Operazioni aritmetiche in vari sistemi numerici. Aritmetica delle divisioni del sistema numerico ottale

È possibile eseguire varie operazioni aritmetiche sui numeri scritti in qualsiasi sistema numerico. Le regole per eseguire queste operazioni nel sistema decimale sono ben note: queste lo sono addizione, sottrazione, moltiplicazione per colonna E divisione per angolo. Queste regole si applicano a tutti gli altri sistemi numerici posizionali. Soltanto È necessario utilizzare le tabelle di addizione e moltiplicazionespecialeper ciascun sistema.

Durante l'aggiunta, i numeri vengono sommati in cifre e, se c'è un eccesso, viene trasferito a sinistra. L'addizione e la moltiplicazione dei numeri binari viene eseguita secondo le regole:

Esempi con numeri binari:

101001 101 10111 1100,01

1011 + 011 + 10110 - 0,10

110100 1000 101101 1011,11

Moltiplicazione

Quando si moltiplicano numeri a più cifre in diversi sistemi di numeri posizionali, è possibile utilizzare il solito algoritmo per moltiplicare i numeri in una colonna, ma i risultati della moltiplicazione e dell'addizione di numeri a una cifra devono essere presi in prestito dalle tabelle di moltiplicazione e addizione corrispondenti al sistema in domanda.

A causa dell'estrema semplicità della tavola pitagorica nel sistema binario, la moltiplicazione si riduce solo allo spostamento del moltiplicando e all'addizione.

00000 + 100111

00000 + 100111

11011 + 100111

11110011 101011010001

Divisione

La divisione in qualsiasi sistema numerico posizionale viene eseguita secondo le stesse regole della divisione per angolo nel sistema decimale. Nel sistema binario la divisione è particolarmente semplice perché la cifra successiva del quoziente può essere solo zero o uno.

101001101 1001 − 333 9 11110 110

1001 100101 27 37 - 110 101

1001 1001000 1000

Le operazioni aritmetiche con numeri nei sistemi numerici ottali ed esadecimali vengono eseguite per analogia con i sistemi binario e decimale. Per fare ciò, è necessario utilizzare le tabelle necessarie.

Il processore non sa come eseguire direttamente l'operazione di sottrazione, quindi la sottrazione deve essere ridotta all'addizione rappresentando il sottraendo nel cosiddetto codice del complemento a due. Consideriamo innanzitutto il codice inverso del numero. Ad esempio, 1001 (numero originale) e 0110 è il codice inverso + 1 = 0111 codice aggiuntivo.

Quelli. La sottrazione nell'aritmetica binaria è l'addizione del minuendo con il complemento del sottraendo. Ad esempio, da 101 2 sottrai 10 2

1) 10 2 = 010, il suo codice inverso è 101

2) quindi incrementando il codice inverso di 1 otteniamo il codice aggiuntivo 110

110 (o 5-2=3)

4) Si noti che il riporto dal risultato più alto significa che il risultato ottenuto è positivo

Domande per l'autocontrollo

Come si chiama un sistema numerico?

Qual è la differenza tra i sistemi numerici posizionali e quelli non posizionali?

Come viene determinato il processo di codifica delle informazioni e perché è necessario?

Quali unità di misura della quantità di informazioni conosci?

Perché la rappresentazione binaria delle informazioni è uno dei principi fondamentali di funzionamento dei computer moderni?

Converti da binario a decimale: 10100011 2 e 1101011 2.

Qual è la base del sistema numerico posizionale naturale?

Quali metodi conosci per convertire i numeri da un sistema numerico a un altro?

Materiale aggiuntivo

Esempio 1. Sommiamo i numeri 15 e 6 in diversi sistemi numerici.

Esempio 2. Aggiungi i numeri 15, 7 e 3.

Esadecimale: F 16 +7 16 +3 16

Risposta: 5+7+3 =25 10 =11001 2 =31 8 = 9 16. Controlla: 11001 2 = 2 4 + 2 3 + 2 0 = 16+8+1=25, 31 8 = 3*8 1 + 1*8 0 = 24 + 1 = 25, 19 16 = 1*16 1 + 9 *160 = 16+9 = 25.

Esempio 3. Aggiungi i numeri 141,5 e 59,75.

Risposta: 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = C9,4 16

Visita medica. Convertiamo gli importi risultanti in forma decimale: 11001001.01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201.25 311.2 8 = 3*8 2 + 1 8 1 + 1*8 0 + 2*8 - 1 = 201,25 C9,4 16 = 12*16 1 + 9*16 0 + 4*16 -1 = 201,25

Operazioni aritmetiche nei sistemi numerici posizionali

Le operazioni aritmetiche in tutti i sistemi numerici posizionali vengono eseguite secondo le stesse regole che ti sono ben note.

Aggiunta. Consideriamo l'aggiunta di numeri nel sistema numerico binario. Si basa su una tabella per la somma di numeri binari a una cifra:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

È importante prestare attenzione al fatto che quando si aggiungono due unità, la cifra trabocca e viene trasferita alla cifra più significativa. Un overflow di cifre si verifica quando il valore del numero in esso contenuto diventa uguale o maggiore della base.

L'addizione di numeri binari a più bit avviene secondo la tabella di addizione di cui sopra, tenendo conto dei possibili trasferimenti dalle cifre di ordine basso a quelle di ordine alto. Ad esempio, aggiungiamo i numeri binari 110 2 e 11 2 in una colonna:

Controlliamo la correttezza dei calcoli aggiungendo il sistema numerico decimale. Convertiamo i numeri binari nel sistema numerico decimale e poi aggiungiamoli:

110 2 = 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 6 10 ;

11 2 = 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 3 10 ;

6 10 + 3 10 = 9 10 .

Ora convertiamo il risultato dell'addizione binaria in un numero decimale:

1001 2 = 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 9 10.

Confrontiamo i risultati: l'addizione è stata eseguita correttamente.

Sottrazione. Diamo un'occhiata alla sottrazione dei numeri binari. Si basa su una tabella per la sottrazione di numeri binari a una cifra. Quando si sottrae un numero più grande (1) da un numero più piccolo (0), viene effettuato un prestito dalla cifra più alta. Nella tabella, il prestito è indicato con 1 con una riga:

Moltiplicazione. La moltiplicazione si basa sulla tabella di moltiplicazione per i numeri binari a una cifra:

Divisione. L'operazione di divisione viene eseguita utilizzando un algoritmo simile all'algoritmo per eseguire l'operazione di divisione nel sistema di numerazione decimale. Ad esempio, dividiamo il numero binario 110 2 per 11 2:

Per eseguire operazioni aritmetiche su numeri espressi in sistemi numerici diversi è necessario prima convertirli nello stesso sistema.

Compiti

1.22. Aggiungi, sottrai, moltiplica e dividi i numeri binari 1010 2 e 10 2 e controlla la correttezza delle operazioni aritmetiche utilizzando una calcolatrice elettronica.

1.23. Aggiungi i numeri ottali: 5 8 e 4 8, 17 8 e 41 8.

1.24. Sottrai i numeri esadecimali: F 16 e A 16, 41 16 e 17 16.

1.25. Aggiungi i numeri: 17 8 e 17 16, 41 8 e 41 16

Addizione e sottrazione

In un sistema con una base, i numeri 0, 1, 2, ..., c - 1 vengono utilizzati per indicare lo zero e i primi numeri naturali c-1. Per eseguire l'operazione di addizione e sottrazione, viene compilata una tabella sommando numeri a una cifra.

Tabella 1 - Addizione nel sistema binario

Ad esempio, una tabella di addizione nel sistema numerico esadecimale:

Tabella 2 - Addizione nel sistema esadecimale

L'addizione di due numeri qualsiasi scritti nel sistema numerico con base c viene eseguita allo stesso modo del sistema decimale, per cifre, a partire dalla prima cifra, utilizzando la tabella di addizione di questo sistema. I numeri da aggiungere vengono firmati uno dopo l'altro in modo che le cifre delle stesse cifre siano verticali. Il risultato dell'addizione è scritto sotto la linea orizzontale tracciata sotto i numeri da aggiungere. Proprio come quando si sommano numeri nel sistema decimale, nel caso in cui sommando cifre in qualsiasi cifra si ottenga un numero a due cifre, l'ultima cifra di questo numero viene scritta come risultato e la prima cifra viene aggiunta al risultato della somma di cifra successiva.

Per esempio,

Puoi giustificare la regola specificata per l'aggiunta di numeri utilizzando la rappresentazione dei numeri nel modulo:

Diamo un'occhiata a un esempio:

3547=3*72+5*71+4*70

2637=2*72+6*71+3*70

(3*72+5*71+4*70) + (2*72+6*71+3*70) =(3+2)*72+(5+6)*7+(3+4)=

5*72+1*72+4*7+7=6*72+4*7+7=6*72+5*7+0=6507

Selezioniamo in sequenza i termini in base alla potenza della base 7, iniziando dalla potenza più bassa, zero.

Anche la sottrazione viene eseguita per cifre, a partire dalla più bassa, e se la cifra del minuendo è inferiore alla cifra del sottraendo, allora un'unità viene “presa” dalla cifra successiva del minuendo e dalla cifra corrispondente del sottraendo viene sottratto dal numero di due cifre risultante; quando si sottraggono le cifre della cifra successiva, in questo caso è necessario ridurre mentalmente la cifra ridotta di uno, ma se questa cifra risulta essere zero (e quindi ridurla è impossibile), allora si dovrebbe "prendere in prestito" una dalla cifra cifra successiva e poi ridurla di uno. Non è necessario creare una tabella speciale per la sottrazione, poiché la tabella delle addizioni fornisce i risultati della sottrazione.

Per esempio,

Moltiplicazione e divisione

Per eseguire le operazioni di moltiplicazione e divisione nel sistema base c, viene compilata una tabella di moltiplicazione per i numeri a una cifra.

Tabella 3 - Moltiplicazione di numeri ad una cifra

Tabella 4 - Moltiplicazione nel sistema numerico esadecimale

La moltiplicazione di due numeri arbitrari in un sistema con base c viene eseguita allo stesso modo del sistema decimale - "colonna", ovvero il moltiplicando viene moltiplicato per la cifra di ciascuna cifra del moltiplicatore (in sequenza) con il successivo aggiunta di questi risultati intermedi.

Per esempio,

Quando si moltiplicano numeri a più cifre nei risultati intermedi, l'indice di base non viene inserito:

La divisione nei sistemi con base c viene eseguita per angolo, proprio come nel sistema numerico decimale. In questo caso vengono utilizzate la tabella di moltiplicazione e la tabella di addizione del sistema corrispondente. La situazione è più complicata se il risultato della divisione non è una frazione finita (o un numero intero). Quindi, quando si esegue un'operazione di divisione, di solito è necessario isolare la parte non periodica della frazione e il suo periodo. La possibilità di eseguire l'operazione di divisione nel sistema numerico c-ario è utile quando si convertono i numeri frazionari da un sistema numerico a un altro.

Per esempio:

Conversione di numeri da un sistema numerico a un altro

Esistono molti modi diversi per convertire i numeri da un sistema numerico a un altro.

Metodo di divisione

Sia dato il numero N=an an-1. . . a1 a0 r.

Per ottenere una registrazione del numero N in un sistema con base h, esso dovrebbe essere rappresentato nella forma:

N=bmhm+bm-1hm-1+... +b1h+b0 (1)

dove 1

N=bmbm-1... b1boh (2)

Dalla (1) otteniamo:

N= (bmhm-1+...+b)*h +b0 = N1h+b0, dov'è 0? b0?h (3)

Cioè, il numero b0 è il resto della divisione del numero N per il numero h. Quoziente parziale Nl = bmhm-1+ . . . +b1 può essere rappresentato come:

Nl = (bmhm-2 + ... + b2)h + b1 = N2h+b1, dov'è 0? b2?h (4)

Pertanto, la cifra bi nel record (2) del numero N è il resto della divisione del primo quoziente incompleto N1 per la base h del nuovo sistema numerico. Rappresentiamo il secondo quoziente incompleto N2 nella forma:

N2 = (bmhm-3+ ... +b3)h+b2, dov'è 0? b2?h (5)

cioè il numero b2 è il resto della divisione del secondo quoziente incompleto N2 per la base h del nuovo sistema. Poiché i quozienti non completi diminuiscono, questo processo è finito. E poi otteniamo Nm = bm, dove bm

Nm-1 = bmh+bm.1 = Nmh+bm.1

Pertanto, la sequenza di numeri è bm, bm-1. . ,b1,b0 nella notazione del numero N nel sistema numerico in base h è una sequenza di resti della divisione sequenziale del numero N per base h, presa in ordine inverso.

Diamo un'occhiata ad un esempio: converti il ​​numero 123 nel sistema numerico esadecimale:

Pertanto, il numero 12310=7(11)16 o può essere scritto come 7B16

Scriviamo il numero 340227 nel sistema numerico quinario:

Quindi otteniamo 340227=2333315

Sistemi numerici

Sistema numerico – un insieme di tecniche e regole per scrivere numeri in segni o simboli digitali.

Tutti i sistemi numerici possono essere divisi in due classi: posizionale E non posizionale. Nella classe dei sistemi posizionali, vengono utilizzati numerosi segni diversi per scrivere numeri in diversi sistemi numerici. Viene chiamato il numero di tali segni nel sistema numerico posizionale la base del sistema numerico. Di seguito è riportata una tabella contenente i nomi di alcuni sistemi numerici posizionali e un elenco di segni (cifre) da cui si formano i numeri in essi.

Alcuni sistemi numerici

Base	Notazione	Segni
	Binario	0,1
	Trinità	0, 1, 2
	Quaternario	0, 1, 2, 3
	Quintuplo	0, 1, 2, 3, 4
	Ottale	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
	Decimale	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	duodecimale	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B
	Esadecimale	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

In un sistema numerico posizionale, alla posizione relativa di una cifra in un numero viene assegnato un fattore di peso e il numero può essere rappresentato come la somma dei prodotti dei coefficienti per la corrispondente potenza della base del sistema numerico (fattore di peso ):

A n À n–1 A n–2 ...A 1 A 0 , A –1 A –2 ... =

A n B n + A n-1 B n-1 + ... + A 1 B 1 + A 0 B 0 + A –1 B –1 + A –2 B –2 + ...

(il segno “,” separa la parte intera del numero dalla parte frazionaria. Pertanto, il significato di ciascun segno nel numero dipende dalla posizione che il segno occupa nella registrazione numerica. Ecco perché tali sistemi numerici sono chiamati posizionali ).

Un sistema numerico posizionale è un sistema in cui la dimensione di un numero è determinata dai valori delle cifre in esso incluse e dalla loro posizione relativa nel numero.

23,45 10 = 2 ⋅ 10 1 + 3 ⋅ 10 0 + 4 ⋅ 10 –1 + 5 ⋅ 10 –2 .

L'indice decimale in basso indica la base del sistema numerico.

692 10 = 6 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 1 + 2 ⋅ 10 0 ;

1101 2 = 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 13 10 ;

112 3 = 1 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 = 14 10 ;

341,5 8 = 3 ⋅ 8 2 + 4 ⋅ 8 1 + 1 ⋅ 8 0 + 5 ⋅ 8 –1 = 225,125 10 ;

A1F,4 16 = LA ⋅ 16 2 + 1 ⋅ 16 1 + F ⋅ 16 0 + 4 ⋅ 16 –1 = 2591.625 10.

Quando si lavora con i computer, è necessario utilizzare diversi sistemi numerici posizionali in parallelo (molto spesso binario, decimale, ottale ed esadecimale), quindi le procedure per convertire i numeri da un sistema numerico a un altro sono di grande importanza pratica. Si noti che in tutti gli esempi precedenti, il risultato è un numero decimale, e quindi il metodo per convertire i numeri da qualsiasi sistema numerico posizionale a decimale è già stato dimostrato.

In generale, per convertire una parte intera di un numero dal sistema decimale al sistema base B, è necessario dividerlo per B. Il resto darà la cifra meno significativa del numero. Il quoziente risultante deve essere nuovamente diviso per B: il resto darà la cifra successiva del numero, ecc. Le divisioni continuano finché il quoziente diventa inferiore alla base. I valori dei resti risultanti, presi in ordine inverso, formano il numero binario desiderato.

Un esempio di traduzione di un'intera parte: Converti 25 10 in un numero binario.

25/2 = 12 con resto 1,

12/2 = 6 con resto 0,

6 /2 = 3 con resto 0,

Le parti intere e frazionarie vengono tradotte separatamente. Per convertire la parte frazionaria è necessario moltiplicarla per B. La parte intera del prodotto risultante sarà la prima cifra (dopo il punto decimale che separa la parte intera dalla parte frazionaria). La parte frazionaria del prodotto deve essere nuovamente moltiplicata per B. La parte intera del numero risultante sarà il segno successivo, ecc.

Per convertire una parte frazionaria (o un numero che ha numeri interi "0"), è necessario moltiplicarlo per 2. La parte intera del prodotto sarà la prima cifra del numero nel sistema binario. Quindi, scartando la parte intera del risultato, moltiplichiamo nuovamente per 2, ecc. Si noti che una frazione decimale finita può benissimo diventare una frazione binaria infinita (periodica).

Un esempio di conversione di una parte frazionaria: Converti 0,73 10 in un numero binario.

0,73 ⋅ 2 = 1,46 (parte intera 1),

0,46 ⋅ 2 = 0,92 (parte intera 0),

0,92 ⋅ 2 = 1,84 (parte intera 1),

0,84 ⋅ 2 = 1,68 (parte intera 1), ecc.

Quindi: 0,73 10 = 0,1011 2.

È possibile eseguire varie operazioni aritmetiche sui numeri scritti in qualsiasi sistema numerico. Le operazioni aritmetiche in tutti i sistemi numerici posizionali vengono eseguite secondo le stesse regole che ti sono ben note.

Considera l'aggiunta di due numeri in base dieci:

Quando si sommano i numeri 6 e 7, il risultato può essere rappresentato come l'espressione 10 + 3, dove 10 è la base completa per il sistema numerico decimale. Sostituiamo 10 (base) con 1 e sostituiamo a sinistra del numero 3. Otteniamo:

6 10 + 7 10 = 13 10 .

Prendi in considerazione l'aggiunta di due numeri in base otto:

Quando si sommano i numeri 6 e 7, il risultato può essere rappresentato come l'espressione 8 + 5, dove 8 è la base completa del sistema numerico ottale. Sostituiamo 8 (base) con 1 e sostituiamo a sinistra del numero 5. Otteniamo:

6 8 + 7 8 = 15 8 .

Considera l'idea di aggiungere due numeri grandi in base otto:

L'addizione inizia dalla cifra meno significativa. Quindi, rappresentiamo 4 8 + 6 8 come 8 (base) + 2. Sostituisci 8 (base) con 1 e aggiungi questa unità alle cifre di ordine superiore. Successivamente, aggiungiamo le seguenti cifre: 5 8 + 3 8 + 1 8, rappresentiamolo come 8 + 1, sostituiamo 8 (base) con 1 e lo aggiungiamo alla cifra più significativa. Successivamente, rappresentiamo 2 8 + 7 8 + 1 8 come 8 (base) + 2, sostituiamo 8 (base) con 1 e lo sostituiamo a sinistra del numero risultante (nella posizione della cifra più significativa). Risulta così:

254 8 + 736 8 = 1212 8 .

276 8 + 231 8 = 527 8 ,

4A77 16 + BF4 16 = 566B 16,

1100110 2 + 1100111 2 = 11001101 2 .

Altre operazioni aritmetiche (sottrazione, moltiplicazione e divisione) vengono eseguite in modo simile in diversi sistemi numerici.

Consideriamo la moltiplicazione in una “colonna”, usando l'esempio di due numeri del sistema binario:

11101 2 101 2

Scriviamo i numeri uno sotto l'altro, secondo i ranghi. Quindi eseguiamo una moltiplicazione bit a bit del secondo fattore per il primo e lo scriviamo con uno spostamento a sinistra, proprio come quando si moltiplicano i numeri decimali. Resta da sommare i numeri “spostati”, tenendo conto della base dei numeri, in questo caso binaria.

Convertiamo il risultato in base 16.

Nella seconda cifra rappresentiamo 29 come 16 (base) e 13 (D). Sostituiamo 16 (base) con 1 e aggiungiamolo alla cifra più significativa.

Nella terza cifra 96 ​​+ 1 = 97. Quindi immagina 97 come 6 16 (base) e 1. Aggiungi 6 alla cifra più alta.

Nella quarta cifra, 20 + 6 = 26. Immaginiamo 26 come 16 (base) e 10 (A). Spostiamo l'unità sulla cifra più alta.

Con determinate abilità nel lavorare con vari sistemi numerici, la voce potrebbe essere immediatamente immaginata come

		UN
		B	B
	UN		D

Pertanto, A31 16 29 16 = 1A1D9 16.

527 8 – 276 8 = 231 8 ,

566B 16 – 4A77 16 = BF4 16,

11001101 2 – 1100110 2 = 1100111 2 ,

276 8 231 8 = 70616 8,

4A77 16 BF4 16 = 37A166C 16,

1100110 2 · 1100111 2 = 10100100001010 2 .

Dal punto di vista dello studio dei principi di rappresentazione ed elaborazione delle informazioni in un computer, i sistemi discussi (binario, ottale ed esadecimale) sono di grande interesse, sebbene il computer elabori solo i dati convertiti in codice binario (sistema di numerazione binario). Tuttavia, spesso per ridurre il numero di caratteri scritti su carta o immessi dalla tastiera di un computer, è più conveniente utilizzare numeri ottali o esadecimali, soprattutto perché, come verrà mostrato di seguito, la procedura per convertire reciprocamente i numeri da ciascuno di trasformare questi sistemi in binario è molto semplice, molto più semplice delle traduzioni tra uno qualsiasi di questi tre sistemi e il decimale.

Rappresentiamo i numeri di diversi sistemi numerici corrispondenti tra loro:

Decimale	Esadecimale	Ottale	Binario
	UN
	B
	C
	D
	E
	F

La tabella mostra che i numeri del sistema con base 2, 8 e 16 hanno schemi periodici. Pertanto, gli otto valori del sistema ottale, cioè (da 0 a 7 o la base intera) corrispondono a tre cifre ( triadi) sistema binario. Pertanto, per descrivere i numeri di una cifra del sistema ottale, sono necessarie esattamente tre cifre del sistema binario. Lo stesso vale per i numeri esadecimali. Solo la loro descrizione richiede esattamente quattro cifre ( tetradi) sistema binario.

Ne consegue che per convertire qualsiasi numero binario intero in ottale, è necessario dividerlo da destra a sinistra in gruppi di 3 cifre (il gruppo più a sinistra può contenere meno di tre cifre binarie), quindi assegnare a ciascun gruppo il suo equivalente ottale.

Ad esempio, devi convertire 11011001 2 in ottale.

Dividiamo il numero in gruppi di tre cifre 011 2, 011 2 e 001 2. Sostituiamo i numeri corrispondenti del sistema ottale. Otteniamo 3 8, 3 8 e 1 8 o 331 8.

11011001 2 = 331 8 .

I trasferimenti inversi vengono eseguiti in modo simile, ad esempio:

Converti AB5D 16 nel sistema di numerazione binario.

Uno per uno sostituiamo ogni simbolo del numero AB5D 16 con il numero corrispondente del sistema binario. Otteniamo 1010 16, 1011 16, 0101 16 e 1101 16 o 1010101101011101 2.

AB5D 16 = 1010101101011101 2 .

Oltre ai sistemi numerici posizionali discussi sopra, ci sono quelli in cui il significato di un segno non dipende dal posto che occupa nel numero. Tali sistemi numerici sono chiamati non posizionale. L'esempio più famoso di un sistema non posizionale è romano. Questo sistema utilizza 7 caratteri (I, V, X, L, C, D, M), che corrispondono ai seguenti valori:

Regole per scrivere i numeri in numeri romani: – se un numero più grande è davanti a uno più piccolo, allora si sommano (principio di addizione), – se un numero più piccolo è davanti a uno più grande, allora si sottrae quello più piccolo da quello più grande (il principio di sottrazione).

La seconda regola serve per evitare di ripetere lo stesso numero quattro volte. Pertanto, i numeri romani I, X, C si pongono rispettivamente prima di X, C, M per indicare 9, 90, 900 o prima di V, L, D per indicare 4, 40, 400.

Esempi di scrittura dei numeri in numeri romani:

IV = 5 - 1 = 4 (invece di IIII),

XIX = 10 + 10 - 1 = 19 (invece di XVIIII),

XL = 50 - 10 =40 (invece di XXXX),

XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33, ecc.

Va notato che eseguire anche semplici operazioni aritmetiche su numeri a più cifre utilizzando numeri romani è molto scomodo. Probabilmente, la complessità dei calcoli del sistema romano, basato sull'uso delle lettere latine, fu uno dei motivi convincenti per sostituirlo con un sistema decimale più conveniente.

3.1 La base di un sistema numerico si chiama...

Un insieme di tecniche e regole per scrivere numeri in segni o simboli digitali

Numero di cifre utilizzate in uno specifico sistema numerico posizionale

Un divisore utilizzato quando si convertono i numeri da un sistema numerico a un altro

Fattore comune quando si convertono i numeri da un sistema numerico a un altro

3.2 Quale sistema numerico non è ampiamente utilizzato nella tecnologia informatica

Ottale

Binario

Quintuplo

Esadecimale

Diamo un'occhiata alle operazioni aritmetiche di base: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Le regole per eseguire queste operazioni nel sistema decimale sono ben note: addizione, sottrazione, moltiplicazione per colonna e divisione per angolo. Queste regole si applicano a tutti gli altri sistemi numerici posizionali. Devi solo utilizzare tabelle di addizione e moltiplicazione speciali per ciascun sistema.

1. Aggiunta

Le tabelle di addizione sono facili da creare utilizzando le regole di conteggio.

Durante l'aggiunta, i numeri vengono sommati in cifre e, se c'è un eccesso, viene trasferito a sinistra.

Esempio 1. Aggiungiamo i numeri 15 e 6 in diversi sistemi numerici.

Esempio 2. Aggiungiamo i numeri 15, 7 e 3.

Esadecimale : F16+716+316

15+7+3 = 25 10 = 11001 2 = 31 8 = 19 16 . Visita medica: 11001 2 = 2 4 + 2 3 + 2 0 = 16+8+1=25, 31 8 = 3 . 8 1 + 1 . 8 0 = 24 + 1 = 25, 19 16 = 1 . 16 1 + 9 . 16 0 = 16+9 = 25.

Esempio 3. Aggiungiamo i numeri 141,5 e 59,75.

Risposta: 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = C9,4 16

Visita medica. Converti gli importi risultanti in forma decimale:

11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25

311,2 8 = 3 . 8 2 + 1 . 8 1 + 1 . 8 0 + 2 . 8 -1 = 201,25

C9.4 16 = 12 . 16 1 + 9 . 16 0 + 4 . 16 -1 = 201,25

2. Sottrazione

Sottrazione nel sistema numerico binario minuendo sottraendo 0 1 0 1 prestito	Sottrazione nel sistema numerico esadecimale 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 UN B C D E F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 UN B C D E F Prendere in prestito un'unità dal grado senior
Sottrazione nel sistema numerico ottale 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7

Prestitounità senior

Esempio 4. Sottrai uno dai numeri 10 2 , 10 8 e 10 16

Esempio 5. Sottrai uno dai numeri 100 2 , 100 8 e 100 16 .

Esempio 6. Sottrai il numero 59,75 dal numero 201,25.

Risposta: 201,25 10 - 59,75 10 = 141,5 10 = 10001101,1 2 = 215,4 8 = 8D,8 16.

Visita medica. Convertiamo le differenze risultanti in forma decimale:

10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;

215,4 8 = 2 . 8 2 + 1 . 8 1 + 5 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 141,5;

8D,8 16 = 8 . 161+D . 16 0 + 8 . 16 -1 = 141,5.