
| A | ∞ | 26 | 42 | 15 | 29 | 25 |
| B | 7 | ∞ | 16 | 1 | 30 | 25 |
| C | 20 | 13 | ∞ | 35 | 5 | 0 |
| D | 21 | 16 | 25 | ∞ | 18 | 18 |
| E | 12 | 46 | 27 | 48 | ∞ | 5 |
| F | 23 | 5 | 5 | 9 | 5 | ∞ |
Решение задачи
Для удобства изложения везде ниже в платежной матрице заменим имена городов (A, B, …, F) номерами соответствующих строк и столбцов (1, 2, …, 6).
Найдем нижнюю границу длин множества всех маршрутов. Вычтем из каждой строки число, равное минимальному элементу этой строки, далее вычтем из каждого столбца число, равное минимальному элементу этого столбца, и таким образом приведем матрицу по строкам и столбцам. Минимумы по строкам: r 1 =15, r 2 =1, r 3 =0, r 4 =16, r 5 =5, r 6 =5.
После их вычитания по строкам получим:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | ∞ | 11 | 27 | 0 | 14 | 10 |
| 2 | 6 | ∞ | 15 | 0 | 29 | 24 |
| 3 | 20 | 13 | ∞ | 35 | 5 | 0 |
| 4 | 5 | 0 | 9 | ∞ | 2 | 2 |
| 5 | 7 | 41 | 22 | 43 | ∞ | 0 |
| 6 | 18 | 0 | 0 | 4 | 0 | ∞ |
Минимумы по столбцам: h 1 =5, h 2 =h 3 =h 4 =h 5 =h 6 .
После их вычитания по столбцам получим приведенную матрицу:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | ∞ | 11 | 27 | 0 | 14 | 10 |
| 2 | 1 | ∞ | 15 | 0 | 29 | 24 |
| 3 | 15 | 13 | ∞ | 35 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | 9 | ∞ | 2 | 2 |
| 5 | 2 | 41 | 22 | 43 | ∞ | 0 |
| 6 | 13 | 0 | 0 | 4 | 0 | ∞ |
Найдем нижнюю границу φ (Z ) = 15+1+0+16+5+5+5 = 47.
Для выделения претендентов на включение во множество дуг, по которым производится ветвление, найдем степени Θ ij
нулевых элементов этой матрицы (суммы минимумов по строке и столбцу). Θ 14
= 10 + 0,
Θ 24
= 1 + 0, Θ 36
= 5+0, Θ 41
= 0 + 1, Θ 42
= 0 + 0, Θ 56
= 2 + 0, Θ 62
= 0 + 0,
Θ 63
= 0 + 9, Θ 65
= 0 + 2. Наибольшая степень Θ 14
= 10. Ветвление проводим по дуге (1, 4).
Введение
1. Теоретическая часть 6
1.1 Основные понятия теории графов 6
1.2 Формулировка и некоторые свойства решений задачи коммивояжера. 8
1.3 Постановка задачи коммивояжера как задачи на графе 10
1.4 Условия существования Гамильтонова контура 10
1.5 Метод ветвей и границ…………………………………………………. 11
1.6 Практическое применение задачи коммивояжера…………………… 17
2. Практическая часть 20
Заключение
Список используемой литературы
Введение
Теория принятия решений - область исследования, вовлекающая понятия и методы математики, экономики, менеджмента и психологии. Изучает закономерности выбора людьми путей решения разного рода задач, а также исследует способы поиска наиболее выгодных из возможных решений.
В курсовой работе рассмотрены некоторые методы решения задачи коммивояжера, алгоритмы решения.
Многие задачи, с которыми приходится иметь дело в повседневной практике, являются многовариантными. Среди множества возможных вариантов в условиях рыночных отношений приходится отыскивать наилучшие решения при ограничениях, налагаемых на природные, экономические и технологические возможности. В связи с этим возникла необходимость применять для анализа и синтеза экономических ситуаций и систем математические методы и современную вычислительную технику.
Целью данной курсовой работы является рассмотрение задачи коммивояжера, способов её решения.
Рассмотрена задача коммивояжёра, а также приведён алгоритм метода ветвей и границ для решения задачи коммивояжёра.
Теоретическая часть
1.1 Основные понятия теории графов
Многие задачи принятие решений можно решить с помощью теории графов.
Графические представления – наглядные отображения исследуемой системы процесса или явления на плоскость: рисунки, чертежи, схемы и блок-схемы, диаграммы, графы. На языке теории графов формируются и решаются многие технические задачи, задачи из области экономики, социологии, менеджмента и т.д. Графы используются для наглядного представления объектов и связи между ними.
Пусть
G
-неориентированный
граф. Геометрически граф можно представить
как набор вершин (точек), определенные
пары которых соединены линиями. Например,
сеть дорог, соединяющих города
,
,
,
,
,
можно представить в виде графа следующим
образом. Города обозначены точками
(вершинами), а дороги – неориентированными
линиями (рис 1.1).
рис 1.1 Сеть дорог между городами.
Неориентированные линии означают наличие двустороннего движения между соответствующей парой городов. Пересечения линий не считаются вершинами.
При изображении графа не имеет значение расположение вершин на плоскости, кривизна и длина ребер (рис 1.2).
рис
1.2 Изображение графов
Вершины графов обозначаются буквами или натуральными числами. Ребра графа – пары чисел.
Маршрутом в G называется такая конечная или бесконечная последовательность ребер, что каждые два соседних ребра имеют концевую точку. Причем, одно и то же ребро Е может встречаться в маршруте несколько раз.
Циклическим маршрутом называется такой маршрут, начальная и конечная точки которого совпадают.
Цепью называют маршрут, в котором каждое его ребро встречается не более одного раза; вершины в цепи могут повторяться не более одного раза. Любой участок цепи является цепью. Нециклическая цепь является простой цепью, если в ней никакая вершина не повторяется.
Граф называется сильно связным, если между каждой парой его вершин , , , существует путь () такой, что является начальной вершиной пути, а - конечной.
Граф называется связным, если между парой его вершин , , существует такая последовательность элементов (дуг или ребер, или же и дуг, и ребер), что любая соседних элементов в этой последовательности имеет общую вершину. Очевидно, что любой сильно связный граф является связным. Связный неориентированный граф называется деревом, если он не имеет циклов. В дереве любые две вершины связаны единственной цепью.
1.2 Формулировка и некоторые свойства решений задачи коммивояжера
Коммивояжер (бродячий торговец) должен выйти из первого города, посетить по разу в неизвестном порядке города 2,1,3.. n и вернуться в первый город. Расстояния между городами известны. В каком порядке следует обходить города, чтобы замкнутый путь (тур) коммивояжера был кратчайшим?
Чтобы привести задачу к научному виду, введём некоторые термины. Города перенумерованы числами j Т=(1,2,3.. n ) . Тур коммивояжера может быть описан циклической перестановкой t =(j 1 , j 2 ,.., j n , j 1 ) , причём все j 1 .. j n – разные номера; повторяющийся в начале и в конце j 1 , показывает, что перестановка зациклена. Расстояния между парами вершин С ij образуют матрицу С . Задача состоит в том, чтобы найти такой тур t :
(1)
Относительно математизированной формулировки задачи коммивояжера уместно сделать два замечания.
1) В постановке С ij означали расстояния, поэтому они должны быть неотрицательными, т.е. для всех j Т :
С ij 0; C jj = ∞ (2)
(последнее равенство означает запрет на петли в туре), симметричными, т.е. для всех i , j :
С ij = С ji (3)
и удовлетворять неравенству треугольника, т.е. для всех:
С ij + С jk C ik (4)
В математической постановке говорится о произвольной матрице. Сделано это потому, что имеется много прикладных задач, которые описываются основной моделью, но всем условиям (2)-(4) не удовлетворяют. Особенно часто нарушается условие (3) (например, если С ij – не расстояние, а плата за проезд: часто туда билет стоит одну цену, а обратно – другую). Поэтому мы будем различать два варианта задачи коммивояжера: симметричную задачу, когда условие (3) выполнено, и несимметричную - в противном случае. Условия (2)-(4) по умолчанию мы будем считать выполненными.
2) В несимметричной задаче коммивояжера все туры t =(j 1 , j 2 ,.., j n , j 1 ) и t ’=(j 1 , j n ,.., j 2 , j 1 ) имеют разную длину и должны учитываться оба. Разных туров очевидно (n -1)! .
Зафиксируем на первом и последнем месте в циклической перестановке номер j 1 , а оставшиеся n -1 номеров переставим всеми (n -1)! возможными способами. В результате получим все несимметричные туры. Симметричных туров имеется в
два раза меньше, т.к. каждый засчитан два раза: как t и как t ’ . Можно представить, что С состоит только из единиц и нулей. Тогда С можно интерпретировать, как граф, где ребро (i , j ) проведено, если С ij =0 и не проведено, если С ij =1 . Тогда, если существует тур длины 0, то он пройдёт по циклу, который включает все вершины по одному разу. Такой цикл называется гамильтоновым циклом. Незамкнутый гамильтонов цикл называется гамильтоновой цепью (гамильтоновым путём).
В терминах теории графов симметричную задачу коммивояжера можно сформулировать так:
Дана полная сеть с n вершинами, длина ребра (i , j )= С ij . Найти гамильтонов цикл минимальной длины. В несимметричной задаче коммивояжера вместо «цикл» надо говорить «контур», а вместо «ребра» - «дуги» или «стрелки».
Некоторые прикладные задачи формулируются как задачи коммивояжера, но в них нужно минимизировать длину не гамильтонова цикла, а гамильтоновой цепи. Такие задачи называются незамкнутыми. Некоторые модели сводятся к задаче о нескольких коммивояжерах, но мы здесь их рассматривать не будем.
1.3 Постановка задачи коммивояжера как задачи на графе
Формулировка:
Множество городов:
.
Расстояние между городами i
и j:
.
П – множество перестановок элементов
А, перестановка
Если
городам поставить в соответствии вершины
графа, а соединяющих их дорогам дуги,
то в терминах теории графов задача
заключается в определении гамильтонова
контура минимальной длины. Гамильтоновым
контуром называется путь, проходящий
через все вершины графа, у которого
начальная вершина совпадает с конечной.
Здесь под длиной контура понимают не
количество дуг, входящих в контур, а
сумму их длин. Длина соответствующей
дороги – вес ребра. Граф должен быть
полным, т.е. в нем имеются все возможные
ребра. Если же граф не является полным,
то его можно дополнить недостающими
ребрами с весом равным
.
1.4 Условия существования Гамильтонова контура
Последовательность (путь), который требуется найти – ориентированный остовный простой цикл минимального веса в орграфе; такие циклы также называют гамильтоновыми. Очевидно, что в полном орграфе циклы указанного выше типа есть. Заметим, что вопрос о наличии в орграфе гамильтонова цикла достаточно рассмотреть как частный случай задачи о коммивояжере для полных орграфов. Действительно, если данный орграф не является полным, то его можно дополнить до полного недостающими ребрами и каждому из добавленных ребер приписать вес - это «компьютерная бесконечность», т.е. максимальное из всех возможных в рассмотрениях чисел. Если во вновь построенном полном орграфе найти теперь легчайший гамильтонов цикл, то при наличии у него ребер с весом можно будет говорить, что в данном, исходном графе «цикла коммивояжера» нет. Если же в полном орграфе легчайший гамильтонов цикл окажется конечным по весу, то он и будет искомым циклом в исходном графе. Гамильтоновым контуром называется путь, проходящий через все вершины графа, у которого начальная вершина совпадает с конечной. Здесь под длиной контура понимают не количество дуг, входящих в контур, а сумму их длин.
Цикл Гамильтона.
Пусть G -граф. Циклом Гамильтона называется простой цикл, который содержит все вершины данного графа.
Теорема 1.
Для того, чтобы в графе существовал цикл Гамильтона, необходимо, чтобы этот граф был связным.
Теорема 2.
В
полном графе
,
если n>=3,
цикл Гамильтона есть в полном двудольном
при m>=1,
цикл Гамильтона есть.
1.5 Метод ветвей и границ
Графом
называется непустое конечное множество,
состоящее из двух подмножеств
и
.
Первое подмножество
(вершины) состоит из любого множества
элементов. Второе подмножество
(дуги) состоит из упорядоченных пар
элементов первого подмножества
.
Если вершины
и
такие, что
,
то это вершины смежные.
Маршрутом
в графе
называется последовательность вершин
не обязательно попарно различных, где
для любого
смежно с
.
Маршрут называется цепью, если все его
ребра попарно различны. Если
то маршрут называется замкнутым.
Замкнутая цепь называется циклом.
Постановка задачи
Коммивояжер должен объездить n городов. Для того чтобы сократить расходы, он хочет построить такой маршрут, чтобы объездить все города точно по одному разу и вернуться в исходный с минимумом затрат.
В
терминах теории графов задачу можно
сформулировать следующим образом.
Задано n
вершин и матрица {c
ij },
где c
ij
≥0 – длинна (или цена) дуги (i
,
j
),
.
Под маршрутом
коммивояжера
z
будем понимать цикл i
1 ,
i
2 ,…,
i
n ,
i
1
точек
1,2,…, n.
Таким образом, маршрут
является набором дуг. Если между городами
i
и j
нет перехода, то в матрице ставится
символ «бесконечность». Он обязательно
ставится по диагонали, что означает
запрет на возвращение в точку, через
которую уже проходил маршрут
коммивояжера
,
длина маршрута l
(z
)
равна сумме длин дуг, входящих в маршрут.
Пусть Z
– множество всех возможных маршрутов.
Начальная вершина i
1
– фиксирована. Требуется найти маршрут
z 0
Z
,
такой, что l
(z
0)=
min
l
(z
),
z
Z
.
Решение задачи
Основная
идея метода ветвей и границ состоит в
том, что вначале строят нижнюю границу
φ длин множества маршрутов Z. Затем
множество маршрутов разбивается на два
подмножества таким образом, чтобы первое
подмножество
состояло из маршрутов, содержащих
некоторую дугу (i, j), а другое подмножество
не содержало этой дуги. Для каждого из
подмножеств определяются нижние границы
по тому же правилу, что и для первоначального
множества маршрутов. Полученные нижние
границы подмножеств
и
оказываются не меньше нижней границы
множества всех маршрутов, т.е. φ(Z)≤ φ
(),
φ(Z) ≤ φ ().
Сравнивая нижние границы φ () и φ (), можно выделить то, подмножество маршрутов, которое с большей вероятностью содержит маршрут минимальной длины.
Затем
одно из подмножеств
или
по аналогичному правилу разбивается
на два новых
и
.
Для них снова отыскиваются нижние
границы φ
(),
и φ
()
и т.д. Процесс ветвления продолжается
до тех пор, пока не отыщется единственный
маршрут. Его называют первым рекордом.
Затем просматривают оборванные ветви.
Если их нижние границы больше длины
первого рекорда, то задача решена. Если
же есть такие, для которых нижние границы
меньше, чем длина первого рекорда, то
подмножество с наименьшей нижней
границей подвергается дальнейшему
ветвлению, пока не убеждаются, что оно
не содержит лучшего маршрута
.
Если же такой найдется, то анализ оборванных ветвей продолжается относительно нового значения длины маршрута. Его называют вторым рекордом. Процесс решения заканчивается, когда будут проанализированы все подмножества.
Для практической реализации метода ветвей и границ применительно к задаче коммивояжера укажем прием определения нижних границ подмножеств и разбиения множества маршрутов на подмножества (ветвление).
Для того чтобы найти нижнюю границу воспользуемся следующим соображением: если к элементам любого ряда матрицы задачи коммивояжера (строке или столбцу) прибавить или вычесть из них некоторое число, то от этого оптимальность плана не изменится. Длина же любого маршрутом коммивояжера изменится на данную величину.
Вычтем из каждой строки число, равное минимальному элементу этой строки. Вычтем из каждого столбца число, равное минимальному элементу этого столбца. Полученная матрица называется приведенной по строкам и столбцам. Сумма всех вычтенных чисел называется константой приведения.
Константу приведения следует выбирать в качестве нижней границы длины маршрутов.
Разбиение множества маршрутов на подмножества
Для выделения претендентов на включение во множество дуг, по которым производится ветвление, рассмотрим в приведенной матрице все элементы, равные нулю. Найдем степени Θ ij нулевых элементов этой матрицы. Степень нулевого элемента Θ ij равна сумме минимального элемента в строке i и минимального элемента в столбце j (при выборе этих минимумов c ij – не учитывается). С наибольшей вероятностью искомому маршруту принадлежат дуги с максимальной степенью нуля.
Для получения платежной матрицы маршрутов, включающей дугу (i , j ) вычеркиваем в матрице строку i и столбец j , а чтобы не допустить образования цикла в маршруте, заменяем элемент, замыкающий текущую цепочку на бесконечность.
Множество маршрутов, не включающих дугу (i , j ) получаем путем замены элемента c ij на бесконечность.
Пример решения задачи коммивояжера методом ветвей и границ
Коммивояжер должен объездить 6 городов. Для того чтобы сократить расходы, он хочет построить такой маршрут, чтобы объездить все города точно по одному разу и вернуться в исходный с минимумом затрат. Исходный город A. Затраты на перемещение между городами заданы следующей матрицей:
Решение задачи
Для удобства изложения везде ниже в платежной матрице заменим имена городов (A, B, …, F) номерами соответствующих строк и столбцов (1, 2, …, 6).
Найдем нижнюю границу длин множества всех маршрутов. Вычтем из каждой строки число, равное минимальному элементу этой строки, далее вычтем из каждого столбца число, равное минимальному элементу этого столбца, и таким образом приведем матрицу по строкам и столбцам. Минимумы по строкам: r 1 =15, r 2 =1, r 3 =0, r 4 =16, r 5 =5, r 6 =5.
После их вычитания по строкам получим:
Минимумы по столбцам: h 1 =5, h 2 =h 3 =h 4 =h 5 =h 6 .
После их вычитания по столбцам получим приведенную матрицу:
Найдем нижнюю границу φ (Z ) = 15+1+0+16+5+5+5 = 47.
Для
выделения претендентов на включение
во множество дуг, по которым производится
ветвление, найдем степени Θ ij
нулевых элементов этой матрицы (суммы
минимумов по строке и столбцу). Θ 14
= 10 + 0,
Θ 24
= 1 + 0, Θ 36
= 5+0, Θ 41
= 0 + 1, Θ 42
= 0 + 0, Θ 56
= 2 + 0, Θ 62
= 0 + 0,
Θ 63
= 0 + 9, Θ 65
= 0 + 2.
Наибольшая степень Θ 14
= 10.
Ветвление проводим по дуге (1, 4).
Нижняя
граница для множества
остается равной 47. Для всех маршрутов
множества
из города
A
мы не перемещаемся в город D.
В матрице это обозначается выставлением
в ячейку (1, 4) знака ∞. В этом случае выход
из города A добавляет к оценке нижней
границы по крайней мере наименьший
элемент первой строки. φ
()
= 47 + 10.
В матрице, соответствующей полагаем c 14 = ∞.
После проведения процедуры приведения с r 1 =10 получим новую нижнюю границу 57 + 10 = 67.
В матрице, соответствующей , вычеркиваем первую строку и четвертый столбец и положим c 41 = ∞, чтобы предотвратить появления цикла 1→ 4 → 1. Получим новую платежную матрицу {c 1 ij }:
Для
приведения надо вычесть минимум по
первому столбцу: h 1 =1.
При этом нижняя граница станет равной
47+1 = 48. Сравнивая нижние границы
φ
()
= 67 и φ
()
= 48
< 67 выделяем подмножество маршрутов
,
которое с большей вероятностью содержит
маршрут минимальной длины.
Рис. 1.4 Ветвление на первом шаге
Далее
продолжаем процесс ветвления. Найдем
степени Θ ij
нулевых элементов этой матрицы Θ 21
=16, Θ 36
= 5, Θ 42
= 2, Θ 56
= 2, Θ 62
= 0, Θ 63
=9, Θ 65
= 2.
Наибольшая степень Θ 21 .
Затем множество
разбивается дуге (2, 1) на два новых
и
.
В матрице для вычеркиваем строку 2 и столбец 1. дуги (1, 4) и (2, 1) образуют связный путь (2, 1, 4), положим c 42 = ∞, чтобы предотвратить появления цикла 2→1→ 4 → 2.
Для приведения надо вычесть минимум по строке 4: r 4 =2. При этом нижняя граница станет равной 48+2 = 50.
Нижняя граница для , полученная как на предыдущем шаге ветвления, равна 48 + 16 = 64. Сравнивая нижние границы φ () = 64 и φ () = 50 < 64 выбираем для дальнейшего разбиения подмножество маршрутов .
Рис. 1.5 Ветвление на втором шаге
Приведенная платежная матрица для
Степени
Θ ij
нулевых элементов этой матрицы Θ 36
= 5, Θ 45
= 0, Θ 56
= 22, Θ 62
= 13, Θ 63
=7, Θ 65
= 0.
Наибольшая степень Θ 56.
Затем множество
разбивается дуге (2, 1) на два новых
и
.
Нижняя граница для равна 50 + 22 = 72. В матрице для вычеркиваем строку 5 и столбец 6 и полагаем c 65 = ∞. Получим матрицу:
Для приведения надо вычесть минимум по строке 3: r 3 =5. При этом нижняя граница станет равной 50+5 = 55. Выбираем для дальнейшего разбиения подмножество маршрутов.
Рис. 1.6 Ветвление на третьем шаге
Приведенная платежная матрица для
Для приведения надо вычесть минимум по строке 4: r4=7. При этом нижняя граница станет равной 55+7 = 62. После приведения получим
Из
матрицы 22
получаем два перехода с нулевой длинной:
(4, 3) и (6, 2).
Рис. 1.7 Ветвление на четвертом шаге
Рис. 1.8 Дерево ветвления с оценками
Полученный маршрутом коммивояжера z 0 = (1, 4, 3, 5, 6, 2, 1) или (A-D-C-E-F-B-A).
1.6 Практическое применение задачи коммивояжера
Кроме очевидного применения задачи коммивояжера на практике, существует ещё ряд задач, сводимых к решению задачи коммивояжера.
Задача о производстве красок .
Имеется производственная линия для производства n красок разного цвета; обозначим эти краски номерами 1,2… n. Всю производственную линию будем считать одним процессором.. Будем считать также, что единовременно процессор производит только одну краску, поэтому краски нужно производить в некотором порядке Поскольку производство циклическое, то краски надо производить в циклическом порядке =(j 1 ,j 2 ,..,j n ,j 1). После окончания производства краски i и перед началом производства краски j надо отмыть оборудование от краски i. Для этого требуется время C. Очевидно, что C зависит как от i, так и от j, и что, вообще говоря,C≠C. При некотором выбранном порядке придется на цикл производства красок потратить время:
Где t k - чистое время производства k-ой краски (не считая переналадок). Однако вторая сумма в правой части постоянна, поэтому полное время на цикл производства минимизируется вместе с общим временем на переналадку.
Таким образом, задача коммивояжера и задача о минимизации времени переналадки – это просто одна задача, только варианты ее описаны разными словами.
Задача о дыропробивном прессе .
Дыропробивной пресс производит большое число одинаковых панелей – металлических листов, в которых последовательно по одному пробиваются отверстия разной формы и величины. Схематически пресс можно представить в виде стола, двигающегося независимо по координатам x, y, и вращающегося над столом диска, по периметру которого расположены дыропробивные инструменты разной формы и величины. Каждый инструмент присутствует в одном экземпляре. Диск может вращаться одинаково в двух направлениях (координата вращения z). Имеется собственно пресс, который надавливает на подвешенный под него инструмент тогда, когда под инструмент подведена нужная точка листа.
Операция пробивки j-того отверстия характеризуется четверкой чисел (x j ,y j ,z j ,t j), где x j ,y j - координаты нужного положения стола, z j - координата нужного положения диска и t j - время пробивки j-того отверстия.
Производство панелей носит циклический характер: в начале и конце обработки каждого листа стол должен находиться в положениях (x 0 , y 0) диск в положении z 0 причем в этом положении отверстие не пробивается. Это начальное состояние системы можно считать пробивкой фиктивного нулевого отверстия. С параметрами (x 0 ,y 0 ,z 0 ,0).
Чтобы пробить j-е отверстие непосредственно после i-того необходимо произвести следующие действия:
Переместить стол по оси x из положения x i в положение x j , затрачивая при этом время t (x) (|x i -x j |)=t i , j (x) .
Проделать то же самое по оси y, затратив время t i , j (y) .
Повернуть головку по кратчайшей из двух дуг из положения z i в положение z j , затратив время t i , j (z) .
Пробить j-тое отверстие, затратив время t j .
Конкретный вид функций t (x) , t (y) , t (z) зависит от механических свойств пресса и достаточно громоздок. Явно выписывать эти функции нет необходимости
Действия 1-3 (переналадка с i-того отверстия j-тое) происходит одновременно, и пробивка происходит немедленно после завершения самого длительного из этих действий. Поэтому
С = max(t (x) , t (y) , t (z))
Теперь, как и в предыдущем случае, задача составления оптимальной программы для дыропробивного пресса сводится к задаче коммивояжера (здесь - симметричной).
Практическая часть
Инвестор, располагающий суммой в 300 тысяч денежных единиц, может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено по крайней мере в два раза больше, чем акций В, причём последних можно купить не более чем на 100 тысяч денежных единиц. Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В – 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?
Пусть цены на акции одинаковы для A и B и равны: ЦA = ЦB = 1 тыс.
|
1.9 ООП 14090 – 07 КР ПЗ |
||||||||||
|
Лист |
№ докумен. |
Подпись |
Дата |
|||||||
|
Разраб. |
Ковешников Д.В. |
Решение задач коммивояжера |
Литера |
Лист |
Листов |
|||||
|
Руков. |
Селютина О.Н. |
|||||||||
