Дискретные и непрерывные модели. Глава i динамическое моделирование предприятия

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

• Введение
• 1. Теоретическая часть
• 1.1 Понятие динамических систем
• 1.2 Модели динамических систем и процессов
• 1.3 Моделирование непрерывной системы контроля
• 1.4 Математическое описание непрерывной системы контроля
• 2. Практическая часть
• 2.1 Выполнение задания 1
• 2.2 Выполнение задания 2
• Заключение
• Список использованных источников
• Введение
• Достижения в теории и практике моделирования процессов и систем, в современных условиях, связано со стремительным развитием вычислительной техники. Что казалось невозможным при решении многих задач моделировании еще несколько лет назад, сейчас легко реализуется на доступном инженерном уровне. Появление и развитие инженерных пакетов моделирования, таких как Matlab, Skylab, Labview, создало условия высокопроизводительного, объектно-ориентированного моделирования на современных компьютерах.
• Задачи моделирования процессов и систем многообразны. Моделирование широко используется при инженерном проектировании и научных исследованиях: для решения технических и экономических задач, при исследованиях в экологии и социологии, в приборостроении и автоматизации управления.
• Особенности применения моделирования в приборостроении связаны в первую очередь с технологическими достижениями в датчикостроении, теории измерений и обработки информации.
• В области экономических задач применение моделирования дает эффективный инструмент для управления проектами и прогнозирования развития экономических процессов. Многие современные методы теории управления оказались эффективными при решении экономических задач и достаточно легко реализуемыми на математических моделях и постановке вычислительных экспериментов на компьютерной технике.

Развитие нейросетей, микросистемотехники, нанотехнологии внесло много существенно нового в методы моделирования процессов и систем, что дало также эффективный инструмент для предварительного решения задач проектирования в математическом виде на моделях и их численном исследовании на компьютерах. Применение моделирования особенно эффективно при исследовании проектируемых систем с целью изучения и прогнозировании различных явлений и процессов в этих системах. Приближение к реальным условиям работы проектируемых систем осуществляется при стохастическом моделировании, когда к условиям моделирования добавляются случайные изменения параметров системы, возмущения и шумы измерений физических величин.

В приборостроении актуально моделирование задач управления, получения, передачи и преобразования информации. При этом современные модели везде для описания процессов и систем используют дифференциальные уравнения и линейные матричные преобразования.

Развитие современных методов моделирования создало предпосылки для создания и исследования высокоэффективных систем, которые, как правило, ориентированы на цифровые алгоритмы обработки информации, с применением современных микропроцессоров, нейрокомпьютеров, процессоров с нечеткой логикой и других современных технологических достижений.

1 . Теоретическая часть

1.1 Понятие динамических систем

Динамические системы - системы, под действием внешних и внутренних сил изменяющие во времени свои состояния. Представления о динамических системах возникли как обобщение понятия механической системы, поведение которой описывается законами динамики Ньютона. В современной науке понятие динамической системы охватывает системы практически любой природы: физические, химические, биологические, экономические, социальные и др. При этом системы характеризуются различной внутренней организацией жестко-детерминированные, стохастические, нелинейные, системы с элементами самоорганизации, самоорганизующиеся.

Важнейшим свойством динамических систем является их устойчивость, т. е. сохранение системой своей базовой структуры и основных выполняемых функций в течение определенного времени и при относительно небольших и разнообразных внешних воздействиях и внутренних возмущениях. Устойчивость есть внутреннее свойство систем, а не результат внешнего воздействия. Представления же о развитии этих систем отражают такие изменения их структурной организации, которые ведут к более эффективному выполнению системой своих основных функций. Качественные перестройки систем анализируются в теории катастроф, которая рассматривается как ветвь общей теории динамических систем.

Развитие представлений о динамических системах связано с переходом к познанию все более сложных систем. При этом особую роль приобретает изучение динамики внутренних свойств систем. В случае механических систем действие внутренних факторов сводилось к силам инерции. По мере усложнения систем возрастает значение внутренних факторов. На первый план выходят проблемы изучения источников внутренней активности систем и природы их целенаправленного функционирования и поведения.

Математической моделью динамической системы принято называть совокупность математических символов, однозначно определяющих развитие процессов в системе, т.е. ее движение. При этом в зависимости от используемых символов различают аналитические и графоаналитические модели. Аналитические модели строятся с помощью буквенных символов, в то время как графоаналитические допускают применение графических обозначений.

В зависимости от типа сигналов различаются непрерывные и дискретные модели систем. В зависимости от используемых операторов - линейные и нелинейные, а также временные и частотные модели. К временным относятся модели, в которых аргументом является (непрерывное или дискретное) время. Это дифференциальные и разностные уравнения, записанные в явном виде или в операторной форме. Частотные модели предусматривают использование операторов, аргументом которых является частота соответствующего сигнала, т.е. операторы Лапласа, Фурье и т.д.

1.2 Модели динамических систем и процессов

В современной математике используется представление динамических процессов и систем дифференциальными уравнениями в пространстве состояний. Такое описание процессов и систем позволяет легко проводить их цифровое моделирование, используя конечно-разностное представление и проектировать универсальные алгоритмы обработки информации с целью дальнейшего оптимального оценивания параметров систем и процессов. Оптимальные оценки необходимы для организации управления в системах автоматического управления современными методами, а в информационно-измерительных системах для получения достоверных данных об измеряемых физических величинах, для прогнозирования поведения исследуемых явлений и систем, повышения отказоустойчивости обработки информации. Одним из методов получения математической модели системы или процесса является идентификация.

Идентификацией динамической системы называется получение или уточнение по экспериментальным данным математической модели (числовых параметров) этой системы или процесса, выраженной посредством того или иного математического аппарата.

Используются следующие основные математические модели в пространстве состояний.

Непрерывная детерминированно-стохастическая динамическая система (ДС) - это система, описываемая линейными дифференциальными уравнениями состояния первого порядка и линейным уравнение выхода. В матричном виде:

X"(t)=A*Х(t)+B*U(t)+D*V(t), Y(t)=CX(t),

где Х"(t) - n-мерный вектор состояния системы; V(t) - r-мерный вектор гауссовских шумов с нулевым средним и корреляционной матрицей

E=Q(t)

моделирование матричный фазовый траектория

(Е - оператор математического ожидания); Y(t) - m-мерный вектор выхода; A, B, D - матрицы состояния (матрицы коэффициентов); С - матрица линейного преобразования размера m x n.

Дискретная детерминированно-стохастическая динамическая система (ДС) - это система, описываемая разностными уравнениями первого порядка состояния и дискретным уравнением выхода. Матричный вид соответствует уравнениям:

Х(k+1)=F*Х(k)+G*U(k)+T*V(k), Y(k)=CX(k),

где F, G, T, - переходные матрицы. Матрицы F, G, T вычисляются через A, B, D в виде:

F=I+A*y*dt, G=y*B*dt, T=y*D*dt,

где I - единичная матрица; dt - период дискретности системы (процесса). Период дискретности dt выбирается исходя из полосы пропускания ДС в соответствии с импульсной теоремой.

Детерминированной является ДС, у которой отсутствуют шумы возмущения и нет стохастических процессов (или всеми этими факторами можно пренебречь). У чисто стохастической ДС отсутствует детерминированный вектор входных сигналов. Детерминировано-стохастическая система содержит как детерминированные воздействия, так и стохастические процессы.

Объектами наблюдения динамических систем являются: информационные процессы (ИП), объекты управления (ОУ), датчики первичной информации (ДПИ), исполнительные устройства (ИУ). Первичной моделью объекта наблюдения типа ИП является спектральная или корреляционная функция. Первичной моделью объекта наблюдения типа ОУ, ДПИ и ИУ является дифференциальное уравнение (или эквивалентная передаточная функция), связывающая вход и выход.

Датчик первичной информации - это элемент устройства, преобразующий информацию о физической величине в сигнал, удобный для использования и обработки. Он задается дифференциальным уравнением или передаточной функцией. Передаточной функцией ДПИ является отношение преобразования Лапласа выходного процесса ДПИ к преобразованию Лапласа входного процесса при нулевых начальных условиях. Движением системы называется физический процесс изменения её переменных во времени и пространстве. Выходные переменные Y(t), управляющие входные воздействия U(t) и возмущающие входные воздействия V(t) рассматриваются в виде соответствующих векторов, которые записываются в виде столбцовых матриц:

1. 3 Моделирование непрерывной системы контроля

Система контроля предназначена для измерения и выдачи информации о контролируемом процессе h(t), который содержит среднюю (детерминированную) составляющую и стохастическую (случайную) g(t). Измерение происходит при воздействии аддитивных шумов n(t). Датчик, с помощью которого производятся измерения, является динамическим звеном (в данном случае второго порядка). Эквивалентная схема системы контроля представлена на рисунке 1

Рисунок 1 - Схема системы контроля

Случайная составляющая g(t) измеряемого процесса задана спектральной плотностью Sg(w); детерминированная - сигналом u(t); h(t)=g(t)+u(t) - полный информационный процесс; f(t)=h(t)+n(t) - измерение процесса h(t) c аддитивными шумами n(t) (задана спектральная плотность шума - Sn(w)); h(t) -выходной сигнал ДПИ (датчик первичной информации); W(S) - передаточная функция ДПИ. Детерминированное входное воздействие задано суммой ступенчатой и гармонической функций.

Для моделирования системы контроля в Matlab составляется схема моделирования, которая представлена на рисунке 2.

Рисунок 2 - Схема моделирования системы контроля

1.4 Математическое описание непрерывной системы контроля

Задана спектральная плотность контролируемого процесса:

Передаточная функция объекта наблюдения:

Интенсивность шумов измерений R=17 (при измерении выходного сигнала объекта наблюдения).

Путем факторизации из модели в виде спектральной плотности получим передаточную функцию формирующего фильтра входного процессора:

Матричная модель объекта наблюдения находится методом вспомогательной переменной. Уравнение состояния в данном случае:

Процесс h(t) на выходе объекта наблюдения вычисляется в матричном виде:

В данном примере получаем следующий вид матриц:

Матричная модель датчика:

Выход объекта наблюдения h=C 0 *X 0 .

Полное уравнение объекта контроля содержит уравнение состояния входного процесса и уравнение состояния объекта:

где матрицы A, B и D составляются на основе дифференциальных уравнений процесса и объекта контроля, которые имеют вид:

Или относительно полного вектора: :

Матрицы A, B, C, D в данном случае имеют следующий вид:

2 . Практическая часть

2.1 Выполнение задания 1

Алгоритм выполнения работы в среде Simulink.

1. Запускаем Matlab (версия R2012b) и выбираем в меню пункт «New > Simulink Model» (рисунок 3).

Рисунок 3 - Процесс создания новой модели в Simulink

2. Открываем библиотеку функциональных блоков "Simulink". Для этого кликнем левой кнопки мыши на панели управления по иконке "Simulink Library" (рисунок 4).

Рисунок 4 - Процесс создания новой модели в Simulink

3. В результате откроется меню библиотеки Simulink, главный вид которой представлен на рисунке 5.

Рисунок 5 - Главное окно "Simulink Library"

4. Извлекаем из библиотеки Simulink все необходимые функциональные блоки. Для этого воспользуемся поиском, в верхней панели окна "Simulink Lybrary Browser", который представлен на рисунке 6.

Рисунок 6 - Поиск блока в "Simulink Library"

5. Для моделирования непрерывной системы контроля нам будут необходимы следующие блоки:

Блоки "Sine Wave", "Step" и "Random number" с вкладки "Sources";

Три блока "Subsystem" и блок "Scope" с вкладки "Commonly Used Blocks";

Блок "Sum" с вкладки "Math Operations";

Блок "Fcn" с вкладки "User Define Function";

Блок "State-space" с вкладки "Continuous".

6. Cоберем схему верхнего уровня модели непрерывной системы контроля (рисунок 7), используя перечисленные в п.5 функциональные блоки:

Рисунок 7 - Схема верхнего уровня системы контроля

7. Рассмотрим более подробно блоки "Subsystem": "Object", "Sensor", "Filter".

8. Блок "Object" является объектом наблюдения системы и представляет собой динамическую систему, в которой содержится стохастический процесс (блок "State-Space") и датчик (блок "State-Space 1"). Функциональная схема динамической системы "Object" представлена на рисунке 8.

Рисунок 8 - Динамическая система "Object"

9. Настройка блоков уравнения состояния "State-Space" и "State-Space 1" представлена на рисунках 9 и 10 соответственно.

Рисунок 9 - Настройка параметров блока "State-Space"

Рисунок 10 - Настройка параметров блока "State-Space 1"

10. Функциональные блоки h(t)=C 0 X и g(u)=C g X, заданы функциями, представленными в окне параметров (рисунок 11).

Рисунок 11 - Настройка функциональных блоков h(t) и g(u)

11. Блок "Sensor" (датчик) производит измерение входного сигнала и представляет собой совокупность полезного сигнала h(t) и помехи n(t):

Модель датчика представлена на рисунке 12. Блок "Random Number" используется в качестве генератора белого шума с интенсивностью 0,4.

Рисунок 12 - Модель датчика (Sensor)

12. Блок "Filter" (фильтр) на основе измерений датчика выдает оценку выходного параметра объекта наблюдения - h^(t). Матрицы A, B, C соответствуют матрицам полной модели. Матрица С в блоке "State Space" - единичная. Модель фильтра представлена на рисунке 13.

Рисунок 13 - Модель фильтра (Filter)

Настройка параметров блока "State Space" и функционального блока f(u) представлена на рисунке 14.

Рисунок 14 - Настройка параметров блоков "State-Space" и "f(u)"

13. Результаты процессов системы регистрируются осциллографом (блок "Scope"). Произведем настройку параметров блока "Scope". Для этого кликнем правой кнопкой мыши по блоку и выберем в диалоговом окне пункт "Block Parametres" (параметры блока). Далее в области появившегося окна кликнем правой кнопкой мыши и выберем пункт "Axes properties" (рисунок 15). В появившемся диалоговом окне зададим область значений (Y) для каждого из трех графиков (рисунок 16).

Рисунок 15 - Настройка параметров блока "Scope"

Рисунок 16 - Настройка области значений Y

14. На панели инструментов Matlab в верхней части экрана можно настроить число рабочих тактов системы, по окончании которых работа Matlab прекратится. Настройка данного параметра представлена на рисунке 17.

Рисунок 17 - Настройка рабочих тактов системы

15. На этом настройка модели непрерывной системы контроля завершена. Далее запустим систему, кликнув левой кнопкой мыши по иконке "Run" на панели инструментов в верхней части экрана (рисунок 18).

Рисунок 18 - Запуск системы на выполнение

16. Результаты работы системы отражаются в блоке "Scope" и приведены на рисунке 19.

Рисунок 19 - Результаты работы системы

2.2 Выполнение задания 2

Колебания нелинейного осциллятора описываются следующим уравнением:

Используя данное дифференциальное уравнение, необходимо:

1. Создать модель механической системы;

2. Вычислить числовое значение координаты осциллятора в момент времени t=5 и вывести результат на display;

3. Построить графики зависимости координаты и скорости от времени;

4. Построить фазовую траекторию системы.

Запишем исходное уравнение в виде системы уравнений первого порядка.

Решим эту систему с помощью пакета Simulink, составляя блочную модель. Отдельным блоком в общей модели сформируем подмодель (блок Subsystem):

(библиотека Ports & Subsystems).

Подмодель -- это фрагмент модели, оформленный в виде отдельного блока. Использование подмодели при составлении модели имеет следующие положительные стороны:

1) уменьшает количество одновременно отображаемых блоков на экране, что облегчает восприятие модели;

2) позволяет создавать и отлаживать фрагменты модели по отдельности, что повышает технологичность создания модели;

3) дает возможность синхронизации параллельно работающих подсистем.

Используя созданную подмодель, значения и в основной модели связываем с соответствующими входами подмодели, а выход подмодели связываем с сумматором. Сигнал с выхода сумматора подаем на вход первого интегратора, замыкая цепь интегрирования.

В Simulink описанная процедура представлена на рисунках 20 и 21:

Рисунок 20 - Основная модель

Рисунок 21 - Подмодель

Если дважды щелкнуть мышью на блоке Scope (y(t)) в блок-схеме осциллятора, то появится графическое окно с графиком зависимости координаты y от времени. Результат показаний блока "Scope" представлен на рисунке 22.

Рисунок 22 - Показания блока Scope

В данной модели для построения фазовой траектории системы используется блок -- графопостроитель, который строит график одного сигнала в функции другого (график вида Y(X)). Блок имеет два входа. Верхний вход предназначен для подачи сигнала, который является аргументом (X), нижний вход -- для подачи значений функции (Y). Зависимость X от Y представлена на рисунке 23.

Рисунок 23 - Зависимость X от Y

Заключение

При выполнении данной работы были решены следующие задачи:

1) смоделирована непрерывная система контроля на основе матричной модели объекта наблюдения;

2) получена и построена передаточная функция формирующего фильтра входного процесса;

3) составлена и построена матричная модель датчика и функция выхода для объекта наблюдения;

4) на основе дифференциальных уравнений процесса и объекта контроля сформировано полное уравнение объекта контроля;

5) построены графики для выходного параметра фильтра h(t), для выхода объекта наблюдения h(t) и выхода датчика (сенсора) y(t);

6) спроектирована модель механической системы;

7) построен график зависимости координаты и скорости от времени, а также фазовая траектория системы.

Список использованных источников

1. Волков, В.Л. Моделирование процессов и систем. Учеб. пособие /В.Л. Волков. - Н.Новгород; НГТУ, 1997. -80 c.

2. Лебедев, А.Н. Моделирование в научно-технических исследованиях. - М.: Радио и связь, 1989.

3. Прохоров, С.А. Математическое описание и моделирование случайных процессов. - Самара. Самарский гос. аэрокосм. ун-т, 2001. -209 с.

4. Моделирование процессов и систем. Стохастические и детерминированные динамические системы и информационные процессы. Лабораторные работы. Методические Указания / Сост: Волков В.Л., Гущин О.Г., Поздяев В.И. - Н.Новгород. НГТУ, 1998. -32 c.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Анализ динамических процессов в системе на основе использования построенной аналитической модели. Моделирование с использованием пакета расширения Symbolic Math Tolbox. Построение модели в виде системы дифференциальных уравнений, записанных в форме Коши.

курсовая работа , добавлен 21.06.2015


Построение сигнального графа и структурной схемы системы управления. Расчет передаточной функции системы по формуле Мейсона. Анализ устойчивости по критерию Ляпунова. Синтез формирующего фильтра. Оценка качества эквивалентной схемы по переходной функции.

курсовая работа , добавлен 20.10.2013


Математические модели технических объектов и методы для их реализации. Анализ электрических процессов в цепи второго порядка с использованием систем компьютерной математики MathCAD и Scilab. Математические модели и моделирование технического объекта.

курсовая работа , добавлен 08.03.2016


Моделирование входного заданного сигнала, построение графика, амплитудного и фазового спектра. Моделирование шума с законом распределения вероятностей Рэлея, оценка дисперсии отсчетов шума и проверка адекватности модели шума по критерию Пирсона.

курсовая работа , добавлен 25.11.2011


Решение дифференциальных уравнений математической модели системы с гасителем и без гасителя. Статический расчет виброизоляции. Определение собственных частот системы, построение амплитудно-частотных характеристик и зависимости перемещений от времени.

контрольная работа , добавлен 22.12.2014


Схема блоков модели Карааслана, система дифференциальных уравнений, методы решения. Блоки и биохимические законы системы Солодянникова, переход между фазами. Моделирование патологий, графики экспериментов. Построение комплексной модели гемодинамики.

дипломная работа , добавлен 24.09.2012


Разработка проекта системы автоматического управления тележкой, движущейся в боковой плоскости. Описание и анализ непрерывной системы, создание ее математических моделей в пространстве состояний и модели "вход-выход". Построение графиков реакций объекта.

курсовая работа , добавлен 25.12.2010


Математическое моделирование задач коммерческой деятельности на примере моделирования процесса выбора товара. Методы и модели линейного программирования (определение ежедневного плана производства продукции, обеспечивающей максимальный доход от продажи).

контрольная работа , добавлен 16.02.2011


Некоторые математические вопросы теории обслуживания сложных систем. Организация обслуживания при ограниченной информации о надёжности системы. Алгоритмы безотказной работы системы и нахождение времени плановой предупредительной профилактики систем.

реферат , добавлен 19.06.2008


Операторы преобразования переменных, классы, способы построения и особенности структурных моделей систем управления. Линейные и нелинейные модели и характеристики систем управления, модели вход-выход, построение их временных и частотных характеристик.

Модели, типы моделей и их использование

Одним из главных элементов, необходимых для эффективного решения сложных задач, является построение и соответствующее использование модели. Модель - представление объекта или системы в некоторой форме, отличной от формы их реального существования.

Очевидно, что модели могут принимать самую разную форму и записываться с разной степенью математической детализации. Выбор того уровня сложности, который делает модель полезной, определяется планируемым ее использованием.

В повседневной практике при работе с системами пользуются умозрительными (субъективными) моделями, в которых математики нет вообще. Примерами таких моделей могут служить алгоритмы функционирования, правила управления системами и т.д.

Для описания свойств некоторых объектов и систем подходят числовые таблицы и (или) графики. Такие описания обычно называют графическими моделями. Например, линейные системы автоматического управления (САУ) могут быть представлены своими импульсными реакциями, реакциями на единичный скачок или частотными характеристиками. Соответствующие графические представления широко используются при проектировании и исследовании САУ.

В более сложных приложениях используются математические модели, в которых соотношения, описывающие связи между переменными объекта, задаются в виде определенных уравнений. Поэтому такие модели иногда называют аналитическими моделями. Математические модели представляют собой формализованные математические описания, отражающие с требуемой точностью процессы, происходящие в исследуемом объекте. Математические модели могут быть снабжены набором поясняющих прилагательных (линейные, нелинейные, дискретные, непрерывные, детерминированные, стохастические и т.д.) в зависимости от типа исследуемых уравнений.

В процессе машинного моделирования моделью системы является программа для ЭВМ. Программа, которой описывается поведение сложных систем, может представлять собой совокупность взаимодействующих между собой подпрограмм и просмотровых таблиц. Формализация такой совокупности в виде некоторой математической модели может оказаться трудноразрешимой задачей. Такие компьютеризованные представления называют программными (или машинными) моделями. Такие модели в настоящее время играют большую роль в процессе принятия оптимальных решений в сложных системах.

Модели можно классифицировать различными способами. Однако ни один из них не является полностью удовлетворительным, хотя каждый из них служит определенной цели. Укажем некоторые типовые альтернативные группы моделей:

Физические (натурные) и математические (символьные);

Статические и динамические;

Детерминированные и стохастические;

Дискретные и непрерывные;

Линейные и нелинейные;

Сосредоточенные и распределенные;

Стационарные и нестационарные.

Физическими моделями являются модели, в которых свойства реального объекта представляются свойством такого же объекта (макета) или некоторым другим свойством аналогичного по поведению объекта.

К математическим моделям относятся те, в которых для представления процесса используются символы, а не физические устройства.

Математическую модель можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реального объекта:

а) совокупность управляемых входных воздействий на объект

б) совокупность неуправляемых входных воздействий

в) совокупность внутренних (собственных) параметров объекта

г) совокупность выходных характеристик объекта (переменных состояния)

Структура моделируемого объекта имеет вид представленный на рис. 4.1

Входные переменные являются независимыми (экзогенными), а выходные - зависимыми (эндогенными) переменными.

Процесс функционирования объекта описывается во времени оператором F, который преобразует независимые переменные в зависимые

(4.1)

Совокупность зависимостей выходных характеристик объекта от времени называется выходной траекторией .

Зависимость (1.1) называется законом функционирования объекта. В общем случае закон функционирования объекта может быть задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Весьма важным для описания и исследования объекта является понятие алгоритма функционирования , под которым понимается метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий .

Очевидно, что один и тот же закон функционирования может быть реализован различными способами, т.е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования.

Соотношения (1.1) являются математическим описанием поведения объекта моделирования во времени t, т.е. отражают его динамические свойства. Поэтому математические модели такого вида называются динамическими . Они описывают изменения параметров во времени, например:

(4.2)

Инженеру очень часто приходится сталкиваться с такими моделями при разработке новых технологических процессов, изделий, средств и систем автоматического управления. В сущности, любая задача проектирования, связанная с расчетом потоков энергии или движения тел, в конечном счете сводится к решению дифференциальных уравнений.

Статические модели описывают процессы, не изменяющиеся во времени, т.е. поведение объекта в установившихся режимах

(4.3)

Статические модели используют, как правило, при проектной оптимизации объекта.

Обычно динамическая модель задается в виде дифференциальных уравнений, а статическая - в виде алгебраических или трансцендентных.

Модели, у которых существует жесткая связь между переменными, называют детерминированными . Такие модели не содержат случайных факторов и значения выходных переменных однозначно определяются значениями входных переменных.

Стохастическая (вероятностная) модель отражает воздействие случайных факторов. Поэтому между входными и выходными переменными существует не функциональная зависимость (детерминированная модель), а вероятностная. Обычно переменные состояния объекта оцениваются в терминах математического ожидания, а входные воздействия - вероятностными законами распределения.

Непрерывная модель описывает непрерывные изменения переменных объекта в течении определенного промежутка времени, например:

Дискретная модель описывает зависимость между переменными объекта в дискретные моменты времени, например: где - начало j-ой стадии моделирования объекта; - ее конец, т.е. состояние объекта в момент времени определяется по известному его состоянию в момент при условии, что известны и остаются постоянными.

У линейной модели существует пропорциональная связь между входными и выходными переменными. Модели, не удовлетворяющие этому условию, являются нелинейными .

Динамическая модель, которая описывает изменение переменных объекта только во времени, называется динамической моделью с сосредоточенными параметрами (искомая величина зависит только от одной переменной).

Эти модели содержат одну или несколько производных от переменных состояния и представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения. Их можно записать в виде:

Полная математическая модель наряду с дифференциальным уравнением (1.4) при решении практических задач содержит также некоторые дополнительные условия (например, значения искомых переменных y ) в начальный момент времени t0 , называемыми начальными условиями :

Во многих практических задачах искомая величина зависит от нескольких переменных. В этом случае математическая модель содержит частные производные и называется моделью с распределенными параметрами .

Если одной из независимых переменных является время t, то такая модель дает описание динамики процесса как во времени, так и в пространстве. Полная математическая модель содержит дифференциальное уравнение в частных производных, начальные условия и граничные условия если математическая модель определена в ограниченном пространстве. Примером такой модели может служить модель теплопроводности или диффузии (параболическое уравнение):

, (4.5)

где y - параметр состояния (температура или концентрация); t - время; x - пространственная координата (толщина материала); a - константа, при заданных начальных и граничных условиях.

В настоящее время трудно назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы модели и методы моделирования. Особенно это относится к сфере управления различными системами, где основными являются процессы принятия решений на основе получаемой информации.

Идея представления объекта или системы при помощи модели носит столь общий характер, что дать полную классификацию всех функций модели затруднительно. Можно привести, по крайней мере, следующие основания области применения моделей в инженерной практике:

Управление сложными объектами и системами (техническими, экономическими, социальными и т.д.);

Проектирование технических объектов и систем;

Прогнозирование и диагностика с использованием модели объекта;

Создание средств обучения и тренажа;

Постановка численных экспериментов на имитационной модели объекта.

Математическое моделирование является составной частью всех технических и естественно - научных дисциплин. Действительно, основная задача техники заключается в том, чтобы, используя математическую модель, найти хорошее проектно-конструкторское решение, оптимальное управление объектами, наилучшее распределение ресурсов, оптимальный план производства и т.д.

Математические модели являются также мощным инструментальным средством решения задач имитационного моделирования и предсказания (прогнозирования) поведения моделируемых объектов при различных ситуациях, которые часто возникают не только в технике, но и в экономике, экологии, биологии и других областях знания. Модели широко применяются в качестве средств профессиональной подготовки и обучения лиц, которые должны уметь справляться с всевозможными случайностями до возникновения реальной критической ситуации. Широко известны такие применения моделей, как натурные макеты или модели космических летательных аппаратов, используемые для тренировки космонавтов, тренажеры для обучения водителей, деловые игры для обучения персонала, принимающего решения.

Применение моделей позволяет проводить контролируемые эксперименты в ситуациях, когда экспериментирование на реальных объектах практически невозможно или экономически нецелесообразно. При экспериментировании с моделью сложной системы мы часто можем узнать больше о ее внутренних взаимодействующих факторах, чем могли бы узнать, проведя эксперименты с реальной системой. Это становится возможным благодаря наблюдаемости переменных структурных элементов модели, благодаря тому, что мы можем контролировать ее поведение при различных внешних воздействиях, легко изменять ее параметры.

Резюмируя изложенное выше, отметим, что модель может служить для достижения одной из двух основных целей: либо описательной, если модель служит для объяснения и (или) лучшего понимания объекта, либо предписывающей, когда модель позволяет предсказать и (или) воспроизвести характеристики объекта, определяющие его поведение.

Система может быть дискретной или непрерывной по входам, по выходам и по времени в зависимости от того, дискретными или непрерывными являются множества U, Y, Т соответственно. Под дискретным понимается конечное или счетное множество. Под непрерывным будем понимать множество объектов, для которого адекватной моделью служит отрезок, луч или прямая линия, т.е. связное числовое множество. Если система имеет несколько входов и выходов, то это значит, что соответствующие множества U, Т лежат в многомерных пространствах, т.е. непрерывность и дискретность понимаются покомпонентно.

Удобство числового множества как модели реальных совокупностей объектов состоит в том, что на нем естественным образом определяются несколько отношений, формализующих реально встречающиеся отношения между реальными объектами. Например, отношения близости, сходимости формализуют понятия похожести, сходства объектов и могут быть заданы посредством функции расстояния (метрики) d(x, у) (например, d(x, у) = |х - у |). Числовые множества являются упорядоченными: отношение порядка следования (х ≤ у ) формализует предпочтение одного объекта другому. Наконец, над элементами числовых множеств определены соответствующие операции, например, линейные: х + у , х*у . Если для реальных объектов на входе и выходе также имеют смысл аналогичные операции, то естественным образом возникают требования к моделям (1) – (3): быть согласованными с этими операциями, сохранять их результаты. Таким образом, приходим, например, к линейным моделям: y = au + b , dy/dt = ay + bu и т.д., являющихся простейшими моделями многих процессов.

Как правило, дискретность множества U влечет за собой дискретность Y . Кроме того, для статических систем исчезает различие между непрерывным и дискретным временем. Поэтому классификация детерминированных систем по признакам «статические-динамические», «дискретные-непрерывные» включает шесть основных групп, представленных в таблице 2 , где для каждой группы указан математический аппарат описания систем, методы численного анализа и оценки их параметров, методы синтеза (оптимизации), а также типичные области применения.

Таблица 2

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ

Типы систем	Статические	Динамические
Дискретные по U.Y	Непрерывные по U.Y	Дискретные по Т	Непрерывные по Т
Дискретные по U, Y	Непрерывные по U,Y	Дискретные по U,Y	Непрерывные по U, Y
Математический аппарат описания	Графы, таблицы соответствий, булева алгебра	Функции вещественных переменных	Конечные автоматы	Разностные уравнения	Асинхронные автоматы, сети Петри, модели теории расписаний	Обыкновенные дифференциальные уравнения
Методы оценки параметров и анализа	Методы математической логики	Методы интерполяции и аппроксимации	Теория конечных автоматов	Идентификация, теория устойчивости	Методы идентификации	Идентификация, численное интегрирование ОДУ
Методы синтеза	Дискретное программирование, метод Куайна, карты Карно	Методы оптимизации (линейное и нелинейное программирование)	Динамическое программирование, методы синтеза микропрограммных автоматов	Динамическое программирование, дискретный принцип максимума	Динамическое программирование, теория расписаний	Теория управления, методы оптимизации
Области применения	Качественные модели исследования операций	Количественные модели исследования операций	Цифровые САУ, ГАП, логическое управление	Импульсные и цифровые САУ	Параллельные процессы в ЭВМ и ГАП	САУ, механические, тепловые, электронные и др. процессы

Примечание: U - множество входов, Y - множество выходов системы

Модели состояния динамических систем

Модели общего вида

Важнейшую роль при описании динамических систем играет понятие состояния. Состояние - это совокупность величин (вектор) , которые определяют (вместе с входным воздействием) будущее поведение системы.

В общем случае уравнения состояния – это системы дифференциальных или разностных уравнений первого порядка вместе с уравнениями для выходных величин. Начальное состояние представляет, «память» системы о прошлом. Модель состояния непрерывной динамической системы записывается в виде

(4)

(5)

где u 1 , …, u m - входные переменные, y 1 , …, y l - выходные переменные, x 1 , …, x n -переменные состояния. Вводя векторные обозначения, можно записать (5) в более компактном виде:

(6)

где , , .

Для моделей состояния справедлив следующий факт: любая нелинейная динамическая система может быть представлена как соединение линейных динамических и нелинейных статических звеньев.

Еще более общей формой описания динамических систем являются сингулярные дифференциальные (алгебро-дифференциальные) системы

(7)

частным случаем которых являются неявные системы

(8)

Линейные модели

Часто вместо (5) используют упрощенные ММ, основанные на том, что процессы в системе протекают, мало отклоняясь от некоторой так называемой опорной траектории удовлетворяющей уравнениям

Тогда можно записать приближенную линеаризованную модель в отклонениях от этого режима:

(10)

Если расчетный режим является установившимся, т.е. не зависит от времени, то коэффициенты в (10) также не зависят от времени: A(t)=A , B(t)=B и т.д. Такие системы называются стационарными. Особенно часто на практике встречаются стационарные линейные непрерывные системы, описываемые более простыми уравнениями

, у = Сх . (11)

Матрицы А, В, С являются параметрами модели (11).

Если линеаризация приводит к большим погрешностям, то стараются, по возможности, выбрать ММ линейную по параметрам:

где А - матрица параметров порядка n × N , - нелинейная функция. К этому классу относятся, в частности, билинейные объекты.

Сказанное выше относится и к уравнениям дискретных по времени систем. Уравнения дискретной системы в общем случае имеют вид

, . (12)

Дискретным аналогом уравнений линейной стационарной системы (20) являются уравнения:

(13)

Наряду с уравнениями состояния широкое применение находят также модели в переменных «вход-выход» и модели, описываемые передаточными функциями. Для непрерывного времени уравнение «вход-выход» имеет вид

A(p)y(t)=B(p)u(t), (14)

где р = d/dt - символ дифференцирования по времени, , , причем в (14) всегда m < n . Дробно-рациональная функция называется передаточной функцией системы (14), а полином А(λ) - ее характеристическим полиномом . Если уравнение (14) получено из (11), то

(15)

Они справедливы и в случае, когда вход и выход системы (11) являются векторами, при этом - матрица. Пользуясь (15), можно показать, что замена переменных состояния в (11) по формуле , где Т - неособая n×n матрица (det T = 0), не приводит к изменению передаточной функции (15). Это значит, что обратный переход от описания «вход-выход» к уравнениям состояния (11) неоднозначен: при сохранении передаточной функции базис в пространстве состояний можно выбирать по-разному. На практике применяются несколько типовых способов перехода от передаточной функции к уравнениям состояния. Эти способы соответствуют так называемым каноническим представлениям системы. Опишем один из них, приводящий к управляемому каноническому представлению . Вместо (13) вводятся два уравнения.

Создание некоторой универсальной модели, отвечающей различным аспектам ее применения, практически невозможно. Для получения информации, отражающей те или иные свойства управляемого объекта, необходима классификация моделей. В основе классификации лежат особенности оператора φ. Все многообразие объектов управления, исходя из временного и пространственного признаков, можно разделить на следующие классы: статические или динамические; линейные или нелинейные; непрерывные или дискретные во времени; стационарные или нестационарные; процессы, в ходе которых их параметры изменяются в пространстве, и процессы без пространственного изменения параметров. Так как математические моделии являются отражением соответствующих объектов, то для них характерны те же классы. Полное наименование модели может включать в себя совокупность перечисленных признаков. Эти признаки послужили основой названия соответствующих типов моделей.

В зависимости от характера изучаемых процессов в системе все модели могут быть разделены на следующие виды:

Детерминированные модели – отображают детерминированные процессы, то есть процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий.

Стохастические модели – отображают вероятностные процессы и события; в этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса, и оцениваются средние характеристики.

Стационарные и нестационарные модели. Модель называется стационарной, если вид оператора φ и его параметры p не изменяются во времени, то есть, когда справедливо

φ= φ, т.е. y= φ(p,x).

Если же параметры модели изменяются во времени, то модель является

параметрически нестационарной

Самый общий вид нестационарности – когда от времени зависит и вид функции. Тогда в запись функции добавляется еще один аргумент

Статические и динамические модели. В основе такого разделения типов моделей лежат особенности движения исследуемого объекта как материальной системы.

Говоря о моделях с позиций задач управления, надо отметить, что под пространством здесь понимается не геометрическое пространство, а пространство состояний – координат состояний выходных переменных у . Элементами вектора y являются обычно контролируемые технологические параметры (расход, давление, температура, влажность, вязкость и т.д.). Состав элементов вектораy для самого объекта может быть шире, чем для модели этого объекта, так как при моделировании требуется изучение только части свойств реальной системы. Движение объекта управления в пространстве состояний и во времени оценивается с помощью векторного процесса y(t).

Модель системы называется статической , если состояние системы не изменяется, то есть система находится в равновесии, но движение связано со статичным состоянием объекта, находящегося в равновесии. Математическое описание в статических моделях не включает время как переменную и состоит из алгебраических уравнений либо дифференциальных уравнений в случае объектов с распределенными параметрами. Статические модели обычно являются нелинейными. Они точно отражают состояние равновесия, вызванное переходом объекта от одного режима к другому.

Динамическая модель отражает изменение состояния объекта во времени. Математическое описание таких моделей обязательно включает производную во времени. Динамические модели используют дифференциальные уравнения. Точные решения этих уравненийизвестны только для некоторого класса дифференциальных уравнений. Чаще приходится прибегать к использованию численных методов, являющихся приближенными.

Для целей управления динамическую модель представляют в виде передаточной функции, связывающей входные и выходные переменные.

Линейные и нелинейные модели. Математически функция L(x) – линейна, если

L(λ 1 x 1 +λ 2 x 2)=λ 1 L(x 1)+λ 2 L(x 2).

Аналогично и для функций многих переменных. Линейной функции присуще использование только операций алгебраического сложения и умножения переменной на постоянный коэффициент. Если в выражении для оператора моделиесть нелинейные операции, то модель является нелинейной , в противном случае модель – линейна .

Модели с сосредоточенными и распределенными параметрами. Следует отметить, что с учетом введенной терминологии было бы корректнее в названии модели вместо слова «параметры» употреблять понятие «координата состояния». Однако это сложившееся название, которое часто встречается во всех работах по моделированию технологических процессов.

Если основные переменные процесса изменяются как во времени, так и в пространстве (или только в пространстве), то модели, описывающие такие процессы, называются моделями с распределенными параметрами. В этом случае вводится геометрическое пространство z=(z 1 ,z 2 ,z 3 ) и уравнения имеют вид:

y(z)=φ, p(z)=ψ.

Их математическое описание включает обычно дифференциальные уравнения в частных производных, либо обыкновенные дифференциальные уравнения в случае стационарных процессов с одной пространственной координатой.

Если можно пренебречь пространственной неравномерность значений координат состояний объекта, т.е. градиент , то соответствующая модель – модель с сосредоточенными параметрами. Для них масса и энергия как бы сосредоточены в одной точке.

Трехмерность пространства не всегда обязательна. Например, модель змеевика с нагреваемым рабочим телом и с тонкостенной оболочкой обычно исходит из одномерности объекта – учитывается только длина змеевика. В то же время процесс передачи тепла в ограниченный объем рабочего тела через толстую стенку может быть описан одномерной моделью, учитывающей только толщину оболочки и т.п. Для конкретных объектов форма соответствующих уравнений требует обоснований.

Модели непрерывные и дискретные во времени. Непрерывные модели отражают непрерывные процессы в системах. Модели, описывающие состояние объектов относительно времени как непрерывного аргумента – непрерывные (по времени):

y(t)=φ, p(t)=ψ.

Дискретные модели служат для описания процессов, которые предполагаются дискретными. Дискретная модель не может дать прогноз поведения объекта на интервале между дискретными отсчетами времени. Если введем квантование по времени с шагом ∆t, то рассматривается дискретная шкала , где i=0,1,2…- приобретает смысл относительного времени. И дискретная модель:

y(i)=φ; p(i)=ψ.

При правильном выборе шага ∆t можно ожидать от дискретной модели результата с наперед заданной точностью. При изменении ∆t должны быть пересчитаны и коэффициенты разностного уравнения.

Дискретно-непрерывные модели используются для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.

Требования, предъявляемые к математическим моделям: точность – свойство, отражающее степень совпадения предсказанных с помощью модели значений параметров объекта с их истинными значениями; экономичность затрат машинного времени; универсальность – применимость к анализу группы однотипных объектов.

ДИНАМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЕДПРИЯТИЯ

Динамическое моделирование предприятия представляет собой исследование предприятия как информационной системы с обратной связью; оно предусматривает применение моделей для проектирования усовершенствованных форм организации и улучшения общего руководства. Динамическое моделирование предприятия возникло на основе развития следующих четырех прогрессивных направлений: теории управления информационной системой с обратной связью, автоматизации выработки военно-тактических решений, экспериментального проектирования сложных систем с помощью моделирования и применения цифровых вычислительных машин для снижения стоимости вычислений. Своим появлением данная книга обязана этим направлениям, вместе взятым.

В данной книге рассматривается меняющееся во времени динамическое поведение промышленных организаций, то есть динамическое моделирование предприятий. Динамическое моделирование предприятия представляет собой изучение деятельности предприятия как информационной системы с обратной связью. Оно показывает, каким образом взаимодействуют организационная структура предприятия, влияние авторитета (в руководстве) и время запаздывания (в решениях и действиях) в обеспечении успеха предприятия. Обсуждается также взаимодействие потоков информации, денежных средств, заказов, товаров, рабочей силы и оборудования на предприятии, в отрасли промышленности или в народном хозяйстве.

С помощью динамического моделирования предприятия создается единая структурная схема, в которой интегрируются функциональные отрасли управления, а именно - производство, сбыт, бухгалтерский учет, исследования и технические усовершенствования, капиталовложения. Оно воплощает количественный и экспериментальный подход к решению задачи приведения организационной структуры и методов руководства предприятием в соответствии с требованиями промышленного развития и устойчивости. Динамическое моделирование, кроме того, должно стать основой для проектирования более эффективных промышленных и экономических систем. Динамически-моделирующий подход к проектированию предприятия включает несколько этапов:

Определение проблемы.

Обособление факторов, которые, по-видимому, взаимодействуют при возникновении наблюдаемых симптомов.

Выявление причинно-следственной цепи в потоке информации с обратной связью, который соединяет решения и действия с результирующими изменениями в информации и с дальнейшими новыми решениями.

Формулировка приемлемых общих правил, объясняющих, каким образом на основе имеющихся потоков информации возникают те или иные решения.

Построение математической модели, включающей правила принятия решений, источники информации и взаимодействие компонентов системы.

Приведение в действие системы, описываемой моделью (обычно с помощью цифровой вычислительной машины для выполнения трудоемких расчетов).

Сравнение полученных результатов со всеми имеющимися сведениями о реальной системе.

Корректировка модели с тем, чтобы сделать ее достаточно адекватной реальной системе.

Перестройка в рамках модели организационных взаимоотношений и правил принятия решений, которые можно было бы изменить в реальной системе, чтобы проверить, насколько подобные изменения могут улучшить поведение системы.

Совершенствование реальной системы в направлениях, которые по результатам экспериментирования на модели обеспечат улучшение функционирования системы.

Описанный порядок действий основан на следующих положениях:

Решения по вопросам управления и экономики входят в рамки системы, называемой обычно информационной системой с обратной связью.

Наши интуитивные суждения о предстоящих со временем изменениях системы ненадежны, даже если они основаны на достаточно полном знакомстве с отдельными частями системы.

Эксперименты, проведенные на модели, дают возможность восполнить пробел в той области, где наши суждения и знания всего слабее, а именно - в определении способов возможного взаимодействия известных частей системы, которые могут вызвать неожиданные и нежелательные общие нарушения конечных результатов ее деятельности.

Для экспериментального моделирующего подхода имеется, как правило, достаточная информация, и нет надобности в крупных затратах или задержках для дальнейшего накопления сведений.

- «Механистическое» представление о принятии решений, получаемое при экспериментировании на моделях, все же достаточно правильно отражает основную структуру регулирующих правил и потоков решений в моделируемой организации.

Внутренняя структура управления предприятиями является источником многих нарушений (неполадок), которые часто приписываются внешним, независимым причинам.

Изменения в правилах руководства и организационной структуре, как правило, приводят к существенному улучшению промышленной и экономической деятельности. Нередко работа системы настолько ниже возможностей, что изменение первоначальной структуры ведет к улучшению всех существенных элементов системы без обычного компромисса, когда выигрыш на одном участке сопровождается потерями на другом.

Почему эти положения являются в настоящее время надежной основой для лучшего понимания поведения промышленных систем?

Дело в том, что обсуждаемый здесь подход был бы совершенно нереальным десять лет назад, хотя потребность в более глубоком изучении проблем управления и экономики существует уже давно. Лишь в последнее время заложен фундамент для адекватного подхода к решению этих проблем.

Четыре краеугольных камня, на которых основывается методология динамического моделирования социальных систем, были созданы в США после 1940 г. и явились результатом научных исследований в области военных систем. Это:

Теория управления информационной системой с обратной связью;

Исследование процессов принятия решений;

Экспериментальное моделирование сложных систем;

Цифровая вычислительная машина как средство имитации реальных процессов на их математических моделях.

Ниже будет рассмотрен каждый из названных факторов в отдельности.

Из книги Время - деньги. Создание команды разработчиков программного обеспечения автора Салливан Эд

Глава 9 Исследования, оценка технологий и моделирование В начале любого напряжённого проекта велико искушение принять решения о применении новых технологий, компонентов и платформ лишь на основе общих допущений. Производительность, масштабируемость и даже среду

Из книги Инвестиционные проекты: от моделирования до реализации автора Волков Алексей Сергеевич

Моделирование В начале работы над проектом почти всегда возникает ряд важных вопросов, связанных с реализацией той или иной технологии. Моделирование - важная методика, которая поможет получить необходимые ответы.О чём пойдёт речьСоздание прототипа - важный этап,

Из книги Практика и проблематика моделирования бизнес-процессов автора Всяких Е И

2.5. Моделирование рисков Определение, расчет и анализ факторов риска – одна из главных частей инвестиционного проектирования. Созданный проект является, в сущности, прогнозом, который показывает, что при определенных значениях исходных данных могут быть получены

Из книги Основы кибернетики предприятия автора Форрестер Джей

Глава 8 Моделирование бизнес-процессов в среде ARIS – иллюстрация частных решений и подходов В настоящее время существует достаточно большое количество печатных и электронных изданий, в которых с различным уровнем детализации описаны возможности среды ARIS.В данной главе

Из книги Разумное распределение активов. Как построить портфель с максимальной доходностью и минимальным риском автора Бернстайн Уильям

Глава 17 ДИНАМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПОДГОТОВКА РУКОВОДЯЩИХ КАДРОВ При динамическом моделировании предприятие рассматривается как сложная система. Само по себе моделирование дает ту научную Основу, вокруг которой группируются объекты управления. В математических

Из книги Экономическая теория: учебник автора Маховикова Галина Афанасьевна

Глава 18 ДИНАМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И КАДРЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЕЙ Изучение динамики предприятия следует начинать как долгосрочную программу, когда деятельность фирмы еще незначительна по размаху, дабы избежать давления с целью получения немедленных результатов. Решающее

Из книги Экономический анализ. Шпаргалки автора Ольшевская Наталья

Динамическое распределение активов Динамическое распределение активов относится к возможности варьирования вашей стратегии распределения из-за изменяющихся условий рынка. Почему, уделив так много места в этой книге попыткам убедить вас в достоинствах фиксированного

Из книги Как работать где хочешь, сколько хочешь и получать стабильный доход автора Фокс Скотт

17.3. Экономический рост и динамическое равновесие в экономике 17.3.1. Неустойчивость динамического равновесия в экономике и инструмент его теоретического анализа Под экономическим ростом понимается увеличение реального объема национального производства в долгосрочном

Из книги Стратегии развития научно-производственных предприятий аэрокосмического комплекса. Инновационный путь автора Баранов Вячеслав Викторович

Занятие 14 Экономический рост и динамическое равновесие в экономике Семинар Учебная лаборатория: обсуждаем, отвечаем, дискутируем… Обсуждаем1. Понятие, цели и факторы экономического роста.2. Динамическое равновесие и его значение для теоретического анализа

Из книги Практика управления человеческими ресурсами автора Армстронг Майкл

68. Моделирование Признанной группой расчетных методов является моделирование. В общем случае модель – это допустимо упрощенный аналог реальной или предполагаемой к созданию системы, используемой в процессе исследования. При проведении анализа используются два класса

Из книги Территориальные кластеры. Семь инструментов управления автора Тарасенко Владислав

Из книги Основы менеджмента автора Мескон Майкл

6.2. Экономико-математическое моделирование процессов увеличения потенциала научно-производственного предприятия на основе обновления производства Обновление производства предполагает использование научно-производственным предприятием совокупности

Из книги автора

Моделирование Моделирование – это метод обучения, сочетающий в себе анализ конкретных ситуаций с ролевыми играми и позволяющий максимально приблизиться к реальности в условиях учебной аудитории. Цель метода заключается в том, чтобы способствовать переносу знаний,

Из книги автора

МОДЕЛИРОВАНИЕ КОМПЕТЕНЦИЙ Моделирование компетенций сводит данные по организационному проектированию и управлению показателями труда, чтобы установить, какие навыки или компетенции требуются для выполнения определенных работ. Оно способствует принятию решений по

Из книги автора

Глава 2 Инструмент: бизнес-моделирование цепочки ценности кластера Краткое описание Цепочка ценности кластера описывает последовательность видов деятельности и функциональную взаимосвязь его предприятий.Моделируя, с одной стороны, очередность выполнения функций

Из книги автора

Моделирование Большинство современных моделей науки управления настолько сложны, что применять их можно только с помощью компьютерной техники. Однако сама концепция модели очень проста. По определению Р. Шеннона «Модель – это представление объекта, системы или идеи в