Каноническая форма злп. Приведение общей задачи лп к каноническому виду. Теорема о ранге матрицы ТЗ

Задача о назначениях

Алгоритм решения задачи о назначении на узкие места

Задача о назначении на узкие места

ЛЕКЦИЯ 13. Задачи о назначении. Венгерский алгоритм

Эта задача решается описанным выше алгоритмом. Вот ее постановка.

Имеется n рабочих мест на некотором конвейере и n рабочих, которых нужно на эти рабочие места расставить; известна производительность c ij рабочего i на рабочем месте j . Тот факт, что при некотором распределении на рабочие места рабочий i k попадает на рабочее место j k можно описать следующей таблицей:

Имея способ s назначения на рабочие места, можно найти конкретную для этого способа минимальную производительность и заметить, что именно эта минимальная производительность и определяет скорость и производительность конвейера. То рабочее место, на котором реализуется минимальная производительность и называют узким местом в назначении.

Задача состоит в том, чтобы максимизировать

Шаг 0. Фиксируем матрицу производительностей и любое назначение на рабочие места. Пусть s - минимальная производительность при этом назначении. Построим рабочую таблицу тех же размеров, что и матрица C ; в клетку с номером (ij ) в этой таблице проставим символ «´», если ; в противном случае эту клетку оставим пустой.

Шаг 1. Рассматривая рабочую таблицу, построенную на предыдущем шагу, как рабочую таблицу в алгоритме для выбора наибольшего паросочетания в двудольном графе, найдем соответствующее наибольшее паросочетание. Если в нем окажется n ребер, то по ним восстанавливается новое назначение на рабочие места и с новой, более высокой, минимальной производительностью. Обозначим ее снова через s и вернемся к Шагу 0. Если же число ребер окажется меньше n , то имеющееся назначение на рабочие места уже оптимально.

Постановки задачи:

Пример 13.1 . Требуется распределить m работ (или исполнителей) по n станкам. Работа i (i =1,...,m ), выполняемая на станке j (j=1,...,n ), связана с затратами. Задача состоит в таком распределении работ по станкам (одна работа выполняется на одном станке), которое соответствует минимизации суммарных затрат c ij .

Пример 13.2. C= (c ij ) – стоимость производства детали i на станке j нужно найти распределение станков так чтобы суммарная стоимость производства была минимальной.

Пример 13.3. Транспортная задача. Заданы пункты производства товара, пункты потребления товара. Требуется определить оптимальное взаимно-однозначное соответствие между пунктами производства и пунктами потребления, исходя из матрицы стоимостей перевозок C между соответствующими пунктами (т.е. минимизировать суммарную стоимость перевозки).

Здесь работы представляют «исходные пункты», а станки – «пункты назначения». Предложение в каждом исходном пункте равно 1. Аналогично спрос в каждом пункте назначения равен 1. Стоимость «перевозки» (прикрепления) работы i к станку j равна c ij . Если какую-либо работу нельзя выполнять на некотором станке, то соответствующая стоимость берется равной очень большому числу.

Прежде чем решать такую задачу необходимо ликвидировать дисбаланс, добавив фиктивные работы или станки в зависимости от начальных условий. Поэтому без потери общности можно положить m = n .

Пусть = 0, если j -я работа не выполняется на i -м станке, = 1, если j -я работа выполняется на i -м станке. Таким образом, решение задачи может быть записано в виде двумерного массива . Допустимое решение называется назначением . Допустимое решение строится путем выбора ровно одного элемента в каждой строке матрицы и ровно одного элемента в каждом столбце этой матрицы.

Замечание 1. Для заданного значения n существует n ! допустимых решений.

Математическая модель задачи:

Минимизировать функцию , при ограничениях:

, (12.1)

, (12.2)

Ограничения (12.1) необходимы для того, чтобы каждая работа выполнялась ровно один раз. Ограничения (12.2) гарантируют, что каждому станку будет приписана ровно одна работа.

Пример 13.4. Для иллюстрации задачи о назначениях рассмотрим таблицу с тремя работами и тремя станками. Стоимость производства детали i на станке j :

Нужно найти распределение станков так чтобы суммарная стоимость производства была минимальной.

Специфическая структура задачи о назначениях позволяет использовать эффективный метод для ее решения.

Замечание 2 . Оптимальное решение задачи не изменится, если из любой строки или столбца матрицы стоимостей вычесть произвольную постоянную величину.

Приведенное замечание 2 показывает, что если можно построить новую матрицу с нулевыми элементами и эти нулевые элементы или их подмножество соответствуют допустимому решению, то такое решение будет оптимальным.

.

Оптимальное назначение: , , , остальные , .

К сожалению, не всегда удается определить решение так просто. Для таких случаев рассмотрим следующий алгоритм.

Шаг 1. (Редукция строк и столбцов). Цель данного шага состоит в получении максимально возможного числа нулевых элементов в матрице стоимостей. Для этого из всех элементов каждой строки вычитают минимальный элемент соответствующей строки, а затем из всех элементов каждого столбца полученной матрицы вычитают минимальный элемент соответствующего столбца. В результате получают редуцированную матрицу стоимостей и переходят к поиску назначений.

Шаг 2. (Определение назначений). На этом шаге можно использовать алгоритм поиска «наибольшего паросочетания с матрицей двудольного графа (существуют и другие возможности), если все =0 матрицы заменить на «1», а >0 на «0».

Если нельзя найти полного назначения, то необходима дальнейшая модификация матрицы стоимостей, т.е. перейти к шагу 3.

Шаг 3 . (Модификация редуцированной матрицы). Для редуцированной матрицы стоимостей:

а) Вычислить число нулей в каждой невычеркнутой строке и каждом невычеркнутом столбце.

б) Вычеркнуть строку или столбец с максимальным числом нулей.

в) Выполнять пункты а) и б) до тех пор, пока не будут вычеркнуты все нули.

г) Из всех невычеркнутых элементов вычесть минимальный невычеркнутый элемент и прибавить его к каждому элементу, расположенному на пересечении двух линий.

Перейти к шагу 2.

Замечание 3 .Если исходная задача является задачей максимизации, то все элементы матрицы стоимостей следует умножить на (-1) и сложить их с достаточно большим числом так, чтобы матрица не содержала бы отрицательных элементов. Затем задачу следует решать как задачу минимизации.

Пример 13.5. Покажем работу венгерского алгоритма на примере задачи о назначениях со следующей матрицей стоимостей:

.

Итерация 1

Шаг 1 . Редукция строк и столбцов.

Значения минимальных элементов строк 1, 2, 3 и 4 равны 2, 4, 11 и 4 соответственно. Вычитая из элементов каждой строки соответствующее минимальное значение, получим следующую матрицу:

.

Значения минимальных элементов столбцов 1, 2, 3 и 4 равны 0, 0, 5 и 0 соответственно. Вычитая из элементов каждого столбца соответствующее минимальное значение, получим следующую матрицу.

Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования в канонической форме. Для этого в общем случае нужно уметь сводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений неравенств к ограничениям равенств и заменять переменные, которые не подчиняются условию неотрицательности. Максимизация некоторой функции эквивалента минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот.

Правило приведения задачи линейного программирования к каноническому виду состоит в следующем:

• если в исходной задаче требуется определить максимум линейной функции, то следует изменить знак и искать минимум этой функции;
• если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить это ограничение на -1;
• если среди ограничений имеются неравенства, то путем введения дополнительных неотрицательных переменных они преобразуются в равенства;
• если некоторая переменная x j не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя новыми неотрицательными переменными:
  x 3 = x 3 + - x 3 - , где x 3 + , x 3 - ≥ 0 .

Пример 1 . Приведение к канонической форме задачи линейного программирования:

min L = 2x 1 + x 2 - x 3 ;
2x 2 - x 3 ≤ 5;
x 1 + x 2 - x 3 ≥ -1;
2x 1 - x 2 ≤ -3;
x 1 ≤ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0.

Введем в каждое уравнение системы ограничений выравнивающие переменные x 4 , x 5 , x 6 . Система запишется в виде равенств, причем в первое и третье уравнения системы ограничений переменные x 4 , x 6 вводятся в левую часть со знаком "+", а во второе уравнение переменная x 5 вводится со знаком "-".

2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
x 1 + x 2 - x 3 - x 5 = -1;
2x 1 - x 2 + x 6 = -3;
x 4 ≥ 0; x 5 ≥ 0; x 6 ≥ 0.

Свободные члены в канонической форме должны быть положительными, для этого два последних уравнения умножим на -1:

2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
-x 1 - x 2 + x 3 + x 5 = 1;
-2x 1 + x 2 - x 6 = 3.

В канонической форме записи задач линейного программирования все переменные, входящие в систему ограничений, должны быть отрицательными. Допустим, что x 1 = x 1 " - x 7 , где x 1 " ≥ 0, x 7 ≥ 0 .

Подставляя данное выражение в систему ограничений и целевую функцию и, записывая переменные в порядке возрастания индекса, получим задачу линейного программирования, представленную в канонической форме:

L min = 2x 1 " + x 2 - x 3 - 2x 7 ;
2x 2 - x 3 + x 4 = 5;
-x 1 " - x 2 + x 3 + x 5 + x 7 = 1;
-2x 1 " + x 2 - x 6 + 2x 7 = 3;
x 1 " ≥ 0; x i ≥ 0, i=2, 3, 4, 5, 6, 7.

Условие оптимальности базисного плана канонической задачи ЛП. Симплекс-метод и его сходимость.

Симплексный метод является универсальным, так как позволяет решать практически любую задачу линейного программирования, записанную в каноническом виде.

Идея симплексногометода последовательного улучшения плана, заключается в том, что, начиная с некоторого исходного опорного решения, осуществляется последовательно направленное перемещение по опорным решениям задачи к оптимальному.

Значение целевой функции при этом перемещении для задач на максимум не убывает.

Так как число опорных решений конечно, то через конечное число шагов получим оптимальное опорное решение.

Опорным решением называется базисное неотрицательное решение.

Алгоритм симплексного метода

1. Математическая модель задачи должна быть канонической. Если она неканоническая, то ее надо привести к каноническому виду.

2. Находим исходное опорное решение и проверяем его на оптимальность.
Для этого заполняем симплексную таблицу 1.
Все строки таблицы 1-го шагазаполняем по данным системы ограничений и целевой функции.

Возможны следующие случаи при решении задач на максимум:

1. Если все коэффициенты последней строки симплекс-таблицы Dj ³ 0, то найденное

решение оптимальное.

2 Если хотя бы один коэффициент Dj £ 0, но при соответствующей переменной нет ни одного положительного оценочного отношения, то решение задачи прекращаем , так как F(X) ® ¥ , т.е.целевая функция не ограничена в области допустимых решений.

Если хотя бы один коэффициент последней строки отрицателен, а при соответствующей переменной есть хотя бы одно положительное оценочное отношение, то нужно перейти к другому опорному решению.

4. Если отрицательных коэффициентов в последней строке несколько, то в столбец базисной переменной (БП) вводят ту переменную , которой соответствует наибольший по абсолютной величине отрицательный коэффициент.

5. Если хотя бы один коэффициент Dk < 0 ,то k - тый столбец принимаем за ведущий.

6. За ведущую строку принимаем ту, которой соответствует минимальное отношение свободных членов bi к положительным коэффициентам ведущего, k – того столбца.

7. Элемент, находящийся на пересечении ведущих строк и столбца, называется ведущим элементом.

Заполняем симплексную таблицу 2:

· заполняем базисный столбец нулями и единицей

· переписываем ведущую строку, разделив ее на ведущий элемент

· если ведущая строка имеет нули, то в следующую симплекс-таблицу можно перенести соответствующие столбцы

· остальные коэффициенты находим по правилу “прямоугольника”

Получаем новое опорное решение, которое проверяем на оптимальность:

Если все коэффициенты последней строки Dj ³ 0, то найденное решение максимальное.

Если нет, то заполняем симплексную таблицу 8-го шага и так далее.

Если целевая функция F(X) требует нахождения минимального значения , то критерием оптимальности задачи является неположительность коэффициентов Dj при всех j = 1,2,...n.

Сходимость симплекс-метода. Вырожденность в задачах ЛП. Важнейшим свойством любого вычислительного, алгоритма является сходимость, т. е. возможность получения в ходе его применения искомых результатов (с заданной точно­стью) за конечное число шагов (итераций).

Легко заметить, что проблемы со сходимостью симплекс-ме­тода потенциально могут возникнуть на этапе выбора значения r (п. 2") в случае, когда одинаковые минимальные значения от­ношения

будут достигнуты для нескольких строк таблицы Т (q) одновре­менно. Тогда на следующей итерации столбец b(β(q+1)) будет со­держать нулевые элементы.

В общем случае задача линейного программирования записывается так, что ограничениями являются как уравнения, так и неравенства, а переменные могут быть как неотрицательными, так и произвольно изменяющимися. В том случае, когда все ограничения являются уравнениями и все переменные удовлетворяют условию неотрицательности, задачу линейного программирования называют канонической. Она может быть представлена в координатной, векторной или матричной записи.

1. Каноническая задача линейного программирования в координатной записи имеет вид

.

В более компактной форме данную задачу можно записать, используя знак суммирования,

(1.7)

2. Каноническая задача линейного программирования в векторной записи имеет вид

(1.8)

где ,

.

3. Каноническая задача линейного программирования в матричной записи имеет вид

(1.9)

, .

Здесь А – матрица коэффициентов системы уравнений, Х – матрица-столбец переменных задачи, – матрица-столбец правых частей системы ограничений.

Нередко используются задачи линейного программирования, называемые симметричными , которые в матричной записи имеют вид

(1.10)

(1.11)

1.4. Приведение общей задачи линейного программирования
к канонической форме

В большинстве методов решения задач линейного программирования предполагается, что система ограничений состоит из уравнений и естественных условий неотрицательности переменных. Однако при составлении математических моделей экономических задач ограничения в основном формируются в системы неравенств, поэтому необходимо уметь переходить от системы неравенств к системе уравнений. С этой целью докажем следующую теорему.

Теорема 1.1. О замене неравенства уравнением. Каждому решению неравенства

соответствует единственное решение уравнения

и неравенства

, (1.14)

и, наоборот, каждому решению уравнения (1.13) и неравенства (1.14) соответствует единственное решение неравенства (1.12).

Доказательство. Пусть – решение неравенства (1.12), тогда . Обозначим разность правой и левой частей этого неравенства через , т. е.

Очевидно . Подставим в уравнение (1.13) вместо переменных значения , получим

Таким образом, удовлетворяет уравнению (1.13) и неравенству (1.14). Значит доказана первая часть теоремы.

Пусть теперь удовлетворяет уравнению (1.13) и неравенству (1.14), т. е. имеем

И

Отбрасывая в левой части последнего равенства неотрицательную величину , получаем

т. е. удовлетворяет неравенству (1.12). Теорема доказана.

Если неравенство , то дополнительную неотрицательную переменную необходимо ввести в его левую часть со знаком минус, т. е. .

Неотрицательные переменные, вводимая в ограничения неравенства для превращения их в уравнения, называются дополнительными переменными . Дополнительные переменные вводятся в целевую функцию с нулевыми коэффициентами и поэтому не влияют на ее значение.

В том случае, когда задача имеет произвольно изменяющиеся переменные, то любую такую переменную заменяют разностью двух неотрицательных переменных, т. е. , где и .

Иногда возникает необходимость перейти в задаче от нахождения минимума к нахождению максимума или наоборот. Для этого достаточно изменить знаки всех коэффициентов целевой функции на противоположные, а в остальном задачу оставить без изменения. Оптимальные решения полученных таким образом задач на максимум и минимум совпадают, а значения целевых функций на оптимальных решениях отличаются только знаком.

Пример 1.1. Привести к каноническому виду задачу линейного программирования.

Д

Решение . Перейдем к задаче на отыскание максимума целевой функции. Для этого изменим знаки коэффициентов целевой функции. Для превращения в уравнения второго и третьего неравенств системы ограничений введем неотрицательные дополнительные переменные (на математической модели эта операция отмечена буквой Д). Переменная вводится в левую часть второго неравенства со знаком "+", так как неравенство имеет вид . Переменная вводится в левую часть третьего неравенства со знаком "-", так как неравенство имеет вид . В целевую функцию переменные вводятся с коэффициентом, равным нулю. Переменную , на которую не наложено условие неотрицательности заменяем разностью , . Записываем задачу в каноническом виде

В некоторых случаях возникает необходимость приведения канонической задачи к симметричной задаче. Рассмотрим пример.

Пример 1.2. Привести к симметричному виду задачу линейного программирования

задачи линейного программирования

2.1. Определение и формы записи

В случае, когда все ограничения являются уравнениями и все переменные удовлетворяют условию неотрицательности, задачу линейного программирования называют канонической. Она может быть представлена в координатной, векторной или матричной форме записи.

а) каноническая задача ЛП в координатной форме имеет вид:

,
.

Данную задачу можно записать, используя знак суммирования:

,

,

,
,
.

б) каноническая задача ЛП в векторной форме имеет вид: ,

,

где
;
;

,
;;
.

в) каноническая задача ЛП в матричной форме имеет вид:

,
,

где
,,.

2.2. Приведение общей задачи линейного

программирования к канонической форме

При составлении математических моделей экономических задач ограничения в основном формируются в системы неравенств. Поэтому необходимо уметь переходить от них к системам уравнений. Например, рассмотрим линейное неравенство

и прибавим к его левой части некоторую величину
такую, чтобы неравенство превратилось в равенство.

Неотрицательная переменная
называется дополнительной переменной. Следующая теорема даёт основание для возможности такого преобразования.

Теорема 2.2.1. Каждому решению
неравенства (2.2.1) соответствует единственное решениеуравнения (2.2.2) и неравенства
, и, наоборот, каждому решению уравнения (2.2.2)с
соответствует решение
неравенства (2.2.1).

Доказательство. Пусть
решение неравенства (2.2.1). Тогда. Возьмём число
. Ясно, что
. Подставив в уравнение (2.2.2), получим

Первая часть теоремы доказана.

Пусть теперь векторудовлетворяет уравнению (2.2.2) с
, т.е.. Отбрасывая в левой части последнего равенства неотрицательную величину
, получаем, и т.д.

Таким образом, доказанная теорема фактически устанавливает возможность приведения всякой задачи ЛП к каноническому виду. Для этого достаточно в каждое ограничение, имеющее вид неравенства, ввести свою дополнительную неотрицательную переменную. Причём, в неравенства вида (1.2.1) эти переменные войдут со знаком « + », а в неравенствах вида (1.2.2) – со знаком « – ». Дополнительные переменные вводятся в целевую функцию с нулевыми коэффициентами и поэтому на её значение не влияют.

Замечание. В дальнейшем мы будем излагать симплекс-метод для канонической задачи ЛП при исследовании целевой функции на минимум. В тех задачах, где требуется найти максимум
, достаточно рассмотреть функцию
, найти её минимальное значение, а затем, меняя знак на противоположный, определить искомое максимальное значение
.

3. Графический метод решения задач

линейного программирования

3.1. Общие понятия, примеры

В тех случаях, когда в задаче ЛП лишь две переменные, можно использовать для решения графический метод. Пусть требуется найти максимальное (минимальное) значение функции
при ограничениях

(3.1.1)

Данный метод основывается на возможности графического изображения области допустимых решений задачи, т.е. удовлетворяющих системе (3.1.1), и нахождения среди них оптимального решения. Область допустимых решений задачи строится как пересечение (общая часть) областей решений каждого из заданных ограничений (3.1.1). Каждое из них определяет полуплоскость с границей
,
. Для того, чтобы определить, какая из двух полуплоскостей является областью решений, достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на прямой, подставить в неравенство: если оно удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, содержащая данную точку, если же неравенство не удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, не содержащая данную точку.

Пересечение этих полуплоскостей образует некоторую область, называемую многоугольником решений, который является выпуклым множеством. (Допустим, что система ограничений совместна, а многоугольник её решений ограничен.) Для нахождения среди допустимых решений оптимального используются линии уровня и опорные прямые.

Линией уровня называется прямая, на которой целевая функцияпринимает постоянное значение. Уравнение линии уровня имеет вид

, где
. Все линии уровня параллельны между собой. Их нормаль
.

Опорной прямой называется линия уровня, которая имеет хотя бы одну общую точку с областью допустимых решений, по отношению к которой эта область находится в одной из полуплоскостей (рис. 1).

Значения
возрастают в направлении вектора
. Поэтому необходимо передвигать линию уровня
в направлении этого вектора параллельно самой себе до опорной прямойL 1 в задаче на максимум и в противоположном направлении – в задаче на минимум (до опорной прямойL 2).

Приведём решение примера 1.1. Напомним, что нужно найти максимум функции
при ограничениях

Решение. Строим область допустимых решений. Нумеруем ограничения задачи. В прямоугольной декартовой системе координат (рис. 2) строим прямую

, соответствующую ограничению (1). Находим, какая из полуплоскостей, на которые эта прямая делит всю координатную плоскость, является областью решений неравенства (1).

Для этого достаточно координаты какой - либо точки, не лежащей на прямой, подставить в неравенство. Так как прямая не проходит через начало координат, подставляем
в первое ограничение. Получим строгое неравенство
. Следовательно, точка
лежит в полуплоскости решений. Аналогично строим прямую

и область решений ограничения (2). Находим общую часть полуплоскостей решений, учитывая ограничения (3). Полученную область допустимых решений выделим на рис.2 тёмным цветом.

Строим линию уровня
и вектор
, который указывает направление возрастания функциии перпендикулярен прямой

. Линию уровня
перемещаем параллельно самой себе в направлении
до опорной прямой. Получим, что максимума целевая функция достигнет в точке
точке пересечения прямыхи. Решая систему из уравнений этих прямых
, получим координаты точки
. Следовательно,, а
,
оптимальное решение.

Пример 3.1. Найти минимум функции
при системе ограничений

Решение. Строим область допустимых решений (см. рис.3), вектор
и одну из линий уровня
. Перемещаем линию уровня в направлении, противоположном
, так как решается задача на отыскание минимума функции. Опорная прямая проходит в этом случае через точку А (рис.3), координаты которой найдём из решения системы

Итак,
. Вычисляем.

Замечание. В действительности от вида области допустимых решений и целевой функции
задача ЛП может иметь единственное решение, бесконечное множество решений или не иметь ни одного решения.

Пример 3.2. Найти минимум функции
при ограничениях

Решение. Строим область допустимых решений, нормаль линий уровня
и одну из линий уровня, имеющую общие точки с этой областью. Перемещаем линию уровняв направлении, противоположном направлению нормали, так как решается задача на отыскание минимума функции. Нормаль линий уровня
и нормаль граничной прямой, в направлении которой перемещаются линии уровня, параллельны, так как их координаты пропорциональны
. Следовательно, опорная прямая совпадает с граничной прямойобласти допустимых решений и проходит через две угловые точки этой областии(рис.4).

Задача имеет бесконечное множество оптимальных решений, являющихся точками отрезка
. Эти точки
,
находим, решая соответствующие системы уравнений:

;
;

,
;
,
;

;
.

Вычисляем .

Ответ:
при
,
.

Пример 3.3. Решить задачу линейного программирования

Решение. Строим область допустимых решений, нормаль
и одну из линий уровня. В данной задаче необходимо найти максимум целевой функции, поэтому линию уровняперемещаем в направлении нормали. Ввиду того, что в этом направлении область допустимых решений не ограничена, линия уровня уходит в бесконечность (рис.5).

Задача не имеет решения вследствие неограниченности целевой функции.

Ответ:
.

Задачи МП

Общей ЗЛП называют <,=,>=}bi (i=1,n) (2) при условии xj>

Симметрической < либо = и не отрицательных переменных и задача минимизации функции (1) при линейных ограничениях в неравенствах со знаком > Канонической смешенной .

min f(x) = -max(-f(x))

<=b (5)соответствует вполне определенное решение х1…хn, xn+1 уравненияa1x1+…+anxn+xn+1=b (6) при условии что хn+1>

Геометрическая интерпретация целевой функции и ограничения ЗЛП. Геометрическая формулировка ЗЛП.

Пусть дана задача f=c1x1+c2x2-max (1)

a11x1+a12x2<=b1 }

am1x1+am2x2<=bm}

x1>=0, x2>=0 (3)

План задачи (х1,х2) – точка на плоскости. Каждое неравенство с-мы 2 предст. собой полуплоскость. Полуплоскость –выпуклое множество. Выпуклым наз-ся множество в которым точки отрезка соединяющие (х1 и х2) принадлежащие этому множеству то же принадлежат множеству. С-ма 2 представляет собой пересечение полуплоскостей. При пересечении могут получиться:

1)выпуклая многоугольная замкнутая область.

2) выпуклая открытая многоугольная область

3) единственная точка

4) пустое множество

5) луч и отрезок

Геометрическая интерпретация целевой функции: ф-ция 1 представляет собой семейство параллельных прямых, которые наз-ют линиями уровня(линиями постоянного значения целевой функции). Частные производные функции по х1 и х2 показывают скорость возрастания целевой функции вдоль координат осей. Вектор-градиент показывает направление найскорейшего возрастания целевой функции.Для задачи 1-3 вектор-градиент = (с1;с2) Выходит из точки (0,0) и направлен в точку с координатами (с1;с2). Вектор-градиент перпендикулярен линиям уровня. Пересечение полуплоскастей принято наз-ть областью допустимых рещений(ОДР) .

Основная теорема ЛП. Принципиальная схема решения ЗЛП, вытекающая из этой теоремы.

Если ЗЛП имеет решение, то целевая функция достигает экстремального значения хотя бы в одной из крайних точек многогранника плана. Если целевая функция достигает экстремального значения более чем в одной крайней точке то она достигает одно и то, являющейся их выпуклой линейной комбинацией.же значения в любой точке. При решении ЗЛП в ручную удобно использовать табличную запись.

БП		СП -Xm+1 -Xm+2 -Xn
х1	b1o	b11 b12 b1n-m
х2	b2o	b21 b22 b2n-m
хm	bm	bm1 bm2 bmn-m
f	boo	bo1 bo2 bon-m

Алгоритм симплекс-метода.

1. привести модель задачи к канонической форме;

2. найти начальный опорный план;

3. записать задачу в симпл. таблицу;

5. перейти к новому опорному плану, к новой симп. таблице. Для того чтобы перейти к новому опорному плану достаточно заменить одну базисную переменную свободной. Переменную, включаемую в базис и соответствующей ей разрешающий столбец определяют по наибольшему по модулю отрицательному элементу f-строки. Переменную, исключающую из базиса и соответствующую ей разрешающую строку определяют по наименьшему симплексному отношению, т.е. отношению элементов единичного столбца к соответствующему элементу разрешающего столбца. Симплексное отношение – величина неотрицательная. На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца расположен разрешающий элемент, относительно которого выполняется симплексное преобразование по след. правилу: 1. элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент; 2. элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент и меняют знак на противоположный; 3. остальные элементы таблицы перещитываются по правилу прямоугольника.:

bij bis bkj=(bkj*bis-bij*bks)/bi

Ая теорема двойственности.

если одна из двойственных задач имеет оптим план, то и другая решима, т.е. имеет опт.план. При этом экстремальные значен.целевых функций совпадают (j=от 1 до n) Σcjxj*= (i=от 1 до m)Σbiyi* если в исходн. задаче целевая функция неограничена на множестве планов, то в двойственной задаче система ограничений несовместна.

Теорема о ранге матрицы ТЗ.

Ранг матрицы А трансп.задачи на единицу меньше числа уравнений: r(A)=m+n-1.

39. Алгоритм построения начального опорного плана ЗЛП.

Для нахождения начального опорного плана можно предложить следующий алгоритм:

1. записать задачу в форме жордановой таблицы так, чтобы все элементы столбца свободных членов были неотрицательными, т.е. выполнялось неравенство аio>=0 (i=1,m). Те уравнения с-мы, в которых свободные члены отрицательны, предварительно умножаются на -1.

		-x1 ….. -xn
0=	a1o	a11 …. a1n
…..	…..	………………………..
0=	amo	am1 ….. amn
f=		-c1 …. -cn

Таблицу преобразовывать шагами жордановых исключений, замещая нули в левом столбце соответствующими х. При этом на каждом шаге разрешающим может быть выбран любой столбец, содержащий хотя бы один положительный элемент. Разрешающая строка определяется по наименьшему из отношений свободных членов к соответствующем положительным элементам разрешающего столбца. Если в процессе исключений встретится 0-строка, все элементы которой- нули, а свободный член отличен от нуля, то с-ма ограничительных уравнений решений не имеет. Если же встретится 0-строка, в которой, кроме свободного члена, других положительных элементов нет, то с-ма ограничительных уравнений не имеет неотрицательных решений Если с-ма ограничительных уравнений совместна , то через некоторое число шагов все нули в левом столбце будут замещены х и тем самым получен некоторый базис, а следовательно, и отвечающий ему опорный план.

40. Алгоритм построения оптимального опорного плана ЗЛП.

Начальный опорный план Хо исследуется на оптимальность.

Если в f-строке нет отрицательных элементов (не считая свободного члена), -план оптимален. Если в f- строке нет также и нулевых элементов, то оптимальный план единственный; если же среди элементов есть хотя бы один нулевой, то оптимальных планов бесконечное множество. Если в f-строке есть хотя бы один отрицательный элемент, а в соответствующем ему столбце нет положительных, то целевая функция не ограничена в допустимой области. Задача не разрешима. Если в f- строке есть хотя бы один отрицательный элемент, а в каждом столбце с таким элементом есть хотя бы один положительный, то можно перейти к новому опорному плану, более близкому к оптимальному. Для этого столбец с отриц-ом элементом в f-строке берут за разрешающий ; опред-ют по минимальному симплексному отношению разрешающую строку и делают шаг жорданова исключения. Полученный опорный план вновь исследуется на оптимальность. Это повторяется до тех пор, пока не будет найден оптимальный опорный план либо установлена неразрешимость задачи.

Алгоритм метода Гомори.

1.Симплекс-методом находят оптимальный план задачи. Если все компоненты оптимального плана целые, то он –оптимальный. В противном случае переходят к пункту 2

2.Среди нецелых компонент следует выбрать ту, у которой дробная часть является наибольшей и по соответствующей этой строке симплексной таблицы сформулировать правильное отсечение по формуле

(n-m,s=1)∑ {αkm+1}Xm+1≥{βk}

3.Сформулированное неравенство преобразовать в эквивалентное нулевое равенство и включить в симплексную таблицу с нецелочисленным оптимальным планом

4.Полученную расширенную задачу решают симплекс-методом. Если полученный план не является целочисленным нова переходят к пункту 2.

Если в процессе решения появится строка с нецелым свободным членом и целыми остальными коэффициентами, то соответствующее уравнение не имеет решения в целых числах. В таком случае и исходная задача неразрешима в целых числах.Метод Гомори имеет ограниченое применение. С его помощью целесообразно решать небольшие задачи, т.к. число интераций может быть очень большим.

Различные формы записи ЗЛП (общая, каноническая, симметрическая)

Задачи МП : определение оптимального плана, опред-е оптимального объема выпуска продукции, опред-е оптим-го сочитания посевов с/хоз-ых культур, формир-е оптим-го пакета активов, максимиз-щий прибыль банка и т.д.

Общей ЗЛП называют задачу максимизации (минимизации) линейной функции f=Σcj*xj-max(min) (1) при линейных ограничениях ∑aij *xj{=<,=,>=}bi (i=1,n) (2) при условии xj>=0(j=1,n1), xj-произвольное (j=n1+1,n)(3) где cj,aij, bi-постоянные числа.

Симметрической формой записи ЗЛП наз-ся задача максимизации функции (1) при линейных ограничениях в неравенствах со знаком < либо = и не отрицательных переменных и задача минимизации функции (1) при линейных ограничениях в неравенствах со знаком > либо = и неотрицательных переменных. Канонической формой записи ЗЛП наз-ся задача максимальной функции (1) при линейных ограничениях равенствах и неотрицательных переменных. Любая другая форма называется смешенной .

min f(x) = -max(-f(x))

Преобразование нерав-ва в уравнение и наоборот осущ-ся на основе Леммы: всякому решению х1…хn нерав-ва a1x1+…+anxn<=b (5)соответствует вполне определенное решение х1…хn, xn+1 уравненияa1x1+…+anxn+xn+1=b (6) при условии что хn+1>=0(7) и наоборот. Всякому решению x1…xn,xn+1 уравнения 6 и неравенства 7 соответствует решение x1…xn неравенства 5.

Чтобы от зад сим формы перейти к зад канонич вида, необходимо ввести балансовые (выравнивающие) переменные. Это основано на теореме о неравенстве: любое нерав-во можно представить в виде ур-я или простейшего нерав-ва.