Главная › Настройки › Определителем n го порядка называется. Перестановки и подстановки. Методы вычисления определителей n-го порядка

Определителем n го порядка называется. Перестановки и подстановки. Методы вычисления определителей n-го порядка

Для более точного и сложного определения и для того, чтобы говорить об определителях порядка больше третьего, потребуется вспомнить еще кое-что. Нас интересует термин подстановка, даже не столько определение, сколько способ её вычисление.

Для подстановки принята запись:
, т.е. пары чисел, записанные в столбик, причем так, что верхние числа идут последовательно (вообще говоря, столбцы можно менять местами).

Подстановки бывают четными и нечетными. Для того, чтобы выяснить, является данная подстановка четной или нечетной, нужно обратить внимание на вторую строку, а точнее на порядок чисел в ней. Необходимо подсчитать количество пар чисел во второй строке, таких, что число, стоящее левее, больше числа, стоящего правее (). Если количество таких пар нечетно, то и подстановка называется нечетной, и, соответственно, если количество таких пар четно, то и подстановка называется четной.

Пример:
1)

4 стоит левее 3, левее 1, левее 2 — это уже три «неправильные» пары.
3 стоит левее 1 и 2 – еще две пары.
Итого 5 пар, т.е. это нечетная подстановка.
2)

Заметим, что числа в первой строке расположены не по порядку. Выполним перестановку столбцов.

Рассмотрим числа второго ряда.
3 стоит левее 2 и 1 – две пары,
2 стоит левее 1 – одна пара,
5 стоит левее 4 и 1 – две пары,
4 стоит левее1 – одна пара.
Итого 6 пар – подстановка четная.

Определение 2 (для студентов математических специальностей, раскрывающее всю суть определяемого понятия):

Определителем n-го порядка, соответствующим матрице
,
называется алгебраическая сумма слагаемых, составленная следующим образом: слагаемыми служат всевозможные произведения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем слагаемое берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус – в противоположном случае.
Замечание: Объясним это определение на примере определителя третьего порядка, для которого уже известна формула вычисления.
.
1) «алгебраическая сумма слагаемых» — . И да, действительно, здесь шесть слагаемых.
2) «слагаемыми служат всевозможные произведения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца» — рассмотрим например слагаемое . Его первый множитель взят из второй строки, второй – из первой, а третий из третьей. То же самое и со столбцами – первым множитель из первого столбца, второй из третьего, а последний из второго.
3) «причем слагаемое берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус – в противоположном случае» — рассмотрим для примера слагаемые (со знаком плюс) и (со знаком минус).

Составим перестановки так, что в первой строке будут номера строк сомножителей, а во второй – номера столбцов.
Для слагаемого : (первый столбец – индекс первого сомножителя и т.д.)
Для слагаемого : .
Определим четность этих перестановок:
а) — элементы в первой строке стоят по порядку. Во второй строке не по порядку стоят пары:
2 левее 1 – одна пара,
3 левее 1 – одна пара.
Итого две пары, т.е. количество пар четно, значит перестановка четная, а значит, слагаемое должно входить в сумму со знаком плюс (как оно и есть на самом деле).
б) — элементы в первой строке стоят по порядку. Во второй строке не по порядку стоят пары:
2 левее 1 – одна пара.
Итого, количество пар чисел, стоящих так, что большее левее меньшего – 1 шт., т.е. нечетно, а значит и перестановка называется нечетной, и соответствующее слагаемое должно входить в сумму со знаком минус (да, это так).
Пример («Сборник задач по алгебре» под ред. А.И. Кострикина, №1001):

Выяснить, какие из следующих произведений входят в развернутое выражение определителей соответствующих порядков и с какими знаками.
а)
Обратим внимание на часть определния «по одному из каждой строки и каждого столбца». Все первые индексы сомножителей различны от 1 до 6(1, 2, 3, 4, 5, 6). Все вторые индексы сомножителей различны от 1 до 6 (3, 2, 1, 4, 5, 6).
Вывод – это произведение входит в развернутое выражение определителя 6-го порядка.

3 левее 2, 1 – две пары,
2 левее 1 – одна пара,
6 левее 5, 4 – две пары,
5 левее 4 – одна пара.
Итого 6 пар, т.е. перестановка четная и слагаемое входит в развернутую запись определителя со знаком «плюс».

б)
Все первые индексы сомножителей различны от 1 до 5(3, 1, 5, 4, 2). Все вторые индексы сомножителей различны от 1 до 5 (1, 3, 2, 5, 4).
Вывод – это произведение входит в развернутое выражение определителя 5-го порядка.
Определим знак этого слагаемого, для этого составим перестановку из индексов сомножителей:

Переставим столбцы так, чтобы числа в первой строке шли по порядку от меньшего к большему.

3 левее 1, 2 – две пары.
4 левее 1, 2 – две пары,
5 левее 2 – одна пара.
Итого 5 пар, т.е. перестановка нечетная и слагаемое входит в развернутую запись определителя со знаком «минус».
в) — обратим внимание на первый и шестой сомножители: и . Они оба взяты из 4-го столбца, а значит, это произведение не может входить в развернутое выражение определителя 7-го порядка.

Определитель n-го порядка

Определителем или детерминантом n-го порядка называется число записываемое в виде

И вычисляемым по данным числам (действительным или комплексным) - элементам определителя

Схемы вычисления определителей 2-ого и 3-его порядков

Теорема Крамера.

Пусть (дельта)-определитель матрицы системы А,а (дельта)i-определитель матрицы,получается из матрицы А заменой j-го столбца столбцов свободных чисел.Тогда,если (дельта) не равна 0,то система имеет единственное решение,определяемое во формуле:

1.Определитель 2-го порядка вычисляется по формуле

2. Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

Существует удобная схема для вычисления определителя третьего порядка (см. рис. 1 и рис. 2).

Свойство определителей

1.Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей,то её определитель равен 0.

2.Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на чило (лямбда),то её определитель умножится на это число (лямбда).

3.При транспонировании матрицы её определитель не изменяется.

Транспонирование -в математике,это преобразование квадратной матрицы-замена столбцов на строки или наоборот.

4.При перестановки двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак на противоположный.

5.Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца),то её определитель равен 0

6.Если элементы двух строк (столбцов)матрицы пропорциональны,то её определитель равен 0

7.Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца)матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равно 0

8.Определитель матрицы не изменяется,если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца),предварительно умноженные на одно и то же число.

9.Сумма произведений чисел b1,b2,...,bn на алгебраические дополнение элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы,полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) b1,b2,...bn.

10.Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей |C|=|А|*|B|,где С=А*В;А и В-матрицы n-го порядка.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ

1. Понятие определителя n-го порядка.

2. Методы вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.

3. Теорема Лапласа.

4. Матрицы и их виды. Действия над матрицами.

5. Обратная матрица.

6. Ранг матрицы.

1. Понятие определителя n-го порядка.

Определитель n-го порядка записывается в виде квадратной таблицы, содержащей n строк и n столбцов:

Числа а ij - элементы определителя, i – номер строки, j –номер столбца, n - порядок определителя.

Диагональ определителя, состоящая из элементов с одинаковыми индексами, называется главной , а другая называется побочной .

Определителем n-го порядка называется число, являющееся алгебраической суммой n! членов, каждый из которых есть произведение n элементов, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца, причем знак всякого члена определяется входящими в его состав элементами.

Основные свойства определителей n - го порядка.

1. При замене строк столбцами значение определителя не меняется.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

3. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

4. Если определитель имеет две одинаковые или пропорциональные строки (столбца), то такой определитель равен нулю.

5. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

6. Значение определителя не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) добавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

7. Если элементы какой-нибудь строки (столбца) являются линейной комбинацией соответствующих элементов двух (или нескольких) других строк (столбцов), то такой определитель равен нулю.

2. Методы вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.

Величину называют определителем (детерминантом) второго порядка и обозначают .

Таким образом,

Определителем третьего порядка называют величину

Эта формула называется правилом Сарруса (правило «треугольников») для вычисления определителей 3-го порядка. Для лучшего запоминания формулы можно составить таблицу Сарруса, добавив к определителю первый и второй столбцы. Тогда все члены будут представлять собой произведение элементов по диагоналям.

Примеры: Вычислить определители:

а)

3. Теорема Лапласа.

Вычисление определителей более высоких порядков непосредственно весьма сложно, поэтому для их вычисления используют свойства определителей, а также теорему Лапласа, позволяющую понижать порядок данного определителя.

Пусть дан определитель:

Вычеркнем в этом определителе i-ую строку и j-ый столбец, на пересечении которых находится элемент а ij . Тогда получим определитель M ij

(n-1) – го порядка, который называют минором элемента а ij .

Алгебраическим дополнением А ij элемента а ij называют минор этого элемента, взятый со знаком (+), если сумма индексов i+j – четное число, и со знаком (-), если эта сумма – число нечетное, т.е.

А ij = (-1) i + j M ij

Пример. Дан определитель третьего порядка

Найти минор и алгебраическое дополнение элемента а 32 .

Решение. ,

Теорема Лапласа: Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на их соответствующие алгебраические дополнения равна определителю, т.е.

Эта теорема дает возможность разложить определитель по элементам какой-нибудь строки или столбца и свести его вычисление к вычислению определителей более низкого порядка. При этом вычисление определителя значительно упрощается, если среди элементов некоторой строки (столбца) имеются нули.

4. Матрицы и их виды. Действия над матрицами.

Матрицей размерности kxn называется прямоугольная таблица чисел:

Числа а ij называются ее элементами. В компактном виде матрицу можно записать:, i=1, …, k, j=1, …, n. Матрицы обозначаются заглавными буквами А,В,С, …, элементы матрицы – строчными буквами с двойной индексацией.

Виды матриц.

Матрица называется квадратной n -го порядка , если число строк равно числу столбцов и равно n.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой .

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом.

Если в матрице А переставить строки и столбцы местами, то получим новую матрицу А Т транспонированную к матрице А:

Матрица, у которой все элементы равны 0, называется нулевой.

Квадратная матрица, у которой элементы вдоль главной диагонали равны 1, а остальные – нули, называется единичной матрицей. Она обозначается буквой Е.

Квадратная матрица n-го порядка называется вырожденной (особенной) , если определитель n-го порядка, составленный из ее элементов, равен нулю. Если же этот определитель отличен от нуля, то матрица называется невырожденной (неособенной).

Две матрицы называются равными , если соответствующие элементы их тождественно равны.

Действия над матрицами.

1. Сложение (вычитание) матриц .

Две матрицы одинаковой размерности, т.е. матрицы, имеющие одно и то же число строк и одно и то же число столбцов, можно сложить (вычесть). При этом под суммой (разностью) двух матриц понимают новую матрицу, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов данных матриц.

2. Умножение матрицы на число.

Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент данной матрицы умножить на это число.

3. Умножение матриц.

Две матрицы можно перемножить только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы .

Произведением матрицы А на матрицу В называется новая матрица С, у которой элемент с ijj , стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на элементы j-го столбца матрицы В. Матрица С имеет столько строк, сколько матрица А, и столько столбцов, сколько матрица В. Правило умножения матриц называют « строка на столбец ».

Замечание : операция умножения матриц в общем случае не перестановочна , т.е. АВ ≠ ВА.

Пример. Найти произведение матриц А и В: С=АВ,

где, .

Определители n-го порядка

Определитель n–го порядка состоит из n 2 элементов, записанных в n строк и в n столбцов, и имеет вид:

Элемент определителя а i j стоит в строке с номером i и в столбце с номером j. Индексы i и j могут принимать любые натуральные значения от 1 до n. Так, записав а i3 (i=1,2,…,n), мы перечислим все элементы, стоящие в столбце с номером 3: а 13 , а 23 , а 33 ,…,а n3 . Элементы а ij (при i=j) составляют главную диагональ определителя.

Вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению определителей третьего и второго порядка при помощи следующих свойств.

Свойства определителей:

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами (не меняя порядка их номеров). Поэтому далее будем говорить о строках, подразумевая сказанное верным и для столбцов.

2. Если поменять местами две строки определителя, то он изменит свой знак.

3. Определитель с двумя одинаковыми (или пропорциональными) строками равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов какой-либо его строки можно выносить за знак определителя.

5. Если все элементы какой-либо строки определителя равны нулю, то такой определитель равен нулю.

6. Определитель не изменится, если ко всем элементам какой-либо его строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Примеры.

№ 6. Вычислить определители:

а)

Здесь к элементам первого столбца прибавили элементы третьего столбца.

б)

К элементам первой строки прибавили элементы третьей.

в)

Этот определитель удобнее вычислять по правилу Сарруса, т.к. четыре из шести слагаемых равны нулю.

Вернемся к свойствам определителей. Но введем вначале понятия минора и алгебраического дополнения.

Если из данного определителя n-го порядка вычеркнем строку и столбец, на пересечении которых стоит элемент а ij , то получим определитель (n-1)-го порядка, который называется минором элемента а ij и обозначается М ij. Например, в определителе третьего порядка найдем минор М 21 элемента а 21 . Для этого вычеркиваем вторую строку и первый столбец:

В определителе четвертого порядка можно записать 4х4=16 миноров, каждый из которых будет определителем третьего порядка.

Запишем миноры элементов а 32 и а 44 , например, определителя четвертого порядка:

Алгебраическим дополнением элемента а ij называется его минор, взятый со знаком (–1) i+ j , и обозначается А ij . Таким образом, А ij =(–1) i+ j ×М ij .

Найдем, например, алгебраические дополнения элементов определителя .

Рассмотрим, наконец, свойство о разложении определителя по строке или столбцу.

7. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Так, определитель третьего порядка, например, можно вычислить при помощи трех определителей второго порядка:

- разложение по элементам первой строки.

Следствие . Если все элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен произведению отличного от нуля элемента на его алгебраическое дополнение.

Поэтому, например,

№.7

В определителе третьего порядка мы к элементам первого столбца прибавили соответствующие элементы третьего, умноженные на 2.

Итак, с помощью свойств определителя можно разложить определитель любого порядка по строке или столбцу. Последовательно понижая порядок, вычислим определитель непосредственно, применив правило для вычисления определителя третьего или второго порядка.

Рассмотрим определители особого вида: диагональный и треугольный.

Диагональным определителем называется определитель, диагональные элементы которого отличны от нуля, а все остальные элементы равны нулю.

Треугольным определителем называется определитель, все элементы которого, расположенные ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.

№ 8 Вычислить диагональный определитель n-го порядка

Раскладывая определитель по элементам 1 го столбца, мы получили произведение Но определитель (n–1)-го порядка А 11 таким же образом представим в виде произведения и т.д.

Таким образом, диагональный определитель равен произведению элементов его главной диагонали.

Легко показать, что и треугольный определитель равен произведению элементов его главной диагонали:

№ 9 Вычислить определители:

Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.

Определение 7. Определителем матрицы А (определителем N-го порядка) Называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. При этом произведение берётся со знаком «+», если подстановка из индексов входящих в него элементов чётная, и со знаком «-» в противном случае.

Обозначение определителя: |А | = .

Например, при n = 6 произведение А21а13а62а34а46а55 является членом определителя, так как в него входит точно по одному элементу из каждой строки и из каждого столбца. Подстановка, составленная из его индексов будет . В ней 4-е инверсии в верхней строке и 2-е инверсии – в нижней. Общее число инверсий равно 6, т. е. подстановка чётная. Следовательно, данное произведение входит в разложение определителя со знаком «+».

Произведение А21а13а62а34а46а15 не является членом определителя, так как в него входят два элемента из первой строки.

Свойства определителей.

10. При транспонировании определитель не меняется (напомним, что транспонирование матрицы и определителя означает перемену строк и столбцов местами).

Действительно, если (-1)к является членом определителя, то все a1, a2, … , an различны и к – число инверсий в перестановке (a1, a2, … , an). При транспонировании номера строк станут номерами столбцов и наоборот. Следовательно, в произведении Все множители будут из разных столбцов и строк, т. е. это произведение будет входить в транспонированный определитель. Знак его будет определяться числом инверсий в подстановке . Но это число, очевидно равно к. Итак, (-1)к будет членом транспонированного определителя. Так как мы брали любой член данного определителя, а число членов в данном и транспонированном определителях одинаково, то отсюда и следует их равенство. Из доказанного свойства следует, что всё, что будет доказано для строк определителя, будет верно и для его столбцов.

20. Если все элементы строки (или столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Это следует из того, что по одному элементу указанной строки (или столбца) будет входить в каждый член определителя.

30. Если все элементы какой-нибудь строки определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Действительно, если все элементы к-ой строки имеют общий множитель l, то их можно записать в виде . Любой член определителя будет иметь вид (-1)s. Следовательно, из всех членов определителя можно вынести множитель l.

40. Если две строки определителя поменять местами, то определитель сменит знак.

Действительно, если (-1)к любой член данного определителя, то в новом определителе номера строк р и q поменяются местами, а номера столбцов останутся прежними. Следовательно, в новом определителе это же самое произведение будет входить в виде (-1)s. Так как в номерах строк произошла одна транспозиция, а номера столбцов не изменились, то к и s имеют противоположные чётности. Итак, все члены данного определителя изменили знак, следовательно, и сам определитель изменил знак.

50. Если две строки определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Действительно, пусть все элементы к-ой строки равны соответствующим элементам р-ой строки, умноженным на l, т. е. |А | = = = 0.

60. Если в определителе все элементы к-ой строки есть суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых все строки, кроме к-ой, такие же как и в данном определителе. На месте элементов к-ой строки одного из них стоят первые слагаемые элементов к-ой строки данного определителя, а на месте элементов к-ой строки второго – вторые их слагаемые.

Пусть элементы к-ой строки будут + Ск1, + Ск2 , …. , + Скn . Тогда любой член определителя будет иметь вид

(-1)s= (-1)s + (-1)s.

Собрав все первые слагаемые, мы получим определитель, отличающийся от данного только к-ой строкой. На месте к-ой строки будут стоять , , …. , . Собрав все вторые слагаемые, получим определитель тоже отличающийся от данного только к-ой строкой. В к-ой строке будут стоять Ск1, ск2 , …. , Скn .

70. Если к одной строке определителя прибавить другую его строку, все элементы которой умножены на одно и то же число, то определитель не изменится.

Это свойство является следствием двух предыдущих.

Если в определителе |А | вычеркнуть к-ую строку и р-ый столбец, то останется определитель (n–1)-го порядка. Он называется Минором, дополнительным для элемента и обозначается Мкр . Число (-1)к+р×МКр Называется Алгебраическим дополнением для элемента и обозначается Акр .

80. Дополнительный минор и алгебраическое дополнение не зависит от того, какой элемент стоит в к-ой строке и р-ом столбце определителя.

Лемма 1 D = . (8)

Доказательство. Если А11 = 0, то равенство (8) очевидно. Пусть А11 ¹ 0. Так как в каждый член определителя входит точно один элемент из первой строки, то ненулевыми членами определителя могут быть только те, в которые входит А11 . Все они имеют вид , где gк и к пробегают значения от 2 до N . Знак этого члена в определителе D определяется чётностью подстановки s = .Таким образом D есть алгебраическая сумма слагаемых вида Со знаками, определяемыми подстановкой s. Если в этой сумме вынести за скобки А11 , то получим, что D = А11 × S , где S Есть алгебраическая сумма слагаемых вида , знак которых определяется подстановкой s. Этих слагаемых, очевидно, (N – 1)!. Но подстановка s и подстановка имеют одинаковую чётность. Следовательно, S = М 11. Так как А11 = (-1)1+1×М 11 = М 11, то D = А11 ×А11 .

Лемма 2. D = (9)

Доказательство. В определителе D переставим р-ую строку последовательно с каждой предыдущей. При этом р-ая строка займёт место первой строки, но минор, дополнительный к элементу Арк не изменится. Всего будет сделано (Р – 1) перестановка строк. Если новый определитель обозначить D1, то D1 = (-1)р-1×D. В определителе D1 переставим К -ый столбец последовательно с каждым предыдущим столбцом, при этом будет сделано (К – 1) перестановка столбцов и минор, дополнительный к Арк , не изменится. Получится определитель

D2 = . Очевидно, D2 = (-1)к-1×D1 = (-1)р+к-2×D = (-1)р+к×D. По лемме 1, D2 = Арк ×М Рк. Отсюда D = Арк × (-1)р+к× М Рк = Арк ×Арк.

Теорема 3. Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки на их алгебраические дополнения, т. е. D = Ак1Ак1 + ак2 ×Ак2 +…+а Kn ×А Kn (10).

Доказательство. Пусть D = . Элементы к-ой строки запишем в виде Ак1 =ал1 + 0 + …+ 0, Ак2 = 0 + Ак2 + 0 + … + 0, … , А = 0 + 0 + …+ 0 + А . Используя свойство 60, получим, что D =
= = Ак1Ак1 + Ак2Ак2 + … + АА (использовали лемму 2).

Теорема 4. Сумма произведений элементов одной строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Доказательство. Пусть D = . По предыдущей теореме

D = . Если взять , то в определителе Dбудет две одинаковые строки, т. е. D будет равен нулю. Следовательно, 0 = , если р ¹ к.

Замечание. Теоремы 3 и 4 будут верны, если в их формулировках слово «строка» заменить на слово «столбец».

Способ вычисления определителя N-го порядка.

Для вычисления определителя N -го порядка достаточно в какой-нибудь строке (или столбце) получить как можно больше нулей, используя свойство 70, а потом использовать теорему 3. При этом вычисление определителя n-го порядка сведётся к вычислению определителя (N – 1)-го порядка.

Пример. Вычислите определитель D = .

. Получим нули во второй строке. Для этого Второй столбец 1) умножим на (-2) и прибавим к первому столбцу; 2) прибавим к третьему столбцу; 3) умножим на (-4) и прибавим к четвёртому столбцу. Получим, что D = . Разложим полученный определитель по элементам второй строки. При этом произведения всех элементов этой строки на их алгебраические дополнения, кроме элемента 1, равны нулю. Для того, чтобы получить алгебраическое дополнение для элемента 1, нужно вычеркнуть те строку и столбец, где этот элемент стоит, т. е. вторую строку и второй столбец. Знак алгебраического дополнения определяет (-1)2+2 = (-1)4 = +1. Итак, D = + . Получили определитель 3-го порядка. Этот определитель можно вычислить, используя диагонали и треугольники, но можно свести к определителю второго порядка. Умножим Первый столбец 1) на (-4) и прибавим ко второму столбцу, 2) умножим его на 2 и прибавим к третьему столбцу. Получим, что