Как задаются символьные константы. Символьные константы. Управляющие символьные константы

Пусть частица движется вдоль оси X. При этом движение ограничено отрезком (0,l ). В точках x=0 и x=l установлены непроницаемые бесконечно высокие стенки. Потенциальная энергия в этом случае имеет вид

Такая зависимость потенциальной энергии от x получила название потенциальной ямы .

Запишем стационарное уравнение Шредингера

Поскольку пси-функция зависит только от координаты x, то уравнение упрощается следующим образом

Внутри потенциальной ямы U=0

За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружения частицы вне ямы равна нулю. Соответственно и пси-функция за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности следует, что ψ должна быть равна нулю и на границах ямы, т.е. . Это граничное условие, которому должны удовлетворять решения уравнения.

Введем обозначение

и получим уравнение, хорошо известное из теории колебаний

Решение такого уравнения имеет вид гармонической функции

Выбор соответствующих параметров k и α определяется граничными условиями, а именно,

n = 0 отпадает, т.к. в этом случае ψ = 0 и частица нигде не находится. Следовательно, число k принимает лишь определенные дискретные значения, удовлетворяющие условию . Отсюда следует очень важный результат. Найдем собственные значения энергии частиц

т.е. энергия электрона в потенциальной яме не произвольна, а принимает дискретные значения, т.е. является квантованной. Величина Е n зависит от целого числа n , которое принимает значение от 1 до ∞ и носит название главного квантового числа . Квантованные значения энергии называются энергетическими уровнями, а квантовое число n определяет номер энергетического уровня . Таким образом, электрон в потенциальной яме может находиться на определенном энергетическом уровне E n . Причем минимальное значение энергии, соответствующее первому энергетическому уровню, отлично от нуля

.

Определим расстояние между соседними энергетическими уровнями

При больших m и l расстояние между уровнями становится мало, и спектр становится квазинепрерывным. Относительное расстояние между уровнями

при n → ∞ ,

т. е. спектр становится непрерывен. В этом заключается принцип соответствия Бора : при больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать классическим результатам.

Вернемся к задаче определения собственных функций. После применения граничных условий имеем

Для нахождения коэффициента А воспользуемся условием нормировки

Значение интеграла равно l /2.

Таким образом, собственные функции имеют вид

Графики собственных функций имеют вид

Окончательно сформулируем основные выводы :

1. Энергетический спектр частицы в потенциальной яме дискретный – энергия квантуется.

2. Минимальное значение кинетической энергии не может быть равно нулю.

3. Дискретный характер энергетических уровней проявляется при малых m , l и n , при больших m , l ,n движение становится классическим.

4. Положения микрочастицы в яме не равновероятны, а определяются собственными функциями, в то время как в случае классической частицы все положения равновероятны.

Вопросы для самоконтроля:

1. Как определить вероятность нахождения частицы в некоторой точке?

2. Что называется потенциальной ямой?

3. Каково значение уравнения Шредингера? Что позволяет найти уравнение Шредингера?

4. Какие условия накладываются на пси-функцию?

5. Каков физический смысл главного квантового числа?

6. Почему квантовая механика является статистической теорией?

7. В чем состоит принцип соответствия Бора?

Основная идея Шрёдингера состоит в том, чтобы математическую аналогию между геометрической оптикой и классической механикой перенести на волновые свойства света и частиц.

Получим уравнение Шрёдингера из выражения для волновой функции свободного электрона . Перепишем его в комплексной форме .

Используя связи частоты с энергией, а волнового числа с импульсом, получаем: .

В общем случае – полная энергия частицы, , – кинетическая энергия и –энергия взаимодействия.

Найдем первую производную по и вторую по координате от ф-ции Y: (1), (2).

Домножим уравнение (1) на , а уравнение (2) на (таким образом множители в правых частях будут иметь размерность энергии):

, .

Сложим полученные уравнения:

.

Так как , то последнее равенство перепишется в виде .

Это и есть уравнение Шрёдингера. Оно получено для одной координаты . Если его переписать для 3 координат , то введя оператор Лапласа, окончательно будем иметь

.

Уравнение Шрёдингера нельзя непосредственно вывести из фундаментальных законов классической физики. Уравнение Шрёдингера позволяет находить волновую функцию в произвольный момент времени. Для этого надо знать волновую ф-цию в фиксированный момент времени, массу частицы и энергию взаимодействия частицы с силовым полем. Найденная волновая ф-ция дает возможность рассчитать вероятность нахождения частицы в произвольной точке пространства для любого момента времени.

Основные свойства, которым должны удовлетворять волновые функции – решения уравнения Шрёдингера:

1. Волновая функция линейна, т.е. если …- решения уравнения, то их линейная комбинация – решение.

2. Первые частные производные по координатам являются линейными

3. Волновая функция и её пространственные производные должны быть однозначными, конечными и непрерывными.

4. При стремлении к ∞ значение волновой функции должно стремиться к нулю.

Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний.

Если силовое поле, в котором движется описываемая частица, стационарно, то потенциал его не зависит явно от времени, а функция имеет смысл потенциальной энергии и зависит только от координат . В этом случае волновую функцию можно представить как произведение двух. Одна функция зависит только от , другая – только от времени :

Подставим последнее выражение в уравнение Шрёдингера

После сокращения на временной множитель и некоторых элементарных преобразований получим: (*).

Это уравнение Шрёдингера для стационарных состояний. В него входит только координатная часть волновой ф-ции – . Если последняя будет найдена, то полная волновая ф-ция находится домножением координатной части на временной множитель .

Поскольку вероятность определяется квадратом волновой ф-ции, а квадрат комплексной величины находится умножением на комплексно сопряженную, то имеет место следующее соотношение для стационарных волновых функций:

Таким образом, чтобы найти волновую ф-цию для стационарных состояний, необходимо решить уравнение (*) и знать полную энергию .

Свободное движение частиц.

Во время свободного движения квантовой частицы никакие силы на нее не действуют и можно ее потенциальную энергию равной нулю. Пусть движение частицы происходит в направлении , тогда (*) принимает вид: .

Частным решением этого уравнения является ф-ции вида , где и – константы. Если подставить искомое решение в само уравнение, то мы получим связь энергии частицы и величины :

Полная волновая функция с учетом зависимости от времени для свободной частицы имеет вид . Это плоская монохроматическая волна с частотой и волновым числом . Так как , а , то .

Частица со спином обладает также и определенным «собственным» магнитным моментом . Соответствующий ему квантовомеханический оператор пропорционален оператору спина s, т. е. может быть, записан в виде

где s - величина спина частицы, - характерная для частицы постоянная. Собственные значения проекции магнитного момента равны Отсюда видно, что коэффициент (который и называют обычно просто величиной магнитного момента) представляет собой наибольшее возможное значение достигаемое при проекции спина

Отношение дает отношение собственного магнитного момента частицы к ее собственному механическому моменту (когда оба направлены по оси ). Как известно, для обычного (орбитального) момента это отношение равно (см. II, § 44). Коэффициент же пропорциональности между собственным магнитным моментом и спином частицы оказывается иным. Для электрона он равен - т. е. вдвое больше обычного значения (такое значение получается теоретически из релятивистского волнового уравнения Дирака - см. IV, § 33). Собственный магнитный момент электрона (спин 1/2) равен, следовательно, где

Эту величину называют магнетоном Бора.

Магнитный момент тяжелых частиц принято измерять в ядерных магнетонах, определяемых как где - масса протона. Эксперимент дает для собственного магнитного момента протона значение 2,79 ядерных магнетонов, причем момент направлен по спину. Магнитный момент нейтрона направлен противоположно спину и равен 1,91 ядерного магнетона.

Обратим внимание на то, что величины и s, стоящие в обоих сторонах равенства (111,1), как и следовало, одинаковы по своему векторному характеру: обе являются аксиальными векторами.

Аналогичное же равенство для электрического двпольного момента противоречило бы симметрии по отношению к инверсии координат: при инверсии менялся бы относительный знак обеих сторон равенства.

В нерелятивистской квантовой механике магнитное поле может рассматриваться только в качестве внешнего поля. Магнитное взаимодействие частиц друг с другом является релятивистским эффектом, и его учет требует последовательной релятивистской теории.

В классической теории функция Гамильтона заряженной частицы в электромагнитном воле имеет вид

где - скалярный, А - векторный потенциал поля, - обобщенный импульс частицы (см. II, § 16). Если частица не обладает едином, то переход к квантовой механике производится обычным образом: обобщенный импульс надо заменить оператором и мы получим гамильтониан

Если же частица обладает спином, то такая операция недостаточна. Дело в том, что собственный магнитный момент частицы непосредственно взаимодействует с магнитным полем. В классической функции Гамильтона это взаимодействие вообще отсутствует, поскольку сам спин, будучи чисто квантовым эффектом, исчезает при переходе к классическому пределу. Правильное выражение для гамильтониана получится путем введения (в 111,3) дополнительного члена - соответствующего энергии магнитного момента , в поле Н. Таким образом, гамильтониан частицы, обладающей спином, имеет вид

При раскрытии квадрата надо иметь ввиду, оператор , вообще говоря, не коммутативен с вектором А, являющимся функцией координат. Поэтому надо писать

Согласно правилу коммутации (16,4) оператора импульса с любой функцией координат имеем

Таким образом, и А коммутативны, если , в частности, имеет место для однородного поля, если выбрать его векторный потенциал в виде

(111,7)

Уравнение с гамильтонианом (111,4) представляет собой обобщение уравнения Шредингера на случай наличия магнитного поля. Волновые функции, на которые действует гамильтониан в этом уравнении, - симметричные спиноры ранга

Волновые функции частины в электромагнитном поле обладают неоднозначностью, связанной с неоднозначностью потенциалов поля. Как известно (см. II, § 18), последние определены лишь с точностью до калибровочного преобразования

где - произвольная функция координат и времени. Такое преобразование не отражается на значениях напряженностей поля. Ясно поэтому, что оно не должно существенно изменять также и решений волнового уравнения; в частности, должен оставаться неизменным квадрат Действительно легко убедиться в том, что мы вернемся к исходному уравнению, если одновременно с заменой (111,8) в гамильтониане произвести также и замену волновой функции согласно

(111,9)

Эта неоднозначность волновой функции не сказывается ни на какой имеющей физический смысл величине (в определение которой не входят в явном виде потенциалы).

В классической механике обобщенный импульс частицы связан с ее скоростью соотношением Для того чтобы найти оператор v в квантовой механике, надо прокоммутировать вектор с гамильтонианом.

Простое вычисление приводит к результату

(111,10)

в точности аналогичному классическому. Для операторов компонент скорости имеют место правила коммутации

которые легко проверить непосредственным вычислением. Мы видим, что в магнитном поле операторы трех компонент скорости частицы (заряженной) оказываются некоммутативными. Это значит, что частица не может иметь одновременно определенных значений скорости по всем трем направлениям.

При движении в магнитном поле симметрия по отношению к обращению времени имеет место лишь при условии изменения знака поля Н (и векторного потенциала А). Это значит (см. § 18 и 60), что уравнение Шредингера должно сохранить свой вид при переходе к комплексно сопряженным величинам и изменении знака Н. Для всех членов в гамильтониане (111,4), за исключением члена - это непосредственно очевидно. Член же