Ток самоиндукции при размыкании цепи. Ток при замыкании и размыкании цепи
Опр. Индукционные токи, возникающие в массивных проводинах при их движении в магнитном поле или под влиянием переменного магнитного поля, называются вихревыми токами или токами Фуко.
Сила вихревого тока удовлетворяет соотношению , где потокосцепление замкнутого контура вихревого тока. электрическое сопротивление цепи этого тока. Сопротивление тем меньше, чем больше удельная проводимость материала проводника и чем больше его размеры. В массивных проводниках мало и вихревые токи могут достигать большой силы даже в не очень быстро меняющихся магнитных полях.
В соответствии с правилом Ленца токи Фуко выбирают внутри проводника такие пути и направления, чтобы своим действием возможно сильнее противиться причине, которая их вызывает.
Вихревые токи вызывают сильное нагревание проводников. Поэтому в индукционных печах, служащих для плавки металлов при помощи вихревых токов, магнитное поле создается переменным током высокой частоты. Печь - катушка, питаемая высокочастотным током большой силы. Если поместить внутрь катушки проводящее тело, то в нем возникнут интенсивные вихревые токи, кот могут разогреть тело до плавления. Таким способом осуществляют плавление металла в вакууме, что позволяет получать материалы исключительно высокой частоты.
В электрических машинах и трансформаторах вихревые токи приводят к значительным потерям энергии. Ввиду этого магнитные цепи электрических машин и сердечники трансформаторов делают не сплошными, а собирают из отдельных тонких листов железа, изолированных друг от друга специальным лаком или окалиной. Вихревые токи образуются в плоскостях, перпендикулярных линиям магнитной индукции (тока «охватывают» линии индукции). Поэтому плоскости пластин, из которых собирают магнитные цепи, следует располагать параллельно линиям магнитной индукции.
Токи Фуко используются в индукционных печах, при вакуумной плавке, для получения тепла в различных нагревательных устройствах.
На заводе Электросталь есть вакуумные индукционные печи (от 30 кг до тонны), в институте 150 кг
Токи Фуко, возникающие в проводах, по которым текут переменные токи, направлены так, что ослабляют ток внутри провода и усиливают вблизи поверхности. При прохождении по проводнику быстропеременных токов они вытесняются на поверхность проводника, а внутри проводника ток практически отсутствует. Это явление называют скин-эффектом (от английскогоskin-кожа) или поверхностным эффектом . В таких случаях проводники можно делать полыми. Этот эффект можно использовать для термической закалки проводников и отжига поверхностных дефектов.
2. Явление самоиндукции . При изменении магнитного поля тока, идущего по проводнику, э.д.с. индукции возникает не только в соседних проводниках, но и в нем самом, поскольку этот проводник находится в том же магнитном поле. Возникновение э.д.с. в каком – либо проводнике при изменении силы тока в нем же самом наз. самоиндукцией , а ток, индуцируемый в этом проводнике – током самоиндукции . Вследствие самоиндукции при замыкании цепи сила тока не сразу достигает своего установившегося значения, а через некоторый промежуток времени; при размыкании цепи э.д.с. исчезает не сразу, вследствие чего в месте размыкания появляется искра, а если есть другой замкнутый контур, то в нем продолжает идти слабый ток.
Магнитный поток, создаваемый током в контуре с индуктивностью : . Индуктивность зависит от геометрических свойств (формы и размеров) контура и магнитных свойств (магнитной проницаемости) окружающей среды. Единицы индуктивности: генри .
1Гн – индуктивность такого контура, магнитный поток самоиндукции которого при токе в 1А равен 1Вб. 1Гн=1Вб/А=1В*с/А.
Потокосцепление пропорционально силе тока, протекающего по контуру: .Линейная зависимость от наблюдается только в том случае, если среды, которой окружен контур, не зависит от напряженности поля , т.е. в отсутствие ферромагнетиков. Иначе зависит от и зависимостьот будет сложной. В этом случае , но индуктивность считается функцией от .
Электродвижущая сила самоиндукции . в замкнутом контуре (контур не деформируется и не меняется) при изменении силы тока в нем, пропорциональна скорости изменения силы тока со временем: , где индуктивность (коэффициент самоиндукции) контура. Знак минус показывает, что наличие индуктивности в контуре приводи к замедлению тока в нем.
Индуктивность соленоида (тороида) , где число витков контура, длина, объем.
Индуктивность бесконечно длинного соленоида : при протекании по соленоиду тока внутри соленоида возбуждается однородное поле, индукция которого . Поток через каждый из витков равен , а полный магнитный поток, сцепленный с соленоидом , где длина соленоида, которая предполагается очень большой, площадь поперечного сечения, число витков на единицу длины, - полное число витков. Т.к. или , где объем соленоида. В общем случае индуктивность контура зависит только от геометрической формы контура, его размеров и . Магнитная проницаемость соленоида (тороида) зависит от . Во всех случаях вычисления индуктивности соленоида (тороида) с сердечником для определения магнитной проницаемости следует пользоваться графиком зависимости от , а затем формулой . Индуктивность – аналог электрической емкости уединенного проводника.
При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи (направлены противоположно току, создаваемому источником). При выключении источника тока экстратоки имеют то же направление, сто и ослабевающий ток – наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока цепи.
Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением и индуктивностью
· после замыкания цепи: , где э.д.с. источника тока, время, прошедшее после замыкания цепи. Величина постоянная, называемая временем релаксации.
· после размыкания цепи:, где значение силы тока в цепи при , время, прошедшее с момента размыкания цепи.
3. Взаимная индукция. Изменение магнитного потока может достигаться также изменением тока в соседнем контуре (явление взаимной индукции ). Возьмем два контура 1 и 2, расположенные близко друг к другу. Если в контуре 1 течет ток силой , он создает через контур 2 пропорциональный полный магнитный поток . При изменении тока в контуре 2 индуцируется э.д.с. , где индуктивность (коэффициент самоиндукции) контура. Аналогично, при протекании в контуре 2 тока силы возникает сцепленный с контуром 1 поток и . Контуры 1 и 2 наз. связанными . В отсутствии ферромагнетиков . Их величина зависит от формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости окружающей среды.
По правилу Ленца дополнительные токи, возникающие вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы противодействовать изменениям тока в цепи. Это приводит к тому, что установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно.
Найдем сначала характер изменения тока при размыкании цепи. Пусть в цепь с не зависящей от I индуктивностью L и сопротивлением R включен источник тока э. д. с. е (рис. 10). В цепи будет течь постоянный ток
(сопротивление источника тока считаем пренебрежимо малым). В момент времени t=0 отключим источник тока, замкнув одновременно цепь накоротко переключателем П . Как только сила тока в цепи начнет убывать, возникнет э.д.с. самоиндукции, противодействующая этому убыванию.
Рисунок 8.1 - Электрическая цепь, которую размыкают
Сила тока в цепи будет удовлетворять уравнению
Уравнение (8.2) представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Разделив переменные, получим
(имея в виду дальнейшие преобразования, мы постоянную интегрирования написали в виде ln const). Потенцирование этого соотношения дает
Выражение (8.3) является общим решением уравнения (8.2). Значение const найдем из начальных условий. При t=0 сила тока имела значение (8.1). Следовательно, const=I 0 . Подставив это значение в (8.3), придем к выражению
Итак, после отключения источника э. д. с. сила тока в цепи не обращается мгновенно в нуль, а убывает по экспоненциальному закону (8.4). График убывания I дан на рис. 8.2 (кривая 1). Скорость убывания определяется имею щей размерность времени величиной которую называют постоянной времен и цепи. Заменив в (8.4) R/L через 1/ф, получим
Рисунок 8.2 - Зависимость убывания тока при замыкании - размыкании цепи.
В соответствии с этой формулой ф есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз. Из (8.5) видно, что чем больше индуктивность цепи L и меньше ее сопротивление R, тем больше постоянная времени ф и тем медленнее спадает ток в цепи.
Для упрощения расчетов мы считали, что цепь в момент отключения источника тока замыкается накоротко. Если просто разорвать цепь с большой индуктивностью, возникающее высокое индуцированное напряжение создает искру или дугу в месте разрыва.
Теперь рассмотрим случай замыкания цепи. После подключения источника э. д. с., до тех пор, пока сила тока не достигнет установившегося значения (8.1), в цепи кроме э. д. с. е будет действовать э. д. с. самоиндукции. Следовательно, в соответствии с законом Ома.
Мы пришли к линейному неоднородному дифференциальному уравнению, которое отличается от уравнения (8.2) лишь тем, что в правой части вместо нуля в нем стоит постоянная величина е/L. Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение линейного неоднородного уравнения можно получить, прибавив любое его частное решение к общему решению соответствующего однородного уравнения. Общее решение однородного уравнения имеет вид (8.3). Легко убедиться в том, что I=е/R= I 0 является частным решением уравнения (8.8).
Следовательно, общим решением уравнения (8.8) будет функция
Эта функция описывает нарастание тока в цепи после подключения к ней источника э. д. с. График функции (8.9) дан на рис. 8.2 (кривая 2).
При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т. е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.
Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. ξ, резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L. Под действием внешней э.д.с. в цепи течет постоянный ток
I 0 =ξ/R
(внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).
В момент времени t= 0 отключим источник тока. Ток через катушку индуктивности L начнет уменьшаться, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции ξ s =-LdI/dt, препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома I=ξ s /R, или
IR=-LdI/dt. (127.1)
Разделив в выражении (127.1) переменные, получим dI/I =-(R/L)dt. Интегрируя
это уравнение по I (от I 0 до I) и t (от 0 до t), находим ln(I/I 0)=-Rt/L, или
где t=L/R - постоянная, называемая временем релаксации. Из (127.2) следует, что т есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.
Таким образом, в процессе отключения источника э.д.с. сила тока убывает по экспоненциальному закону (127.2) и определяется кривой 1 на рис. 183. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше т и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.
При замыкании цепи помимо внешней э.д.с.ξ возникает э.д.с. самоиндукции
ξ s =-LdI/dt, препятствующая, согласно
правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, IR=ξ+ξ s , или
IR =ξ-LdI/dt .
Введя новую переменную u=IR-ξ, преобразуем это уравнение к виду du/u=-dt/t,
где 1 - время релаксации.
В момент замыкания (t=0) сила тока I =0 и u=-ξ. Следовательно, интегрируя по и (от -ξ до IR - ξ) и t (от 0 до t).
находим ln(IR -ξ)/-ξ=-t/t, или
где I 0 =ξ/R - установившийся ток (при t®¥)
Таким образом, в процессе включения источника э.д.с. нарастание силы тока в цепи задается функцией (127.3) и определяется кривой 2 на рис. 183. Сила тока возрастает от начального значения I =0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I 0 =ξ/R. Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации t=L/R, что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление.
Оценим значение э.д.с. самоиндукции ξ s , возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от R 0 До R. Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток I 0 =ξ/R 0 . При размыкании цепи ток изменяется по формуле (127.2). Подставив в нее выражение для I 0 и t, получим
Э.д.с. самоиндукции
т. е. при значительном увеличении сопротивления цепи (R/R 0 >> 1) обладающей большой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз превышать э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учитывать, что контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать, так как это (возникновение значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции не достигнет больших значений.
Токи при размыкании и замыкании цепи
При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э. д. с. самоиндукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, все гда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т. е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.
Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. x, резистор сопротивлением Rи катушку индуктивностью L. Под действием внешней э. д. с. в цепи течет постоянный ток
(внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).
В момент времени t = 0 отключим источник тока. Ток в катушке индуктивностью L начнет уменьшаться, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома I = x S /R, или
(127.1)
Разделив в выражении (127.1) переменные, получим . Интегрируя это уравнение по I (от I 0 до I) и t(от 0 до f), находим In (I/I 0) = -Rt/L, или
(127.2)
где t = L/R- постоянная, называемая временем релаксации. Из (127.2) следует, что т есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.
Таким образом, в процессе отключения источника тока сила тока убывает по экспоненциальному закону (127.2) и определяется кривой 1на рис. 183. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше t и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.
При замыкании цепи помимо внешней э. д. с. x возникает э. д. с. самоиндукции препятствующая, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, IR = x + x S или
Введя новую переменную u = IR - x , преобразуем это уравнение к виду
где t - время релаксации.
В момент замыкания (t = 0)сила тока I = 0 и u = -ℰ . Следовательно, интегрируя по u(от - ℰ до IR - ℰ) и t(от 0 до t), находим In [(IR - ℰ)]/ -ℰ = -t/t, или
(127.3)
где I 0 = ℰ/R - установившийся ток (при t ® ¥).
Таким образом, в процессе включения источника тока нарастание силы тока в цепи задается функцией (127.3) и определяется кривой 2 на рис. 183. Сила тока возрастает от начального значения I = 0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I 0 = ℰ / R. Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации t = L/R, что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление.
Оценим значение э.д.с. самоиндукции ℰ S , возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от R 0 до R. Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток I 0 = ℰ/R 0 . При размыкании цепи ток изменяется по формуле (1272). Подставив в нее выражение для I 0 и т, получим
Токи при размыкании и замыкании цепи
Экстратоки размыкания
Токи при размыкании и замыкании цепи
Экстратоками самоиндукции
При любом изменении силы тока в проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, после чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, по правилу Ленца, всегда имеют такое направление, чтобы оказывать сопротивление изменениям тока в цепи, т. е. имеет направление, противоположное току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки так же направлены, как и ослабевающий ток. Значит, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.
Исследуем процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. ξ , катушку индуктивностью L и резистор сопротивлением R . Под действием внешней э. д. с. в цепи течет постоянный ток
(пренебрегаем внутренним сопротивлением источника тока).
В момент времени t=0 отключим источник тока. Ток в катушке индуктивностью L начнет убывать, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции ξs = -L(dI/dt) оказывающей препятствие, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи задается законом Ома I= ξs/R, или
Разделив в формуле (1) переменные, получим (dI/I) = -(R/L)dt . Интегрируя эту формулу по I (от I0 до I) и t (от 0 до t), найдем ln (I/I0) = –Rt/L, или
Где τ = L/R - постоянная, которая называется временем релаксации. Из (2) видно, что τ есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.
Значит, в процессе отключения источника тока сила тока уменьшается по экспоненциальному закону (2) и задается кривой 1 на рис. 1. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше τ и, значит, тем медленнее убывает ток в цепи при ее размыкании.
Рис.1
При замыкании цепи помимо внешней э. д. с. ξ возникает э. д. с. самоиндукции ξs = -L(dI/dt) оказывающая препятствие, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, IR = ξ+ξs или
Зададим переменную u = (IR - ξ) преобразуем эту формулу как
где τ - время релаксации.
В момент замыкания (t=0) сила тока I = 0 и u = –ξ . Значит, интегрируя по u и (от –ξ до IR–ξ) и t (от 0 до t), найдем ln[(IR–ξ)]/(–ξ) = -t/τ, или
Где I0=ξ/R - установившийся ток (при t→∞).
Значит, в процессе включения источника тока увеличение силы тока в цепи определяется функцией (3) и кривой 2 на рис. 1. Сила тока увеличивается от начального значения I=0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I0=ξ/R . При этом, скорость нарастания тока задается тем же временем релаксации τ = L/R, что и убывание тока. Установление тока осуществляется тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и чем больше ее сопротивление.
Оценим значение э.д.с. самоиндукции ξs , которая возникает при мгновенном нарастании сопротивления цепи постоянного тока от R0 до R. Допустим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток I0=ξ/R . При размыкании цепи ток будет менеться по формуле (2). Подставив в нее формулу для I0 и τ, найдем
Э.д.с. самоиндукции
Т. е. при значительном возрастании сопротивления цепи (R/R0>>1), которая обладает большой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз быть больше э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Значит, необходимо учитывать, что контур, который содержит индуктивность, нельзя резко размыкать, так как при этом (возникновение значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и поломке измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции больших значений не достигнет.