Сжатие изображений с потерей качества. Алгоритм JPEG. Какой самый легкий формат изображения. Алгоритмы сжатия изображений
Алгоритм разработан группой экспертов в области фотографии (Joint Photographic Expert Group) специально для сжатия 24-битных и полутоновых изображений в 1991 году. Этот алгоритм не очень хорошо сжимает двухуровневые изображении, но он прекрасно обрабатывает изображения с непрерывными тонами, в которых близкие пикселы обычно имеют схожие цвета. Обычно глаз не в состоянии заметить какой-либо разницы при сжатии этим методом в 10 или 20 раз.
Алгоритм основан на ДКП, применяемом к матрице непересекающихся блоков изображения, размером 8х8 пикселей. ДКП раскладывает эти блоки по амплитудам некоторых частот. В результате, получается матрица, в которой многие коэффициенты, как правило, близки к нулю, которые можно представить в грубой числовой форме, т.е. в квантованном виде без существенной потери в качестве восстановления.
Рассмотрим работу алгоритма подробнее. Предположим, что сжимается полноцветное 24-битное изображение. В этом случае получаем следующие этапы работы.
Шаг 1. Переводим изображение из пространства RGB в пространство YCbCr с помощью следующего выражения:
Отметим сразу, что обратное преобразование легко получается путем умножения обратной матрицы на вектор , который по существу является пространством YUV:
.
Шаг 2. Разбиваем исходное изображение на матрицы 8х8. Формируем из каждой три рабочие матрицы ДКП – по 8 бит отдельно для каждой компоненты. При больших степенях сжатия блок 8х8 раскладывается на компоненты YCbCr в формате 4:2:0, т.е. компоненты для Cb и Cr берутся через точку по строкам и столбцам.
Шаг 3. Применение ДКП к блокам изображения 8х8 пикселей. Формально прямое ДКП для блока 8х8 можно записать в виде
где 
. Так как ДКП является «сердцем»
алгоритма JPEG, то желательно
на практике вычислять его как можно быстрее. Простым подходом для ускорения
вычислений является заблаговременное вычисление функций косинуса и сведения
результатов вычисления в таблицу. Мало того, учитывая ортогональность функций
косинусов с разными частотами, вышеприведенную формулу можно записать в виде
.
Здесь является матрицей, размером 8х8 элементов, описывающая 8-ми мерное пространство, для представления столбцов блока в этом пространстве. Матрица является транспонированной матрицей и делает то же самое, но для строк блока . В результате получается разделимое преобразование, которое в матричном виде записывается как
Здесь - результат ДКП, для вычисления которого требуется операций умножения и почти столько же сложений, что существенно меньше прямых вычислений по формуле выше. Например, для преобразования изображения размером 512х512 пикселей потребуется арифметических операций. Учитывая 3 яркостных компоненты, получаем значение 12 582 912 арифметических операций. Количество умножений и сложений можно еще больше сократить, если воспользоваться алгоритмом быстрого преобразования Фурье. В результате для преобразования одного блока 8х8 нужно будет сделать 54 умножений, 468 сложений и битовых сдвигов.
В результате ДКП получаем матрицу , в которой коэффициенты в левом верхнем углу соответствуют низкочастотной составляющей изображения, а в правом нижнем – высокочастотной.
Шаг 4. Квантование. На этом шаге происходит отбрасывание части информации. Здесь каждое число из матрицы делится на специальное число из «таблицы квантования», а результат округляется до ближайшего целого:
.
Причем для каждой матрицы Y, Cb и Cr можно задавать свои таблицы квантования. Стандарт JPEG даже допускает использование собственных таблиц квантования, которые, однако, необходимо будет передавать декодеру вместе со сжатыми данными, что увеличит общий размер файла. Понятно, что пользователю сложно самостоятельно подобрать 64 коэффициента, поэтому стандарт JPEG использует два подхода для матриц квантования. Первый заключается в том, что в стандарт JPEG включены две рекомендуемые таблицы квантования: одна для яркости, вторая для цветности. Эти таблицы представлены ниже. Второй подход заключается в синтезе (вычислении на лету) таблицы квантовании, зависящей от одного параметра , который задается пользователем. Сама таблица строится по формуле
На этапе квантования осуществляется управление степенью сжатия, и происходят самые большие потери. Понятно, что задавая таблицы квантования с большими коэффициентами, мы получим больше нулей и, следовательно, большую степень сжатия.
С квантованием связаны и специфические эффекты алгоритма. При больших значениях шага квантования потери могут быть настолько велики, что изображение распадется на квадраты однотонные 8х8. В свою очередь потери в высоких частотах могут проявиться в так называемом «эффекте Гиббса», когда вокруг контуров с резким переходом цвета образуется волнообразный «нимб».
Шаг 5. Переводим матрицу 8х8 в 64-элементный вектор при помощи «зигзаг»-сканирования (рис. 2).
Рис. 2. «Зигзаг»-сканирование
В результате в начале вектора, как правило, будут записываться ненулевые коэффициенты, а в конце образовываться цепочки из нулей.
Шаг 6. Преобразовываем вектор с помощью модифицированного алгоритма RLE, на выходе которого получаем пары типа (пропустить, число), где «пропустить» является счетчиком пропускаемых нулей, а «число» - значение, которое необходимо поставить в следующую ячейку. Например, вектор 1118 3 0 0 0 -2 0 0 0 0 1 … будет свернут в пары (0, 1118) (0,3) (3,-2) (4,1) … .
Следует отметить, что первое число преобразованной компоненты , по существу, равно средней яркости блока 8х8 и носит название DC-коэффициента. Аналогично для всех блоков изображения. Это обстоятельство наводит на мысль, что коэффициенты DC можно эффективно сжать, если запоминать не их абсолютные значения, а относительные в виде разности между DC коэффициентом текущего блока и DC коэффициентом предыдущего блока, а первый коэффициент запомнить так, как он есть. При этом упорядочение коэффициентов DC можно сделать, например, так (рис. 3). Остальные коэффициенты, которые называются AC-коэффициентами сохраняются без изменений.
Шаг 7. Свертываем получившиеся пары с помощью неравномерных кодов Хаффмана с фиксированной таблицей. Причем для DC и AC коэффициентов используются разные коды, т.е. разные таблицы с кодами Хаффмана.
Рис. 3. Схема упорядочения DC коэффициентов
Рис. 4. Структурная схема алгоритма JPEG
Процесс восстановления изображения в этом алгоритме полностью симметричен. Метод позволяет сжимать изображения в 10-15 раз без заметных визуальных потерь.
При разработке данного стандарта руководствовались тем, что данный алгоритм должен был сжимать изображения довольно быстро – не более минуты на среднем изображении. Это в 1991 году! А его аппаратная реализация должна быть относительно простой и дешевой. При этом алгоритм должен был быть симметричным по времени работы. Выполнение последнего требования сделало возможным появление цифровых фотоаппаратов, снимающие 24 битные изображения. Если бы алгоритм был несимметричен, было бы неприятно долго ждать, пока аппарат «перезарядится» - сожмет изображение.
Хотя алгоритм JPEG и является стандартом ISO, формат его файлов не был зафиксирован. Пользуясь этим, производители создают свои, несовместимые между собой форматы, и, следовательно, могут изменить алгоритм. Так, внутренние таблицы алгоритма, рекомендованные ISO, заменяются ими на свои собственные. Встречаются также варианты JPEG для специфических приложений.
Алгоритм преобразования графического изображения JPEG состоит из нескольких этапов, выполняемых над изображением последовательно, один за другим:
– преобразования цветового пространства,
– субдискретизации,
– дискретного косинусного преобразования (ДКП),
– квантования,
– кодирования.
На этапе преобразования цветового пространства осуществляется преобразование изображения из цветового пространства RGB в YCbCr (где Y - яркость, а Cb и Cr - цветоразностные компоненты точки изображения):
Применение пространства YCbCr вместо привычного RGB объясняется физиологическими особенностями человеческого зрения, а именно тем, что нервная система человека обладает значительно большей чувствительностью к яркости (Y ) , чем к цветоразностным составляющим (в данном случае Cb и Cr ). Обратное преобразование цветового пространства (из YCrCb в RGB ) имеет вид:
Алгоритм сжатия JPEG позволяет сжимать изображения с различными размерами цветовых плоскостей. Обозначим через x i и y i ширину и высоту i -й цветовой плоскости изображения. Пусть X = max (x i ), Y = max (y i ), определим для каждой плоскости коэффициенты H i = X / x i и V i = Y / y i . Наибольшее значение для X и Y согласно алгоритму JPEGравно 2 16 , а для H i и V i – 2 2 . Таким образом, ширина и высота цветовых плоскостей может быть от 1 до 4 раз меньше, размеров наибольшей плоскости. Для обычных RGB изображений размеры всех цветовых плоскостей равны.
Субдискретизация состоит в уменьшении размеров плоскостей Cr и Cb . Наиболее распространено уменьшение в 2 раза по ширине и в 2 раза по высоте (см. рисунок 1). Для этого Cr и Cb плоскости изображения разбиваются на блоки с размером 2 на 2 точки, и блок заменяется одним отсчетом цветоразностных компонент (на место имевшихся 4 отсчетов ставится их среднее арифметическое для каждого блока, что позволяет уменьшить размер исходного изображения в 2 раза).
Рисунок 1 – Распространенные типы субдискретизации
Затем, отдельно для каждого компонента цветового пространства Y , Cb и Cr , осуществляется прямое дискретное косинусное преобразование. Для этого изображение делится на блоки с размером 8 на 8 точек и каждый блок преобразуется согласно формуле:
Применение дискретного косинусного преобразования позволяет перейти от пространственного представления изображения к спектральному. Обратное дискретное косинусное преобразование имеет вид:
После этого можно переходить к квантованию полученной информации. Идея квантования состоит в отбрасывании некоторого объема информации. Известно, что глаз человека менее восприимчив к высоким частотам (особенно к высоким частотам цветоразностных компонент), большинство фотографических изображений содержит мало высокочастотных составляющих. Кроме того, появление высоких частот является следствием процесса оцифровки, т.е. вследствие появления сопутствующих дискретизации и квантования шумов. На этом этапе используются так называемые таблицы квантования - матрицы состоящие из целых положительных чисел с размером 8 на 8, на элементы которых делятся соответствующие частоты блоков изображения, результат округляется до целого числа:
.
В процессе деквантования используются те же таблицы, что и при квантовании. Деквантование состоит в умножении квантованных частот на соответствующие элементы таблицы квантования:
Таким образом, при увеличении коэффициента квантования увеличивается объем отбрасываемой информации. Рассмотрим это подробнее на примере.
Блок до квантования:
3862, –22, –162, –111, –414, 12, 717, 490,
383, 902, 913, 234, –555, 18, –189, 236,
229, 707, –708, 775, 423, –411, –66, –685,
231, 34, –928, 34, –1221, 647, 98, –824,
–394, 128, –307, 757, 10, –21, 431, 427,
324, –874, –367, –103, –308, 74, –1017, 1502,
208, –90, 114, –363, 478, 330, 52, 558,
577, 1094, 62, 19, –810, –157, –979, –98
Таблица квантования (качество 90):
24, 16, 16, 24, 40, 64, 80, 96,
16, 16, 24, 32, 40, 96, 96, 88,
24, 24, 24, 40, 64, 88, 112, 88,
24, 24, 32, 48, 80, 136, 128, 96,
32, 32, 56, 88, 112, 176, 168, 120,
40, 56, 88, 104, 128, 168, 184, 144,
80, 104, 128, 136, 168, 192, 192, 160,
112, 144, 152, 160, 176, 160, 168, 160
Блок после квантования:
161, –1, –10, –5, –10, 0, 9, 5,
24, 56, 38, 7, –14, 0, –2, 3,
10, 29, –30, 19, 7, –5, –1, –8,
10, 1, –29, 1, –15, 5, 1, –9,
–12, 4, –5, 9, 0, 0, 3, 4,
8, –16, –4, –1, –2, 0, –6, 10,
3, –1, 1, –3, 3, 2, 0, 3,
5, 8, 0, 0, –5, –1, –6, –1
3864, –16, –160, –120, –400, 0, 720, 480,
384, 896, 912, 224, –560, 0, –192, 264,
240, 696, –720, 760, 448, –440, –112, –704,
240, 24, –928, 48,–1200, 680, 128, –864,
–384, 128, –280, 792, 0, 0, 504, 480,
320, –896, –352, –104, –256, 0,–1104, 1440,
240, –104, 128, –408, 504, 384, 0, 480,
560, 1152, 0, 0, –880, –160,–1008, –160
Таблица квантования (качество 45):
144, 96, 88, 144, 216, 352, 456, 544,
104, 104, 128, 168, 232, 512, 536, 488,
128, 112, 144, 216, 352, 504, 616, 496,
128, 152, 192, 256, 456, 776, 712, 552,
160, 192, 328, 496, 600, 968, 912, 680,
216, 312, 488, 568, 720, 920, 1000, 816,
432, 568, 696, 776, 912, 1072, 1064, 896,
640, 816, 840, 872, 992, 888, 912, 880
Блок после квантования:
27, 0, –2, –1, –2, 0, 2, 1,
4, 9, 7, 1, –2, 0, 0, 0,
2, 6, –5, 4, 1, –1, 0, –1,
2, 0, –5, 0, –3, 1, 0, –1,
–2, 1, –1, 2, 0, 0, 0, 1,
2, –3, –1, 0, 0, 0, –1, 2,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1,
1, 1, 0, 0, –1, 0, –1, 0
Блок после обратного преобразования:
3888, 0, –176, –144, –432, 0, 912, 544,
416, 936, 896, 168, –464, 0, 0, 0,
256, 672, –720, 864, 352, –504, 0, –496,
256, 0, –960, 0,–1368, 776, 0, –552,
–320, 192, –328, 992, 0, 0, 0, 680,
432, –936, –488, 0, 0, 0,–1000, 1632,
0, 0, 0, 0, 912, 0, 0, 896,
640, 816, 0, 0, –992, 0, –912, 0
Как видно, в первом случае изменение DC коэффициента в результате сжатия равно 2, а во втором 26, при этом квантованный DC коэффициент во втором случае в 6 раз меньше чем в первом.
Кодирование является заключительным этапом сжатия, во время него блоки изображения преобразуются в векторную форму по правилу, задаваемому блоками вида:
0, 1, 5, 6, 14, 15, 27, 28,
2, 4, 7, 13, 16, 26, 29, 42,
3, 8, 12, 17, 25, 30, 41, 43,
9, 11, 18, 24, 31, 40, 44, 53,
10, 19, 23, 32, 39, 45, 52, 54,
20, 22, 33, 38, 46, 51, 55, 60,
21, 34, 37, 47, 50, 56, 59, 61,
35, 36, 48, 49, 57, 58, 62, 63
где в качестве элементов блока указаны векторные индексы соответствующих компонентов матрицы. При этом нулевой элемент кодируется как разница с нулевым элементом предыдущего блока. Нулевые элементы обозначают DC , в них содержится постоянная составляющая блока (все остальные АС элементы принято обозначать AC ).
Затем полученные данные сжимаются с использованием арифметического кодирования или модификации алгоритма Хаффмана. Этот этап не представляет большого интереса с точки зрения стеганографии в графических изображениях, поэтому он выходит за рамки нашего рассмотрения.
Легко подсчитать, что несжатое полноцветное изображение, размером 2000*1000 пикселов будет иметь размер около 6 мегабайт. Если говорить об изображениях, получаемых с профессиональных камер или сканеров высокого разрешения, то их размер может быть ещё больше. Не смотря на быстрый рост ёмкости устройств хранения, по-прежнему весьма актуальными остаются различные алгоритмы сжатия изображений.
Все существующие алгоритмы можно разделить на два больших класса:
- Алгоритмы сжатия без потерь;
- Алгоритмы сжатия с потерями.
Алгоритмы сжатия без потерь
Алгоритм RLE
Все алгоритмы серии RLE основаны на очень простой идее: повторяющиеся группы элементов заменяются на пару (количество повторов, повторяющийся элемент). Рассмотрим этот алгоритм на примере последовательности бит. В этой последовательности будут чередовать группы нулей и единиц. Причём в группах зачастую будет более одного элемента. Тогда последовательности 11111 000000 11111111 00 будет соответствовать следующий набор чисел 5 6 8 2. Эти числа обозначают количество повторений (отсчёт начинается с единиц), но эти числа тоже необходимо кодировать. Будем считать, что число повторений лежит в пределах от 0 до 7 (т.е. нам хватит 3 бит для кодирования числа повторов). Тогда рассмотренная выше последовательность кодируется следующей последовательностью чисел 5 6 7 0 1 2. Легко подсчитать, что для кодирования исходной последовательности требуется 21 бит, а в сжатом по методу RLE виде эта последовательность занимает 18 бит.Хоть этот алгоритм и очень прост, но эффективность его сравнительно низка. Более того, в некоторых случаях применение этого алгоритма приводит не к уменьшению, а к увеличению длины последовательности. Для примера рассмотрим следующую последовательность 111 0000 11111111 00. Соответствующая ей RL-последовательность выглядит так: 3 4 7 0 1 2. Длина исходной последовательности – 17 бит, длина сжатой последовательности – 18 бит.
Этот алгоритм наиболее эффективен для чёрно-белых изображений. Также он часто используется, как один из промежуточных этапов сжатия более сложных алгоритмов.
Словарные алгоритмы
Идея, лежащая в основе словарных алгоритмов, заключается в том, что происходит кодирование цепочек элементов исходной последовательности. При этом кодировании используется специальный словарь, который получается на основе исходной последовательности.Существует целое семейство словарных алгоритмов, но мы рассмотрим наиболее распространённый алгоритм LZW, названный в честь его разработчиков Лепеля, Зива и Уэлча.
Словарь в этом алгоритме представляет собой таблицу, которая заполняется цепочками кодирования по мере работы алгоритма. При декодировании сжатого кода словарь восстанавливается автоматически, поэтому нет необходимости передавать словарь вместе с сжатым кодом.
Словарь инициализируется всеми одноэлементными цепочками, т.е. первые строки словаря представляют собой алфавит, в котором мы производим кодирование. При сжатии происходит поиск наиболее длинной цепочки уже записанной в словарь. Каждый раз, когда встречается цепочка, ещё не записанная в словарь, она добавляется туда, при этом выводится сжатый код, соответствующий уже записанной в словаре цепочки. В теории на размер словаря не накладывается никаких ограничений, но на практике есть смысл этот размер ограничивать, так как со временем начинаются встречаться цепочки, которые больше в тексте не встречаются. Кроме того, при увеличении размеры таблицы вдвое мы должны выделять лишний бит для хранения сжатых кодов. Для того чтобы не допускать таких ситуаций, вводится специальный код, символизирующий инициализацию таблицы всеми одноэлементными цепочками.
Рассмотрим пример сжатия алгоритмом. Будем сжимать строку кукушкакукушонкукупилакапюшон. Предположим, что словарь будет вмещать 32 позиции, а значит, каждый его код будет занимать 5 бит. Изначально словарь заполнен следующим образом:
Эта таблица есть, как и на стороне того, кто сжимает информацию, так и на стороне того, кто распаковывает. Сейчас мы рассмотрим процесс сжатия.
В таблице представлен процесс заполнения словаря. Легко подсчитать, что полученный сжатый код занимает 105 бит, а исходный текст (при условии, что на кодирование одного символа мы тратим 4 бита) занимает 116 бит.
По сути, процесс декодирования сводится к прямой расшифровке кодов, при этом важно, чтобы таблица была инициализирована также, как и при кодировании. Теперь рассмотрим алгоритм декодирования.
Строку, добавленную в словарь на i-ом шаге мы можем полностью определить только на i+1. Очевидно, что i-ая строка должна заканчиваться на первый символ i+1 строки. Т.о. мы только что разобрались, как можно восстанавливать словарь. Некоторый интерес представляет ситуация, когда кодируется последовательность вида cScSc, где c - это один символ, а S - строка, причём слово cS уже есть в словаре. На первый взгляд может показаться, что декодер не сможет разрешить такую ситуацию, но на самом деле все строки такого типа всегда должны заканчиваться на тот же символ, на который они начинаются.
Алгоритмы статистического кодирования
Алгоритмы этой серии ставят наиболее частым элементам последовательностей наиболее короткий сжатый код. Т.е. последовательности одинаковой длины кодируются сжатыми кодами различной длины. Причём, чем чаще встречается последовательность, тем короче, соответствующий ей сжатый код.Алгоритм Хаффмана
Алгоритм Хаффмана позволяет строить префиксные коды. Можно рассматривать префиксные коды как пути на двоичном дереве: прохождение от узла к его левому сыну соответствует 0 в коде, а к правому сыну – 1. Если мы пометим листья дерева кодируемыми символами, то получим представление префиксного кода в виде двоичного дерева.Опишем алгоритм построения дерева Хаффмана и получения кодов Хаффмана.
- Символы входного алфавита образуют список свободных узлов. Каждый лист имеет вес, который равен частоте появления символа
- Выбираются два свободных узла дерева с наименьшими весами
- Создается их родитель с весом, равным их суммарному весу
- Родитель добавляется в список свободных узлов, а двое его детей удаляются из этого списка
- Одной дуге, выходящей из родителя, ставится в соответствие бит 1, другой - бит 0
- Шаги, начиная со второго, повторяются до тех пор, пока в списке свободных узлов не останется только один свободный узел. Он и будет считаться корнем дерева.
Арифметическое кодирование
Алгоритмы арифметического кодирования кодируют цепочки элементов в дробь. При этом учитывается распределение частот элементов. На данный момент алгоритмы арифметического кодирования защищены патентами, поэтому мы рассмотрим только основную идею.Пусть наш алфавит состоит из N символов a1,…,aN, а частоты их появления p1,…,pN соответственно. Разобьем полуинтервал }
