Главная › Услуги › Примеры на вынесение общего множителя за скобки. " вынесение общего множителя за скобки". Вынесение общего множителя за скобки в буквенном выражении

Примеры на вынесение общего множителя за скобки. " вынесение общего множителя за скобки". Вынесение общего множителя за скобки в буквенном выражении

Урок алгебры в 7-м классе "Вынесение общего множителя за скобки"

Комарова Галина Александровна

Цель : совершенствование практических умений и навыков учащихся при разложении многочлена множители путем вынесения общего множителя за скобки, применение его при решении уравнений. Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и ее применение для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень. Развивать умения: применять правила, анализировать, сравнивать, обобщать, выделять главное.

Задачи :

создать ситуацию успеха на уроке, условия для самостоятельной деятельности учащихся на уроке;

способствовать пониманию учебного материала урока;

воспитывать коммуникативность и толерантность в отношениях учащихся между собой.

Тип урока : комбинированный.

Методы: стимулирующие, поисковые, наглядные, практические, словесные, игровые, дифференцированная работа.

Формы проведения: индивидуальные, коллективные, групповые.

Оценка знаний ведется по 5-бальной системе.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний с дидактическими играми.

Результаты обучения: Уметь выносить общий множитель за скобки, уметь применять данный способ при разложении на множители, уметь использовать вынесение за скобки общего множителя при решении уравнений.

Ход урока

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся.

Когда ученики Пифагора просыпались, они должны были произносить такие стихи:

«Прежде чем встать от сладостных снов, навеваемых ночью,

Думой раскинь, какие дела тебе день приготовил».

2. Разминка - графический тест теоретического материала.

Верно ли утверждение, определение, свойство?

1. Одночленом называют сумму числовых и буквенных множителей. (нет -)

2. Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. (да Λ)

3. Одинаковые или отличающиеся друг от друга только коэффициентами, называют подобными членами. (да Λ)

4. Алгебраическая сумма нескольких одночленов называется одночленом . (нет -)

5. При умножении любого числа или выражения на ноль получается ноль. (да Λ)

6. В результате умножения одночлена на многочлен получается многочлен. (да Λ)

7. Когда раскрываем скобки, перед которыми стоит знак "-”, скобки опускаем, и знаки членов, которые были заключены в скобки, не меняют на противоположные. (нет-)

8.Общий числовой множитель является наибольшим общим делителем коэффициентов одночленов. (да Λ)

9. Из одинаковых буквенных множителей одночленов выносим за скобку его наименьшую степень . (да Λ)

Проверка: ––ΛΛ- ΛΛ-ΛΛ

Выставите себе оценки:

«5» - ошибок нет «4» - две ошибки «3» - четыре ошибки «2» - больше четырех ошибок

3. Актуализация опорных знаний.

Индивидуальная работа по карточкам №1, №2, №3 (3 учащихся).

Фронтальная работа с классом:

Задание 1 . Продолжите фразу:

Одним из способов разложения многочлена на множители является… (вынесение общего множителя за скобки );

При вынесении общего множителя за скобки применяется… (распределительное свойство );

Если все члены многочлена содержат общий множитель, то…(этот множитель можно вынести за скобки )

Задание 2 .

Какой числовой множитель будет общим в следующих выражениях: 12 y 3 -8 y 2 ; 15х 2 - 75х . (4у 2 ; 15х)

Какую степень множителей а и х можно вынести за скобки

а 2 х- а 5 х 3 + 3а 3 х 2 (а 2 х )

Сформулировать алгоритм вынесения общего множителя.

Алгоритм:

Найти НОД для всех коэффициентов одночленов и вынести его за скобку:

2) наименьшую степень:

разделить :

4. Изучение нового материала.

Определи общий множитель в данных выражениях и вынеси его за скобку:

2а+6=

3 хy-3y=

18m-9nm=

x 2 -x 3 +x 6 =

3y+3xy=

(Работа в парах, взаимопроверка )

Используя ключ к шифру, расшифруй слово.

3y (x -1) или

-3у(-х+1)

9m (2-n )

2(а+3)

X 2 (1-x +x 4)

3(7c 2 -5a 3)

Ответ: Галуа.

Эварист Галуа (1811-1832)

Галуа - гордость французской науки. Будучи еще ребёнком, он прочитал геометрию Лежандра, как увлекательную книгу. К 16 годам дарования Галуа проявились настолько, что выдвинули его в ряд величайших математиков того времени. Научные труды Галуа по теории алгебраических уравнений высших степеней положили начало развитию современной алгебры.

Всего 20 лет прожил гениальный математик, гордость мировой науки, из которых пять посвятил математике. В 2011 году исполняется 200 лет со дня его рождения.

Предлагаю вам решить уравнение, в левой части которого многочлен второй степени.
12x 2 +6 x =0. Вынесем за скобки 3х. Получим.

6х(2х+1)=0 Произведение равно нулю, когда хотя бы 6х=0 или 2х+1=0. один из множителей равен нулю.

х=0:6 2х=-1

х=0 х = -1:2

х=-0,5

и находим х=0 или х= -0,5

Ответ: х 1 =0, х 2 = -0,5

5. Физкультминутка.

Учащимся зачитываются высказывания. Если высказывание верно, то учащиеся должны поднять руки вверх, а если неверно, то присесть и хлопнуть.

7 2 =49 (Да).

30 = 3 (Нет).

Наибольшим общим множителем многочлена 5а-15в является 5 (Да).

5 2 =10 (Нет).

На руках 10 пальцев. На 10 руках 100 пальцев (Нет).

5 0 =1 (Да)

0 делится на все числа без остатка (Да).

вопрос на засыпку 5:0=0

6. Домашнее задание.

I ,II группа

Правило в тетради, № 709(д,е), 718(г,)719(г),

III группа:

Правило в тетради, № 710(а,б),715(в,г)

Дополнительное задание (по желанию)

Известно, что при некоторых значениях а и b значение выражения а - b равно 3. Чему равно при тех же a и b значение выражения

а) 5а-5b ; б) 12b - 12а; в) (а - b ) 2 ; г) (b -а) 2 ;

7. Закрепление.

,II группа решают номер 710(а,в)

III группа решает номер 709(а,в)

Придумайте сами уравнение второй степени

Работа учащихся по заданию карточки № 5-6 у доски и в тетрадях. (диф)

Найди ошибку

5. Самостоятельная работа.

Учащимся предлагается выполнение самостоятельной работы обучающего характера в виде теста, с последующей самопроверкой, правильные ответы можно расположить на оборотной стороне доски.

6. Подведение итогов урока.

Рефлексия: Кто сегодня у нас работал лучше всех на уроке?

Какую оценку мы им поставим?

Я работал хорошо

Понял, как решать уравнения вынесением

Общего множителя за скобки

Доволен уроком

Нуждаюсь в помощи учителя или консультанта

МЫ А как мы вместе сегодня поработали?

Примеры карточек.

Карточка №1.

2х-2 y

5ab+10a

2a 3 -a 5

a(x-2)+b(x-2)

-7xy+y

Карточка №2.

Вынесите общий множитель за скобки:

5ab-10ac

4xy-16x 2

a 2 -4a+3a 5

0,3a 2 b+0,6ab 2

x 2 (y-6)-x(y-6)

Карточка №3.

Вынесите общий множитель

за скобки:

-3x 2 y-12y 2

5a 2 -10a 3 +15a 5

6c 2 x 3 -4c 3 x 3 +2x 2 c

7a 2 b 3 -1,4a 3 b 4 +2,1a 2 b 5

3a(x-5)+7(5-x)

Карточка №5- 1

Вынесите общий множитель за скобки:

3x + 3y;

5a – 15b;

8x+12y;

Реши уравнение

1) 2x² + 5x = 0

Карточка №5-2

1) 10 а – 10 в

2) 3 ху – х 2 у 2

3) 5 у 2 + 15 у 3

2.Реши уравнение

2x² - 9x = 0

Карточка №6

1. Вынесите общий множитель за скобки:

1) 8 а + 8 в.

2) 4 х у + х 3 у 3

3) 3 в у – 6 в.

2.Реши уравнение

2x² +7x = 0

Дополнительные задания

1.Найдите ошибку:

3х (х-3)=3х 2 -6х; 2х+3ху=х(2+у);

2.Вставьте пропущенное выражение:

5х(2х 2 -х)=10х 3 -…; -3ау-12у=-3у (а+…);

3.Вынеси общий множитель за скобки:

5a - 5b; 3x + 6 y; 15a – 25b; 2,4x + 7,2y.

7a + 7b; 8x – 32a; 21a + 28b; 1,25x – 1,75a .

8x – 8y; 7a + 14b; 24x – 32a; 0,01a + 0, 03y.

4.Замените «М» одночленом так, чтобы полученное равенство было верным:

а) М × (а – b ) = 4 ac – 4 bc ;

б) М × (3а – 1) = 12а 3 – 4а 2 ;

в) М × (2а – b ) = 10а 2 – 5а b .

VIII. Фронтальная работа (на внимательность, на усвоение новых правил).

На доске записаны выражения. Найти в этих равенствах ошибки, если они имеются и исправить.

2 х 3 – 3 х 2 – х = х (2 х 2 – 3 х).

2 х + 6 = 2 (х + 3).

8 х + 12 у = 4 (2 х - 3у).

а 6 – а 2 = а 2 (а 2 – 1).

4 -2а = – 2 (2 – а).

Алгоритм:

Найти НОД для всех коэффициентов одночленов и вынести его за скобку

2) Из одинаковых буквенных множителей одночленов вынести за скобку его наименьшую степень

3) Каждый одночлен многочлена разделить на общий множитель и результат деления записать в скобки

Лист контроля знаний ученика 7 А класса _________________________________________

диктант

2.шифровка

3.Индивид. Работа по карточкам

4.тест

5.Всего баллов

6.Отметка учителя

ответ

Тест

1.Какую степень множителя а можно вынести за скобки у многочлена

a²x - аx³

а) а б) a² в) a ³

2 х³ -8x²

а) 4 б) 8 в) 2

a²+ab – ac +a

а) а(a+b-c+1) б) a (a+b-c)

в) a 2 (a+b-c+1)

7m³ + 49m²

а) 7m ² (m +7m 2) б) 7m ² (m +7)

в) 7m ² (7m +7)

5.Разложите на множители:

x(x – y) + a(x – y)

а) (x-y)(x+a) б) (y-x)(x+a)

в) (x+a)(x+y)

6. Реши уравнение

6y-(y-1)=2(2y-4)

а) -9 б) 8 в) 9

г) другой ответ

7.Вынеси общий множитель

x(x – y) + a(y- х)

а) (x-y)(x- a) б) (y-x)(x+a)

в) (x+a)(x+y)

Ответы

Тест

1.Какую степень множителя b можно вынести за скобки у многочлена

b² - a³b³

а) b б) b ² в) b ³

2.Какой числовой множитель можно вынести за скобки у многочлена

15a³ - 25a

а) 15 б) 5 в) 25

3.Вынесите за скобки общий множитель всех членов многочлена

x ² - xy + xp – x

а) x (x -y +p -1) б) x (x -y +p )

в) x 2 (x-y+p-1 )

4.Представьте в виде произведения многочлен

9b² - 81b

а) 9b(b-81) б) 9b 2 (b-9)

в) 9b(b-9)

5.Разложите на множители:

a(a + 3) – 2(a +3)

а) (a+3)(a+2) б) (a+3)(a-2)

в) (a-2)(a-3)

6 . Реши уравнение

3x-(12x-x)=4(5-x)

а) -4 б) 4 в) 2

г) другой ответ

7.Вынеси общий множитель

a (a - 3) – 2(3-а)

а) (a -3)(a+2) б) (a+3)(a-2)

в) (a-2)(a-3)

Ответы

Вариант I

Выполнить действие:

(3х+10у) – (6х+3у)

а) 9х+7у; б) 7у-3х; в) 3х-7у; г) 9х-7у

6х 2 -3х

а) 3х(2х-1); б) 3х(2х-х); в) 3х 2 (2-х); г)3х(2х+1)

3. Привести к стандартному виду многочлен :

Х+5х 2 +4х-х 2

а) 6х 2 +3х; б) 4х 2 +3х; в)4х 2 +5х; г) 6х 2 -3х

4. Выполнить действие:

3х 2 (2х-0,5у)

а)6х 2 -1,5х 2 у; б) 6х 2 -1,5ху; в) 6х 3 -1,5х 2 у ; г) 6х 3 -0,5х 2 у;

5. Решить уравнение:

8х+5(2-х)=13

а) х=3; б) х=-7; в)х=-1; г) х=1;

6. Вынести общий множитель за скобки:

х(х-у)-6у(х-у)

а) (х-у)(х-6у ) ; б) (х-у)(х+6у) ;

в) (х+у)(х-6у) ; г) (х-у)(6у-х) ;

7. Решить уравнение:

Х 2 +8х=0

а) 0 и-8 б) 0и8; в) 8 и -8

Вариант II

Выполнить действие:

(2а-1)+(3+6а)

а) 8а+3; б) 8а+4; в) 8а+2 ; г) 6а+2

Вынести общий множитель за скобки:

7а-7в

а) 7(а-в); б) 7(а+в); в)7(в- а); г) а(7-в);

Привести к стандартному виду многочлен:

4х 2 +3х-5х 2

а) -х 2 +3х ; б) 9х 2 +3х; в) 2х 2 ; г) –х 2 -3х;

Выполнить умножение:

4а 2 (а-в)

а)4а 3 -в; б) 4а 3 -4ав; в) 4а 3 -4а 2 в ; г) 4а 2 -4а 2 в;

Разложить на множители:

а(в-1)-3(в-1)

а) (в-1)(а-3) ; б) (в-1)(а+3) ; в) (в+1)(а-3) ; г) (в-3)(а-1) ;

Решить уравнение:

4(а-5)+а=5

а) а=1; б) а=-5; в) а=3; г) а=5;

7. Решить уравнение:

6х 2 -30х=0

а) 0 и 5 б) 0 и -5 в) 5 и -5

Галуа

Заходил паренек в сюртучке небогатом,

Чтобы в лавке табак и мадеру купить.

Приглашала любезно, как младшего брата,

Разбитная хозяйка и впредь заходить.

Провожала до двери, вздыхая устало,

Вслед ему разводила руками: «Чудак!

На четыре сантима опять обсчитала,

А четыре сантима теперь не пустяк!

Кто-то мне наболтал, будто видный ученый,

Математик какой-то мосье Галуа.

Как же может открыть мировые законы

Эта вот, с позволенья сказать, голова?!»

Но всходил на мансарду, обманутый ею,

Брал заветный набросок в чердачной пыли

И доказывал вновь с беспощадностью всею,

Что хозяева сытых желудков - нули. (А. Марков

Вариант 1

1 . 4-2х

А. 2(2 + х).В. 4(1 - х).

Б. 2(2-х).Г. 4(1 + х).

2. а 3 в 2 – а 4 в

А. а 4 в(в - а).В. а 3 в(в - а).

Б. а 3 в 2 (1 - а).Г. а 3 в(1 - а).

3. 15х y 2 + 5х y - 20х 2 y

А. 5хy (3y + 1 - 4х).В. 5хy (3y - 4х).

Б. 5х(3y 2 + у - 2х).Г. 5х(3у 2 + у - 4х).

4. а( b +3) +( b + 3).

А. (b + 3) (а + 1).В. (b + 3)а.

Б. (3 + b ) (a - 1).Г. (3 + b )(1-а).

5. х(y - z ) - (z - y ).

А. (х - 1) (y - z ).В. (х - 1) (z - у).

В.(х + 1)(у-z ).Т.(х + 1)(z -у).

6. Реши уравнение

3y - 12 y 2 =0

Разложение многочленов на множители

Вариант 2

1. 6а-3.

А. 3(2а-1).В. 6(а-1).

Б. 3(2а+1).Г. 3(а-1).

2. а 2 b 3 – a 3 b 4

А. а 2 b 3 (1 - аb ).В. а 3 (b 3 – b 4).

Б. аb 3 (1 - а 2 b ).Г. b 3 (х 2 - х 3).

3. 12х 2 у - 6ху - 24ху 2 .

А. 6ху(2х - 1 - 4у).В. 6ху(2х - 4у).

Б. 6ху(6х - 1 - 4у).Г. 6ху(2х + 4у + 1).

4. х( y + 5) + ( y +5).

А. (х - 1) (у + 5).В. (х + 1) (у + 5).

Б.(у + 5)х.Г. (х - 1) (5 - у).

5. а(с- b )- (b -с) .

А. (а - 1) (b + с).В. (а - 1) (b - с).

Б. (а + 1) (с - b ).Г. (а + 1) (b - с).

6. Реши уравнение

На этом уроке мы познакомимся с правилами вынесения за скобки общего множителя, научимся находить его в различных примерах и выражениях. Поговорим о том, как простая операция, вынесение общего множителя за скобки, позволяет упростить вычисления. Полученные знания и навыки закрепим, рассмотрев примеры разных сложностей.

Что такое общий множитель, зачем его искать и с какой целью выносить за скобки? Ответим на эти вопросы, разобрав простейший пример.

Решим уравнение . Левая часть уравнения является многочленом, состоящим из подобных членов. Буквенная часть является общей для данных членов, значит, она и будет общим множителем. Вынесем за скобки:

В данном случае вынесение за скобки общего множителя помогло нам преобразовать многочлен в одночлен. Таким образом, мы смогли упростить многочлен и его преобразование помогло нам решить уравнение.

В рассмотренном примере общий множитель был очевиден, но будет ли так просто найти его в произвольном многочлене?

Найдём значение выражения: .

В данном примере вынесение общего множителя за скобки значительно упростило вычисление.

Решим еще один пример. Докажем делимость на выражения .

Полученное выражение делится на , что и требовалось доказать. И снова вынесение общего множителя позволило нам решить задачу.

Решим еще один пример. Докажем, что выражение делится на при любом натуральном : .

Выражение является произведением двух соседних чисел натурального ряда. Одно из двух чисел обязательно будет четным, значит, выражение будет делиться на .

Мы разобрали разные примеры, но применяли один и тот же метод решения: выносили общий множитель за скобки. Мы видим, что эта простая операция значительно упрощает вычисления. Было легко найти общий множитель для этих частных случаев, а что делать в общем случае, для произвольного многочлена?

Вспомним, что многочлен - сумма одночленов.

Рассмотрим многочлен . Данный многочлен является суммой двух одночленов. Одночлен - произведение числа, коэффициента, и буквенной части. Таким образом, в нашем многочлене каждый одночлен представлен произведением числа и степеней, произведение множителей. Множители могут быть одинаковыми для всех одночленов. Именно эти множители нужно определить и вынести за скобку. Сначала находим общий множитель для коэффициентов, причем целочисленных.

Было легко найти общий множитель, но давайте определим НОД коэффициентов: .

Рассмотрим ещё один пример: .

Найдем , что позволит нам определить общий множитель для данного выражения: .

Мы вывели правило для целых коэффициентов. Нужно найти их НОД и вынести за скобку. Закрепим это правило, решив ещё один пример.

Мы рассмотрели правило вынесения общего множителя для целочисленных коэффициентов, перейдем к буквенной части. Сначала ищем те буквы, которые входят во все одночлены, а потом определяем наибольшую степень буквы, которая входит во все одночлены: .

В этом примере была всего одна общая буквенная переменная, но их может быть несколько, как в следующем примере:

Усложним пример, увеличив количество одночленов:

После вынесения общего множителя мы преобразовали алгебраическую сумму в произведение.

Мы рассмотрели правила вынесения для целых коэффициентов и буквенных переменных отдельно, но чаще всего для решения примера нужно применять их вместе. Рассмотрим пример:

Иногда бывает сложно определить, какое выражение остается в скобках, рассмотрим легкий прием, который позволит вам быстро решить эту проблему.

Общим множителем также может быть искомое значение :

Общим множителем может быть не только число или одночлен, но и любое выражение, как, например, в следующем уравнении.

§ 10. Разложение многочленов на множители способом вынесения общего множителя за скобки

В 6 классе мы раскладывали составные числа на простые множители, то есть подавали натуральные числа в виде произведения. Например, 12 = 2 2 ∙ 3; 105 = 3 ∙5 ∙ 7 др.

Представить в виде произведения можно и некоторые многочлены. Это означает, что эти многочлены можно раскладывать па множители. Например, 5а: - 5у - 5(х - y); а 3 и 3а 2 = а 2 (а + 3) и тому подобное.

Рассмотрим один из способов разложения многочленов на множители - вынесение общего множителя за скобки. Одним из известных нам примеров такого разложения является распределительная свойство умножения a(b + с) = ab + ас, если его записать в обратном порядке: аb + ас - a(b + с). Это означает, что многочлен аb + ас разложили на два множителя а и b + с.

Во время разложения на множители многочленов с целыми коэффициентами множителем, который выносят за скобки, выбирают так, чтобы члены многочлена, который останется в скобках, не имели общего буквенного множителя, а модули их коэффициентов не имели общих делителей.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Разложить выражение на множители:

3) 15а 3 b - 10а 2 b 2 .

Р а з в’ я з а н н я.

1) Общим множителем является число 4, поэтому

8m + 4 = 4 . 2m + 4 ∙ 1 = 4(2m + 1).

2) Общим множителем является переменная а, поэтому

at + 7ap = a(t + 7p).

3) В данном случае общим числовым множителем есть наибольший общий делитель чисел 10 и 15 - число 5, а общим буквенным множителем является одночлен а 2 b. Итак,

15а 3 b - 10а 2 b 2 = 5а 2 b ∙ 3а - 5a 2 b ∙ b = 5а 2 b(3а - 2b).

Пример 2. Разложить па множители:

1) 2m(b - с) + 3р(b - с);

2) х(у - t) + c(t - в).

Р а з в ’ я з а н н я.

1) В данном случае общим множителем является двочлен b = c.

Следовательно, 2m(b - с ) + 3р(b - c ) = (b - с)(2m + 3р).

2) Слагаемые имеют множители в - t и t - в, которые являются противоположными выражениями. Поэтому во втором слагаемого вынесем за скобки множитель -1, получим: c(t - в) = -с(у - t).

Следовательно, х(у - t) + c(t - в) = х(у - t) - с(у - t) = (у - t) (х - с).

Для проверки правильности разложения на множители следует перемножить полученные множители. Результат должен равняться данном многочлена.

Разложение многочленов на множители часто упрощает процесс решения уравнения.

Пример 3. Найти корни уравнения 5х 2 - 7х = 0.

Р а з в ’ я з а н н я. Разложим левую часть уравнения на множители вынесением общего множителя за скобки: х(5х - 7) = 0. Учитывая, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, будем иметь: х = 0 или 5х - 7 = 0, откуда х = 0 или х = 1,4.

Ответ: 0; 1,4.

Какое преобразование называют разложением многочлена на множители? На примере многочлена ab + ас объясните, как выполняется разложение на множители вынесением общего множителя за скобки.

(Устно) Найдите общий множитель в выражении:

(Устно) Разложите на множители:

Вынесите за скобки общий множитель:

(Устно) правильно выполнило разложения на множители:

1) 7а + 7 = 7а;

2) 5m - 5 = 5(m - 5);

3) 2а - 2 = 2(а - 1);

4) 7ху - 14х = 7х - (у - 2);

5) 5mn + bn = 5m(n + 3);

6) 7ab + 8cb = 15b(a + c)?

Запишите сумму в виде произведения:

Разложите на множители:

Разложите на множители:

4) 7а + 21ау;

5) 9х 2 - 27х;

6) 3а - 9а 2 ;

8) 12ах - 4а 2 ;

9) -18ху + 24в 2 ;

10) а 2 b - ab 2 ;

11) рм - р 2 m;

12) -х 2 y 2 - ху.

Вынесите за скобки общий множитель:

4) 15ху + 5х;

6) 15m - 30m 2 ;

7) 9xy + 6х 2 ;

9) -p 2 q - рq 2 .

Разложите на множители:

5) 3b 2 - 9b 3 ;

7) 4y 2 + 12y 4 ;

8) 5m 5 + 15m 2 ;

9) -16a 4 - 20a.

Разложите на множители:

4) 18p 3 - 12p 2 ;

5) 14b 3 + 7b 4 ;

6) -25m 3 - 20m.

Запишите сумму 6x 2 в + 15x в виде произведения и найдите его значение, если х = -0,5, у = 5.
Запишите выражение 12а 2 b - 8а в виде произведения и найдите его значение, если а = 2, 6 = .
Вынесите за скобки общий множитель:

1) а 4 + а 3 - а 2 ;

2) m 9 - m 2 + m 7 ;

3) b 6 + b 5 - b 9 ;

4) -в 7 - в 12 - в 3 .

Представьте в виде произведения:

1) р 7 + р 3 - р 4 ;

2) а 10 - a 5 + а 8 ;

3) b 7 - b 5 - b 2 ;

4) -m 8 - m 2 - m 4 .

Вычислите удобным способом:

1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73;

2) 119 ∙ 37 - 19 ∙ 37.

Решите уравнение:

1) x 2 - 2x = 0;

2) x 2 + 4х = 0.

Найдите корни уравнения:

1) х 2 + 3x = 0;

2) х 2 -7х = 0.

1) 4а 3 + 2а 2 - 8а;

2) 9b 3 - 3b 2 - 27b 6 ;

3) 16m 2 - 24m 6 - 22m 3 ;

4) -5b 3 - 20b 2 - 25b 5 .

Вынесите за скобки общий множитель:

1) 5с 8 - 5с 7 + 10с 4 ;

2) 9m 4 + 27m 3 - 81m;

3) 8р 7 - 4р 5 + 10р 3 ;

4) 21b - 28b 4 - 14b 3 .

Вынесите за скобки общий множитель:

1) 7m 4 - 21m 2 n 2 + 14m 3 ;

2) 12а 2 b - 18аb 2 + 30аb 3 ;

3) 8х 2 у 2 - 4х 3 в 5 + 12x 4 в 3 ;

4) 5p 4 q 2 - 10p 2 q 4 + 15рq 3 .

Разложите многочлен на множители:

1) 12а - 6а 2 х 2 - 9а 3 ;

2) 12b 2 в - 18b 3 - 30b 4 в;

3) 16bx 2 - 8b 2 х 3 + 24b 3 х;

4) 60m 4 n 3 - 45m 2 n 4 + 30m 3 n 5 .

Вычислите удобным способом:

1) 843 ∙ 743 - 743 2 ;

2) 1103 2 - 1103 ∙ 100 - 1103 ∙ 3.

Найдите значение выражения:

1) 4,23 а - а 2 , если а = 5,23;

2) х 2 у + х 3 , если х = 2,51, в = -2,51;

3) ам 5 - m 6 , если = -1, а = -5;

4) -ху - х 2 , если х = 2,7, в = 7,3.

Найдите значение выражения:

1) 9,11 а + а 2 , если а = -10,11;

2) 5х 2 + 5a 2 х, если а = ; х = .

Разложите многочлен на множители:

1) 2р(х - у) + q(x - у);

2) а(х + у) - (х + у);

3) (а - 7) - b(а - 7);

4) 5(а + 1) + (а + 1) 2 ;

5) (х + 2) 2 - х(х + 2);

6) -5m(m - 2) + 4(m - 2) 2 .

Представьте выражение в виде произведения:

1) а(х - у) + b(у - х);

2) г(b - 5) - n(5 - b);

3) 7х - (2b - 3) + 5у(3 - 2b);

4) (х - y) 2 - а(у - х);

5) 5(х - 3) 2 - (3 - х);

6) (а + 1)(2b - 3) - (а + 3)(3 - 2b).

Разложите на множители:

1) 3х(b - 2) + у(b - 2);

2) (m 2 - 3) - х(m 2 - 3);

3) а(b - 9) + с(9 - b);

4) 7(а + 2) + (а + 2) 2 ;

5) (с - m) 2 - 5(m - с);

6) -(х + 2у) - 5(х + 2y) 2 .

Найдите корни уравнения:

1) 4x 2 - х = 0;

2) 7х 2 + 28х = 0;

3) х 2 + х = 0;

4)х 2 - х = 0.

Решите уравнение:

1) 12х 2 + х = 0;

2) 0,2 x 2 - 2х = 0;

3) х 2 - х = 0;

4) 1 - х 2 + - х = 0.

Решите уравнение:

1) х(3х + 2) - 5(3х + 2) = 0;

2) 2х(х - 2) - 5(2 - х) = 0.

Решите уравнение:

1) х(4х + 5) - 7(4х + 5) = 0;

2) 7(х - 3) - 2х(3 - х) = 0.

1) 17 3 + 17 2 кратное числу 18;

2) 9 14 - 81 6 кратное числу 80.

Докажите, что значение выражения:

1) 39 9 - 39 8 делится на 38;

2) 49 5 - 7 8 делится на 48.

Вынесите за скобки общий множитель:

1) (5m - 10) 2 ;

2) (18а + 27b) 2 .

Найдите корни уравнения:

1) х(х - 3) = 7х - 21;

2) 2х(х - 5) = 20 - 4х.

Решите уравнение:

1) х(х - 2) = 4х - 8;

2) 3х(х - 4) = 28 - 7х.

Докажите, что число:

1) 10 4 + 5 3 делится на 9;

2) 4 15 - 4 14 + 4 13 делится на 13;

3) 27 3 - 3 7 + 9 3 делится на 25;

4) 21 3 + 14 а - 7 3 делится на 34.

Упражнения для повторения

Упростите выражение и найдите его значение:

1) -3x 2 + 7x 3 – 4х 2 + 3x 2 , если х = 0,1;

2) 8m + 5n - 7m + 15n, если m = 7, n = -1.

Запишите вместо звездочек такие коэффициенты одночлен, чтобы равенство превратилось в тождество:

1) 2m 2 - 4mn + n 2 + (*m 2 - *m - *n 2) = 3m 2 - 9mn - 5n 2 ;

2) 7х 2 - 10у 2 - ху - (*х 2 - *ху + * 2) = -х 2 + 3у 2 + ху.

Длина прямоугольника втрое больше его ширины. Если длину прямоугольника уменьшить на 5 см, то его площадь уменьшится на 40 см 2 . Найдите длину и ширину прямоугольника.

Интересные задачи для учеников ленивых

Известно, что а < b < с. Могут ли одновременно выполняться неравенства |а| > |с| и |b| < |с|?

Найдём значение выражения: .

В данном примере вынесение общего множителя за скобки значительно упростило вычисление.

Решим еще один пример. Докажем делимость на выражения .

Решим еще один пример. Докажем, что выражение делится на при любом натуральном : .

Вспомним, что многочлен - сумма одночленов.

Было легко найти общий множитель, но давайте определим НОД коэффициентов: .

Рассмотрим ещё один пример: .

Найдем , что позволит нам определить общий множитель для данного выражения: .

Усложним пример, увеличив количество одночленов:

После вынесения общего множителя мы преобразовали алгебраическую сумму в произведение.

Общим множителем также может быть искомое значение :

В этой статье мы остановимся на вынесении за скобки общего множителя . Для начала разберемся, в чем состоит указанное преобразование выражения. Дальше приведем правило вынесения общего множителя за скобки и подробно рассмотрим примеры его применения.

Навигация по странице.

Например, слагаемые в выражении 6·x+4·y имеют общий множитель 2 , который не записан явно. Его можно увидеть лишь после того, как представить число 6 в виде произведения 2·3 , а 4 в виде произведения 2·2 . Итак, 6·x+4·y=2·3·x+2·2·y=2·(3·x+2·y) . Еще пример: в выражении x 3 +x 2 +3·x слагаемые имеют общий множитель x , который становится явно виден после замены x 3 на x·x 2 (при этом мы использовали ) и x 2 на x·x . После вынесения его за скобки получим x·(x 2 +x+3) .

Отдельно скажем про вынесение минуса за скобки. Фактически вынесение минуса за скобки означает вынесение за скобки минус единицы. Для примера вынесем за скобки минус в выражении −5−12·x+4·x·y . Исходное выражение можно переписать в виде (−1)·5+(−1)·12·x−(−1)·4·x·y , откуда отчетливо виден общий множитель −1 , который мы и выносим за скобки. В результате придем к выражению (−1)·(5+12·x−4·x·y) , в котором коэффициент −1 заменяется просто минусом перед скобками, в итоге имеем −(5+12·x−4·x·y) . Отсюда хорошо видно, что при вынесении минуса за скобки в скобках остается исходная сумма, в которой изменены знаки всех ее слагаемых на противоположные.

В заключение этой статьи заметим, что вынесение за скобки общего множителя применяется очень широко. Например, с его помощью можно более рационально вычислять значения числовых выражений . Также вынесение за скобки общего множителя позволяет представлять выражения в виде произведения, в частности, на вынесении за скобки основан один из методов разложения многочлена на множители .

Список литературы.

Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.