Согласованная фильтрация заданного сигнала. Постановка задачи фильтрации
В реальных каналах связи наряду с флуктуационными гаусовскими помехами типа белого шума действуют сосредоточенные по времени (импульсные) помехи и сосредоточенные по спектру помехи.
7.4.1. Общая характеристика сосредоточенных по спектру и импульсных помех
Во многих случаях помеха состоит из отдельных импульсов, длительность которых существенно меньше длительности элемента сигнала , а спектр помехи значительно шире спектра сигнала. Такие помехи называются импульсными (рис. 7.18).
К сосредоточенным по времени (импульсным) помехам относятся помехи в виде одиночных коротких импульсов различной интенсивности и длительности, следующих через случайные, достаточно большие промежутки времени. Причинами импульсных помех являются грозовые разряды, радиостанции, работающие в импульсном режиме, линии электропередачи и другие энергоустановки, системы энергообеспечения транспорта и др.
Кроме импульсных помех, могут существовать протяженные по времени помехи, спектр которых занимает такую же полосу частот, как и сигнал, или даже более узкую. Эти помехи называют сосредоточенными по спектру (рис. 7.19).
К сосредоточенным по спектру помехам относятся помехи посторонних радиостанций, генераторов высокой частоты различного назначения (медицинские, промышленные, бытовые и др.), переходные помехи от соседних каналов многоканальных систем. Обычно это гармонические или модулированные колебания с шириной спектра меньшей или соизмеримой с шириной спектра полезного сигнала. В диапазоне декаметровых волн такие колебания являются основным видом помех.
Воздействие сосредоточенной по спектру помехи
Поскольку далеко не всякий элемент сигнала принимается в присутствии сосредоточенной помехи, то вероятность ошибки можно выразить произведением:
где – вероятность того, что на вход решающей схемы поступила сосредоточенная помеха, а – условная вероятность того, что произойдет ошибка символа при воздействии сосредоточенной помехи, которая зависит от мощности сигнала, мощности сосредоточенной помехи, вида сигнала, частоты сигнала, частоты помехи и т.д. Для различных систем связи определены аналитические зависимости условной вероятности ошибок от названных факторов, эти зависимости можно найти в специальной литературе .
Теоретические
и экспериментальные исследования показывают, что в любых системах связи
существует некоторое отношение , называемое порогом или коэффициентом
помехоустойчивости, такое, что при условная вероятность ошибки . Если же отношение выше , то условная
вероятность ошибки может быть велика. Экспериментальные исследования реальных
приемников ЧМ показывают, что при 
ошибки не возникают, а при вероятность ошибки
практически равна .
Коэффициент различен
для разных систем связи. Так, для когерентной системы с фазовой манипуляцией , для системы с
амплитудной манипуляцией . Коэффициент может быть и значительно выше
единицы, если используются широкополосные сигналы, занимающие полосу частот .
Воздействие импульсной помехи
Для вероятности ошибки, вызываемой импульсной помехой, также справедливо выражение (7.9), где под следует теперь понимать вероятность того, что за время существования элемента сигнала на вход решающей схемы поступил импульс помехи, а под – условную вероятность ошибочного приема символа, при условии прихода импульса помехи. Воздействие импульсной помехи на прием дискретных сигналов тоже носит пороговый характер. Если интенсивность импульсной помехи (на входе решающей схемы) меньше некоторой величины, то она не вызывает ошибок, т. е. . При увеличении интенсивности сверх этой величины условная вероятность ошибок быстро возрастает.
I. Сообщения, сигналы и помехи, их математические модели
1. Общие сведения о системах электрической связи
1.1. Информация, сообщения, сигналы и помехи
Системы связи предназначены для передачи информации. Информация передается посредством сообщений. Таким образом, сообщение – форма представления информации.
Примерами сообщений могут служить текст телеграммы, фраза в телефонном разговоре, последовательность цифр при передаче данных, изображение в системе фототелеграфии, последовательность изображений (кадров) в системе телевидения и т.п. Сообщение представляет собой совокупность знаков (символов).
Например, текст телеграммы состоит из букв, цифр, пробелов и специальных знаков, а телеграфное сообщение, готовое для передачи по каналу связи, – из канальных символов (например, из «точек», «тире» и пауз при использовании «азбуки Морзе»).
В системе черно-белого телевидения сообщением является последовательность кадров, каждый из которых, в свою очередь, представляет собой последовательность значений яркости, упорядоченных согласно схеме телевизионной развертки. В телефонии сообщение – непрерывная последовательность значений напряжения (тока), отображающая изменение во времени звукового давления на мембрану микрофона.
Из приведенных примеров становится ясно, что сообщения могут быть дискретными (состоящими из символов, принадлежащих конечному множеству – алфавиту) или непрерывными (континуальными, аналоговыми), описываемыми функциями непрерывного времени.
Для передачи сообщения необходим материальный носитель, называемый сигналом. Сигналом может быть свет костра, удар барабана, звук речи или свистка, предмет, находящийся в условленном месте, взмах флажка или шпаги и т.п.
В радиотехнике и электрической связи используются электрические сигналы, которые благодаря простоте их генерирования и преобразования наилучшим образом приспособлены для передачи больших объемов данных на большие расстояния. Заметим, что в современных каналах связи и устройствах хранения данных электрические сигналы зачастую преобразуются в оптические или магнитные, но, как правило, предполагается их обратное преобразование.
Естественной формой представления сигнала считается его описание некоторой функцией времени (зависимой переменной чаще всего является напряжение или ток).
В современных системах связи используются разнообразные сигналы с различными свойствами. Эти сигналы могут быть классифицированы, хотя любая классификация достаточна условна. На рис. 1.1. представлена классификация, в основу которой положен принцип математического описания сигналов, используемый для теоретического изучения и проведения расчетов.
Математическое описание и представление сигналов позволяет создать математическую модель сигнала.
Если математическая модель позволяет точно описать сигнал, то такой сигнал называется детерминированным. В случае невозможности точного описания сигнала в любые моменты времени, сигнал называется случайным.
Высокочастотное модулированное колебание называется радиосигналом.
Сигнал без высокочастотного заполнения является видеосигналом.
Если сигнал может быть описан функцией s (t ) = s (t + T ), где T – период, он называется периодическим.
Рис. 1.1. Классификация сигналов
При невозможности такого представления, сигнал является непериодическим.
Сигнал, описывающий во времени непрерывно изменяющийся процесс, называется аналоговым. Сигнал конечной длительности является импульсным.
Иногда удобно передавать только значения непрерывного сигнала (отсчеты или выборки), взятые в отдельные моменты времени. Такой квантованный по времени сигнал называется дискретным. Если же передавать не сами выборки в виде коротких импульсов, а их числовые значения, то сначала необходимо эти значения получить. Эта процедура в технике связи называется квантованием по уровню. Таким образом, сигнал, квантованный по времени и уровню, называется цифровым.
Интересно отметить, что детерминированные сигналы не несут в себе никакой информации. Однако с их помощью возможно передавать информацию, если случайным будет расположение сигналов на временной оси. Например, телеграфный сигнал состоит из семи импульсов прямоугольной формы с заданными параметрами рис. 1.3, г. Первый (стартовый) и последний (стоповый) импульсы обозначают начало и конец посылки. Информационное содержание посылки зависит от передаваемой в данный момент буквы алфавита и представляет соответствующую этой букве комбинацию токовых и безтоковых посылок.
На рис. 1.2. представлена другая возможная классификация сигналов.
Рис. 1.2. Классификация сигналов
По виду передаваемых сообщений сигналы, например, можно разделить на радиовещательные, телевизионные, телеграфные и т. д.
По полосе частот сигналы обычно подразделяются на узкополосные и широкополосные.
Для широкополосных сигналов ΔF /F ср >> 1, где
ΔF = F max - F min – абсолютная ширина спектра сигнала,
F ср = (F max + F min)/2 – средняя частота спектра сигнала,
F max – максимальная частота в спектре сигнала,
F min – минимальная частота в спектре сигнала.
Для узкополосных сигналов ΔF /F ср < 1.
Сигналы так же делятся на сложные и простые в зависимости от величины базы сигнала В (произведение длительности сигнала на ширину полосы его спектра).
Для сложных сигналов В > 1,
где ΔF ∙ΔТ – база сигнала, ΔF – абсолютная ширина спектра сигнала, ΔТ – длительность сигнала.
Для простых сигналов В = 1.
По виду модуляции сигналы различаются по признаку того параметра, который изменяется по закону передаваемого сообщения. Так как любое гармоническое колебание характеризуется амплитудой, частотой и мгновенной фазой, то и радиосигналы бывают с амплитудной модуляцией (АМ), с частотной (ЧМ) и фазовой модуляцией (ФМ). В настоящее время в системах связи используется большое разнообразие сигналов со сложными видами модуляции, например, с амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ), Кодово-импульсной модуляцией (КИМ), широтно-импульсной модуляцией (ШИМ). К настоящему времени разработан не один десяток сложных видов модуляции и, естественно, большое количество соответствующих сигналов с различными характеристиками.
На рис. 1.3 приведены осциллограммы различных, широко применяемых в системах связи, сигналов.
На этом рисунке изображены следующие сигналы: а – периодический импульсный, б – непрерывный (аналоговый) радиосигнал с АМ, в – дискретный, г – случайный, д – цифровой кодированный, е – цифровой с АМ, ж – цифровой с ЧМ, з – цифровой с ФМ, и – цифровой с фазовой манипуляцией.
Необходимо также отметить, что жесткой классификации к реальным сигналам применить невозможно. Например, сигнал (рис. 1.3, а) можно классифицировать как детерминированный периодический импульсный видеосигнал, а сигнал (рис. 1.3, з) как случайный цифровой радиосигнал с ЧМ.
Рис. 1.3. Осциллограммы сигналов, применяемых в системах связи
Кроме перечисленных, используются и другие признаки классификации сигналов, например, иногда различают информационные и управляющие сигналы (колебания) и т. д. Некоторые из перечисленных типов сигналов будут в дальнейшем рассмотрены подробнее.
В теории электрической связи принято рассматривать сигнал как «объект транспортировки». С этой точки зрения сигнал можно описать тремя «габаритными характеристиками», подобными длине, ширине и высоте груза, перевозимого, скажем, по железной дороге. Первая из таких характеристик – длительность сигнала T с, измеряемая в секундах (с). Любой сигнал можно представить суммой (суперпозицией) гармонических колебаний с определенными частотами, поэтому вторая «габаритная характеристика» – ширина спектра, или полоса частот сигнала ΔF с, равная разности наивысшей и низшей частот его гармонических составляющих и измеряемая в герцах (Гц). Третьей «габаритной» характеристикой служит динамический диапазон, измеряемый в децибелах (дБ) и определяемый формулой
D c = 20lg(Х max / Х min),
где Х max и Х min – соответственно максимальное и минимальное возможные значения сигнала (напряжения или тока). Произведение этих трех величин называется объемом сигнала:
V c =T c ΔF c D c
Полезные сигналы отличаются от мешающих тем, что полезные сигналы служат для передачи сообщений, в то время как мешающие являются причиной их искажения (потери информации).
Часто полезный сигнал называют просто сигналом, а мешающий – помехой. Сигналы и помехи, рассматриваемые в совокупности, будем называть колебаниями.
Помехи могут быть естественными и преднамеренными (искусственными), шумовыми (флюктуационными) и импульсными, активными и пассивными и т.д.
Необходимо отметить, что одно и то же колебание может быть полезным сигналом по отношению, например, к одной системе связи или радиолокации и помехой – по отношению к другой.
Стоит также отметить, что все помехи, как и все сигналы, являются случайными (если помеха детерминированна, то её можно исключить из наблюдаемого колебания и таким образом избавиться от её вредного воздействия на сообщение).
На рис. 1.4 приведены примеры случайного сигнала и случайной (шумовой) помехи.
Рис. 1.4. Случайный (речевой) сигнал (а) и случайная помеха (шум) (б)
По способу взаимодействия с сигналом помехи подразделяются на аддитивные (от английского add – складывать), мультипликативные (от английского multiply – умножать) и смешанные (сюда относятся все взаимодействия, не сводимые к аддитивному или мультипликативному).
Первый тип искажений сравнительно легко устраним, поскольку в технологии CDMA предусмотрены возможности многопользовательского детектирования и сложения разнесенных сигналов с помощью Rake-приемника (см. «Сети», 2000, б№ 8, с. 20 и б№ 9, с. 22). С помехами от внешних источников борются при помощи расширения спектра передаваемого сигнала. Теоретически, увеличение базы сигнала (B) позволяет уменьшить помеху до сколь угодно малого уровня.
Системам на базе CDMA присуще одно важное свойство: способность эффективно бороться с помехами, особенно узкополосными. Именно благодаря этому технология CDMA долгие годы применялась преимущественно в военных системах, обычно работающих в сложной помеховой обстановке и условиях радиоподавления.
Методы борьбы с помехами принципиально отличаются от используемых при устранении многолучевых искажений. Структура мешающих многолучевых сигналов заведомо известна, и это во многом облегчает задачу; структура внешних помех не известна заранее, а следовательно, полностью их подавить практически невозможно. И хотя сегодня существует множество способов устранения отдельных видов помех, в целом задача борьбы с ними еще не решена. Кроме того, нет универсального метода, который был бы одинаково эффективен при подавлении различных помех (см. ).
В настоящее время можно выделить несколько основных способов борьбы с помехами:
- увеличение энергетического потенциала радиолинии (мощности передатчика, коэффициента усиления антенны);
- снижение уровня собственных шумов приемника;
- снижение уровня внешних помех на входе приемника за счет их компенсации;
- применение совместной обработки помехи и сигнала, основанной на определении различий между полезным сигналом и помехой;
- повышение отношения сигнал/помеха за счет использования помехозащитных методов модуляции и кодирования.
Развитие технических решений, обеспечивающих защиту от помех, идет в направлении комплексного применения указанных выше и других методов, однако реализация таких решений требует определенного усложнения аппаратуры, а значит – увеличения ее стоимости. Поэтому на практике не стремятся создавать устройства с предельно достижимой (потенциальной) помехоустойчивостью. Чаще всего конечный продукт представляет собой компромиссный вариант, оптимизированный по критерию «стоимость – эффективность». Сопоставление реальной и потенциальной помехоустойчивости позволяет судить об эффективности того или иного метода доступа, а также целесообразности его дальнейшего совершенствования.
Основным показателем качества передачи информации в условиях помех, по которому сравнивают различные методы цифровой модуляции и кодирования информации, является безразмерная величина – отношение сигнал/шум, определяемое как h 2 =E b /N о (где E b – энергия на один бит информации, а N o – спектральная плотность мощности шума).
Как известно, пропускная способность CDMA-каналов ограничена уровнем взаимных помех активных абонентов. Это означает, что существует обратно пропорциональная зависимость между числом активных абонентов системы и отношением сигнал/шум. Чем больше абонентов работает в системе, тем меньше значение данного отношения и, соответственно, «запас» помехозащищенности. Безусловно, существует пороговое значение, ниже которого опускаться нельзя и которое определяет предельную дальность связи при заданной мощности передатчика. Скажем, для системы, построенной на базе стандарта cdmaOne, такое значение равно 6–7 дБ, что существенно ниже, чем в других радиосистемах (GSM – 9 дБ, DECT – 12 дБ).
Решающую роль в борьбе с помехами играет выбор структуры сигналов (они должны обладать хорошими взаимокорреляционными свойствами) и оптимального способа приема. Поэтому при планировании структуры сигналов стремятся к тому, чтобы они как можно больше отличались друг от друга, – тогда действующая в системе помеха будет в наименьшей степени влиять на полезный сигнал. Приемник же должен максимально очистить сигнал от искажений, вызванных воздействием помех. Очевидно, что используются различные способы реализации указанных требований, поэтому существующие системы по-разному реагируют на отдельные виды помех.
В случае применения классического метода расширения спектра, основанного на технологии DS-CDMA, помехозащищенность в условиях воздействия шумовых помех с равномерной спектральной плотностью не зависит от типа используемых сигналов, а полностью определяется базой сигнала и отношением сигнал/помеха. Грубо говоря, в системах DS-CDMA в целях подавления помех их мощность «размазывают» по широкой полосе частот.
Если распределение помехи подчиняется нормальному случайному закону с равномерной спектральной плотностью («белый шум»), то различные элементы шумоподобного сигнала (ШПС) «поражаются» в одинаковой степени. Такой вид помех для широкополосных систем особо опасен, причем чем больше мощность помехи, тем сильнее подавляется полезный сигнал.
В наименьшей степени широкополосный сигнал DS-CDMA страдает от узкополосных помех. Одночастотная гармоническая помеха способна исказить сигнал лишь в относительно узкой полосе частот, а полезная информация полностью восстанавливается по «неповрежденным» участкам спектра. Любая сосредоточенная в спектре помеха на выходе корреляционного приемника преобразуется в широкополосную и эффективно подавляется (благодаря тому, что по форме она не соответствует полезному сигналу; см. «Сети», 2000, б№ 5, с. 59, рис. 2). Конечно, в этом случае происходит незначительное снижение отношения сигнал/шум, однако оно настолько мало, что положительный эффект несоизмерим с потерями качества, которые имеют место при использовании других классических методов доступа (TDMA или FDMA).
Таким образом, если помехи имеют распределение, отличное от нормального, то элементы шумоподобного сигнала начинают искажаться по-разному – одни сильнее, а другие слабее. В этой ситуации оптимальный приемник позволит увеличить значение отношения сигнал/помеха. Теоретически доказано, что если известна структура помехи, для нее всегда можно создать такой оптимальный приемник, который обеспечит максимальную величину отношения сигнал/помеха. На практике же все несколько сложнее. Вид помехи не известен заранее, а следовательно, приемник должен «уметь» эффективно бороться с любыми типами помеховых воздействий.
Эффективность работы приемника в условиях помех зависит от выбора методов модуляции, кодирования и схемы приемника. Вопросы кодирования и перемежения символов являются самостоятельными направлениями разработок, поэтому остановимся подробнее лишь на проблемах приема сигналов в условиях помех.
Наиболее эффективно обеспечивает подавление помех так называемый адаптивный приемник. В общем случае он состоит из L каналов (где L равно числу элементов CDMA-сигнала), каждый из которых имеет согласованный фильтр, осуществляющий оптимальный прием одного символа конкретного сигнала (рис.1). Отсчеты принятого сигнала смещаются во времени (за счет создания задержки) таким образом, чтобы совместить их в момент окончания сигнала. Наличие схемы выбора весовых коэффициентов с учетом степени «повреждения» тех или иных элементов ШПС позволяет приемнику адаптивно подстраиваться под помеху, «максимизируя» тем самым величину сигнал/помеха.
С целью подавления импульсных помех на входе приемника используется широкополосный фильтр с полосой пропускания, не меньшей ширины спектра полезного сигнала. Следующий за ним ограничитель предназначен для нейтрализации действия импульсных помех.
Степень помехозащищенности, которую обеспечивает адаптивный приемник, зависит от соотношения числа «пораженных» элементов сигнала и их общего числа. Заметим: если широкополосная помеха одинаковым образом воздействует на все элементы сигнала, то все весовые коэффициенты равны между собой и для приема достаточно одного фильтра, согласованного с сигналом. Таким образом, адаптивный приемник является инвариантным к действию помех, а его эффективность тем выше, чем сильнее спектр мощности помехи отличается от равномерного. Другими словами, любой «провал» в спектре помехи позволяет увеличить значение отношения сигнал/шум за счет изменения весовых коэффициентов сигнала.
Высокая помехозащищенность систем со сложными сигналами обусловлена тем, что сигнал может накапливаться в согласованном фильтре оптимальным образом: его элементы складываются синфазно, а элементы помехи – некогерентно. Вообще говоря, адаптивный приемник способен «извлекать» полезный сигнал из «смеси» шума и помехи, во много раз превосходящей его по мощности, а предел помехозащищенности обычно ограничен собственными шумами приемника.
Однако в прямом и обратном каналах связи помехоустойчивость сигнала DS-CDMA различна. Наиболее сложная ситуация возникает в обратном канале, когда на вход приемника базовой станции (БС) помимо собственных шумов приемника и внутрисистемных помех от активных абонентов (помех многостанционного доступа) действуют еще и внешние помехи (см. врезку ).
Чтобы проиллюстрировать вклад, который вносят активные абоненты других сот в общий помеховый фон, обратимся к рис. 2. Здесь видно, как убывают взаимные помехи в зависимости от удаленности от какой-либо соты (при анализе подразумевалось, что все соты имеют одинаковые размеры, а абоненты равномерно размещены по территории, обслуживаемой сетью). Вклад соседних сот в общий помеховый фон обычно составляет около 36%. Столь высокий уровень обусловлен тем, что на практике имеет место частичное перекрытие диаграмм направленности антенн БС. Суммарный вклад от сот, не являющихся «соседями» данной (т.е. расположенных от нее через одну и далее), не превышает 4%. Наиболее высокий уровень взаимных помех (60%) создают абоненты, одновременно работающие в соте.
В прямом канале взаимные помехи создаются соседними базовыми станциями, а суммарная мощность этих помех пропорциональна числу БС. Считается, что благодаря синхронизации и выбору соответствующей структуры сигналов БС воздействие взаимных помех может быть сведено к нулю.
На отношение сигнал/шум для прямого канала влияет способ регулировки мощности передатчиков БС. При неавтоматической регулировке мощность передатчика БС не зависит от местоположения абонента мобильной станции. Наихудшая ситуация возникает, когда абонент находится на границе трех сот, т.е. когда уровни принимаемых от различных станций сигналов примерно одинаковы.
Подход к подавлению помех в системах FH-CDMA (рис. 3), использующих псевдослучайную перестройку частоты, несколько иной, чем в системах DS-CDMA. Напомним: в системах на базе FH-CDMA каждый информационный символ передается в виде комбинации из N частот, и на каждой из этих частот излучается свой шумоподобный сигнал. Кроме полезного сигнала конкретного пользователя (синий цвет), по системе передаются сигналы от других абонентов (красный цвет), а кроме того, на нее воздействуют узкополосная помеха fп (горизонтальная линия) и импульсная помеха в момент tп (вертикальная линия). Поскольку элемент полезного сигнала FH-CDMA занимает в каждый момент лишь сравнительно небольшую часть спектра, такой метод обеспечивает эффективное подавление как узкополосных, так и импульсных помех.
Помехи от абонентов собственной или соседних сот создают наибольший ущерб, если структура их сигналов одна и та же, а законы перестройки частоты различны. В этом случае возможно наложение сигналов от разных пользователей, что приводит к «поражению» отдельных частотных составляющих сигнала FH-CDMA. Степень помехозащищенности такой системы определяется отношением числа «непораженных» участков спектра к их общему числу. Очевидно, что чем шире полоса частот и больше набор используемых частот, тем меньше вероятность их совпадения и выше степень защищенности от помех.
| Селекция | Характерные различия сигнала и помехи | Методы подавления помех |
| Частотная | Спектры смещены по частоте | Фильтрация |
| Пространственная | Разные направления приема | Использование адаптивных антенн |
| По поляризации | Разная поляризация (горизонтальная или вертикальная) | Применение поляризационного фильтра |
| Фазовая | Разные фазо-частотные характеристики | Использование систем с фазовой автоподстройкой частоты |
| Временная | Разные моменты появления сигнала и помехи | Блокирование приемника на время действия мощных импульсных помех, ограничение входного сигнала по уровню (после полосового фильтра) |
Классификация помех
Помехи весьма разнообразны по своему происхождению, типу и способу воздействия на систему, приемник и антенну (см. рисунок).
По происхождению они подразделяются на естественные (атмосферные, космические) и искусственные (индустриальные, от работающих передатчиков и др.). Помехи, создаваемые с помощью специальных устройств, относят к преднамеренным , а остальные виды считаются непреднамеренными . Первые из них получили широкое применение в военной технике (в зависимости от соотношения полос передатчиков помех и приемника радиостанции такие помехи подразделяются на заградительные, прицельные и др.).
Среди помех естественного происхождения наиболее опасны атмосферные, обусловленные электрическими процессами, энергия которых сосредоточена главным образом в области длинных и средних волн. Сильные помехи создаются также при работе промышленного и медицинского оборудования (их принято относить к индивидуальным). В настоящее время действуют жесткие нормы, ограничивающие уровень индустриальных помех, особенно если их источники расположены в больших городах или пригородах.
В зависимости от типа различают, скажем, аддитивные и мультипликативные помехи. Помеха считается аддитивной , если ее мешающее действие не зависит от наличия сигнала, и мультипликативной , если она возникает только при наличии сигнала. Примером аддитивной помехи является флуктуационной шум в радиоканале, образующийся в результате одновременной работы большого числа источников помех. Изменение коэффициента передачи при многолучевом распространении сигнала – результат воздействия мультипликативной помехи.
По соотношению ширины спектров помех и сигнала различают узкополосные и широкополосные помехи. Естественно, что одна и та же помеха по отношению к одному сигналу может быть узкополосной, а по отношению к другому – широкополосной.
Помехозащищенность системы зависит от так называемой восприимчивости к помехам ее основных элементов (антенны, приемника и др.). При этом обычно говорят о способе воздействия помехи на какой-либо элемент системы. Например, восприимчивость приемника обусловлена частотой и видом помехи. Наибольший ущерб наносят внутриканальные помехи (попадающие в рабочую полосу приемника), методы борьбы с которыми выбираются в зависимости от применяемых способов доступа и воздействия на сигнал. Помехи по соседнему каналу возникают вследствие нестабильности гетеродинов, недостаточной «чистоты» радиоволны и наличия других нежелательных излучений (на гармониках и субгармониках). Восприимчивость направленной антенны в значительной степени связана с направлением прихода сигнала (по главному, заднему или боковому лепестку).
Основные виды помех
Аддитивная (additive interference). Любая помеха, мешающее действие которой проявляется независимо от присутствия или отсутствия сигнала. При действии аддитивной помехи результирующий сигнал на входе приемника может быть представлен в виде суммы нескольких независимых составляющих – сигнальной и нескольких помеховых.
Атмосферные. 1. atmospheric noise. Помехи, обусловленные электрическими процессами в атмосфере (в основном грозовыми разрядами). Различают два вида атмосферных помех – импульсные (ближние грозы) и флуктуационный шум (дальние грозы). 2. precipitation interference. Помехи, возникающие при выпадении осадков в виде дождя, снега и т.п.
Внутриканальная (cochannel interference). Помеха, приводящая к снижению уровня полезного сигнала при воздействии мешающих сигналов иных станций, которые работают на той же или близкой частоте. В сотовых и транкинговых системах внутриканальные помехи образуются за счет влияния других зон, в которых используются те же рабочие частоты.
Внутрисотовая (intra-cell interferece). Помеха, обусловленная мешающим действием передатчиков абонентских станций, которые работают в зоне действия той же базовой станции.
Следящая (follow me interference). Преднамеренная помеха, предназначенная для подавления систем с быстрой перестройкой рабочей частоты.
Гармоническая (harmonic interference). Помеха, возникающая вследствие нежелательного излучения на частоте гармоники сигнала.
Дезинформирующая (spoof jamming). Преднамеренная помеха, при воздействии которой система остается работоспособной, но не обеспечивает передачи полезной информации.
Заградительная (barrage jamming, full-band jamming). Помехи, излучаемые в полосе частот, которая значительно шире полосы частот подавляемой станции. В качестве такой помехи может использоваться шум с равномерным спектром или сканируемая по частоте помеха.
Имитационная (smart jamming). Помеха, имеющая одинаковую с полезным сигналом структуру, что затрудняет ее обнаружение.
Импульсная (pulse or burst interference). Помеха малой длительности, которая в общем случае состоит из большого числа импульсов, (случайно распределяющихся по времени и амплитуде). К импульсным также относятся помехи от переходных процессов.
Индустриальные (man-made noise, man-made interference). Помехи, которые обусловлены работой различных электрических установок (медицинских, промышленных), а также систем зажигания автомобилей. Спектр побочных излучений обычно имеет импульсный характер, что связано с резкими изменениями тока в связи с контактными явлениями в электрических цепях.
Интермодуляционные (intermodulation interference). 1. Помехи, возникающие в приемнике, причиной которых может стать наличие более одного мешающего сигнала с интенсивностью, достаточной для проявления нелинейных свойств приемного тракта, или сложение мешающих сигналов с гармониками гетеродина. 2. Помехи, возникающие в передатчике при попадании на его вход мощных сигналов от близко расположенных передающих станций.
Космические (cosmic interference). Помехи, связанные с электромагнитными процессами, происходящими на Солнце, звездах и других внеземных обюектах.
Многочастотная (multitone interference). Помеха, состоящая из нескольких гармонических сигналов, обычно равномерного спектра.
Мультипликативная (multiplicative interference). Помеха, мешающее действие которой проявляется только при наличии сигнала.
От соседней зоны (adjacent cell interference). Помеха от передатчиков, расположенных в соседней зоне.
По боковому лепестку (sidelobe interference). Помеха, приходящая по любому направлению, кроме главного и заднего лепесков диаграммы направленности антенны.
По главному лепестку (main lobe interference). Помеха, поступающая по главному лепестку диаграммы направленности антенны.
По заднему лепестку (back-lobe interference). Любая помеха, приходящая по направлению, противоположному направлению главного лепестка диаграммы направленности антенны.
По зеркальному каналу (image interference). Помеха, попадающая в полосу побочного канала приема, который отстоит от несущей на величину первой промежуточной частоты.
По соседнему каналу (adjacent channel interference). Помеха от несущих частот других каналов, отстоящих от рабочего канала на шаг сетки частот (обычно 25 или 12,5 кГц). В англоязычной литературе этот термин обычно применяется с уточнениями, конкретизирующими источник помех: next-channel interference (помеха от последующего) и neighboring-channel interference (помеха от соседнего).
Преднамеренная (jamming). Радиопомеха, создаваемая специальными передатчиками для подавления работы средств связи и навигации.
Прицельная (spot jamming). Сосредоточенная преднамеренная помеха на несущей частоте полезного сигнала.
Ретранслируемая (repeat-back jamming). Преднамеренная помеха, образуемая путем переретрансляции исходного полезного сигнала с задержкой.
С расширенным спектром (spread spectrum). Помеха с равномерной спектральной плотностью мощности.
Сосредоточенная (spot). Помеха, мощность которой сосредоточена в очень узкой полосе частот – меньшей, чем спектр полезного сигнала, или соизмеримой с ним.
Структурная. Помеха, подобная по структуре полезным сигналам (т.е. состоящая из тех же элементов), но отличающаяся от них параметрами модуляции. К структурным помехам относятся внутрисистемные помехи имитационные и ретранслируемые.
Узкополосная (narrow-band interference). Помеха, спектр которой значительно уже ширины спектра полезного сигнала.
Флуктуационная (fluctuation noise, fluctuation interference). Помеха, которая представляет собой случайный нормально распределенный шумовой сигнал (Гауссовский шум).
Частично-заградительная (partial-band jamming). Заградительная помеха с частичным перекрытием рабочего диапазона частот подавляемой радиостанции.
1. Вводные замечания
2. Модели сигналов и помех
Библиографический список
1. Вводные замечания
В процессе приема сигналов на вход приемного устройства поступает либо смесь сигнала и помехи, либо помеха. Оптимальное приемное устройство обнаружения на первичном этапе обработки должно наилучшим образом вынести решение о принятом сигнале, т.е. определить, присутствует или отсутствует сигнал, какой тип сигнала присутствует (на втором этапе обработки), оценить значение того или иного параметра (амплитуды, длительности, времени прихода, направление прихода и т.д.). Сформулированная задача может решаться при априорно неизвестных моделях сигналов и помех, при неизвестных (мешающих) параметрах или неизвестных распределениях сигналов и помех. Основная цель заключается в синтезе оптимальной структуры приемного устройства. Синтезированная структура чаще всего практически нереализуема, однако ее эффективность является потенциальной и дает верхнюю границу эффективности любых практически реализуемых структур.
Синтез оптимальных процедур обработки сигналов и помех может производиться с использованием различных методов оптимизации:
1. Использование корреляционной теории:
а) критерий максимума отношения сигнал/помеха;
б) критерий минимума среднеквадратической ошибки.
2. Использование теории информации для максимизации пропускной способности системы. Главное направление – построение наилучших методов кодирования.
Применение теории статистических решений.
Задача оптимизации может быть решена только при наличии критерия, который задается разработчиком системы.
Чтобы воспользоваться теорией статистических решений при синтезе оптимальных приемных устройств, необходимо иметь математические модели сигналов и помех. Эти модели должны включать описание формы сигнала (если она известна). Статистические характеристики и характер взаимодействия сигнала и помехи вплоть до n-мерных плотностей вероятностей.
Теория статистических решений имеет следующие составные части:
1) теорию проверки статистических гипотез:
а) двухальтернативные задачи обнаружения или распознавания сигналов;
б) многоальтернативные задачи при различении многих сигналов на фоне помех;
2) теорию оценки параметров, если эти параметры составляют счетное множество;
3) теорию оценки процесса, который необходимо выделить из входной смеси с минимальной ошибкой.
Постановка задачи синтеза оптимального приемного устройства и ее решение существенным образом зависят от объема априорных (доопытных) сведений о характеристиках сигналов и помех. По объему априорных данных различают задачи с полной априорной определенностью (детерминированный сигнал и помеха с полностью известными вероятностными характеристиками), с частичной априорной определенностью (имеются известные параметры сигнала и помехи) и с априорной неопределенностью (известны лишь некоторые сведения о классах сигналов и помех) . Следует заметить, что эффективность разработанных обнаружителей и измерителей параметров существенно зависит от объема априорной информации.
Следует заметить, что, если о сигналах и помехах ничего неизвестно (полностью отсутствует информация о них), то такая задача не может быть решена.
2. Модели сигналов и помех
Сигнал – это процесс, служащий для передачи информации или сообщения. Остальные процессы, воспринимаемые приемным устройством вместе с сигналом, являются помехами.
Сигналы классифицируются по объему априорных сведений:
а) детерминированные сигналы (неслучайные);
б) детерминированные по форме сигналы со случайными параметрами (квазислучайные);
в) псевдослучайные, шумоподобные сигналы (они близки по свойствам к случайным процессам, но генерируются детерминированным образом и при воспроизведении полностью повторяются);
г) случайные сигналы.
В зависимости от характера изменения во времени сигналы подразделяются на дискретные и непрерывные. Дискретные сигналы используются в цифровых устройствах, в радиолокации. Непрерывные (континуальные) – в телефонии, радиовещании, телевидении и т.д. В последнее время дискретные сигналы используются и в цифровом телевидении и радиовещании.
Каждый сигнал может быть охарактеризован по степени сложности в зависимости от величины, называемой базой сигнала: B = F∙T, где F – эффективная ширина спектра сигнала; Т – эффективная длительность сигнала. Если B » 1, то сигнал называется простым, при B >> 1 – сложным сигналом. Сложные сигналы получают либо из совокупности простых сигналов, либо с помощью модуляции. К сложным сигналам могут быть отнесены шумовые и шумоподобные сигналы. У таких сигналов , где Т – эффективная длительность сигнала (когда сигнал эквивалентен по энергии сигналу с прямоугольной формой); – интервал корреляции процесса.
В различных системах, как правило, излучают радиосигналы, отличающиеся по виду модуляции: амплитудно-модулированные, частотно-модулированные, фазомодулированные, сигналы с импульсными видами модуляции; манипулированные (по амплитуде, частоте, фазе и совмещенные) сигналы.
В радиолокации чаще всего излучается последовательность радиоимпульсов.
Упрощенная структура РЛС представлена на рис. 1, где использованы следующие обозначения: РПУ – радиопередающее устройство; РПрУ – радиоприемное устройство; АП – антенный переключатель; s0(t) – зондирующий сигнал; s(t) – отраженный сигнал; А – антенна; О – обнаруживаемый объект; V – скорость сканирования антенны. Облучение пространства производится периодическим зондирующим сигналом.
Импульс отражается от объекта обнаружения и возвращается с задержкой к антенне РЛС. Задержка определяется расстоянием между РЛС и объектом. Интенсивность отраженного сигнала зависит от эффективной поверхности рассеяния (ЭПР) объекта и условий распространения радиосигнала. В РЛС одна и та же антенная система используется при передаче и приеме сигналов. Интенсивность облучения объекта зависит от формы диаграммы направленности антенны и угла между направлением на объект и направлением максимального коэффициента направленного действия. При сканировании антенной системы (механическом или электронном вращении диаграммы направленности) огибающая пачки импульсов отраженного сигнала повторяет форму диаграммы направленности (рис. 1). В режиме сопровождения объекта огибающая пачки импульсов может иметь прямоугольную форму.
При обзоре время облучения ограничено, и принимаемый сигнал представляет собой ограниченную по времени пачку радиоимпульсов. Модуляция по амплитуде импульсов в пачке определяется не только формой диаграммы направленности, но и скоростью V обзора, от нее зависит и число импульсов в пачке. Обычно огибающая пачки – детерминированная функция, поскольку вид диаграммы направленности и скорость обзора известны.
Запаздывание отраженного сигнала зависит от дальности r до объекта – , где c – скорость распространения радиоволны в пространстве. При распространении сигнал ослабляется относительно излученного в 106 – 1010 раз по напряжению. Кроме того, изменение угла между направлением максимума диаграммы направленности антенны и объектом и поворот объекта за время облучения приводит к случайным изменениям амплитуды импульсов принимаемого сигнала. За счет радиальной скорости объекта Vr изменяется и частота отраженного сигнала (доплеровский эффект), при этом приращение частоты несущего колебания . Изменяются параметры сигнала в канале связи и во входных трактах приемной системы.
При отражении сигнала от объекта происходит изменение поляризации падающей волны. Эти изменения зависят от формы объекта и могут быть использованы при распознавании объектов.
Построить модель сигнала, которая учитывала бы все эти влияния и изменения сложно, поэтому учитывают только часть рассмотренных изменений.
Основные модели сигналов
а) Детерминированный сигнал:
Все параметры сигнала: амплитуда А, закон ее изменения во времени S0(t), частота w0 и закон изменения начальной фазы во времени известны, т.е. огибающая S(t) и фаза являются детерминированными функциями времени.
б) Одиночный сигнал со случайной амплитудой и фазой
где А, j, t – случайные параметры.
Случайные параметры задаются плотностями вероятности. Распределение амплитуд А чаще всего полагают релеевским
,
где s2 – дисперсия флюктуаций амплитуды.
Начальная фаза j и задержка t распределены равномерно, т.е.
где Т – период зондирования, определяемый максимальной однозначной дальностью действия РЛС.
Функции s0(t) и – детерминированные.
Для движущихся объектов локации к несущей частоте w0 добавляется доплеровский сдвиг 
, где – случайная величина, знак которой зависит от направления перемещения объекта в радиальном направлении относительно РЛС.
в) Нефлюктуирующая пачка радиоимпульсов
где ; функция H2(t) – функция, обусловленная формой диаграммы направленности (рис. 2б); Т0 – период следования импульсов в пачке; К = const.
г) Флюктуирующая пачка импульсов:
– дружно-флюктуирующая пачка – амплитуды радиоимпульсов в пачке неизменны, но изменяются независимо от пачки к пачке, что соответствует медленному изменению ЭПР отражающего объекта во времени или изменению параметров канала распространения электромагнитной волны и т.д. (рис. 2);
– быстро-флюктуирующая пачка – амплитуды радиоимпульсов изменяются в пачке от импульса к импульсу независимо (рис. 3).
В зависимости от характера изменения начальной фазы колебаний от импульса к импульсу в пачке различают когерентные и некогерентные пачки радиоимпульсов. Когерентная пачка может быть образована путем вырезания импульсов из непрерывного стабильного гармонического колебания. Начальные фазы в этом случае или одинаковы во всех радиоимпульсах пачки, или изменяются по известному закону. Некогерентная пачка состоит из радиоимпульсов с независимо-изменяющейся начальной фазой.
Помехи разделяются на естественные (неорганизованные) и искусственные (организованные), внутренние и внешние.
По способу образования помехи могут быть пассивными и активными. Естественные пассивные помехи создаются отражениями от местных предметов (в радиолокации) и земной поверхности, растительности и т.д.; отражениями от метеорных следов и атмосферных неоднородностей (в радиосвязи на УКВ).
Активные помехи имеют самостоятельный источник, в то время как пассивные помехи обусловлены излучением зондирующего сигнала. По характеру изменения во времени помехи бывают флюктуационные (гладкие) и импульсные.
В качестве помех могут быть случайные, шумоподобные или детерминированные процессы. Из всех помех наибольшее воздействие на подавляемую РЛС оказывает белый (широкополосный) шум с нормальным распределением, поскольку он имеет наибольшую информационную емкость.
Чаще всего в качестве моделей помех используется их описание с помощью статистических характеристик. Наиболее полной характеристикой является n-мерная плотность вероятности. Однако в некоторых частных, но очень важных случаях помеха может быть охарактеризована одномерной или двумерной плотностями вероятности.
Сигналы и помехи могут быть представлены в виде некоторых множеств в частотно-временной системе координат (рис. 4).
Каждый сигнал или помехи занимают по осям w и t определенные отрезки, зависящие от полосы частот Dw и длительности t. Чем больше Dw и t, тем эффективнее помеха с точки зрения подавления сигнала. Наилучшей помехой является белый шум, который заполняет всю плоскость w, t, и обладает наибольшими дезинформационными свойствами. Если шум узкополосный, то он занимает ограниченную площадь, поскольку имеет неравномерную спектральную плотность мощности. От такой помехи можно избавиться, перестроив несущую частоту w0 сигнала.
Для пространственно-временных сигналов и помех используются дополнительные координаты: угол места и азимут. И тогда источники помех могут быть точечными по угловым координатам или распределенные в конкретных секторах.
Геометрическое представление сигналов и помех связано с введением многомерного пространства выборок и широко используется в теории сигналов . Пусть имеется реализация x(t) случайного процесса X(t). В соответствии с теоремой Котельникова эта реализация может быть представлена в виде дискретных отсчетов xi = x(iDt). Число этих отсчетов (единичных измерений) – N, совместно они образуют выборку X размером N – , i – номер измерения в выборке X. Если представим n-мерное пространство, в котором на каждой оси координат отложим соответствующие по номеру измерения, то вся выборка будет соответствовать точке этого пространства или вектору, конец которого лежит в этой точке. Длина вектора в данном пространстве может быть представлена так:
.
Эта величина называется нормой вектора в эвклидовом пространстве. В пространстве Хемминга норма выражается иначе:
Если и , то в пределе переходим к бесконечному пространству , в котором норма определяется так
.
Для реальных процессов и имеет размерность величины x.
Все указанные пространства линейны, и для них определены операции сложения элементов множества и умножения элемента на число. Причем обе эти операции удовлетворяют условиям коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.
Среди линейных пространств можно выделить метрические пространства, для которых существует метрика , т.е. норма разности векторов, которая больше или равна нулю. Метрика (расстояние) обладает следующими свойствами:
а) ; б) 
; в) ,
где x, y, z – элементы пространства.
Для эвклидова конечно-мерного пространства –
,
для непрерывного пространства аналогично
.
Важным является понятие скалярного произведения. Оно характеризует собой проекцию одного вектора на другой и определяется в так:
,
т.е. сумма произведений одноименных проекций векторов на оси координат. В непрерывном пространстве : 
, причем скалярное произведение 
всегда не больше произведения норм векторов (неравенство Шварца).
Угол между векторами определяется так
.
Если определить норму через скалярное произведение, то говорят, что норма порождена скалярным произведением, а пространство, отвечающее такому произведению, называется гильбертовым.
Введем понятие случайного вектора. Случайный вектор – это такой вектор, координаты которого есть случайные величины. Этот вектор 
в пространстве выборок не занимает какого-либо фиксированного положения. Его конец может оказаться в той или иной области пространства с известной вероятностью, которую можно подсчитать, зная совместное распределение случайных величин . Конец вектора можно представить себе не как определенную точку, а как облако, переменная плотность которого выражает вероятность нахождения конца вектора в данном элементе объема пространства. Геометрически это облако отображается гиперсферой в n-мерном пространстве (рис. 5).
Элементарный объем в пространстве выборок 
. Вероятность попадания конца вектора в этот объем будет равна
где – плотность вероятности случайного процесса X(t).
Если гиперсфера имеет размеры W, то попаданию точки в эту гиперсферу соответствует вероятность
где 
– проекции гиперсферы W на оси координат системы.
Это выражением может быть записано в векторной форме
.
Если распределены по нормальному закону с одинаковой дисперсией каждой их независимых компонент, то вероятность попасть в элементарный объем пространства выборок равна
,
где – расстояние от начала системы координат до элемента .
В данном случае облако имеет сферическую форму. При различных дисперсиях облако вытягивается вдоль тех осей, которым соответствуют единичные измерения с большей дисперсией.
Если даны два случайных процесса x и h, то косинус угла между их векторами соответствует нормированному коэффициенту взаимной корреляции. Геометрически он характеризует проекцию единичных векторов одного на другой. Если x = h, то – линейная зависимость, если же они перпендикулярны, то – показывает полное отсутствие коррелированности. В этом случае векторы ортогональны, а процессы некоррелированы.
Для нормальных процессов некоррелированность означает и независимость, поскольку для них иной случайной зависимости, кроме линейной, не существует. Доказывается такое утверждение подстановкой коэффициента корреляции, равного нулю, в двумерную нормальную плотность вероятности. В результате такой подстановки плотность вероятности преобразуется к произведению одномерных плотностей вероятности, что является необходимым и достаточным условием статистической независимости двух случайных величин, входящих в систему.
3. Вероятностные характеристики случайных процессов
1. Наиболее полными вероятностными характеристиками случайных процессов (СП) являются различные виды распределений вероятностей мгновенных значений, среди которых основное применение получили интегральная функция распределения вероятностей и плотность вероятности.
Для ансамбля реализаций СП (рис. 6) одномерная интегральная функция распределения определяется как вероятность того, что мгновенные значения реализаций не превысят некоторый фиксированный уровень x в момент времени t.
Аналогично определяется n-мерная интегральная функция распределения как вероятность совместного выполнения неравенств:
Виды одномерной интегральной функции распределения для различных процессов показаны на рис. 8.
В отличие от интегральных функций распределения случайных величин, эта характеристика СП в общем случае (для нестационарных СП) зависит от времени.
Так же как и для случайных величин, (положительная определенность), 
при x2 > x1 (интегральная функция является неубывающей), (ограниченность).
Хотя интегральная функция распределения вероятности определена и для непрерывных, и для дискретных процессов, большее распространение получила плотность вероятности, определенная только для непрерывных СП.
Одномерная плотность вероятности определяется как производная от интегральной функции по аргументу x:
.
Для n-мерной плотности в соответствии с (1) имеем:
Из представления производной в виде предела отношения конечных приращений 
можно сделать вывод, что плотность вероятности характеризует относительную частоту пребывания мгновенных значений в элементарном интервале Dx.
На рис. 7 приведены графики плотности вероятности для реализаций различной формы.
Аналогичное рассмотрение n-мерной плотности вероятности позволяет интерпретировать ее как вероятность того, что значение функции находятся в пределах n коридоров Dx или, иначе, что реализация примет заданную форму (рис. 8).
Свойства плотности вероятности:
– положительная определенность – ;
– свойство симметрии – значения плотности вероятности не меняются при перестановке аргументов;
– свойство нормировки ;
– свойство согласованности (число интегралов в правой части равно n – m)
– плотность вероятности меньшего порядка вычисляется путем интегрирования по «лишним» аргументам;
– размерность плотности вероятности обратна размерности случайной величины.
Наиболее широко в радиотехнике используются следующие распределения.
1. Нормальной (гауссово) распределение (рис. 9):
,
где m – математическое ожидание; s – среднеквадратическое отклонение (СКО).
Для нормального распределения характерна симметрия относительно математического ожидания и большие значения случайной величины встречаются значительно реже малых:
.
2. Равномерное распределение (рис. 10):
Экспоненциальное распределение (рис. 11):
4. Распределение Рэлея (распределение огибающей узкополосного нормального СП):
2. Распределения вероятностей, хотя и является наиболее употребимыми в теории характеристиками, не всегда доступны для экспериментального определения и во многих случаях слишком громоздки в теоретических исследованиях. Более простыми являются числовые характеристики СП, определяемые как некоторые функционалы от плотности вероятности. Наиболее широко из них используются моментные функции, определяемые как среднее значение различных степенных преобразований СП.
Начальные одномерные моменты определяются в виде
. (3)
Особое значение имеют первый начальный момент – математическое ожидание 
и второй начальный момент
.
сигнал случайный помеха прием
Физический смысл этих характеристик: среднее значение и средняя мощность СП, выделяемая на сопротивлении в 1 Ом, соответственно (если СП есть напряжение, стационарное по постоянной составляющей и мощности). Второй начальный момент характеризует степень разбросанности случайной величины относительно начала координат. Размерность математического ожидания совпадает с размерностью величины x (для x в виде напряжения – вольты), а размерность m2 – с размерностью квадрата величины x.
В случае стационарных СП моменты не зависят от времени, для нестационарных могут быть функциями времени (в зависимости от типа не-стационарности), что поясняется рис. 13.
Центральные моменты определяются аналогично начальным моментам, но для центрированного процесса 
:
. (4)
Поэтому всегда .
Второй центральный момент – дисперсия СП – определяется в виде
и характеризует степень разбросанности значений относительно математического ожидания или, иначе, среднюю мощность переменной составляющей процесса, выделяемой на сопротивлении в 1 Ом. Очевидна связь между начальными и центральными моментами:
, в частности 
.
Отметим, что третий центральный момент (p = 3 в (4)) характеризует асимметрию распределения вероятностей (для симметричных плотностей вероятности ), а четвертый (p = 4) – степень остроты вершины плотности вероятности.
Рассмотрим пример вычисления одномерных моментов распределения.
ПРИМЕР 1. Процесс с треугольной симметричной плотностью вероятности виден на экране осциллографа в виде шумовой дорожки с размахом от -2 до +4 В. При выключенной развертке яркость вертикальной линии в центре экрана равномерна. Оценить математическое ожидание и дисперсию процесса.
Решение примера 1. Сведения о форме распределения и его границах позволяет записать аналитическое выражение для плотности вероятности (рис. 14).
При этом максимальное значение плотности вероятности fm, достигаемое при x=1 В, определяется из условия нормировки, т.е. равенства площади треугольника единице:
,
Такое симметричное треугольное распределение называют также законом Симпсона.
В соответствии с определениями математическое ожидание и дисперсия равны
.
Однако удобнее вычислить вначале второй начальный момент
тогда = 6 В2.
Смешанные начальные моменты определяются соотношением
Смешанные центральные моменты определяются аналогично, но с заменой x в формуле (5) на центрированное значение .
Ввиду того, что значения x в смешанных моментах определяются в различные моменты времени, появляется возможность оценки статистической взаимозависимости значений процессов, разделенных заданными интервалами. Наиболее важным является простейший из смешанных моментов, отображающий линейную статистическую взаимозависимость и называется корреляционной и ковариационной функцией:
Как видно из определения, размерность корреляционной функции определяется размерностью квадрата величины x (для напряжения – В2).
Для стационарного СП корреляционная функция зависит только от разности :
.
Следует заметить, что при t = 0 максимальное значение K(0) = s2.
На рис. 15 приведены примеры реализаций процессов с разными корреляционными функциями.
Кроме функционалов на основе степенных функций (моментов) возможны и другие типы функционалов в качестве статистических характеристик СП. Важнейшим среди них является функционал, основанный на экспоненциальном преобразовании и называемый характеристической функцией
. (7)
Нетрудно заметить, что данное выражение представляет преобразование Фурье от плотности вероятности, отличающееся от обычного лишь знаком в показателе экспоненты.
Поэтому можно записать и обратное преобразование, позволяющее по характеристической функции восстановить плотность вероятности:
.
Соответственно для n-мерного случая имеем
Основные свойства характеристической функции состоят в следующем:
– свойство нормировки 
;
– свойство симметрии 
;
– свойство согласованности
– определение характеристической функции суммы независимых случайных величин
Как видно из анализа перечисленных свойств, различные преобразования характеристической функции проще плотности вероятности. Простая связь также между характеристической функцией и моментами плотности вероятности.
Пользуясь определением характеристической функции (7), продифференцируем ее k раз по аргументу u:
.
Можно заметить, что операция дифференцирования намного проще, операция интегрирования при определении моментов плотности вероятности.
ПРИМЕР 2. Может ли существовать процесс с характеристической функцией прямоугольной формы?
Решение примера 2. На рис. 16 представлена характеристическая функция прямоугольной формы (а) и соответствующая ей плотность вероятности (б).
Так как характеристическая функция является преобразованием Фурье от плотности вероятности, то ее обратное преобразование Фурье должно обладать всеми свойствами плотности вероятности. В данном случае
График плотности вероятности представлен на рис. 16б.
Как видно из выражения для f(x) и рисунка, полученная плотность вероятности не удовлетворяет условию положительной определенности (), следовательно, процесс с заданной характеристической функцией не может существовать.
4. Энергетические характеристики случайных процессов
К энергетическим характеристикам СП относят корреляционную функцию, спектральную плотность мощности и непосредственно связанные с ними параметры СП.
В разделе 2 было дано определение корреляционных функций как смешанных центральных моментов второго порядка соответственно автокорреляционной и взаимнокорреляционной функций, т.е.
.
Основные свойства автокорреляционной функции:
– свойство симметрии 
, для стационарных процессов – четность 
;
– свойство ограниченности , для стационарных процессов 
;
– свойство неограниченного убывания с ростом аргумента (для эргодических процессов) ;
– свойство положительной определенности интеграла
;
– размерность соответствует квадрату размерности случайного процесса.
Это свойство следует из определения спектральной плотности мощности (для случайных напряжений и тока через сопротивление 1 Ом), которое будет приведено ниже.
Для взаимнокорреляционной функции аналогично можно записать:
; 
;
; 
.
Ввиду ограниченности корреляционной функции частот используют нормированные корреляционные функции
; 
,
причем ; .
Для более компактного описания свойств случайного процесса вводят понятие интервала корреляции, определяющего интервал времени, на котором существует связь между значениями процесса.
Основные определения интервала корреляции:
– интегральный (для положительно определенных корреляционных функций) 
. Геометрически он характеризует ширину основания прямоугольника, равновеликого по площади функции k(t) при t > 0 (рис. 17а);
– абсолютный интервал корреляции 
(в отличие от предыдущего может использоваться для знакопеременных функций ) (рис. 17б);
– квадратичный интервал корреляции 
;
– максимальный интервал корреляции (на уровне a) (рис. 18)
.
Обычно уровень a выбирается исходя из рассматриваемой задачи и имеет значения 1/e; 0,1; 9,05; 0,01 и т.д.
Последнее определение не является более произвольным, чем предыдущие, так как выбор конкретного вида функционала протяженности произволен и определяется удобством математического решения конкретной задачи. Практически этот интервал корреляции используется в радиоизмерениях для определения интервала, вне которого случайные величины в сечениях случайного процесса можно считать некоррелированными. Достоверность такого предположения определяется выбором уровня a.
Большое значение в статистической радиотехнике имеют спектральные характеристики СП. При этом используются различные интегральные преобразования процесса вида
.
При исследовании линейных систем с постоянными параметрами особое значение имеет ядро преобразования вида , так как отклик линейных систем на гармоническое воздействие также является гармоническим.
Преобразование Фурье от k-й реализации СП дает также случайную функцию частоты, зависящую от номера реализации:
.
В условиях реального наблюдения можно получить лишь текущий спектр реализации за интервал наблюдения T
.
Приведенные выражения в существенной степени формальны, так как для многих СП условия применимости преобразования Фурье не выполняются, и интеграл не сходится к какому-либо определенному пределу.
Определим квадрат модуля спектральной плотности k-й реализации
Предполагая процесс стационарным и центрированным, заменяя и производя статистическое усреднение по множеству реализаций, определим:
.
Разделив обе части полученного равенства на T и беря предел , получим
.
Поясним физический смысл этой характеристики. Учитывая теорему Релея
,
определим 
; 
;
;
; 
.
Таким образом, спектральная плотность мощности или энергетический спектр – это усредненная по всем реализациям функция распределения мощности по частотам.
Следовательно, спектральная плотность мощности и корреляционная функция связаны преобразованием Фурье (теорема Винера – Хинчина):
(9)
Полагая t = 0, получим
.
Учитывая свойство четности корреляционной функции, запишем
,
.
В полученных формулах G(w) определялась для положительных значений круговой частоты w, причем G(w) = G(–w). В отличие от такого «двухстороннего» математического спектра, введем односторонний физический спектр:
Тогда формулы теоремы Винера – Хинчина примут вид:
(10)
Часто используется нормированная спектральная плотность мощности
.
Из определения G(w) следуют методы его экспериментального определения (рис. 19). А именно: измеряется квадратичным прибором среднеквадратическое отклонение процесса в узкой полосе (с помощью полосового фильтры с прямоугольной АЧХ), возводится в квадрат, а затем делится на эту полосу Dfэ (полоса такая, что S(f0) » const в пределах Dfэ) (рис. 20).
Рис. 19 Рис. 20
Для одиночного колебательного контура 
, где Q – добротность контура, следовательно
.
Спектральная плотность мощности не отражает фазовой структуры сигнала. Две совершенно разные зависимости могут иметь одинаковую спектральную плотность мощности.
Поскольку G(w) и K(t) связаны преобразованием Фурье, для них справедливы основные теоремы о спектрах.
Ширина спектра определяется так же, как и интервал корреляции.
Эффективная (или неудачное название – энергетическая) ширина спектра
.
Определяют также ширину спектра на уровне a: 
.
Рассмотрим связь интервала корреляции и ширины спектра.
Так как 
, а 
, то
. (11)
Таким образом, произведение – порядка единицы.
Различают широкополосные и узкополосные процессы (рис. 22а и б).
Для узкополосных процессов . Поскольку для узкополосных случайных процессов значение спектральной плотности мощности при нулевой частоте всегда равно нулю (или очень близко к нему), то корреляционная функция является всегда знакопеременной и ее площадь равна нулю (из теоремы Винера – Хинчина).
Один из широко распространенных в теории широкополосных процессов – белый шум с равномерным спектром 
. Его корреляционная функция равна
.
Противоположный случай – узкополосный процесс – квазидетерминированный СП с дискретным спектром
где x1, x2 – случайные величины, не зависящие от t, .
Функция X(t) представляет собой гармоническое колебание со случайной амплитудой 
и фазой , распределение которого не зависит от времени. Этот процесс будет стационарным лишь при 
и при 
. Тогда зависит только от t, причем x1 и x2 некоррелированы.
В этом случае 
;
. (рис. 23)
Для стационарных СП X(t) и Y(t) вводят также взаимную спектральную плотность мощности
;
; 
;
; 
.
Взаимная спектральная плотность мощности двух процессов комплексная, если взаимная корреляционная функция нечетная, действительная часть такой спектральной плотности четная, а мнимая – нечетная функция: .
Для суммы стационарных и стационарно-связанных процессов существует соотношение
.
5. Узкополосные случайные процессы
Важность этих процессов для статистической радиотехники требуют более подробного их рассмотрения.
Для более подробного анализа определим огибающую и фазу узкополосного случайного процесса (УСП). Часто огибающую определяют по формуле
, (12)
где – сопряженный с по Гильберту процесс. Применяя преобразование Гильберта к исходному выражению для УСП, получаем . Точность выражения иногда может вызывать сомнение, поскольку только для гармонических колебаний равенство (12) несомненно. Определим, насколько параметры УСП влияют на точность этой формулы.
Используя известные соотношения для комплексной амплитуды аналитического сигнала , получим
И 
. (13)
Применяя преобразование Гильберта к исходному выражению для УСП и используя составляющие (13) комплексной огибающей, можно записать
Разложим функции и в подынтегральных выражениях в ряд Тейлора в окрестности точки x=t и почленно проинтегрируем. Получим
где Q(t) – остаточное слагаемое, характеризующее отброшенную часть суммы. Подставив в выражение (14) и , получим
Из формулы (15) видно, что если можно пренебречь функцией Q(t), то сопряженный по Гильберту УСП имеет такую же огибающую, что и исходный УСП.
Из таблиц определенных интегралов известно:
С учетом этих выражений формулу для Q(t) можно записать:
Считаем, что полоса огибающей равна , поэтому вторые производные по своим значениям не превосходят . Поэтому можно полагать, что
.
Следовательно:
.
Отсюда видно, что для УСП функции u(t) и u1(t) имеют одинаковую огибающую с погрешностью, зависящей от отношения ширины спектра к его средней частоте. Для узкополосных случайных процессов обязательным является выражение , следовательно, огибающая удовлетворяет требованиям, которые к ней предъявляются в соответствии с определением УСП, т.е. является касательной в точках, соответствующих максимальным значениям УСП (или вблизи от них), и имеет общие значения с ним в точках касания. Степень «близости» точки касания к максимальному значению зависит от того же отношения .
Фаза однозначно определяется известными соотношениями для представления комплексного числа в показательной форме.
Графически УСП можно представить в виде вектора, вращающегося с угловой скоростью , длина вектора медленно меняется во времени так же, как и фазовый угол . Исходный УСП является проекцией вектора на горизонтальную ось. Если всю систему координат заставить вращаться с той же угловой скоростью, но в противоположном направлении, то та же проекция будет огибающей .
Если исходный УСП является нормальным, то и также являются нормальными случайными процессами. Если УСП u(t) нормален, стационарен, имеет нулевое среднее значение и функцию корреляции 
, то и также имеют нулевые средние значения и корреляционную функцию . В то же время и взаимно некоррелированы, а так как они нормальны, то и взаимно независимы. Сомножитель является огибающей корреляционной функции .
Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса. Плотности вероятности огибающей и фазы УСП можно получить, совершая преобразования, которые были использованы для их получения. Эти преобразования показывают, что огибающая и фаза являются независимыми. СВ как в совпадающие, так и в несовпадающие моменты времени. Одномерная плотность вероятности огибающей (в один момент времени) подчиняется закону Рэлея, а плотность вероятности фазы равномерна в пределах от до .
Сложные преобразования показывают, что центрированная корреляционная функция огибающей приближенно равна квадрату огибающей корреляционной функции исходного УСП. Спектральная плотность мощности огибающей имеет два слагаемых: дельта-функцию, соответствующую постоянной составляющей огибающей, и спектральную плотность флюктуационной составляющей, которая является преобразованием Фурье от квадрата огибающей корреляционной функции исходного УСП.
Если СП является суммой узкополосного нормального процесса и синусоиды со случайной начальной фазой, то мгновенные значения синусоиды распределены по закону арксинуса, сумма – по бимодальному закону, соответствующему свертке нормального закона и закона арксинуса. После применения тех же преобразований, что и для узкополосного нормального СП, получим для огибающей распределение Райса
,
где , А0 – амплитуда синусоидального сигнала; – среднеквадратическое отклонение шума.
При распределение Райса переходит в распределение Рэлея.
При больших отношениях , т.е. при А0 >> 1 (отношение сигнал/шум), распределение Райса может быть аппроксимировано нормальным распределением с математическим ожиданием, равным А0.
6. Временные характеристики случайных процессов
Во многих случаях, особенно при экспериментальных исследованиях, вместо ансамбля есть лишь одна реализация. Тогда усреднение производится по времени и при некоторых условиях дает результаты, близкие к усреднению по множеству.
Простейший вариант усреднения состоит в определении среднего арифметического значения. Выделим в отрезке реализации СП длительностью T n дискретных отсчетов с интервалом между ними Dt,
Среднее арифметическое значение определим известным образом:
Умножим числитель и знаменатель этого выражения на Dt:
.
При Dt ® 0 и n ® ¥ сумма перейдет в интеграл, описывающий временное усреднение реализации (обозначается чертой сверху или в данном пособии: ) или функции от нее:
. (16)
В общем виде можно записать операцию (16) с помощью оператора временного усреднения ST:
.
Для того чтобы результат не зависел от длительности отрезка T, возьмем предел при T ® ¥:
.
При экспериментальных исследованиях выполнение условия T ® ¥ невозможно, но достаточно выполнения условия .
Часто начало реализации и начало времени интегрирования не совпадают, поэтому оператор правильнее записать в виде оператора текущего среднего:
. (17)
Используется также симметричная форма этого оператора:
. (18)
Частотные характеристики операторов (4.17) и (4.18) равны соответственно:
, 
,
т.е. отличаются лишь фазовым множителем .
Практически часто используется оператор экспоненциального сглаживания, реализуемый с помощью интегрирующей RC-цепи в форме
и имеющий характеристику
.
Производя временное усреднение некоторой функции g, лежащей в основе какой-либо вероятностной характеристики, получим соответствующую временную характеристику. В частности, дисперсия, полученная временным усреднением, равна
;
Временная корреляционная функция –
.
Аналогами распределений вероятностей являются величины относительного времени пребывания реализации ниже некоторого уровня и в интервале уровней (рис. 25).
Аналог интегральной функции распределения вероятностей – относительное время пребывания реализации ниже некоторого уровня (рис. 25а):
; 
.
Аналог плотности вероятности – относительное время пребывания реализации в интервале Dx на уровне x (рис. 25б):
;
.
Процессы, для которых временные характеристики сходятся в некотором смысле к вероятностным при T ® ¥, называются эргодическими. Различают два вида сходимости.
Последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине x, если для любого e > 0
.
Сходимость с вероятностью 1 (или почти всюду) определяется следующим образом:
.
Сходимость в среднем определяется из условия:
,
в частности, сходимость в среднеквадратическом –
.
Из сходимости почти всюду следует сходимость по вероятности, а из сходимости в среднеквадратическом также следует сходимость по вероятности.
Часто имеет место не эргодичность процесса, а эргодичность по отношению к математическому ожиданию, корреляционной функции или иной вероятностной характеристике.
7. Особенности нестационарных случайных процессов
Нестационарные СП, в отличие от стационарных, составляют столь широкий класс, что в нем трудно выделить свойства, относящиеся ко всему классу. Одним из таких свойств, лежащих в основе определения нестационарности, является зависимость вероятностных характеристик этих процессов от времени.
В частности,
,
.
Пример процесса, существенно нестационарного по математическому ожиданию, приведен на рис. 26а, по дисперсии – на рис. 26б.
Нестационарность по математическому ожиданию хорошо описывается моделью аддитивного нестационарного процесса:
X(t) = Y(t) + j(t),
где Y(t) – стационарный СП; j(t) – детерминированная функция.
Нестационарность по дисперсии описывается моделью мультипликативного нестационарного процесса: X(t) = Y(t)·j(t).
Простейшие примеры нестационарности по моментным функциям в более общем виде описываются зависимостями вероятностных распределений от времени.
Более сложным является отображение нестационарности в рамках многомерных (и даже двумерных) вероятностных характеристик. Наиболее широко используются корреляционные и спектральные характеристики. Поскольку корреляционная функция нестационарного СП зависит от двух моментов времени, спектр нестационарного процесса не может быть определен столь однозначно, как в стационарном случае. Существует несколько определений спектра нестационарных процессов:
а) двойной по частоте спектр или биспектр:
. (19)
В случае стационарного процесса и соотношение (19) переходит в теорему Винера – Хинчина. Биспектр (19) трудно физически интерпретировать и использовать при анализе цепей, хотя он отображает всю информацию о частотных свойствах процесса;
б) мгновенный частотно-временной спектр.
Заменим в переменные следующим образом: , t = t1 – t2 и выполним преобразование Фурье от корреляционной функции по аргументу t:
. (20)
Мгновенный спектр (20) зависит как от частоты, так и от времени и при медленной нестационарности имеет наглядную физическую интерпретацию как изменение «обычной» спектральной плотности мощности во времени (рис. 27);
в) усредненная спектральная плотность мощности
,
где 
.
Этот спектр не отображает динамики процесса, но дает представление о среднем распределении дисперсии процесса по частоте;
г) аппаратурный спектр определяется как среднее значение дисперсии процесса на выходе узкополосного фильтра с импульсной реакцией h(t):
Этот спектр допускает аппаратурное определение, но использование его в теории достаточно трудоемко.
Решение примера Рассмотрим пример нестационарного СП, имеющего плотность вероятности, выраженную функцией
где 
; a0 = 1 1/В; k = 2 1/Вс.
Необходимо найти математическое ожидание процесса и нарисовать ориентировочно возможный вид реализации процесса.
Для решения задачи прежде всего определим незаданную функцию А(t) из условия нормировки:
Отсюда A(t) = a(t).
Поскольку процесс нестационарный, его математическое ожидание может зависеть от времени и в данном случае равно
Учитывая известное значение определенного интеграла
при
где 
– гамма-функция, , получим
.
Возможный вид реализаций процесса, не противоречащий виду распределения, приведен на рис. 28.
На рис. 28 штриховой линией показано изменение математического ожидания процесса.
8. Классификация случайных процессов
Классификация в любой науке служит для упорядочения объектов исследования, а значит, и используемых методов анализа и синтеза. В ряде случаев удачная, логически оправданная и естественная классификация процесса помогает вскрыть новые закономерности (например, периодическая система Менделеева, классификация звезд на основе диаграммы Герцшпрунга – Рассела в астрономии и т.д.).
Классификация производится по каким-либо признакам. Наиболее существенными признаками для СП являются зависимости их вероятностных характеристик от времени и номера реализации.
Обозначим через q(l) произвольную вероятностную характеристику;
– оператор усреднения по множеству;
– оператор усреднения по времени.
Если одновременно используется усреднение и по множеству, и по времени, то получаемая при этом оценка вероятностной характеристики (l) имеет такой вид:
,
где l – аргумент вероятностной характеристики (частота в спектральной плотности мощности; интервал в корреляционной функции).
Истинное значение оценки вероятностной характеристики получается с помощью предельного перехода при неограниченном возрастании числа реализаций N и их длительностей T, т.е.
.
Характеристику, полученную усреднением и по множеству, и по времени, будем называть средней вероятностной характеристикой. Если же усреднение производится только по множеству, то получается t – текущая вероятностная характеристика:
только по времени – k-текущая вероятностная характеристика:
В зависимости от видов получаемых характеристик СП можно классифицировать таким образом:
– (k, l) = (l) – однородный процесс, т.е. получаемая характеристика не зависит от номера реализации;
– (t, l) = (l) – стационарный процесс, т.е. получаемая характеристика не зависит от начала отсчета времени;
– (t, l) = (k, l) = (l) – эргодический случайный процесс.
Схематично процессы могут быть представлены в виде множеств, изображенных на рис. 29.
Приведенная укрупненная классификация, конечно, не является исчерпывающей, поэтому используется классификация по многим другим признакам.
По виду областей существования и значений случайной функции СП делятся на непрерывные (непрерывные области существования и значений – рис. 30а), дискретные (непрерывное множество значений аргумента и дискретное множество значений – рис. 30б), непрерывные случайные последовательности (дискретная область существования и непрерывная область значений – рис. 30в) и дискретные случайные последовательности (дискретная функция дискретного аргумента – рис. 30г).
По виду распределений вероятностей различают процессы с конечной и бесконечной областями значений, с симметричной и несимметричной плотностью вероятности, гауссовы (нормальные) и негауссовы.
По корреляционной связи значений различают коррелированные и некоррелированные СП, по виду спектра – широкополосные и узкополосные СП, по характеру временной связи – периодические, непериодические и почти периодические.
По виду нестационарности процессы делятся на аддитивные, мультипликативные, стационарные на интервале (квазистационарные), со стационарными приращениями, периодически нестационарные, с быстрой и медленной нестационарностью и т.д.
Выбор признаков классификации определяется характером решаемой задачи.
Рассмотрим пример классификации СП.
Решение примера 4. Охарактеризовать процесс X(t) в отношении стационарности, однородности и эргодичности, если процесс представлен моделью:
где А – случайная амплитуда с рэлеевским распределением; – случайная величина с равномерным распределением на интервале [–p, p]; 0 = const.
Выборочные реализации процесса X(t) представлены на рис. 31.
Из рис. 31 и аналитического представления квазидетерминированного процесса X(t) очевидно, что его вероятностные характеристики (например, математическое ожидание, дисперсия, плотность вероятности и т.д.) не зависят от времени, т.е. процесс является стационарным. В то же время каждая из реализаций характеризуется своей дисперсией, поэтому процесс неоднороден и не является эргодическим, т.е. его характеристики нельзя оценить по одной реализации.
ПРИМЕР 5. По заданной графически функции распределения стационарного случайного колебания (рис. 32) определить плотность вероятности и изобразить возможный вид реализации этого процесса.
Решение примера 5. Плотность вероятности связана с функцией распределения через производную, поэтому на первом участке u от -6 до -3 В производная, характеризующая тангенс угла наклона к оси u равна 0,4/3 = 0,13 1/В. При u = 1 В имеет скачок на 0,3, поэтому в плотности вероятности есть d-функция с площадью, равной величине скачка. На участке от 3 до 7 В также имеет постоянный наклон, равный 0,3/6 = 0,05 1/В. Полученная плотность вероятности представлена на рис. 3 Для проверки вычислений необходимо найти площадь, ограниченную плотностью вероятности (условие нормировки): 
.
mu = =
= –0,325 В.
Второй начальный момент – m2u = 
48,9 В2.
Дисперсия – 
= 48,5 – 0,105625 » 48,4 В2.
Реализация длительностью Т, судя по виду плотности вероятности на разных интервалах времени, должна иметь горизонтальные участки на уровне +1 В, суммарная длительность которых должна составлять Т/ На участках от -6 до -3 В и от +1 до +7 В в реализации имеются наклонные прямые линии со случайным наклоном, что соответствует неизменным значениям плотности вероятности. На первом участке мгновенные значения реализации находятся 0,4Т, а на втором – 0,3Т.
Возможный вид реализации представлен на рис. 34.
ПРИМЕР 6. На рис. 35 представлена реализация случайного процесса. Изобразить приближенно плотность вероятности и функцию распределения. Рассчитать (также приближенно) математическое ожидание, среднеквадратическое значение (СКЗ) и среднеквадратическое отклонение (СКО).
Решение примера 6. Для определения плотности вероятности необходимо в соответствии с ее определением рассчитать вероятности следующих событий:
Соответствия мгновенных значений уровню -10 мА (вероятность р1);
Нахождения мгновенных значений реализации в интервале от -10 до -4 мА (вероятность р2);
Соответствия мгновенных значений уровню -4 мА (вероятность р3);
Нахождения мгновенных значений реализации в интервале от -4 до + 8 мА (вероятность р4);
Соответствия мгновенных значений уровню + мА В (вероятность р5);
Нахождения мгновенных значений реализации в интервале от +8 до +10 мА (вероятность р6).
Для нахождения перечисленных вероятностей необходимо посчитать интервал времени, в течение которого происходили эти события, а затем поделить найденные интервалы на длительность реализации, составляющую 25 мс (см. рис. 35). В результате получим частоты событий (оценку вероятностей). Результаты расчетов представлены в табл. 1.
Таблица 1
| Вероятность |
||||||
|
вероятности |
Для расчета значений плотности вероятности в интервалах (-10, -4) мА, (-4, + 8) мА и (+8, +12) мА необходимо полученные вероятности разделить на соответствующие интервалы, предполагая на этих участках постоянную плотность вероятности, так как мгновенные значения в их пределах меняются по линейному закону (рис. 35). Результаты расчетов представлены на рис. 36.
Математическое ожидание равно:
мА
(в предположении стационарности заданного реализацией СП по математическому ожиданию).
Второй начальный момент –
m2i = 36,08 мА2
(в предположении стационарности заданного реализацией СП по второму начальному моменту).
Дисперсия –
= 36,08 – 0,1024 » 35,98 мА2
(в предположении стационарности заданного реализацией СП по дисперсии).
Следовательно, СКЗ = » 6,01 мА; СКО = » 6,0 мА.
Библиографический список
1. Гоноровский, И.С. Радиотехнические цепи и сигналы [Текст] / И.С. Гоноровский. – М. : Радио и связь, 2006. – 608 с.
1. Манжос, В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информа-ции на фоне помех [Текст] / Я.Д. Ширман, В.Н. Манжос. – М. : Радио и связь, 2011. – 416 с.
2. Жовинский, В.Н. Инженерный экспресс-анализ случайных процессов [Текст] / А.Н. Жовинский, В.Н. Жовинский. – М. : Энергия, 2009. – 112 с.
3. Царьков, Н.М. Многоканальные радиолокационные измерители [Текст] / Н.М. Царьков. – М. : Сов. радио, 2010. – 192 с.
2. Математические основы современной радиоэлектроники [Текст] / И.А. Большаков [и др.]. – М. : Сов. радио, 2009. – 208 с.
3. Федосов, В.П. Статистическая радиотехника [Текст] : конспект лекций / В.П. Федосов, В.П. Рыжов. – Таганрог: Изд-во ТРТИ, 2008. – 76 с.
4. Фомичев, К.И. Моноимпульсная радиолокация [Текст] / А.И. Леонов, К.И. Фомичев. – М. : Сов. радио, 2010. – 370 с.
5. Гнеденко, Б.Н. Курс теории вероятности [Текст] / Б.Н. Гнеденко. – М. : Физматгиз, 2011. – 203 с.
Введение
В информационных системах различного назначения полезные сигналы поступают всегда на фоне помех различного происхождения. Под помехой будем понимать любое воздействие на полезный сигнал, затрудняющее его прием и регистрацию. Для уверенного обнаружения полезных сигналов и измерения тех или иных их параметров необходимо обеспечить достаточное превышение энергии сигнала над энергией помех. Но при современном состоянии схемотехники информационных систем резервы повышения энергии полезного сигнала практически исчерпаны. Кроме того, некоторые помехи, например, реверберационная, растут одновременно с увеличением сигнала.
Поэтому наиболее верный путь развития информационных систем заключается в оптимизации режимов обработки принимаемого сигнала с целью максимального увеличения отношения сигнал / помеха. Это может быть достигнуто прежде всего использованием фильтров с оптимальными частотными и импульсными характеристиками. Поскольку все чаще задача обнаружения полезного сигнала возлагается на автоматические устройства, очень важной оказывается также разработка оптимальных алгоритмов обнаружения и обнаружителей, реализующих эти алгоритмы. Это обосновывает необходимость изучения студентами направления «Приборостроение» вопросов обработки сигналов с учетом специфики использования соответствующих приборов и систем.
ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ПОМЕХ
Постановка задачи фильтрации
Пусть на входе системы действует колебание
x (t ) = F [s (t, ), n (t )],
где s (t, ) – полезный сигнал, n (t ) – помеха, – совокупность интересующих нас параметров i (t ), причем сам сигнал s (t, ), или параметр i (t ) – случайные процессы. Помеха n (t ) может быть произвольной; сигнал и помеха не обязательно представляют собой аддитивную смесь. Считается, однако, что вид функции F (т. е. способ комбинирования сигнала и помехи) и некоторые статистические характеристики случайного сигнала и помехи нам известны. С учетом этих априорных сведений нужно решить, какая из возможных реализаций самого сигнала s (t, ) или его параметра содержится в принятом колебании x (t ). Из-за наличия помех и вследствие случайного характера сигнала оценка реализации сигнала или его параметра зачастую не будет совпадать с истинным значением, что приводит к ошибкам фильтрации. К тому же к фильтрам, предназначенным для использования в различных устройствах, предъявляются различные, порой противоречивые требования. Поэтому и характеристики фильтров должны удовлетворять различным критериям. Фильтры, предназначенные для устройств обнаружения, должны обеспечить максимум отношения сигнал/помеха. Фильтры, предназначенные для устройств измерения тех или иных параметров, должны отвечать критерию минимума среднеквадратической погрешности. Возможны и другие виды критериев, по которым строятся характеристики.
Согласованные фильтры
До сих пор на помеху n(t) не налагалось никаких ограничений, кроме стационарности в широком смысле. Рассмотрим теперь помеху в виде гауссовского белого шума. Линейный фильтр, на выходе которого получается максимально возможное пиковое значение отношения сигнал/помеха при приеме полностью известного сигнала на фоне гауссовского белого шума, называется согласованным фильтром. Найдем выражение для комплексной частотной характеристики согласованного фильтра. Для этого положим Тогда выражения (1.7) и (1.8) примут соответственно вид:
(1.9)
где k – постоянная, характеризующая коэффициент передачи фильтра; Es – энергия сигнала:
Запишем спектр входного сигнала и комплексную частотную характеристику фильтра в виде
Здесь j s (w) – фазовый спектр сигнала, j(w) – фазо-частотная характеристика фильтра.
Тогда выражения для амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик согласованного фильтра будут иметь вид
Видно, что амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) согласованного фильтра пропорциональна амплитудному спектру входного сигнала (АЧХ фильтра «согласована» со спектром сигнала), а фазочастотная характеристика (ФЧХ) равна сумме фазочастотного спектра сигнала, взятого с обратным знаком, и фазового спектра задержки (– wt 0).
Совпадение формы АЧХ фильтра с амплитудным спектром сигнала обеспечивает наилучшее выделение наиболее интенсивных участков спектра сигнала. Фильтр ослабляет участки спектра с относительно низким уровнем спектральных составляющих; в противном случае наряду с ними проходили бы интенсивные шумы. При этом форма сигнала на выходе фильтра искажается. Однако это не имеет существенного значения, так как задача фильтра в данном случае состоит не в точном воспроизведении входного сигнала, а в формировании наибольшего пика выходного сигнала на фоне шума. Существенную роль в этом отношении играет фазочастотная характеристика фильтра j (w).
Подставив в формулу (1.1) выражение (1.9), получим выражение для полезного сигнала на выходе согласованного фильтра:
Отсюда видно, что сигнал на выходе фильтра определяется только амплитудным спектром входного сигнала и не зависит от его фазового спектра. Последнее обусловлено тем, что взаимные фазовые сдвиги спектральных составляющих входного сигнала j s (w) компенсируются ФЧХ фильтра. Поэтому все гармонические составляющие одновременно достигают амплитудных значений в момент времени t = t 0 и, складываясь, дают пик выходного сигнала:
Если бы ФЧХ фильтра не компенсировала фазовых сдвигов спектральных составляющих входного сигнала, то максимумы гармонических составляющих не совпадали бы по времени, что привело бы к уменьшению или раздроблению пика выходного сигнала.
Следует отметить, что согласованным фильтром (1.9) можно пользоваться и при приеме полностью известного сигнала на фоне стационарной помехи с произвольной спектральной плотностью S n ( w). Для этого формально достаточно пропустить принимаемое колебание x(t) через дополнительный линейный фильтр, который преобразует помеху n(t) в белый шум. ФЧХ фильтра может быть любой, а АЧХ такого дополнительного “обеляющего” фильтра должна иметь вид
(1.10)
где – постоянная.
На выходе обеляющего фильтра помеха превратится в белый шум с постоянной спектральной плотностью 
а комплексный спектр сигнала будет
После этого можно воспользоваться полученными ранее формулами. В соответствии с выражением (1.9) комплексная частотная характеристика соответствующего согласованного фильтра
Оптимальный фильтр представляет собой последовательное соединение двух фильтров: обеляющего и согласованного .
Его комплексная частотная характеристика 
естественно совпадает с соотношением (1.8).
Пользуясь допустимой свободой выбора фазовой характеристики обеляющего фильтра, можно попытаться выбрать ее так, чтобы оптимальный фильтр был физически реализуем. Если спектральную плотность помехи S n (w) можно аппроксимировать рациональной функцией частоты (что на практике не ограничивает общности), то для получения физически реализуемого оптимального линейного фильтра используют разложение S n (w)на комплексно-сопряженные сомножители. Рассмотрим пример.
Пусть помехой является гауссовский шум, имеющий спектральную плотность S n (w)= 2aD /(a 2 + w 2), где D – дисперсия шума. Тогда согласно формуле (1.10) имеем
Таким образом, получаем два равноценных варианта обеляющих фильтров:
Найдем импульсную характеристику согласованного фильтра:
Учитывая выражение для входного сигнала
,
получаем
. (1.11)
Следовательно, импульсная характеристика согласованного фильтра целиком определяется формой сигнала («согласована» с сигналом). На рис. 1.1 изображен импульсный сигнал s(t) длительностью и, появившийся в момент времени t = 0 .
Очевидно, что функция s(t 0 +t) появляется на время t 0 раньше, чем сигнал s(t) . Функция же s(t 0 –t) является зеркальным отображением функции s(t 0 +t) относительно оси ординат. Умножив функцию s(t 0 –t) на коэффициент k , получаем импульсную характеристику согласованного фильтра.
Квазиоптимальные фильтры
При практическом построении оптимальных и согласованных линейных фильтров кроме найденных соотношений надо также учитывать условия физической возможности и практической реализуемости фильтров. Условие физической возможности фильтра записывается в виде :
h(t) =
0при t
£0;
Если сигнал s(t) , с которым должен быть согласован фильтр, начинается в момент времени 0 и полностью прекращается при t 0 + и, то первое из условий выполняется при t 0 0 + и. Только при этом условии будет использована вся энергия сигнала для формирования сигнального пика на выходе фильтра в момент t 0 . Увеличение t 0 сверх 0 + и, не влияя на значение пика, сдвигает его в сторону большего запаздывания, что обычно нежелательно. Поэтому следует брать t 0 = 0 + и, т. е. момент наблюдения должен совпадать с окончанием входного сигнала. Иногда для аппроксимации реальных импульсных сигналов используют бесконечно длинные импульсы (гауссовский, экспоненциальный и т. д.). Тогда приходится искусственно выбирать конечное значение длительности аппроксимирующего сигнала, содержащей основную долю энергии реального сигнала.
Не всякий физически возможный фильтр можно реализовать практически, т. е. построить из сравнительно небольшого числа элементов, обладающих легко выполнимыми характеристиками. В этом случае нужно либо выбирать такие сигналы, для которых получаются легко реализуемые фильтры, либо использовать практически осуществимые фильтры, отношение сигнал/помеха на выходе которых лишь немного меньше значения, определяемого соотношением (1.17). Такие фильтры называются квазиоптимальными.
Обозначим через rотношение значения сигнал / помеха на выходе произвольного линейного фильтра к значению сигнал / помеха на выходе согласованного фильтра. Используя выражение (1.6) и заменяя S n ( w) на N 0 / 2(для белого шума), получаем
.
В таблице приведены максимальные значения max для различных форм полезных радиоимпульсных сигналов и разных видов частотных
характеристик реализуемых фильтров при наилучших значениях их полос пропускания. При этом полоса выбирается из условия f· и = a, f – ширина полосы пропускания на уровне 0,5 по мощности, t и – эффективная длительность импульса.
Видно, что уменьшение отношения сигнал/помеха при замене оптимального фильтра квазиоптимальным можно сделать весьма небольшим.
При проектировании квазиоптимальных фильтров задаются структурой фильтра исходя из конструктивных соображений, а полосу его пропускания на уровне 0,707 от максимума определяют, максимизируя величину при изменении полосы пропускания. Квазиоптимальные фильтры для радиоимпульсных и вообще для высокочастотных сигналов выполняются на базе колебательных контуров или активных полосовых фильтров. Число контуров обычно задается из конструктивных соображений. Полосу пропускания оптимизируют, изменяя добротность колебательной системы.
На практике часто приходится работать с сигналами, имеющими случайную амплитуду и фазу. Как следует из (1.8) и (1.9), форма частотной характеристики не зависит от амплитуды. Поэтому для сигнала со случайной амплитудой можно использовать тот же фильтр, что и для сигнала с детерминированной амплитудой. Фазочастотная характеристика фильтра зависит от фазы сигнала. Однако при непрерывном случайном изменении фазы сигнала мы в подавляющем большинстве не имеем возможности перестраивать фильтр. Поэтому случайная фаза сигнала при проектировании фильтра принимается равной своему среднему значению, что несколько снижает отношение сигнал/помеха на выходе.
Синтез оптимальных фильтров
Рассмотрим различные способы синтеза оптимальных фильтров. Фильтры для выделения сигнала на фоне коррелированного шума строятся обычно на основе спектрального метода, т. е. при использовании для комплексной частотной характеристики фильтра выражения (1.8).
Для согласованных фильтров, выделяющих сигнал на фоне белого шума, возможны два метода – спектральный и временной. Временной метод основан на использовании связи между импульсной характеристикой фильтра и сигналом согласно формуле (1.11). При этом синтез согласованного фильтра заключается в построении такого линейного устройства, импульсная характеристика которого с точностью до масштабного множителя и с некоторым запаздыванием воспроизводит функцию, являющуюся зеркальным отражением сигнала. Метод особенно удобен для сигналов симметричной формы, так как в этом случае зеркальное отражение сигнала совпадает с самим сигналом. По определению импульсная характеристика есть отклик линейной системы на -функцию. Поэтому нужно так подбирать блоки согласованного фильтра, чтобы при действии на его входе d-функции на выходе воспроизводился сигнал заданной формы и длительности.
1.6.1. Синтез согласованного фильтра для прямоугольного
видеоимпульса
Рассмотрим временной и спектральный методы синтеза фильтра на примере прямоугольного видеоимпульса:
Последовательность действий при синтезе временным методом иллюстрируется рис. 1.2.
Известно, что единичная ступенька (перепад), или функция Хевисайда Y(t), (x 2 (t) ) есть интеграл от -функции (x 1 (t )):
После задержки единичной ступеньки на длительность импульса и (x 3 (t )), ее инвертирования (x 4 (t )) и вычитания из x 2 (t ) получим заданный прямоугольный импульс x 5 (t ), амплитуду которого можно изменять, меняя коэффициент передачи устройства. Отсюда следует, что искомый фильтр (рис. 1.3, а) состоит из интегратора 1, линии задержки на и 2, инвертора 3, сумматора 4 и усилителя 5. Инвертор и сумматор могут быть заменены вычитающим устройством 6 (рис. 1.3, б). Работа обоих вариантов фильтра идентична.
Рассмотрим синтез фильтра спектральным методом. Комплексный спектр прямоугольного видеоимпульса
Для согласованного фильтра
Полагая и = t 0 , окончательно получим
(1.18)
Рассмотрим члены, входящие в выражение (1.18). Оператор , как известно, представляет собой оператор идеального интегрирования гармонического сигнала; kA – коэффициент передачи линейного устройства; – задержку на время t и . Видно, что структурная схема такого фильтра соответствует рис. 1.3.
Механизм работы согласованного фильтра (см. рис. 1.3) можно выяснить, рассматривая прохождение через него импульса сигнала и шума (рис. 1.4).
Рис. 1.4
Входной сигнал x 1 (t )с помощью интегрирующего устройства накапливается в течение времени t и = t 0 до своего пикового значения (x 2 на рис. 1.4). Задержка на t и (x 3) и вычитание прекращают накопление сигнала, который уже дал на выходе максимальное значение, но вместе с тем прекращают и накопление шума. Выходной сигнал (x 4) становится треугольным.
К аналогичному результату можно прийти, найдя аналитическое выражение для выходного полезного сигнала.
Для прямоугольного видеоимпульса ковариационная функция
или, в силу симметрии ковариационной функции: 
.
Заменяя в последнем выражении на t – t 0 и полагая и = t 0 , на основании формулы (1.14) получаем
.
График этой функции совпадает с приведенным на рис. 1.4. Видно, что длительность полезного сигнала на выходе фильтра удваивается.
1.6.2. Синтез оптимального фильтра для приема прямоугольного
импульса на фоне коррелированного шума
Пусть шум на входе фильтра имеет спектральную плотность S n (w), отличную от равномерной:
,
где 2a – спектральная плотность шума при = 0; g–- постоянная, характеризующая ширину энергетического спектра.
В соответствии с выражением (1.8) тогда можно получить формулу для комплексной частотной характеристики оптимального фильтра для приема прямоугольного видеоимпульса на фоне коррелированного шума:
(1.19)
Оператор j соответствует оператору идеального дифференцирования. Структурная схема оптимального фильтра, построенного в соответствии с формулой (1.19), изображена на рис. 1.5:
На рисунке 6,7 – устройства дифференцирования; 8 – вычитатель. Назначение остальных блоков ясно из предыдущего.
Выражение (1.19) может быть преобразовано к виду
Структурная схема фильтра, соответствующая этому выражению, содержит на один блок меньше. Временной метод синтеза оптимальных фильтров для приема сигналов на фоне коррелированного шума используется редко, так как в этом случае передаточная функция фильтра обычно не позволяет построить структурную схему столь же просто, как это было сделано ранее.
Рис. 1.7
Формальная структурная схема, поясняющая выбор критерия оптимальности фильтра, представлена на рис. 1.7. Здесь 1 – сумматор; 2 – идеальный фильтр; 3 – реальный фильтр; 4 – устройство вычисления ошибки. Пусть h(t) – импульсная характеристика реального фильтра. Тогда
,
и среднеквадратическая ошибка
Для стационарных сигнала и помехи 
– максимальное значение ковариационной функции сигнала; – взаимная ковариационная функция принятой реализации и сигнала; – ковариационная функция принятой реализации.
Если h opt (t) – импульснаяхарактеристика оптимального фильтра, то среднеквадратическая ошибка для любого другого фильтра с импульсной характеристикой, которая представлена в виде
h (t ) = h opt (t )+hg (t ), (1.23)
может быть только больше или равна среднеквадратической ошибке оптимального фильтра. Для фильтра, имеющего характеристику, описываемую формулой (1.23), среднеквадратическая ошибка с учетом сделанных ранее обозначений
Минимум может быть найден из условия
(1.24)
Подробно расписывая условие (1.24), получим
Для любых g() это выражение справедливо лишь при
. (1.25)
Отсюда видно, что импульсная характеристика оптимального фильтра может быть получена при решении интегрального уравнения (1.25). Это решение может быть получено с помощью теоремы о Фурье-преобразовании свертки. Действительно, так как интеграл в правой части есть свертка , то, взяв преобразование Фурье от левой и правой частей этого уравнения, получим
(1.26)
где F – обозначение преобразования Фурье, S xs () – взаимная спектральная плотность принятого сообщения и сигнала; S x () – спектральная плотность принятого сообщения; K opt (j w) – оптимальная частотная характеристика фильтра. Тогда уравнение (1.25) с учетом формул (1.26) запишется в виде
При независимых сигнале и помехе
С учетом этих соотношений получаем
Это решение, строго говоря, описывает физически невозможный фильтр. Однако оно имеет практический смысл, так как приближенно применимо в тех случаях и с тем большей точностью, когда можно допустить большую задержку отклика фильтра относительно входного воздействия. Поэтому говорят, что это решение пригодно для фильтров с бесконечной задержкой.
Для физически возможных фильтров импульсная характеристика h(t) в силу принципа причинности существует только для t > 0 , так как сигнал на выходе фильтра не может появиться раньше начала импульса на входе. Для физически возможных фильтров уравнение (1.25) приводится к виду
т. е. к виду интегрального уравнения Винера-Хопфа, и должно решаться соответствующими методами.
НА ФОНЕ ПОМЕХ
Постановка задачи
Обнаружение сигналов практически всегда происходит при необходимости установить факт наличия или отсутствия какого-либо определенного физического объекта. Однако непосредственно установить этот факт мы обычно не можем, а можем лишь воспользоваться тем, что наличие или отсутствие интересующего нас объекта изменяет те или иные параметры некоторого сигнала – амплитуду (или сам факт наличия сигнала), время прихода, частоту, фазу и т. п. Примером может служить сигнал эхо-локационной системы, отраженный от какого-либо объекта. В этом случае сигнал присутствует лишь при наличии объекта. В других случаях объект только изменяет параметры сигнала, который присутствует все время. Общим во всех этих ситуациях является то, что сигнал поступает всегда вместе с помехами, а это может привести к ошибочным решениям. Случайный характер как помех, так и полезных сигналов приводит к тому, что при решении задачи обнаружения следует исходить из положений теории статистических решений.
Рис. 2.4
Участок под кривой p n (x) справа от x 0 определяет условную вероятность ложной тревоги, под кривой p sn (x) – условную вероятность правильного обнаружения. При смещении кривой p sn (x) вправо, что соответствует увеличению сигнала s , вероятность правильного обнаружения возрастает.
Структурная схема простейшего обнаружителя Неймана-Пирсона состоит из одного блока – порогового устройства. На первый вход его подается входной сигнал x(t) , на второй вход – пороговое значение x 0 . Сравнивая значения x(t) c x 0 , пороговое устройство в каждый момент времени вырабатывает решение о наличии или отсутствии сигнала.
Рис. 2.11
Она состоит из согласованного фильтра 1, детектора огибающей 2 и порогового устройства 3. Детектор выполняет функцию выделения огибающей. Характеристики обнаружения такого обнаружителя могут быть определены по формулам (2.17) и (2.18).
И начальной фазой
При работе систем обнаружения слабых сигналов, как правило, приходится иметь дело с сигналами, имеющими случайные значения амплитуд и начальных фаз. Такие сигналы можно записать в виде:
где B и – случайные амплитудный множитель и фаза с плотностями распределения:
.
Аналогично предыдущему, корреляционный интеграл можно представить в виде двух квадратурных составляющих:
Следует отметить, что B –
медленно изменяющаяся величина, практически постоянная в интервале . Корреляционный интеграл тогда равен 
, где 
.
Энергия флуктуирующего сигнала будет равна
где – энергия нефлуктуирующего сигнала при B = 1. Отсюда можно определить , усреднив (2.19) по B .
Тогда =1/ 2 и 
.
Используя выражения (2.14) и (2.19), можно записать отношение правдоподобия в виде
.
Теперь необходимо усреднить это выражение по случайным параметрам B и:
Схема оптимального обнаружителя сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой не отличается от схемы оптимального обнаружителя сигнала со случайной фазой. По-прежнему оптимальной является квадратурная схема обработки. Плотность распределения вероятностей при отсутствии сигнала, как и ранее, описывается законом Рэлея:
В случае наличия сигнала на входе устройства закон распределения также будет рэлеевским, но с плотностью распределения
.
Это следует из того, что вследствие независимости сигнала и помехи 
, где – дисперсия сигнальной составляющей корреляционного интеграла.
Тогда условная вероятность ложной тревоги
При обнаружении по стратегии Неймана-Пирсона
Условная вероятность правильного обнаружения
(2.22)
Подставляя сюда выражение (2.21), можно получить
. (2.23)
Выражение (2.23) устанавливает связь между условными вероятностями ложной тревоги и правильного обнаружения. Кривые обнаружения, рассчитанные по формулам (2.20) и (2.22), приведены на рис. 2.6 (штрихпунктирные линии). Из рисунка видно, что при увеличении отношения сигнал/помеха все кривые сначала растут медленно, а потом быстрее. При больших вероятностях правильного обнаружения кривые для сигнала со случайной начальной фазой и особенно для сигнала со случайными амплитудой и фазой смещены в сторону больших значений отношения сигнал/помеха. Наоборот, при малых вероятностях правильного обнаружения (P D 0,2) кривые обнаружения для сигнала со случайными амплитудой и фазой идут выше соответствующих кривых для других двух сигналов. Это объясняется тем, что при равенстве энергий амплитуда сигнала со случайными амплитудой и фазой с вероятностью Р = 0,74будет превышать амплитуду сигнала с полностью известными параметрами .
Значительно проще структурная схема оптимального обнаружителя с согласованным фильтром (рис. 2.11). Характеристики обнаружения такого обнаружителя могут быть определены в соответствии с выражениями (2.20)–(2.23). Однако в ряде случаев удобнее оказывается использовать несколько иной подход. Как указывалось ранее, случайные сигналы (и помехи) на выходе согласованного фильтра обычно можно считать распределенными по гауссовскому закону. При этом на выходе согласованного фильтра можно измерить дисперсии (или пропорциональные им мощности) помехи и смеси сигнала с помехой
Из изложенного видно, что оптимальные обнаружители на базе согласованных фильтров, имея те же характеристики обнаружения, что и корреляционные обнаружители, зачастую оказываются проще в реализации, так как не требуют наличия копии сигнала, задержанной на время распространения.
Постановка задачи
До сих пор мы рассматривали обнаружение сигнала от объекта в одной точке наблюдения. Однако на практике при сканировании пространства сигналы от того или иного объекта обычно поступают в течение некоторого времени: поступает пачка сигналов. Это вызывается, во-первых, конечной протяженностью большинства реальных объектов. Во-вторых, конечные размеры имеет также участок пространства, с которого в данный момент снимается информация о наличии или отсутствии объекта. Размеры этого участка зависят от размеров приемника. В результате при не слишком большом шаге сканирования мы зачастую имеем пачку сигналов конечной длительности, состоящую из нескольких сигналов одинаковой или различной амплитуды, либо (например, при непрерывном излучении) один сигнал большой длительности. Это явление целесообразно использовать для обнаружения сигналов, так как оно позволяет значительно увеличить чувствительность и достоверность обнаружения.
Задача обнаружения пачки сигналов будет решаться по-разному в зависимости от свойств такой пачки. Если зависимость между всеми параметрами импульсов, входящих в пачку, полностью известна, то такие импульсы и такая пачка называются когерентными. В противном случае пачка называется некогерентной. Когерентная пачка импульсов с полностью известными параметрами является частным случаем полностью известного сигнала, и для нее справедливы выражения (2.15) и (2.16), если в них под энергией сигнала понимать сумму энергий всех импульсов пачки.
Зачастую при обнаружении объектов импульсные сигналы в пачке флуктуируют. Эти флуктуации могут быть полностью коррелированными, частично коррелированными и некоррелированными. В первом случае сигналы флуктуируют от пачки к пачке, но соотношение параметров отдельных импульсов между собой от пачки к пачке не меняется: форма пачки одна и та же. Такие флуктуации носят название «дружных». Дружно флуктуирующую пачку можно рассматривать как одиночный сигнал сложной формы со случайными амплитудой и фазой.
В случае некоррелированных флуктуаций амплитуды и начальные фазы отдельных импульсов пачки меняются случайным образом вне связи друг с другом. Зачастую наибольший интерес представляет именно этот случай, а также случай частично коррелированных флуктуаций в пачке. При этом обнаружитель обычно состоит из оптимального фильтра для одиночного сигнала и устройства обработки пачки сигналов.
Список литературы
1. Харкевич А. А. Борьба с помехами. М.: Физматгиз, 1963.
2. Иванов М. Т., Сергиенко А. Б., Ушаков В. Н. Теоретические основы радиотехники. М.: Высш. шк., 2002.
3. Ольшевский В. В. Статистические методы в гидролокации. Л.: Судостроение, 1983.
4. Добротин Д. Д., Пигулевский Е. Д. Случайные сигналы и помехи в системах интроскопии: Учеб. пособие / ЛЭТИ. Л., 1990.
5. Тихонов В. И. Оптимальный прием сигналов. М.: Радио и связь, 1983.
6. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982.
7. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Сов.радио, 1977.
8. Кузьмин С. З. Цифровая обработка радиолокационной информации. М.: Сов.радио, 1967.
9. Дымова А. И., Альбац М. Е., Бонч-Бруевич А. М. Радиотехнические системы. М.: Сов.радио, 1975.
10. Ермолов И. Н. Теория и практика ультразвукового контроля. М.: Машиностроение, 1981.
11. Горбунов В. И., Епифанцев Б. И. Автоматические устройства в радиационной дефектоскопии. М.: Атомиздат, 1979.
12. Голубев А. С., Добротин Д. Д., Паврос С. К. О выборе порога срабатывания теневых иммерсионных ультразвуковых дефектоскопов при контроле изделий с шероховатой поверхностью // Дефектоскопия. 1975. № 3. С. 71–77.
13. Добротин Д. Д. К вопросу о надежности ультразвукового теневого контроля горячекатаного металла // Электроакустика и ультразвуковая техника. - Л., 1977. С.47–52 (Изв. ЛЭТИ. Вып. 221).
14. Добротин Д. Д. Надежность сплошного ультразвукового контроля листов с шероховатой поверхностью// Электроакустика и ультразвуковая техника. Л., 1979. С.17–22 (Изв. ЛЭТИ. Вып. 252).
Введение. 3
1.1. Постановка задачи фильтрации. 4
1.2. Оптимальные фильтры устройств обнаружения. 4
1.3. Согласованные фильтры.. 8
1.4. Согласованный фильтр и корреляционный приемник. 12
1. 5. Физически возможные фильтры. 14
