Логические величины операции выражения. Основы логики. Вопросы и задания
1. Логические величины, операции, выражения. Логические выражения в качестве условий в ветвящихся и циклических алгоритмах.
Для того чтобы понять работу ветвящихся и циклических алгоритмов, рассмотрим понятие логического выражения.
В некоторых случаях выбор варианта действий в программе должен зависеть от того, как соотносятся между собой значения каких-то переменных.
Например, расчёт корней квадратного уравнения производится по-разному в зависимости от дискриминанта (вспомните математику).
В результате сравнения значений двух выражений возможны два варианта ответа: сравнение истинно или ложно ?
Например:
2+3 > 3+1 - да (истинно)
0 < -5 - нет (ложно)
Выражения такого вида мы будем называть логическими выражениями .
Логическое выражение, подобно математическому выражению, выполняется (вычисляется), но в результате получается не число, а логическое значение: истина (true) или ложь (false). Логическая величина - это всегда ответ на вопрос, истинно ли данное высказывание.
Нам известны шесть операций сравнения:
С помощью этих операций мы будем составлять логические выражения. Причём в выражениях не обязательно присутствуют только константы, но и переменные.
Как выполняются операции отношения для числовых величин понятно из математики. Как же сравниваются символьные величины? Отношение «равно» истинно для двух символьных величин, если их длинны одинаковы и все соответствующие символы совпадают. Следует учитывать, что пробел тоже символ.
Символьные величины можно сопоставлять и в отношениях >, <, >=, <=. Здесь упорядоченность слов (последовательности символов) определяется по алфавитному принципу.
«кот» = «кот»
«кот» < «лис»
«кот» > «дом»
Выражение, состоящее из одной логической величины или одного отношения, будем называть простым логическим выражением.
Часто встречаются задачи, в которых используются не отдельные условия, а совокупность связанных между собой условий (отношений). Например, в магазине вам нужно выбрать туфли, размер которых r = 45, цвет color = белый, цена price не более 400руб.
Другой пример: школьник выяснил, что сможет купить шоколадку, если она стоит 3руб. или 3руб. 50коп.
В первом примере мы имеем дело с тремя отношениями, связанными между собой союзом "и" и частицей "не", во втором - с двумя отношениями, связанными союзом "или". Подобные условия назовём составными , и для их обозначения в алгоритме договоримся использовать союзы "и ", "или ", "не ", которые будем рассматривать как знаки логических операций, позволяющих из простых условий создавать составные, подобно тому, как из простых переменных и констант с помощью знаков +, - и т. д. можно создавать алгебраические выражения.
Так условия наших примеров в алгоритме могут выглядеть таким образом:
первое: (r = 45) и (color = белый) и (не (price>400))
второе: (цена=3) или (цена=3.5)
Выражение, содержащее логические операции, будем называть сложным логическим выражением.
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией .
В результате логического умножения (конъюнкции) получается истина, если истинны все логические выражения.
Объединение двух (или нескольких) высказываний с по мощью союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией .
В результате логического сложения (дизъюнкции) получается истина, если истинно хотя бы одно логическое выражения.
Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией .
Отрицание изменяет значение логической величины на противоположное: не истина = ложь; не ложь = истина.
Если в сложном логическом выражении имеется несколько логических операций, то возникает вопрос, в каком порядке их выполнит компьютер. По убыванию старшинства логические операции располагаются в таком порядке:
отрицание (не );
конъюнкция (и );
дизъюнкция (или ).
В логических выражениях можно использовать круглые скобки. Так же как и в математических формулах, скобки влияют на последовательность выполнения операций. Если нет скобок, то операции выполняются в порядке их старшинства.
Пример. Пусть a, b, c - логические величины, которые имеют следующие значения: a = истина, b = ложь, c = истина. Необходимо определить результаты вычисления следующих логических выражений:
a и b
a или b
не a или b
a и b или c
a или b и c
не a или b и c
(a или b) и (с или b)
не (a или b) и (с или b)
не (a и b и c)
Получим в результате:
Пример . Составить алгоритм для вычисления:
Алгоритм Вычисление x
начало
ввод (а, c)
если (4*а – с >=0) и (а<>0) то
начало
x:= корень(4*а – с)/(2*a)
вывод (х)
конец
иначе
вывод («нет решения»)
конец
Компьютер сначала проверит условие (4*а - с >=0) и (а<>0) и если оно окажется истинно, то вычислить x, иначе выведет сообщение «нет решения».
Пример . Составить алгоритм для вычисления суммы всех чисел от 1 до n.
Алгоритм Вычисление суммы чисел
переменные a, c, x - вещественные
начало
ввод (n)
x:= 1
пока x
s:= s + x
x:= x +1
конец
вывод (s)
конец
До тех пор пока условие x Составила: Антонова Е.П.
2008г. Слайд 2
Логические величины: понятия, выражаемые словами: ИСТИНА, ЛОЖЬ (true, false). Следовательно, истинность высказываний выражается через логические величины.
Логическая константа: ИСТИНА или ЛОЖЬ.Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина.
Если A,B,X,Y и пр. - переменные логические величины, то это значит, что они могут принимать значения только ИСТИНА или ЛОЖЬ.
Логическое выражение - простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится из простых с помощью логических операций (связок). Слайд 3
Конъюнкция (логическое умножение). В русском языке она выражается союзом И. В математической логике используются знаки & или /\. Конъюнкция - двухместная операция; записывается в виде: А /\ В. Значение такого выражения будет ЛОЖЬ, если хотя бы значение одного из операндов ложно. Слайд 4
Дизъюнкция (логическое сложение). В русском языке этой связке соответствуют союз ИЛИ. В математической логике она обозначается знаком v. Дизъюнкция - двухместная операция; записывается в виде: A vB. Значение такого выражения будет ИСТИНА, если значение хотя бы одного из операндов истинно. Слайд 5
Отрицание. В русском языке этой связке соответствует частица НЕ (в некоторых высказываниях применяется оборот «неверно, что...»). Отрицание - унарная (одноместная) операция; записывается в виде: ¬А Слайд 7
Рассмотрим сложное высказывание: «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3». Представить данное высказывание в виде логической формулы.
Обозначим через А простое высказывание « число 6 делится на 2 », а через В простое высказывание «число 6 делится на 3». Тогда соответствующая логическая формула имеет вид: А & В. Очевидно, ее значение - ИСТИНА. Слайд 8
Слайд 9
Сформулируйте высказывания на обычном языке для следующих логических выражений:
1) (X = 12) и (Y = 12) и (Z = 12);
2) (X 0) или (Y 0);
3) (X х Y 0);
4) (X х Y х Z 0). Слайд 10
Определите значение логического выражения:
не (X > Z) и не (X = Y),
если:
1) X = 3, Y = 5, Z = 2;
2) X = 0, Y = 1, Z = 19;
3) X = 5, Y = 0, Z = -8;
4) X = 9,Y = -9, Z = 9. Слайд 11
Определите значения логических переменных а, b с, d, если:
1) а и (Марс - планета) - истинное высказывание;
2) b и (Марс - планета) - ложное высказывание;
3) с или(Солнце - спутник Земли) - истинное высказывание;
4) d или (Солнце - спутник Земли) - ложное высказывание. Описание презентации по отдельным слайдам: 1
слайд
Описание слайда:
Логические величины, операции, выражения. (10 класс) Выполнила: учитель информатики МБОУ Салганской СОШ-Глухова Т.И. 2
слайд
Описание слайда:
К числу основных понятий логики относятся: Высказывание Логическая величина Логические операции Логические выражения Формулы 3
слайд
Описание слайда:
Высказывание (суждение) – это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать, истинно оно или ложно. Например: « На улице идёт дождь» будет истинным или ложным в зависимости от состояния погоды в данный момент. Истинность высказывания «Значение больше, чем », записанного в форме неравенства: > , будет зависеть от значений переменных и. 4
слайд
Описание слайда:
Какие из предложений являются высказываниями? Определить их истинность. Какой длины эта лента? Прослушайте сообщение. Делайте утреннюю зарядку! Назовите устройство ввода информации. Кто отсутствует? Париж - столица Англии. Число 11 является простым. 4 + 5 = 10. Без труда не вытащишь и рыбку из пруда. Сложите числа 2 и 5. Некоторые медведи живут на севере. Все медведи - бурые. Чему равно расстояние от Москвы до Ленинграда? 5
слайд
Описание слайда:
Логические величины – это понятия, выражаемые словами: ИСТИНА, ЛОЖЬ(true, false). Следовательно, истинность высказывания выражается через логические величины. Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина. Например: если известно, что А,В,Х, Y и др. – переменные логические величины, то, значит они могут принимать значение только ИСТИНА или ЛОЖЬ. Логическое выражение – простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится на простых с помощью логических операций(связок) 6
слайд
Описание слайда:
Логические операции Конъюнкция(логическое умножение) Двухместная операция, записывается в виде A & B. Значение такого выражения будет ЛОЖЬ, если значение хотя бы одного операнда ложно. Дизъюнкция(логическое сложение) Двухместная операция, записывается в виде A V B. Значение такого выражения будет ИСТИНА, если значение хотя бы одного операнда истинно. Отрицание – унарная(одноместная) операция. Записывается в виде ¬ А или Ā. 7
слайд
8
слайд
Описание слайда:
Логическая формула – формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА или ЛОЖЬ Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшенством операций. В порядке убывания старшенства логические операции расположены так: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Кроме того, на порядок выполнения операций влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах. Например: (A&B)v(Ā&B)v(Ā&В) 9
слайд
Описание слайда:
Пример 1: Вычислить значение логической формулы ¬ X & Y v X & Z Если логические переменные имеют следующие значения: Х=ЛОЖЬ,Y= ИСТИНА, Z=ИСТИНА. Решение: Отметим цифрами сверху порядок выполнения операций в формуле: Используя таблицу истинности, вычислим формулу по шагам: ¬ ЛОЖЬ = ИСТИНА; ИСТИНА & ИСТИНА = ИСТИНА; ЛОЖЬ & ИСТИНА = ЛОЖЬ; ИСТИНА v ЛОЖЬ = ИСТИНА. ¬ X & Y v X & Z 1 2 3 4 10
слайд
Описание слайда:
Пример 2 Определите значение логического выражения: не (X > Z) и не (X = Y), если: 1) X = 3, Y = 5, Z = 2; 2) X = 0, Y = 1, Z = 19; 3) X = 5, Y = 0, Z = -8; 4) X = 9,Y = -9, Z = 9. 11
слайд
Описание слайда:
Логические функции на области числовых значений Алгебра чисел пересекаются с алгеброй логики в тех случаях, когда приходится проверять принадлежность значений алгебраических выражений некоторому множеству. Например, принадлежность значения числовой переменной Х множеству положительных чисел выражается через высказывание: «Х больше нуля». Символически это записывается так: Х > 0. В алгебре такое выражение называется неравенством, а в логике – отношением. Отношение Х>0 может быть истинным или ложным. Если Х положительная величина, то оно истинно, если отрицательная, то ложно. В общем виде отношение имеет следующую структуру: <выражение 1> <знак отношения> <выражение2> Знаки отношений: = ; <>; >; <; >= ; <=. 12
слайд
Описание слайда:
Отношение – это простое высказывание, а значит логическая величина. Оно может быть как постоянной: 5>0 –всегда ИСТИНА, 3≠6:2 –всегда ЛОЖЬ; так и переменной:a 13
слайд
Описание слайда:
Пример: Записать предикат(логическую функцию) от двух вещественных аргументов Xи Y , который будет принимать значение ИСТИНА, если точка на координатной плоскости с координатами X и Y лежит внутри единичной окружности с центром в начале координат. Решение: Из геометрических соображений понятно, что для всех точек, лежащих внутри единичной окружности, будет истинным значение следующей логической функции: F(X,Y)=(X2 +Y2 <1) Для значений координат точек, лежащих на окружности и вне её, значение функции Y будет ложным. 1 1 -1 0 Y X 14
слайд
Описание слайда:
Логические выражения на Паскале Логические константы: true(истина), false(ложь). Логические переменные: описываются с типом Boolean. Операции отношения: осуществляют сравнение двух операндов и определяют, истинно или ложно соответствующее отношение между ними. Знаки операций отношения Логические операции: not –отрицание; and – логическое умножение(конъюнкция); or –логическое сложение (дизъюнкция); xor – исключение ИЛИ. Таблица истинности для этих операций(T- true, F-false) = ; <>; >; <; >= ; <=. A B not A A and B A or B AxorB T T F T T F T F F F T T F T T F T T F F T F F F Высказывание (суждение) - это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать истинно оно или ложно. Логические величины: понятия, выражаемые словами: ИСТИНА (true), ЛОЖЬ (false). Логическая константа: ИСТИНА (true), ЛОЖЬ (false). Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина. Следовательно, если известно, что А, В, Х, У и пр. - логические величины, то это значит, что они могут принимать значения только ИСТИНА или ЛОЖЬ. Логическое выражение: простое или сложное высказывание. Сложные высказывания строятся из простых с помощью логических операций (связок). Конъюнкция (логическое умножение). В русском языке выражается союзом И. В математической логике используются знаки & Конъюнкция - двухместная операция, записывается в виде А^В (А, В - операнды). Значение такого выражение будет ЛОЖЬ, если хотя бы значение одного из операндов ложно. Дизъюнкция (логическое сложение). В русском языке выражается союзом ИЛИ. В математической логике используются знаки Дизъюнкция - двухместная операция, записывается в виде АВ. Значение такого выражение будет ИСТИНА, если хотя бы значение одного из операндов истинно. Отрицание. В русском языке выражается союзом НЕ (в некоторых высказываниях применяется оборот - неверно, что…). В математической логике используются знаки Отрицание - одноместная (унарная) операция, записывается в виде А или. Логическая формула (логическое выражение) - формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА или ЛОЖЬ. В логических формулах часто ИСТИНА представляется как 1, ЛОЖЬ как 0. Правила выполнения логических операций отражены в таблице истинности. Таблица истинности Последовательность выполнения логических операций в логических формулах определяется старшинством операций. Самая старшая операция - отрицание (она выполняется раньше других), затем идет - конъюнкция (и), а затем дизъюнкция (или). Удобным способом представления логических выражений являются логические схемы. Вот как изображаются на таких схемах три основные логические операции. В этой таблице использованы следующие обозначения: 1 - истина, 0 - ложь, и, или, не - логические операции. Пример1: Нарисуйте схему для логического выражения 1 или 0 и 1. Затем вычислите значение логического выражения. Решение: Схема - Вычисление: Пример2: Дана логическая схема. Постройте логическое выражение. Затем вычислите значение логического выражения. Решение: Дана схема - Составим формулу - (1 или 0) и 1. Вычислим значение по схеме 1 или 0 = 1, затем 1 и 1 = 1. Значит (1 или 0) и 1 = 1. Логическая информация и основы логики План урока по теме: «Логические величины, операции, выражения» 10 класс
Цель урока:
сформировать у учащихся понятия: логическое высказывание, логические величины, логические операции. Задачи:
Образовательная:
сформировать понятия: логическое высказывание, логические величины, логические операции. Развивающая:
создать условия для развития познавательного интереса учащихся, способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления; Воспитательная:
способствовать воспитанию умения выслушивать мнение других, работать в коллективе. Тип урока:
Урок изучения и первичного закрепления новых знаний План урока.
II. Актуализация - 3 мин.
IV. Закрепление полученных знаний - 17 мин.
V. Подведение итогов урока - 2 мин.
Ход урока
I. Организационный момент - 1 мин.
II. Актуализация - 3 мин.
Логика
(от греч. “логос”, означающего “слово” и “смысл”) – наука о законах, формах и операциях правильного мышления. Ее основная задача
заключается в нахождении и систематизации правильных способов рассуждения. А сейчас нам нужно несколько определений. АЛГЕБРА ЛОГИКИ –
раздел математической логики, изучающий строение сложных логических высказываний и способы установления их истинности
с помощью алгебраических методов. ОБЪЕКТЫ
изучения алгебры логики: ВЫСКАЗЫВАНИЯ
Логическое высказывание – это повествовательное предложение, в котором что либо утверждается или отрицается и относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Не всякое утверждение может быть высказыванием. К примеру, следующее утверждение: «Малахит самый красивый камень из всех известных самоцветов»
высказыванием быть не может, так как это вопрос вкуса. III. Изучение нового материала - 17 мин.
Упражнение 1.
Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность
? 1. Париж - столица Англии. (ЛОЖЬ) 2. Прослушайте сообщение. 3. Кто отсутствует? 4. Число 11 является простым. (ИСТИНА) 5. Назовите устройство ввода информации. 6. 4 + 5=10. (ЛОЖЬ) 7. Без труда не вытащишь и рыбку из пруда. 8. Некоторые медведи живут на севере. (ИСТИНА) 9. Сложите числа 2 и 5. Высказывания
Общие
Частные
Единичные
Начинаются со слов: все, всякий, каждый, ни один, любой…Все рыбы умеют плавать
Начинаются со слов: некоторые, большинство, многие…Некоторые медведи бурые
Все другие случаиБуква А - гласная
Бывают утверждения истинность или ложность, которых невозможно проверить. Например: «На планете Земля в настоящее время есть одно и только одно дерево, на котором растет ровно 10000 листьев». Теоретически это проверить можно, но только теоретически, так как для такой проверки придётся использовать слишком большое количество проверяющих, значительно большее чем проживает на планете людей. Таким образом, математическая логика изучает только высказывания, и только то, как определять их истинность или ложность. Математическая логика не исследует смысл высказываний, из чего следует, что формулировка высказывания роли не играет и для высказывания достаточно ввести простое обозначение.
Логическая переменная
- это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Ее
символическое обозначение - латинская буква. Значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНА и ЛОЖЬ (1 и 0).
Сложные высказывания. Логические операции
Ранее, мы говорили только о простых высказываниях, высказывания же могут быть и сложными состоящими из нескольких простых. соединённых логической связкой И, ИЛИ, НЕ Например, Сложное высказывание:
«Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» «Летом я поеду в деревню или в туристическую поездку» «Число 4 не делится на 3» (поверх первого предложения наклеиваем AиB) (поверх второго предложения наклеиваем AилиB) (поверх третьего предложения наклеиваем неA) В первом примере сложное высказывание построено из двух простых с помощью логической операции - конъюнкция A^B, во втором – дизъюнкция AVB в третьем – отрицание Конъюнкция (логическое умножение).
Выражается союзом И. Обозначается знаком (^ или &). Записывается А ^В Значение такого выражения будет ЛОЖЬ, если хотя бы значение одного из операндов ложно. Дизъюнкция
(логическое сложение).
Выражается союзом ИЛИ. Обозначается знаком (V). Записывается А V В Значение такого выражения будет ИСТИНА, если хотя бы значение одного из операндов истинно. Инверсия (отрицание)
Выражается частицей НЕ. Обозначается знаком (-). Записывается -A Значение такого выражения будет ЛОЖЬ, если значение операнда A было истина и наоборот.Логические величины
Логические операции. Конъюнкция
Логические операции. Дизъюнкция
Логические операции. Отрицание
Пример
Правила выполнения логических операций
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Логические операции
Логические схемы
