Амплитудно-модулированные сигналы и их спектры. Частотная модуляция

Рассмотренные выше методы анализа первичных сигналов позволяют определить их спектральные и энергетические характеристики. Первичные сигналы являются основными носителями информации. Вместе с тем их спектральные характеристики не соответствуют частотным характеристикам каналов передачи радиотехнических информационных систем. Как правило, энергия первичных сигналов сосредоточена в области низких частот. Так, например, при передаче речи или музыки энергия первичного сигнала сосредоточена примерно в диапазоне частот от 20 Гц до 15 кГц. В то же время диапазон дециметровых волн, который широко используются для передачи информационных и музыкальных программ, занимает частоты от 300 до 3000 мегагерц. Возникает задача переноса спектров первичных сигналов в соответствующие диапазоны радиочастот для передачи их по радиоканалам. Эта задача решается посредствам операции модуляции.

Модуляцией называется процедура преобразования низкочастотных первичных сигналов в сигналы радиочастотного диапазона .

В процедуре модуляции участвуют первичный сигнал и некоторое вспомогательное колебание , называемое несущим колебанием или просто несущей. В общем виде процедуру модуляции можно представить следующим образом

где – правило преобразования (оператор) первичного сигнала в модулированного колебание .

Это правило указывает, какой параметр (или несколько параметров) несущего колебания изменяются по закону изменения . Поскольку управляет изменением параметров , то, как было отмечено в первом разделе, сигнал , является управляющим (модулирующим), а – модулированным сигналами. Очевидно, соответствует оператору обобщенной структурной схемы РТИС.

Выражение (4.1) позволяет провести классификацию видов модуляции, которая представлена на рис. 4.1.

Рис. 4.1

В качестве классификационных признаков выберем вид (форму) управляющего сигнала , форму несущего колебания и вид управляемого параметра несущего колебания.

В первом разделе была проведена классификация первичных сигналов. В радиотехнических информационных системах наиболее широкое распространение в качестве первичных (управляющих) сигналов получили непрерывные и цифровые сигналы. В соответствии с этим по виду управляющего сигнала можно выделить непрерывную и дискретную модуляцию.

В качестве несущего колебания в практической радиотехнике используются гармонические колебания и импульсные последовательности. В соответствии с формой несущего колебания различают модуляцию гармонической несущей и импульсную модуляцию .

И наконец, по виду управляемого параметра несущего колебания в случае гармонической несущей различают амплитудную , частотную и фазовую модуляцию . Очевидно, в этом случае в качестве управляемого параметра выступают соответственно амплитуда, частота или начальная фаза гармонического колебания. Если в качестве несущего колебания используется импульсная последовательность, то аналогом частотной модуляции является широтная импульсная модуляция , где управляемым параметром выступает длительность импульса, а аналогом фазовой модуляции – временная импульсная модуляция , где управляемым параметром выступает положение импульса на временной оси.

В современных радиотехнических системах наиболее широко в качестве несущего колебания используется гармоническое колебание. Учитывая это обстоятельство в дальнейшем, основное внимание будет уделено сигналам с непрерывной и дискретной модуляцией гармонической несущей.

4.2. Сигналы с непрерывной амплитудной модуляцией

Рассмотрение модулированных сигналов начнем с сигналов, у которых в качестве изменяемого параметра выступает амплитуда несущего колебания. Модулированный сигнал в этом случае является амплитудно-модулированным или сигналом с амплитудной модуляцией (АМ-сигналом ).

Как уже было отмечено выше, основное внимание будет уделено сигналам, несущее колебание которых представляет собой гармоническое колебание вида

где – амплитуда несущего колебания,

– частота несущего колебания.

В качестве модулирующих сигналов сначала рассмотрим непрерывные сигналы . Тогда модулированные сигналы будут являться сигналами с непрерывной амплитудной модуляцией . Такой сигнал описывается выражением

где – огибающая АМ-сигнала,

– коэффициент амплитудной модуляции.

Из выражения (4.2) следует, что АМ-сигнал представляет собой произведение огибающей на гармоническую функцию . Коэффициент амплитудной модуляции характеризует глубину модуляции и в общем случае описывается выражением

. (4.3)

Очевидно, при сигнал представляет собой просто несущее колебание.

Для более детального анализа характеристик АМ-сигналов рассмотрим простейший АМ-сигнал, в котором в качестве модулирующего сигнала выступает гармоническое колебание

, (4.4)

где , – соответственно амплитуда и частота модулирующего (управляющего) сигнала, причем . В этом случае сигнал описывается выражением

, (4.5)

и называется сигналом однотональной амплитудной модуляции.

На рис. 4.2 изображены модулирующий сигнал , колебание несущей частоты и сигнал .

Для такого сигнала коэффициент глубины амплитудной модуляции равен

Воспользовавшись известным тригонометрическим соот-ношением

после несложных преобразований получим

Выражение (4.6) устанавливает спектральный состав однотонального АМ-сигнала. Первое слагаемое представляет собой немодулированное колебание (несущее колебание). Второе и третье слагаемые соответствуют новым гармоническим составляющим, появившимся в результате модуляции амплитуды несущего колебания; частоты этих колебаний и называются нижней и верхней боковыми частотами, а сами составляющие – нижней и верхней боковыми составляющими.

Амплитуды этих двух колебаний одинаковы и составляют величину

, (4.7)

На рис. 4.3 изображен амплитудный спектр однотонального АМ-сигнала. Из этого рисунка следует, что амплитуды боковых составляющих располагаются симметрично относительно амплитуды и начальной фазы несущего колебания. Очевидно, ширина спектра однотонального АМ-сигнала равна удвоенной частоте управляющего сигнала

В общем случае, когда управляющий сигнал характеризуется произвольным спектром, сосредоточенным в полосе частот от до , спектральный характер АМ-сигнала принципиально не отличается от однотонального.

На рис. 4.4 изображены спектры управляющего сигнала и сигнала с амплитудной модуляцией. В отличие от однотонального АМ-сигнала в спектре произвольного АМ-сигнала фигурируют нижняя и верхняя боковые полосы. При этом верхняя боковая полоса является копией спектра управляющего сигнала, сдвинутой по оси частот на

величину , а нижняя боковая полоса представляет собой зекаль-ное отображение верхней. Очевидно, ширина спектра произвольного АМ-сигнала

т.е. равна удвоенной верхней граничной частоте управляющего сигнала.

Возвратимся к сигналу однотональной амплитудной модуляции и найдем его энергетические характеристики. Средняя мощность АМ-сигнала за период управляющего сигнала определяется по формуле:

. (4.9)

Так как , а , положим , где . Подставляя выражение (4.6) в (4.9), после несложных, но достаточно громоздких преобразований с учетом того, что и с использованием тригонометрических соотношений

Здесь первое слагаемое характеризует среднюю мощность несущего колебания, а второе – суммарную среднюю мощность боковых составляющих, т.е.

Так как суммарная средняя мощность боковых составляющих делится поровну между нижней и верхней, что вытекает из (4.7), то отсюда следует

Таким образом, на передачу несущего колебания в АМ-сигнале тратится более половины мощности (с учетом того, что ), чем на передачу боковых составляющих. Так как информация заложена именно в боковых составляющих, передача составляющей несущего колебания нецелесообразна с энергетической точки зрения. Поиск более эффективных методов использования принципа амплитудной модуляции приводит к сигналам балансной и однополосной амплитудной модуляции.

4.3. Сигналы балансной и однополосной амплитудной модуляции

Сигналы балансной амплитудной модуляции (БАМ) характеризуются отсутствием в спектре составляющей несущего колебания. Перейдем сразу к рассмотрению сигналов однотональной балансной модуляции, когда в качестве управляющего колебания выступает гармонический сигнал вида (4.4). Исключение из (4.6) составляющей несущего колебания

приводит к результату

Рассчитаем среднюю мощность сигнала балансной модуляции. Подстановка (4.12) в (4.9) после преобразований дает выражение

.

Очевидно, что энергетический выигрыш при использовании сигналов балансной модуляции по сравнению с классической амплитудной модуляцией будет равен

При этот выигрыш составляет величину .

На рис. 4.5 представлен один из вариантов структурной схемы формирователя сигналов балансной амплитудной модуляции. Формирователь содержит:

• Инв1, Инв2 – инверторы сигналов (устройства, изменяющие полярность напряжений на противоположную);
• АМ1, АМ2 – амплитудные модуляторы;
• SM – сумматор.

Колебание несущей частоты поступает на входы модуляторов АМ1 и АМ2 непосредственно. Что касается управляющего сигнала , то на второй вход АМ1 он поступает непосредственно, а на второй вход АМ2 – через инвертор Инв1. В результате на выходах модуляторов формируются колебания вида

На входы сумматора поступают соответственно колебания и . Результирующий сигнал на выходе сумматора составит

В случае однотональной амплитудной модуляции выражение (4.13) принимает вид

Используя формулу произведения косинусов, после преобразований получим

что с точностью до постоянного множителя совпадает с (4.12). Очевидно, ширина спектра сигналов БАМ равна ширине спектра сигналов АМ.

Балансная амплитудная модуляция позволяет исключить передачу несущего колебания, что приводит к энергетическому выигрышу. Вместе с тем, обе боковые полосы (боковые составляющие в случае однотональной АМ) несут одну и ту же информацию. Напрашивается вывод о целесообразности формирования и передачи сигналов с подавленной одной из боковых полос. В этом случае мы приходим к однополосной амплитудной модуляции (ОАМ).

Если из спектра сигнала БАМ исключить одну из боковых составляющих (скажем верхнюю боковую составляющую), то в случае гармонического управляющего сигнала получим

Так как средняя мощность сигнала БАМ делится поровну между боковыми составляющими, то очевидно, что средняя мощность сигнала ОАМ составит

Энергетический выигрыш по сравнению с амплитудной модуляцией составит

а при он будет равен .

Формирование однополосного АМ-сигнала может быть осуществлено на базе формирователей сигналов балансной модуляции. Структурная схема формирователя однополосного АМ-сигнала представлена на рис. 4.6.

В состав формирователя сигнала однополосной амплитудной модуляции входят:

На входы БАМ1 поступают сигналы:

Тогда на его выходе в соответствии с (4.15) формируется сигнал

На входы БАМ2 поступают сигналы

и .

С выхода БАМ2 снимается колебание, описываемое в соответствии с (4.14) с заменой косинусов на синусы

С учетом известного тригонометрического соотношения

выходной сигнал БАМ2 преобразуется к виду

Сложение сигналов (4.17) и (4.18) в сумматоре SM дает

что с точностью до постоянного множителя совпадает с (4.16). Что касается спектральных характеристик, то ширина спектра сигналов ОАМ вдвое меньше спектра АМ или БАМ сигналов.

Таким образом, при одинаковых и однополосная АМ обеспечивает существенный энергетический выигрыш по сравнению с классической АМ и балансной модуляцией. Вместе с тем, реализация сигналов балансной амплитудной и однополосной амплитудной модуляции сопряжена с некоторыми трудностями, касающимися необходимости восстановления несущего колебания при обработке сигналов на приемной стороне. Эта задача решается устройствами синхронизации передающей и приемной сторон, что в общем плане приводит к усложнению аппаратуры.

4.4. Сигналы с непрерывной угловой модуляцией

4.4.1. Обобщенное представление сигналов с угловой модуляцией

В предыдущем разделе была рассмотрена процедура модуляции, когда информационным параметром, изменяемым в соответствии с законом управляющего (модулирующего) сигнала являлась амплитуда несущего колебания. Однако помимо амплитуды несущее колебание характеризуется также частотой и начальной фазой

где – полная фаза несущего колебания, которая определяет текущее значение фазового угла.

Изменение либо , либо в соответствии с управляющим сигналом соответствует угловой модуляции . Таким образом, понятие угловой модуляции включает в себя как частотную (ЧМ), так и фазовую (ФМ) модуляцию.

Рассмотрим обобщенные аналитические соотношения для сигналов с угловой модуляцией. При частотной модуляции в соответствии с управляющим сигналом изменяется мгновенная частота несущего колебания в пределах от нижней до граничных частот

Наибольшее значение частотного отклонения от называется девиацией частоты

.

Если граничные частоты расположены симметрично относительно , то девиация частоты

. (4.22)

Именно такой случай частотной модуляции будет рассматриваться в дальнейшем.

Закон изменения полной фазы определяется как интеграл от мгновенной частоты. Тогда, с учетом (4.21) и (4.22), можно записать

Подставляя (4.23) в (4.20), получим обобщенное аналитическое выражение сигнала с частотной модуляцией

Слагаемое представляет собой составляющую полной фазы, обусловленную наличием частотной модуляции. Нетрудно убедится в том, что полная фаза сигнала с частотной модуляцией изменяется по закону интеграла от .

При фазовой модуляции , в соответствии с модулирующем сигналом , изменяется начальная фаза несущего колебания в пределах от нижнего до верхнего граничных значений фазы

Наибольшее отклонение фазового сдвига от называется девиацией фазы . Если и расположены симметрично относительно , то . В этом случае полная фаза сигнала с фазовой модуляцией

Тогда, подставляя (4.26) в (4.20), получим обобщенное аналитическое выражение сигнала с фазовой модуляцией

Рассмотрим, как изменяется мгновенная частота сигнала при фазовой модуляции. Известно, что мгновенная частота и текущая пол-

ная фаза связаны соотношением

.

Подставляя в это выражение формулу (4.26) и проведя операцию дифференцирования, получим

где – составляющая частоты, обусловленная наличием фазовой модуляции несущего колебания (4.20).

Таким образом, изменение начальной фазы несущего колебания приводит к изменению мгновенных значений частоты по закону производной от по времени.

Практическая реализация устройств формирования сигналов угловой модуляции может осуществляться одним из двух методов: прямым или косвенным. При прямом методе в соответствии с законом изменения управляющего сигнала изменяются параметры колебательного контура генератора несущего колебания. Выходной сигнал при этом оказывается промодулированным по частоте. Для получения сигнала фазовой модуляции на входе частотного модулятора включается дифференцирующая цепь.

Сигналы фазовой модуляции при прямом методе формируются путём изменения параметров колебательного контура усилителя, подключённого к выходу генератора несущего колебания. Для преобразования сигналов фазовой модуляции в сигнал частотной модуляции управляющее колебание подаётся на вход фазового модулятора через интегрирующую цепь.

Косвенные методы не предполагают непосредственного воздействия управляющего сигнала на параметры колебательного контура. Один из косвенных методов базируется на преобразовании амплитудно-модулированных сигналов в сигналы фазовой модуляции, а те, в свою очередь, - в сигналы частотной модуляции. Более подробно, вопросы формирования сигналов частотной и фазовой модуляции будут рассмотрены ниже.

4.4.2. Сигналы с частотной модуляцией

Анализ характеристик сигналов с угловой модуляцией мы начнём с рассмотрения однотональной частотной модуляции. Управляющий сигнал в этом случае представляет собой колебание единичной амплитуды (к этому виду всегда можно привести )

, (4.29)

а модулируемым параметром несущего колебания является мгновенная частота. Тогда, подставляя (4.29) в (4.24), получим:

Выполнив операцию интегрирования, приходим к следующему выражению сигнала однотональной частотной модуляции

Отношение

называется индексом частотной модуляции и имеет физический смысл части девиации частоты , приходящуюся на единицу частоты модулирующего сигнала. Так например, если девиация частоты несущего колебания МГц составляет , а частота управляющего сигнала кГц, то индекс частотной модуляции составит . В выражении (4.30) начальная фаза не учитывается как не имеющая принципиального значения.

Временная диаграмма сигнала при однотональной ЧМ представлена на рис. 4.7

Рассмотрение спектральных характеристик ЧМ-сигнала начнём с частного случая малого индекса частотной модуляции . Воспользовавшись соотношением

представим (4.30) в виде

Поскольку , то можно воспользоваться приближёнными представлениями

и выражение (4.31) приобретает вид

Воспользовавшись известным тригонометрическим соотношением

и полагая и , получим:

Это выражение напоминает выражение (4.6) для однотонального АМ – сигнала. Отличие состоит в том, что, если в однотональном АМ – сигнале начальные фазы боковых составляющих одинаковы , то в однотональном ЧМ сигнале при малых индексах частотной модуляции они отличаются на угол , т.е. находятся в противофазе.

Спектральная диаграмма такого сигнала показана на рис. 4.8

В скобках указаны значения начальной фазы боковых составляющих. Очевидно, ширина спектра ЧМ – сигнала при малых индексах частотной модуляции равна

.

Сигналы с частотной модуляцией с малым в практической радиотехнике применяются достаточно редко.

В реальных радиотехнических системах индекс частотной модуляции существенно превышает единицу.

Так например, в современных аналоговых системах мобильной связи, использующих для передачи речевых сообщений сигналы частотной модуляции при верхней частоте речевого сигнала кГц и девиации частоты кГц, индекс , как нетрудно убедиться, достигает значения ~3-4. В системах же радиовещания метрового диапазона индекс частотной модуляции может превышать значения, равного 10. Поэтому рассмотрим спектральные характеристики ЧМ сигналов при произвольных значениях величины .

Возвратимся к выражению (4.32). Известны следующие виды разложения

где – фунция Бесселя первого рода -го порядка.

Подставляя эти выражения в (4.32), после несложных, но довольно громоздких преобразований с использованием уже неоднократно упомянутых выше соотношений произведений косинусов и синусов, получим

(4.36)

где .

Полученное выражение представляет собой разложение однотонального ЧМ – сигнала на гармонические составляющие, т.е. амплитудный спектр. Первое слагаемое этого выражения является спектральной составляющей колебания несущей частоты с амплитудой . Первая сумма выражения (4.35) характеризует боковые составляющие с амплитудами и частотами , т.е. нижнюю боковую полосу, а вторая сумма – боковые составляющие с амплитудами и частотами , т.е. верхнюю боковую полосу спектра.

Спектральная диаграмма ЧМ – сигнала при произвольном представлена на рис. 4.9.

Проанализируем характер амплитудного спектра ЧМ – сигнала. В первую очередь отметим, что спектр является симметричным относительно частоты несущего колебания и теоретически является бесконечным.

Составляющие боковых боковых полос расположены на расстоянии Ω друг от друга, а их амплитуды зависят от индекса частотной модуляции. И наконец, у спектральных составляющих нижней и верхней боковых частот с чётными индексами начальные фазы совпадают, а у спектральных составляющих с нечётными индексами отличаются на угол .

В таблице 4.1 приведены значения функции Бесселя для различных i и . Обратим внимание на составляющую несущего колебания . Амплитуда этой составляющей равна . Из таблицы 4.1 следует, что при амплитуда , т.е. спектральная составляющая несущего колебания в спектре ЧМ – сигнала отсутствует. Но это не означает отсутствия несущего колебания в ЧМ – сигнале (4.30). Просто энергия несущего колебания перераспределяется между составляющими боковых полос.

Таблица 4.1

Как уже подчёркивалось выше спектр ЧМ – сигнала теоретически является бесконечным. На практике же полоса пропускания радиотехнических устройств всегда ограничена. Оценим практическую ширину спектра, при котором воспроизведение ЧМ – сигнала можно считать неискажённым.

Средняя мощность ЧМ – сигнала определяется как сумма средних мощностей спектральных составляющих

Проведённые расчёты показали, что около 99% энергии ЧМ – сигнала сосредоточено в частотных составляющих с номерами . А это означает, что частотными составляющими с номерами можно пренебречь. Тогда практическая ширина спектра при однотональной ЧМ с учётом его симметрии относительно

а при больших значения

Т.е. равна удвоенной девиации частоты.

Таким образом, ширина спектра ЧМ – сигнала приблизительно в раз больше ширины спектра АМ – сигнала. Вместе с тем, для передачи информации используется вся энергия сигнала. В этом состоит преимущества сигналов частотной модуляции над сигналами амплитудной модуляции.

4.5. Сигналы с дискретной модуляцией

Рассмотренные выше сигналы с непрерывной модуляцией, в основном используются в системах радиовещания, радиотелефонии, телевидения и других. Вместе с тем, переход на цифровые технологии в радиотехнике, в том числе и в перечисленных областях, обусловил широкое использование сигналов с дискретной модуляцией или манипуляцией. Так как исторически сигналы дискретной модуляции впервые были использованы для передачи телеграфных сообщений, такие сигналы ещё называют сигналами амплитудной (АТ), частотной (ЧТ), и фазовой (ФТ) телеграфии. Ниже при описании соответствующих сигналов будет использована эта аббревиатура, что позволит отличать их от сигналов с непрерывной модуляцией.

4.5.1. Сигналы с дискретной амплитудной модуляцией

Сигналы дискретной амплитудной модуляции характеризуются тем, что амплитуда несущего колебания изменяется в соответствии с управляющим сигналом, который представляет собой последовательности импульсов, обычно прямоугольной формы. При исследовании характеристик сигналов с непрерывной модуляцией в качестве управляющего сигнала рассматривался гармонический сигнал. По аналогии с этим для сигналов с дискретной модуляцией в качестве управляющего сигнала используем периодическую последовательность прямоугольных импульсов

Очевидно, как следует из (4.39), длительность импульса составляет , а скважность .

На рис. 4.10 представлены эпюры управляющего сигнала , несущего колебания и амплитудно-манипулированного сигнала . Здесь и далее будем полагать амплитуду импульсов управляющего сигнала равной , а начальную фазу несущего колебания . Тогда сигнал с дискретной амплитудной модуляцией можно записать следующим образом

Ранее было получено разложение последовательности прямоугольных импульсов в ряд Фурье (2.13). Для рассматриваемого случая и выражение (2.13) принимает вид

Подставляя (4.41) в (4.40) и используя формулу произведения косинусов, получим:

На рис. 4.11 изображён амплитудный спектр сигнала, модулированного по амплитуде последовательностью прямоугольных импульсов. Спектр содержит составляющую несущей частоты с амплитудой и две боковые полосы каждая из которых состоит из бесконечного числа гармонических составляющих, располагающихся на частотах , амплитуды которых изменяются по закону . Боковые полосы, так же как и при непрерывной АМ, расположены зеркально по отношению к спектральной составляющей несущей частоты. Нули амплитудного спектра сигнала АТ соответствуют нулям амплитудного спектра сигнала , но сдвинуты влево и вправо на величину .

Ввиду того, что основная часть энергии управляющего сигнала сосредоточена в пределах первого лепестка спектра, практическую ширину спектра в рассматриваемом случае, исходя из рис. 4.11, можно определить как

. (4.43)

Этот результат согласуется с расчётами спектра, приведёнными в [Л.4], где показано, что большая часть мощности сосредоточена в боковых составляющих с частотами и .

4.5.2. Сигналы с дискретной частотной модуляцией

При анализе сигналов с дискретной угловой модуляцией удобно в качестве модулирующего сигнала использовать периодическую последовательность прямоугольных импульсов вида “меандр”. Тогда управляющий сигнал на интервале времени принимает значение , а на интервале времени - значение . Снова, как и при анализе сигналов АТ будем полагать .

Как следует из подраздела 4.3.1 сигнал с частотной модуляцией описывается выражением (4.24). Тогда с учётом того, что на интервале управляющий сигнал , а на интервале управляющий сигнал , проведя операцию интегрирования, получим выражение сигнала ЧТ

На рис 4.12 приведены временные диаграммы управляющего сигнала , несущего колебания и сигнала дискретной частотной модуляции .

С другой стороны сигнал ЧТ, как это следует из рис. 4.12, может быть представлен суммой двух сигналов дискретной амплитудной модуляции и , частоты несущих колебаний которых соответственно равны

,

Продолжаем серию общеобразовательных статей, под общим названием «Теория радиоволн».
В предыдущих статьях мы познакомились с радиоволнами и антеннами: Давайте ближе познакомимся с модуляцией радиосигнала.

В рамках этой статьи, будет рассмотрена аналоговая модуляция следующих видов:

• Амплитудная модуляция
• Амплитудная модуляция c одной боковой полосой
• Частотная модуляция
• Линейно-частотная модуляция
• Фазовая модуляция
• Дифференциально-фазовая модуляция

Амплитудная модуляция

При амплитудной модуляции, огибающая амплитуд несущего колебания изменяется по закону, совпадающему с законом передаваемого сообщения. Частота и фаза несущего колебания при этом не меняется.

Одним из основных параметров АМ, является коэфициент модуляции(M).
Коэффициент модуляции - это отношение разности между максимальным и минимальным значениями амплитуд модулированного сигнала к сумме этих значений(%).
Проще говоря, этот коэффициент показывает, насколько сильно значение амплитуда несущего колебания в данный момент отклоняется от среднего значения.
При коэффициенте модуляции больше 1, возникает эффект перемодуляции, в результате чего происходит искажение сигнала.

Спектр АМ

Данный спектр свойственен для модулирующего колебания постоянной частоты.

На графике, по оси Х представлена частота, по оси У - амплитуда.
Для АМ, кроме амплитуды основной частоты, находящейся в центре, представлены также значения амплитуд справа и слева от частоты несущей. Это так называемые левая и правая боковые полосы. Они отнесены от частоты несущей на расстояние равное частоте модуляции.
Расстояние от левой до правой боковой полосы называют ширина спектра .
В нормальном случае, при коэффициенте модуляции <=1, амплитуды боковых полос меньше или равны половине амплитуды несущей.
Полезная информация заключена только в верхней или нижней боковых полосах спектра. Основная спектральная составляющая - несущая, не несет полезной информации. Мощность передатчика при амплитудной модуляции в большей части расходуется на «обогрев воздуха», за счет не информативности самого основного элемента спектра.

Амплитудная модуляция с одной боковой полосой

В связи с неэффективностью классической амплитудной модуляции, была придумана амплитудная модуляция с одной боковой полосой.
Суть ее заключается в удалении из спектра несущей и одной из боковых полос, при этом вся необходимая информация передается по оставшейся боковой полосе.

Но в чистом виде в бытовом радиовещании этот вид не прижился, т.к. в приемнике нужно синтезировать несущую с очень высокой точностью. Используется в аппаратуре уплотнения и любительском радио.
В радиовещании чаще используют АМ с одной боковой полосой и частично подавленной несущей:

При такой модуляции соотношение качество/эффективность наилучшим образом достигается.

Частотная модуляция

Вид аналоговой модуляции, при которой, частота несущей изменяется по закону модулирующего низкочастотного сигнала. Амплитуда при этом остается постоянной.

а) - несущая частота, б) модулирующий сигнал, в) результат модуляции

Наибольшее отклонение частоты от среднего значения, называется девиацией .
В идеальном варианте, девиация должна быть прямо пропорционально амплитуде модулирующего колебания.

Спектр при частотной модуляции выглядит следующим образом:

Состоит из несущей и симметрично отстающей от нее вправо и влево гармоник боковых полос, на частоту кратную частоте модулирующего колебания.
Данный спектр представляет гармоническое колебание. В случае реальной модуляции, спектр имеет более сложные очертания.
Различают широкополосную и узкополосную ЧМ модуляцию.
В широкополосной - спектр частот, значительно превосходит частоту модулирующего сигнала. Применяется в ЧМ радиовещании.
В радиостанциях применяют в основном узкополосную ЧМ модуляцию, требующую более точной настройки приемника и соответственно более защищенную от помех.
Спектры широкополосной и узкополосной ЧМ представлены ниже

Спектр узкополосной ЧМ напоминает амплитудную модуляцию, но если учесть фазу боковых полос, то окажется, что эти волны имеют постоянную амплитуду и переменную частоту, а не постоянную частоту и переменную амплитуду (AM). При широкополосной ЧМ амплитуда несущей может быть очень малой, что обусловливает высокую эффективность ЧМ; это значит, что большая часть передаваемой энергии содержится в боковых частотах, несущих информацию.

Основные преимущества ЧМ, перед АМ - энергоэффективность и помехоустойчивость.

Как разновидность ЧМ, выделяют Линейно-частотную модуляцию.
Суть ее заключается в том, что частота несущего сигнала изменяется по линейному закону.

Практическая значимость линейно-частотно-модулированных (ЛЧМ) сигналов заключается в возможности существенного сжатия сигнала при приеме с увеличением его амплитуды над уровнем помех.
ЛЧМ находят применение в радиолокации.

Фазовая модуляция

В реальности, больше применяют термин фазовая манипуляция, т.к. в основном производят модуляцию дискретных сигналов.
Смысл ФМ таков, что фаза несущей, изменяется скачкообразно, при приходе очередного дискретного сигнала, отличного от предыдущего.

Из спектра можно видеть, почти полное отсутствие несущей, что указывают на высокую энергоэффективность.
Недостаток данной модуляции в том, что ошибка в одном символе, может привести к некорректному приему всех последующих.

Дифференциально-фазовая манипуляция

В случае этой модуляции, фаза меняется не при каждом изменении значения модулирующего импульса, а при изменении разности. В данном примере при приходе каждой «1».

Преимущество этого вида модуляции в том, что в случае возникновения случайной ошибки в одном символе, это не влечет дальнейшую цепочку ошибок.

Стоит отметить, что существуют также фазовые манипуляции такие как квадратурная, где используется изменение фазы в пределах 90 градусов и ФМ более высоких порядков, но их рассмотрение выходит за рамки данной статьи.

PS: хочу еще раз отметить, что цель статей не заменить учебник, а рассказать «на пальцах» об основах радио.
Рассмотрены лишь основные виды модуляций для создания у читателя представления о теме.

Общие сведения о модуляции. Для передачи сигналов на большие расстояния необходимо, чтобы они обладали большой энергией. Известно, что энергия сигнала пропорциональна четвертой степени его частоты, то есть сигналы с большей частотой обладают большей энергией. В практике часто сигналы, несущие в себе информацию, например, речевые сигналы, имеют низкую частоту колебаний и поэтому, чтобы передать их на большое расстояние необходимо частоту информационных сигналов повышать. Добиваются этого путем “накладывания” информационного сигнала на другой сигнал, который имеет высокую частоту колебаний.

Рассмотрим гармоническое колебание, которое имеет частоту ω достаточную для распространения на большие расстояния и изменяется по закону:

Наложить информацию на это колебание можно путем медленного, по сравнению с периодом, изменения его амплитуды Um, частоты ω или фазы φ. Такой процесс называется модуляцией.

В зависимости от того, какой параметр изменяют, различают амплитудную, частотную и фазовую модуляцию.

Амплитудно-модулированный сигнал получается путем перемножения двух сигналов. Один содержит информацию, а другой является несущим. Пусть сигнал информации, (рис.2.14) и несущее колебание (рис. 2.15) изменяются в соответствии со следующими выражениями:

U1(t) = U0 + U1m cosΩt,

U2(t) = U2m cost,

где U0 - постоянная составляющая сигнала, U1mи U2m - амплитуды информационного сигнала и несущего колебания, Ω, ω – частота информационного сигнала и несущего колебания.

Рис. 2.14. Информационный сигнал.

Рис. 2.15. Несущее колебание.

Перемножим эти сигналы:

Введем обозначения:

где Um – амплитуда промодулированного сигнала, М - коэффициент модуляции.

С учетом введенных обозначений, получим выражение для амплитудно - модулированного сигнала в следующем виде:

Вид амплитудно-модулированного сигнала показан на рис. 2.16, а его спектр на рис. 2.17.

Рис. 2.16. Амплитудно-модулированный сигнал.

Таким образом, спектр радиочастотного колебания при амплитудной модуляции гармоническим колебанием состоит из трех составляющих: нижней боковой, несущей и верхней боковой гармоник. Видно, что амплитуды боковых составляющих зависят от коэффициента модуляцииМ.

Рис.2.17. Спектр амплитудно - модулированного сигнала.

На практике бывает случай, когда модулирующий низкочастотный сигнал имеет сложный спектральный состав:

. (2.55)

Здесь частоты Ωi образуют упорядоченную возрастающую последовательность Ω1 < Ω2 <…< ΩN, в то время, как амплитуды Ui и начальные фазы ϕi произвольны. Вид сигнала показан на рис. 2.18. В этом случае амплитудно - модулированный сигнал будет иметь вид:

Введем обозначение:

Тогда выражение (2.56) примет вид:

Выполним преобразования будем иметь:

(2.57)

Рис. 2.18. Спектр низкочастотного модулирующего сигнала.

Спектральная диаграмма многотонального АМ - сигнала приведена на рис. 2.19.

Рис. 2.19. Спектр многотонального АМ - сигнала.

Видно, что в спектре сложномодулированного АМ - сигнала, помимо несущего колебания, содержатся группы верхних и нижних боковых колебаний. Спектр верхних боковых колебаний является масштабной копией спектра модулирующего сигнала, сдвинутой в область высоких частот на величинуω0. Спектр нижних боковых колебаний располагается зеркально относительно несущей частоты ω0 и также повторяет спектральную диаграмму модулирующего сигнала. Ширина спектра АМ - сигнала равна удвоенному значению наивысшей частоты в спектре модулирующего низкочастотного сигнала.

Частотно- и фазомодулированные сигналы. Частотно-модулированный сигнал – это колебание, у которого мгновенная частота изменяется по закону модулирующего сигнала. Пусть модулирующий сигнал и несущее колебание изменяется, как показано на рис. 2.20, 2.21.

Рис.2.20. Модулирующий сигнал.

Рис.2.21. Несущий сигнал.

Тогда мгновенная частота при частотной модуляции равна:

здесь Δω – девиация (отклонение) частоты под действием модулирующего сигнала, это отклонение в принципе пропорционально амплитуде модулирующего колебания. Мгновенную фазу частотно-модулированного сигнала найдем, проинтегрировавω (t) по времени:

(2.59)

В соответствии с рис. 2.21 и выражением (2.59) частотно-модулированное колебание запишется в следующем виде:

где – есть индекс частотной модуляции. Вид частотно - модулированного сигнала показан на рис. 2.22.

Рис. 2.22. Частотно - модулированный сигнал.

Преобразуем выражение (2.60) по формуле косинуса суммы двух аргументов, получим:

Применим для выражений cos(m sin Ωt) и sin(m sin Ωt) преобразования по функциям Бесселя:

Тогда выражение (2.61) для частотно-модулированного сигнала будет иметь вид:

. (2.62)

Из (2.62) видно, что частотно - модулированный сигнал имеет дискретный спектр рис. 2.23. с гармониками на частотах (ω0± nΩ), где n=1, 2, 3, 4, 5…

Рис. 2.23. Спектр частотно - модулированного сигнала.

Вид спектра модулированного колебания зависит от индекса частотной модуляции m, теоретически спектр бесконечен, но на практике он ограничивается двумя – тремя составляющими, так как функции Бесселя высших порядков интенсивно убывают.

Фазомодулированным колебанием называется колебание, у которого фаза изменяется по закону модулирующего сигнала. Выражение, описывающее такое колебание, имеет вид:

Частотно-модулированное колебание является в то же время и фазомодулированным. Иногда оба вида модуляции называют угловой модуляцией. Однако при частотной модуляции изменение частоты, а не фазы совпадает с законом изменения модулирующего сигнала. Кроме того, при частотной модуляции индекс модуляции обратно пропорционален модулирующей частоте, тогда как при фазовой модуляции такой зависимости нет.

Когда колебание промодулировано гармоническим сигналом, отличить частотную модуляцию от фазовой можно, только сравнив изменения мгновенной фазы модулированного колебания с законом изменения модулирующего напряжения.

Обратимся к модулированным сигналам, полученным путем изменения по закону передаваемого сообщения в несущем колебании частоты w 0 , или начальной фазы j 0 . Поскольку в обоих случаях аргумент гармонического колебания y(t ) = w 0 t + j 0 определяет мгновенное значение фазового угла, такие радиосигналы получили название сигналов с угловой модуляцией. Если в несущем колебании изменяется частота w 0 , то имеем дело с частотной модуляцией (ЧМ), если же изменяется фаза j 0 – фазовой модуляцией (ФМ).

Частотная модуляция. При частотной модуляции несущая частота w(t ) связана с модулирующим сигналом e (t ) зависимостью:

w(t ) = w 0 + k ч e (t ) (5.1)

здесь k ч - размерный коэффициент пропорциональности между частотой и напряжением, рад.

Рассмотрим однотональную частотную модуляцию, когда модулирующим сигналом является гармоническое колебание e (t ) = E 0 cosWt , у которого для упрощения начальная фаза q 0 = 0. Пусть также начальная фаза несущего колебания j 0 = 0. При необходимости начальные фазы q 0 и j 0 легко могут быть введены в окончательные соотношения. Полную фазу ЧМ – сигнала в любой момент времени t определим путем интегрирования частоты, выраженной через формулу (5.1):

где w дч = - максимальное отклонение частоты от значения w 0 , или девиация частоты при частотной модуляции.

Отношение m ч = w дч /W = k ч E 0 /W, (5.3)

являющееся девиацией фазы несущего колебания, называют индексом частотной модуляции.

С учетом (5.2) и (5.3) ЧМ – сигнал запишется в следующем виде:

На рис. 5.1 представлены временные диаграммы соответственно несущего колебания u н (t ) и модулирующего сигнала e (t ) с начальными фазами j 0 = q 0 = 90 o , и полученный в результате процесса частотной модуляции ЧМ – сигнал u чм (t ) . Нетрудно заметить, что по формуле ЧМ-сигнал напоминает сжатые и растянутые меха русской гармошки.

Фазовая модуляция. В ФМ – сигнале полная фаза несущего колебания изменяется пропорционально модулирующему напряжению

y (t ) = w 0 t + k ф e (t ), (5.5)

где k ф - размерный коэффициент пропорциональности, рад/В.

Рис. 5.1 Частотная однотональная модуляция:

а – несущее колебание; б – модулирующий сигнал; в – ЧМ – сигнал

При однотональной модуляции фаза несущего колебания:

y (t ) = w 0 t + k ф E 0 cosWt , (5.6)

Из (5.6) следует, что, как и в случае частотной модуляции, полная фаза несущего колебания изменяется по гармоническому закону. Максимальное отклонение фазы несущего колебания от начальной фазы характеризует индекс фазовой модуляции

m ф = k ф E 0 . (5.7)

Подставляя формулы (5.5) и (5.6) в (4.1), запишем ФМ - сигнал

Дифференцирование формулы (5.6) дает частоту ФМ – сигнала

w(t ) = w 0 - m ф W sinWt = w 0 - w дф sinWt , (5.9)

где w дф = m ф W = k ф E 0 W - максимальное отклонение частоты от значения несущей w 0 , т. е. девиация частоты при фазовой модуляции.

Выражения (5.4), (5.8) показывают, что при однотональной угловой модуляции нельзя определить, является ли сигнал частотно или фазо-модулированным. Различия между этими видами однотональной модуляции проявляется только при изменении амплитуды Е 0 или частоты W моду-лирующего сигнала e (t ).

В случае частотной модуляции девиации частоты w дч пропорциональна амплитуде Е 0 и не зависит от частоты W модулирующего сигнала e (t ) = E 0 cosWt . Индекс же модуляции m ч прямо пропорционален амплитуде Е 0 и обратно пропорционален частоте W модулирующего сигнала. При фазовой модуляции девиации частоты w дф изменяется пропорционально амплитуде Е 0 и частоте модулирующего сигнала. Индекс модуляции m ф пропорционален амплитуде Е 0 и нее зависит от частоты W модулирующего сигнала.

Спектр ЧМ – сигнала при однотональной модуляции. Используя тригонометрические преобразования, запишем соотношение (5.4) следующим образом:

= U н cos(m sinWt )cosw 0 t - U н sin(m sinWt )sinw 0 t . (5.10)

Проанализируем выражение (5.10) отдельно для малых (m << 1) и больших (m >1) индексов модуляции.

Спектр ЧМ – сигнала при m << 1. В этом случае имеют место приближенные равенства

cos(m sinWt ) » 1; sin(m sinWt ) » m sinWt . (5.11)

Подставив (5.11) в (5.10), получим

u ЧМ (t ) = U н cosw 0 t - U н m sinW sinw 0 t =

+ U н cosw 0 t + (mU н /2)cos(w 0 + W)t - (mU н /2) cos(w 0 - W)t . (5.12)

Рис.5.2. Диаграммы ЧМ – сигнала при m << 1:

а – спектральная; б - векторная

Сравнение соотношений (5.12) и (4.6) показывает, что спектр ЧМ – сигнала аналогичен спектру АМП – сигнала и также состоит из несущего колебания и двух боковых составляющих с частотами (w 0 + W) и (w 0 - W). Индекс модуляции m играет здесь ту же роль, что и коэффициент амплитудной модуляции М . Единственное и принципиальное отличие - знак минус перед нижней боковой составляющей в формуле для ЧМ – сигнала, который характеризирует поворот ее фазы на 180 0 , что аналитически приводит к превращению АМП – сигнала в ЧМ – сигнал.

На рис.5.2,а представлена спектральная диаграмма для ЧМ – сигнала при индексе модуляции m << 1. Отметим, что ширина спектра в данном случае равна 2W, как и при амплитудной модуляции.

На векторной диаграмме рис.5.2, б показано, как изменение фазы нижней боковой составляющей на 180 0 (вектор АД) влияет на вектор результирующего колебания ОВ. Направление вектора АД нижней боковой составляющей при АМ – сигнале обозначено штриховой линией. Изменение направления этого вектора на 180 0 не влияет на вектор модуляции АВ, который всегда перпендикулярен вектору несущей ОА. Вектор результирующего колебания ОВ изменяется как по фазе, так и по амплитуде, т.е. с течением времени «качается» вокруг центрального положения. Однако при m<< 1 изменения амплитуды настолько малы, что ими можно пренебречь и модуляцию рассматривать как чисто фазовую.

Теоретический спектр ЧМ – сигнала (аналогично и ФМ – сигнала) бесконечен по полосе частот, однако в реальных случаях он ограничен. Дело в том, что начиная с номера порядка n > m+1 , значения функций Бесселя становится весьма малыми. Поэтому считается, что практическая ширина спектра радиосигналов с угловой модуляцией

Dw ум = 2(m +1)W.

Рис. 5.3. Спектр ЧМ – сигнала.

ЧМ – и ФМ – сигналы, применяемые на практике, имеют индекс модуляции m >>1, поэтому

Dw ум = 2m W = 2w д.

Таким образом, полоса частот, занимаемая сигналами с однотональной частоты модуляцией, равна удвоенной величине девиации частоты и не зависит от частоты модуляции. Спектр сигналов с угловой модуляцией при негармоническом модулирующем сигнале определить достаточно трудно. Но он всегда сложнее, чем спектр АМ – сигнала при том же модулирующем сигнале. Ширина его спектра также значительно больше, чем при амплитудной модуляции.

Примерная структура спектра ЧМ– сигнала при индексе модуляции m =3 показана на рис. 5.3.

Следует отметить, что радиосигналы с частотой и фазовой модуляцией имеют ряд важных преимуществ перед амплитудно-модулированными колебаниями.

1.Поскольку при угловой модуляции амплитуда модулированных колебании не несет в себе никакой информации и не требуется ее постоянства (в отличие от амплитуды модуляции), то практически любые вредные нелинейные изменения амплитуды радиосигнала в процессе осуществления связи не приводят к искажению передаваемого сообщения.

2.Постоянство амплитуды радиосигнала при угловой модуляции позволяет полностью использовать энергетические возможности генератора несущей частоты, который работает в этом случае при неизменной колебательной мощности.

Литература: 1, 2; 6[ 46-61].

Контрольные вопросы:

1.Как осуществляется частотная модуляция?

2.Покажите индекс частотной модуляции.

3.Что такое девиация частоты?

4. Покажите индекс фазавой модуляции.

5. Нарисуйте вид колебания однотональной частотной модуляции.

6. Как изменяется индекс модуляции с ростом частоты?

7. Покажите спектр частотной модуляции.

Амплитудно-модулированные сигналы и их спектры

При амплитудной модуляции (АМ) амплитуда несущего сигнала подвергается воздействию сигнала сообщения. Мгновенное значение АМ колебания с гармонической несущей может быть записано в виде

где U m (t) – «переменная амплитуда» или огибающая амплитуд;

– круговая частота несущего сигнала;

– начальная фаза несущего сигнала.

«Переменная амплитуда» U m (t) пропорциональна управляющему сигналу (сигналу сообщения) U с (t):

, (2.17)

где U m 0 – амплитуда несущего сигнала до амплитудной модуляции, то есть поступающего на модулятор;

– коэффициент пропорциональности.

При модуляции несущего сигнала сигналом сообщения необходимо обеспечить, чтобы U m (t) была величиной положительной. Это требование выполняется выбором коэффициента .

Для исключения влияния переходных процессов в радиоэлектронной цепи модулятора и других цепях преобразования модулированного сигнала на спектр сигнала сообщения необходимо выполнение следующего условия: наивысшая по частоте спектральная составляющая в ограниченном спектре сигнала сообщения должна иметь частоту , – что обеспечивается выбором частоты несущего сигнала.

На рис. 2.10 и 2.11 показаны два примера построения графиков АМ колебаний. На рисунках изображены следующие графики:

а – сигнал сообщения u c (t);

б – несущий сигнал u 0 (t);

в – огибающая амплитуд U m (t);

г – АМ сигнал u(t).

Для понимания образования спектра АМ сигнала рассмотрим простой случай: однотональное амплитудно-модулированное колебание. В этом случае модулирующий сигнал является гармоническим (однотональным):

с амплитудой U mc , частотой и начальной фазой .

Огибающая амплитуд однотонального АМ колебания имеет вид:

где – максимальное приращение амплитуды. Мгновенное значение однотонального АМ колебания

Отношение называется коэффициентом глубины модуляции или просто коэффициентом модуляции . Так как U m (t)> 0, то 0< m< 1. Часто m измеряют в процентах, тогда 0< m< 100%. С учетом введения коэффициента модуляции однотональное модулированное колебание запишем в виде:

Графики, поясняющие процесс однотональной амплитудной модуляции, приведены на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Однотональная амплитудная модуляция

Для нахождения спектра однотонального амплитудно-модулированного сигнала необходимо сделать следующие преобразования:

(2.20)

При выводе выражения (2.20) использована тригонометрическая формула

Таким образом, при однотональной амплитудной модуляции несущего сигнала спектр содержит три составляющие: одна на несущей частоте имеет амплитуду U m 0 и две на боковых частотах с амплитудами mU m 0 /2, зависящими от коэффициента модуляции; при m< 1 их амплитуды составляют не более половины амплитуды несущей гармоники. Начальные фазы колебаний боковых спектральных составляющих отличаются от начальной фазы на величину . На рис. 2.13 показаны графики АЧС и ФЧС однотонального амплитудно-модулированного колебания.

Рис. 2.13. Спектр однотонального амплитудно-модулированного колебания

Из анализа спектра следует, что АЧС является четным относительно частоты , а ФЧС нечетным относительно точки с координатами ( , ).

При условии все составляющие спектра являются высокочастотными, следовательно, такой сигнал может эффективно передаваться с помощью ЭМВ.

Рассмотрим энергетические параметры однотонального АМ сигнала. Средняя за период несущего сигнала мощность, выделяемая на единичном сопротивлении,

В отсутствии модуляции эта мощность равна

а при модуляции изменяется в пределах от

.

Если m=100%, то , а P min = 0. Средняя мощность сигнала за период модуляции будет складываться из мощностей спектральных составляющих

В случае m=100% Р ср = 1,5Р 0 .

Перейдем к рассмотрению общего случая к так называемому многотональному АМ сигналу. Модулирующий сигнал, то есть сигнал сообщения, имеет спектр вида (1.22)

.

Огибающая амплитуд имеет вид:

где – максимальное приращение амплитуды n-ой гармоники модулирующего сигнала.

Выражение для многотонального АМ сигнала примет следующий вид:

(2.23)

где – коэффициент модуляции n-ой гармоники модулирующего сигнала. Применяя аналогичные, как это было сделано для однотональной амплитудной модуляции, тригонометрические преобразования, получим

(2.24)

Выражение (2.24) представляет спектр амплитудно-модулированного сигнала. Относительно колебания с частотой имеют место два ряда составляющих с верхними и нижними боковыми частотами. Эти составляющие образуют так называемые верхнюю и нижнюю боковые полосы спектра.

Передать весь спектр АМ сигнала по каналу информации невозможно по следующим причинам. Во-первых, нельзя создать идеальную линейную цепь в области частот , см. п.1.4. Во-вторых, при увеличении полосы пропускания линейной цепи может уменьшиться отношение мощности сигнала к мощности шумов (см. п.1.5). В-третьих, полоса пропускания, по возможности, должна быть минимальной, чтобы в заданном частотном диапазоне работало как можно больше радиолиний (радиоканалов), не влияющих друг на друга, то есть не создающих друг другу помех. Следовательно, спектр сигнал ограничивается частотой , наиболее удаленной от частоты несущего сигнала. На рис. 2.14 приведенный амплитудный спектр АМ сигнала. Ширина спектра определяется максимальной частотой в спектре модулирующего сигнала и составляет 2 . Примерные значения ширины спектра для некоторых АМ сигналов представлены в табл. 1.1.