По однородному сплошному цилиндру массы. Большая энциклопедия нефти и газа. Трофимова. Курс физики. Задачи и решения

Cтраница 1

Однородный сплошной цилиндр радиусом г и массой m может свободно вращаться вокруг неподвижной оси АВ.  

Однородный сплошной цилиндр массой т1 может вращаться без трения вокруг неподвижной оси О.  

Однородный сплошной цилиндр радиусом г может катиться без скольжения внутри полого неподвижного цилиндра радиусом R.  

Однородный сплошной цилиндр радиусом г и массой т может свободно вращаться вокруг неподвижной оси АВ.  

Однородный сплошной цилиндр массой М может вращаться без трения вокруг неподвижной оси О. Через цилиндр перекинут трос, один конец которого несет груз А массой т, а другой прикреплен к пружине с жесткостью с. Считая, что трос не проскальзывает по цилиндру, определить период малых вертикальных колебаний системы.  

Через однородный сплошной цилиндр радиусом R и массой т переброшена легкая нить. Скольжение нити и трение в оси цилиндра отсутствуют.  

На однородный сплошной цилиндр, который может вращаться вокруг вертикальной оси АВ, намотан канат, переброшенный через идеальный блок С.  

Груз - однородный сплошной цилиндр массой т 200 кг и радиусом г - 0 2 м - перемещается транспортером. Лепта транспортера горизонтальна, ее постоянная скорость v - - 0 6 м / с; скольжение ленты по шкивам 1 и 2 отсутствует. В некоторый момент времени движение транспортера внезапно прекращается.  

Груз - однородный сплошной цилиндр массой т 200 кг и радиусом г 0 2 м перемещается транспортером. Лента транспортера горизонтальна, ее постоянная скорость у 0 6 м / с; скольжение ленты по шкивам 1 и 2 отсутствует. В некоторый момент времени движение транспортера внезапно прекращается.  

Груз - однородный сплошной цилиндр массой т 500 кг и радиусом / - 0 5 м лежит на движущейся платформе и удерживается от возможного перемещения по платформе упорами - ступеньками.  

Груз - однородный сплошной цилиндр массой т 200 кг и радиусом г 0 2 м - перемещается транспортером. Лента транспортера горизонтальна, ее постоянная скорость v 0 6 м / с; скольжение ленты по шкивам 1 и 2 отсутствует. В некоторый момент времени движение транспортера внезапно прекращается.  

Груз - однородный сплошной цилиндр массой т - 500 кг и радиусом г 0 5 м - лежит на движущейся платформе и удерживается от возможного перемещения по платформе упорами - ступеньками.  

Груз - однородный сплошной цилиндр массой т 500 кг и радиусом г 0 5 м - лежит на движущейся платформе и удерживается от возможного перемещения по платформе упорами - ступеньками.  

Груз - однородный сплошной цилиндр массой m - 200 кг и радиусом г 0 2 м - перемещается транспортером. Лента транспортера горизонтальна, ее постоянная скорость v 0 6 м / с; скольжение ленты по шкивам 1 и 2 отсутствует. В некоторый момент времени движение транспортера внезапно прекращается.  

Груз - однородный сплошной цилиндр массой m 500 кг и радиусом г 0 5 м - лежит на движущейся платформе и удерживается от возможного перемещения по платформе упорами - ступеньками.  

Задачи

По кинематике твердого тела

13.1 . Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = Аt –Вt 3 , где А = 6 рад/с, В = 2 рад/с 3 . Найти а) средние значения угловой скорости и углового ускорения до остановки тела, б) угловое ускорение в момент остановки тела.

(Ответ: а) <Ω>=2А/3=4 рад/с, <ε>=-(3АВ) 1/2 =-6 рад/с 2 , б) ε=-2(3АВ) 1/2 =-12 рад/с 2).

13.2. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, замедляясь с угловым ускорением ε ~ Ω 1/2 . Найти среднее значение угловой скорости до остановки тела, если в начальный момент времени Ω=Ω o . (Ответ: <Ω>=Ω o /3).

13.3. Диск радиуса R катится с постоянной скоростью v c по горизонтальной плоскости без скольжения. Изобразить поле скоростей на диске в данный момент времени. Обсудить полученный результат.

13.4. Найти закон движения точки В диска (рис.), предполагая что в момент t = 0, она находится в начале координатной системы. Какова траектория движения точки? Какой путь проходит точка между двумя соприкосновениями с поверхностью?

(Ответ: x =R(Ωt-sinΩt), y=R(1-cosΩt), где Ω=v c /R. Траектория – циклоида, 8R)

По вычислению моментов инерции тел.

13.5. Вычислить главные моменты инерции a) однородного стержня длины и массы, б) тонкой однородной пластинки размерами и массы.

(Ответ: а))

13.6. Вычислить моменты инерции относительно осей симметрии a) тонкого проволочного кольца, б) однородного диска, с) однородного сплошного конуса.

Радиусы кольца, диска, основания конуса равны R, массы - .

(Ответ: а) б) c))

13.7. Однородный диск радиуса R имеет круглый вырез (рис.). Найти момент инерции такого диска относительно перпендикулярной оси, проходящей: а) через точку О; б) через его центр инерции. Масса диска с вырезом - .

(Ответ:).

13.8. Найти главный момент инерции однородного сплошного шара радиуса R и массы.

(Ответ:).

13.9. Найти главные моменты инерции сплошного цилиндра длины, радиуса R и массы.

(Ответ:).

По динамике твердого тела

13.10. На однородный сплошной цилиндр массы M и радиуса R намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массы. Цилиндр может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. Найти зависимость от времени угловой скорости цилиндра и кинетической энергии системы.

(Ответ:).

13.11. Однородный цилиндр радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости Ω 0 и поместили в угол (рис.). Сколько оборотов сделает цилиндр до остановки, если коэффициент трения со стенками равен μ? (Ответ: n=(1+μ 2)Ω 0 2 R/8πμ(1+μ)g).

13.12. Однородную шайбу радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости Ω 0 и положили на горизонтальную поверхность. Через какое время остановится шайба, если коэффициент трения равен μ? (Ответ: t = 3Ω 0 R/4μg).

13.13. Вертикально расположенный однородный стержень массы М и длины L может вращаться вокруг своего верхнего конца. В нижний конец стержня попала, застряв, горизонтально летевшая пуля массы m, в результате чего стержень отклонился на угол α. Считая m<

13.14. Сплошному однородному цилиндру массы m и радиуса R сообщили вращение вокруг его оси с угловой скоростьюΩ 0 , затем положили на горизонтальную плоскость. Найти: а) время, в течение которого движение будет со скольжением; б) работу силы трения скольжения. Коэффициент трения равен μ.

(Ответ: а) t=Ω 0 R/3μg; б) А=-mΩ 0 2 R 2 /6).

13.15. Решите предыдущую задачу с другим начальным условием, когда в начальный момент цилиндру сообщается поступательное движение со скоростью v 0с.

(Ответ: а) t = v 0 /3μg; б) А=-mv 0 2 /6).

13.16. Сплошной однородный цилиндр радиуса R катится без скольжения по горизонтальной плоскости, которая переходит в наклонную плоскость, составляющую угол α с горизонтом (под наклон). Найти максимальную скорость цилиндра, при котором переход в наклонную плоскость произойдет без скачка. (Ответ: v m 2 =gR(7соsα-4)/3).

13.17. На горизонтальной плоскости лежит катушка ниток массы m и моментом инерции I=kmR 2 , где k числовой коэффициент (радиус инерции), R – внешний радиус катушки. Радиус намотанного слоя ниток равен r. Катушку без скольжения начали тянуть за нить с постоянной силой F, направленной под углом α к горизонту. Найти ускорение оси катушки, и работу силы F за первые t секунд движения.

(Ответ: а=F(соsα-r/R)/m(1+k); А= F 2 t 2 (соsα-r/R) 2 /2m(1+k)).

13.18. Однородный шар радиуса R и массы m положен на наклонную плоскость с углом наклона α. При каких значениях α качение шара будет происходить без скольжения? Какова при этом сила трения сцепления?

(Ответ: tgα < μ(1+mR 2 /I с); F сц = mgsinα/(1+mR 2 /I с); где I с =2mR 2 /5)

13.19. Определить ускорение, с которым цилиндрическая бочка массы М, целиком наполненная жидкостью массы m, скатывается без скольжения с наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. Трением между жидкостью и стенками бочки пренебречь.

(Ответ : a=(M+m)gsin α /(2M+m))

13.20. По наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом, скатывается полый цилиндр массы М и радиуса R. По поверхности цилиндра бежит собака массы m таким образом, что все время занимает наивысшее положение на поверхности цилиндра. Определить ускорение оси цилиндра. (Ответ: a=(M+m)gsinα /(2M+m(1+cosα)))

13.21. Шарик массой m 1 = 60 , р в занный к концу нити длиной L 1 = l , 2 м, враща тся с частотой n 1 = 2 c -1 , опираясь на горизонтальную плоскость. Нить укорачива­ется, приближая шарик к оси до расстояния L 2 = 0,6 м. С какой частотой n 2 буд т при этом вращаться шарик? Какую работусов ршае т внешняя сила, корачивая нить? Трением шарика о плоскость прен бр чь.

13.22. По касат льной к шкиву маховик в иде диска диаметром D = 7 см и массой m = 40 кг приложена с ла F = 1 кН. Определить угловое ускор ние и час­тот вра ения махови ка через время t =10 с после начала действия силы, если радиус R шкива равен 12 см. С лой трен я прен бр чь.

13.23. На обод маховика диаметром D = 60 см намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Опр делить момент инерции J маховика, если он, вра­щаясь равноускоренно под действием илы тяжести груза, за время 3 с приобрел угловую скорость w = 9 рад/с.

13.24. Нить с привязанными к ее концам грузами мас­сами m 1= 50 г и m 2 60 г перекинута через блок диа­метром D 4 см . Определить момент ин рции J блока, если под действием силы тяжести грузов он получ л угло­вое ускорение e = 1,5 рад/с 2 . Трением и проскальзыванием нити по блоку пренебречь.

13.25. Стержень вращается вокруг оси, проходящей через его середину, согласно уравнению j A × t B × t 3 , где А 2 рад/с, В 0,2 рад/с 3 . Определить вращающий момент, действующий на стержень через вр мя t = 2 с, после начала вращения, если момент ине ц и стержня J 0,048 кг × 2 .

13.26. По гор

Страница 2 из 3

140. Шар радиусом R = 10 см и массой m = 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению φ = A + B*t 2 + C*t 3 (B = 2 рад/с 2 , C = – 0,5 рад/с 3). Определить момент сил M для t = 3 с.

141. Вентилятор вращается с частотой n = 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав N = 50 оборотов, остановился. Работа A сил торможения равна 31,4 Дж. Определить: 1) момент сил М торможения; 2) момент инерции J вентилятора.

142. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J = 150 кг*м 2 , вращается с частотой n = 240 об/мин. Через t = 1 мин после начала действия сил торможения он остановился. Определите: 1) момент M сил торможения; 2) число оборотов маховика от начала торможения до полной остановки.

143. Сплошной однородный диск скатывается без скольжения с наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. Определить линейное ускорение α центра диска.

144. К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложена постоянная касательная сила F = 100 Н. При вращении диска на него действует сила трения Mтр = 2 Н*м. Определить массу m диска, если известно, что его угловое ускорение ε постоянно и равно 16 рад/с 2 .

145. Частота вращения n 0 маховика, момента инерции J которого равен 120 кг*м 2 , составляет 240 об/мин. После прекращения действия на него вращающего момента маховик под действием сил трения в подшипниках остановился за время t = π мин. Считая трение в подшипниках постоянным, определите момент М сил трения.

146. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J = 1,5 кг*м 2 , вращаясь при торможении равнозамедленно, за время t = 1 мин уменьшил частоту своего вращения с n 0 = 240 об/мин до n 1 = 120 об/мин. Определить: 1) угловое ускорение ε маховика; 2) момент М сил торможения; 3) работу торможения А.

147. Колесо радиусом R = 30 см и массой m = 3 кг скатывается без трения по наклонной плоскости длиной l = 5 м и углом наклона α = 25° . Определить момент инерции колеса, если его скорость v в конце движения составляла 4,6 м/с.

148. С наклонной плоскости, составляющей угол α = 30 градусов с горизонтом, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определить время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на 30 см.

149. Полый тонкостенный цилиндр катится вдоль горизонтального участка дороги со скоростью v = 1,5 м/с. Определите путь, который он пройдет в гору за счет кинетической энергии, если уклон горы равен 5 м на каждые 100 м пути.

150. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 50 см намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением а = 2 м/с 2 . Определить: 1) момент инерции J; 2) масса m 1 вала.

151. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R=5 см и массой M = 10 кг намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 1 кг. Определите: 1) зависимость s(t) , согласно которой движется груз; 2) силу натяжения нити Т ; 3) зависимость φ(t), согласно которой вращается вал; 4) угловую скорость φ вала через t = 1 с после начала движения; 5) тангенциальное (а τ ) и нормальное (а n ) ускорения точек, находящихся на поверхности вала.

152. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 20 см, момент инерции которого J = 0,15 кг*м 2 , намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота h груза над полом составляла 2,3 м. Определите: 1) зависимость s(t), согласно которой движется груз; 2) силу натяжения нити; 3) кинетическую энергию груза в момент удара о пол.

153. Через неподвижный блок в виде однородного цилиндра массой m = 0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прекреплены тела массами m 1 = 0,35 кг и m 2 = 0,55 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определить: 1) ускорение; 2) отношение Т 2 /Т 1 сил натяжения нити.

154. Тело массой m 1 = 0,25 кг, соединенное невесомой нитью посредством блока (в виде полого тонкостенного цилиндра) с телом массой m 2 = 0,2 кг, скользит по поверхности горизонтального стола. Масса блока m = 0,15 кг. Коэффициент трения f тела о поверхность равен 0,2. Пренебрегая трением в подшипниках, определите: 1) ускорение а, с которым будет двигаться эти тела; 2) силы натяжения T 1 и T 2 нити по обе стороны блока.

155. Для демонстрации законов сохранения применяется маятник Максвелла, представляющий собой массивный диск радиусом R и массой m, туго насаженный на ось радиусом r, которая подвешивается на двух предварительно намотанных на нее нитях. Когда маятник отпускают, то он совершает возвратно-поступательное движение в вертикальной плоскости при одновременном движении диска вокруг оси. Не учитывая силы сопротивления и момент инерции оси, определить: 1) ускорение поступательного движения маятника; 2) силу натяжения нити.

156. Однородный шар радиусом r = 20 см скатывается без скольжения с вершины сферы радиусом R = 50 см. Определить угловую скорость w шара после отрыва от поверхности сферы.

157. Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением ε = 0,4 рад/с 2 . Определите кинетическую энергию маховика через время t 2 = 25 с после начала движения, если через t = 10 с после начала движения момент импульса L 1 маховика составлял 50 кг * м 2 /с.

158. Горизонтальная платформа массой m = 25 кг и радиусом R = 0,8 м вращается с частотой n 1 = 18 мин -1 . В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определить частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от J 1 = 3,5 кг*м 2 до J 2 = 1 кг*м 2 .

159. Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной l = 2,5 м и массой m = 8 кг, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции J = 10 кг * м 2 и вращается с частотой n 1 = 12 мин -1 . Определите частоту n 2 вращения системы, если стержень повернуть в горизонтальное положение.

Момент силы относительно неподвижной оси

Mz = z .

Работа при вращении тела

dA = Mz dj

Момент импульса материальной точки A относительно неподвижной точки O

L = =

Модуль вектора момента импульса

L = rp sin a = mvr sin a = pl

Момент импульса твердого тела относительно оси вращения

Lz =å mi vi ri = Jz w

Основное уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы

L = const, Jz w = const

Напряжение при упругой деформации

s = F S

Относительное продольное растяжение (сжатие) e = D l l

Относительное поперечное растяжение (сжатие)

e¢ = D d d ,

Связь между относительным поперечным сжатием (растяжением) e¢ и отно сительным продольным растяжением (сжатием) e

Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)

Потенциальная энергия упругорастянутого (упругосжатого) стержня

Примеры решения задач

1.114. Определите момент инерции однородного сплошного цилиндра массой m и радиусом R относительно его геометрической оси.

Дано: m; R. Найти:J.

Решение. Разобьем цилиндр высотой h на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой тол щины dr с внутренним радиусом r и внешним r + dr (см. рисунок).

(dr = r, поэтому считаем, что расстояние всех точек ци линдра от геометрической оси равно r), масса элементарного цилиндра

(2prh dr - объем элементарного цилиндра; r - плотность материала цилиндра). После подстановки (2) в (1) найдем

dJ = 2ph rr3 dr.

Тогда искомый момент инерции сплошного цилиндра

(учли, что pR2 h - объем цилиндра, а его масса m = pR2 hr).

Ответ: J = 1 mR 2 .

1.115. Определите момент инерции J сплошного шара радиусом R и массой m относительно оси, отстоя

щей от центра шара на расстоянии a = R и параллель ной оси, проходящей через центр шара.3

Дано: R; m; a =R .

Найти: J.

Решение. Момент инерции относительно рассматри ваемой оси

где JC - момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс (центр шара); m - масса шара; a - расстояние между параллельными осями.

Выделим сплошной диск толщиной dh (см. рисунок), параллельный плоско сти сечения. Момент инерции этого диска относительно оси, проходящей через центр масс,

dJ = r 2 dm ,

где r - радиус диска; dm = rpr2 dh (r - плотность материала диска). Тогда

Rpr 4 = rp(R2 - h2 ) 2 dJ dh dh

[учли, что r2 = R2 − h2 (см. рисунок)].

Момент инерции сплошного шара относительно оси, проходящей через центр масс,

JC =2 mR2 . 5

Подставив формулу (3) в выражение (1) и учитывая, что мент инерции шара относительно рассматриваемой оси:

J = 2 mR2 +mR 2 =23 mR2 .

Ответ: J =23 mR2 . 45

a = R , найдем мо

1.116. Определите момент инерции J однородной прямоугольной пластинки массой 500 г со сторонами a = 20 см и b = 30 см относительно оси, проходящей через геометрический центр пластинки и параллельно большей его стороне.

Дано: a = 20 см (0,2 м); b = 30 см (0,3 м); m = 500 г (0,5 кг).

Найти: J.

Решение. Согласно условию задачи, ось y проходит парал лельно стороне b (см. рисунок). Мысленно выделим тонкую полоску шириной dy. Эту полоску можно считать тонким стерж

нем длиной a. Тогда ее момент инерции

A 2 =r ha 3 dJ dm dy

(учли, что масса полоски dm = rah dy, где r - плотность пластинки; h - толщина пластинки).

Искомый момент инерции пластинки

(учли массу всей пластинки m = rabh).

Ответ: J = 1,67 · 10-3 кг · м2 .

dy = rpa 3 b =ma 2 12 12

1.117. К стержню длиной l = 0,5 м и массой m = 0,3 кг приварен цилиндр мас сой M = 1,2 кг и радиусом R = 0,25 м (см. рисунок). Определите момент инерции J системы относительно оси OO¢, проходящей через незакрепленный конец стерж ня параллельно образующей цилиндра.

Дано: l = 0,5 м; m = 0,3 кг; M = 1,2 кг; R = 0,25 м.

Найти: J.

Решение. Общий момент инерции J рассматривае мой системы относительно оси OO¢ равен сумме момен тов инерции стержня J1 и цилиндра J2 :

где JC - момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; J - момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на рас стоянии a; m - масса тела.

Моменты инерции стержня и цилиндра, согласно формуле (2),

Подставив выражения (3) и (4) в формулу (1), найдем искомый момент инерции

Ml 2 +MR 2 + +

J M(R l)2 .

Ответ: J = 0,738 кг · м2 .

1.118. Сравните кинетические энергии двух шаров с одинаковыми плотностя ми, катящихся по плоскости с одинаковой скоростью, если радиус второго шара в n = 3 раза меньше радиуса первого.

Дано: r1 = r2 = r; v1 = v2 = v; R2 =R 1 .

где m - масса шара; v - скорость шара, v = wR (w - угловая скорость шара отно

сительно оси, проходящей через его центр масс; R - радиус шара);

момент инерции относительно той же оси.

Подставив эти формулы в выражение (1), получаем

T = 7 mv2 . 10

J = 2 mR2 - 5

Учитывая, что масса шара m = 4 pR3 r, искомое отношение

Ответ: T 2 = 0,037.

1.119. Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материа ла, одинаковой массы и одинакового радиуса, катятся без скольжения с одинако вой скоростью. Определите, во сколько раз отличаются их кинетические энергии.

Дано: m1 = m2 = m; R1 = R2 = R; v1 = v2 = v.

Найти: T 1 .

Решение. Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольже ния, складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

где m - масса тела; v - скорость центра масс тела; J - момент инерции тела отно сительно оси, проходящей через его центр масс; w - угловая скорость тела.

Момент инерции шара J1 =2 mR2 ; момент инерции сплошного цилиндра

J2 =1 mR2 ; линейная скорость связана с угловой соотношением v = wR (учли,

что m1 = m2 = m; R1 = R2 = R).

Выражение (1) с учетом записанных формул

(R - радиус диска), выражение (1) запишется в виде

1.120. С наклонной плоскости, составляющей угол a = 37° с горизонтом, ска тывается без скольжения сплошной диск. Пренебрегая трением, определите ско рость v диска через t = 4 с после начала движения.

Дано: a = 37°; t = 4 с.Найти: v.

Решение. Согласно закону сохранения механической энер гии, при скатывании диска его потенциальная энергия перехо дит в кинетическую энергию поступательного и вращательного движения

mgh = mv 2 +Jw 2 , (1)

где m - масса диска; J - момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр масс; v - скорость центра масс диска; w - угловая скорость отно сительно оси, проходящей через центр масс.

Учитывая, что h = l sin a (см. рисунок); v = wR; момент инерции сплошного диска J = mR 2

v = 2 gt sina. 3

Ответ: v = 15,7 м/с.

1.121. Колесо массой m = 2,8 кг раскручивается постоянной касательной си лой F = 15 H. Пренебрегая трением, определите момент времени t, когда кинети ческая энергия вращающегося колеса Tвр = 3 кДж.

Дано: m = 2,8 кг; F = 15 H; Tвр = 3 кДж (3 · 103 Дж).

Найти: t.

Решение. Кинетическая энергия вращающегося колеса

Учитывая формулу (2), соотношения e = w t и J = mR2 , выражение (1) запи шется в виде

откуда искомое значение времени

Ответ: t = 8,64 с.

1.122. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 20 см на мотана невесомая нить, к концу которой подвешен груз массой m = 2 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением a = 1 м/с2 . Определите: 1) момент инер ции J вала; 2) массу m1 вала.

Дано: R = 20 см (0,2 м); m = 2 кг; a = 1 м/с2 .

Найти: 1) J; 2) m1 .

Решение. Согласно основному уравнению динамики вращательного движе ния, вращающий момент, приложенный к валу,

Из уравнения (4) сила натяжения нити

Подставив это выражение в формулу (3), найдем искомый момент инерции вала:

J = mR2 a g -1 .

Учитывая, что момент инерции сплошного цилиндрического вала J = m 1 R 2 ,

m1 =2J . R2

Ответ: J = 0,7 кг · м2 ; m1 = 35 кг.

1.123. Кинетическая энергия вращающегося с частотой n1 = 3 с-1 маховика рав на 8,4 кДж. Во сколько раз увеличится частота вращения маховика за время t = 5 с, если на маховик начинает действовать ускоряющий момент силы M = 100 H · м?

Дано: Tвр = 8,4 кДж (8,4 · 103 Дж); n1 = 3 с-1 ; M = 100 H · м; t = 5 с.

Найти: n 2 .

Решение. Кинематическое уравнение для угловой скорости вращательного движения имеет вид

w2 = w1 + et,

где M - момент силы относительно оси; J - момент инерции маховика относи тельно той же оси.

Кинетическая энергия вращающегося маховика до начала действия ускоряю

щего момента силы T = Jw 2 = p 2 n J (учли, что w = pn), откуда момент инер

âð 2 1 12 1

Запишем формулу (1) с учетом (4)

откуда искомое отношение частот

Ответ: n 2 = 1,56.

1.124. Через неподвижный блок, укрепленный на краю стола, перекинута нить, к которой привязаны три груза массами m1 = 800 г, m2 = 700 г, m3 = 200 г. Масса блока M = 500 г, радиус R = 0,38 м. Считая нить невесомой и пренебрегая трени ем, определите ускорение грузов a, а также расстояние s, которое груз m3 пройдет от начала движения до того момента, когда кинетическая энергия вращения бло ка будет Tвр = 1,1 Дж.

Дано: m1 = 800 г (0,8 кг); m2 = 700 г (0,7 кг); m3 = 200 г (0,2 кг); M = 500 г

(0,5 кг); R = 0,38 м; Tвр = 1,1 Дж.

Найти: a; s.

Решение. Выбрав направления осей x и y (см. рисунок), запишем уравнения движения (второй закон Ньютона) для грузов в проекциях на эти оси: