Строки в си примеры функций. Строки в си. Введение. Вставка символов в строке. Функция insert(). Пример

Странный Старушка Харина захватила Наташу в плен. Так она сама объявила. Наташа помогала няне по хозяйству и выслушивала старушку, которая никак не могла наговориться «напоследок». Сергей что-то где-то прибил, выправил и направился в храм.Только прикрыл за собой калитку,

(к примеру, в задаче о маятнике с трением о воздух), (пример - самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), или некоторая ограниченная область с неустойчивыми траекториями внутри (как у странного аттрактора).

Существуют различные формализации понятия стремления, что приводит к различным определениям аттрактора, задающим, соответственно, потенциально различные множества (зачастую - вложенные одно в другое). Наиболее употребительными определениями являются максимальный аттрактор (зачастую - в своей малой окрестности, см. ниже), аттрактор Милнора и неблуждающее множество .

Классификация [ | ]

Аттракторы классифицируют по:

Также, есть известные «именные» примеры аттракторов: Лоренца , Плыкина , соленоид Смейла-Вильямса , гетероклинический аттрактор (пример Боуэна).

Свойства и связанные определения [ | ]

При всех определениях аттрактор полагается замкнутым и (полностью) инвариантным множеством.

С понятием аттрактора также тесно связано понятие меры Синая-Рюэлля-Боуэна : инвариантной меры на нём, к которой стремятся временные средние типичной (в смысле меры Лебега) начальной точки либо временные средние итераций меры Лебега. Впрочем, такая мера существует не всегда (что иллюстрирует, в частности, пример Боуэна).

Виды формализации определения [ | ]

Поскольку всё фазовое пространство в любом случае сохраняется динамикой, формальное определение аттрактора можно давать, исходя из философии, что «аттрактор это наименьшее множество, к которому всё стремится» - иными словами, выкидывая из фазового пространства всё, что может быть выкинуто.

Максимальный аттрактор [ | ]

Пусть для динамической системы задана область U {\displaystyle U} , которая переводится строго внутрь себя динамикой:

Тогда максимальным аттрактором системы в ограничении на U называется пересечение всех его образов под действием динамики:

То же самое определение можно применить и для потоков: в этом случае, необходимо потребовать, чтобы векторное поле, задающее поток, на границе области было направлено строго внутрь неё.

Это определение часто применяется как для характеризации множества как «естественного» аттрактора («является максимальным аттрактором своей окрестности»). Также его применяют в уравнениях с частными производными .

У этого определения есть два недостатка. Во-первых, для его применения необходимо найти поглощающую область. Во-вторых, если такая область была выбрана неудачно - скажем, содержала отталкивающую неподвижную точку с её бассейном отталкивания - то в максимальном аттракторе будут «лишние» точки, около которых на самом деле несколько раз подряд оказаться нельзя, но текущий выбор области этого «не чувствует».

Аттрактор Милнора [ | ]

По определению, аттрактором Милнора динамической системы называется наименьшее по включению замкнутое множество, содержащее ω-предельные множества почти всех начальных точек по мере Лебега. Иными словами - это наименьшее множество, к которому стремится траектория типичной начальной точки.

Неблуждающее множество [ | ]

Точка x динамической системы называется блуждающей , если итерации некоторой её окрестности U никогда эту окрестность не пересекают:

Иными словами, точка блуждающая, если у неё есть окрестность, которую любая траектория может пересечь только один раз. Множество всех точек, не являющихся блуждающими, называется неблуждающим множеством.

Статистический аттрактор [ | ]

Статистический аттрактор A s t a t {\displaystyle A_{stat}} , в окрестности которого почти все точки проводят почти всё время: для любой его окрестности U {\displaystyle U} для почти любой (в смысле меры Лебега) точки x {\displaystyle x} выполнено

Минимальный аттрактор [ | ]

Минимальный аттрактор определяется как наименьшее по включению замкнутое множество A m i n {\displaystyle A_{min}} , в окрестности которого почти вся мера Лебега проводит почти всё время: для любой его окрестности U {\displaystyle U} выполнено

Примеры несовпадений [ | ]

Локальность, минимальность и глобальность [ | ]

Регулярные и странные аттракторы [ | ]

Регулярные аттракторы [ | ]

Притягивающая неподвижная точка [ | ]

(пример: маятник с трением)

Странные аттракторы [ | ]

(примеры: аттрактор Лоренца, аттрактор Рёсслера, соленоид Смейла-Вильямса; комментарий про эффект бабочки и про динамический хаос.)

Странный аттрактор - это притягивающее множество неустойчивых траекторий в фазовом пространстве диссипативной динамической системы . В отличие от аттрактора, не является многообразием , то есть не является кривой или поверхностью. Структура странного аттрактора фрактальна . Траектория такого аттрактора непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые отклонения от режима нарастают). Основным критерием хаотичности аттрактора является экспоненциальное нарастание во времени малых возмущений. Следствием этого является «перемешивание» в системе, непериодичность во времени любой из координат системы, сплошной спектр мощности и убывающая во времени автокорреляционная функция .

Динамика на странных аттракторах часто бывает хаотической : прогнозирование траектории, попавшей в аттрактор, затруднено, поскольку малая неточность в начальных данных через некоторое время может привести к сильному расхождению прогноза с реальной траекторией. Непредсказуемость траектории в детерминированных динамических системах называют динамическим хаосом , отличая его от стохастического хаоса , возникающего в. Это явление также называют эффектом бабочки , подразумевая возможность преобразования слабых турбулентных потоков воздуха, вызванных взмахом крыльев бабочки в одной точке планеты, в мощное торнадо на другой её стороне вследствие многократного их усиления в атмосфере за некоторое время. Но на самом деле взмах крыла бабочки обыкновенно не создает торнадо, так как на практике наблюдается такая тенденция, что такие маленькие колебания в среднем не меняют динамики таких сложных систем как атмосфера планеты, и сам Лоренц по этому поводу говорил: «Но в целом, я утверждаю, что в течение лет незначительные потрясения ни увеличивают, ни уменьшают частоту возникновения различных погодных явлений, таких как ураганы. Всё, что они могут сделать - это изменить порядок, в котором происходят эти явления.» И это, пожалуй, важная и удивительная вещь, без которой было бы трудно, а то и вообще невозможно изучать хаотическую динамику (динамику, которая чувствительна к малейшим изменениям начальных условий системы).

Среди странных аттракторов встречаются такие, хаусдорфова размерность которых отлична от топологической размерности и является дробной. Одним из наиболее известных среди подобных аттракторов является аттрактор Лоренца .

Именные примеры [ | ]

Аттрактор Лоренца [ | ]

Система дифференциальных уравнений, создающих аттрактор Лоренца, имеет вид:

Соленоид Смейла-Вильямса [ | ]

Соленоид Смейла-Вильямса - пример обратимой динамической системы , аналогичной по поведению траекторий отображению удвоения на окружности. Более точно, эта динамическая система определена на полнотории , и за одну её итерацию угловая координата удваивается; откуда автоматически возникает экспоненциальное разбегание траекторий и хаотичность динамики. Также соленоидом называют и максимальный аттрактор этой системы (откуда, собственно, и происходит название): он устроен как (несчётное) объединение «нитей», наматывающихся вдоль полнотория .

Аттрактор Плыкина [ | ]

СТРАННЫЙ АТТРАКТОР

СТРАННЫЙ АТТРАКТОР

Притягивающее неустойчивых траекторийв фазовом пространстве диссипативной динамической системы. С. а.,в отличие от аттрактора, не является многообразием (т. е. не является кривойили поверхностью); его геом. устройство очень сложно, а его структура фрактальна(см. Фракталы). Поэтому он получил назв. «странный» [Д. Рюэль (D.Ruelle), Ф. Такенс (F. Takens)]. Тот факт, что все траектории, расположенныев окрестности С. а., притягиваются к нему при , принципиально связан с характером неустойчивостей составляющих его траекторий, Бифуркация, Предельный цикл). ТраекторииС. а. описывают стационарные стохастич. автоколебания, поддерживаемыев диссипативной системе за счёт энергии внеш. источника. С. а. характернылишь для автоколебат. систем, фазового пространства к-рых большедвух (рис. 1). Первая исследовавшаяся система со С. а.- Лоренца система- трёхмерна.

Рис. 1. Странный аттрактор в системе, описываемой уравнениями типа(1).

Системы с периодич. автоколебаниями, матем. образом к-рых является предельныйцикл, удаётся исследовать достаточно полно с помощью методов качественнойтеории дифференц. ур-ний. Построение же теории стохастических колебаний, заключающееся, в частности, в определении (предсказании) характеристики свойств С. а. по заданным параметрам системы, чрезвычайно затруднительнодаже для трёхмерных систем. Подобное построение удаётся провести, однако, Пример . Подобно тому, как генератор Ван-дер-Поля является простейшими канонич. примером системы, демонстрирующей периодич. , схема, 2а и определяющая несколько усложнённый генераторВан-дер-Поля, может служить одним из простейших примеров генераторов стохастич. б. Пока I в контуре и на сетке . малы, туннельный диод не оказывает существ. влияния на вконтуре, и они, как и в обычном ламповом генераторе, нарастают. При этомчерез туннельный диод течёт ток I , а напряжение на нём определяетсяветвью характеристики I(V). Когда же ток I достигает значения I т, происходит почти мгновенное переключение туннельного диода (быстротапереключения связана с малостью ёмкости С 1) - скачкомустанавливается напряжение V m . Затем ток через туннельныйдиод уменьшается и происходит его обратное переключение с участка на . Врезультате двух переключений туннельный диод почти полностью поглощаетпоступившую в контур энергию и колебания начинают снова нарастать. (Прирассмотрении работы схемы характеристику лампы можно считать линейной;это оправдано тем, что в интересующем нас режиме колебания ограничиваютсянелинейной характеристикой туннельного диода.) Т. о., генерируемый U(t )представляет собой последовательность цугов нарастающих колебаний;окончание каждого цуга характеризуется скачком напряжения V(t).

Рис. 2. Принципиальная схема (а) простого генератора шума- генератораВан-дер-Поля, в сеточный контур которого добавлен туннельный диод. Вольт-ампернаяхарактеристика (б) нелинейного элемента - туннельного диода.

Для количественного описания работы схемы исходные ур-ния

преобразуют к безразмерному виду:

где x = I/I m , z= V/V m ,

- нормированнаяхарактеристика диода. Здесь - малый параметр Поэтому все движения в фазовом пространстве (рис. 3)

Рис. 3. Поведение траекторий в фазовом пространстве системы (1) при

можно разбить на быстрые переключения диода (прямые х = const, у = const) и медленные, при к-рых напряжение на диоде «следит» затоком; соответствующие траектории лежат на поверхностях А и В[х = f(z ), f"(z) >0 ], отвечающих участкам и характеристикиДиода.

Система имеет одно неустойчивое [при ] состояние равновесия х = у = z = 0 типа седло. Траектории, лежащиена поверхности А, раскручиваются вокруг неустойчивого фокуса и вконце концов достигают края поверхности А. Здесь происходит срывточки, отображающей на фазовой траектории состояние системы (т. н. изображающейточки) по линии быстрых движений на В. Пройдя по В, изображающая точка срывается обратно на поверхность А и попадаетв окрестность равновесия - начинается новый цуг нарастающих колебаний. Отображение Пуанкаре, соответствующее ур-ниям (1), при кусочно можно описать непрерывной ф-цией, график к-рой приведён на рис.5. Линейный участок I с коэф. угла наклона, большим единицы, описываетраскручивание траектории на поверхности медленных движений А, соответствующейнарастанию колебаний в контуре. Участок II описывает этап возвращения траекторий, А на поверхность В, обратно на А (см. рис. 3). Все траектории, лежащие вне основания обозначенногопунктиром квадрата, входят в него при асимптотически больших значенияхвремени, т. е. область D - поглощающая и содержит аттрактор. Всетраектории внутри этой области неустойчивы, т. е. аттрактор является странным. свойства стохастичности движений (как показывают численные исследования)сохраняются.

Рис. 4. Спектр мощности сигнала, генерируемого схемой, представленнойна рис. 2а, и осциллограмма этого сигнала.

Рис. 5. График функции f(x), описывающей динамику схемы рис. 2 при .

Фрактальная размерность. Все разнообразие статистич. свойств случайногосигнала, порождаемого динамич. системой со С. а., может быть описано, еслиизвестно вероятности состояний системы. Однако получить (ииспользовать) это для конкретных систем со С. а., чрезвычайносложно (хотя бы потому, что распределения инвариантной вероятностноймеры всегда сингулярна). Это одна из причин, по к-рой для описания С. а.

где , нек-рый фиксированный параметр,- число n -мерных шаров диаметра ,покрывающих С. а. динамич. системы с n -мерным фазовым пространством.

Определённая согласно ур-нию (2) размерность с не может, очевидно, n, но может быть меньше п (n -мерные шарымогут оказаться почти пустыми). Для «обычных» множеств ур-ние (2) даёточевидные результаты. Так, для множества из k точек ,; дляотрезка длины L прямой лилии ,;для куска площади S двумерной поверхности ,и т. д. Неравенство размерности целому числу соответствует сложному геом. 2,6).

С физ. точки зрения, осн. «достоинство» фрактальной размерности С. а. и числом степеней свободы га имеет вид:

Бифуркации странных аттракторов. Пути рождения стохастич. предельный цикл, к-рый может родиться лишь несколькими типичнымиспособами, так и С. а. обладают сравнительно небольшим числом наиб. типичныхвозможностей возникновения .

Сценарий Фейгенбаума - цепочка бифуркаций удвоения периода устойчивогопредельного цикла. Если при изменении управляющего параметра периодич. n -мерном фазовом пространствеповедение траекторий отображения Пуанкаре в окрестности претерпевающегобифуркацию удвоения периода предельного цикла определяется ф-цией, напр.,f(x), график к-рой похож на параболу. Эта ф-ция описывает связьмежду координатами в направлении собств. подпространства оператора линеаризацииотображения Пуанкаре, отвечающего мультипликатору (-1) (j + 1)-гои j-го пересечений траекторией системы секущей Пуанкаре: x j+1 = f(x j). Возникшему устойчивому предельному циклуудвоенного периода отвечает двупериодич. отображения f .При дальнейшем изменении параметра бифуркации удвоения периода бесконечноповторяются, а бифуркац. значения, напр.,накапливаются к критич. точке , отвечающей возникновению С. а. В соответствии со сценарием Фейгенбаумаимеет место универсальный (не зависящий от конкретной системы) закон

где = 4,6692... - универсальная константа Фейгенбаума (см. Фейгенбаума универсальность).

Родившемуся С. а. при фиксированном отвечает неск. интервалов на оси х; участки между этими интерваламисодержат притягивающиеся к аттрактору траектории, а также 2 m -периодические(относительно отображения f ), неустойчивые предельные циклы, начинаяс нек-рого m 0 и меньше. При увеличении параметра скорость разбегания траекторий на С. а. увеличивается, и он «разбухает»,последовательно поглощая неустойчивые предельные циклы периодов 2 т+1 ,2 т , ... При этом число отрезков, отвечающих аттрактору,

Рис. 6. «Обратные бифуркации» удвоения периода, иллюстрирующие разбуханиеаттрактора, возникшего по сценарию Фейгенбаума.

Перемежаемость. Во мн. системах при прохождении управляющего параметра(скажем,)через бифуркац. значение переход к стохастич. автоколебаниям внешне осуществляется как редкое нарушениерегулярных колебаний «стохастич. всплесками». При этом длительность ламинарной(регулярной) фазы тем больше, чем меньше надкритичность С ростом же надкритичности длительность регулярной фазы сокращается. Этакартина интерпретируется следующей эволюцией осн. объектов в фазовом пространстве, время сохраняют характер своего поведения, т. движение, близкое к периодическому. С течением времени они «замечают», что старый аттрактор исчез, и, оставаясь рядом с сепаратрисой(также исчезнувшей) седлового предельного цикла, уходят в др. часть фазовогопространства. Если в докритич. области система была глобально устойчива(т. е. существовал только один притягивающий объект), то эти траекториичерез нек-рое время вновь попадают в окрестность исчезнувшего предельногоцикла. Если при этом в докритич. области значений параметров сепаратрисаседлового цикла была вложена в достаточно сложнымгеом. образом (образовывала бесконечное число складок - «гофрировалась»,содержала гетероклинич. траектории др. седловых циклов и т. п.), то естьпереходный процесс демонстрировал нерегулярное поведение, то время попаданияв окрестность исчезнувшего цикла уже будет являться случайной величиной. Далее повторяется ламинарная , Кроме этих основных способов возникновения С. а. достаточно часто встречаютсятакже переходы к хаотич. автоколебаниям через разрушение квазипериодических(в фазовом пространстве при изменении управляющих параметров теряет гладкостьи разрушается притягивающий двумерный тор) и комбинированные сценарии .

Многомерные странные аттракторы часто обнаруживаются всистемах с большим числом степеней свободы. Среди возможных механизмов, скорость разбегания траекторий вдоль этих направлений. Стохастич. вязкость).Такая диссипация лишает мелкомасштабные возбуждения среды самостоятельности, Турбулентность).

Лит.: 1) Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Введение в теориюколебаний и волн, М., 1984; 2) Лихтенберг А., Либерман М., Регулярная истохастическая , пер. с англ., М., 1984; 3) Афраймович В. С., РейманА. М., Размерность и в многомерных системах, в кн.: Нелинейныеволны. Динамика и эволюция, под ред. А. В. Гапонова-Грехова, М. И. Рабиновича, хаос. Введение, пер. с англ.,М., 1988; 5) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Гидродинамика, 4 изд., М., 1988;6) Афраймович В. С., Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов, в кн.:Нелинейные . Структуры и бифуркации, под ред. А. В. Гапонова-Грехова, В. С. Афраймович, М.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

В физических системах, n-мерными могут быть, например, две или три координаты, для одного или нескольких физических объектов; в экономических системах они могут быть отдельными переменными, такими как уровень инфляции и уровень безработицы. Если развивающаяся переменная двух-или трехмерная, аттрактор динамического процесса можно представить геометрически в двух или трех измерениях, (как, например, на рисунке).

Если при различных начальных условиях все траектории в фазовом пространстве будут уходить в бесконечность, это будет говорить о том, что у такой системы нет устойчивого состояния.

В случае, когда все они закончатся в одной точке, т. е. система придет к конкретному состоянию, и большее с ней не будет происходить никаких изменений, то такая точка будет являться точкой устойчивого состояния. После выхода из этого состояния, под действием кратковременного возмущения, система всегда вернется в это же состояние.

В этом случае, все траектории заканчиваются в точке, то есть она как бы притягивает к себе со временем все фазовые траектории. Такая точка называется аттрактором (англ. to attract -"притягивать") типа «притягивающая точка ». Понятие аттрактор является обобщением понятия равновесия для сложных систем.

Аттрактор может быть точкой, конечным множеством точек, кривой, разнородностью, или даже сложным комплексом с фрактальной структурой, известным как странный аттрактор . Если переменная является скаляром, аттрактор представляет собой подмножество вещественной числовой прямой. Описывая аттрактор в хаотических динамических системах, он является одним из достижений теории хаоса . Траектория динамической системы в аттракторе не удовлетворяет любым особым ограничениям для оставшихся на аттракторе исключениям, вперед и назад во времени. Траектория может быть периодической и хаотической. Если множество точек является периодическим или хаотичным, но поток в соседней области вдали от множества, набор не является аттрактором, но вместо этого называется отражателем (или репеллером ).

Таким образом, аттрактор - компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности. Аттрактором может являться притягивающая неподвижная точка (периодическая траектория (пример - самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), или некоторая ограниченная область с неустойчивыми траекториями внутри (как у странного аттрактора).

Динамическая система , как правило, описывается одним или более дифференциальным или разностным уравнением. Уравнения данной динамической системы указывают свое поведение в отношении любого заданного короткого периода времени. Чтобы определить поведение системы в течение более длительного периода, необходимо интегрировать уравнения либо через аналитические средства либо посредством итерации, часто с помощью компьютеров. Динамические системы в физическом мире, как правило, возникают в результате диссипативных систем: если бы не было в течение времени некоторой движущей силы, движение бы прекратилось. Рассеяние может исходить от внутреннего трения, термодинамических потерь или потери материала и других многих причин.

Рассеиваемая и движущая силы, как правило, сбалансированы, убивая начальные переходные процессы и урегулируют систему в ее типичном поведении. Подмножеством фазового пространства динамической системы, соответствующему типичному поведению является аттрактор, также известный как притягивающая секции или attractee. Инвариантные множества и предельные множества аналогичны концепции аттрактора. Инвариантное множество представляет собой набор, который развивается в себе под воздействием динамики. Аттракторы могут содержать инвариантные множества . Предельным множеством является множество точек, для которых существует некоторое начальное состояние, которое заканчивается сколь угодно близко к предельному множеству (т.е. в каждой точке множества) с течением времени к бесконечности. Аттракторы - предельные множества, но не все предельные множества являются аттракторами: при возможности иметь несколько точек системы сходящимся к предельным множествам, но разные точки, возмущенные немного от предельного множества не может на них воздействовать. Например, затухающей маятник имеет две инвариантные точки: точка х0 минимальной высоты и точка x1 максимальной высоты. Точка x0 также предельное множество, как траектории сходятся к ней; точка x1 не является предельным множеством. Из-за рассеивания точка х0 также аттрактор. Если не будет рассеивания, х0 не будет аттрактором.

Математическое определение

Пусть t представляют время и пусть f (т, )-функция, определяет динамику системы. То есть, если это n-мерные точки в фазовом пространстве, представляющих начальное состояние системы, то f (0, а) = а и, при положительном значении t, f (t, а) является результатом эволюции этого положения после t единиц времени. Например, если система описывает эволюцию свободной частицы в одном измерении, то фазовое пространство есть плоскость R2 с координатами (х, v), где х является положением частицы, v это ее скорость, а = (х, v), и эволюция задается

Аттрактор представляет собой подмножество фазового пространства и характеризуется следующими тремя условиями:

А вперед инвариантна относительно t: если есть элемент A и t (t, а) , для всех t > 0 .

Существует соседняя область А, называемая областью притяжения для А и обозначается B (A) , которая состоит из всех точек b, что " введите A в пределе t → ∞ " . Более формально, B (А) есть множество всех точек b в фазовом пространстве со следующим свойством:

Для любой открытой близлежащей области N А, есть положительная постоянная t,

Нет собственного подмножества имеющего первые два свойства.

Поскольку область притяжения содержит открытое множество, содержащее А, каждая точка, что достаточно близка к А притягивается к А. Определение аттрактора использует метрику на фазовом пространстве, но в результате понятие обычно зависит только от топологии фазового пространства.

Существуют многие другие определения аттрактора в литературе. Например, некоторые авторы требуют, чтобы аттрактор имел положительную меру, другие уменьшают силу требования, что B (А)- близлежащая область.

аттракция периодического-3 цикла и его область притяжения. Три самые темные точки являются точками 3-цикла, которые приводят к друг другу в последовательности, и итерации из любой точки в область притяжения приводит к (обычно асимптотической) сходимости этой последовательности в трех точках.

Типы аттракторов

Аттракторы - части или подмножества фазового пространства динамической системы. До 1960-х годов, аттракторы не мыслились как простые геометрические подмножества фазового пространства, как точки, линии, поверхности и объемы. Более сложные аттракторы, которые не могут быть классифицированы как простых геометрические подмножества, такие как топологические множества, были известны в то время, но принимали их за хрупкие аномалии. Стивен Смейл смог показать, что его подкова (Подкова Смейла - предложенный Стивом Смейлом пример динамической системы, имеющей бесконечное число периодических точек (и хаотическую динамику), причём это свойство не разрушается при малых возмущениях системы) была надежной и, что его аттрактор был подобен структуре множества Кантора. Два простых аттрактора - фиксированная точка и предельный цикл. Аттракторы могут принимать множество других геометрических фигур (фазовые подмножества). Но когда эти множества (или движения в них) не могут быть легко описаны как простые комбинации (например пересечение и объединение) фундаментальных геометрических объектов (например, линий, поверхностей, шаров, тороидов, коллекторы), то аттрактор называется странным аттрактором.

Аттракторы классифицируют по:

1. Формализации понятия стремления: различают максимальный аттрактор, неблуждающее множество, аттрактор Милнора, центр Биркгофа, статистический и минимальный аттрактор.
2. Регулярности самого аттрактора: аттракторы делят на регулярные (притягивающая неподвижная точка, притягивающая периодическая траектория, многообразие) и странные (нерегулярные - зачастую фрактальные и/или в каком-либо сечении устроенные как канторово множество; динамика на них обычно хаотична).
3. Локальности («притягивающее множество») и глобальности (здесь же - термин «минимальный» в значении «неделимый»).

Предельным циклом является периодическая орбита системы, которая изолирована. Примеры включают маятник часов, схему настройки радио и сердцебиения во время отдыха. (Предельный цикл идеального маятника не пример аттрактора предельного цикла, потому что ее орбиты не изолированы: в фазовом пространстве идеального маятника, недалеко от любой точки периодической орбиты есть еще один момент, который принадлежит другой периодической орбите.

фазовый портрет Ван-дер-Поля: аттракция предельного цикла

Предельный тор

Может быть больше, чем одна частота периодической траектории системы через состояние предельного цикла. Например, в физике, одна частота может диктовать скорость, с которой планета вращается вокруг звезды в то время как вторая частота описывает колебания расстояния между этими двумя телами. Если две из этих частот образуют иррациональную фракцию (т.е. они несоизмеримы), траектория больше не закрывается, а предельный цикл становится предельным тором. Этот вид аттрактора называется Nt -тор , если есть Nt - несоизмеримые частоты. Например вот 2-тор:

Временной ряд, соответствующий этому аттрактору - квазипериодический серия: дискретность проб сумм Nt- периодических функций (не обязательно синус волны) с несоизмеримыми частотами. Такой временной ряд не имеет строгую периодичность, но его спектр мощности еще состоит только из резких линий.

Странный аттрактор

Аттрактор называется странным , если он имеет фрактальную структуру . Это часто бывает, когда динамика на нем хаотична, но существуют также странные аттракторы, которые не хаотичны. Этот термин был придуман Дэвидом Рюэлем и Флорисом Такенсом, которые описали аттрактор, возникший в результате серии бифуркаций системы, описывающей поток жидкости. Странные аттракторы часто дифференцируемы в нескольких направлениях, но некоторые из них, такие как пыль Кантора, не дифференцируемы. Странные аттракторы также могут быть найдены в присутствии шума, где они могут быть размещены для поддержки инвариантных случайных вероятностных мер типа Синай-Рюэля-Боуэна. Примеры странных аттракторов включают в себя , аттрактор Хенона , Rössler аттрактор , и аттрактор Лоренца .

Дважды прокрученный аттрактор

аттрактор Лоренца

Частные уравнения

Параболические уравнения в частных производных могут иметь конечномерные аттракторы. Диффузная часть уравнения гасит высокие частоты, а в некоторых случаях приводит к глобальному аттрактору. Гинзбурга-Ландау, Курамото-Сивашинского, и двумерные, вынужденные уравнения Навье-Стокса как известно, приводят к глобальным аттракторам конечной размерности. Для трехмерного несжимаемого уравнения Навье-Стокса с периодическими граничными условиями, если оно имеет глобальный аттрактор, то это аттрактор будет конечных размеров.

С вычислительной точки зрения, аттракторы можно естественно рассматривать как самовозбуждающиеся аттракторы или скрытые аттракторы. Самовозбуждающиеся аттракторы могут быть локализованы численно при стандартных вычислительных процедурах, в которых после переходной последовательности, начинается траектория с точки на неустойчивом многообразии в малой области неустойчивого равновесия достигаемого аттрактором (как классических аттракторов в Ван дер Поля, Белоусова-Жаботинского, Лоренца и многих других динамических систем). В противоположность этому, область притяжения скрытого аттрактора не содержит области равновесия, поэтому скрытый аттрактор не может быть локализован с помощью стандартных вычислительных процедур.

Хаотичный скрытый аттрактор (зеленый домен) в системе Чуа. Траектории с начальными данными в окрестности двух точек (синий), как правило (красная стрелка) к бесконечности или, как правило (черная стрелка) к точке равновесия стабильного нуля (оранжевый).

Софтом , генерирующим странные аттрактору по праву можно считать Chaoscope , являющимся 3D –визуализатором странных аттракторов. Является бесплатной, работающих на платформе Windows.

Онлайн генератор странных аттракторов: http://wokos.nethium.pl/attractors_en.net