Дискретные входные сигналы. Введение в цифровую обработку сигналов. Техническая реализация принципов дискретности
В технических отраслях знаний термин сигнал –
1) техническое средство, для передачи обращения и использования информации.
2) физический процесс отображающих информационное сообщение (изменение какого либо параметра носителя информации)
3) смысловое содержание определённого физического состояния или процесса.
Сигнал – сведенья/ сообщения/ информация, о каких либо процессах / состояниях или физических величинах объектов материального мира, выраженных в форме удобной для передачи, обработки, хранения и использования этих сведений.
С математической точки зрения сигнал представляет собой функцию, то есть зависимость одной величины от другой.
Цель обработки сигналов
Целью обработки сигналов считают изучение определённых информационных сведений, которые отображены в виде целевой информации и преобразования этих сведений в форму удобную для дальнейшего использования.
Цель анализа сигналов
Под "анализом" сигналов (analysis) имеется в виду не только их чисто математические преобразования, но и получение на основе этих преобразований выводов о специфических особенностях соответствующих процессов и объектов. Целями анализа сигналов обычно являются: - Определение или оценка числовых параметров сигналов (энергия, средняя мощность, среднее квадратическое значение и пр.). - Разложение сигналов на элементарные составляющие для сравнения свойств различных сигналов. - Сравнение степени близости, "похожести", "родственности" различных сигналов, в том числе с определенными количественными оценками.
Регистрация сигналов
С понятием сигнала неразрывно связан термин регистрации сигналов, использование которого также широко и неоднозначно, как и самого термина сигнал. В наиболее общем смысле под этим термином можно понимать операцию выделения сигнала и его преобразования в форму, удобную для дальнейшего использования, обработки и восприятия . Так, при получении информации о физических свойствах каких-либо объектов, под регистрацией сигнала понимают процесс измерения физических свойств объекта и перенос результатов измерения на материальный носитель сигнала или непосредственное энергетическое преобразование каких-либо свойств объекта в информационные параметры материального носителя сигнала (как правило - электрического). Но так же широко термин регистрации сигналов используют и для процессов выделения уже сформированных сигналов, несущих определенную информацию, из суммы других сигналов (радиосвязь, телеметрия и пр.), и для процессов фиксирования сигналов на носителях долговременной памяти, и для многих других процессов, связанных с обработкой сигналов.
Внутренние и внешние источники шумов
Шумы, как правило, имеют стохастический (случайный) характер. К помехам относят искажения полезных сигналов при влиянии различных дестабилизирующих факторов (электрические наводки, вибрация, виды шумов и помех различают по источникам их возникновения, энергетическому спектру). По характеру воздействия на сигнал источники шумов и помех бывают внутренние и внешние.
Внутренние помехи присущи физической природе источников и детекторов сигналов, а также материальных носителей. Внешние источники помех бывают искусственного и естественного происхождения. К искусственным шумам относят индустриальные помехи и помехи от работающего оборудования.
Что дает математическая модель сигнала
Теория анализа и обработки физических данных базируется на математических моделях соответствующих физических полей и физических процессов на основе которых создаются математические модели сигналов они дают возможность обобщённо абстрагируясь от физической природы судить о свойствах сигналов, предсказывать изменения сигналов в различных условиях, кроме того появляется возможность игнорировать большое число второстепенных признаков. Знания математических моделей даёт возможность классифицировать сигналы по различным признакам (например, сигналы делят на детерминированные и стохастические).
Классификация сигналов
Классификация сигналов осуществляется на основании существенных признаков соответствующих математических моделей сигналов. Все сигналы разделяют на две крупных группы: детерминированные и случайные.
Гармонические сигналы
Гармонические сигналы (синусоидальные), описываются следующими формулами:
s(t) = A×sin (2f о t+f) = A×sin ( о t+f), s(t) = A×cos( о t+), (1.1.1)
Рис. 5. Гармонический сигнал и спектр его амплитуд
где А, f o , o , f - постоянные величины, которые могут исполнять роль информационных параметров сигнала: А - амплитуда сигнала, f о - циклическая частота в герцах, о = 2f о - угловая частота в радианах, и f- начальные фазовые углы в радианах. Период одного колебания T = 1/f о = 2/ o . При j = f-p/2 синусные и косинусные функции описывают один и тот же сигнал. Частотный спектр сигнала представлен амплитудным и начальным фазовым значением частоты f о (при t = 0).Полигармонические сигналы
Полигармонические сигналы составляют наиболее широко распространенную группу периодических сигналов и описываются суммой гармонических колебаний:
s(t) =A n sin (2f n t+ n) ≡ A n sin (2B n f p t+ n), B n ∈ I, (1.1.2)
или непосредственно функцией s(t) = y(t ± kT p), k = 1,2,3,..., где Т р - период одного полного колебания сигнала y(t), заданного на одном периоде. Значение f p =1/T p называют фундаментальной частотой колебаний.
Рис. 6. Модель сигнала Рис. 7. Спектр сигнала
Полигармонические сигналы представляют собой сумму определенной постоянной составляющей (f о =0) и произвольного (в пределе - бесконечного) числа гармонических составляющих с произвольными значениями амплитуд A n и фаз j n , с частотами, кратными фундаментальной частоте f p . Другими словами, на периоде фундаментальной частоты f p , которая равна или кратно меньше минимальной частоты гармоник, укладывается кратное число периодов всех гармоник, что и создает периодичность повторения сигнала. Частотный спектр полигармонических сигналов дискретен, в связи с чем второе распространенное математическое представление сигналов - в виде спектров (рядов Фурье).Почти периодические сигнала
Почти периодические сигналы близки по своей форме к полигармоническим. Они также представляют собой сумму двух и более гармонических сигналов (в пределе – до бесконечности), но не с кратными, а с произвольными частотами, отношения которых (хотя бы двух частот минимум) не относятся к рациональным числам, вследствие чего фундаментальный период суммарных колебаний бесконечно велик рис. 9.
Рис. 9. Почти периодический сигнал и спектр его амплитуд
Аналоговые сигналы
Аналоговый сигнал (analog signal) является непрерывной или кусочно-непрерывной функцией y=x(t) непрерывного аргумента, т.е. как сама функция, так и ее аргумент могут принимать любые значения в пределах некоторого интервала y 1 £y £ y 2 , t 1 £t £ t 2 . Если интервалы значений сигнала или его независимых переменных не ограничиваются, то по умолчанию они принимаются равными от -¥ до +¥. Множество возможных значений сигнала образует континуум - непрерывное пространство, в котором любая сигнальная точка может быть определена с точностью до бесконечности.
Источниками аналоговых сигналов являются физические процессы и явления в качестве примера аналоговых сигналов чаще всего приводят изменения напряжённости электрического, магнитного и электромагнитного поля во времени.
Дискретные сигналы
Дискретный сигнал
Рис. 13. Дискретный сигнал
Дискретный сигнал (discrete signal) – рис. 13 по своим значениям также является непрерывной функцией, но определенной только по дискретным значениям аргумента. По множеству своих значений он является конечным (счетным) и описывается дискретной последовательностью отсчетов (samples) y(nt), где y 1 £y £ y 2 , t - интервал между отсчетами (интервал или шаг дискретизации, sample time), n = 0, 1, 2,...,N. Величина, обратная шагу дискретизации: f = 1/t, называется частотой дискретизации (sampling frequency). Если дискретный сигнал получен дискретизацией (sampling) аналогового сигнала, то он представляет собой последовательность отсчетов, значения которых в точности равны значениям исходного сигнала.Цифровой сигнал
Цифровой сигнал (digital signal) квантован по своим значениям и дискретен по аргументу. Он описывается квантованной решетчатой функцией y n = Q k , где Q k - функция квантования с числом уровней квантования k, при этом интервалы квантования могут быть как с равномерным распределением, так и с неравномерным, например - логарифмическим. Задается цифровой сигнал, как правило, в виде дискретного ряда (discrete series) числовых данных - числового массива по последовательным значениям аргумента при t = const, но в общем случае сигнал может задаваться и в виде таблицы для произвольных значений аргумента.
Рис. 14. Цифровой сигнал
По существу, цифровой сигнал по своим значениям (отсчетам) является формализованной разновидностью дискретного сигнала при округлении отсчетов последнего до определенного количества цифр, как это показано на рис. 14. Цифровой сигнал конечен по множеству своих значений. Процесс преобразования бесконечных по значениям аналоговых отсчетов в конечное число цифровых значений называется квантованием по уровню, а возникающие при квантовании ошибки округления отсчетов (отбрасываемые значения) – шумами (noise) или ошибками (error) квантования (quantization).Теорема Котельникова-Шеннона
Физический смысл теоремы Котельникова-Шеннона : если максимальная частота в сигнале равна f, то достаточно на одном периоде этой гармоники иметь минимум 2 отсчета с известными значениями t 1 и t 2 , как появляется возможность записать систему из двух уравнений (y 1 =a cos 2ft 1 и y 2 =a cos 2ft 2) и решить систему относительно 2-х неизвестных – амплитуды а и частоты f этой гармоники. Следовательно, частота дискретизации должна быть в 2 раза больше максимальной частоты f в сигнале. Для более низких частот это условие будет выполнено автоматически.
На практике эта теорема широко используется например в преобразовании аудиозаписей Диапазон воспринимаемых человеком частот от 20гц – до 20 кгц поэтому для преобразования без потерь необходимо выполнять дискретизацию с частотой более 40 кгц поэтому cd dvd mp3 оцифровывают с частотой 44.1 кгц. Операция квантования (аналогово-цифровое преобразование АЦП ADC) заключается в преобразовании дискретного сигнала в цифровой кодированный в двоичной сист. счисления
Понятие системы
Система любого назначения всегда имеет вход на который подаётся входной сигнал или входное воздействие (в общем случае многомерное) и выход с которого снимается обработанный выходной сигнал. Если устройство системы и внутренние операции преобразований принципиального значения не имеют, то система в целом может восприниматься как чёрный ящик в формализованном виде.
Формализованная система представляет собой определенный системный оператор (алгоритм) преобразования входного сигнала – воздействия s(t), в сигнал на выходе системы y(t) – отклик или выходную реакцию системы. Символическое обозначение операции преобразования (трансформации):
Для детерминированных входных сигналов соотношение между входными и выходными сигналами однозначно задаётся системным оператором.
Системный опреатор t
Системный оператор T - это правило (набор правил, алгоритм) преобразования сигнала s(t) в сигнал y(t). Для общеизвестных операций преобразования сигналов применяются также расширенные символы операторов трансформации, где вторым символом и специальными индексами обозначается конкретный вид операции (как, например, TF - преобразование Фурье, TF -1 - обратное преобразование Фурье).
Линейные и не линейные системы
В случае реализации на входе системы случайного входного сигнала также существует однозначное соответствие процессов на входе и выходе, однако при этом происходит изменение статистических характеристик выходного сигнала. Любые преобразования сигналов сопровождаются изменением их спектра и по характеру этих изменений их делят на 2 вида линейные и нелинейные
К нелинейным относят при котором в составе спектра сигналов появляются новые гармонические составляющие, а при линейных изменениях сигналов изменяются амплитуды составляющего спектра. Оба вида изменений могут происходить с сохранением и искажением полезной информации. Линейные системы составляют основной класс систем обработки сигналов.
Термин линейность – означает, что система преобразования сигналов должна иметь произвольную, но обязательно линейную зависимость между входным и выходным сигналами.
Система считается линейной если в пределах установленной области входных и выходных сигналов её реакция на входные сигналы аддитивна(выполняется принцип суперпозиции сигналов) и однородна (выполняется принцип пропорционального подобия).
Принцип аддитивности
Принцип аддитивности требует, чтобы реакция на сумму двух входных сигналов была равна сумме реакций на каждый сигнал в отдельности:
T = T+T.
Принцип однородности
Принцип однородности или пропорционального подобия требует сохранения однозначности масштаба преобразования при любой амплитуде входного сигнала:
T= c T.
Основные системные операции
К базовым линейным операциям, из которых могут быть сформированы любые линейные операторы преобразования, относятся операции скалярного умножения, сдвига и сложения сигналов:
y(t) = b x(t), y(t) = x(t-t), y(t) = a(t)+b(t).
Рис. 11.1.1. Графика системных операций
Операции сложения и умножения являются линейными только для дискретных и аналоговых сигналов.
Для систем, с размерностью 2 и более существует также еще одна базовая операция, которая называется операцией пространственного маскирования , которая может рассматриваться как обобщение скалярного умножения. Так, для двумерных систем:
z(x,y) = c(x,y)u(x,y),
где u(x,y) – двумерный входной сигнал, c(x,y) – пространственная маска постоянных (весовых) коэффициентов. Пространственное маскирование представляет собой поэлементное произведение значений сигнала с коэффициентами маски.
Дифференциальные уравнения как универсальный инструмент изучения сигналов
Дифференциальные уравнения представляют собой универсальный инструмент задания определенной связи между сигналами входа и выхода, как в одномерных, так и в многомерных системах, и могут описывать систему, как в режиме реального времени, так и апостериорно. Так, в аналоговой одномерной линейной системе такая связь обычно выражается линейным дифференциальным уравнением
a m = b n . (11.1.1)
При нормировке к а о = 1, отсюда следует
y(t) =b n –a m . (11.1.1")
По существу, правой частью этого выражения в самой общей математической форме отображается содержание операции преобразования входного сигнала, т.е. задается оператор трансформации входного сигнала в выходной. Для однозначного решения уравнений (11.1.1) кроме входного сигнала s(t) должны задаваться определенные начальные условия, например, значения решения y(0) и его производной y"(0) по времени в начальный момент времени.
Аналогичная связь в цифровой системе описывается разностными уравнениями
a m y((k-m)t) =b n s((k-n)t). (11.1.2)
y(kt) =b n s((k-n)t) –a m y((k-m)t). (11.1.2")
Последнее уравнение можно рассматривать как алгоритм последовательного вычисления значений y(kt), k = 0, 1, 2, …, по значениям входного сигнала s(kt) и предыдущих вычисленных значений y(kt) при известных значениях коэффициентов a m , b n и с учетом задания начальных условий - значений s(kt) и y(kt) при k < 0. Интервал дискретизации в цифровых последовательностях отсчетов обычно принимается равным 1, т.к. выполняет только роль масштабного множителя.
Рекурсивные системы
На практике стремятся упростить системы взаимозависимых моделей и привести их к так называемому рекурсивному виду. Для этого сначала выбирают эндогенную переменную (внутренний показатель), зависящую только от экзогенных переменных (внешних факторов), обозначают ее у 1 . Затем выбирается внутренний показатель, который зависит только от внешних факторов и от y 1 , и т.д.; таким образом, каждый последующий показатель зависит только от внешних факторов и от внутренних предыдущих. Такие системы называются рекурсивными. Параметры первого уравнения рекурсивных систем находят методом наименьших квадратов, их подставляют во второе уравнение и опять применяется метод наименьших квадратов, и т.д.
Сети доступа и магистральные сети
Магистральные территориальные сети (backbone wide-area networks) используются для образования одноранговых связей между крупными локальными сетями, принадлежащими большим подразделениям предприятия. Магистральные территориальные сети должны обеспечивать высокую пропускную способность, так как на магистрали объединяются потоки большого количества подсетей. Кроме того, магистральные сети должны быть постоянно доступны, то есть обеспечивать очень высокий коэффициентом готовности, так как по ним передается трафик многих критически важных для успешной работы предприятия приложений (business-critical applications). Ввиду особой важности магистральных средств им может «прощаться» высокая стоимость. Так как у предприятия обычно имеется не так уж много крупных сетей, то к магистральным сетям не предъявляются требования поддержания разветвленной инфраструктуры доступа.
Под сетями доступа понимаются территориальные сети, необходимые для связи небольших локальных сетей и отдельных удаленных компьютеров с центральной локальной сетью предприятия. Если организации магистральных связей при создании корпоративной сети всегда уделялось большое внимание, то организация удаленного доступа сотрудников предприятия перешла в разряд стратегически важных вопросов только в последнее время. Быстрый доступ к корпоративной информации из любой географической точки определяет для многих видов деятельности предприятия качество принятия решений его сотрудниками. Важность этого фактора растет с увеличением числа сотрудников, работающих на дому (telecommuters - телекоммьютеров), часто находящихся в командировках, и с ростом количества небольших филиалов предприятий, находящихся в различных городах и, может быть, разных странах.
Мультеплексирование
Мультиплексирование – использование одного канала связи для передачи данных нескольких абонентов. Линии (канал) связи состоят из физической среды, по которой передаются информационные сигналы аппаратуры передачи данных.
Разновидности каналов связи
симплексный - при связи приемника с передатчиком по одному каналу, с однонаправленной передачей информации (например, в телевизионной и радиовещательной сетях);
полудуплексный - когда два узла связи соединены одним каналом, по которому информация передается попеременно то в одном направлении, то в противоположном (в информационно-справочных и запросно-ответных системах);
дуплексный - позволяет передавать данные одновременно в двух направлениях за счет использования четырехпроводной линии связи (два провода для передачи, два других – для приема данных), или двух полос частот.
Характеристики линий связи
Основные характеристики канала связи – пропускная способность и достоверность передачи данных
Пропускная способность канала (количество информации, передаваемое в ед. времени) оценивается числом бит данных, передаваемых по каналу в секунду БИТ/ сек
Достоверность передачи данных оценивается по интенсивности битовых ошибок (BER) определяется вероятностью искажения передаваемого бита данных. Величина интенсивности битовых ошибок для каналов связи без дополнительной защиты от ошибок составляет 10 -4 до 10 -6
Основные характеристики кабелей
В компьютерных сетях применяются кабели соответствующие международным стандартам ISO 11801. В этих стандартах регламентированы след основные характеристики кабелей:
– затухание (ДБ/м);
– устойчивость кабеля к внутренним источникам помех (если в кабеле более одной пары проводов);
Импеданс (волновое сопротивление) - эффективное входное сопротивление кабеля для переменного тока;
Уровень внешнего ЭМ излучения в проводнике характеризует помехозащищённость кабеля.
Степень ослабления внешних помех от различных источников. Наиболее широкое применение находят след виды кабелей – неэкранированная витая пара / экранированная витая пара / коаксиальный кабель / оптоволокно.
Неэкранированная-
Экранированная – лучше неэкранированной
Кабель (RG8 и RG11 - толстый коаксиальный кабель имеет волновое сопротивление 8 Ом и внешний диаметр 2.5 см)
Кабели RG58 & RG59 – тонкие коаксиальные кабели с волновым сопротивлением 75 Ом
Среды передачи данных (проводные и беспроводные)
В зависимости от физической среды передачи данных линии связи можно разделить:
проводные линии связи без изолирующих и экранирующих оплеток;
кабельные, где для передачи сигналов используются такие линии связи как кабели "витая пара", коаксиальные кабели или оптоволоконные кабели;
беспроводные (радиоканалы наземной и спутниковой связи), использующие для передачи сигналов электромагнитные волны, которые распространяются по эфиру.
Мы рассматривали различные определения понятия "информация" и пришли к выводу, что информация может быть определена множеством разных способов в зависимости от выбранного подхода. Но об одном мы можем говорить однозначно: информация - знания, данные, сведения, характеристики, отражения и т.д. - категория нематериальная . Но мы живем в мире материальном. Следовательно, для существования и распространения в нашем мире информация должна быть связана с какой-либо материальной основой. Без нее информация не может передаваться и сохраняться.
Тогда материальный объект (или среда), с помощью которого представляется та или иная информация будет являться носителем информации
, а изменение какой-либо характеристики носителя мы будем называть сигналом
.
Например, представим равномерно горящую лампочку, она не передает никакой информации. Но, если мы будем включать и выключать лампочку (т.е. изменять ее яркость), тогда с помощью чередований вспышек и пауз мы сможем передать какое-нибудь сообщение (например, посредством азбуки Морзе). Аналогично, равномерный гул не дает возможности передать какую-либо информацию, однако, если мы будем изменять высоту и громкость звука, то сможем сформировать некоторое сообщение (что мы и делаем с помощью устной речи).
При этом сигналы могут быть двух видов: непрерывный
(или аналоговый
) и дискретный
.
В учебнике даны следующие определения.
Непрерывный
сигнал принимает множество значений из некоторого диапазона. Между значениями, которые он принимает, нет разрывов.
Дискретный
сигнал принимает конечное число значений. Все значения дискретного сигнала можно пронумеровать целыми числами.
Немного уточним эти определения.
Сигнал называется непрерывным
(или аналоговым), если его параметр может принимать любое
значение в пределах некоторого интервала.
Сигнал называется дискретным , если его параметр может принимать конечное число значений в пределах некоторого интервала.
Графики этих сигналов выглядят следующим образом
Примерами непрерывных сигналов могут быть музыка, речь, изображения, показания термометра (высота столба ртути может быть любой и представляет собой ряд непрерывных значений).
Примерами дискретных сигналов могут быть показания механических или электронных часов, тексты в книгах, показания цифровых измерительных приборов и т.д.
Вернемся к примерам, рассмотренным в начале сообщения - мигающая лампочка и человеческая речь. Какой из этих сигналов является непрерывным, а какой дискретным? Ответьте в комментариях и аргументируйте свой ответ. Можно ли непрерывную информацию преобразовать в дискретную? Если да - приведите примеры.
Дискретность в переводе с латинского языка обозначает прерывистость. Данное понятие применяется в различных отраслях науки, в частности электронике, физике, биологии, математике и так далее. В электронике существует понятие дискретного сигнала, предусматривающее передачу информации в условиях изменения возможных значений передающей среды. Кроме этого прерывистость используется и в других более щепетильных сферах, к примеру, в микроэлектронике. В частности при разработке дискретных схем представляющих собой элементы линий связи.
Как применяется дискретность в электронике
Существующие современные технологии связи, в том числе и разработанные для этого компьютерные программы, обеспечивают передачу голоса, являющегося звуковым потоком. При этом разработчики подобного оборудования и программного обеспечения сталкиваются с тем, что голосовой поток это непрерывная волна, передача которой возможна только на канале с высокой пропускной способностью. Его применение слишком затратно как в плане ресурсов, так и финансово. Эта проблема решается использованием принципов дискретности.
Дискретный сигнал представляет собой вместо стандартной непрерывной волны специальное цифровое выражение, способное ее описать. С установленной частотой параметры волны конвертируются в цифровую информацию и отправляются для приема. Фактически, получается обеспечить связь с минимальным применением ресурсов и энергии.
Дискретность позволяет существенно уменьшить суммарный поток данных, формируя из него пакетную передачу. При этом благодаря тому, что соблюдается выборка волны с промежутками между работой и паузами, то исключается вероятность искажения. Создается гарантия, что отправленная часть пакетных данных будет доставлена по предназначению, а за ней уже передастся следующая часть. В случае же с обыкновенными волнами, возможность помех намного выше.
Примеры простейшей дискретности
Учебники по физике для объяснения понятия дискретности при применении его к сигналу зачастую приводят аналогию с печатной книгой. Так, при ее чтении воспринимается непрерывный поток изложенной информации. При этом фактически вся изложенная в ней информация это код, состоящий из набора букв, пробелов и знаков препинания. Изначально способ общения человека – это голос, но посредством письма возможно записать звук с помощью буквенного кода. При этом, если рассматривать в плане емкости в килобайтах или мегабайтах, то объем напечатанного текста будет занимать меньше места, чем его звуковая запись.
Возвращаясь к примеру с книгой получается, что ее автор создает определенный дискретный сигнал, разбивая звуковой поток на блоки и излагая их определенным способом кодирования, то есть письменным языком. Сам читатель открывающий книгу посредством своих знаний в кодировании и мысли объединяет дискретные буквы в непрерывный информационный поток. Данный пример весьма удачно помогает упрощенным языком объяснить зачем нужна дискретность и почему она так тесно связана с сигналами, применяемыми в электронике.
Простым примером визуальной дискретности можно назвать старые рисованные мультфильмы. Их кадр состоял из десятков картинок, которые шли друг за другом с небольшими паузами. Каждая последующая картинка немного изменяется, поэтому глазу человека кажется, что персонажи на экране двигаются. Именно благодаря дискретности вообще возможно формировать движущееся изображение.
Пример с рисованными мультфильмами отображает лишь часть свойства дискретности. Аналогичная технология применяется и при создании видео. Стоит вспомнить диафильмы или старые кинопленки, когда на одной длинной ленте идет множество маленьких картинок, при изменении которых создается эффект движения на экране. Хотя современные технологии и отошли от материальных носителей кадров такого плана, но по-прежнему используется принцип дискретности, хотя и видоизмененный.
Дискретный сигнал
Данное понятие позволяет отобразить противоположное явления непрерывному сигналу. При использовании непрерывности одним из проявлений выступает звуковая волна с определенной амплитудой и частотой, которая транслируется постоянно без пауз. Хотя и существует несколько вполне эффективных способов обработки непрерывного или так называемого аналогового сигнала, позволяющих уменьшить объем информационного потока, но они не так действенны. Использование дискретной переработки позволяет делать оборудование менее объемным и отказаться от дорогостоящих коммуникаций. В электронике понятие дискретный и цифровой сигнал это практически одно и то же.
К неоспоримым достоинствам дискретного сигнала можно отнести:
- Возможность избежать искажения информации.
- Обеспечение высокой помехоустойчивости, что возможно в результате применения кодирования информации.
- Возможность архивирования данных для сохранения ресурсов носителей.
- Обеспечение возможности трансляции информации из различных источников по единому каналу.
- Наличие упрощенного математического описания.
Не лишена дискретность и недостатков. При ее использовании требуется применение высоких технологий, в связи с чем ответственные детали электронных механизмов теряют возможность проведения кустарного ремонта. При серьезной поломке требуется замена отдельных агрегатов. Кроме этого возможна частичная потеря информации, которая заключена в дискретном сигнале.
Способы реализации дискретности при работе с сигналами
Как уже было выяснено, дискретный сигнал представляет собой последовательность цифровых закодированных значений. Существуют различные способы кодирования, но одним из самых популярных считаются двоичные цифровые сигналы. Они используются практически во всех электронных устройствах, поскольку легко кодируются и декодируются.
Дискретный цифровой сигнал имеет два значения «1» и «0». Для передачи данных создается импульсное напряжение. После генерации импульса принимающее его устройство воспринимает часть сигнала как «1», а последующую после этого паузу как «0». Декодирующая аппаратура оценивает частоту подаваемых импульсов и проводит их восстановление в изначальные данные. Если рассматривать график дискретного сигнала, можно увидеть, что переход между нулевым и максимальным значением происходит мгновенно. График состоит из прямоугольных углов, когда линия между верхним и нижним значением не имеет плавного перехода. Благодаря этому принимающая аппаратура считывает информацию четко, тем самым исключаются помехи, поскольку даже слабо принятый импульс будет читаться как максимум, то есть «1», а пауза как «0».
Хотя дискретность и способна значительно уменьшить образование помех, но не может исключить их полное отсутствие. Если имеется большой уровень шума цифрового потока, то восстановить данные из полученных сигналов невозможно. В случае же с непрерывными аналоговыми сигналами можно применять различные фильтры, чтобы убрать искажения и восстановить информацию. Именно поэтому принцип дискретности применяется далеко не всегда.
Техническая реализация принципов дискретности
Дискретные сигналы используются для записи на известные носители, такие как CD, DVD и так далее. Их читают цифровые проигрыватели, мобильные телефоны, модемы и практически любое техническое оборудование, которым все пользуются ежедневно. Все мультимедийные технологии состоят из устройств сжатия, кодировки и декодировки, что и позволяет работать с дискретными сигналами.
Даже те сферы, которые изначально использовали непрерывные технологии передачи данных, начинают отказываться от такого способа и внедряют дискретность. Вся современная аудиотехника работает именно по такому способу. Также происходит постепенный отказ от аналового телевещания. Отсутствие резкого перехода с одной технологии на вторую наблюдается благодаря тому, что дискретный сигнал можно обратно конвертировать в аналоговый. Это обеспечивает определенную совместимость разных систем.
Если рассматривать еще примеры оборудования, где применяются принципы дискретности, то к таким примерам можно отнести:
- Звуковые карты.
- Электронные музыкальные инструменты.
- Навигаторы.
- Цифровые фотоаппараты.
Сфера применения принципа дискретности очень обширна. В связи с этим оборудование, где он внедряется, значительно прогрессирует, при этом удобство применения такой аппаратуры многократно возрастает.
Дискретные сигналы естественно возникают в тех случаях, когда источник сообщений выдает информацию в фиксированные моменты времени. Примером могут служить сведения о температуре воздуха, передаваемые радиовещательными станциями несколько раз в сутки. Свойство дискретного сигнала проявляется здесь предельно ярко: в паузах между сообщениями никаких сведений о температуре нет. Фактически же температура воздуха изменяется во времени плавно, так что результаты измерения возникают за счет дискретизации непрерывного сигнала - операции, которая фиксирует отсчетные значения.
Дискретные сигналы приобрели особое значение в последние десятилетия под влиянием совершенствования техники связи и развития способов обработки информации быстродействующими вычислительными устройствами. Большие успехи достигнуты в разработке и использовании специализированных устройств для обработки дискретных сигналов, так называемых цифровых фильтров.
Настоящая глава посвящена рассмотрению принципов математического описания дискретных сигналов, а также теоретических основ построения линейных устройств для их обработки.
15.1. Модели дискретных сигналов
Различие между дискретными и аналоговыми (непрерывными) сигналами подчеркивалось в гл. 1 при классификации радиотехнических сигналов. Напомним основное свойство дискретного сигнала: его значения определены не во все моменты времени, а лишь в счетном множестве точек. Если аналоговый сигнал имеет математическую модель вида непрерывной или кусочно-непрерывной функции, то отвечающий ему дискретный сигнал представляет собой последовательность отсчетных значений сигнала в точках соответственно.
Дискретизирующая последовательность.
На практике, как правило, отсчеты дискретных сигналов берут во времени через равный промежуток А, называемый интервалом (шагом) дискретизации:
Операцию дискретизации, т. е. переход от аналогового сигнала к дискретному сигналу , можно описать, введя в рассмотрение обобщенную функцию
называемую дискретизирующей последовательностью.
Очевидно, дискретный сигнал представляет собой функционал (см. гл. 1), определенный на множестве всевозможных аналоговых сигналов и равный скалярному произведению функции
Формула (15.3) указывает путь практической реализации устройства для дискретизации аналогового сигнала. Работа дискретизатора основана на операции стробирования (см. гл. 12) - перемножения обрабатываемого сигнала и «гребенчатой» функции Поскольку длительность отдельных импульсов, из которых складывается дискретизирующая последовательность, равна нулю, на выходе идеального дискретизатора в равноотстоящие моменты времени возникают отсчетные значения обрабатываемого аналогового сигнала.
Рис. 15.1. Структурная схема импульсного модулятора
Модулированные импульсные последовательности.
Дискретные сигналы начали использовать еще в 40-х годах при создании радиотехнических систем с импульсной модуляцией. Этот вид модуляции отличается тем, что в качестве «несущего колебания» вместо гармонического сигнала служит периодическая последовательность коротких импульсов.
Импульсный модулятор (рис. 15.1) представляет собой устройство с двумя входами, на один из которых подается исходный аналоговый сигнал На другой вход поступают короткие синхронизирующие импульсы с интервалом повторения . Модулятор построен таким образом, что в момент подачн каждого синхронизирующего импульса происходит измерение мгновенного значения сигнала х(t). На выходе модулятора возникает последовательность импульсов, каждый из которых имеет площадь, пропорциональную соответствующему отсчетному значению аналогового сигнала.
Сигнал на выходе импульсного модулятора будем называть модулированной импульсной последовательностью (МИП). Естественно, что дискретный сигнал является математической моделью МИП.
Отметим, что с принципиальной точки зрения характер импульсов, из которых складывается МИП, безразличен. В частности, эти импульсы могут иметь одинаковую длительность, в то время как их амплитуда пропорциональна отсчетным значениям дискретизируемого сигнала. Такой вид преобразования непрерывного сигнала получил название амплитудно-импульсной модуляции (АИМ). Возможен другой способ - широтно-импульсная модуляция (ШИМ). Здесь амплитуды импульсов на выходе модулятора постоянны, а их длительность (ширина) пропорциональна мгновенным значениям аналогового колебания.
Выбор того или иного способа импульсной модуляции диктуется рядом технических соображений, удобством схемной реализации, а также характерными особенностями передаваемых сигналов. Например, нецелесообразно использовать АИМ в случае, если полезный сигнал изменяется в очень широких пределах, т. е., как часто говорят, имеет широкий динамический диапазон. Для неискаженной передачи такого сигнала требуется передатчик со строго линейной амплитудной характеристикой. Создание такого передатчика - самостоятельная, технически сложная проблема. Системы ШИМ не предъявляют требований к линейности амплитудных характеристик передающего устройства. Однако их схемная реализация может оказаться несколько сложнее по сравнению с системами АИМ.
Математическую модель идеальной МИП можно получить следующим образом. Рассмотрим формулу динамического представления сигнала (см. гл. 1):
Поскольку МИП определена лишь в точках интегрирование в формуле (15.4) следует заменить суммированием по индексу к. Роль дифференциала будет играть интервал (шаг) дискретизации . Тогда математическая модель модулированной импульсной последовательности, образованной бесконечно короткими импульсами, окажется заданной выражением
где - выборочные значения аналогового сигнала.
Спектральная плотность модулированной импульсной последовательности.
Исследуем спектр сигнала, возникающего на выходе идеального импульсного модулятора и описываемого выражением (15.5).
Заметим, что сигнал вида МИП с точностью до коэффициента пропорциональности А равен произведению функции и дискретизирующей последовательности
Известно, что спектр произведения двух сигналов пропорционален свертке их спектральных плотностей (см. гл. 2). Поэтому бели известны законы соответствия сигналов и спектров:
то спектральная плотность МИП-сигнала
Чтобы найти спектральную плотность дискретизирующей последовательности, разложим периодическую функцию в комплексный ряд Фурье:
Коэффициенты этого ряда
Обратившись к формуле (2.44), получаем
т. е. спектр дискретизирующей последовательности состоит из бесконечной совокупности дельта-импульсов в частотной области. Данная спектральная плотность является периодической функцией с периодом
Наконец, подставив формулу (15.8) в (15.7) и изменив порядок следования операций интегрирования и суммирования, находим
Итак, спектр сигнала, полученного в результате идеальной дискретизации бесконечно короткими стробирующими импульсами, представляет собой сумму бесконечного числа «копий» спектра исходного аналогового сигнала. Копии располагаются на оси частот через одинаковые интервалы равные значению угловой частоты первой гармоники дискретизирующей импульсной последовательности (рис. 15.2, а, б).
Рис. 15.2. Спектральная плотность модулированной импульсной последовательности при различных значениях верхней граничной частоты: а - верхняя граничная частота велика; б - верхняя граничная частота мала (цветом обозначена спектральная плотность исходного сигнала, подвергнутого дискретизации)
Восстановление непрерывного сигнала по модулированной импульсной последовательности.
В дальнейшем будем полагать, что вещественный сигнал имеет низкочастотный спектр, симметричный относительно точки и ограниченный верхней граничной частотой Из рис. 15.2, б следует, что если , то отдельные копии спектра не накладываются друг на друга.
Поэтому аналоговый сигнал с таким спектром, подвергнутый импульсной дискретизации, может быть совершенно точно восстановлен с помощью идеального ФНЧ, на вход которого подана импульсная последовательность вида (15.5). При этом наибольший допустимый интервал дискретизации , что согласуется с теоремой Котельникова.
Действительно, пусть фильтр, восстанавливающий непрерывный сигнал, имеет частотный коэффициент передачи
Импульсная характеристика этого фильтра описывается выражением
Принимая во внимание, что МИП-сигнал вида (15.5) есть взвешенная сумма дельта-импульсов, находим отклик на выходе восстанавливающего фильтра
Данный сигнал с точностью до масштабного коэффициента повторяет исходное колебание с ограниченным спектром.
Идеальный ФНЧ физически нереализуем и может служить лишь теоретической моделью для объяснения принципа восстановления сообщения по его дискретным импульсным отсчетам. Реальный фильтр нижних частот имеет АЧХ, которая либо охватывает несколько лепестков спектральной диаграммы МИП, либо, концентрируясь вблизи нулевой частоты, оказывается значительно уже центрального лепестка спектра. Для примера на рис. 15.3, б-е приведены кривые, характеризующие сигнал на выходе RC-цепи, используемой в качестве восстанавливающего фильтра (рис. 15.3, а).
Рис. 15.3. Восстановление непрерывного сигнала по его импульсным отсчетам с помощью RC-цепи: а - схема фильтра; б - дискретный входной сигнал; в, г - АЧХ фильтра и сигнал на его выходе в случае ; д, е - то же, для случая
Из приведенных графиков видно, что реальный восстанавливающий фильтр неизбежно искажает входное колебание.
Заметим, что для восстановления сигнала можно использовать как центральный, так и любой боковой лепесток спектральной диаграммы.
Определение спектра аналогового сигнала по совокупности отсчетов.
Располагая МИП-представлением, можно не только восстановить аналоговый сигнал, но и найти его спектральную плотность. Для этого следует прежде всего непосредственно связать спектральную плотность МИП с отсчетными значениями:
(15.13)
Данная формула исчерпывающе решает поставленную задачу при указанном выше ограничении.
С дискретностью каждый из нас сталкивается ежедневно. Это одно из свойств, присущее материи. В дословном переводе с латинского языка слово discretus означает прерывистость. Например, дискретный сигнал - это способ передачи информации, когда среда-переносчик изменяется во времени, принимая любое из существующего списка допустимых значений.
Конечно, термин «дискретность» применяется в более широком смысле. В частности, сейчас прогресс в микроэлектронике направлен на создание и развитие технологии SOC - «Система на чипе». Предполагается, что все составляющие устройство компоненты между собой тесно интегрированы на единой подложке. Противоположность такого подхода - дискретные схемы, когда элементы сами являются завершенными изделиями, соединяясь линиями связи.
Пожалуй, сейчас невозможно найти человека, который бы не пользовался мобильным телефоном или программой Скайп на компьютере. Одна из их задач - это передача звукового потока (в частности, голоса). Но так как такой звук представляет собой непрерывную волну, для его непосредственной передачи потребовался бы канал с высокой пропускной способностью. Для решения этого вопроса было предложено использовать дискретный сигнал. Формирует он не волну, а ее цифровое представление (помните, речь идет о мобильных телефонах и компьютерах). С волны через определенные промежутки времени выполняются выборки значений данных. То есть, создается дискретный сигнал. Его преимущество очевидно: меньший суммарный и возможность организации пакетной передачи. Целевое приемное устройство объединяет все выборки в единый блок, генерируя исходную волну. Чем больше промежутки между выборками, тем выше вероятность искажения исходной волны. Дискретизация широко используется в вычислительной технике.
Говоря о том, что такое дискретный сигнал, нельзя не воспользоваться замечательной аналогией с обычной печатной книгой. Человек, читая ее, получает непрерывный поток информации. В то же время, содержащиеся в ней данные «закодированы» в виде определенных последовательностей букв - слов - предложений. Получается, что автор из неделимой мысли формирует своеобразный дискретный сигнал, так как выражает ее разбиением на блоки, используя тот или иной способ кодировки (алфавит, язык). Читатель в данном примере получает возможность воспринимать идею автора только после мысленного объединения слов в поток информации.
Наверняка, вы читаете эту статью с экрана компьютера. А ведь даже экран монитора может служить примером, где проявляется дискретность и непрерывность. Вспомним старые модели, основанные на ЭЛТ. В них изображение формировалось последовательностью кадров, которые необходимо было «отрисовывать» несколько десятков раз в секунду. Очевидно, что данное устройство использует дискретный способ построения картинки.
Дискретный сигнал является полной противоположностью непрерывному. Последний представляет собой функцию интенсивности от времени (если представить его на декартовой плоскости). Как уже указывалось, одним из примеров может служить Она характеризуется частотой и амплитудой, однако естественным образом нигде не прерывается. Большинство природных процессов описываются именно таким способом. Несмотря на то, что, все-таки, существует несколько способов обработки непрерывного (или аналогового) сигнала, позволяющих уменьшить поток данных, в современных цифровых системах распространен именно дискретный. Отчасти благодаря тому, что его можно достаточно просто преобразовать в исходный, независимо от конфигурации последнего. Кстати, стоит отметить, что термины «дискретный» и «цифровой» практически равнозначны.
