Избыточность сообщений в точных науках. Причины потери и искажения информации в процессе коммуникации - документ. Пропускная способность канала связи

4. Примеры задач на геометрические места точек

1. Два колеса радиусов r 1 и r 2 катаются по прямой l. Найдите множество точек пересечения M их общих внутренних касательных.

Решение:Пусть O 1 и O 2 - центры колес радиусов r 1 и r 2 соответственно. Если M - точка пересечения внутренних касательных, то O 1 M: O 2 M = r 1: r 2 . Из этого условия легко получить, что расстояние от точки M до прямой l равно 2r 1 r 2 /(r 1 + r 2). Поэтому все точки пересечения общих внутренних касательных лежат на прямой, параллельной прямой l и отстоящей от нее на расстояние 2r 1 r 2 /(r 1 + r 2).

2. Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

Решение: Пусть окружность с центром O проходит через данные точки A и B. Поскольку OA = OB (как радиусы одной окружности), точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Обратно, каждая точка O, лежащая на серединном перпендикуляре к AB, равноудалена от точек A и B. Значит, точка O - центр окружности, проходящей через точки A и B.

3. Стороны AB и CD четырехугольника ABCD площади S не параллельны. Найдите ГМТ X, лежащих внутри четырехугольника, для которых S ABX + S CDX = S/2.

Решение: Пусть O - точка пересечения прямых AB и CD. Отложим на лучах OA и OD отрезки OK и OL, равные AB и CD соответственно. Тогда S ABX + S CDX = S KOX + S LOX ±S KXL . Следовательно, площадь треугольника KXL постоянна, т. е. точка X лежит на прямой, параллельной KL.

4. На плоскости даны точки A и B. Найдите ГМТ M, для которых разность квадратов длин отрезков AM и BM постоянна.

Решение: Введем систему координат, выбрав точку A в качестве начала координат и направив ось Ox по лучу AB. Пусть точка M имеет координаты (x, y). Тогда AM 2 = x 2 + y 2 и BM 2 = (x - a) 2 + y 2 , где a = AB. Поэтому AM 2 - BM 2 = 2ax - a 2 . Эта величина равна k для точек M с координатами ((a 2 + k)/2a, y); все такие точки лежат на прямой, перпендикулярной AB.

5. Дан прямоугольник ABCD. Найдите ГМТ X, для которых AX + BX = CX + DX.

Решение: Пусть l - прямая, проходящая через середины сторон BC и AD. Предположим, что точка X не лежит на прямой l, например что точки A и X лежат по одну сторону от прямой l. Тогда AX < DX и BX < CX, а значит, AX + BX < CX + DX. Поэтому прямая l - искомое ГМТ.

6. Даны две прямые, пересекающиеся в точке O. Найдите ГМТ X, для которых сумма длин проекций отрезков OX на эти прямые постоянна.

Решение: Пусть a и b - единичные векторы, параллельные данным прямым; x равен вектору ох. Сумма длин проекций вектора x на данные прямые равна |(a,x)| + |(b,x)| = |(a±b,x)|, причем смена знака происходит на перпендикулярах, восставленных из точки O к данным прямым. Поэтому искомое ГМТ - прямоугольник, стороны которого параллельны биссектрисам углов между данными прямыми, а вершины лежат на указанных перпендикулярах.

7. Даны окружность S и точка M вне ее. Через точку M проводятся всевозможные окружности S 1 , пересекающие окружность S; X - точка пересечения касательной в точке M к окружности S 1 с продолжением общей хорды окружностей S и S 1 . Найдите ГМТ X.

Решение: Пусть A и B - точки пересечения окружностей S и S 1 . Тогда XM 2 = XA . XB = XO 2 - R 2 , где O и R - центр и радиус окружности S. Поэтому XO 2 - XM 2 = R 2 , а значит, точки X лежат на перпендикуляре к прямой OM.

8. Даны две непересекающиеся окружности. Найдите геометрическое место точек центров окружностей, делящих пополам данные окружности (т. е. пересекающих их в диаметрально противоположных точках).

Решение: Пусть O 1 и O 2 - центры данных окружностей, R 1 и R 2 - их радиусы. Окружность радиуса r с центром X пересекает первую окружность в диаметрально противоположных точках тогда и только тогда, когда r 2 = XO 1 2 + R 1 2 , поэтому искомое ГМТ состоит из таких точек X, что XO 1 2 + R 1 2 = XO 2 2 + R 2 2 , все такие точки X лежат на прямой, перпендикулярной O 1 O 2 .

9. Внутри окружности взята точка A. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности, проведенных через концы всевозможных хорд, содержащих точку A.

Решение:Пусть O - центр окружности, R - ее радиус, M - точка пересечения касательных, проведенных через концы хорды, содержащей точку A, P - середина этой хорды. Тогда OP * OM = R 2 и OP = OA cos f, где f = AOP. Поэтому AM 2 = OM 2 + OA 2 - 2OM * OA cos f = OM 2 + OA 2 - 2R 2 , а значит, величина OM 2 - AM 2 = 2R 2 - OA 2 постоянна. Следовательно, все точки M лежат на прямой, перпендикулярной OA.

10. Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри ромба ABCD и обладающих тем свойством, что AMD + BMC = 180 o .

Решение: Пусть N - такая точка, что вектора MN = DA. Тогда NAM = DMA и NBM = BMC, поэтому четырехугольник AMBN вписанный. Диагонали вписанного четырехугольника AMBN равны, поэтому AM| BN или BM| AN. В первом случае AMD = MAN = AMB, а во втором случае BMC = MBN = BMA. Если AMB = AMD, то AMB + BMC = 180 o и точка M лежит на диагонали AC, а если BMA = BMC, то точка M лежит на диагонали BD. Ясно также, что если точка M лежит на одной из диагоналей, то AMD + BMC = 180 o .

11. а) Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что величина AX 2 + CX 2 - BX 2 - DX 2 не зависит от выбора точки X.

б) Четырехугольник ABCD не является параллелограммом. Докажите, что все точки X, удовлетворяющие соотношению AX 2 + CX 2 = BX 2 + DX 2 , лежат на одной прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему середины диагоналей.

Решение: Пусть P и Q - середины диагоналей AC и BD. Тогда AX 2 + CX 2 = 2PX 2 + AC 2 /2 и BX 2 + DX 2 = 2QX 2 + BD 2 /2, поэтому в задаче б) искомое ГМТ состоит из таких точек X, что PX 2 - QX 2 = (BD 2 - AC 2)/4, а в задаче a) P = Q, поэтому рассматриваемая величина равна (BD 2 - AC 2)/2.

Литература

1. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2000, с. 61.

2. Савин А.П. Метод геометрических мест /Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. Сост. И.Л. Никольская. – М.: Просвещение, 1991, с. 74.

3. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 84.

4. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 1997, с. 76.

5. Интернет ресурс: http://matschool2005.narod.ru/Lessons/Lesson8.htm

Информационной причинности взаимодействий (нейтрализация энтропии), связанной с процессами отражения степеней упорядоченности (возбуждений), обладание универсальной системой пространственно-временных отношений, выделяют “абсолютный квант” в феноменальное явление физической природы. Он может быть неожиданным материальным воплощением той начальной активной субстанции, которую объективный идеализм, ...

Q(у) такого сечения равна, где у при интегрировании считается величиной постоянной. Интегрируя затем Q(у) в пределах изменения у, т. е. от c до d, мы придем ко второму выражению для двойного интеграла (Б) Здесь интегрирование совершается сначала по х, а потом по у. .Формулы (А) и (Б) показывают, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух обыкновенных...

Классическое определение вероятности связано с понятием элементарного события. Рассматривается некий набор Ω равновероятных событий A i , которые в совокупности дают достоверное событие. И тогда все хорошо: всякое событие разбивается на элементарные, после чего считается его вероятность.

Однако, далеко не всегда исходный набор Ω (т.е. пространство всех элементарных событий) является конечным. Например, в качестве Ω можно взять ограниченное множество точек на плоскости или отрезок на прямой.

В качестве события A можно рассмотреть любую подобласть области Ω. Например, фигуру внутри исходной фигуры на плоскости или отрезок, лежащий внутри исходного отрезка на прямой.

Заметим, что элементарным событием на таком множестве может быть только точка. В самом деле, если множество содержит более одной точки, его можно разбить на два непустых подмножества. Следовательно, такое множество уже неэлементарно.

Теперь определим вероятность. Тут тоже все легко: вероятность «попадания» в каждую конкретную точку равна нулю. Иначе получим бесконечную сумму одинаковых положительных слагаемых (ведь элементарные события равновероятны), которые в сумме по-любому больше P (Ω) = 1.

Итак, элементарные события для бесконечных областей Ω - это отдельные точки, причем вероятность «попадания» в любую из них равна нулю. Но как искать вероятность неэлементарного события, которое, подобно Ω, содержит бесконечное множество точек? Вот мы и пришли к определению геометрической вероятности.

Геометрическая вероятность события A , являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости - это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω:

Задача. Мишень имеет форму окружности радиуса 4. Какова вероятность попадания в ее правую половину, если попадание в любую точку мишени равновероятно? При этом промахи мимо мишени исключены.

Взглянем на картинку: нас устроит любая точка из правого полукруга. Очевидно, площадь S (A ) этого полукруга составляет ровно половину площади всего круга, поэтому имеем:

Как видите, ничего сложного в геометрической вероятности нет. Однако даже в Москве многие репетиторы по высшей математике стараются обойти эту тему стороной, поскольку считают ее необязательной. Результат - непонимание материала и, как следствие, проблемы на экзамене по теории вероятностей.

Чтобы наглядно представить себе, что такое геометрическая вероятность, возьмите лист бумаги и начертите произвольную фигуру. Треугольник, квадрат или окружность - что угодно. Затем возьмите острый, хорошо заточенный карандаш и ткните им в любую точку фигуры. Повторите этот нехитрый процесс несколько раз. Если исключить попадания за пределами фигуры, то получится вот что:

1. Вероятность попадания в фигуру равна P (Ω) = 1. Это вполне логично, поскольку вся наша фигура - это и есть пространство элементарных событий Ω;
2. Если некоторую точку (элементарное событие) отметить заранее, то вероятность попадания именно в нее равна нулю. Даже если специально «целиться», точного попадания не будет. Ошибка составит тысячные доли миллиметра, но не ноль;
3. Теперь возьмем две точки. Вероятность попадания в любую из них все равно ноль. Аналогично, если взять 3 точки. Или пять - без разницы.

Этот опыт показывает, что конечная сумма нулевых слагаемых всегда равна нулю. Но что происходит, когда слагаемых становится бесконечно много? Здесь ситуация не так однозначна, и возможны три варианта:

1. Сумма равна нулю, как и для конечного набора точек. Если в нашем опыте отмечать точки до бесконечности, вероятность попадания в их объединение все равно нулевая;
2. Сумма равна некоторому положительному числу - этот случай принципиально отличается от первого. Здесь и возникает геометрическая вероятность;
3. Сумма равна бесконечности - бывает и такое, но сейчас нас это не интересует.

Почему так происходит? Механизм возникновения положительных чисел и бесконечностей связан с понятием счетности множества. Кроме того, надо понимать, что такое мера Лебега. Впрочем, эти знания действительно нужны вам, только если вы учитесь на математика.

Геометрическим местом точек (в дальнейшем ГМТ), называется фигура плоскости, состоящая из точек обладающих некоторым свойством, и не содержащая ни одной точки, не обладающей этим свойством.

Мы будем рассматривать только те ГМТ, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.

Рассмотрим ГМТ на плоскости, обладающие простейшими и наиболее часто выражающимися свойствами:

1) ГМТ, отстоящих на данном расстоянии r от данной точки О, есть окружность с центром в точке О радиуса r.

2) ГМТ равноудаленных от двух данных точек А и В, есть прямая, перпендикулярная к отрезку АВ и проходящая через его середину.

3) ГМТ равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых, есть пара взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через точку пересечения и делящих углы между данными прямыми пополам.

4) ГМТ, отстоящих на одинаковом расстоянии h от прямой, есть две прямые, параллельные этой прямой и находящиеся по разные стороны от нее на данном расстоянии h.

5) Геометрическое место центров окружностей, касающихся данной прямой m в данной на ней точке М, есть перпендикуляр к АВ в точке М (кроме точки М).

6) Геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности в данной на ней очке М, есть прямая, проходящая через точку М и центр данной окружности (кроме точек М и О).

7) ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом, составляет две дуги окружностей, описанных на данном отрезке и вмещающих данный угол.

8) ГМТ, расстояния от которых до двух данных точек А и В находятся в отношении m: n, есть окружность (называемая окружностью Аполлония).

9) Геометрическое место середин хорд, проведенных из одной точки окружности, есть окружность, построенная на отрезке, соединяющем данную точку с центром данной окружности, как на диаметре.

10) Геометрическое место вершин треугольников равновеликих данному и имеющих общее основание, составляет две прямые, параллельные основанию и проходящие через вершину данного треугольника и ему симметричного относительно прямой, содержащей основание.

Приведем примеры отыскания ГМТ.

ПРИМЕР 2. Найти ГМТ, являющихся серединами хорд, проведенных из одной точки данной окружности (ГМТ № 9).

Решение . Пусть дана окружность с центром О и на этой окружности выбрана точка А из которой проводятся хорды. Покажем, что искомое ГМТ есть окружность, построенная на АО как на диаметре (кроме точки А) (рис. 3).

Пусть АВ - некоторая хорда и М - ее середина. Соединим М и О. Тогда МО ^ АВ (радиус, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде). Но, тогда ÐАМО = 90 0 . Значит М принадлежит окружности с диаметром АО (ГМТ № 7). Т.к. эта окружность проходит через точку О, то О принадлежит нашему ГМТ.

Обратно, пусть М принадлежит нашему ГМТ. Тогда, проведя через М хорду АВ и соединив М и О, получим, что ÐАМО = 90 0 , т.е. МО ^ АВ, а, значит, М - середина хорды АВ. Если же М совпадает с О, то О - середина АС.

Часто метод координат позволяет находить ГМТ.

ПРИМЕР 3. Найти ГМТ, расстояние от которых до двух данных точек А и В находятся в данном отношении m: n (m ≠ n).

Решение . Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы точки А и В располагались на оси Ох симметрично относительно начала координат, а ось Оу проходила через середину АВ (рис.4). Положим АВ = 2a. Тогда точка А имеет координаты А (a, 0), точка В - координаты В (-a, 0). Пусть С принадлежит нашему ГМТ, координаты С(х, у) и CB/CA = m/n. Но Значит

(*)

Преобразуем наше равенство. Имеем

Геометрия - это наука, изучающая пространственные отношения и формы предметов.

Евклидова геометрия - это геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида.

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) - одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылах, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных прямых, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.

Прямая линия, ограниченная с одного конца и неограниченная с другого, называется лучом.

Часть прямой, ограниченная с двух сторон, называется отрезком.

Угол - это геометрическая фигура, образованная двумя лучами (стороны угла), исходящими из одной точки (вершина угла). Применяются две единицы измерения углов: радиан и градус. Угол в 90° называется прямым; угол, меньший чем 90°, называется острым; угол, больший чем 90°, называется тупым.

Смежные углы - это углы, имеющие общую вершину и общую сторону; две другие стороны являются продолжениями одна другой. Сумма смежных углов равна 180°. Вертикальные углы - это два угла с общей вершиной, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого.

Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам.

Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжать. Все прямые, параллельные одной прямой, параллельны между собой. Все перпендикуляры к одной и той же прямой параллельны между собой, и обратно, прямая, перпендикулярная к одной из параллельных прямых, перпендикулярна к остальным. Длина отрезка перпендикуляра, заключенного между двумя параллельными прямыми, есть расстояние между ними. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой образуются восемь углов, которые попарно называются: соответственные углы (эти углы попарно равны); внутренние накрест лежащие углы (они попарно равны); внешние накрест лежащие углы (они попарно равны); внутренние односторонние углы (их сумма равна 180°); внешние односторонние углы (их сумма равна 180°).

Теорема Фалеса . При пересечении сторон угла параллельными прямыми стороны угла делятся на пропорциональные отрезки.

Аксиомы геометрии . Аксиома принадлежности: через любые две точки на плоскости можно провести прямую и притом только одну. Аксиома порядка: среди любых трех точек, лежащих на прямой, есть не более одной точки, лежащей между двух других.

Aксиома конгруэнтности (равенства) отрезков и углов: если два отрезка (угла) конгруэнтны третьему, то они конгруэнтны между собой. Аксиома параллельных прямых: через любую точку, лежащую вне прямой, можно провести другую прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Аксиома непрерывности (аксиома Архимеда): для любых двух отрезков AB и CD существует конечный набор точек A1, A2, …, An, лежащих на прямой AB, таких что отрезки AA1, A1A2, …, An-1An конгруэнтны отрезку CD, a точка B лежит между A и An.

Плоская фигура, образованная замкнутой цепочкой отрезков, называется многоугольником.
В зависимости от количества углов многоугольник может быть треугольником, четырехугольником, пятиугольником, шестиугольником и т. д. Сумма длин называется периметром и обозначается p.
Если все диагонали лежат внутри многоугольника, он называется выпуклым. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180°*(n-2), где n - число углов (или сторон) многоугольника.

Треугольник - это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Если все три угла острые, то это остроугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это прямоугольный треугольник; стороны, образующие прямой угол, называются катетами; сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Если один из углов тупой, то это тупоугольный треугольник. Треугольник равнобедренный, если две его стороны равны. Треугольник равносторонний, если все его стороны равны.

В прямоугольном треугольнике справедливы следующие соотношения:

Площадь прямоугольного треугольника :

Радиус вписанной окружности:

В произвольном треугольнике:

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность:

где а - сторона, n - число сторон многоугольника, R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности (апофема правильного многоугольника).

Площадь правильного многоугольника:

Длины сторон и диагоналей связаны формулой:

Основные свойства треугольников:

• против большей стороны лежит больший угол и наоборот;
• против равных сторон лежат равные углы и наоборот;
• сумма углов треугольника равна 180°;
• продолжая одну из сторон треугольника, получаем внешний угол. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним;
• любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности.

Признаки равенства треугольников: треугольники равны, если равны:

• две стороны и угол между ними;
• два угла и прилегающая к ним сторона;
• три стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников: два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:

• равны их катеты;
• катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;
• гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;
• катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;
• катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или ее продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника - снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Формула для высоты треугольника:

Медиана - это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса - это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам.
Формула для биссектрисы треугольника:

Срединный перпендикуляр - это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанного круга. В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном - снаружи; в прямоугольном - в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Теорема Пифагора . В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: c2 = a2 + b2.

В общем случае (для произвольного треугольника) имеем: c2=a2+b2–2?a?b?cosC, где C - угол между сторонами a и b.

Четырехугольник - фигура, образованная четырьмя точками (вершинами), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырьмя последовательно соединяющими их отрезками (сторонами), которые не должны пересекаться.

Параллелограмм - это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. Любые две противоположные стороны параллелограмма называются его основаниями, а расстояние между ними - высотой.

Свойства параллелограмма:

• противоположные стороны параллелограмма равны;
• противоположные углы параллелограмма равны;
• диагонали параллелограмма делятся в точке их пересечения пополам;
• сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырех сторон.

Площадь параллелограмма:

Радиус вписанной в параллелограмм окружности:

Прямоугольник - это параллелограмм, все углы которого равны 90°.

Основные свойства прямоугольника.
Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
Диагонали прямоугольника равны: AC = BD.

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон (по теореме Пифагора).

Площадь прямоугольника: S = ab.

Диаметр прямоугольника:

Радиус описанной около прямоугольника окружности:

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят их углы пополам.

Площадь ромба выражается через диагонали:

Квадрат - это параллелограмм с прямыми углами и равными сторонами. Квадрат является частным случаем прямоугольника и ромба одновременно, следовательно, он обладает всеми их вышеперечисленными свойствами.

Площадь квадрата:

Радиус описанной около квадрата окружности:

Радиус вписанной в квадрат окружности:

Диагональ квадрата:

Трапеция - это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называюся основаниями трапеции, а две другие - боковыми сторонами. Расстояние между основаниями есть высота. Отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им. Трапеция с равными боковыми сторонами называется равнобочной трапецией. В равнобочной трапеции углы при каждом основании равны.

Площадь трапеции: , где a и b - основания, h - высота.

Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон треугольника. Средняя линия треугольника равна половине его основания и параллельна ему. Это свойство вытекает из свойства трапеции, так как треугольник может рассматриваться как случай вырождения трапеции, когда одно из ее оснований превращается в точку.

Подобие плоских фигур . Если изменить все размеры плоской фигуры одно и то же число раз (отношение подобия), то старая и новая фигуры называются подобными. Два многоугольника подобны, если их углы равны, а стороны пропорциональны.

Признаки подобия треугольников. Два треугольника подобны, если:

• все их соответственные углы равны (достаточно двух углов);
• все их стороны пропорциональны;
• две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, a углы, заключенные между этими сторонами, равны.

Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон, диаметров).

Геометрическое место точек - это множество всех точек, удовлетворяющих определенным заданным условиям.

Окружность - это геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности. Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой, называется радиусом и обозначается - r. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Часть окружности называется дугой. Прямая, проходящая через две точки окружности, называется секущей, а ее отрезок, лежащий внутри окружности - хордой. Хорда, проходящая через центр круга, называется диаметром и обозначается d. Диаметр - это наибольшая хорда, по величине равная двум радиусам: d = 2r.

Где а - действительная, b - мнимая полуось.

Уравнение плоскости в пространстве:
Ax + By + Cz + D = 0,
где x, y, z - прямоугольные координаты переменной точки плоскости, A, B, C - постоянные числа.
Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной. При этом данная точка называется точкой касания.

Свойства касательной:

• касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания;
• из точки, лежащей вне круга, можно провести две касательные к одной и той же окружности; их отрезки равны.

Сегмент - это часть круга, ограниченная дугой и соответствующей хордой. Длина перпендикуляра, проведенного из середины хорды до пересечения с дугой, называется высотой сегмента.

Сектор - это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, проведенными к концам этой дуги.

Углы в круге . Центральный угол - угол, образованный двумя радиусами. Вписанный угол - это угол, образованный двумя хордами, проведенными из их одной общей точки. Описанный угол - угол, образованный двумя касательными, проведенными из одной общей точки.

Эта формула является основой для определения радианного измерения углов. Радианная мера любого угла - это отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключенной между сторонами этого угла, к ее радиусу.

Соотношения между элементами круга.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно, все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. А так как центральный угол содержит то же количество градусов, что и его дуга, то любой вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Все вписанные углы, опирающиеся на полукруг, прямые.

Угол, образованный двумя хордами, измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами.

Угол, образованный двумя секущими, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Угол, образованный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключенной внутри него.

Угол, образованный касательной и секущей, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Описанный угол, образованный двумя касательными, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Произведения отрезков хорд, на которые они делятся точкой пересечения, равны.

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Хорда, перпендикулярная диаметру, делится в их точке пересечения пополам.

Вписанным в круг называется многоугольник, вершины которого расположены на окружности. Описанным около круга называется многоугольник, стороны которого являются касательными к окружности. Соответственно, окружность, проходящая через вершины многоугольника, называется описанной около многоугольника; окружность, для которой стороны многоугольника являются касательными, называется вписанной в многоугольник. Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность. Для треугольника эта возможность существует всегда.

В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны. Для параллелограммов это возможно только для ромба (квадрата). Центр вписанного круга расположен в точке пересечения диагоналей. Около четырехугольника можно описать круг, если сумма его противоположных углов равна 180°. Для параллелограммов это возможно только для прямоугольника (квадрата). Центр описанного круга лежит в точке пересечения диагоналей. Вокруг трапеции можно описать круг, если только она равнобочная. Правильный многоугольник - это многоугольник с равными сторонами и углами.

Правильный четырехугольник - это квадрат; правильный треугольник - равносторонний треугольник. Каждый угол правильного многоугольника равен 180°(n - 2)/n , где n - число его углов. Внутри правильного многоугольника существует точка O, равноудаленная от всех его вершин, которая называется центром правильного многоугольника. Центр правильного многоугольника также равноудален от всех его сторон. В правильный многоугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают с центром правильного многоугольника. Радиус описанного круга - это радиус правильного многоугольника, a радиус вписанного круга - его апофема.

Основные аксиомы стереометрии.

Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести одну и только одну плоскость.

Через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести бесчисленное множество плоскостей, образующих в этом случае пучок плоскостей. Прямая, через которую проходят все плоскости пучка, называется осью пучка. Через любую прямую и точку, лежащую вне этой прямой, можно провести одну и только одну плоскость. Через две прямые не всегда можно провести плоскость, тогда эти прямые называются скрещивающимися.

Скрещивающиеся прямые не пересекаются, сколько бы их ни продолжать, но они не являются параллельными прямыми, так как не лежат в одной плоскости. Только параллельные прямые являются непересекающимися линиями, через которые можно провести плоскость. Разница между скрещивающимися и параллельными прямыми состоит в том, что параллельные прямые имеют одинаковое направление, а скрещивающиеся - нет. Через две пересекающиеся прямые всегда можно провести одну и только одну плоскость. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми есть длина отрезка, соединяющего ближайшие точки, расположенные на скрещивающихся прямых. Непересекающиеся плоскости называются параллельными плоскостями. Плоскость и прямая либо пересекаются (в одной точке), либо нет. В последнем случае говорят, что прямая и плоскость параллельны друг другу.

Перпендикуляром, опущенным из точки на плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и ежащей на прямой, перпендикулярной плоскости.

Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Проекцией отрезка на плоскость P является отрезок, концы которого являются проекциями точек данного отрезка.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая - ребром двугранного угла. Плоскость, перпендикулярная к ребру, дает в ее пересечении с полуплоскостями угол называемый линейным углом двугранного угла. Двугранный угол измеряется своим линейным углом.

Многогранный угол . Если через точку провести множество плоскостей, которые последовательно пересекаются друг с другом по прямым, то получим фигуру, называемую многогранным углом. Плоскости, образующие многогранный угол называются его гранями; прямые, по которым последовательно пересекаются грани называются ребрами многогранного угла. Минимальное количество граней многогранного угла равно трем.

Параллельные плоскости вырезают на ребрах многогранного угла, пропорциональные отрезки и образуют подобные многоугольники.

Признаки параллельности прямой и плоскости.

Если прямая, лежащая вне плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Признаки параллельности плоскостей:

• Если две пересекающиеся прямые одной плоскости cоответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
• Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
• Признаки перпендикулярности прямой и плоскости.
• Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
• Если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Прямая, пересекающая плоскость и не перпендикулярная ей, называется наклонной к плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной к этой плоскости, перпендикулярна и самой наклонной.

Признаки параллельности прямых в пространстве:

• Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
• Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей.

Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат xy:
ax + bx + c = 0, где a, b, c - постоянные числа, x и y -координаты переменной точки M(x,y) на прямой.

Признаки параллельности прямых:

Признак перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Теорема об общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым. Для любых двух скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр.

Многогранник - это тело, граница которого состоит из кусков плоскостей (многоугольников). Эти многоугольники называются гранями, их стороны - ребрами, их вершины - вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие две вершины и не лежащие на одной грани, называются диагоналями многогранника. Многогранник - выпуклый, если все его диагонали расположены внутри него.

Куб - объемная фигура с шестью равными гранями.

Объем и площадь поверхности куба:

Призмой называется многогранник, две грани которого (основания призмы) - равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани - параллелограммы.

Отрезки, соединяющие соответствующие вершины, называются боковыми ребрами. Высота призмы - это любой перпендикуляр, опущенный из любой точки основания на плоскость другого основания. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, призма может быть, соответственно треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т. д. Если боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то такая призма называется прямой; в противном случае это наклонная призма. Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма также называется правильной. Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

Площадь боковой поверхности прямой призмы:
S бок = P*H, где P - периметр основания, а H - высота.

Параллелепипед - это призма, основания которой параллелограммы. Таким образом, параллелепипед имеет шесть граней, и все они - параллелограммы. Противоположные грани попарно равны и параллельны. У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Если четыре боковые грани параллелепипеда - прямоугольники, то он называется прямым. Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней - прямоугольники, называется прямоугольным. Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его ребра a, b, c связаны соотношением d2 = a2 + b2 + c2. Прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны.

Объем и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда:
V = a*b*c, S полн = 2(ab + ac + bc).

Пирамида - это многогранник, у которого одна грань (основание пирамиды) является произвольным многоугольником, а остальные грани (боковые грани) - треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание, называется высотой пирамиды. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, пирамида может быть, соответственно, треугольной, четырехугольной, пятиугольной, шестиугольной и т. д. Треугольная пирамида является тетраэдром, четырехугольная - пятигранником и т. д. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а ее высота падает в центр основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны; все боковые грани - равнобедренные треугольники. Высота боковой грани называется апофемой правильной пирамиды.

Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключенное между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Параллельные грани называются основаниями; расстояние между ними - высотой. Усеченная пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена, - правильная. Все боковые грани правильной усеченной пирамиды - равные равнобочные трапеции.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды:
, где P - периметр основания; h - высота боковой грани (апофема правильной пирамиды).

Объем усеченной пирамиды:

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды:
,
где P и P’ - периметры оснований; h - высота боковой грани (апофема правильной усеченной пирамиды).

Цилиндрическая поверхность образуется при движении прямой, сохраняющей свое направление и пересекающейся с заданной линией (кривой). Эта линия называется направляющей. Прямые, соответствующие различным положениям прямой при ее движении, называются образующими цилиндрической поверхности.

Цилиндром называется тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями. Части этих плоскостей называются основаниями цилиндра. Расстояние между основаниями - высота цилиндра. Цилиндр прямой, если его образующие перпендикулярны основанию; в противном случае цилиндр наклонный. Цилиндр называется круговым, если его основание - круг. Если цилиндр является одновременно и прямым, и круговым, то он называется круглым. Призма является частным случаем цилиндра.

Объем, площади боковой и полной поверхностей цилиндра:
,
где R - радиус оснований; H - высота цилиндра.

Цилиндрические сечения боковой поверхности кругового цилиндра.

Сечения, параллельные основанию, - круги того же радиуса.

Сечения, параллельные образующим цилиндра, - пары параллельных прямых.

Сечения, которые не параллельны ни основанию, ни образующим, - эллипсы.

Коническая поверхность образуется при движении прямой, проходящей все время через неподвижную точку, и пересекающей за данную линию, называемую направляющей. Прямые, соответствующие различным положениям прямой при ее движении, называются образующими конической поверхности; точка - ее вершиной. Коническая поверхность состоит из двух частей: одна описывается лучом, другая - его продолжением.

Обычно в качестве конической поверхности рассматривают одну из её частей.

Конус - это тело, ограниченное одной из частей конической поверхности с замкнутой направляющей и пересекающей коническую поверхность плоскостью, не проходящей через вершину.

Часть этой плоскости, расположенной внутри конической поверхности, называется основанием конуса. Перпендикуляр, опущенный из вершины на основание, называется высотой конуса.

Пирамида является частным случаем конуса. Конус называется круговым, если его основанием является круг. Прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, называется осью конуса. Если высота кругового конуса совпадает с его осью, то такой конус называется круглым.

Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса:
,
где r - радиус; Sосн - площадь; P - длина окружности основания; L - длина образующей; H - высота конуса.

Объем и площадь боковой поверхности усеченного конуса:

Конические сечения.

Сечения кругового конуса, параллельные его основанию, - круги.

Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и не параллельное ни одной его образующей, - эллипс.

Сечение, пересекающее только одну часть кругового конуса и параллельное одной из его образующих, - парабола.

Сечение, пересекающее обе части кругового конуса, в общем случае является гиперболой, состоящей из двух ветвей. В частности, если это сечение проходит через ось конуса, то получаем пару пересекающихся прямых (образующих конус).

Сферическая поверхность - это геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от одной точки, которая называется центром сферической поверхности.

Шар (сфера) - это тело, ограниченное сферической поверхностью. Можно получить шар, вращая полукруг (или круг) вокруг диаметра. Все плоские сечения шара - круги. Наибольший круг лежит в сечении, проходящем через центр шара, и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра, можно провести бесчисленное множество больших кругов.

Объем шара в полтора раза меньше объема описанного вокруг него цилиндра, а поверхность шара в полтора раза меньше полной поверхности того же цилиндра.

Уравнение сферы в прямоугольной системе координат:
(x-x0)+(y-y)2+ (z-z0)= R2,
здесь x, y, z - координаты переменной точки на сфере;
x0, y0, z0 - координаты центра;
R - радиус сферы.

Объем шара и площадь сферы:

Объем шарового сегмента и площадь сегментной поверхности:
,
где h - высота шарового сегмента.

Объем и площадь полной поверхности шарового сектора:
,
где R - радиус шара; h - высота шарового сегмента.

Объем и площадь полной поверхности шарового слоя:
,
где h - высота; r1 и r2 - радиусы оснований шарового слоя.

Объем и площадь поверхности тора:
,
где r - радиус круга; R - расстояние от центра круга до оси вращения.

Средняя кривизна поверхности S в точке A0:

Части шара . Часть шара (сферы), отсекаемая от него какой-либо плоскостью, называется шаровым (сферическим) сегментом. Круг называется основанием шарового сегмента. Отрезок перпендикуляра, проведенного из центра круга до пересечения со сферической поверхностью, называется высотой шарового сегмента. Часть сферы, заключенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими сферическую поверхность, называется шаровым слоем; кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом (зоной). Расстояние между основаниями шарового пояса - его высота. Часть шара, ограниченная кривой поверхностью сферического сегмента и конической поверхностью, основанием которой служит основание сегмента, а вершиной - центр шара, называется шаровым сектором.

Симметрия.

Зеркальная симметрия. Геометрическая фигура называется симметричной относительно плоскости S, если для каждой точки E этой фигуры может быть найдена точка E’ этой же фигуры, так что отрезок EE’ перпендикулярен плоскости S и делится этой плоскостью пополам. Плоскость S называется плоскостью симметрии. Симметричные фигуры, предметы и тела не равны друг другу в узком смысле слова, они называются зеркально равными.

Центральная симметрия. Геометрическая фигура называется симметричной относительно центра C, если для каждой точки A этой фигуры может быть найдена точка E этой же фигуры, так что отрезок AE проходит через центр C и делится в этой точке пополам. Точка C в этом случае называется центром симметрии.

Симметрия вращения. Тело обладает симметрией вращения, если при повороте на угол 360° / n (n - целое число) вокруг некоторой прямой AB (оси симметрии) оно полностью совпадает со своим начальным положением. При n=2 имеем осевую симметрию.

Примеры видов симметрии. Шар (сфера) обладает и центральной, и зеркальной и симметрией вращения. Центром симметрии является центр шара; плоскостью симметрии является плоскость любого большого круга; осью симметрии - диаметр шара.

Круглый конус обладает осевой симметрией; ось симметрии - ось конуса.

Прямая призма обладает зеркальной симметрией. Плоскость симметрии параллельна ее основаниям и расположена на одинаковом расстоянии между ними.

Симметрия плоских фигур.

Зеркальноосевая симметрия. Если плоская фигура симметрична относительно плоскости (что возможно, если только плоская фигура перпендикулярна этой плоскости), то прямая, по которой эти плоскости пересекаются, является осью симметрии второго порядка данной фигуры. В этом случае фигура называется зеркально-симметричной.

Центральная симметрия. Если плоская фигура имеет ось симметрии второго порядка, перпендикулярную плоскости фигуры, то точка, в которой пересекаются прямая и плоскость фигуры, является центром симметрии.

Примеры симметрии плоских фигур.

Параллелограмм имеет только центральную симметрию. Его центр симметрии - точка пересечения диагоналей.
Равнобочная трапеция имеет только осевую симметрию. Ее ось симметрии - перпендикуляр, проведенный через середины оснований трапеции.

Ромб имеет и центральную, и осевую симметрию. Его ось симметрии - любая из его диагоналей; центр симметрии - точка их пересечения.

Избыточность сообщений

понятие теории информации. Наличие избыточности в записи сообщений какого-либо источника информации (См. Информация) проявляется в возможности записать эти сообщения в среднем более кратко, используя те же самые знаки (то есть заменяя код на другой с тем же алфавитом; см. Код , Кодирование). Например, если рассматриваемые сообщения представляют собой последовательности знаков 0 и 1, в которых единица встречается в среднем один раз на десять знаков, то, применяя кодирование по правилу

00 → 0, 01 → 10, 10 → 110, 11 → 111,

можно сократить запись почти вдвое. Максимальная доля «лишних» знаков определяется по статистическим свойствам рассматриваемого источника сообщений и также называется его избыточностью. В этом понимании И. с. R определяется по формуле m - число букв алфавита, а Н - Энтропия источника на букву сообщения. Можно подсчитать, что в приведённом примере И. с. равна 0,53. Минимальной И. с. R = 0 обладает только последовательность, в которой знаки независимы и с вероятностью 1/m могут быть равны любой из m букв алфавита.

Практически важен вопрос об оценке избыточности конкретных форм сообщений (таких, как письменная и устная речь, фототелеграммы, телевизионные изображения). Величина И. с. в них оказывается обычно значительной. Так, например, И. с. английской письменной речи не менее 0,6. Большая избыточность позволяет лучше распознать передаваемые сообщения при наличии помех в каналах связи. С этой точки зрения не всегда следует стремиться к уменьшению И. с.

Ю. В. Прохоров.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Избыточность сообщений" в других словарях:

Наличие в техническом устройстве возможностей сверх тех, которые могли бы обеспечить его нормальное функционирование. И. вводится для повышения надёжности работы изделия в различных условиях эксплуатации или для исключения влияния на… …

Избыточность термин из теории информации, означающий превышение количества информации, используемой для передачи или хранения сообщения, над его информационной энтропией. Для уменьшения избыточности применяется сжатие данных без потерь, в то же… … Википедия

избыточность языка - 1. Необходимое условие передачи и приема сообщения. Она не только способствует надежности коммуникации, но и создает условия порождения и восприятия речи. Без существующей избыточности языка человек не смог бы перерабатывать всю поступающую или… … Толковый переводоведческий словарь

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия

Мера возможного увеличения скорости передачи информации за счет использования статистич. зависимостей между компонентами сообщения, вырабатываемого источником сообщений. И. стационарного источника сообщений с дискретным временем, вырабатывающего… … Математическая энциклопедия

Обнаружение ошибок в технике связи действие, направленное на контроль целостности данных при записи/воспроизведении информации или при её передаче по линиям связи. Исправление ошибок (коррекция ошибок) процедура восстановления информации после… … Википедия

ИЗБЫТОЧНОСТЬ ИНФОРМАЦИИ - величина, которой измеряется относительная доля излишне используемых сообщений в некотором алфавите. Определяется формулой: где Н энтропия сообщения, п средняя длина кодового слова, М число символов алфавита. Естественным языкам свойственна… … Энциклопедический словарь по психологии и педагогике

Операция отождествления символов или групп символов одного Кода с символами или группами символов другого кода. Необходимость К. возникает прежде всего из потребности приспособить форму сообщения к данному каналу связи или какому либо… … Большая советская энциклопедия

- (MIL STD 1553B) стандарт Министерства обороны США, распространяется на магистральный последовательный интерфейс (МПИ) с централизованным управлением, применяемый в системе электронных модулей. Изначально разрабатывался по заказу МО США для… … Википедия

Процесс представления информации в определенной стандартной форме и обратный процесс восстановления информации по ее такому представлению. В математич. литературе кодированием наз. отображение произвольного множества Ав множество конечных… … Математическая энциклопедия