Сила взаимного притяжения пластин конденсатора. Формулы для конденсаторов. Электрическая емкость плоского конденсатора

Движения представляют собой пересечение изоповерхностей соответствующих интегралов движения. Например, построение Пуансо показывает, что без крутящего момента вращение твердого тела представляет собой пересечение сферы (сохранение полного углового момента) и эллипсоида (сохранение энергии), траекторию, которую трудно вывести и визуализировать. Поэтому, нахождение интегралов движения - важная цель в механике .

Методы нахождения интегралов движения

Существует несколько методов нахождения интегралов движения:

• Наиболее простой, но и наименее строгий метод заключается в интуитивном подходе, часто основанном на экспериментальных данных и последующего математического доказательства сохранения величины.

• Уравнение Гамильтона - Якоби предлагает строгий и прямой метод нахождения интегралов движения, особенно если гамильтониан принимает знакомую функциональную форму в ортогональных координатах .

• Другой подход заключается в сопоставлении сохраняющейся величины и какой-либо симметрии Лагранжиана . Теорема Нётер даёт систематический способ вывода таких величин из симметрий. Например, закон сохранения энергии является результатом того, что лагранжиан не изменяется относительно сдвига по времени, закон сохранения импульса эквивалентен инвариантности лагранжиана относительно сдвига начала координат в пространстве (трансляционная симметрия ) и закон сохранения момента импульса следует из изотропности пространства (лагранжиан не меняется при поворотах системы координат). Обратное тоже верно: каждая симметрия лагранжиана соответствует интегралу движения.

• Величина A сохраняется если она не зависит явным образом от времени и её скобки Пуассона с гамильтонианом системы равны нулю

Другой полезный результат известен как теорема Пуассона , в которой утверждается, что если есть два интеграла движения A и B то скобки Пуассона {A ,B } этих двух величин тоже является интегралом движения.

Система с n степенями свободы и n интегралами движения, такими, что скобки Пуассона любой пары интегралов равны нулю известна как полностью интегрируемая система. Такой набор интегралов движения, как говорят, находится в инволюции друг с другом.

В квантовой механике

Наблюдаемая величина Q сохраняется, если она коммутирует с гамильтонианом H , который не зависит явным образом от времени. Поэтому

где используется коммутационное соотношение

.

Вывод

Пусть имеется некоторая наблюдаемая Q , которая зависит от координаты, импульса и времени

Для вычисления производной по времени от среднего значения наблюдаемой Q используется правило дифференцирования произведения , и результат после некоторых манипуляций приведён ниже

В итоге получим

Отношение к квантовому хаосу и квантовой интегрируемости

В классической механике имеется теорема Лиувилля , согласно которой система, в которой число интегралов движения в инволюции совпадает с числом степеней свободы n , может быть полностью проинтегрирована (решена) методом разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. Такая система является интегрируемой системой. Траектория такой системы в 2n -мерном фазовом пространстве может быть представлена в подходящих переменных (переменных действие-угол) как намотка на n -мерном торе. Системы, число интегралов в которой меньше числа степеней свободы, проявляет хаотическое поведение, то есть траектории в фазовом пространстве с близкими начальными условиями могут экспоненциально расходиться. При небольшой деформации интегрируемой системы в неинтегрируемую n -мерный тор в 2n -мерном фазовом пространстве разрушается («размывается»), превращаясь, например в странный аттрактор .

Квантовый аналог теоремы Лиувилля неизвестен, однако и в квантовом случае системы можно разделить на интегрируемые и неинтегрируемые. Под интегрируемыми в этом случае подразумевают системы, которые допускают точное решение, в смысле возможности найти все собственные значения и собственные функции гамильтониана в разумном виде. Известен квантовый аналог метода разделения переменных, однако его применение не столь универсально в классических случаях. Изветсные примеры показывают, что в квантовых интегрируемых системах, также как и в классических, имеется n интегралов движения, коммутирующих между собой. Однако наличие n интегралов движения, по-видимому, ещё не гарантирует квантовой интегрируемости. Задача квантования интегрируемых систем представляет собой поиск такой квантовой системы, которая допускала бы точное решение и давала бы данную классическую систему в классическом пределе. Имеются также примеры интегрируемых квантовых систем, не имеющих интегрируемых классических аналогов. Это происходит в том случае, если система может быть решена при специальных значениях параметров квантового гамильтониана , либо когда система не допускает классического описания (как, например, система спинов).

Все остальные квантовые системы проявляют в той или иной степени признаки квантового хаоса. Классические хаотические системы допускают квантование в том смысле, что может быть корректно определено их пространство состояний и гамильтониан, однако как и классические хаотические системы, так и квантовые, по-видимому, не допускают точного решения. Их можно исследовать приближёнными методами, такими как теория возмущений и вариационный метод, а также исследованы численно методами молекулярной динамики в классическом случае или численной диагонализации гамильтониана в квантовом случае.

См. также

Литература

• Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). - Prentice Hall, 2004. - ISBN ISBN 0-13-805326-X
• Ландау, Л. Д. , Лифшиц, Е. М. Механика. - Издание 4-е, исправленное. - М .: Наука , 1988. - 215 с. - («Теоретическая физика» , том I). - ISBN 5-02-013850-9
• Арнольд В. И. «Математические методы классической механики», из. 5-ое, М.:Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Интеграл движения" в других словарях:

интеграл движения - judėjimo integralas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. integral of motion vok. Bewegungsintegral, n rus. интеграл движения, m pranc. intégrale de mouvement, f … Fizikos terminų žodynas

Интеграл (см. также Первообразная, Численное интегрирование, Интегрирование по частям) математический оператор: Определённый интеграл Неопределённый интеграл различные определения интегралов: Интеграл расширение понятия суммы Интеграл Ито… … Википедия

Интеграл Коши Лагранжа интеграл уравнений движения идеальной жидкости (уравнений Эйлера) в случае потенциальных течений. Содержание 1 Варианты названия 2 Историческая справка … Википедия

Член в кинетическом уравнении Болъцмана, равный изменению ф ции распределения частиц (или квазичастиц) за единицу времени в элементе фазового объёма вследствие столкновений между ними; его наз. также оператором столкновений. И. с. равен (с… … Физическая энциклопедия

Одно из центральных понятий математич. анализа и всей математики, возникновение к рого связано с двумя задачами: о восстановлении функции по ее производной (напр., с задачей об отыскании закона движения материальной точки вдоль прямой по… … Математическая энциклопедия

Импульс (количество движения) аддитивный интеграл движения механической системы; соответствующий закон сохранения связан с фундаментальной симметрией однородностью пространства. Содержание 1 История появления термина 2 «Школьное» определение… … Википедия

Формулировка через интеграл по траеториям квантовой механики это описание квантовой теории, которое обобщает принцип действия классической механики. Оно замещает классическое обозначение одиночной, уникальной траектории для системы суммой, или… … Википедия

- (континуальный интеграл, интеграл по траекториям, фейнмановский интеграл по траекториям) запись или результат функционального интегрирования (интегрирования по траекториям). Находит наибольшее применение в квантовой физике (квантовой теории … Википедия

• Перевод

Симуляция физики делает небольшие предсказания на основании законов физики. Эти предсказания на самом деле достаточно просты, что-то вроде «если объект вот здесь и он движется с такой скоростью в этом направлении, то за краткий промежуток времени он окажется вот тут». Мы создаём такие предсказания с помощью математической техники под названием интегрирование.

Темой этой статьи как раз и будет реализация такого интегрирования.

Интегрирование уравнений движения

Вы можете помнить из курса старшей школы или вуза, что сила равна произведению массы на ускорение.
Преобразуем это уравнение и увидим, что ускорение равно силе, делённой на массу. Это соответствует нашим интуитивным ожиданиям, потому что тяжёлые объекты труднее бросать.
Ускорение - это темп изменения скорости от времени:

Аналогично, скорость - это темп изменения позиции от времени:

Это значит, что если мы знаем текущие позицию и скорость объекта, а также приложенные к нему силы, то сможем проинтегрировать, чтобы найти его позицию и скорость в определённый момент времени.

Численное интегрирование

Если вы не изучали дифференциальные уравнения в вузе, то можете вздохнуть спокойно - вы почти в такой же ситуации, что и те, кто их изучал, потому что мы не будем решать дифференциальные уравнения аналитически. Вместо этого мы будем искать решение численным интегрированием .

Вот как работает численное интегрирование: во-первых, начнём с исходной позиции и скорости, затем сделаем небольшой шаг вперёд, чтобы найти скорость и позицию в будущем. Затем повторим это, двигаясь вперёд небольшими шагами, используя результат предыдущих вычислений как исходную точку следующих.

Но как нам найти изменение скорости и позиции на каждом шаге?

Ответ лежит в уравнениях движения .

Давайте назовём наше текущее время t , а шаг времени dt или «delta time».

Теперь мы можем представить уравнения движения в понятном всем виде:

Ускорение = сила / масса изменение позиции = скорость * dt изменение скорости = ускорение * dt
Интуитивно это понятно: если вы находитесь в автомобиле, движущемся со скоростью 60 км/ч, то за один час вы проедете 60 км. Аналогично, автомобиль, ускоряющийся на 10 км/ч в секунду, через 10 секунд будет двигаться на 100 км/ч быстрее.

Разумеется, эта логика сохраняется, только когда ускорение и скорость постоянны. Но даже если они меняются, то это для начала вполне неплохая аппроксимация.

Давайте представим это в коде. Начнём с стационарного объекта массой один килограмм и приложим к нему постоянную силу в 10 кН (килоньютонов) и сделаем шаг вперёд, принимая, что один временной шаг равен одной секунде:

Double t = 0.0; float dt = 1.0f; float velocity = 0.0f; float position = 0.0f; float force = 10.0f; float mass = 1.0f; while (t <= 10.0) { position = position + velocity * dt; velocity = velocity + (force / mass) * dt; t += dt; }
Вот каким будет результат:

T=0: position = 0 velocity = 0 t=1: position = 0 velocity = 10 t=2: position = 10 velocity = 20 t=3: position = 30 velocity = 30 t=4: position = 60 velocity = 40 t=5: position = 100 velocity = 50 t=6: position = 150 velocity = 60 t=7: position = 210 velocity = 70 t=8: position = 280 velocity = 80 t=9: position = 360 velocity = 90 t=10: position = 450 velocity = 100
Как вы видите, на каждом шаге мы знаем и позицию, и скорость объекта. Это и есть численное интегрирование.

Явный метод Эйлера

Вид интегрирования, который мы только что использовали, называется явным методом Эйлера .

Он назван в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера , впервые открывшего эту технику.

Интегрирование Эйлера - это простейшая техника численного интегрирования. Она точна на 100% только когда темп изменений в течение шага времени постоянен.

Поскольку в примере выше ускорение постоянно, интегрирование скорости выполняется без ошибок. Однако мы ещё интегрируем и скорость для получения позиции, а скорость увеличивается из-за ускорения. Это значит, что в проинтегрированной позиции возникает ошибка.

Но насколько велика эта ошибка? Давайте выясним!

Существует аналитическое решение движения объекта при постоянном ускорении. Мы можем использовать его, чтобы сравнить численно интегрированную позицию с точным результатом:

S = ut + 0.5at^2 s = 0.0*t + 0.5at^2 s = 0.5(10)(10^2) s = 0.5(10)(100) s = 500 метров
Через 10 секунд объект должен был переместиться на 500 метров, но явным метод Эйлера даёт нам результат 450. То есть погрешность в целых 50 метров всего за 10 секунд!

Кажется, что это невероятно плохо, но в играх обычно для шага физики берётся не такой большой временной интервал. На самом деле, физика обычно вычисляется с частотой, примерно равной частоте кадров дисплея.

Если задать шаг dt = 1 ⁄ 100 , то мы получим гораздо лучший результат:

T=9.90: position = 489.552155 velocity = 98.999062 t=9.91: position = 490.542145 velocity = 99.099060 t=9.92: position = 491.533142 velocity = 99.199059 t=9.93: position = 492.525146 velocity = 99.299057 t=9.94: position = 493.518127 velocity = 99.399055 t=9.95: position = 494.512115 velocity = 99.499054 t=9.96: position = 495.507111 velocity = 99.599052 t=9.97: position = 496.503113 velocity = 99.699051 t=9.98: position = 497.500092 velocity = 99.799049 t=9.99: position = 498.498077 velocity = 99.899048 t=10.00: position = 499.497070 velocity = 99.999046
Как вы видите, это достаточно хороший результат, определённо вполне достаточный для игры.

Почему явный метод Эйлера не (всегда) так уж хорош

С достаточно малым шагом времени явный метод Эйлера при постоянном ускорении даёт вполне достойные результаты, но что будет, если ускорение не постоянно?

Хорошим примером переменного ускорения является система пружинного амортизатора .

В этой системе масса присоединена к пружине, и её движение гасится чем-то вроде трения. Существует сила, пропорциональная расстоянию до объекта, которая притягивает его к исходной точке, и сила, пропорциональная скорости объекта, но направленная в противоположном направлении, которая замедляет его.

Здесь ускорение в течение шага времени совершенно точно изменяется, но эта постоянно меняющаяся функция является сочетанием позиции и скорости, которые сами постоянно изменяются за шаг времени.

В большинстве коммерческих игровых физических движков используется этот интегратор.

Переход от явного к симплектическому методу Эйлера заключается только в замене:

Position += velocity * dt; velocity += acceleration * dt;
на:

Velocity += acceleration * dt; position += velocity * dt;
Использование симплектического интегратора Эйлера при dt = 1 ⁄ 100 для системы пружинного амортизатора даёт стабильный результат, очень близкий к точному решению:

Даже несмотря на то, что симплектический метод Эйлера имеет ту же степень точности, что и явный метод (степень 1), при интегрировании уравнений движения мы получаем намного лучший результат, потому что оно является симплектическим .

Существует множество других методов интегрирования

И теперь нечто совершенно другое.

RK4 - это интегратор четвёртого порядка, то есть накапливаемая ошибка имеет порядок четвёртой производной. Это делает метод очень точным, гораздо более точным, чем явный и неявный методы Эйлера, имеющие только первый порядок.

Но хотя он более точен, нельзя сказать, что RK4 автоматически становится «лучшим» интегратором, или даже что он лучше симплектического метода Эйлера. Всё гораздо сложнее. Тем не менее, это довольно интересный интегратор и его стоит изучить.

Реализация RK4

Существует уже много объяснений математики, используемой в RK4. Например: , и . Я настоятельно рекомендую изучить его выведение и понять, как и почему он работает на математическом уровне. Но я понимаю, что целевая аудитория этой статьи - программисты, а не математики, поэтому мы здесь будем рассматривать только реализацию. Так что давайте приступим.

Прежде чем приступить, давайте зададим состояние объекта как struct в C++, чтобы можно было удобно хранить позицию и скорость в одном месте:

Struct State { float x; // позиция float v; // скорость };
Также нам нужна структура для хранения производных значений состояний:

Struct Derivative { float dx; // dx/dt = скорость float dv; // dv/dt = ускорение };
Теперь нам нужна функция для вычисления состояния физики из t в t+dt с помощью одного набора производных, а после этого для вычисления производных в новом состоянии:

Derivative evaluate(const State & initial, double t, float dt, const Derivative & d) { State state; state.x = initial.x + d.dx*dt; state.v = initial.v + d.dv*dt; Derivative output; output.dx = state.v; output.dv = acceleration(state, t+dt); return output; }
Функция ускорения управляет всей симуляцией. Давайте используем её в системе пружинного амортизатора и вернём ускорение для единичной массы:

Float acceleration(const State & state, double t) { const float k = 15.0f; const float b = 0.1f; return -k * state.x - b * state.v; }
То, что нужно здесь записать, разумеется, зависит от симуляции, но необходимо структурировать симуляцию таким образом, чтобы можно было вычислять ускорение внутри этого метода для заданных состояния и времени, в противном случае он не подойдёт для интегратора RK4.

Наконец, мы получаем саму процедуру интегрирования:

Void integrate(State & state, double t, float dt) { Derivative a,b,c,d; a = evaluate(state, t, 0.0f, Derivative()); b = evaluate(state, t, dt*0.5f, a); c = evaluate(state, t, dt*0.5f, b); d = evaluate(state, t, dt, c); float dxdt = 1.0f / 6.0f * (a.dx + 2.0f * (b.dx + c.dx) + d.dx); float dvdt = 1.0f / 6.0f * (a.dv + 2.0f * (b.dv + c.dv) + d.dv); state.x = state.x + dxdt * dt; state.v = state.v + dvdt * dt; }
Интегратор RK4 делает выборку производной в четырёх точках, чтобы определить кривизну. Заметьте, как производная a используется при вычислении b, b используется при вычислении c, и c для d. Эта передача текущей производной в вычисление следующей и даёт интегратору RK4 его точность.

Важно то, что каждая из этих производных a, b, c и d будет разной , когда темп изменения в этих величинах является функцией времени или функцией самого состояния. Например, в нашей системе пружинного амортизатора ускорение является функцией текущей позиции и скорости, которые меняются в шаге времени.

После вычисления четырёх производных наилучшая общая производная вычисляется как взвешенная сумма, полученная из разложения в ряд Тейлора . Эта комбинированная производная используется для перемещения позиции и скорости вперёд во времени, точно так же, как мы делали это в явном интеграторе Эйлера.

Сравнение симплектического метода Эйлера и RK4

Давайте подвергнем проверке интегратор RK4.

Очевидно, что поскольку он является интегратором более высокого порядка (четвёртый против первого) он наглядно будет более точен, чем симплектический метод Эйлера, правда?

Неправда . Оба интегратора так близки к точному результату, что при таком масштабе почти невозможно найти между ними разницу. Оба интегратора стабильны и очень хорошо повторяют точное решение при dt = 1 ⁄ 100 .

При увеличении видно, что RK4 действительно более точен, чем симплектический метод Эйлера, но стоит ли эта точность сложности и лишнего времени выполнения RK4? Трудно судить.

Давайте постараемся и посмотрим, сможем ли мы найти значительное различие между двумя интеграторами. К сожалению, мы не сможем долго наблюдать за этой системой, потому что она быстро затухает до нуля, поэтому давайте перейдём к простому гармоническому осциллятору , который колеблется бесконечно и без затуханий.

Вот точный результат, к которому мы будем стремиться:

Чтобы усложнить интеграторам задачу, давайте увеличим шаг времени до 0,1 секунды.

Теперь запустим интеграторы на 90 секунд и увеличим масштаб:

Через 90 секунд симплектический метод Эйлера (оранжевая кривая) сдвинулся по фазе относительно точного решения, потому что его частота немного отличалась, в то время как зелёная кривая RK4 соответствует частоте, но теряет энергию!

Мы чётко можем это заметить, увеличив шаг времени до 0,25 секунды.

RK4 сохраняет верную частоту, но теряет энергию:

А симплектический метод Эйлера в среднем намного лучше сохраняет энергию:

Но от сдвигается от фазы. Какой интересный результат! Как вы видите, если RK4 имеет более высокий порядок точности, то он не обязательно «лучше». В этом вопросе есть множество нюансов.

Заключение

Мы реализовали три различных интегратора и сравнили результаты.

1. Явный метод Эйлера
2. Симплектический метод Эйлера
3. Метод Рунге-Кутты порядка 4 (RK4)

Так какой же интегратор стоит использовать в игре?

Если вам действительно нужна бОльшая точность, чем у симплектического метода Эйлера, я рекомендую посмотреть на симплектические интеграторы более высокого порядка, рассчитанные на Добавить метки

Слово «интеграл» происходит от латинского integralis - целостный. Это название предложил в 17 в. ученик великого Лейбница (и также выдающийся математик) И. Бернулли. А что такое интеграл в современном понимании? Ниже мы постараемся дать всесторонний ответ на этот вопрос.

Исторические предпосылки возникновения понятия интеграла

В начале 17 в. в рассмотрении ведущих ученых находилось большое число физических (прежде всего механических) задач, в которых нужно было исследовать зависимости одних величин от других. Самыми наглядными и насущными проблемами были определение мгновенной скорости неравномерного движения тела в любой момент времени и обратная этой задача нахождения величины пути, пройденного телом за определенный промежуток времени при таком движении. Сегодня мы уже знаем, что такое интеграл от скорости движения - это и есть пройденный путь. Но понимание того, как его вычислять, зная скорость в каждый момент времени, появилось не сразу.

Поначалу из рассмотрения таких зависимостей физических величин, например, пути от скорости, было сформировано математическое понятие функции y = f(x). Исследование свойств различных функций привело к зарождению математического анализа. Ученые активно искали способы изучения свойств различных функций.

Как возникло вычисление интегралов и производных?

После создания Декартом основ аналитической геометрии и появления возможности изображать функциональные зависимости графически в осях декартовой системы координат, перед исследователями встали две крупные новые задачи: как провести касательную к кривой линии в любой ее точке и как найти площадь фигуры, ограниченной сверху этой кривой и прямыми, параллельными осям координат. Неожиданным образом оказалось, что первая из них эквивалентна нахождению мгновенной скорости, а вторая - нахождению пройденного пути. Ведь он при неравномерном движении изображался в декартовых осях координат «расстояние» и «время» некоторой кривой линией.

Гением Лейбница и Ньютона в середине 17 в. были созданы методы, позволившие решать обе эти задачи. Оказалось, что для проведения касательной к кривой в точке нужно найти величину так называемой производной от функции, описывающей эту кривую, в рассматриваемой ее точке, и эта величина оказывается равной скорости изменения функции, т. е. применительно к зависимости «путь от скорости» собственно мгновенной скоростью тела.

Для нахождения же площади, ограниченной кривой линией, следовало вычислить определенный интеграл, который давал ее точную величину. Производная и интеграл - основные понятия дифференциального и интегрального исчисления, являющихся базисом современного матанализа - важнейшего раздела высшей математики.

Площадь под кривой линией

Итак, как же определить ееточную величину? Попробуем раскрыть процесс ее вычисления через интеграл подробно, с самых азов.

Пусть f является непрерывной на отрезке функцией. Рассмотрим кривую у = f(x), изображенную на рисунке ниже. Как найти площадь области, ограниченной кривой), осью х, и линиями х = а и х = b? То есть площадь заштрихованной фигуры на рисунке.

Самый простой случай, когда f является постоянной функцией; то есть, кривая есть горизонтальная линия f(X) = k, где k постоянная и k ≥ 0, как показано на рисунке ниже.

В этом случае область под кривой - всего лишь прямоугольник с высотой k и шириной (b - a), так что площадь определяется как: k · (b - а).

Области некоторых других простых фигур, таких как треугольник, трапеция и полуокружность, даются формулами из планиметрии.

Площадь под любой непрерывной кривой у = f(х) дается определенным интегралом, который записывается так же, как обычный интеграл.

Риманова сумма

Прежде чем погрузиться в подробный ответ на вопрос, что такое интеграл, выделим некоторые основные идеи.

Во-первых, область под кривой делится на некоторое число n вертикальных полос достаточно малой ширины Δx. Далее каждая вертикальная полоса заменяется вертикальным прямоугольником высотой f(х), шириной Δx, и площадью f(х)dx. Следующим шагом является формирование суммы площадей всех этих прямоугольников, называемой Римановой суммой (смотрите рисунки ниже).

Рисуя наши прямоугольники шириной Δx, мы можем брать их высоту, равную значению функции на левом краю каждой полоски, т. е. на кривой будут лежать крайние левые точки их верхних коротких сторон шириной Δx. При этом на участке, где функция растет, и ее кривая является выпуклой, все прямоугольники оказываются ниже этой кривой, т. е. их сумма будет заведомо меньшей точной величины площади под кривой на этом участке (см. рисунок ниже). Такой способ аппроксимации называется левосторонним.

В принципе, можно нарисовать аппроксимирующие прямоугольники таким образом, чтобы на кривой лежали крайние правые точки их верхних коротких сторон шириной Δx. Тогда они будут выше кривой, и приближение площади на этом участке окажется больше ее точной величины, как показано на рисунке ниже. Этот способ носит название правостороннего.

Но мы можем также взять высоту каждого из аппроксимирующих прямоугольников, равной просто некоторому значению функции в произвольной точке x* i внутри соответствующей полоски Δx i (смотри рис. ниже). При этом мы даже можем не брать одинаковую ширину всех полосок.

Составим Риманову сумму:

Переход от Римановой суммы к определенному интегралу

В высшей математике доказывается теорема, которая гласит, что если при неограниченном возрастании числа n аппроксимирующих прямоугольников наибольшая их ширина стремится к нулю, то Риманова сумма A n стремится к некоторому пределу A. Число A - одно и то же при любом способе образования аппроксимирующих прямоугольников и при любом выборе точек x* i .

Наглядное пояснение теоремы дает рисунок ниже.

Из него видно, что, чем уже прямоугольники, тем ближе площадь ступенчатой фигуры к площади под кривой. При числе прямоугольников n→∞ их ширина Δx i →0, а предел A суммы A n численно равен искомой площади. Этот предел и есть определенный интеграл функцииf (х):

Символ интеграла, представляющий собой видоизмененную курсивную литеру S, был введен Лейбницем. Ставить сверху и снизу обозначения интеграла его пределы предложил Ж. Б. Фурье. При этом ясно указывается начальное и конечное значение x.

Геометрическое и механическое истолкование определенного интеграла

Попробуем дать развернутый ответ на вопрос о том, что такое интеграл? Рассмотрим интеграл на отрезке от положительной внутри него функции f(х), причем считаем, что верхний предел больше нижнего a

Если ординаты функции f(х) отрицательны внутри , то абсолютное значение интеграла равно площади между осью абсцисс и графиком y=f(х), сам же интеграл отрицателен.

В случае же однократного или неоднократного пересечения графиком y=f(х) оси абсцисс на отрезке , как показано на рисунке ниже, для вычисления интеграла нужно определить разность, в которой уменьшаемое будет равно суммарной площади участков, находящихся над осью абсцисс, а вычитаемое - суммарной площади участков, находящихся под ней.

Так, для функции, показанной на рисунке выше, определенный интеграл от a до b будет равен (S1 + S3) - (S2+S4).

Механическое истолкование определенного интеграла тесно связано с геометрическим. Вернемся к разделу «Риманова сумма» и представим, что приведенный на рисунках график выражает функцию скорости v=f(t) при неравномерном движении материальной точки (ось абсцисс является осью времени). Тогда площадь любого аппроксимирующего прямоугольника шириной Δt, который мы строили при формировании Римановой суммы, будет выражать приближенно путь точки за время Δt, а именно v(t*)Δt.

Полная сумма площадей прямоугольников на отрезке от t 1 =a до t 2 =b выразит приближенно путь s за время t 2 - t 1 , а предел ее, т. е. интеграл (определенный) от a до b функции v = f(t) по dt даст точное значение пути s.

Дифференциал определенного интеграла

Если вернуться к его обозначению, то вполне можно предположить, что a = const, а b является конкретным значением некоторой независимой переменной x. Тогда определенный интеграл с верхним пределом x̃ из конкретного числа превращается в функцию от x̃. Такой интеграл равен площади фигуры под кривой, обозначенной точками aABb на рисунке ниже.

При неподвижной линии aA и подвижной Bb эта площадь становится функцией f(x̃), причем приращения Δx̃ по-прежнему откладываются вдоль оси х, а приращением функции f(x̃) являются приращения площади под кривой.

Предположим, что мы дали переменной x̃ = b некоторое малое приращение Δx̃. Тогда приращение площади фигуры aABb складывается из площади прямоугольника (заштрихован на рисунке) Bb∙Δx̃ и площади фигуры BDC под кривой. Площадь прямоугольника равна Bb∙Δx̃ = f(x̃)Δx̃, т.е она является линейной функцией приращения независимой переменной. Площадь же фигуры BDC заведомо меньше, чем площадь прямоугольника BDCK = Δx̃∙Δy, и при стремлении Δx̃ →0 она уменьшается еще быстрее него. Значит, f(x̃)Δx̃ = f(x̃)dx̃ есть дифференциал переменной площади aABb, т. е. дифференциал определенного интеграла

Отсюда можно заключить, что вычисление интегралов заключается в разыскании функций по заданным выражениям их дифференциалов. Интегральное исчисление как раз и представляет собой систему способов разыскания таких функций по известным их дифференциалам.

Фундаментальное соотношение интегрального исчисления

Оно связывает отношения между дифференцированием и интегрированием и показывает, что существует операция, обратная дифференцированию функции, - ее интегрирование. Оно также показывает, что если любая функция f(х) непрерывна, то применением к ней этой математической операции можно найти целый ансамбль (совокупность, множество) функций, первообразных для нее (или иначе, найти неопределенный интеграл от нее).

Пусть функция F(x) является обозначением результата интегрирования функции f(х). Соответствие между этими двумя функциями в результате интегрирования второй из них обозначается следующим образом:

Как видно, при символе интеграла отсутствуют пределы интегрирования. Это означает, что из определенного он преобразован в неопределенный интеграл. Слово «неопределенный» означает, что результатом операции интегрирования в данном случае является не одна, а множество функций. Ведь, кроме собственно функции F(x), последним выражениям удовлетворяет и любая функция F(x)+С, где С = const. При этом подразумевается, что постоянный член в ансамбле первообразных можно задавать по произволу.

Следует подчеркнуть, что, если интеграл, определенный от функции, является числом, то неопределенный есть функция, точнее, их множество. Термин «интегрирование» применяется для определения операции разыскания обоих видов интегралов.

Основное правило интегрирования

Оно представляет собой полную противоположность соответствующему правилу для дифференцирования. Как же берутся неопределенные интегралы? Примеры этой процедуры мы рассмотрим на конкретных функциях.

Давайте посмотрим на степенную функцию общего вида:

После того как мы сделали это с каждым слагаемым в выражении интегрируемой функции (если их несколько), мы добавляем постоянную в конце. Напомним, что взятие производной от постоянной величины уничтожает ее, поэтому взятие интеграла от любой функции даст нам восстановление этой постоянной. Мы обозначаем ее С, так как постоянная неизвестна - это может быть любое число! Поэтому мы можем иметь бесконечно много выражений для неопределенного интеграла.

Давайте рассмотрим простые неопределенные интегралы, примеры взятия которых показаны ниже.

Пусть нужно найти интеграл от функции:

f(х) = 4x 2 + 2x - 3.

Начнем с первого слагаемого. Мы смотрим на показатель степени 2 и увеличиваем его на 1, затем делим первый член на результирующий показатель 3. Получаем: 4(x 3) / 3.

Затем мы смотрим на следующий член и делаем то же самое. Так как он имеет показатель степени 1, то результирующий показатель будет 2. Таким образом, мы разделим это слагаемое на 2: 2(x 2) / 2 = x 2 .

Последний член имеет множитель х, но мы просто не видим его. Мы можем представить себе последнее слагаемое как (-3x 0). Это эквивалентно (-3)∙(1). Если мы используем правило интегрирования, мы добавим 1 к показателю, чтобы поднять его до первой степени, а затем разделим последний член на 1. Получим 3x.

Это правило интегрирования работает для всех значений n, кроме n = - 1 (потому что мы не можем разделить на 0).

Мы рассмотрели самые простой пример нахождения интеграла. Вообще же решение интегралов является делом непростым, и в нем хорошим подспорьем является уже накопленный в математике опыт.

Таблицы интегралов

В разделе выше мы видели, что из каждой формулы дифференцирования получается соответствующая формула интегрирования. Поэтому все возможные их варианты уже давно получены и сведены в соответствующие таблицы. Нижеприведенная таблица интегралов содержит формулы интегрирования основных алгебраических функций. Эти формулы нужно знать на память, заучивая их постепенно, по мере их закрепления упражнениями.

Еще одна таблица интегралов содержит основные тригонометрические функции:

Как же вычислить определенный интеграл

Оказывается, сделать это, умея интегрировать, т. е. находить неопределенные интегралы, очень просто. И помогает в этом формула основателей интегро-дифференциального исчисления Ньютона и Лейбница

Согласно ей, вычисление искомого интеграла состоит на первом этапе в нахождении неопределенного, последующем вычислении значения найденной первообразной F(x) при подстановке x, равного сначала верхнему пределу, затем нижнему и, наконец, в определении разности этих значений. При этом константу С можно не записывать. т.к. она пропадает при выполнении вычитания.

Рассмотрим некоторые интегралы с подробным решением.

Найдем площадь участка под одной полуволной синусоидой.

Вычислим заштрихованную площадь под гиперболой.

Рассмотрим теперь интегралы с подробным решением, использующим в первом примере свойство аддитивности, а во втором - подстановку промежуточной переменной интегрирования. Вычислим определенный интеграл от дробно-рациональной функции:

y=(1+t)/t 3 от t=1 до t=2.

Теперь покажем, как можно упростить взятие интеграла введением промежуточной переменной. Пусть нужно вычислить интеграл от (x+1) 2 .

О несобственных интегралах

Мы говорили об определенном интеграле для конечного промежутка от непрерывной на нем функции f(х). Но ряд конкретных задач приводит к необходимости расширить понятие интеграла на случай, когда пределы (один или оба) равны бесконечности, или при разрывной функции. Например, при вычислении площадей под кривыми, асимптотически приближающимися к осям координат. Для распространения понятия интеграла на этот случай, кроме предельного перехода при вычислении Римановой суммы аппроксимирующих прямоугольников, выполняется еще один. При таком двукратном переходе к пределу получается несобственный интеграл. В противоположность ему все интегралы, о которых говорилось выше, называются собственными.

Обсудим теперь обратную проблему. Пусть вместо таблицы расстояний нам дана таблица скоростей в различные моменты времени, начиная с нуля.

В табл. 8.4 представлена зависимость скорости падающего шара от времени. Аналогичную таблицу можно составить и для машины, если записывать показания спидометра через каждую минуту или полминуты. Но можно ли, зная скорость машины в любой момент времени, вычислить расстояние, которое ею было пройдено? Эта задача обратна той, которую мы только что рассмотрели. Как же решить ее, если скорость машины непостоянна, если она то ускоряется до 90 км/час, то замедляется, затем где-то останавливается у светофора и т.д.? Сделать это нетрудно. Нужно использовать ту же идею и выражать полное расстояние через бесконечно малые его части. Пусть в первую секунду скорость будет vi, тогда по формуле Δs= v 1 \Δt можно вычислить расстояние, пройденное за эту секунду. В следующую секунду скорость будет несколько другой, хотя, может быть, и близкой к первоначальной, а расстояние, пройденное машиной за вторую секунду, будет равно новой скорости, умноженной на интервал времени (1 сек). Этот процесс можно продолжить дальше, до самого конца пути. В результате мы получим много маленьких отрезков, которые в сумме дадут весь путь. Таким образом, путь является суммой скоростей, умноженных на отдельные интервалы времени, или s — ∑vΔt, где греческая буква ∑ (сигма) означает суммирование. Точнее, это будет сумма скоростей в некоторые моменты времени, скажем t i , умноженные на Δt:

причем каждый последующий момент t i+1 находится по правилу t i+1 =t + Δt. Но расстояние, полученное этим методом, не будет точным, поскольку скорость за время Δt все же изменяется. Выход из этого положения заключается в том, чтобы брать все меньшие и меньшие интервалы Δt, т. е. разбивать время движения на все большее число все меньших отрезков. В конце концов мы придем к следующему, теперь уже точному выражению для пройденного пути:

Математики придумали для этого предела, как и для дифференциала, специальный символ. Значок Δ превращается в d, напоминая о том, что интервал времени сколь угодно мал, а
знак суммирования превращается в ∫ - искаженное большое S, первая буква латинского слова «Sumrna». Этот значок назван интегралом. Таким образом, мы пишем

где v(t) — скорость в момент t. Сама же операция суммирования этих членов называется интегрированием. Она противоположна операции дифференцирования в том смысле, что производная этого интеграла равна v(t), так что один оператор (d/dt) «уничтожает» другой (∫). Это дает возможность получать формулы для интегралов путем обращения формул для дифференциалов: интеграл от функции, стоящей в правой колонке табл.8.3, будет равен функции, стоящей в левой колонке. Дифференцируя все виды функций, вы сами можете составить таблицу интегралов.

Любая функция, заданная в аналитическом виде, т. е. выражающаяся через комбинацию известных нам функций, дифференцируется очень просто — вся операция выполняется чисто алгебраически, и в результате мы всегда получаем какую-то известную функцию. Однако интеграл не от всякой функции можно записать в аналитическом виде. Разумеется, для каждого частного интеграла всегда сначала пытаются найти такую функцию, которая, будучи продифференцирована, давала бы функцию, стоящую после знака интеграла (она называется подынтегральной). Однако это не всегда удается сделать. В таких случаях интеграл вычисляют просто суммированием, т. е. вычисляют суммы типа (8.6) со все меньшими и меньшими интервалами, пока не получат результат с достаточной точностью.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока:

• обобщить и закрепить ключевые задачи по теме;
• научиться работать с теоретическими вопросами темы;
• научиться применять интеграл к решению физических задач.

План урока:

1. Схема решения задач на приложения определенного интеграла
2. Нахождение пути, пройденного телом при прямолинейном движении
3. Вычисление работы силы, произведенной при прямолинейном движении тела
4. Вычисление работы, затраченной на растяжение или сжатие пружины
5. Определение силы давления жидкости на вертикально расположенную пластинку

Тип урока: интегрированный.

Воспитательная работа: расширение кругозора и познавательной деятельности учащихся, развитие логического мышления и умения применять свои знания.

Техническое обеспечение: интерактивная доска. Компьютер и диск.

Приложение : «Рапсодия природы».

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Постановка цели урока

– Урок хотелось бы провести под девизом Готфрида Вильгельма Лейбница – немецкого философ а, логик а, математик а, физик а: «Общее искусство знаков представляет чудесное пособие, так как оно разгружает воображение… Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Обозначения коротко выражают и отображают сущность вещей. Тогда поразительным образом сокращается работа мысли».

III. Повторим основные понятия и ответим на вопросы:

– Скажите основное определение интеграла?
– Что вы знаете о интеграле (свойства, теоремы)?
– Знаете ли вы какие-нибудь примеры задач с применением интеграла?

IV. Объяснение нового материала (рассмотрение теории):

1. Схема решения задач на приложения определенного интеграла

С помощью определенного интеграла можно решать различные задачи физики, механики и т. д., которые трудно или невозможно решить методами элементарной математики.

Так, понятие определенного интеграла применяется при решении задач на вычисление работы переменной силы, давления жидкости на вертикальную поверхность, пути, пройденного телом, имеющим переменную скорость, и ряд других.

Несмотря на разнообразие этих задач, они объединяются одной и той же схемой рассуждений при их решении. Искомая величина (путь, работа, давление и т. д.) соответствует некоторому промежутку изменения переменной величины, которая является переменной интегрирования. Эту переменную величину обозначают через Х, а промежуток ее изменения – через [а, b].

Отрезок разбивают на n равных частей, в каждой из которых можно пренебречь изменением переменной величины. Этого можно добиться при увеличении числа разбиений отрезка. На каждой такой части задачу решают по формулам для постоянных величин.

I = , где f(x) – данная по условиям задачи функция (сила, скорость и т. д.).

2. Нахождение пути, пройденного телом при прямолинейном движении

Как известно, путь, пройденный телом при равномерном движении за время t, вычисляется по формуле S = vt.

Если тело движется неравномерно в одном направлении и скорость его меняется в зависимости от времени t, т. е. v = f(t), то для нахождения пути, пройденного телом за время от до , разделим этот промежуток времени на n равных частей Δt. В каждой из таких частей скорость можно считать постоянной и равной значению скорости в конце этого промежутка. Тогда пройденный телом путь будет приблизительно равен сумме , т.е.

Если функция v(t) непрерывна, то

Итак,

3. Вычисление работы силы, произведенной при прямолинейном движении тела

Пусть тело под действием силы F движется по прямой s, а направление силы совпадает с направлением движения. Необходимо найти работу, произведенную силой F при перемещении тела из положения a в положение b .

Если сила F постоянна, то работа находится по формуле (произведение силы на длину пути).

Пусть на тело, движущееся по прямой Ох, действует сила F, которая изменяется в зависимости от пройденного пути, т. е. . Для того чтобы найти работу, совершаемую силой F на отрезке пути от а до b , разделим этот отрезок на n равных частей . Предположим, что на каждой части сила сохраняет постоянное значение

Составим интегральную сумму, которая приближенно равна значению произведенной работы:

т.е. работа, совершенная этой силой на участке от а до b, приближенно мала сумме:

Итак, работа переменной силы вычисляется по формуле:

4. Вычисление работы, затраченной на растяжение или сжатие пружины

Согласно закону Гука, сила F, необходимая для растяжения или сжатия пружины, пропорциональна величине растяжения или сжатия.

Пусть х – величина растяжения или сжатия пружины. Тогда , где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойства пружины.

Работа на участке выразится формулой , а вся затраченная работа или . Если то погрешность величины работы стремится к нулю.

Для нахождения истинной величины работы следует перейти к пределу

5. Определение силы давления жидкости на вертикально расположенную пластинку

Из физики известно, что сила Р давления жидкости на горизонтально расположенную площадку S, глубина погружения которой равна h, определяется по формуле:

, где – плотность жидкости.

Выведем формулу для вычисления силы давления жидкости на вертикально расположенную пластинку произвольной формы, если ее верхний край погружен на глубину a, а нижний – на глубину b.

Так как различные части вертикальной пластинки находятся на разной глубине, то сила давления жидкости на них неодинаковa. Для вывода формулы нужно разделить пластинку на горизонтальных полос одинаковой высоты . Каждую полосу приближенно можно считать прямоугольником (рис.199).

По закону Паскаля сила давления жидкости на такую полосу равна силе движения жидкости на горизонтально расположенную пластинку той же площади, погруженной на ту же глубину.

Тогда согласно формуле (4) сила давления на полосу, находящуюся на расстоянии х от поверхности, составит , где – площадь полосы.

Составим интегральную сумму и найдем ее предел, равный силе давления жидкости на всю пластинку:

Если верхний край пластинки совпадает с поверхностью жидкости, то а=0 и формула (5) примет вид

Ширина каждой полосы зависит от формы пластинки и является функцией глубины х погружения данной полосы.

Для пластинки постоянной ширины формула (5) упрощается, т.к. эту постоянную можно вынести за знак интеграла:

V. Разбор задач по теме

1) Скорость движения материальной точки задается формулой = (4 м/с. Найти путь, пройденный точкой за первые 4с от начала движения.

2) Скорость движения изменяется по закону м/с. Найти длину пути, пройденного телом за 3-ю секунду его движения.

3) Скорость движения тела задана уравнением м/с. Определить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

Скорость движение тела равна нулю в момент начала его движения и остановки. Найдем момент остановки тела, для чего приравняем скорость нулю и решим уравнение относительно t; получим

Следовательно,

4) Тело брошено вертикально вверх со скоростью, которая изменяется по закону м/с. Найти наибольшую высоту подъема.

Найдем время, в течении которого тело поднималось вверх: 29,4–9,8t=0 (в момент наибольшего подъема скорость равна нулю); t = 3 с. Поэтому

5) Какую работу совершает сила в 10Н при растяжении пружины на 2 см?

По закону Гука сила F, растягивающая пружину, пропорциональна растяжению пружины, т.е. F = kx. Используя условие, находим (Н/м), т.е. F = 500x. Получаем

6) Сила в 60Н растягивает пружину на 2 см. Первоначальная длина пружины равна 14 см. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть ее до 20 см?