Stm32 выбираем отладочную плату. Работа с ЖК индикатором на отладочной плате STM32L-Discovery. Для чего нужны BOOT0 и BOOT1 джамперы

Старинная запись на квитанции в уплате подати («ясака»). Она означает сумму 1232 руб. 24 коп. Иллюстрация из книги: Яков Перельман «Занимательная арифметика»

Ещё Ричард Фейнман в книге «Вы конечно шутите, мистер Фейнман!» поведал несколько приёмов устного счёта. Хотя это очень простые трюки, они не всегда входят в школьную программу.

Например, чтобы быстро возвести в квадрат число X около 50 (50 2 = 2500), нужно вычитать/прибавлять по сотне на каждую единицы разницы между 50 и X, а потом добавить разницу в квадрате. Описание звучит гораздо сложнее, чем реальное вычисление.

52 2 = 2500 + 200 + 4
47 2 = 2500 – 300 + 9
58 2 = 2500 + 800 + 64

Молодого Фейнмана научил этому трюку коллега-физик Ханс Бете, тоже работавший в то время в Лос-Аламосе над Манхэттенским проектом.

Ханс показал ещё несколько приёмов, которые использовал для быстрых вычислений. Например, для вычисления кубических корней и возведения в степень удобно помнить таблицу логарифмов. Это знание очень упрощает сложные арифметические операции. Например, вычислить в уме примерное значение кубического корня из 2,5. Фактически, при таких вычислениях в голове у вас работает своеобразная логарифмическая линейка, в которой сложение и деление чисел заменяется сложением и вычитанием их логарифмов. Удобнейшая вещь.

Логарифмическая линейка

До появления компьютеров и калькуляторов логарифмическую линейку использовали повсеместно. Это своеобразный аналоговый «компьютер», позволяющий выполнить несколько математических операций, в том числе умножение и деление чисел, возведение в квадрат и куб, вычисление квадратных и кубических корней, вычисление логарифмов, потенцирование, вычисление тригонометрических и гиперболических функций и некоторые другие операции. Если разбить вычисление на три действия, то с помощью логарифмической линейки можно возводить числа в любую действительную степень и извлекать корень любой действительной степени. Точность расчётов - около 3 значащих цифр.

Чтобы быстро проводить в уме сложные расчёты даже без логарифмической линейки, неплохо запомнить квадраты всех чисел, хотя бы до 25, просто потому что они часто используются в расчётах. И таблицу степеней - самых распространённых. Проще запомнить, чем вычислять каждый раз заново, что 5 4 = 625, 3 5 = 243, 2 20 = 1 048 576, а √3 ≈ 1,732.

Ричард Фейнман совершенствовал свои навыки и постепенно замечал всё новые интересные закономерности и связи между числами. Он приводит такой пример: «Если кто-то начинал делить 1 на 1,73, можно было незамедлительно
ответить, что это будет 0,577, потому что 1,73 - это число, близкое к квадратному корню из трёх. Таким образом, 1/1,73 - это около одной трети квадратного корня из 3».

Настолько продвинутый устный счёт мог бы удивить коллег в те времена, когда не было компьютеров и калькуляторов. В те времена абсолютно все учёные умели хорошо считать в уме, поэтому для достижения мастерства требовалось достаточно глубоко погрузиться в мир цифр.

В наше время люди достают калькулятор, чтобы просто поделить 76 на 3. Удивить окружающих стало гораздо проще. Во времена Фейнмана вместо калькулятора были деревянные счёты, на которых тоже можно было производить сложные операции, в том числе брать кубические корни. Великий физик уже тогда заметил, что использование таких инструментов, людям вообще не нужно запоминать множество арифметический комбинаций, а достаточно просто научиться правильно катать шарики. То есть люди с «расширителями» мозга не знают чисел. Они хуже справляются с задачами в «автономном» режиме.

Вот пять очень простых советов устного счёта, которые рекомендует Яков Перельман в методичке «Быстрый счёт» 1941 года издательства.

1. Если одно из умножаемых чисел разлагается на множители, удобно бывает последовательно умножать на них.

225 × 6 = 225 × 2 × 3 = 450 × 3
147 × 8 = 147 × 2 × 2 × 2, то есть трижды удвоить результат

2. При умножении на 4 достаточно дважды удвоить результат. Аналогично, при делении на 4 и 8, число делится пополам дважды или трижды.

3. При умножении на 5 или 25 число можно разделить на 2 или 4, а затем приписать к результату один или два нуля.

74 × 5 = 37 × 10
72 × 25 = 18 × 100

Здесь лучше сразу оценивать, как проще. Например, 31 × 25 удобнее умножать как 25 × 31 стандартным способом, то есть как 750+25, а не как 31 × 25, то есть 7,75 × 100.

При умножении на число, близкое к круглому (98, 103), удобно сразу умножить на круглое число (100), а затем вычесть/прибавить произведение разницы.

37 × 98 = 3700 – 74
37 × 104 = 3700 + 148

4. Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (9), и приписывают 25.

8 × 9 = 72, приписываем 25, так что 85 2 = 7225

Почему действует это правило, видно из формулы:

(10Х + 5) 2 = 100Х 2 + 100Х + 25 = 100Х (X+1) + 25

Приём применяется и к десятичным дробям, которые оканчиваются на 5:

8,5 2 = 72,25
14,5 2 = 210,25
0,35 2 = 0,1225

5. При возведении в квадрат не забываем об удобной формуле

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
44 2 = 1600 + 16 + 320

Конечно же, все способы можно сочетать между собой, создавая более удобные и эффективные приёмы для конкретных ситуаций.

В продолжение разговора про степень числа логично разобраться с нахождением значения степени. Этот процесс получил название возведение в степень . В этой статье мы как раз изучим, как выполняется возведение в степень, при этом затронем все возможные показатели степени – натуральный, целый, рациональный и иррациональный. И по традиции подробно рассмотрим решения примеров возведения чисел в различные степени.

Навигация по странице.

Что значит «возведение в степень»?

Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.

Определение.

Возведение в степень – это нахождение значения степени числа.

Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r – это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5) 5 », то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5 ».

Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.

Возведение числа в натуральную степень

На практике равенство на основании обычно применяется в виде . То есть, при возведении числа a в дробную степень m/n сначала извлекается корень n -ой степени из числа a , после чего полученный результат возводится в целую степень m .

Рассмотрим решения примеров возведения в дробную степень.

Пример.

Вычислите значение степени .

Решение.

Покажем два способа решения.

Первый способ. По определению степени с дробным показателем . Вычисляем значение степени под знаком корня, после чего извлекаем кубический корень: .

Второй способ. По определению степени с дробным показателем и на основании свойств корней справедливы равенства . Теперь извлекаем корень , наконец, возводим в целую степень .

Очевидно, что полученные результаты возведения в дробную степень совпадают.

Ответ:

Отметим, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, в этих случаях его следует заменить соответствующей обыкновенной дробью, после чего выполнять возведение в степень.

Пример.

Вычислите (44,89) 2,5 .

Решение.

Запишем показатель степени в виде обыкновенной дроби (при необходимости смотрите статью ): . Теперь выполняем возведение в дробную степень:

Ответ:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Следует также сказать, что возведение чисел в рациональные степени является достаточно трудоемким процессом (особенно когда в числителе и знаменателе дробного показателя степени находятся достаточно большие числа), который обычно проводится с использованием вычислительной техники.

В заключение этого пункта остановимся на возведении числа нуль в дробную степень. Дробной степени нуля вида мы придали следующий смысл: при имеем , а при нуль в степени m/n не определен. Итак, нуль в дробной положительной степени равен нулю, например, . А нуль в дробной отрицательной степени не имеет смысла, к примеру, не имеют смысла выражения и 0 -4,3 .

Возведение в иррациональную степень

Иногда возникает необходимость узнать значение степени числа с иррациональным показателем . При этом в практических целях обычно достаточно получить значение степени с точностью до некоторого знака. Сразу отметим, что это значение на практике вычисляется с помощью электронной вычислительной техники, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений. Но все же опишем в общих чертах суть действий.

Чтобы получить приближенное значение степени числа a с иррациональным показателем , берется некоторое десятичное приближение показателя степени , и вычисляется значение степени . Это значение и является приближенным значением степени числа a с иррациональным показателем . Чем более точное десятичное приближение числа будет взято изначально, тем более точное значение степени будет получено в итоге.

В качестве примера вычислим приближенное значение степени 2 1,174367... . Возьмем следующее десятичное приближение иррационального показателя: . Теперь возведем 2 в рациональную степень 1,17 (суть этого процесса мы описали в предыдущем пункте), получаем 2 1,17 ≈2,250116 . Таким образом, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Если взять более точное десятичное приближение иррационального показателя степени, например, , то получим более точное значение исходной степени: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Список литературы.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. МатематикаЖ учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 7 кл. общеобразовательных учреждений.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений.
• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Представим, что оператора возведения в степень нет в нашем распоряжении, так что остаётся лишь умножать. Определение степени с целым неотрицательным показателем x n позволяет сделать вычисление с использованием n − 1 умножения. Но умножение - достаточно затратная операция (вспомним умножение в столбик). Поэтому постараемся свести к минимуму число выполняемых умножений.

К примеру, если показатель степени сам является степенью двойки, n = 2 m , то потребуется всего лишь m умножений, точнее, возведений в квадрат: x 2 m = x 2 2 2 … 2 . Это полезное наблюдение можно распространить на общий случай, воспользовавшись очевидными равенствами: x n = x 2 n 2 при чётном n , x ⁢ x 2 n − 1 2 при нечётном n . Можно отнестись к этим формулам как к рекурсивному способу вычисления степени. Конечно же эти соотношения нужно дополнить граничными условиями x 0 = 1 , x 1 = x .

Оказывается, количество умножений, которое следует выполнить для возведения в степень в соответствии с описанной рекурсивной процедурой, вычисляется по формуле μ n = ζ n + 2 ⁢ ε n − 2 , где ζ n и ε n - количества соответственно нулей и единиц в двоичной записи числа n . Эта величина растёт крайне медленно с ростом n , о чём свидетельствует таблица:

Очень маловероятно, что нам придётся возводить что-то в 10000000000 -ю степень, но, если бы пришлось, то мы обошлись бы всего сорока тремя умножениями!

Формула находится в полном согласии с рассмотренным ранее частным случаем, когда n = 2 m и ζ = m , ε = 1 . В общем же случае заметим, что цифры в двоичном разложении числа равны остаткам от многократного деления этого числа на два. Появление нулевой цифры пускает рекурсивный алгоритм по первому (чётному) пути, что добавляет одно лишнее умножение. Цифра один выбирает нечётную ветвь алгоритма, что требует двух дополнительных умножений.

Мы разберём, помимо наивной версии программы, не заслуживающей отдельного разговора из-за её тривиальности, ещё две: рекурсивную и итеративную. Оба варианта основаны на быстром методе возведения в степень.

Раньше мы обсуждали преимущества нерекурсивных алгоритмов перед рекурсивными. Было бы заманчиво реализовать быстрое возведение в степень без рекурсии, при помощи одного цикла. Эта задача оказывается не такой простой, как хотелось бы. Нам стоит вооружиться методом, который позволял бы строить циклы не в результате божественного откровения (оно посещает нас довольно редко), а целенаправленно. Метод построения цикла при помощи инварианта - как раз то, что нам сейчас нужно.

Цель каждой команды в программе - приближать нас к решению поставленной задачи, то есть к ситуации, когда нужные переменные получат наконец нужные, правильно вычисленные значения. Единственная возможность достичь такой цели - менять значения переменных на новые, это делается путём присваивания. Посмотрим с этой точки зрения на команды, образующие тело цикла.

Пусть в программе задействован набор переменных X = x y … z . Назовём его состоянием программы . Цикл считается правильным, если в результате его работы выполнено нужное соотношение между переменными. Под соотношением понимается некоторое утверждение про переменные. Что значит утверждение? Рассмотрим функцию G ⁡ X , зависящую от состояния, и принимающую логическое значение. Равенство G ⁡ X = да означает, что утверждение выполняется, а в противном случае не выполняется. Функцию G будем называть целевой функцией цикла .

Тело цикла состоит из команд, присваивающих переменным X новые значения F ⁡ X: X ← F ⁡ X Таким образом строится рекуррентная последовательность состояний программы. Цель цикла достигнута, когда целевая функция примет истинное значение, так что в качестве условия цикла можно взять выражение ¬ G ⁡ X: цикл пока ¬ G ⁡ X X ← F ⁡ X конец цикла Мы предполагаем, что к моменту входа в цикл переменные X имели начальные значения X 0 .

Зачастую бывает неудобно вычислять условие завершения цикла G ⁡ X . Тогда, если повезёт, можно попытаться подобрать более сильное условие Q ⁡ X (то есть такое, что для всех X выполняется Q ⁡ X ⇒ G ⁡ X), которое проще вычислить.

Весь этот формализм не отвечает на вопросы о том, как найти преобразование F такое, чтобы цикл рано или поздно завершился, и как построить условие окончания цикла Q ⁡ X . Метод инвариантов помогает найти и преобразование, и условие.

Ключевую роль в методе играет инвариант цикла - ещё одна функция состояния, принимающая логические значения. Функция I ⁡ X называется инвариантом цикла, если выполнены условия:

I ⁡ X 0 - инвариант принимает истинное значение в начальном состоянии;

I ⁡ X ⇒ I ⁡ F ⁡ X - истинность инварианта сохраняется при проходе цикла;

I ⁡ X ∧ Q ⁡ X ⇒ G ⁡ X - одновременная истинность инварианта и условия окончания цикла влекут истинность целевого условия.

Если перед входом в цикл позаботиться о выполнении условия I ⁡ X и подобрать преобразование F ⁡ X , при котором сохраняется истинность инварианта, а цикл когда-нибудь завершится, цель будет достигнута по завершении цикла.

От абстрактных идей пора перейти к конкретным примерам. Построим алгоритм наивного вычисления степени p = x n .

Предусмотрим в программе набор переменных X = p x n . Их начальные значения (перед входом в цикл) равны X 0 = p 0 x 0 n 0 . Значения x 0 и n 0 являются входными параметрами алгоритма.

Придумаем цикл, по завершении которого переменная p получит значение x 0 n 0 , так что в качестве целевой функции примем G ⁡ p x n = p = x 0 n 0 .

Простейший (но отнюдь не самый быстрый) алгоритм сводит задачу о возведении в степень n к задаче о возведении в степень n − 1 , так что в цикле переменная n будет уменьшаться на единицу до своего обнуления. Поэтому условием окончания сделаем Q ⁡ p x n = n = 0 .

Теперь нужно подобрать инвариант. Пусть в теле цикла переменным p x n присваиваются новые значения p ′ x ′ n ′ , причём, как мы решили ранее, n ′ = n − 1 . Нетрудно проверить, что функция I ⁡ p x n = x 0 n 0 = p ⁢ x n годится на роль инварианта.

Действительно, I ⁡ p 0 x 0 n 0 = x 0 n 0 = p 0 ⁢ x 0 n 0 истинно, если положить p 0 = 1 . Второе условие, которому должен удовлетворять инвариант, также выполнено. Поскольку должно выполняться I ⁡ p x n ⇒ I ⁡ p ′ x ′ n ′ , то есть x 0 n 0 = p ⁢ x n ⇒ x 0 n 0 = p ′ ⁢ x ′ n − 1 , достаточно положить p ′ = p ⁢ x и x ′ = x , чтобы обеспечить инвариантность. Наконец, проверим третье условие, I ⁡ p x n ∧ Q ⁡ p x n ⇒ Q ⁡ p x n , то есть x 0 n 0 = p ⁢ x n ∧ n = 0 ⇒ p = x 0 n 0 . Очевидно, и оно выполняется. Проверяя условия, мы заодно нашли преобразования, происходящие в теле цикла.

Мы пришли к алгоритму p ← 1 цикл пока n ≠ 0 p n ← p ⁢ x n − 1 конец цикла

Читатель, возможно, недоумевает, зачем понадобились столь сложная подготовка для получения столь очевидного алгоритма. Возможно, быстрый вариант итеративного алгоритма более убедительно продемонстрирует мощь метода инвариантов.

Отличие быстрого алгоритма от наивного состоит в том, что в цикле переменная n вместо того, чтобы уменьшаться на единицу, уменьшается примерно вдвое. Точнее, если n чётно, оно делится пополам, а если нечётно - уменьшается на единицу и затем делится пополам. Понятно, что со временем n обратится в нуль, и это станет, как и в наивном алгоритме, условием завершения цикла.

Возьмём без изменений из наивного алгоритма инвариант I ⁡ p x n = x 0 n 0 = p ⁢ x n , и станем добиваться, чтобы выполнялось I ⁡ p x n ⇒ I ⁡ p ′ x ′ n ′ , где на этот раз n ′ = n 2 при чётном n , n − 1 2 при нечётном n . Тогда придётся обеспечить выполнение условия x 0 n 0 = p ⁢ x n ⇒ x 0 n 0 = p ′ ⁢ x ′ n 2 при чётном n , x 0 n 0 = p ′ ⁢ x ′ n − 1 2 при нечётном n , то есть p ⁢ x n = p ′ ⁢ x ′ n 2 при чётном n , p ′ ⁢ x ′ n − 1 2 при нечётном n . Чтобы это равенство выполнялось, достаточно положить p ′ = p при чётном n , p ⁢ x при нечётном n , x ′ = x 2 .

Результатом наших изысканий стал алгоритм p ← 1 цикл пока n ≠ 0 если n mod 2 = 1 p ← p ⁢ x n ← n − 1 конец если x ← x 2 n ← n 2 конец цикла

Следует признаться, что этот алгоритм мы первоначально составили, не прибегая к методу инвариантов. Программа хорошо работала, но, несмотря на её краткость, оказалась трудной для понимания. Мы никак не могли подобрать нужных слов, чтобы объяснить её читателю и доказать её правильность. И только метод инвариантов дал и объяснение, и доказательство.

Не стоит считать, что метод инвариантов делает создание любого цикла рутинной задачей. Остаётся ещё большой простор для творчества. Например, построение инварианта во многих случаях является не самым очевидным делом. Поэтому расскажем, какие соображения привели нас к инварианту I ⁡ p x n = x 0 n 0 = p ⁢ x n . В поисках инвариантного соотношения между переменными программы, сохраняющего истинность при повторениях тела цикла, мы составили таблицу значений этого набора переменных. Для примера мы выбрали возведение двойки в тринадцатую степень: p x n 1 2 13 2 4 6 2 16 3 32 256 1 8192 65536 0

Закономерность, выполняемая в каждой строке таблицы, была быстро найдена: значение выражения p ⁢ x n оказалось одним и тем же, и равным как раз 2 13 .

Оказывается, задача о быстром возведении числа в степень n тесно связана вот с какой задачей. Представим вычислительную машину, которая располагает лишь одним регистром (ячейкой памяти), способным хранить целое неотрицательное число. Набор команд этой воображаемой машины содержит только две инструкции: D удваивает содержимое регистра (от слова Double - удвоить) и I увеличивает регистр на единицу (Increment - увеличить). Изначально регистр содержит ноль. Требуется найти наиболее короткую программу для машины, после выполнения которой в регистре окажется число n . Программа - это некоторая конечная последовательность инструкций D и I .

Для любого заданного n существует бесконечно много программ. К примеру, всегда годится программа I I I … I (всего n инструкций I). Кроме того, приписывание любого количества инструкций D к началу правильной программы, очевидно, не меняет её правильность.

Получается своеобразная система счисления: каждому целому неотрицательному числу можно поставить в соответствие программу для его получения - слово над алфавитом из двух букв (или лучше сказать, цифр), D и I . Недостатком этой системы счисления является её многозначность: для каждого числа найдётся бесконечно много представлений. Можно попытаться устранить этот недостаток, если среди всевозможных представлений выбирать самое короткое. Но даже самое короткое представление не является единственным. Понятно, кратчайшее представление следует искать среди начинающихся с I , так как если оно начинается с D , его можно укоротить, выкинув это D . Теперь заметим, что если I I … - кратчайшее представление, то I D … - также кратчайшее представление (увеличение единицы на единицу равносильно её удвоению). При всех остальных значениях регистра удвоение даёт больший результат, чем прибавление единицы. Эту единственную оставшуюся неоднозначность устраняем, потребовав дополнительно, чтобы в представлении не было подряд двух «цифр» I . Полученное представление назовём каноническим .

Оказывается, каноническое представление можно легко получить из двоичной записи числа n: нужно каждый ноль заменить на «цифру» D , а каждую единицу - на «цифры» D I . После того, как это будет сделано, следует отбросить «цифру» D из начала полученной программы, если она там окажется. Например, для n = 13 = 1101 2 получается программа I D I D D I . И действительно, 13 = 0 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 ⋅ 2 + 1 .

Но какое же всё это имеет отношение к быстрому возведению в степень? Пусть имеется некоторое представление показателя степени n . Это значит, что n получается из нуля в результате последовательных увеличений на единицу или удвоений. Но прибавление единицы к показателю степени равносильно домножению всей степени на x , а удвоение показателя - возведению степени в квадрат. Если в нашем распоряжении имеется готовое представление показателя степени, получаем алгоритм p ← 1 цикл для каждой цифры δ из представления n если δ = I p ← p ⁢ x иначе p ← p 2 конец если конец цикла Беда в том, что для получения «цифр» представления прежде придётся устроить другой цикл. Совместить оба цикла будет проблематично, поскольку «цифры» нужны в порядке их записи, то есть слева направо. При этом их гораздо проще получать справа налево (точно так же, как и цифры двоичной записи числа). Наше решение, ради которого мы занялись методом инвариантов, обходит эту трудность. Тот цикл неявно получает «цифры» представления показателя степени справа налево и в зависимости от очередной цифры выполняет нужные действия: цикл пока n ≠ 0 если n mod 2 = 1 I n ← n − 1 иначе D n ← n 2 конец если конец цикла Здесь в случае I следует выполнить команду p ← p ⁢ x , а в случае D - команду x ← x 2 . Разумеется, перед циклом нужно присваивание p ← 1 . Получившийся алгоритм, как легко видеть, равносилен созданному ранее.

Основная трудность нашей задачи заключалась в создании алгоритма. Теперь, когда алгоритмы готовы, не составит никакого труда переложить их на Perl. В связи с этим мы опускаем раздел «Разработка» и сразу переходим к готовым программам.