Теоретический предел. Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений. Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Зарождение и создание теории действительного числа
3 Становление теории предела
Строгая математическое построение понятия вещественного числа стала возможной благодаря теории предела.
Человек, получивший современное математическое образование с трудом представляет себе дифференциальное и интегральное исчисление без аппарата теории предела. Однако, исторически производная появилась раньше предела. Причины такого явления в объясняются насущной потребностью естествознания в XVII веке методах дифференциального и интегрального исчисления.
В XVII идеи связанные с инфинитезимальными методами начали бурно развиваться. Здесь стоит отметить таких математиков как Декарт, Ферма, Паскаль, Торричелли, Кавальери, Роберваль, Барроу. Метод квадратур, разработанный в античности, нашел широкое применение и развитие. Исследовался вопрос касательных -- было дано определение, более общее чем античное, были построены методы отыскания касательных. Были сделаны попытки ввести производную. Было даже установлено, что задача о нахождении касательной обратна к задаче о квадратуре.
Несмотря на отсутствие строгости «...математики достигали все большего мастерства в обращении с понятиями, лежащими в основе исчисления бесконечно малых».
Методы бесконечно малых завоевывают популярность у математиков и все больше используются и совершенствуются. Интегральное и дифференциальное исчисление постепенно оформляется и обобщается трудами таких ученых как Ньютон(1643-1727) и Лейбниц(1646-1716). Так, Ньютон установил связь между производной и интегралом, предложил новый метод решения уравнений при помощи производной. Он разработал метод флюксий, который связал производную с мгновенной скоростью и ускорением. При помощи этого метода он разрабатывал интегральное и дифференциальное исчисление. Также Ньютон предложил алгоритм для нахождения производной функции, основанный на ранней форме теории пределов. Основой и мощным средством метода флюксий было разложение функций в ряды, правда без должного обоснования их сходимости.
Лейбницу мы обязаны большим количеством удобных и красивых обозначений в интегральном и дифференциальном исчислении. К своим результатам Лейбниц пришел независимо от Ньютона. Пользуясь знаниями из комбинаторики он разработал формальный метод вычисления интегралов. Лейбниц ввел понятие дифференциала определив его через касательные, нашел некоторые правила нахождения дифференциала сложной функции, а также ввёл дифференциалы высших порядков. Также Лейбницем были разработаны методы поиска точек экстремума и точек перегиба. Сильной стороной теории Лейбница, с точки зрения практических вычислений, была алгоритмичность и формальность.
И Ньютон, и Лейбниц решили множество практически важных задач, пользуюясь понятиями бесконечно малых величин, их точки зрения на производную и интеграл отличались друг от друга. Так Ньютон для решения дифференциальных задач использует метод флюксий, а Лейбниц дифференциалы. Ньютон рассматривает интегрирование как задачу обратную дифференцированию(в наших понятиях, отыскание первообразной), а Лейбниц рассматривает интеграл как сумму площадей бесконечно малых прямоугольников. Вполне естесственно, что две эти концепции были конкурирующими друг другу.
Ньютон и Лейбниц, используя в своих выкладках бесконечно малые, не могли объяснить их природу, потому что не представляли себе малой величины и конечной и отличной от 0. Оба ученные близко подошли к понятию предела, но «..узкая концепция числа, не допускавшая отождествления некоторых отношений с числами, была отчасти причиной того, что ни в ньютоновской, ни в лейбницевой теориях не могло "прорезаться" понятие предела». Математики пользовались интуитивными и геометрическими соображениями. Функции понимались как кривые, полученные некоторым движением(так же как их рассматривали древние греки). «Первые создатели анализа и их последователи принимали как нечто само собой разумеющееся справедливость двух основным представлений о пространстве и механическом движени». Вероятно по этой причине связь между непрерывность и дифференцируемость долгое время считались почти синонимами.
Однако метод бесконечно малых доказал свою плодотворность и нужность математике, от этого проблема фундамента для интегрального и дифференциального исчисления становилась еще более острой. Споры были не только среди математиков; жестким нападкам подвергалась вся математика, например, со стороны богослова Д. Беркли. Это состояние математики XVII-XVII получило название второго кризиса математики.
Вслед за Ньютоном и Лейбницем попытки определить понятие бесконечно малой предпринимались Эйлером, Даламбером и Лагранжем. Эти попытки нельзя назвать бесполезными, этими работами укрепилось в матетике понятие функций, что сыграло свою роль дальнейшие поиски теории предела. Однако построить связанную и логически обоснованую теорию не получилось.
Таким образом к XIX веку в математике сложилась парадоксальная ситуация. Налицо были несомненные успехи математических наук в естествознании, разработана методика обращения с рядами, дифференцирования и интегрирования, решены многие важные задачи, но понимния на чем основан математический анализ не было. Необходимость разобраться с фундаметом новой математики стала всеобщей и насущной.
Построением стройной и строгой теории бесконечно малых мы обязаны Огюстену Луи Коши(1789-1857). Следует признать, что Коши был не первым математиком, кто пришел к этой идее, но, исторически, его работы сыграли в развитии математического анализа ключевую роль. Коши дал общее определение предела в описательной форме: «Если значения, последовательно приписываемые одной и той же переменной, неограниченно приближаются к фиксированному значению, так что в конце концов отличаются от него сколь угодно мало, то последнее называют пределом всех остальных»Цитата взята из . С точки зрения этого определения стало понтным что такое бесконечно малая величина -- это всего лишь величина, имеющая предел равный 0, затем Коши определил понятие производной и показал связь этого определения с дифференциалами Лейбница. Также он построил первую строгую теорию интегрирования и доказал связь интегрирования и дифференцирования.
Переоценить вклад Коши в математику трудно. Его работами открывалась новая эпоха в математике, «...начинается так называемая "арифметизация" всей математики». Благодаря работам Коши математический анализ прочно и заслуженно занял в математике одно из главных мест. Методы Коши получили всеобщее распрастранение, применялись оттачивались весь XIX век. Идеи и методы Коши плодотворно пользуются и обобщаются современными математиками и сегодня.
Аксиоматический метод
Исторический процесс развития взглядов на существо математики как науки привел к формированию фундаментальной концепции аксиоматического метода и понятия аксиоматической теории. Суть их состоит в следующем...
Дифференциальные свойства гиперболических функций
Теорема 1. Если существуют причем для всех из некоторой проколотой окрестности точки выполняется условие, то в точке существует предел сложной функции и справедливо Согласно определению предела, функции и определены соответственно в и...
Жизнь и научная деятельность Андрея Николаевича Колмогорова
Когда в 1920 году Андрей Колмогоров стал думать о поступлении в институт, перед ним возник вечный вопрос: чему себя посвятить, какому делу? Время было голодное и тревожное. Юноше хотелось получить не только знания, но и профессию, ремесло...
Каждый человек ежедневно, не всегда осознавая это, решает проблему получения наибольшего эффекта, при затрате ограниченных средств. К сожалению, наши средства и ресурсы всегда ограничены, приходится действовать очень обдуманно, ответственно...
Математика в современном мире
Создание дедуктивного или аксиоматического метода построения науки является одним из величайших достижений математической мысли. Оно потребовало работы многих поколений ученых...
Математические методы и модели в решении задач по экономике
Найти решение игры заданной матрицей: Нижняя цена игры: Верхняя цена игры: Матрица игры имеет седловую точку V = 4. Из систем уравнений: Таким образом...
Понятие предела - фундаментальное понятие математического анализа. Геометрический смысл понятия предела: известно, что неравенство < е задает часть числовой оси, лежащую между точками a - е и a + е...
Предел последовательности. Теорема Штольца и ее применение
Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел. Доказательство. Пусть последовательность xn сходится. Предположим, что её предел не является единственным, то есть что одновременно верны равенства: xn = b иxn = c, где bc...
Предел последовательности. Теорема Штольца и ее применение
Предел последовательности. Теорема Штольца и ее применение
числовой последовательность предел штольц Пример 1. Доказать, что = . Решение. Рассмотрим последовательность an = -. Имеем an = =. Поскольку an = - бесконечно малая последовательность. Это означает, что = . Ответ: = . Пример 2. Вычислить предел. Решение...
Предел последовательности. Теорема Штольца и ее применение
Нам знакомы приложения теории пределов в геометрии. Например, площадь круга, объем цилиндра, конуса и шара были определены, а затем и вычислены как соответствующие пределы. Укажем другой способ использования понятия предела в решении задач...
Применение методов дискретной математики в экономике
Различные определения интеграла Римана и их сравнения
Разбиением множества Mпринято называть совокупность его подмножествсо свойствами: 1) ; 2) . В дальнейшем роль множества Mу нас будет играть промежуток, а разбиения мы будем рассматривать только некоторого специального типа. А именно...
Теория вероятности
Суммой двух событий А и В называется событие АВ (А+В), заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий А или В (либо событие А, либо событие В либо А и В одновременно)...
Теория нумераций
Представляется желательным, чтобы все исследования в теории алгоритмов и ее приложениях проводились на основе «общего знаменателя» - класса всех частично рекурсивных функций...
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Подобные документы
-
1 / 5
Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объемов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом .
При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.
С помощью теории пределов во второй половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций.
Предел последовательности
Основная статья: Предел последовательности
Число a {\displaystyle a} называется пределом последовательности a n = { x 1 , x 2 , . . . , x n } {\displaystyle a_{n}=\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}} , если ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} , ∃ {\displaystyle \exists } N (ϵ) {\displaystyle N(\epsilon)} , ∀ {\displaystyle \forall } n > N (ϵ) {\displaystyle n>N(\epsilon)} : | a n − a | < ϵ {\displaystyle |a_{n}-a|<\epsilon } . Предел последовательности обозначается lim n → + ∞ a n {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}} . Куда именно стремится n {\displaystyle n} , можно не указывать, поскольку n {\displaystyle n} ∈ N {\displaystyle \in \mathbb {N} } , оно может стремиться только к + ∞ {\displaystyle +\infty } .
Свойства:
- Если предел последовательности существует, то он единственный.
- lim c = c {\displaystyle \lim c=c} , c − c o n s t {\displaystyle ,c-const}
- lim (x n + y n) = lim x n + lim y n {\displaystyle \lim(x_{n}+y_{n})=\lim x_{n}+\lim y_{n}}
- lim (q x n) = q lim x n {\displaystyle \lim(qx_{n})=q\lim x_{n}} , q − c o n s t {\displaystyle ,q-const}
- lim (x n y n) = lim x n lim y n {\displaystyle \lim(x_{n}y_{n})=\lim x_{n}\lim y_{n}} (если оба предела существуют)
- lim (x n / y n) = lim x n / lim y n {\displaystyle \lim(x_{n}/y_{n})=\lim x_{n}/\lim y_{n}} (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)
- Если a n > x n > b n ∀ n {\displaystyle a_{n}>x_{n}>b_{n}\forall n} и lim a n = lim b n {\displaystyle \lim a_{n}=\lim b_{n}} , то lim x n = lim a n = lim b n {\displaystyle \lim x_{n}=\lim a_{n}=\lim b_{n}} (теорема «о зажатой последовательности», также известная, как «теорема о двух милиционерах»)
Предел функции
Основная статья: Предел функции
Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если ∀ ϵ > 0 {\displaystyle \forall \epsilon >0} существует δ > 0 {\displaystyle \delta >0} , такое что ∀ x , 0 < | x − a | < δ {\displaystyle \forall x,0<|x-a|<\delta } выполняется | f (x) − b | < ϵ {\displaystyle |f(x)-b|<\epsilon } .
Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, например, lim x → x 0 (f (x) + g (x)) = lim x → x 0 f (x) + lim x → x 0 g (x) {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)+g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)+\lim _{x\to x_{0}}g(x)} , если все члены существуют.
Обобщенное понятие предела последовательности
Пусть X {\displaystyle X} - некоторое множество, в котором определено понятие окрестности U {\displaystyle U} (например, метрическое пространство). Пусть x i ∈ X {\displaystyle x_{i}\in X} - последовательность точек (элементов) этого пространства. Говорят, что x ∈ X {\displaystyle x\in X} есть предел этой последовательности, если в любой окрестности точки x {\displaystyle x} лежат почти все члены последовательности то есть ∀ U (x) ∃ n ∀ i > n x i ∈ U (x) {\displaystyle \forall U(x)\exists n\forall i>nx_{i}\in U(x)}
Посвящены одному из основных понятий математического анализа - пределу. И в случае числовой последовательности и в случае действительной функции действительного переменного исследовано неограниченное приближение к некоторому постоянному значению переменной величины, зависящей от другой переменной при определенном ее изменении. В этой главе попытаемся обобщить понятие предела для отображений произвольных метрических пространству причем обобщение коснется и способа стремления независимого переменного к заданному значению. 8.1. Понятие предела отображения Пусть X и У - метрические пространства с заданными на них метриками р и d соответственно, X - некоторое подмножество в X с той же метрикой />, имеющее а 6 X своей предельной точкой. Подчеркнем, что в силу определения 5.9 эта предельная для А точка может как принадлежать, так и не принадлежать подмножеству А. Будем рассматривать ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Понятие предела отображения проколотую окрестность U(a) = U(a) \ {а} данной точки. Пусть область определения отображения /: А У включат ет множество А. Отметим, что для точки а это отображение может и не быть определено. Определение 8.1. Точку 6 € У называют пределом отображения /: A -f У в точке а по множеству А и записывают b = lim f(x) или f(x) -> b при х-^а, если, како- ва бы ни была окрестность V(6) точки 6, существует такая проколотая окрестность U(a) точки а в X, что ее образ для любой точки ж€Ща)ПЛ принадлежит У(6),т.е. При выполнении (8.1) говорят также, что функция f(x) стремится к Ь при стремлении х по множеству А к точке а. Определение 8.1 является достаточно общим. В зависимости от того, какими множествами являются X, У, АСХ и какова точка а € X, можно получить различные конкретизации этого определения. Напомним (см. 5.2), что любая окрестность точки включает е-окрестность этой точки и всякая ^-окрестность является окрестностью. Поэтому, заменяя в (8.1) произвольную окрестность V (6) точки b б Y на ее ^-окрестность а проколотую окрестность точки а € X - на ее проколотую -окрестность приходим к следующей символической записи определения предела отображения, эквивалентного определению 8.1: При Y С R из (8.1) следует символическая запись определения предела отображения /: (предела действительной функции): . Бели в (8.5) 6 = 0) то функцию f(x) называют бесконечно малой при стремлении х по множеству А к точке а € X и записывают При У С R можно говорить о бесконечных пределах отображения, если точка 6 является одной из бесконечных точек (+оо или -оо) расширенной числовой прямой R или их объединением (оо). В этом случае окрестность каждой из перечисленных точек при выборе произвольного М > О примет вид Тогда из (8.1) следуют три довольно похожих между собой за-писи в символической форме определений бесконечных пределов функции: . Пример 8.1. Покажем, что lim f(x) = с, если отображение / в точках множества А принимает одно и то же значение с. В самом деле, какой бы ни была окрестность ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Понятие предела отображения V(c) точки с} Vx в U (а) П A /(х) = с, так как хе А. Поэтому /(U (а) П А) = с € V(c), что соответствует определению 8.1. Убедимся, что lim /(х) = а, если отображение / тождественно, т.е. /(я) = х Vx 6 А. В этом случае для любой окрестности V(a) при выборе U(a) = = V(a) \ {а} для тождественного отображения получим что отвечает (8.1). В частности, когда А = R и а соответствует бесконечной точке +оо расширенной числовой прямой, имеем: /(х) -f оо при х +оо. Действительно, при произвольном М > 0 в качестве проколотой окрестности бесконечной точки +оо достаточно выбрать множество U (+оо) = = {s € R: х > М}, чтобы получить /(х) > М и удовлетворить условию (8.7). # Если в определении 8.1 X = У = R и подмножество А = = {а: € R: х > а}, то приходим к понятию правостороннего предела действительной функции действительного переменного в точке а, обозначенного в 7.2 lim fix). Если же X = У = R Отметим, что множество А может совпадать со всем множеством X. При X = Y = R этот случай в определении 8.1 соответствует понятию двустороннего предела действительной функции действительного переменного, причем (если нет угрозы путаницы) вместо lim /(х) пишут просто lim /(х). Конечно, говоря о lim /(х), можно рассматривать всевоз-можные мыслимые подмножества А, но не всегда это приводит к содержательным нетривиальным результатам. Так, если функцию Дирихле рассматривать на подмножестве Q С R рациональных чисел, то получим просто постоянную функцию, предел которой установлен в примере 8.1. При определение 8.1 приведет к понятию предела последовательности точек произвольного метрического пространства У. В связи с этим дадим следующее определение. Определение 8.2. Точку 6 € У называют пределом последовательности {уп} точек уп метрического пространства У, если, какова бы ни была окрестность V(6) С У точки 6, существует натуральное число N , такое, что начиная с номера N +1 все точки данной последовательности попадают в эту окрестность, т.е. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Понятие предела отображения При выполнении (8.10) говорят также, что {уп} стремится к точке 6. Использовав в (8.10) вместо произвольной окрестности точки 6 ее произвольную ^-окрестность, будем иметь Сравнивая (8.11) с (6.28) и определением 6.5, заключаем, что последовательность {уп} точек уп метрического пространства стремится к точке 6, если числовая последовательность {d(yn> 6)} расстояний d(yni b) € R бесконечно малая, т.е. Иначе говоря, исследование поведения последовательностей точек произвольного метрического пространства опирается на исследование сходимости числовых последовательностей. Более того, и предел отображения произвольных метрических пространств тесно связан с пределом последовательностей. Эту связь устанавливает следующая теорема. Теорема 8.1. Отображение /:У имеет точку 6 € У своим пределом при стремлении х по множеству А к точке а тогда и только тогда, когда при отображении / образ любой стремящейся к а последовательности точек из А является последовательностью точек из У, стремящейся к 6, т.е. Предположим, что точка 6 б У удовлетворяет определению 8.1 предела отображения и {х„} - произвольная последовательность точек хп из А, стремящаяся к точке a € X. Тогда, согласно (8.1), какова бы ни была окрестность V(b) С У точки 6, существует проколотая окрестность U(a) С X точ- ки а, такая, что /(и(а)ПА) С V(6). По определению 8.2, в U(a)nA должны лежать начиная с некоторого номера W + 1 все точки стремящейся к а последовательности {хп}» т.е. в силу (8.10) Тогда начиная с того же номера все точки f(xn) Е У последовательности {f(xn)} лежат в V(6), что, согласно определению 8.2, означает, что эта последовательность стремится к 6. Чтобы доказать достаточность условия теоремы, предположим, что для любой стремящейся к а последовательности {хп} точек хп из А последовательность {/(х„)} точек f(xn) из У стремится к 6. Если бы lim f(x) ф 6, то это означало бы существование такого числа е > 0, что при любом выборе 8 > 0 имеется точка х € А, удовлетворяющая условиям р(х, а) и d(f(x)y 6) > е. При сколь угодно малом S > О можно указать натуральное число N) такое, что 1 /N . Тогда для каждого номера п > N найдется хотя бы одна точка из А, которую обозначим хп, такая, что р(хп, ^ Таким образом, последовательность {хп}, составленная из таких точек хп 6 Ау в силу (8.11) стремится к а, тогда как {/(хп)} не стремится к 6, а это противоречит исходному предположению. Полученное противоречие доказывает достаточность условия теоремы. Эта теорема позволяет сформулировать определение, эквивалентное определению 8.1. Определение 8.3. Точку б€ У называют пределом отображения /: А -> У в точке а по множеству А, если при отображении / образ любой стремящейся к а последоваг тельности точек из А является последовательностью точек из У, стремящейся к Ь. Символические формы записи этого определения и теоремы 8.1 совпадают. Пример 8.2. Пусть X = R, А = R, а = +оо и в отображении /: R R f(x) = cos2 Vx 6 R. Покажем, что lim f(x) = lim cos a; не существует. Возьмем последовательность {a:n} = {2птг}, которая стремится к +оо. Тогда cosin = соз2птг = 1, и в силу (6.9) lim {cos xn} = 1. Если же взять последовательность {хп} = {(2п + 1)тг/2}, также стремящуюся к +оо, то ее образ сходится к нулю. Это противоречит определению 8.3 предела отображения, т.е. указанный выше предел не существует. Рассмотрение стремящихся к оо последовательностей {2п(-1)п7г} и {(2п+ 1)(-1)птг/2} приводит к тому же выводу. Отметим, что если обозначить то правомерна запись lim cosx = 1 и limcoex = 0. # Сопоставлением определений 8.1 и 5.13 может быть доказана следующая теорема. Теорема 8.2. Отображение /: X -+Y будет непрерывным в точке а € X в том и только том случае, когда предел отображения при стремлении х по множеству X к точке а совпадает со значением /(а), т.е. когда Л Пусть отображение / непрерывно в точке а в X. Тогда, по определению 5.13 непрерывного отображения, какова бы ни была окрестность V(6) точки 6 = /(а) € У, существует такая окрестность U(a) точки а € А} что /(U(a)) С V(6), а ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Понятие предела отображения стало быть, существует и проколотая окрестность U (а) точки а, такая, что /(U(a)) С V(b). Согласно определению 8.1 это означает, что справедливо (8.12). Обратно, пусть выполнено (8.12). Тогда в силу определения 8.1 для любой окрестности V (Ь) точки b = /(a) су- ществует проколотая окрестность U(a) точки а, такая, что /(U(a)) С V(6). Рассмотрим окрестность U(a) = U(a) U {a}. Поскольку /(a) G V(6), согласно свойствам отображения множеств (см. 2.1), имеем 4 т.е. отображение / по определению 5.13 непрерывно в точке аеХ. С учетом теоремы 8.2 можно сформулировать определение, эквивалентное определению 5.13. Определение 8.4. Отображение /: называют непрерывным в точке а 6 Ху если справедливо (8.12). Учитывая теоремы 8.1 и 8.2, получаем следующее утверждение. Утверждение 8.1. Для непрерывности отображения /: X -У Y в предельной точке абХ необходимо и достаточно, чтобы образ при отображении / любой стремящейся к а последовательности точек из X был последовательностью точек из У, сходящейся к точке /(а). 8.2. Некоторые свойства предела отображения Пусть X и У, так же как и в 8.1, - метрические пространства, AC X и а € X - предельная точка множества А. Теорема 8.3. Бели при стремлении х по множеству А к точке а отображение /: X У имеет предел, то он единственный. Предположим, что при х-^а отображение / имеет два предела 6i и 62, причем 61 ф 62. Тогда при выборе непересекающихся окрестностей этих точек (V(61)flV(62) = 0), по определению 8.1, у точки а существует проколотая окрестность U(a), такая, что и, а это невозможно в силу определения 2.1 отображения. Теорема 8.4 (о пределе композиции). Бели существуют пределы отображений /: AC X и д: У Z, причем {(х)фЬ при г-^a, где Ху У и Z - метрические пространства предельные точки соответственно для А С X и f(A) С У, то существует при х-^а и предел композиции (сложной функции) Выберем произвольную окрестность W (с) точки с. Тогда в силу определения 8.1 предела отображения всегда можно найти такую проколотую окрестность V(6) точки 6, что д(V(6) П f}
Определение и этапы доказательства теоремы Штольца, ее теоретическое и практическое значение в прикладной математике, применение. Понятие предела последовательности, характерные примеры вычисления пределов последовательности с подробным разбором решения.
курсовая работа , добавлен 28.02.2010
Члены последовательности и их изображение на числовой оси. Виды последовательностей (ограниченная, возрастающая, убывающая, сходящаяся, расходящаяся), их практические примеры. Определение и геометрический смысл предела числовой последовательности.
презентация , добавлен 21.09.2013
Вычисление математических последовательностей и определение числа, которое называется пределом последовательности. Методы расчетов предела функции. Произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции. Определение предела последовательности.
контрольная работа , добавлен 17.12.2010
Определение предела функции в точке. Понятие односторонних пределов. Геометрический смысл предела функции при х, стремящемся в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей. Первый замечательный предел.
презентация , добавлен 14.11.2014
Понятие и история формирования категории "последовательность", ее значение в современной математике. Свойства и аналитическое задание последовательности, роль в развитии других областей знания. Решение задач на вычисление пределов последовательностей.
презентация , добавлен 17.03.2017
Общее понятие числовой последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно большая и малая функция. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Признаки существования пределов. Основные теоремы о пределах: краткая характеристика.
презентация , добавлен 25.01.2013
Предел числовой последовательности. Сравнение бесконечно малых величин. Второй замечательный предел. Теорема Коши о сходимости числовой последовательности. Использование бинома Ньютона. Замена сомножителей на эквивалентные им более простые величины.
контрольная работа , добавлен 11.08.2009
Понятие возрастающей числовой последовательности. Формула бинома Ньютона. Число положительных слагаемых. Определение ограниченности последовательности чисел. Предел монотонной и ограниченной последовательностей. Показательный рост или убывание.
В этой главе изучается операция предельного перехода - основная операция математического анализа. Сначала рассмотрим предел функции натурального аргумента, поскольку все основные результаты теории пределов отчетливо видны в этой простой ситуации. Затем рассмотрим предел в точке функции действительной переменной.
2.1 Предел последовательности
2.1.1 Определение и примеры
Определение 2.1. Функцияf: N → X , областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.
Значения f(n), n N, называются членами последовательности. Их принято обозначать символом элемента того множества, в которое происходит отображение, снабжая символ соответствующим индексом (аргументом функции f): xn = f(n). Элемент xn называется n-м членом последовательности. В связи с этим последовательность часто обозначают символом {xn } или {xn }+ n=1 ∞ , а также записывают в виде x1 , x2 , . . . , xn , . . . .
В дальнейшем в этой главе будем рассматривать только последовательность f: N → R действительных чисел.
Определение 2.2. Интервал, содержащий точкуa R, называют окрестностью этой точки. Интервал(a − δ, a + δ) ,δ > 0 , называют δ -окрестностью точкиa и обозначаютU a (δ) илиV a (δ) (часто пишут короче:U a илиV a ).
Определение 2.3. Числоa R называют пределом числовой последовательности{x n } , если для любой окрестности точкиa существует номерN N такой, что все элементыx n последовательности, номера которых большеN, содержатся вU a . При этом пишут
n lim→∞ xn = aили lim xn = aили xn → aпри n → ∞.
В логической символике определение 2.3 имеет вид:
a R. a = lim xn Ua N = N(Ua ) N: n > N xn Ua .
Поскольку Ua (ε) = (a − ε, a + ε) = {x R: |x − a| < ε}, то часто употребляют следующую равносильную формулировку определения2.3
Определение 2.4. Числоa называют пределом числовой последовательности{x n } , если для любого положительного числаε найдется номерN = N(ε) такой, что все члены последовательности с номерамиn > N удовлетворяют неравенству|x n − a| < ε .
Соответственно, в логической символике это определение имеет вид: a R, a = lim xn ε > 0 N = N(ε) N: n > N |xn − a| < ε
Замечание. Первые члены последовательности не влияют на существование и величину предела в случае его существования.
Иногда полезна следующая геометрическая интерпретация определения 2.3 предела последовательности:
Число a называется пределом последовательности{x n } , если вне любой окрестности точкиa находится не более конечного числа членов последовательности{x n } .
Ясно, что если вне некоторой окрестности точки a находится бесконечное число членов {xn }, то a не является пределом {xn }.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 2.1. Если {xn } : xn = c, то lim xn = c, так как все члены последовательности, начиная с первого, принадлежат любой окрестности
Пример 2.2. Покажем, что последовательность {xn } : xn = | |||||||||||||||||||||||
имеет предел и lim xn = 0. | |||||||||||||||||||||||
Зафиксируем ε > 0. Так как | |||||||||||||||||||||||
≤ n | |||||||||||||||||||||||
< ε для n > | То, полагая N = max{1, }, получим: | ||||||||||||||||||||||
|xn | ≤ | |||||||||||||||||||||||
Следовательно, ε > 0 N = max{1, } N: n > N |xn | < ε. | |||||||||||||||||||||||
Замечание. Одновременно мы доказали, что lim | |||||||||||||||||||||||
Пример 2.3. Покажем, что lim | 0, если q > 1. | ||||||||||||||||||||||
Поскольку q > 1, то q = 1 + α, где α > 0. Поэтому n > 1 по формуле бинома Ньютона
qn = 1 + nα +n(n − 1) α2 + · · · + αn > nα.
Отсюда следует, что | N > 1. Зафиксируем ε > 0, положим |
|||||||||
N = max{1, } и получим, что | ||||||||||
Итак, ε > 0 N = max{1, } N: n > N |1/qn | < ε.
Пример 2.4. Покажем, что последовательность {xn } : xn = (−1)n , не имеет предела.
Для любого числа a укажем такую окрестность, вне которой расположено бесконечное множество членов данной последовательности. Для этого зафиксируем точку a R и рассмотрим ee единичную окрестность Ua (1) = (a − 1, a + 1). Поскольку x2k = 1, x2k+1 = −1, k N, и хотя бы одно из чисел +1 или −1 не принадлежит Ua (1), то вне Ua (1) находится бесконечное множество членов последовательности {xn }. Следовательно, число a не является её пределом. В силу произвольности числа a заключаем, что @ lim xn .
Определение 2.5. Числовая последовательность, имеющая пределом число, называется сходящейся. Все остальные последовательности называются расходящимися.
В логической символике определение 2.5 имеет вид: {xn } сходится a R: lim xn = a.
дящимися, а последовательность {(−1)n } - расходящейся.
2.1.2 Свойства сходящихся последовательностей
Теорема 2.1. Последовательность не может иметь двух различных пределов.
Пусть числовая последовательность {xn } имеет два различных предела a и b. Для определенности будем считать, что a < b. Положим
ε = b − 2 a . По определению2.4 предела последовательности найдем N1 и
n − | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
такие, что | n > N , то есть | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| n − | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда n > N = max{N1 , N2 } | < xn < | Чего быть не может. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определение 2.6. Числовая последовательность {x n } называется ограниченной сверху (соответственно, снизу или ограниченной), если множество X = {x n | n N} является ограниченным сверху (снизу или ограниченным). Если X - неограниченное множество, то {x n } называется неограниченной последовательностью.
C учетом определений 2.1 и2.2 имеем:
{xn } ограничена сверху M R: n N xn ≤ M, {xn } ограничена снизу M R: n N xn ≥ M, {xn } ограничена M > 0: n N |xn | ≤ M,
{xn } не ограничена M > 0 n N: |xn | > M.
Теорема 2.2. Сходящаяся последовательность ограничена.
Пусть последовательность {xn } сходится и lim xn = d. Полагая в определении2.4 ε = 1, найдем номер N такой, что |xn − d| < 1, n > N, то есть d − 1 < xn < d + 1, n > N. Введем обозначения:
a = min{x1 , x2 , . . . , xN , d − 1}, b = max{x1 , x2 , . . . , xN , d + 1}.
Тогда a ≤ xn ≤ b, n N.
Замечание. Ограниченность последовательности - необходимое, но недостаточное условие сходимости (см.пример 4) .
Теорема 2.3. Если числовая последовательность {x n } сходится и lim x n = a , то последовательность {|x n |} сходится и lim |x n | = |a|.
Так как a = lim xn , то ε > 0 N = N(ε) N: n > N |xn − a| < ε.
Отсюда следует, что n > N ||xn | − |a|| ≤ |xn − a| < ε.
Замечание 1. Из теоремы2.3 и примера3 следует, что при |q| > 1
lim q n = 0.
Замечание 2. Обратное утверждение к теореме2.3 не имеет места.
