Алгоритм сжатия данных jpeg используется в форматах. Изобретаем JPEG. JPEG сжимает лучше, чем GIF

Центром тяжести (или центром масс ) некоторого тела называется точка, обладающая тем свойством, что если подвесить тело за эту точку, то оно будет сохранять свое положение.

Ниже рассмотрены двумерные и трёхмерные задачи, связанные с поиском различных центров масс — в основном с точки зрения вычислительной геометрии.

В рассмотренных ниже решениях можно выделить два основных факта . Первый — что центр масс системы материальных точек равен среднему их координат, взятых с коэффициентами, пропорциональными их массам. Второй факт — что если мы знаем центры масс двух непересекающихся фигур, то центр масс их объединения будет лежать на отрезке, соединяющем эти два центра, причём он будет делить его в то же отношении, как масса второй фигуры относится к массе первой.

Двумерный случай: многоугольники

На самом деле, говоря о центре масс двумерной фигуры, можно иметь в виду одну из трёх следующих задач :

• Центр масс системы точек — т.е. вся масса сосредоточена только в вершинах многоугольника.
• Центр масс каркаса — т.е. масса многоугольника сосредоточена на его периметре.
• Центр масс сплошной фигуры — т.е. масса многоугольника распределена по всей его площади.

Каждая из этих задач имеет самостоятельное решение, и будет рассмотрена ниже отдельно.

Центр масс системы точек

Это самая простая из трёх задач, и её решение — известная физическая формула центра масс системы материальных точек:

где — массы точек, — их радиус-векторы (задающие их положение относительно начала координат), и — искомый радиус-вектор центра масс.

В частности, если все точки имеют одинаковую массу, то координаты центра масс есть среднее арифметическое координат точек. Для треугольника эта точка называется центроидом и совпадает с точкой пересечения медиан:

Для доказательства этих формул достаточно вспомнить, что равновесие достигается в такой точке , в которой сумма моментов всех сил равна нулю. В данном случае это превращается в условие того, чтобы сумма радиус-векторов всех точек относительно точки , домноженных на массы соответствующих точек, равнялась нулю:

и, выражая отсюда , мы и получаем требуемую формулу.

Центр масс каркаса

Но тогда каждую сторону многоугольника можно заменить одной точкой — серединой этого отрезка (т.к. центр масс однородного отрезка есть середина этого отрезка), с массой, равной длине этого отрезка.

Теперь мы получили задачу о системе материальных точек, и применяя к ней решение из предыдущего пункта, мы находим:

где — точка-середина -ой стороны многоугольника, — длина -ой стороны, — периметр, т.е. сумма длин сторон.

Для треугольника можно показать следующее утверждение: эта точка является точкой пересечения биссектрис треугольника, образованного серединами сторон исходного треугольника. (чтобы показать это, надо воспользоваться приведённой выше формулой, и затем заметить, что биссектрисы делят стороны получившегося треугольника в тех же соотношениях, что и центры масс этих сторон).

Центр масс сплошной фигуры

Мы считаем, что масса распределена по фигуре однородно, т.е. плотность в каждой точке фигуры равна одному и тому же числу.

Случай треугольника

Утверждается, что для треугольника ответом будет всё тот же центроид , т.е. точка, образованная средним арифметическим координат вершин:

Случай треугольника: доказательство

Приведём здесь элементарное доказательство, не использующее теорию интегралов.

Первым подобное, чисто геометрическое, доказательство привёл Архимед, но оно было весьма сложным, с большим числом геометрических построений. Приведённое здесь доказательство взято из статьи Apostol, Mnatsakanian "Finding Centroids the Easy Way".

Доказательство сводится к тому, чтобы показать, что центр масс треугольника лежит на одной из медиан; повторяя этот процесс ещё дважды, мы тем самым покажем, что центр масс лежит в точке пересечения медиан, которая и есть центроид.

Разобьём данный треугольник на четыре, соединив середины сторон, как показано на рисунке:

Четыре получившихся треугольника подобны треугольнику с коэффициентом .

Треугольники №1 и №2 вместе образуют параллелограмм, центр масс которого лежит в точке пересечения его диагоналей (поскольку это фигура, симметричная относительно обеих диагоналей, а, значит, её центр масс обязан лежать на каждой из двух диагоналей). Точка находится посередине общей стороны треугольников №1 и №2, а также лежит на медиане треугольника :

Пусть теперь вектор — вектор, проведённый из вершины к центру масс треугольника №1, и пусть вектор — вектор, проведённый из к точке (которая, напомним, является серединой стороны, на которой она лежит):

Наша цель — показать, что вектора и коллинеарны.

Обозначим через и точки, являющиеся центрами масс треугольников №3 и №4. Тогда, очевидно, центром масс совокупности этих двух треугольников будет точка , являющаяся серединой отрезка . Более того, вектор от точки к точке совпадает с вектором .

Искомый центр масс треугольника лежит посередине отрезка, соединяющего точки и (поскольку мы разбили треугольник на две части равных площадей: №1-№2 и №3-№4):

Таким образом, вектор от вершины к центроиду равен . С другой стороны, т.к. треугольник №1 подобен треугольнику с коэффициентом , то этот же вектор равен . Отсюда получаем уравнение:

откуда находим:

Таким образом, мы доказали, что вектора и коллинеарны, что и означает, что искомый центроид лежит на медиане, исходящей из вершины .

Более того, попутно мы доказали, что центроид делит каждую медиану в отношении , считая от вершины.

Случай многоугольника

Перейдём теперь к общему случаю — т.е. к случаю мноугоугольника . Для него такие рассуждения уже неприменимы, поэтому сведём задачу к треугольной: а именно, разобьём многоугольник на треугольники (т.е. триангулируем его), найдём центр масс каждого треугольника, а затем найдём центр масс получившихся центров масс треугольников.

Окончательная формула получается следующей:

где — центроид -го треугольника в триангуляции заданного многоугольника, — площадь -го треугольника триангуляции, — площадь всего многоугольника.

Триангуляция выпуклого многоугольника — тривиальная задача: для этого, например, можно взять треугольники , где .

Случай многоугольника: альтернативный способ

С другой стороны, применение приведённой формулы не очень удобно для невыпуклых многоугольников , поскольку произвести их триангуляцию — сама по себе непростая задача. Но для таких многоугольников можно придумать более простой подход. А именно, проведём аналогию с тем, как можно искать площадь произвольного многоугольника: выбирается произвольная точка , а затем суммируются знаковые площади треугольников, образованных этой точкой и точками многоугольника: . Аналогичный приём можно применить и для поиска центра масс: только теперь мы будем суммировать центры масс треугольников , взятых с коэффициентами, пропорциональными их площадям, т.е. итоговая формула для центра масс такова:

где — произвольная точка, — точки многоугольника, — центроид треугольника , — знаковая площадь этого треугольника, — знаковая площадь всего многоугольника (т.е. ).

Трёхмерный случай: многогранники

Аналогично двумерному случаю, в 3D можно говорить сразу о четырёх возможных постановках задачи:

• Центр масс системы точек — вершин многогранника.
• Центр масс каркаса — рёбер многогранника.
• Центр масс поверхности — т.е. масса распределена по площади поверхности многогранника.
• Центр масс сплошного многогранника — т.е. масса распределена по всему многограннику.

Центр масс системы точек

Как и в двумерном случае, мы можем применить физическую формулу и получить тот же самый результат:

который в случае равных масс превращается в среднее арифметическое координат всех точек.

Центр масс каркаса многогранника

Аналогично двумерному случаю, мы просто заменяем каждое ребро многогранника материальной точкой, расположенной посередине этого ребра, и с массой, равной длине этого ребра. Получив задачу о материальных точках, мы легко находим её решение как взвешенную сумму координат этих точек.

Центр масс поверхности многогранника

Каждая грань поверхности многогранника — двухмерная фигура, центр масс которой мы умеем искать. Найдя эти центры масс и заменив каждую грань её центром масс, мы получим задачу с материальными точками, которую уже легко решить.

Центр масс сплошного многогранника

Случай тетраэдра

Как и в двумерном случае, решим сначала простейшую задачу — задачу для тетраэдра.

Утверждается, что центр масс тетраэдра совпадает с точкой пересечения его медиан (медианой тетраэдра называется отрезок, проведённый из его вершины в центр масс противоположной грани; таким образом, медиана тетраэдра проходит через вершину и через точку пересечения медиан треугольной грани).

Почему это так? Здесь верны рассуждения, аналогичные двумерному случаю: если мы рассечём тетраэдр на два тетраэдра с помощью плоскости, проходящей через вершину тетраэдра и какую-нибудь медиану противоположной грани, то оба получившихся тетраэдра будут иметь одинаковый объём (т.к. треугольная грань разобьётся медианой на два треугольника равной площади, а высота двух тетраэдров не изменится). Повторяя эти рассуждения несколько раз, получаем, что центр масс лежит на точке пересечения медиан тетраэдра.

Эта точка — точка пересечения медиан тетраэдра — называется его центроидом . Можно показать, что она на самом деле имеет координаты, равные среднему арифметическому координат вершин тетраэдра:

(это можно вывести из того факта, что центроид делит медианы в отношении )

Таким образом, между случаями тетраэдра и треугольника принципиальной разницы нет: точка, равная среднему арифметическому вершин, является центром масс сразу в двух постановках задачи: и когда массы находится только в вершинах, и когда массы распределены по всей площади/объёму. На самом деле, этот результат обобщается на произвольную размерность: центр масс произвольного симплекса (simplex) есть среднее арифметическое координат его вершин.

Случай произвольного многогранника

Перейдём теперь к общему случаю — случаю произвольного многогранника.

Снова, как и в двумерном случае, мы производим сведение этой задачи к уже решённой: разбиваем многогранник на тетраэдры (т.е. производим его тетраэдризацию), находим центр масс каждого из них, и получаем окончательный ответ на задачу в виде взвешенной суммы найденных центров масс.

Треугольник – одна из основных геометрических фигур. И только он имеет «восхитительные» точки. К ним относится, скажем, центр тяжести – точка, на которую доводится вес каждой фигуры. Где же находится эта «восхитительная» точка и как ее обнаружить?

Вам понадобится

• карандаш, линейка

Инструкция

1. Начертите сам треугольник. Для этого возьмите линейку и проведите карандашом отрезок. Потом начертите ещё один отрезок, начиная от одного из концов предыдущего. Замкните фигуру, объединив две оставшиеся свободные точки отрезков. Получился треугольник. Именно его центр тяжести предстоит искать.

2. Возьмите линейку и измерьте длину одной из сторон. Обнаружьте середину этой стороны и подметьте её карандашом. Проведите отрезок из противоположной вершины к обозначенной точке. Получившийся отрезок именуется медианой.

3. Приступите ко 2-й стороне. Измерьте её длину, поделите на две равные части и проведите медиану из лежащей наоборот вершины.

4. То же самое проделайте с третьей стороной. Обратите внимание на то, что, если вы все сделали верно, то медианы пересекутся в одной точке. Это и будет центр тяжести либо, как его ещё называют, центр масс треугольника.

5. Если перед вами стоит задача, обнаружить центр тяжести равностороннего треугольника, то проведите высоту из всей вершины фигуры. Для этого возьмите линейку с прямым углом и одной из сторон, прислоните к основанию треугольника, а вторую направьте к противолежащей вершине. То же самое проделайте с остальными сторонами. Точка пересечения будет являться центр ом тяжести . Специфика равносторонних треугольников заключается в том, что одни и те же отрезки являются и медианами, и высотами, и биссектрисами.

6. Центр тяжести всякого треугольника делит медианы на два отрезка. Их соотношение составляет 2:1, если глядеть от вершины. Если треугольник разместить на булавку таким образом, что центр оид окажется на её острие, то он не упадет, а будет находиться в равновесии. Также центр тяжести является той точкой, на которую доводится каждая масса, помещенная на вершинах треугольника. Проделайте данный навык и удостоверитесь в том, что эта точка недаром именуется «восхитительной».

Совет 2: Как обнаружить высоту равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник – это треугольник, все стороны которого равны, как следует из его наименования. Эта специфика значительно упрощает нахождение остальных параметров треугольника , в том числе его высоты.

Вам понадобится

• Длина стороны равностороннего треугольника

Инструкция

1. В равностороннем треугольнике все углы также равны. Угол равностороннего треугольника , отсель, равен 180/3 = 60 градусов. Видимо, что потому что все стороны и все углы такого треугольника равны, то все его высоты также будут равны.

2. В равностороннем треугольнике ABC дозволено провести, скажем, высоту AE. Потому что равносторонний треугольник – это частный случай равнобедренного треугольника , а AB = AC. Следственно, по свойству равнобедренного треугольника высота AE будет единовременно медианой (то есть BE = EC) треугольника ABC и биссектрисой угла BAC (то есть BAE = CAE).

3. Высота AE будет являться катетом прямоугольного треугольника BAE с гипотенузой AB. AB = a – длина стороны равностороннего треугольника . Тогда AE = AB*sin(ABE) = a*sin(60o) = sqrt(3)*a/2. Следственно, для нахождения высоты равностороннего треугольника , довольно знать только длину его стороны.

4. Видимо, что если задана медиана либо биссектриса равностороннего треугольника , то она и будет являться его высотой.

Видео по теме

В произвольном треугольнике дозволено выделить несколько отрезков, длины которых доводится вычислять особенно зачастую. Эти отрезки соединяют точки, лежащие в вершинах треугольника, в серединах его сторон, в центрах вписанной и описанной окружностей, а также другие важные для геометрии треугольника точки. Некоторые варианты расчета длин таких отрезков в евклидовой геометрии приведены ниже.

Инструкция

1. Если отрезок, тот, что требуется обнаружить, соединяет всякие две вершины произвольного треугольника, то он является одной из сторон этой геометрической фигуры. Если вестимы, скажем, длины 2-х других сторон (А и B) и величина угла, тот, что они образуют (?), то длину этого отрезка (С) вы можете рассчитать, исходя из теоремы косинусов. Сложите квадраты длин сторон, отнимите от итога две длины этих же сторон, умноженных на косинус вестимого угла, а после этого обнаружьте квадратный корень из полученного значения: C=?(А?+B?-2*А*B*cos(?)).

2. Если отрезок начинается в одной из вершин треугольника, заканчивается на противолежащей стороне и перпендикулярен ей, то такой отрезок именуется высотой (h). Обнаружить его дозволено, скажем, зная площадь (S) и длину (A) той стороны, на которую опущена высота – поделите удвоенную площадь на длину стороны: h=2*S/A.

3. Если отрезок соединяет середину всякий стороны произвольного треугольника и вершину, лежащую наоборот этой стороны, то именуется данный отрезок медианой (m). Обнаружить его длину дозволено, скажем, зная длины всех сторон (A, B, C) – сложите удвоенные квадраты длин 2-х сторон, отнимите от полученного значения квадрат той стороны, на середине которой заканчивается отрезок, а после этого обнаружьте квадратный корень из четверти полученного итога: m=?((2*А?+2*B?-C?)/4).

4. Если отрезок соединяет центр вписанной в произвольный треугольник окружности и всякую из точек касания этой окружности со сторонами треугольника, то обнаружить его длину дозволено, вычислив радиус (r) вписанной окружности. Для этого, скажем, поделите площадь (S) треугольника на его периметр (P): r=S/P.

5. Если отрезок соединяет центр окружности, описанной около произвольного треугольника, с всякий из вершин этой фигуры, то его длину дозволено рассчитать, обнаружив радиус описанной окружности (R). Если вестимы, скажем, длина одной из сторон (A) в таком треугольнике и угол (?), лежащий наоборот нее, то для вычисления длины надобного вам отрезка поделите длину стороны на удвоенный синус угла: R=A/(2*sin(?)).

Видео по теме

Совет 4: Как обнаружить медиану равностороннего треугольника

Медиана треугольника – это отрезок, тот, что соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В равностороннем треугольнике медиана является биссектрисой и высотой единовременно. Таким образом, необходимый отрезок дозволено возвести несколькими методами.

Вам понадобится

• – карандаш;
• – линейка;
• – транспортир;
• – циркуль.

Инструкция

1. При помощи линейки и карандаша поделите сторону равностороннего треугольника напополам. Проведите отрезок, соединяющий обнаруженную точку и противоположный угол треугольника. Таким же образом отложите два следующих отрезка. Вы начертили медианы равностороннего треугольника.

2. Начертите высоту равностороннего треугольника. При помощи угольника опустите перпендикуляр из вершины треугольника к противоположной стороне. Вы возвели высоту равностороннего треугольника. Она является единовременно его медианой.

3. Постройте биссектрисы равностороннего треугольника. Всякий угол равностороннего треугольника равен 60?. Приложите транспортир к одной из сторон треугольника так, дабы точка отсчета совпадала с вершиной треугольника. Одна из его сторон должна идти верно по линии измерительного прибора, иная сторона пересекать полуокружность в точке с отметкой 60?.

4. Подметьте точкой деление в 30?. Проведите луч, соединяющий обнаруженную точку и вершину треугольника. Обнаружьте точку пересечения луча со стороной треугольника. Полученный отрезок является биссектрисой равностороннего треугольника, которая и есть его медиана.

5. Если равносторонний треугольник вписан в окружность, проведите прямую, соединяющую его вершину с центром окружности. Подметьте точку пересечения этой прямой со стороной треугольника. Отрезок, соединяющий вершину треугольника и его сторону, будет медианой равностороннего треугольника.

Видео по теме

Полезный совет
Возвести биссектрису угла? равностороннего треугольника дозволено при помощи циркуля. Для этого постройте две окружности с центром в 2-х других вершинах треугольника и радиусом, равным стороне треугольника. Окружности пересекутся в 2-х точках: в вершине угла? и в точке N. Объедините эти точки между собой. Вы возвели биссектрису угла?.

Центр фигуры дозволено обнаружить несколькими методами, смотря какие данные о ней теснее знамениты. Стоит разобрать нахождение центра окружности, которая является общностью точек, располагающихся на равном расстоянии от центра, потому что эта фигура – одна из особенно распространенных.

Вам понадобится

• – угольник;
• – линейка.

Инструкция

1. Примитивный метод обнаружить центр окружности – согнуть лист бумаги, на котором она начерчена, удостоверясь, глядя на просвет, что она сложилась верно напополам. После этого согните лист перпендикулярно первому сгибу. Так вы получите диаметры, точка пересечения которых и есть центр фигуры.

2. Безусловно, данный метод безупречен, только если окружность начерчена на бумаге, довольно тонкой, дабы дозволено было посмотреть на просвет, верно ли труден лист.

3. Возможен, рассматриваемую фигуру начертили на твердой, несгибаемой поверхности либо это отдельная деталь, которая также не поддается сгибу. Дабы обнаружить центр окружности в этом случае, вам необходима линейка.

4. Диаметр является самым длинным отрезком, соединяющим 2 точки окружности. Как вестимо, проходит он через центр, следственно задача нахождения центра окружности сводится к нахождению диаметра и его середины.

5. Наложите линейку на окружность, позже чего зафиксируйте в всякий точке фигуры нулевую отметку. Приложите линейку к окружности, получив секущую, а после этого двигайте по направлению к центру фигуры. Длина секущей будет повышаться, пока не дойдет до пиковой точки. Вы получите диаметр, а обнаружив его середину, обнаружите и центр окружности.

6. Центр описанной окружности для всякого треугольника располагается на пересечении срединных перпендикуляров. В случае, если треугольник прямоугольный, ее центр неизменно будет совпадать с серединой гипотенузы. То есть решение кроется в построении внутри окружности прямоугольного треугольника с вершинами, лежащими на окружности.

7. Трафаретом для прямого угла могут послужить школьный либо строительный угольник, линейка либо даже лист бумаги/картона. Разместите в всякую точку окружности вершину прямого угла, сделайте отметки в тех местах, где стороны угла пересекают рубеж окружности, объедините их. У вас получился диаметр – гипотенуза.

8. Таким же методом обнаружьте еще один диаметр, место пересечения 2-х таких отрезков и будет центром окружности.

Видео по теме

Обратите внимание!
В заданиях может быть указано, что нужно обнаружить центр тяжести, центр масс либо центроид. Все три наименования обозначают одно и то же.