Главная › Телефон › Скелетная анимация, прямая и инверсная кинематика. Инверсная кинематика (только для Pro версий)

Скелетная анимация, прямая и инверсная кинематика. Инверсная кинематика (только для Pro версий)

В предыдущем уроке мы ознакомились с методом прямой кинематики, при котором иерархические связи передаются от предков к потомкам. Это приводит к тому, что дочерние объекты частично или полностью наследуют поведение родительских объектов и при этом сами никакого влияния на них не оказывают. Подобный тип иерархического связывания позволяет легко анимировать объекты, состоящие из большого числа элементов, при условии, что всем элементам объекта назначаются одинаковые трансформации. Однако он не поможет, когда перемещение одного элемента должно оказывать влияние на все прочие элементы, связанные внутри сложного объекта, с учетом их положения в иерархической цепочке, а также свойств. Такое поведение имитируется посредством инверсной, или, как часто говорят, обратной, кинематики (Inverse Kinematics), простые примеры использования которой мы и рассмотрим в данном уроке.

Теоретические аспекты

Понятие инверсной кинематики

Инверсная кинематика отличается от прямой иным принципом наследования. Если при прямой кинематике трансформация потомков определяется трансформацией их предков, то при инверсной - потомки приводят в движение родительские объекты, то есть программа рассчитывает положение и ориентацию родительских объектов, исходя из положения и ориентации трансформируемого потомка. Потомок, который вызывает трансформации других объектов по законам инверсной кинематики, называется либо эффектором (Effector ), если он расположен в середине отдельной иерархической ветви, либо конечным эффектором (End Effector ), если является конечным объектом данной ветви. Через эффектор осуществляется манипулирование всей иерархической цепочкой. При этом трансформация конечного эффектора обеспечивает трансформацию всех объектов иерархической ветви по законам инверсной кинематики, а трансформация просто эффектора приводит к тому, что положение объектов, стоящих по иерархии ниже его, меняется по законам прямой кинематики, а объектов с более высокой иерархией - по законам инверсной кинематики.

Чтобы убедиться в этом, создайте простую сцену со своеобразной булавой, смоделированной из примитива Hedra , десяти торусов и цилиндра со скошенными основаниями (рис. 1). Свяжите объекты инструментом Select and Link (Выделить и связать), двигаясь в направлении от объекта Hedra 01 к объекту ChamferCyl 01 - в итоге цилиндр окажется Root-объектом (рис. 2). Выделите цилиндр и переместите его влево - вместе с ним переместятся и все остальные объекты, являющиеся по отношению к нему дочерними. Тогда как передвижение одного из расположенных в середине цепочки торусов приведет к перемещению лишь дочерних по отношению к нему объектов цепочки, а объекты, расположенные выше его по иерархии, останутся на месте (рис. 3). Вернитесь к исходному положению объектов и активируйте режим инверсной кинематики, открыв на панели Hierarchy закладку IK и щелкнув на кнопке Interactive IK , которая должна подсветиться (рис. 4). Сохраните рабочую сцену в файл и повторите те же самые операции с перемещением цилиндра и торуса - перемещение первого объекта даст те же самые результаты, что и ранее, а вот изменение положения торуса приведет к соответствующим изменениям положения всех остальных (а не только дочерних по отношению к нему) элементов, включая Root-объект (рис. 5). При этом положение объектов, стоящих по иерархии ниже перемещаемого торуса (в данном случае он играет роль просто эффектора), будет меняться по законам прямой кинематики, а объектов с более высокой иерархией - по законам инверсной кинематики.

Управление вращением и перемещением объектов

Вернитесь к сохраненной рабочей сцене, выделите объект Hedra 01 и поперемещайте его, наблюдая за всеми объектами иерархической цепи, и вы убедитесь в полном отсутствии контроля над ними, так как положение и ориентация последних меняются самым непредсказуемым образом (рис. 6). Это связано с тем, что по умолчанию для управляемых посредством эффектора объектов допустимы любые варианты перемещения и вращения. На практике же чаще всего связанные объекты могут трансформироваться только каким-то определенным образом, а значит, все другие варианты трансформаций для них запрещены.

Данный аспект при обратной кинематике регулируется в первую очередь посредством Joint-параметров, позволяющих определить, относительно каких осей и в каких пределах может вращаться (Rotational Joint s ) и/или перемещаться (Sliding Joint s ) тот или иной дочерний объект относительно родительского. Иными словами, Joint-параметры задают характер трансформации связи (или, как часто говорят, сочленения либо сустава) между дочерним и родительским объектами. Настраиваются данные параметры на закладке IK панели Hierarchy , однако по умолчанию там доступны лишь параметры, отвечающие за ограничение вращения объектов иерархической цепочки (Rotational Joint s ). Возможность управления объектами посредством параметров Sliding Joint s появится только после назначения им специализированного IK-контроллера. Последнее осуществляется через меню Animation =>IK Solvers (Анимация=>IK-решения), предусматривающее присваивание объектам одного из следующих IK-контроллеров:

HI Solver (History Independent Solver ) - исторически независимый контроллер (считается самым универсальным для персонажной анимации);
HD Solver (History Dependent Solver ) - исторически зависимый контроллер;
IK Limb Solver - контроллер для анимации конечностей (рассчитан только на два объекта иерархической цепи);
Spline IK Solver - сплайновый контроллер.

Данные контроллеры не только открывают доступ к параметрам Sliding Joint s , но и обеспечивают еще массу возможностей благодаря тому, что преобразуют обычные иерархические последовательности в так называемые цепи инверсной кинематики (IK Chain ), которые представляют собой невизуализируемые объекты управления, упрощающие управление элементами иерархии по законам инверсной кинематики. Внешне в окнах проекций IK-цепи выглядят как ряд перекрестий и линий, соединяющих начало и окончание конкретной IK-цепи. Выбираются данные элементы обычным образом (щелчком по перекрестию или инструментом Select by Name ), а вот редактируются не через панель Modify (как прочие объекты), а через панель Motion . Независимо от типа контроллера IK-цепи создаются одинаково: выбирается первый элемент предполагаемой цепи, затем ему назначается IK-контроллер и указывается последний элемент цепочки. Различие между IK-контроллерами заключается в использовании при расчетах IK-решений разных методов преобразования IK-цепочек.

Чтобы убедиться в том, что IK-цепи упрощают управление элементами иерархии, создайте упрощенную модель ноги (бедро и голень со стопой) - рис. 7. Свяжите их в иерархическую цепочку, начиная данный процесс снизу, чтобы в итоге в роли Root-объекта оказался верхний цилиндр (то есть бедро). Включите режим инверсной кинематики и попробуйте переместить ступню влево - результат окажется совсем не таким, какой можно наблюдать при ходьбе, поскольку даже при небольшом перемещении повороты cуставов будут слишком велики (рис. 8). А теперь создайте дополнительный фиктивный объект в верхней части бедра и включите его в иерархию в качестве Root-объекта. Выделите Dummy-объект и назначьте цепи контроллер HI Solver , применив команду Animation =>IK Solvers =>HI Solver и указав в качестве конечного эффектора ступню, - при выполнении данного действия за курсором мыши будет тянуться пунктирная линия (рис. 9). Это приведет к созданию цепи инверсной кинематики с IK-контроллером, о чем будет свидетельствовать появление линии, простирающейся от вершины бедра к ступне, и перекрестия (это так называемый целевой объект IK Goal ) в опорной точке эффектора (рис. 10). Если вы подвигаете перекрестие, то увидите, что нога перемещается, сгибается и поворачивается таким образом, что опорная точка ступни всегда находится в центре крестика, но сама ступня не перемещается относительно голени (рис. 11). Попробуйте анимировать подобное движение, щелкнув на кнопке Auto Key , активировав 50-й кадр, перетащив перекрестие немного назад, а затем, в 100-м кадре, вернув его в исходное положение и выключив режим автоматического создания ключей. Проиграйте анимацию, и вы увидите предельно упрощенную имитацию ходьбы (рис. 12). Конечно, до настоящей ходьбы еще далеко, но мы пока ограничимся этим и вернемся к данному вопросу в одном из ближайших уроков, когда будем говорить о построении иерархии с применением Bones .

Вернемся к сохраненной на диске рабочей сцене с булавой и попробуем немного поэкспериментировать с настройкой Joint-параметров. Выделите Root-объект, из меню Animation =>IK Solvers (Анимация=>IK-решения) выберите команду HD Solver и укажите мышью конечный эффектор (то есть объект Hedra 01). Выделите объект Hedra 01, вновь переместите его в одно из направлений и убедитесь, что результат окажется гораздо более реалистичным (рис. 13). Выделите объект ChamferCyl 01 и откройте закладку IK панели Hierarchy . По умолчанию для него у параметров Sliding Joint s отключены флажки Active в отношении всех трех осей и включены для параметров Rotational Joint s (рис. 14). Это означает, что данный объект может вращаться произвольным образом, но для него запрещены перемещения относительно любой из осей. Для примера отмените ограничение на скольжение относительно оси Z , включив флажок Active в разделе Z Axis , - после этого положение и ориентация объекта ChamferCyl 01 при перемещениях конечного эффектора станут совсем иными (рис. 15 и 16); верните ограничение. Обратите внимание, что даже при установленном ограничении на скольжение некоторое смещение объекта ChamferCyl 01 все же имеет место, так как ограничения устанавливаются не непосредственно на объекты, а на их сочленения друг с другом (Joint ), то есть на суставы (если провести аналогию с конечностью человека). Попробуйте также установить ограничения на вращение объекта ChamferCyl 01 в отношении всех трех осей, что позволит добиться жесткой фиксации положения и ориентации данного объекта, в то время как все прочие элементы IK-цепи по-прежнему будут полностью свободны от каких-либо ограничений на вращение и скольжение (рис. 17).

Рис. 14. Первоначальный вид свитков SlidingJoints и RotationalJoints для объекта ChamferCyl 01

Настройка пределов ограничений

Помимо включения/выключения ограничений на скольжение и вращение в свитках Sliding Joint s и Rotational Joints можно регулировать то, насколько допустимо перемещение или вращение относительно той или иной оси, то есть устанавливать пределы ограничений. Реализуется это посредством установки флажка Limited (Ограничение) и определения значений пределов вращения в полях From и To («От» и «До»). Наша рабочая сцена не очень подходит для экспериментов с ограничениями пределов скольжения и вращения, поэтому создайте новую сцену из трех цилиндров разного диаметра, размещенных друг на друге так, чтобы вверху был цилиндр самого большого радиуса (он должен оказаться в начале координат), а внизу - самого малого (рис. 18). Высота всех цилиндров одинакова и равна 30. Свяжите их в иерархическую цепочку, начиная данный процесс сверху так, чтобы в итоге в роли Root-объекта оказался нижний цилиндр (рис. 19).

Выделите нижний цилиндр и назначьте цепи контроллер HI Solver , применив команду Animation =>IK Solvers =>HI Solver и указав в качестве конечного эффектора верхний цилиндр. Выделите верхний цилиндр и на закладке IK панели Hierarchy в свитке Rotational Joints удалите флажки Active для всех трех осей, а в свитке Sliding Joint s включите флажок Active для оси Z . Аналогичную операцию проведите в отношении среднего цилиндра, а для нижнего цилиндра запретите вообще все виды Joint s-трансформаций. После этого попробуйте подвигать верхний цилиндр вверх и вниз - после установленных для него разрешений он будет перемещаться относительно оси Z (рис. 20) и без каких-либо ограничений может двигаться вверх и вниз бесконечно далеко. Теперь настроим для цилиндров пределы ограничений для их перемещения вдоль оси Z , чтобы верхний цилиндр вначале полностью погружался в средний, а затем средний - в нижний. То есть в итоге должна получиться некая имитация складной трубы (например, подзорной). Легче всего подобрать соответствующие ограничения с визуальным контролем пределов, что возможно при увеличении и уменьшении мышью при нажатой клавише Ctrl соответствующих значений в полях, расположенных справа от полей ввода (пока без включения флажка Limited ). В этом случае текущее состояние цилиндров будет сразу же отображаться в активном окне проекций. Выделите верхний цилиндр и таким способом (то есть изменяя параметры при нажатой клавише Ctrl) убедитесь, что его исходное положение (то есть когда он занимает свое первоначальное положение) соответствует значению From , равному 30, а конечное (когда данный цилиндр полностью погрузился в нижний цилиндр) - значению To , равному 0. Аналогичным образом подберите значения ограничений для среднего цилиндра, которые для поставленной задачи окажутся точно такими же. Включите соответствующие флажки Limited (рис. 21), и вы увидите, что при перемещении верхнего цилиндра наша «подзорная труба» действительно будет складываться задуманным образом (рис. 22). Сохраните рабочую сцену в файл. Анимируйте перемещение цилиндров: активируйте режим автоматической генерации ключей, перетащите ползунок на последний кадр, переместите верхний цилиндр так, чтобы он полностью погрузился в нижний, и отключите режим автоматической генерации ключей. Сохраните сцену в файл (позже он нам потребуется).

Рис. 21. Окончательный вид свитка SlidingJoints для верхнего и среднего цилиндров

При желании соединение объектов можно сделать более плавным, включив для соответствующих Joints-ограничений флажок Ease (данная возможность часто применяется для анимации «мягких» моделей). Для примера осуществите это для верхнего и среднего цилиндров (рис. 23). После этого эффект перемещения цилиндров при анимации станет более мягким, так как средний цилиндр будет начинать движение не при достижении верхним цилиндром своего нижнего предела, а чуть раньше.

Что такое «Инверсная кинематика»?

Задачей инверсной кинематики является поиск такого набора конфигураций сочленений, который обеспечил бы максимально мягкое, быстрое и точное движение к заданным точкам. Однако, множество существующих ныне методов страдают от таких недостатков как высокая вычислительная сложность и неестественность результирующих поз. В этой статье описан новый (вероятно, на момент написания статьи - 2010 г. ) эвристический метод под названием «Метод прямого и обратного следования» (Forward and Backward Reaching Inverse Kinematics , далее просто FABRIK),
FABRIK избегает использования вращений и матриц в пользу непосредственного получения точки на прямой. Благораря этому, дело обходится всего несколькими итерациями, имеет низкую стоимость вычислений и визуально естественную позу в результате. FABRIK так-же без проблем справляется с наложением ограничений а так-же использованием нескольких цепей и/или конечных точек. Именно об этом методе этот пост.

Прошу отнестись с пониманием к этой выжимке, потому-что оригинал довольно большой, имеет много воды, уместных и неуместных повторений и отстранений от темы, а так-же сравнений с другими алгоритмами. Этим я решил все-таки пренебречь, поэтому, тут содержится лишь малая часть текста, которая, однако, отражает суть - прим. перев.

1. Искусственная модель тела

Система из множества твёрдых тел состоит из набора твёрдых тел, называемых узлами, соединёнными вместе рёбрами. Все рёбра являются компонентами concerned с движением: они ограничивают перемещения в пределах некоторого угла относительно соседних рёбер. Моделирование виртуального тела важно для вычисления позы человека. Модель с правильно расставленными ограничениями позволит получить набор правильных поз, что даст возможность получить более реалистичное движение. Большинство моделей подразумевают твёрдость частей тела, хотя это просто примерное приближение к реальности.
Скелет обычно смоделирован в виде иерархии твёрдых сегментов соединённых рёбрами, каждое из которых задано такими свойствами как длинна, форма, обьём и масса. Манипулятор, на манер робо-руки или анимированного персонажа, смоделиован как цепь, собранная из твёрдых узлов, сопряженных друг с другом рёбрами. Каждое перемещение и/или вращение кости с индексом i влияет на все последующие элементы цепи. Цепь можно формализовать следующим образом: всякий узел без дочерних элементов следует величать конечной точкой; для каждой конечной точки цепь может быть сформирована движением обратно по скелету, от родителя к родителю до тех пор, пока не будет встречен корневой узел цепи (начало цепи). По определению, в задаче IK предполагается статичность корневого узла. Однако, методы обычно справляются с перемещением корня.

Алгоритм полного цикла алгоритма FABRIK (псевдокод, первый элемент массива под индексом 1)

Исходные данные: массив позиций узлов p[i] с i = 1...n, целевая позиция t и значения дистанций между сопряжёнными узлами. d[i] = | p -t | for i = 1, ... , n-1 Выходные данные: Новые позиции p[i], i = 1...n //Дистанция между корнем и целью dist = | p - t | //Проверяем достижимость цели if dist > d + d + ... + d { //цель недостижима for i = 1, ..., n-1 do { //Найдем дистанцию r[i] между целью t и узлом p[i] r[i] = | t - p[i] | lambda[i] = d[i] / r[i] //Находим новую позицию узла p[i] p = (1 - lambda[i]) * p[i] + lambda[i] * t } } else { //Дель достижима; т.о. b будет новой позицией узла p b = p //Проверяем, не выше ли дистанция между конечным узлом p[n] и //целевой позицией t значения терпимости (tolerance) DIFa = | p[n] - t | while DIFa > tol do { //Этап 1: прямое следование //Устанавливаем конечный узел p[n] в качестве цели (вероятно, имелось ввиду "ставим на позицию цели" - прим. перев.) p[n] = t for i=n -1 , ..., 1 do { //Получаем расстояние r[i] между узлом p[i] и новой позицией p r[i] = | p - p[i] | lambda[i] = d[i] / r[i] //Вычисляем новую позицию узла p[i] p[i] = (1 - lambda[i]) * p + lambda[i] * p[i] } //Этап 2: обратное следование //Устанавливаем корневому элементу p начальную позицию p[i] = b for i=1 ,..., n - 1 do { //Получаем дистанцию r[i] между узлом p и позицией p[i] r[i] = | p - p[i] | lambda[i] = d[i] / r[i] //Получаем новую позицию p[i] p = (1-lambda[i]) * p[i] + lambda[i] * p } DIFa = | p[n] - t | } }

2.FABRIK - новое эвристическое решение задачи IK

В этой части предоставляется суть метода FABRIK. Он использует позиции, уже рассчитанные в режимах прямого и обратного следования. FABRIK достигает минимизации ошибки путём единоразовой подстройки угла каждого узла. Т.е. происходит обход всей цепи, начиная с последнего узла, с подстройкой угла каждого обойдённого узла, после чего, происходит обход цепи уже в обратном направлении. Этот метод, в отличие от преобразования вращений, обращает задачу поиска позиции узла в задачу поиска точки на прямой; следовательно, можно сэкономить время и уменьшить количество вычислений. Предположим что множество p,…, p[n] является множеством позиций узлов манипулятора. Также, предположим что p является корневым узлом и p[n] является конечным узлом, т.о. для простоты оставим один конечный узел. Цель представлена позицией t и начальной базовой позицией b . Метод FABRIK представлен в листинге выше и графической интерпретации полного цикла на рисунке слева, с одной целевой точкой и четырьмя узлами в цепи. Рассмотрим полный цикл алгоритма на рисунке:

a - Начальные позиции манипулятора и цели.
b - Двигаем конечный узел p к цели.
c - Обнаруживаем позицию p" p" и p , на дистанции d от точки p" .
d - Повторяем для всех узлов.
e - Вторая стадия алгоритма: передвигаем крневой элемент с позиции p" на его начальную позицию.
f - Повторяем для всех узлов, но на этот раз начинаем с базы и двигаемся к конечному узлу. Алгоритм повторяется до тех пор, пока позиция конечного элемента не приблизится к цели на достаточное расстояние.

Более подробно:
Сначала считаются позиции между узлами (массив d ), после чего идёт проверка, достижима ли целевая точка; считается расстояние между корневым узлом и целью (dist ), и если эта дистанция меньше общей суммы дистанций между узлами, то цель достижима, иначе нет. Если цель достижима, полный цикл ограничивается двумя этапами. На первом этапе, алгоритм оценивает начальную позицию каждого узла, начиная с конечного элемента p[n] двигаясь к базе манипулятора p . Таким образом, позволим целевой позиции быть позицией конечного узла, p"[n] = t . Получим прямую l , лежащую на точках p и p"[n] . Новая позиция узла с индексом n-1 , p" , лежит на этой линии на дистанции d от p"[n] . Аналогично, новая позиция узла с индексом n-2 , p" , может быть вычислена используя прямую l , лежащую на точках p и p" на дистанции d от p" . Алгоритм повторяется до тех пор, пока все не будут посчитаны новые позиции для всех узлов, включая конечный. В случаях, когда корневой элемент перемещается на необходимую позицию, FABRIK срабатывает как было описано, тем лишь отличием, что новая позиция p"" корневого узла будет желаемой позицией, а не начальной.
После одной полной итерации, почти во всех случаях (по наблюдениям) конечный узел приблизится к цели. Процедура повторется необходимое количество раз, до тех пор, пока конечный узел не ляжет на позицию цели или не приблизится к ней на допустимую дистанцию. Реализация метода FABRIK без введения ограничителей сойдётся на любой целевой точке/цепи, если цель достижима. Однако, если цель находится дальше достанции, на которую может вытянуться цепь, необходимо прерывающее условие, которое сравнит прошлую и текущую позицию конечного узла, и которое прекратит выполнение алгоритма если смещение конечного узла будет меньше некоторого значения (эпсилона). Так-же, в особых случаях, алгоритм прерывается по истечению некоторого числа итераций (впрочем, пока-что такая ситуация не была встречена).
Для более быстрого результата и решения в несколько итераций, возможна оптимизация с применением Конформной Геометрической Алгебры (Conformal Geometric Algebra, далее CGA); CGA имеет преимущество на базовых фигурах, такие как сферы, прямые, плоскости и окружности, достаточно просто отображаемые алгебраическими обьектами. Поэтому, поиск позиции узла, находящегося между двумя известными узлами, может быть выражен пересечением двух сфер с центрами на соответствующих этим узлам позициям, и радиусом, равным расстоянию между позициям искомого узла и имеющимися; новая позиция узла будет лежать на ближайшей точке окружности, сформированной пересечением двух сфер. Другая простая оптимизация заключается в прямом построении прямой в направлении цели, когда последняя недоступна.

3. Модель с множеством конечных узлов

Как и в случае с одним конечным узлом, алгоритм разбивается на два этапа:

Первый этап точно такой-же, только на этот раз начинается от каждого конечного узла с движением внутрь по цепи от этого узла, вплоть до суб-базы (вероятно, суб-базой является узел с несколькими примыкающими к нему рёбрами - прим. перев.). Таким образом, получим столько разных позиций для суб-базы, сколько соединённых с ней конечных узлов у нас имеется. Итоговая же позиция может быть взята как центроид (тобиш, просто среднее арифметическое - прим. перев.) из этих позиций. После этого, выполнение алгоритма продолжается в нормальном режиме, двигаясь от суб-базы до корня. Если суб-базы имеют собственные суб-базы, то по отношению к ним производятся аналогичные действия - так-же составляется список возможных позиций, после чего эта суб-база устанавливается на центроид из всего списка позиций.
На втором этапе, обычный алгоритм применяется к каждому узлу, двигаясь всё дальше от корневого узла. При этом, каждая цепь должна быть обработана отдельно вплоть до конечного узла: чем больше суб-баз, тем больше повторений для каждой из них. Процесс повторяется до тех пор, пока конечные узлы не достигнут своей цели или пока не сработает условие прерывания.

4. Ограничители

Ну и наконец, самая вкусная часть этой статьи - рассчёты с применением ограничителей. Нужны они, как уже стоило догадаться, для большего сходства с реальными организмами. Сам же узел, обычно, характеризуется тремя степенями свободы. Вращение узла может быть характеризовано как «простое вращение» (2 степени свободы), которое отражает его конечную позицию, и вращение вокруг собственной оси (1 степень свободы). Таким образом, разделив передвижение узла на две такие фазы, и применив к ним ограничители, можно управлять положением узла. Сами же ограничения можно наложить подобным образом: т.к. алгоритм итеративный, можно применять ограничения вращений на каждой итерации алгоритма. Ограничители, при этом, не повлияют на сходимость алгоритма. Основная же идея применения ограничителей заключается в репозициионировании и переориентации узлов в пределах ограничений.

a - Начальные конфигурации манипулятора и цели.
b - Двигаем конечный узел p к цели и ориентируем его на неё.
c - Обнаруживаем позицию p" , лежащую на линии между позициями p" и p , на дистанции d от точки p" .
d - Переориентируем узел на позиции p" таким образом, чтобы он смотрел вдоль ребра, соединяющего p" и p" .
e - Вычисление ограничивающего эллипса: разрешённые позиции находятся в затенённом участке. Ни одна из вершин на этом этапе никуда не двигается.
f - Узел p перемещается на позицию p^ , который является ближайшей позицией на затенённом эллипсе, удостоверяясь таким образом в том, что новая позиция p^ будет лежать в допустимых пределах.
g - Двигаем узел p^ на точку p" , чтобы сохранить длинну ребра.
h - Переориентируем p" , чтобы удовлетворить ограниение ориентации.

Эта процедура повторяется для всех узлов, в прямом и обратном порядке, аналогично тому, как в варианте без ограничений осуществлялись перемещения. При этом, ограничение «эллипс», вероятно, является характеристикой ребра, а не узла, т.о. на второй фазе перемещаться на эллипс должен узел p - прим. перев.

Перевод
Recovery Mode

Что такое «Инверсная кинематика»?

1. Искусственная модель тела

Система из множества твёрдых тел состоит из набора твёрдых тел, называемых узлами, соединёнными вместе рёбрами. Все рёбра являются компонентами, связанными с движением: они ограничивают перемещения в пределах некоторого угла относительно соседних рёбер. Моделирование виртуального тела важно для вычисления позы человека. Модель с правильно расставленными ограничениями позволит получить набор правильных поз, что даст возможность получить более реалистичное движение. Большинство моделей подразумевают твёрдость частей тела, хотя это просто примерное приближение к реальности.
Скелет обычно смоделирован в виде иерархии твёрдых сегментов соединённых рёбрами, каждое из которых задано такими свойствами как длинна, форма, обьём и масса. Манипулятор, на манер робо-руки или анимированного персонажа, смоделиован как цепь, собранная из твёрдых узлов, сопряженных друг с другом рёбрами. Каждое перемещение и/или вращение кости с индексом i влияет на все последующие элементы цепи. Цепь можно формализовать следующим образом: всякий узел без дочерних элементов следует величать конечной точкой; для каждой конечной точки цепь может быть сформирована движением обратно по скелету, от родителя к родителю до тех пор, пока не будет встречен корневой узел цепи (начало цепи). По определению, в задаче IK предполагается статичность корневого узла. Однако, методы обычно справляются с перемещением корня.

Алгоритм полного цикла алгоритма FABRIK (псевдокод, первый элемент массива под индексом 1)

Исходные данные: массив позиций узлов p[i] с i = 1...n, целевая позиция t и значения дистанций между сопряжёнными узлами. d[i] = | p - p[i] | for i = 1, ... , n-1 Выходные данные: Новые позиции p[i], i = 1...n //Дистанция между корнем и целью dist = | p - t | //Проверяем достижимость цели if dist > d + d + ... + d { //цель недостижима for i = 1, ..., n-1 do { //Найдем дистанцию r[i] между целью t и узлом p[i] r[i] = | t - p[i] | lambda[i] = d[i] / r[i] //Находим новую позицию узла p[i] p = (1 - lambda[i]) * p[i] + lambda[i] * t } } else { //Дель достижима; т.о. b будет новой позицией узла p b = p //Проверяем, не выше ли дистанция между конечным узлом p[n] и //целевой позицией t значения терпимости (tolerance) DIFa = | p[n] - t | while DIFa > tol do { //Этап 1: прямое следование //Устанавливаем конечный узел p[n] в качестве цели (вероятно, имелось ввиду "ставим на позицию цели" - прим. перев.) p[n] = t for i=n -1 , ..., 1 do { //Получаем расстояние r[i] между узлом p[i] и новой позицией p r[i] = | p - p[i] | lambda[i] = d[i] / r[i] //Вычисляем новую позицию узла p[i] p[i] = (1 - lambda[i]) * p + lambda[i] * p[i] } //Этап 2: обратное следование //Устанавливаем корневому элементу p начальную позицию p[i] = b for i=1 ,..., n - 1 do { //Получаем дистанцию r[i] между узлом p и позицией p[i] r[i] = | p - p[i] | lambda[i] = d[i] / r[i] //Получаем новую позицию p[i] p = (1-lambda[i]) * p[i] + lambda[i] * p } DIFa = | p[n] - t | } }

2.FABRIK - новое эвристическое решение задачи IK

a - Начальные позиции манипулятора и цели.
b - Двигаем конечный узел p к цели.
c - Обнаруживаем позицию p" p" и p , на дистанции d от точки p" .
d - Повторяем для всех узлов.
e - Вторая стадия алгоритма: передвигаем корневой элемент с позиции p" на его начальную позицию.
f - Повторяем для всех узлов, но на этот раз начинаем с базы и двигаемся к конечному узлу. Алгоритм повторяется до тех пор, пока позиция конечного элемента не приблизится к цели на достаточное расстояние.

Более подробно:
Сначала считаются позиции между узлами (массив d ), после чего идёт проверка, достижима ли целевая точка; считается расстояние между корневым узлом и целью (dist ), и если эта дистанция меньше общей суммы дистанций между узлами, то цель достижима, иначе нет. Если цель достижима, полный цикл ограничивается двумя этапами. На первом этапе, алгоритм оценивает начальную позицию каждого узла, начиная с конечного элемента p[n] двигаясь к базе манипулятора p . Таким образом, позволим целевой позиции быть позицией конечного узла, p"[n] = t . Получим прямую l , лежащую на точках p и p"[n] . Новая позиция узла с индексом n-1 , p" , лежит на этой линии на дистанции d от p"[n] . Аналогично, новая позиция узла с индексом n-2 , p" , может быть вычислена используя прямую l , лежащую на точках p и p" на дистанции d от p" . Алгоритм повторяется до тех пор, пока все не будут посчитаны новые позиции для всех узлов, включая конечный. В случаях, когда корневой элемент перемещается на необходимую позицию, FABRIK срабатывает как было описано, с тем лишь отличием, что новая позиция p"" корневого узла будет желаемой позицией, а не начальной.
После одной полной итерации, почти во всех случаях (по наблюдениям) конечный узел приблизится к цели. Процедура повторется необходимое количество раз, до тех пор, пока конечный узел не ляжет на позицию цели или не приблизится к ней на допустимую дистанцию. Реализация метода FABRIK без введения ограничителей сойдётся на любой целевой точке/цепи, если цель достижима. Однако, если цель находится дальше достанции, на которую может вытянуться цепь, необходимо прерывающее условие, которое сравнит прошлую и текущую позицию конечного узла, и которое прекратит выполнение алгоритма если смещение конечного узла будет меньше некоторого значения (эпсилона). Так-же, в особых случаях, алгоритм прерывается по истечению некоторого числа итераций (впрочем, пока-что такая ситуация не была встречена).
Для более быстрого результата и решения в несколько итераций, возможна оптимизация с применением Конформной Геометрической Алгебры (Conformal Geometric Algebra, далее CGA); CGA имеет преимущество на базовых фигурах, такие как сферы, прямые, плоскости и окружности, достаточно просто отображаемые алгебраическими обьектами. Поэтому, поиск позиции узла, находящегося между двумя известными узлами, может быть выражен пересечением двух сфер с центрами на соответствующих этим узлам позициям, и радиусом, равным расстоянию между позициям искомого узла и имеющимися; новая позиция узла будет лежать на ближайшей точке окружности, сформированной пересечением двух сфер. Другая простая оптимизация заключается в прямом построении прямой в направлении цели, когда последняя недоступна.

3. Модель с множеством конечных узлов

Как и в случае с одним конечным узлом, алгоритм разбивается на два этапа:

Первый этап точно такой-же, только на этот раз начинается от каждого конечного узла с движением внутрь по цепи от этого узла, вплоть до суб-базы (вероятно, суб-базой является узел с несколькими примыкающими к нему рёбрами - прим. перев.). Таким образом, получим столько разных позиций для суб-базы, сколько соединённых с ней конечных узлов у нас имеется. Итоговая же позиция может быть взята как центроид (тобиш, просто среднее арифметическое - прим. перев.) из этих позиций. После этого, выполнение алгоритма продолжается в нормальном режиме, двигаясь от суб-базы до корня. Если суб-базы имеют собственные суб-базы, то по отношению к ним производятся аналогичные действия - так-же составляется список возможных позиций, после чего эта суб-база устанавливается на центроид из всего списка позиций.
На втором этапе, обычный алгоритм применяется к каждому узлу, двигаясь всё дальше от корневого узла. При этом, каждая цепь должна быть обработана отдельно вплоть до конечного узла: чем больше суб-баз, тем больше повторений для каждой из них. Процесс повторяется до тех пор, пока конечные узлы не достигнут своей цели или пока не сработает условие прерывания.

4. Ограничители

a - Начальные конфигурации манипулятора и цели.
b - Двигаем конечный узел p к цели и ориентируем его на неё.
c - Обнаруживаем позицию p" , лежащую на линии между позициями p" и p , на дистанции d от точки p" .
d - Переориентируем узел на позиции p" таким образом, чтобы он смотрел вдоль ребра, соединяющего p" и p" .
e - Вычисление ограничивающего эллипса: разрешённые позиции находятся в затенённом участке. Ни одна из вершин на этом этапе никуда не двигается.
f - Узел p перемещается на позицию p^ , который является ближайшей позицией на затенённом эллипсе, удостоверяясь таким образом в том, что новая позиция p^ будет лежать в допустимых пределах.
g - Двигаем узел p^ на точку p" , чтобы сохранить длинну ребра.
h - Переориентируем p" , чтобы удовлетворить ограниение ориентации.

Здесь мы будем создавать анимацию для персонажа, которого мы изготовили в Главе 4. На сей раз обойтись отдельными сферами и чайниками не удастся, поскольку нам нужен не подопытный объект, а иерархически-связанная система объектов.

Прямая кинематика (FK)

Прямая кинематика (FK - Forward Kinematics) представляет собой движение дочерних объектов относительно родительских. Здесь нет ничего хитрого. Создадим прямую кинематику для рук нашего персонажа. Для этого откроем файл с персонажем. Нажмём кнопку Auto Key.

Пускай персонаж помашет нам рукой.

Сместим бегунок в какой-нибудь кадр, например в 10-й, поднимем руку вверх. Делать это мы будем при помощи вращения, причём, для придания нужного положения, скорей всего повернуть придётся обе части руки.

Вернёмся в начало диапазона () и проиграем анимацию. Если Вам показалось, что персонаж поднимает руку слишком быстро, сделайте следующее: выделите обе части руки (плечо и предплечие), затем перейдите в строку отображения номеров кадров, выделите вторые ключи (у нас в одном итом же месте находятся два ключа - для плеча и для предплечия) чтобы выделились оба, натяните вокруг них прямоугольную область. Выделенные ключи станут белыми. Передвиньте их в какой-нибудь другой кадр, например 15-й. Можете вернуться назад и проиграть анимацию ещё раз.

Поставьте бегунок в следующую позицию (через несколько кадров после 15-го) и поверните плечо немного влево. Ещё несколько раз поперемещайте бегунок и поповорачивайте плечо туда-сюда. Затем создайте заключительный кадр, в котором рука будет опущена и чуть согнута в локте. Если вы запустите анимацию, то увидите, что плечо двигается так, как и должно двигаться когда человек машет рукой, а предплечье медленно наклоняется. Это происходит потому, что для предплечия мы создали только два ключа с достаточно большим расстоянием между ними.

Чтобы избавиться от этого эффекта, надо в последнем взмахе рукой создать ключ, в котором предплечие находится в правильном положении. Создать этот ключ желательно в том же кадре, в котором стоит ключ для последнего взмаха плечом (предпоследний ключ для плеча). Выделите плечо, чтобы отображались его анимационные ключи, и переместите бегунок в кадр, где находится его предпоследний ключ. Теперь выделите предплечие и поверните его в нужное положение. Проиграйте анимацию снова. Теперь персонаж машет рукой более естественно. Выключим кнопку Auto Key. Эту кнопку вообще лучше не держать зря включённой, поскольку в этом случае можно создать нежелательную анимацию во время редактирования и размещения объектов. При выключенной кнопке Auto Key анимация по-прежнему проигрывается, но теперь её нельзя создавать. Трансформация объектов приводит к тому, что сдвигается сама анимация. Если мы сейчас в нулевом кадре повернём руку персонажа так, чтобы она была вытянута вперёд и проиграем анимацию, то увидем, что рука движется в другом положении. Нажмём Undo, чтобы восстановить первоначальную анимацию.

Подводим итоги: мы создали много анимационных ключей для плеча и всего четыре ключа для предплечия. Между вторым и третим ключами предплечие неподвижно относительно своего родительского объекта - плеча.

Здесь файл с анимацией руки (формат 3ds MAX 6).

Инверсная кинематика (IK)

Инверсная кинематика (Inverse Kinematics) применяется в тех случаях, когда нам надо попасть каким-либо объектом из нашей иерархии в заданное положение. К примеру, если мы захотим анимировать ходьбу персонажа, ноги должны вставать на землю и не проскальзывать во времы движения туловища относительно земли. Добиться этого используя прямую кинематику крайне трудно, практически невозможно. К счастью, существует инверсная кинематика.

Мы рассмотрим средства инверсной кинематики, которые были введены в 3ds МAX 4 и сохранились до последних версий (3ds MAX 7). В более ранних версиях инверсная кинематика была устроена несколько иначе.

Инверсная кинематика создаётся при помощи так называемых цепей инверсной кинематики (IK Chain). Цепь создаётся между последовательно привязанными друг к другу объектами. Для того, чтобы создать такую цепь, иерархическая последовательность должна оканчиваться неким вспомогательным дочерним объектом. Мы проследим создание цепи инверсной кинематики на ногах нашего персонажа, при этом последним вспомогательным объектом цепи будет ступня.

Выделим корневой объект нашей цепи. Имейте ввиду, что корневой объект цепи - это не корневой объект всей иерархии в целом, то есть не body, а бедро (thigh). Выделим бедро и войдём в пункт главного меню Animation . Откроем в Animation пункт IK Solver (решатель инверсной кинематики). Там можно видеть:

HI Solver (History Independent Solver) - исторически-независимый решатель

HD Solver (History Dependent Solver) - исторически-зависимый решатель (лучший решатель для коротких анимационных последовательностей, но даёт плохие результаты при длительной анимации)

IK Limb Solver - решатель для анимации конечностей, расчитан на два объекта иерархической цепи

Spline IK Solver - сплайновый решатель

Мы будем использовать HI Solver. IK Limb Solver хотя и разработан для анимации конечностей человека, работает он плохо, при его использовании у персонажа всегда одно колено выгибается назад, а один локоть - вперёд.

Если бедро у нас по-прежнему выделено, выберем HI Solver и кликнем мышью на ступню той же самой ноги, бедро которой выделено. У нас должна появиться петля, связывающая обе части ноги, и синий крест в опорной точке ступни. Цепь инверсной кинематики является вспомогательным объектом, который имеет цвет и имя. Можете для удобства переназвать созданную цепь. Создадим точно такую же цепь для второй ноги.

Синий крестик - так называемый целевой объект (IK Goal ). Если мы сейчас попробуем его подвигать, то увидем, что нога сгибается и поворачивается таким образом, чтобы опорная точка ступни всегда находилась в центре крестика (при том, что сама ступня не перемещается относительно голени). Настройки для наследования вращения, которые мы сделали для ступни, теперь не работают, поскольку они осуществлялись для прямой кинематики.

Теперь стало понятно, зачем нужен вспомогательный дочерний объект: его опорная точка является ориентиром для цепи обратной кинематики. Чтобы ступня двигалась естественно, надо к ней привязать ещё какой-нибудь вспомогательный объект, и сделать ещё одну цепь инверсной кинематики, но мы сейчас этим заниматься не будем, а попробуем создать анимацию ходьбы.

Если не нажата кнопка Auto Key, нажмём её. Переместим бегунок в какой-нибудь кадр, например 10. Начнём ходьбу с правой ноги. Поднимем её (при помощи IK Goal) и немного занесём. Туловище тоже немного подвинем вперёд, так, как оно подвинется на полушаге. Переместим бегунок снова. Поставим ступню на землю, а туловище ещё немного пододвинем. Заметим, что мы создавали анимационные ключи не для вращения бедра и голени, а для перемещения IK Goal.

Теперь надо создать анимационный ключ для IK Goal в том же кадре, в котором правая ступня вновь коснулась земли. Вообще, ключ создастся по малейшему перемещению нашего IK Goal для левой ноги, но чтобы создать ключ не перемещая ногу, надо нажать на большую кнопку с изображением ключа (Set Key - поставить ключ). Либо, можно войти во вкладку Motion и создать анимационный ключ при помощи кнопки Position в группе Create Key.

Теперь проделаем анимацию левой ноги точно так же, как мы это делали для правой, не забывая при этом перемещать туловище. Отмотаем анимацию назад и проиграем. Если мы всё сделали правильно, персонаж делает два шага, при чём пока одна нога шагает, вторая не проскальзывает. На странное движение ступней пока не будем обращать внимание, в данном случае они у нас играют роль впомогательных объектов.

Здесь готовая сцена , где персонаж делает два шага и машет рукой.

Итак, мы познакомились с прямой и обратной кинематикой, теперь можно переходить к более серьёзным вещам: знакомству с системами костей и созданию скелета для анимации более сложного и детализированного персонажа.

Мы поработали с инструментом Joint и разобрались, как он работает. Теперь давайте посмотрим, как можно управлять суставами более простым способом. В этой главе я расскажу про некоторые из таких средств, и затем мы сможем использовать их далее для риггинга нашего персонажа. И первым инструментом, с которым я вас познакомлю, это один из самых важных инструментов, о которых вы должны узнать – это инструмент IK Handle. Я просто расскажу, что такое инверсная кинематика (Inverse Kinematics), как она работает и основы того как ее настроить.

Инверсная кинематика - один из двух способов управлять суставами скелета. Первый способ называется Forward Kinematics (прямая кинематика), и по сути это вращение. С помощью него вы поворачиваете и возвращаете суставы на место и это, вероятнее всего, наиболее естественный способ манипулярования, так как наши суставы как раз просто поворачиваются в различных направлениях, а также вокруг друг друга. То есть каждое движение нашего тела - это поворот какого-то сустава.

Инверсная кинематика основана на понятии Goal - цель, то есть места, куда должен повернуться сустав. Это позволяет нам указать конечную позицию сустава при повороте. Самый простой способ запомнить это – понять что, прямая кинематика основана на вращении сустава, а инверсная кинематика основана на позиции сустава, в которой он должен оказаться в пространстве, когда мы вращаем его.

Давайте я вам быстро покажу пример. У меня здесь две одинаковые цепочки суставов. Первая цепочка суставов не имеет обратной кинематики, поэтому управление ею происходит через Forward kinematics, а на нашей правой цепочке у нас установлен IK Handle, позволяющий управлять суставами с использованием Inverse Kinematics. Я перейду к окну проекции вид сбоку. И я немного приближу модель в окне проекции, чтобы лучше видеть.

Еще раз, Forward Kinematics - это поворот. Я хочу выбрать конец этой цепочки суставов и переместить вот этот сустав в центр координат. Я буду вращать все эти суставы вокруг одной точки. Давайте сразу начнем это делать. Я нажму клавишу E, чтобы включить инструмент Rotate, и как видите, когда мы начинаем его вращать, то довольно непросто достичь цели при помощи одних только поворотов. Так что я поверну этот сустав вот так, а этот так, а этот снова поверну немного назад, и возможно нужно опять повернуть этот. Я сейчас делаю все на глаз, и не делаю слишком аккуратно при расположении этих суставов, потому что вращение и положение суставов не слишком совпадают друг с другом.

Inverse kinematics делает этот процесс гораздо более простым. Если мы хотим точно куда-то переместить эту цепочку с инверсной кинематикой, все, что мне нужно сделать, щелкнуть по этому крестику внизу, он называется IK Handle1. Теперь я могу нажать W, чтобы перейти к инструменту Move, и просто переместить мой сустав в цель.

Вот так просто. Мауа автоматически поворачивает все суставы равномерно, чтобы достичь цели. Но если же я например выведу сустав за пределы этой цели, у нас появляются проблемы. Поэтому мы не можем достичь любой точки, какой хотим, но если выбирать точки поближе, все получится. Как вы могли заметить, эти два метода используются в различных ситуациях.

Обычно Forward Kinematics дает нам более естественное перемещение, так как оно основано на поворотах, что очень натурально выглядит в анимации персонажей. Но оба метода имеют место быть. Я показал вам, как это работает, теперь давайте я покажу вам, как быстро их настроить. Давайте создадим новую сцену File / New Scene и получим пустое пространство. И перейдем к окну проекции вид сбоку. Я выберу Skeleton / Joint tool.

Давайте сделаем очень простую цепь суставов, состоящую из двух костей. Я щелкаю левой кнопкой здесь и создам сустав. Я немного смещусь сюда относительно центральной оси, и создам еще один сустав здесь. Мы получили небольшой угол здесь, который укажет Inverse kinematics, в какую сторону мы хотим поворачивать сустав. Мы делали это раньше, в предыдущей главе, и теперь я покажу вам, зачем мы это делаем. Сейчас у нас есть цепочка суставов, поэтому давайте установим Inverse kinematics на эту цепь.

Мы можем перейти в Skeleton, IK handle tool, или можно использовать вот этот значок, они оба работают одинаково. Теперь нам нужно выбрать первый сустав, из которого будем делать IK цепочку, пусть он будет верхним. И теперь последний сустав, он будет нижним. У нас есть промежуточные суставы, но это важно, что я именно выбираю сразу последний.

И у нас появился IKHandle1. Мы можем выбрать его, нажать W, и как видите, мой сустав посередине сгибается в этом направлении. Если бы я сделал мою цепь прямой, IKHandle бы не сработал, так как не понял бы, в каком направлении сгибать сустав, поэтому мы и сделали тут небольшой изгиб. Давайте заглянем в Аутлайнер. Видите, вот наши суставы.

А IKHandle - это отдельный объект и он не находится на цепочке суставов. Поэтому мы можем перемещать его отдельно и менять положение суставов. Вот основы того, как работать с IK Handles и инверсной кинематикой в Мауа.

Поэтому нужно запомнить, что у нас есть два способа управлять суставами, прямая кинематика и инверсная кинематика, и каждый имеет свои преимущества