Разложение в ряд фурье последовательности импульсов примеры. Представление периодических сигналов рядом фурье

Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции. Значение гармонических сигналов для радиотехники обусловлено рядом причин.

В частности:

1. Гармонические сигналы инвариантны относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями. Если такая цепь возбуждена источником гармонических колебаний, то сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой.

2. Техника генерирования гармонических сигналов относительно проста.

Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, то говорят, - что осуществлено спектральное разложение этого сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр.

2.1. Периодические сигналы и ряды Фурье

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал со следующим свойством:

Здесь Т - период сигнала.

Ставится задача найти спектральное разложение такого сигнала.

Ряд Фурье.

Зададим на отрезке времени рассмотренный в гл. I ортонормированцый базис, образованный гармоническими функциями с кратными частотами;

Любая функция из этого базиса удовлетворяет условию периодичности (2.1). Поэтому, - выполнив ортогональное разложение сигнала в этом базисе, т. е. вычислив коэффициенты

получим спектральное разложение

справедливое на всей бесконечности оси времени.

Ряд вида (2.4) называется рядом Фурье даннрго сигнала. Введем основную частоту последовательности, образующей периодический сигнал. Вычисляя коэффициенты разложения по формуле (2.3), запишем ряд Фурье для периодического сигнала

с коэффициентами

(2.6)

Итак, в общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами кратными основной частоте последовательности.

Каждую гармонику можно описать ее амплитудой и начальной фазой Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде

Подставив эти выражения в (2.5), получим другую, - эквивалентную форму ряда Фурье:

которая иногда оказывается удобнее.

Спектральная диаграмма периодического сигнала.

Так принято называть графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала. Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы (рис. 2.1).

Здесь по горизонтальной оси в некотором масштабе отложены частоты гармоник, а по вертикальной оси представлены их амплитуды и начальные фазы.

Рис. 2.1. Спектральные диаграммы некоторого периодического сигнала: а - амплитудная; б - фазовая

Особо интересуются амплитудной диаграммой, которая позволяет судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала.

Изучим несколько конкретных примеров.

Пример 2.1. Ряд Фурье периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами , четной относительно точки t = 0.

В радиотехнике отношение называют скважностью последовательности. По формулам (2.6) находим

Окончательную формулу ряда Фурье удобно записать в виде

На рис. 2.2 представлены амплитудные диаграммы рассматриваемой последовательности в двух крайних случаях.

Важно отметить, что последовательность коротких импульсов, следующих друг за другом достаточно редко , обладает богатым спектральным составом.

Рис. 2.2. Амплитудный спектр периодической последовательности ррямоугольных видеоимпульсов: а - при большой скважности; б - при малой скважности

Пример 2.2. Ряд Фурье периодической последовательности импульсов, образованной гармоническим сигналом вида ограниченным на уровне (предполагается, что ).

Введем специальный параметр - угол отсечки , определяемый из соотношения откуда

В соотаетствии с этим величина равна длительности одного импульса, выраженной в угловой мере:

Аналитическая запись импульса, порождающего рассматриваемую последовательность, имеет вид

Постоянная составляющая последовательности

Амплитудный коэффициент первой гармоники

Аналогично вычисляют амплитуды - гармонических составляющих при

Полученные результаты обычно записывают так:

где так называемые функции Берга:

Графики некоторых функций Берга приведены на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Графики нескольких первых функций Берга

Комплексная форма ряда Фурье.

Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить и несколько ионному, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

Легко видеть, что функции этой системы периодичны с периодом ортонормированы на отрезке времени так как

Ряд Фурье произвольного периодического сигнала в данном случае принимает вид

с коэффициентами

Обычно используют следующую форму записи:

Выражение (2.11) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме.

Спектр сигнала в соответствии с формулой (2.11) содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причем . В ряде (2.11) слагаемые с положительными и отрицательными частотами объединяются в пары, например: и строят суммы векторов - в сторону увеличения фазового угла, в то время как векторы вращаются в противоположном направлении. Конец результирующего вектора в каждый момент времени определяет текущее значение сигнала.

Такая наглядная интерпретация спектрального разложения периодического сигнала будет использована в последующем параграфе.

Разложению в ряды Фурье подвергаются периодические сигналы. Как уже было сказано выше, периодическую функцию любой формы, заданную на интервале одного периода Т = b-a и удовлетворяющую на этом интервале условиям Дирихле (ограниченная, кусочно-непрерывная, с конечным числом разрывов 1-го рода), можно представить в виде ряда Фурье:

s(t) = S n exp(jnDwt), S n = S(nDw), Dw = 2p/T, (1)

где весовые коэффициенты S n ряда определяются по формуле:

S n = (1/T) s(t) exp(-jnDwt) dt. (2)

Ряд Фурье представляет собой ансамбль комплексных экспонент exp(jnDwt) с частотами, образующими арифметическую прогрессию. Функцию весовых коэффициентов S(nDw ) принято называть комплексным спектром периодического сигнала или фурье-образом функции s(t). Спектр периодического сигнала является дискретной функцией, т.к. он определен только для целых значений n с шагом по частоте, обратным периоду: Dw = 2p/Т (или Df = 1/T ). Первую частотную составляющую спектра при n = 1, равную w 1 = 1×Dw = 2p/T (или f 1 = 1/T ), называют основной частотой сигнала (первой гармоникой), остальные частоты дискретного спектра nw 1 при n>1 называют гармониками сигнала. Значения S(nDw) по положительным и отрицательным значениям n являются комплексно сопряженными.

С чисто математических позиций множество функций exp(jnDwt) , -¥ < n < ¥ образует бесконечномерный базис линейного пространства L 2 ортогональных синус-косинусных функций, а коэффициенты S n по (2) представляют собой проекции сигнала s(t) на эти базисные функции. Соответственно, сигнал s(t) в форме ряда Фурье (1) – это бесконечномерный вектор в пространстве L 2 , точка с координатами S n по базисным осям пространства exp(jnDwt). Подынтегральную функцию экспоненты в выражении (2) с использованием тождества Эйлера

exp(±jwt) = cos(wt) ± j×sin(wt)

можно разложить на косинусную и синусную составляющие и выразить комплексный спектр в виде действительной и мнимой части:

S n = (1/T) s(t) dt = А n - jB n . (3)

A n ≡ A(nDw) = (1/T) s(t) cos(nDwt) dt, (4)

B n ≡ B(nDw) = (1/T) s(t) sin(nDwt) dt. (5)

На рис. 4 приведен пример периодического сигнала (прямоугольный импульс на интервале (1-3.3), повторяющийся с периодом Т=40) и форма действительной и мнимой части его спектра. Обратим внимание, что действительная часть спектра является четной относительно нуля функцией A(nDw) = A(-nDw), так как при вычислении значений A(nDw) по формуле (4) используется четная косинусная функция cos(nDwt) = cos(-nDwt). Мнимая часть спектра является нечетной функцией B(nDw) = -B(-nDw), так как для ее вычисления по (5) используется нечетная синусная функция sin(nDwt) = - sin(-nDwt).

Рис. 4. Сигнал и его комплексный спектр.

Комплексные числа дискретной функции (3) могут быть представлены в виде модулей и аргументов комплекс. экспоненты, что дает следующую форму записи комплексного спектра:

S n = R n exp(jj n), (3")

R n 2 ≡ R 2 (nDw) = A 2 (nDw)+B 2 (nDw),j n ≡ j(nDw) = arctg(-B(nDw)/A(nDw)).

Рис. 5. Модуль и аргумент спектра.

Модуль спектра R(nDw) называют двусторонним спектром амплитуд или АЧХ - сигнала, а аргумент спектра (последовательность фазовых углов j(nDw)) - двусторонним спектром фаз или ФЧХ. Спектр амплитуд всегда представляет собой четную функцию: R(nDw) = R(-nDw), а спектр фаз нечетную: j(nDw) = -j(-nDw). Пример спектра в амплитудном и фазовом представлении для сигнала, показанного на рис. 4, приведен на рис. 5. При рассмотрении спектра фаз следует учитывать периодичность 2p угловой частоты (при уменьшении фазового значения до величины менее -p происходит сброс значения -2p).

Если функция s(t) является четной, то все значения B(nDw) по (5) равны нулю, т.к. четные функции ортогональны синусным гармоникам и подынтегральное произведение s(t)·sin(nDwt) дает нулевой интеграл. Следовательно, спектр функции будет представлен только вещественными коэффициентами. Напротив, при нечетности функции s(t) обнуляются все значения коэффициентов А(nDw) (нечетные функции ортогональным косинусным гармоникам) и спектр является чисто мнимым. Этот фактор не зависит от выбора границ задания периода функции на числовой оси. На рис. 6(А) можно наглядно видеть ортогональность первой гармоники синуса и четной функции, а на рис. 6(В) соответственно косинуса и нечетной функции в пределах одного периода. Учитывая кратность частот последующих гармоник первой гармонике спектра, ортогональность сохраняется для всех гармоник ряда Фурье.

Рис. 6. Ортогональность функций.

При n = 0 имеем В о = 0, и получаем постоянную составляющую сигнала:

S 0 ≡ A o ≡ R o ≡ (1/T) s(t) dt.

2.5. Тригонометрическая форма рядов Фурье.

Объединяя комплексно сопряженные составляющие (члены ряда, симметричные относительно центрального члена ряда S 0), можно перейти к ряду Фурье в тригонометрической форме:

s(t) = А о +2 (A n cos(nDwt) + B n sin(nDwt)), (6)
s(t) = А о +2 R n cos(nDwt + j n). (6")

Значения A n , B n вычисляются по формулам (4-5), значения R n и j n - по формулам (3").

Ряд (6) представляют собой разложение периодического сигнала s(t) на сумму вещественных элементарных гармонических функций (косинусных и синусных) с весовыми коэффициентами, удвоенные значения которых (т.е. значения 2×A n , 2×B n) не что иное, как амплитуды соответствующих гармонических колебаний с частотами nDw. Совокупность амплитудных значений этих гармоник образует односторонний физически реальный (только для положительных частот nDw) спектр сигнала. Для сигнала на рис. 4, например, он полностью повторяет правую половину приведенных на рисунке спектров с удвоенными значениями амплитуд (за исключением значения А о на нулевой частоте, которое, как это следует из (6), не удваивается). Но такое графическое отображение спектров используется довольно редко (за исключением чисто технических приложений). Более широкое применение для отображения физически реальных спектров находит формула (6"). Спектр амплитуд косинусных гармоник при таком отображении называется амплитудно-частотным составом сигнала, а спектр фазовых углов гармоник – фазовой характеристикой сигнала. Форма спектров повторяет правую половину соответствующих двусторонних спектров (см. рис. 5) также с удвоенными значениями амплитуд. Для четных сигналов отсчеты фазового спектра могут принимать только значения 0 или p, для нечетных соответственно ±p/2.

Ряды Фурье произвольных аналоговых периодических сигналов могут содержать бесконечно большое количество членов. Однако одним из важных достоинств преобразования Фурье является то, что при ограничении (усечении) ряда Фурье до любого конечного числа его членов обеспечивается наилучшее по средней квадратической погрешности приближение к исходной функции (для данного количества членов).

На верхнем графике рисунка 7 приведен реконструированный сигнал при N = 8 (гармоники первого пика спектра, центр которого соответствует главной гармонике сигнала и члену ряда n = w s /Dw), N = 16 (гармоники двух первых пиков) и N=40 (пять первых пиков спектра). Естественно, что чем больше членов ряда включено в реконструкцию, тем ближе реконструированный сигнал к форме исходного сигнала. Принцип последовательного приближения к исходной форме наглядно виден на нижнем графике рисунка. На нем же можно видеть и причины появления пульсаций на реконструкции скачков функций, которые носят название эффекта Гиббса . При изменении количества суммируемых членов ряда эффект Гиббса не исчезает. Не изменяется также относительная амплитуда пульсаций (по отношению к амплитуде скачка) и относительное затухание (по коэффициенту последовательного уменьшения амплитуды пульсаций по отношению к максимальному выбросу), изменяется только частота пульсаций, которая определяется частотой последних суммируемых гармоник.

Эффект Гиббса имеет место всегда при резких нарушениях монотонности функций. На скачках эффект максимален, во всех других случаях амплитуда пульсаций зависит от характера нарушения монотонности функции.

В ряд Фурье может разлагаться и произвольная непериодическая функция, заданная (ограниченная, вырезанная из другого сигнала, и т.п.) на интервале (a,b), если нас не интересует ее поведение за пределами данного интервала. Однако следует помнить, что применение формул (1-6) автоматически означает периодическое продолжение данной функции за пределами заданного интервала (в обе стороны от него) с периодом Т = b-a. Однако при этом на краях интервала может возникнуть явление Гиббса, если уровень сигнала на краях не совпадает и образуются скачки сигнала при его периодическом повторении, как это видно на рис. 8. При разложении исходной функции в ограниченный ряд Фурье и его обработке в частотной области на самом деле при этом обрабатывается не исходная функция, а реконструированная из ограниченного ряда Фурье. При усечении рядов Фурье определенное искажение функций существует всегда. Но при малой доле энергии отсекаемой части сигнала (при быстром затухании спектров функций) этот эффект может быть и мало заметен. На скачках и разрывах функций он проявляется наиболее ярко.

Рис. 7. Реконструкция (восстановление) сигнала

Рис. 8. Проявление эффекта Гиббса

Похожая информация.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

РАЗЛОЖЕНИЯ СИГНАЛОВ В РЯД ФУРЬЕ

Цель задания

Ознакомиться с примерами разложения сигналов в ряд Фурье и практически реализовать разложение различного вида сигналов в системе MatLab.

Постановка задачи

Осуществить разложения сигналов различного вида в ряд Фурье. Разложению подлежат следующие сигналы: последовательность прямоугольных импульсов, меандр, пилообразный сигнал и последовательность треугольных импульсов.

Для каждого варианта и каждого вида сигнала заданы параметры:

для последовательности прямоугольных импульсов – амплитуда, период повторения и длительность импульсов;

для меандра, пилообразного сигнала и последовательности треугольных импульсов – амплитуда и период повторения импульсов.

Для всех видов сигналов задано число ненулевых гармоник.

Cоставить программы в системеMatLabи построить графики.

Постановка задачи.

Код программ для разложения последовательности прямоугольных импульсов, меандр, пилообразного сигнала и последовательности треугольных импульсов.

Результаты выполнения программ – графики промежуточных стадий суммирования.

Методические указания

Ряд Фурье

Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы. При этом они представляются в виде суммы гармонических функций либо комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию.

Ряд Фурье может быть применен для представления не только периодических сигналов, но и сигналов конечной длительности. При этом оговаривается временной интервал, для которого строится ряд Фурье, а в остальные моменты времени сигнал считается равным нулю. Для расчета коэффициентов ряда такой подход фактически означает периодическое продолжение сигнала за границами рассматриваемого интервала.

Синусно-косинусная форма

В этом варианте ряд Фурье имеет следующий вид:

Здесь
– круговая частота, соответствующая периоду повторения сигнала, равному. Входящие в формулу кратные ей частоты
называются гармониками, гармоники нумеруются в соответствии с индексом ; частота
называется –й гармоникой сигнала. Коэффициенты ряда ирассчитываются по формулам:

,

.

Константа рассчитывается по общей формуле для. Само же это слагаемое представляет собой среднее значение сигнала на периоде:

.

Если
является четной функцией, то всебудут равны нулю и в формуле ряда Фурье будут присутствовать только косинусные слагаемые. Если
является нечетной функцией, равны нулю будут, наоборот, косинусные коэффициентыи в формуле останутся лишь синусные слагаемые.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ

Последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой , длительностьюи периодом повторения.

Рис. 1 Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Данный сигнал является четной функцией, поэтому для его представления удобнее использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье – в ней будут присутствовать только косинусные слагаемые , равные

.

Отношение периода к длительности импульсов называют скважностью последовательности импульсов и обозначают буквой :
.

Представление последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье:

.

Амплитуды гармонических слагаемых ряда зависят от номера гармоники.

МЕАНДР

Частным случаем предыдущего сигнала является меандр – последовательность прямоугольных импульсов со скважностью, равной двум, когда длительности импульсов и промежутков между ними становятся равными (рис.2).

Рис. 2 Меандр

При
, получим

Здесь m – произвольное целое число.

При разложении в ряд Фурье четные составляющие будут отсутствовать.

ПИЛООБРАЗНЫЙ СИГНАЛ

В пределах периода он описывается линейной функцией:

Рис. 3. Пилообразный сигнал

Данный сигнал является нечетной функцией, поэтому его ряд Фурье в синусно-косинусной форме будет содержать только синусные слагаемые:

.

Сам ряд Фурье для пилообразного сигнала выглядит следующим образом:

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ

Рис.4. Последовательность треугольных импульсов

Сигнал является четной функцией, поэтому будут присутствовать косинусные составляющие.

Вычислим коэффициенты ряда Фурье:

Сам ряд Фурье имеет следующий вид:

Как видите, в отличие от последовательностей прямоугольных и пилообразных импульсов, для треугольного периодического сигнала амплитуды гармоник убывают пропорционально второй степени номеров гармоник .

Код программы для меандра

N= 8; % число ненулевых гармоник

t= -1:0.01:1; % вектор моментов времени

A= 1; % амплитуда

T= 1; % период

nh= (1:N)*2-1; % номера ненулевых гармоник

harmonics = cos(2*pi*nh"*t/T);

Am= 2/pi./nh; % амплитуды гармоник

Am(2:2:end) = -Am(2:2:end); % чередование знаков

s1 = harmonics .* repmat(Am", 1, length(t));

% строки-частичные суммы гармоник

for k=1:N, subplot(4, 2, k), plot(t, s2(k,:)), end

Р
езультат работы программы

Комментарии :repmat – создание блочной матрицы или многомерного блочного массива из одинаковых блоков.repmat(Am", 1,length(t)) – матрица состоит из 1 блока по вертикали иlength(t) блоков по горизонтали, каждый блок является матрицейAm".

Cumsum – расчет частичных сумм элементов.

Subplot (Rows , Cols , N ) – команда для вывода нескольких графиков. Графическое окно разбивается на клетки в виде матрицы, имеющейRows – строк,Cols – столбцов, иN – клетка становится текущей.

Варианты

№ варианта	Параметры для сигналов
	–амплитуда сигнала	–период повторения сигналов	–длительность сигнала	–число ненулевых гармоник

где , - частота основной гармоники, ;

() – высшие гармоники; (включая ) и – коэффициенты Фурье.

,

Постоянную составляющую (среднее значение) функции удобно вычислять по отдельному выражению полученному из при :

, тогда ,

Очевидно, что если сигнал представляет собой четную функцию времени , то в тригонометрической записи ряда Фурье (1.14) остаются только косинусоидальные составляющие , так как коэффициенты обращаются в нуль. Для сигнала определяемого нечетной функцией времени, наоборот, в нуль обращаются коэффициенты , и ряд содержит синусоидальные составляющие

Часто выражение (1.15) удобно представлять в другой, эквивалентной форме ряда Фурье:

,

где , - амплитуда, - начальная фаза - ой гармоники.

На рис. 1.10 приведены графики, иллюстрирующие представление периодической последовательности прямоугольных импульсов конечным числом слагаемых () ряда Фурье.

Для функции (рис.1.10) разложение имеет вид

Периодическая последовательность прямоугольных импульсов представляется как результат сложения постоянной составляющей и синусоидальных сигналов с частотами , причем период синусоиды с частотой совпадает с периодом последовательности импульсов . Для удобства можно представить в виде .

Совокупность всех гармонических составляющих разложения функции в ряд Фурье называется спектром функции.

Наличие отдельных гармонических составляющих спектра и величины из амплитуд можно наглядно показать с помощью спектральной диаграммы (рис.1.11), у которой горизонтальная ось служит осью частот, а вертикальная – осью амплитуд.

В точках оси частот отображаются амплитуды соответствующих гармонических составляющих разложения функции.

Легко заметить, что график суммы двух первых слагаемых разложения (1.16) воспроизводит форму графика функции очень грубо, только в основных чертах. Учет третьего слагаемого существенно улучшает совпадение суммы с функцией . Таким образом, с увеличением числа учитываемых гармоник точность представления возрастает.

На практике спектральные диаграммы называют более кратко – амплитудный спектр, фазовый спектр. Чаще всего интересуются амплитудным спектром (рис. 1.11). По нему можно оценить процентное содержание гармоник, наличие и уровни отдельных гармонических составляющих спектра.

Пример 1.1. Разложим в ряд Фурье периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами (, , ) (рис. 1.12), четную относительно точки :

.

Воспользуемся для представления этого сигнала формой записи ряда Фурье в виде (1.12). Для спектрального представления последовательности прямоугольных импульсов начало отсчета целесообразно брать в середине импульса. Действительно, в этом случае и в разложении останутся только косинусоидальные составляющие, так как интегралы от нечетных функций за период равны нулю bk=0.

По формулам (1.14) находим коэффициенты:

, ,

позволяющие записать ряд Фурье:

,

где - скважность импульсной последовательности.

Для построения спектральных диаграмм при конкретных числовых данных полагаем и вычисляем коэффициенты гармоник. Результаты расчета первых восьми составляющих спектра при , , и 8 сведены в табл. 1.1 и построены спектральные диаграммы на рис.1.13.

Таблица 1.1. Амплитуды спектральных составляющих для периодической последовательности прямоугольных импульсов

Из приведенного примера следует, что с увеличением скважности увеличивается число спектральных составляющих и уменьшаются их амплитуды.

Выбор количества спектральных составляющих зависит от формы сигнала и точности его представления рядом Фурье. Плавное изменение формы сигнала потребует меньше числа гармоник при той же точности представления, чем для скачкообразного сигнала. Для приближенного представления прямоугольных импульсов на практике обычно считают, что достаточно трех - пяти гармоник.

Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях

4.1 Разложение в ряд Фурье заданной периодической последовательности импульсов

Схема электрической цепи, с учетом таблицы 1, представлена на рис. 7.

Любую периодическую функцию f(t), удовлетворяющую условиям Дирихле можно разложить в ряд Фурье. Обозначим период функции T, а основную частоту _ . Ряд Фурье можно записать двояко.

Первая форма записи:

Вторая форма записи:

В обоих формах А 0 - постоянная составляющая ряда; А к - амплитуда k-й гармоники ряда; k - начальная фаза k-й гармоники;

Из формулы Эйлера следует, что. Следовательно,

Учитывая это, можно записать ряд Фурье в комплексной форме.

Составим выражение для комплексной амплитуды.

Учитывая это, получим выражение для периодической функции времени:

Сравнивая полученное выражение с формулой (12), получим:

В связи с этим в нашем случае можно получить коэффициенты для электротехнической формы записи ряда Фурье из полученных в предыдущей части значений амплитудного и фазового спектров. Число членов аппроксимации выберем с учетом ширины спектра входного сигнала.

Дискретные амплитудный и фазовый спектры изображены на рисунках 25, 26. Их расчеты сведены в таблицу 5.

"right">Таблица 5.

Амплитуды и фазы при соответствующих гармониках

№ гармоники

Рис. 25. Дискретный амплитудный спектр входного сигнала

Бифуркация Андронова-Хопфа

Нам дана система: x1=м*x1+ x2+м*x12- x12- x1*x22 x2=- x1+ x22 Первая вариация бифуркационного значения > > В ходе решения получили 4 особые точки, рассмотрим каждую из них и определим их тип. Первая особая точка > > > > > Получили, что в точке (0...

Дискретная математика

Пусть F - двоичная функция от n переменных. Предположим, что F не равна тождественно нулю. Пусть T1, T2,…, Tk - все точки ее определения, в которых F=1. Можно доказать, что справедлива следующая формула: , где, j=1,2,…, k...

Дифференциальные свойства гиперболических функций

Найдем разложение основных гиперболических функций в ряд Тейлора в окрестности точки, т.е. в ряд вида который называют рядом Маклорена. Показательная и гиперболические функции Пусть, тогда для любого...

Математические методы проектирования

Требуется выполнить моделирование шума с законом распределения вероятностей Рэлея и дисперсией D=12, где у=. Для получения реализаций шума с заданным законом распределения используется метод обратной функции...

Нормированные пространства

Теория интерполяции имеет многочисленные приложения в теории рядов Фурье. Определение. Пусть -периодическая функция, такая что. Нормой в пространстве называется число, а коэффициентами Фурье функции называются числа...

Основные положения дискретной математики

Теорема 1. Всякая логическая функция может быть представлена в СДНФ: , (1) где m, а дизъюнкция берется по всем 2m наборам значений переменных х1,…хm . Функция f разложена по первым n-переменным...

Преобразование Фурье и его некоторые приложения

(1) интегральная формула Фурье. Вначале введем понятие главного значения интеграла. Пусть функция интегрируема на любом отрезке числовой прямой. Определение 1.1. Если существует конечный предел,(1...

Рассмотрим систему. Будем строить систему с заданной четной частью. Пусть нам известна четная часть. Воспользуемся формулой и преобразуем ее Следовательно, можем записать Отсюда зная, получим где - отражающая функция системы...

Тригонометрические уравнения

Приводим уравнение к виду f(x)=0 и представляем левую часть уравнения в виде произведения f1(x)*f2(x)*...* fm(x). Тогда данное уравнение приводится к совокупности уравнений: f1(x)=0, f2(x)=0,..., fm(x)=0. Следует помнить...

Тригонометрические уравнения и неравенства

Метод разложения на множетели заключается в следующем: если то всякое решение уравнения является решение совокупности уравнений Обратное утверждение, вообще говоря неверно: не всякое решение совокупности является решением уравнения...

Эллиптические функции Якоби

Так как при вещественных значениях аргументов функции Якоби snu, cnu, dnu удовлетворяют условию теоремы Дирихле, то для них могут быть построены соответствующие ряды Фурье. Функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихле в интервале (?l,l)...